Skip to main content

Full text of "Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt"

See other formats 


Google 


This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 
to make the world's books discoverable online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 


Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 
publisher to a library and finally to you. 


Usage guidelines 
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 


public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. 





We also ask that you: 


Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual 
personal, non-commercial purposes. 





and we request that you use these files for 


Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 


Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 


* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe. 






About Google Book Search 


Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web 
a[nttp: //books . google. con/] 




















LII 


6000470! 


PAPPI ALEXANDRINI 
COLLECTIO. 


PAPPI ALEXANDRINI 
COLLECTIO. 


PAPPI ALEXANDRINI 


COLLECTIONIS 


QUAE SUPERSUNT 


E LIBRIS MANU SCRIPTIS EDIDIT 
LATINA INTERPRETATIONE ET COMMENTARIIS 


INSTRUXIT 


FRIDERICUS HULTSCH. 


——— — 


VOLUMEN I. 


INSUNT LIBRORUM II III IV V RELIQUIAE. 


BEROLINI 
APUD WEIDMANNOS 
MDCCCLXXVI. 





PRAEFATIO. 


Pappi Alexandrini collectionem mathematicam, cuius co- 
dices manu scripti neque rari erant nec fere ignoti, nonnulli 
iom viri docti in publicum edere cogitaverunt, pauci etiam 
incohaverunt; nec tamen ea vel consilia vel operis initia quis- 
quam perduxit ad finem. Ac mihi quidem, cum primum 
studiorum tirocinio peracto ipse iam, quantum in me esset, 
operam aliquam. Graecis litteris navare institui, Pappi reli- 
quias ex tenebris minime meritis in lucem. vindicare animo 
erat fixum et destinatum; sed anno demum 1864, postquam 
Heronis geometrica et quaecunque alia id genus elaboranda 
erant absolvi, viam hanc difficilem et arduam ingredi suscepi, 
qua tandem tot veterum mathematicorum theoremata ac pro- 
blemata splendidissima, ἃ Pappo collecta aucta illustrata, 
communem eruditorum in usum proponerem. 

Nec. defuerunt fausta statim ab initio auspicia. Nam cum 
de incepto meo consuluissem Tnroboguw MowMsEN, qui in- 
signi sua et humanitate et auctoritate nunquam petenti mihi 
deesse voluit, ab eoque quaesivissem, an forte in Italia, 
maximeque in bibliotheca Vaticana Pappi codex antiquior ser- 
varetur, quoniam Parisini reliquique tum noti essent recen- 
tissimi, ille mihi audivisse se respondit a Cunrro Wacns- 
μύτη cum alios mathematicorum libros tum Pappi codicem 
Romae inspectos esse. Quem cum ea de re litteris adiissem, 


VI PRAEFATIO. 


rescripsit mihi meminisse se quidem vetustum ac spectabilem 
Pappi codicem in Vaticana latere, sed certiorem eius rei nun- 
tium ab ApoLPBo Kirssiiwc me impetraturum esse. Nec spes 
fefellit; nam egregia comitate hic mibi indicavit Pappi codi- 
cem ceteris, ut iam tum videbatur, multo praestantiorem, 
quem postmodum omnium reliquorum archetypum esse co- 
gnovi. Sed priusquam Romam ad excatiendum eum librum 
me conferrem, continuus Graecus textus ex aliis codicibus 
deseribendus et quaedam quasi praevia editio paranda erat. 
Quam operam aestate anni 1865 exigere licuit, postquam 
Parisiis et Lugduno Batavorum ii libri manu scripti, quos 
inprimis adire necesse erat, ad me missi sunt. Iam proximo 
anno illius quem dixi Vaticani partem priorem Romae cum 
meis schedis contuli, tum redux in patriam, quidquid prae- 
terea ad edendum scriptorem opus erat, congerere coepi. 
Sed intercessit Polybii edendi munus non minus gratum mibi 
ac vix minore temporis spatio praeparatum. Quo absoluto 
id iam agere instituebam, ut Pappi editio, cum tamdiu in 
cunabulis quasi iacuisset, suis iam pedibus in publicum pro- 
dire valeret. Attamen id fieri non potuit nisi subsidiis qui- 
busdam subministratis, unde honestissimus bibliopola sumptus 
ac periculum edendi libri paucorum in manus venturi facere 
auderet. 
| Itaque feliciter et peroptato contigit, ut ÁcADEMIA LiTTE- 
RARUM xci BomussiA, adsentiente et iubente MiwisTERIO 
suPREMO Rrcio, quod rebus sacris et medicinalibus atque in- 
stitutioni publicae praeest, tantam pecuniam ad Pappum eden- 
dum concederet, quanta pro pesucitate eorum qui librum 
empturi essent contribuenda videretur. Cuius insignis libe- 
ralitais elogium ut nunc ego gratissimo animo refero, ita, si 
quid opera mea quantulacunque profectum erit, multos ha- 
rum literarum studiosos gratiis a me actis spero adstipula- 
turos esse. 


PRAEFATIO. Vit 


DE CODIGIBUS MANU SCRIPTIS. 


Quoniam de aetate, qua Pappus collectionem suam 'oom- 
posuisse videatur, ae de titulo operis in tertio volumine dis- 
putatidum erit, hoc loco restat ut de apparetü et copiis, unde 
haec proffluxit editio, paucis exponam. Est Romae in biblio- 
theca Vaticána Graecus libet manu scriptus CCXVIH mem- 
braneus, δ Ὁ} XH, ex quo reliqui, quotquot adhuc ita in- 
notaerunt, ut de eorum origine iudicarl posset, descripti aut, 
interthediis aliis, derivati sunt. Cuius priorem partem usque 
sd V libri finem anno 1866, ut modo dictum est, ipse con- 
tuli; tum reliquá rogatu meo sedulo excusserunt AucusrTUs 
Wuwaxws et Ησαυ Ηϊτοκ ; denique libri VII. capita 242—990, 
cum haec quidem sehedarum pars non pervenisset ad me in 
itinere amissa, itetum cum editione Gerhardti ἃ. 1873 con- - 
tulit Avcsstrus Mav, qui etiam scholia, quae sunt in margine, 
describenda, opeérám magni admodum laboris &c paene tae- 
dii, suscepit. Praeterea et Hinckius, qui, dum Rommae erat, 
quaecunque ego absens interrogabam: de iis summa comitate 
respondere mon cessabat, et Augustus Mau, denique etiam 
Lubovicus MrxpxLssOHN locos nonnullos, si qua in progressu 
eperis dubitatio mihi incidisset, iterum in codice Vaticano 
inspexerunt. EE 

Prima libri Vaticáhi folia occupat ἀνθεμέου ?t8Qi παρα- 
δόξων μηχανημάτων fragmentum, recentioré menu scriptuni; 
tum a folio tertió metus saeculi XII Pappi collectionem inde 
a verbis γὰρ αὐτοὺς ἐλάσσονος μὲν εἶναι ita exarare incepit, 
ut iam' iW archetypo, ande Hbrarius haec descripsit, initium 
Graeci centextüs defuisse appareat. Verum propria insuper 
labes in ipsum Vatiéanum invasit, cum ad imos foliorum 
margises interiores liumore ae situ scriptura passim evanue- 
rit. lam eum iisdem locis codices recentiores omnes lacu- 
nariüm hiatus ostendast, hos ex ipso Vaticano, non ex ullo 


VIII PRAEFATIO. 


vetustiore codice derivatos esse manifesto constat. taque hi 
libri, nisi forte  conieeturas probabiles exhibent, nullo sunt 
pretio, nulla auctoritate. .Quibus emendandi studiis iem in 
Vaticano plures manus, inoubuerunt, eaque opera continuata 
est in Parisino 2&40 cum laudabili diligentia, passim .etiam 
prospero eventu. Pauca correcia sunt in Parisino 2368, .quo 
e libro Scaligeranus et, ut videtur, Vossianus originem duxe- 
runt. Hi autem. quos postremo dixi codices singulari digni- 
tate excellunt propter recentiorum virorum doctorum emen- 
dationes ibi perscriptas. Nam ille quem nota V? significavi 
vir fuit et in mathematicis satis versatus et dictionis, qua 
Graeci eius disciplinae auctores uti solent, peritissimus. 
Scripsit autem notas suas aut antequam Commandinus Pappi 
interpretationem Latinam in lucem protulit, aut, si forte 
postea, non inspecto hoc libro, id quod et multis testimoniis, 
quae in adnotationem meam critieam ' congessi, confirmatur, 
neque utriusque consensu ipfringitur; namque in matbema- 
ticis rebus duos viros artis ac rationis peritos idem , quod 
verum est, idque eadem Graeca appellatione expressum, in- 
venire et omnino veri est simile et interdum paene neces- 
sarium. Sed eum de quo dicimus ignotum virum doctum 
non fuisse Raemundum Massacum, a quo codicem Vossianum 
Petavio a. 4599 dono datum esse subscriptio docet (v. infra 
p. XIV), efficitur mea quidem sententia ex diversis litterarum 
ductibus. n forte fuerit Petavius, aliis relinquo diiudican- 
dum.: Alter autem codex, quem Scaligeranum vocamus, in- 
signi splendore enitet propter plurimas Scaligeri emendationes 
(hunc enim .auctorem esse constat ex catalogo bibliothecae 
Lugduno-Betavae p. 339; atque id ipsum confirmatum vidi 
alio Scaligeri chirographo, quod mibi in: manibus fuit). Hae 
quoque notae, quae nunc demum ex obscuritate diuturna in 
lucem prodeunt, saepius conveniunt cum Commandini con- 
iecturis; tamen neutrum horum quidquam petivisse ab altero 


PRAEFATIO. ΙΧ 


tam manifestam est, ut singillaim id demonstrare super- 
sedeam. | 

Ex his quos commemoravi codicibus anno 4865 per pau- 
cos menses uti mibi licuit Parisino 24540, saeculi XV, et 
Lugdunensibus Scaligerano Vossianoque, quos libros summi 
illarum bibliothecarum curatores in manus meas tradi bene- 
vole concesserunt. Ac Scaligeranum quidem totum partim 
descripsi. parlim cum fragmentis, quae tum iam edita erant, 
contuli; Parisini maiorem partem usque ad libri sexti finem 
excussi, reliqua quae propter temporis angustias ipse absol- 
vere, non potuissem, secubdum Waitzii apographum, de .quo 
statim dicturus sum, pertractavi.  Vossiani minorem tantum 
partem conferre licuit; tamen e toto codice, quaecunque ad 
editionem meam utilia esse viderentur, excerpere non omisi. 

Et antiquissimo exemplo Vaticano et Parisino libro 2440 
simillimi :sunt ceteri qui Parisiis publice servantur. E qui- 
bus codex 2368 anno 4562 exaratus, de quo supra dictum 
est, 2369 (qui partem libri tertii continet), 2370 a. 1646 ex- 
aratus, 583 (in quo liber octavus exstat) innotuerunt mihi e 
Tukopon: Wairzi apographo, quod, quamdiu hac editione 
occupatus eram, inanibus tenere et inspicere mihi licuit 
viduae Wairznx beneficio, quae illas schedas GuiLELNo 
BoacHíanpro mittendes mihi tradidit. Itaque et matronae 
ili spectatissimee et huic viro in omni mathematicae doc- 
trinae genere splendidissimo, quod. primum de eo appa- 
ratu certiorem. me fecerit et postea saepius in ea re operam 
suam comiter praestiterit, singulares hic ago gratias. Ad li- 
bri secundi reliquias, quas Waitzius non descripserat, usui 
fuerunt notae e codice Parisino 2368 excerptae a G. G. Bre- 
dowio in Epistolis Parisiensibus (Lipsiae.1842) p. 180—183. 

In edendo fragmento illo, quod in nostra editione inde 
a libri VIIE eapite 19 legitur, Vincentius praeter Parisinum 
2368 adhibuit eiusdem bibliothecae .codicem 2874 et supple- 


X. PRAEFATIO. 


menti 15.. Hos quoque communem oum ceteris recentioribus 
originem habere ex notis a Vincentio adscriptis partimque in 
hac editione repetitis satis apparet. | 

Liber Graecus, quo Gemmaendinus usus est, proxime ac- 
cedit ad Parisinum 2440, sed ita quidem, ut non ex hoc 
ipso, sed ex alio simillimo deseriptus esse videatur (v. adnot. 
ad p. 88, 9. 92, 49 sq. 94, 2. 96, &—6 et 7. 98, 9 et 6. 
148, 8. 432, 48 ete.). Sic hoc quoque apographum redit 
ad communem fontem qui in bibliotheca Vaticana adhuc latuit. 

Non diversus ab his recentioribus codicibus, et qui non 
minus certa vestigia originis e Vaticano deductae prae se 
ferret, fuit Árgentoratensis ille, cuius aliquam notitiam Ca- 
mererus de tactionibus p. 19—32 patefecit. Quibus ih :no- 
wulis nihil ex eo codice, quod ad contextum emendandum 
valeret, nihil omnino proprium aut peculiare afferri potuit. 

.. Codicibus Parisinis similimi sunt duo Oxonienses Saevi- 
liani (citati etiam in Fabricü bibliotheca ed. Harles vol. ?X 
p. 174), e quibus Pappi libri VII propositionem 70 edidit 
Horsley, Apellonii inclin. p. 418—214. Αὁ maxime quidem 
cum Parisino 2368 consentit ille quem "alterum" ' appellet 
Horsleius; magis ad Parismum 2440 accedit prior Savilianus, 
sed idem multis propriis viis inquinatus est ae neutiquam 
"eximi" appellatione, quam Horsleius ei tribuit, digtius. 
Eosdem Savilianae bibliothecae codices Halleims, et alter- 
utrum Wallisius adhibuisse videntur in edendis iis Papypi 
fragmentis, de.quibus infra (p. XIX. XXI) exponetur. Cette 
nihil e suis codicibus hi duo viri doctissimi prutulerunt, qued 
non communem cum reliquis libris recentioribus originem 
proderet, Neque aliter iadicandum est, de eo codice, qui " ne- 
ster MSi*s" a Meibomio in dialogo de proportionibus appel- 
latur, unde hic libri VII propositiones 232—934 edidit. 

Ambrosiani codicis 266, praeter Parisinos 2446 οἱ 9368, 
mentionem facit Gerhardtus (infra p. XIX). Ac librum qui- 


PRAEFATIO, ld 


dem Pappi septimum editor ille, quem minss alto- silentie 
de ea ' re uti optandum erat, ex alterutro Parisine repetivisse 
videtur, ex alio autem codice nescio quo Pappi librum octa- 
vum. Qua in parte quae sipt eodicis menda quaeque aliis 
ex causis orta (omnino sane baud pauca), nostrum non est 
scrutari; satis videtur hoc unum affirmare, in omni Gerhardti 
editione nihil usquam inveniri, quod codicum subsidium in- 
dicet diversum ab una illa familia, quae e Vaticano propa- 
gala est. — | | 

Guelferbyti cum anno 4864, edendis scriptoribus metro- 
logicis intentus, per paucos dies commorarer, inspexi Gudia- 
num Graec. 7, qui Pappi collectionis libros lII—VI ac par- 
tem septimi continet, quem in idem genus atque omnem re- 
centiorum gregem referendum esse facile apparuit. Testis 
est praeterea G. G. Bredow, qui in Epistolis Parisiensibus 
(Lipsiae 1812) p. 187—200 libri III extremam partem, quae 
est de .duplicaione. cubi (cap. 96—104) ex eodem codice 
edidit. | 

Praeterea commemoro Urbinatem Graec. 72, saeculi XVI, 
in quo liber septimus exstat, quem Romae inspexi et eius- 
dem,' quam totiens dixi, familiae esse cognovi, neque tamen 
conferre potui. 

Neapolitani codicis bibliothecae Borbonicae, qui ex Vati- 
cano 948 descriptus esse videatur, brevem mentionem fecit 
Adolphus Kiessling ea in epistula de qua supra dixi. 

De codice Vaticano, quo Torellius se usum esse dicit, 
infra (p. XX sq.) paucis exponam. 

. Vindobonensis codex suppl. LXV, saeculi XV, post He- 
ronis pneumatica habet Pappi collectionis libros III—VI et 
septimi initium usque ad verba cap..9 δείκνυσι δὲ ταύτην 
 πολλώνιος μὲν * * *. Pauca ex hoc Graeca affert Kolla- 
riu$ in supplem. ad Lambecii commentarios de bibl. Vindob. 
p. 432—436; sed ea ipsa satis aperte buius libri cum reli- 


XII PRAEFATIO. 


quis recentioribus cognationem ac :similitudinem declarent. 
Eiusdem "bibliothecae codex suppl. LXVII, omnes reliquias 
quae in hac nostra editione exstant continens, descriptus est 
ex Parisino 3440 (v. Koller. p. &40). 


Quoniam igitur omnis scripturae antiquitus traditae unus 
fons atque archetypus est Vaticanus, quem nota À insignimus, 
reliqui codices propter emendationes tantummodo et coniec- 
turas, si quae in iis occurrunt, respiciendi sunt. Ne multa, 
praeter Vaticanum, cuius auctoritate haec editio plane inni- 
titur,- primariam ubique rationem habui codicis B, id est 
Parisini 2440, et quaecunque in eo a variis viris doctis cor- 
recta vel alioqui mutata sunt diligenter adnotavi, omisi au- 
iem apertos scribae errores. Reliquorum recentiorum instar 
omnium elegi Scaligeranum, atque una littera S non solum 
hunc ipsum codicem notavi, sed etiam àlios recentiores aut 
consentire significavi, aut, si forte dissentirent, nihil mentione 
dignum ex iisdem enotandum fuisse. Tamen, ubicunque 
opus esse videbatur, Vossianum (V) et Commandini codicem, 
rarius Parisinos 2368 et 9369 diserte citavi. 


Sequitur codicum ac notarum conspectus. Est igitur 


Α zz cod. Vaticanus Graecus 218, cuius in scriptura 
distinxi ., 

ΑἹ zz ipsius librarii manum antiquam, ubicun- 
que haec praeter continuum textum ad 
primarios calami ductus, idque in medio 
describendi negotio, eut addidit aliquid 
aut correxit, 

ΑΞ z manum suppletricem, ipsam quoque an- 
tiquam οὐ eandem fortasse atque A!, 
quae nonnulla in describendo omissa, 
ex archetypo denuo collato inseruit, plu- 
rima praeterea correxit, 


ΡΑΛΒΕΑΤΙΟ. XIH 


A5 τὸ manum scholiastae, qui et scholia quae- 
dam passim margini adscripsit et fere 
librorum titulos ac subscripliones addi- 
dit, multa etiam emendavit, 


À* - recentiorem aliquam manum nec crebram 
nec satis ad emendandum idoneam, a 
qua differt alia, ut videtur, manus re- 
cenlior, quam ' 


À rec. significavi. "Vaticanum sequitur 


Parisinus 2440, in quo similiter distinxi 
B? — ipsius librarii manum correctricem, 


B? zz: manum cuiusdam correctoris mathemati- 
corum non ignari et qui ad aliud exem- 
plum librarii B apographum exigeret ac 
passim eam scripturam restitueret quae 
in Vaticano exstat, 


B* — aliam eiusmodi, sed nullo codicis sub- 
sidio (praeter ipsum B) innitentem. 


Has diversas manus separavi in adnotationibus 
ad eam Pappi collectionis partem, quam ipse 
cum codice B contuli; sed ad librum septimum 
et octavum a Waitzio variae eiusdem codicis 
scripturae rarissime adnotatae sunt, neque quid- 
quam nisi hoc, alteram scripturam primariam 
esse, alteram secundariam, tradi solet. Ergo 
in hac operis parte B non tam ipse est Pari- 
sinus quam Waitzii apographum, passim, ut 
cognovi, ab archetypi ductibus paulo aberrans; 
et praeterea nota tantummodo B* (qua scilicet 
correctum esse in codice aliquid significaretur) 
afferri potuit. Sequitur 


XN 


PRAEFATIO. 


- Lugduno-Batavus Scaligeranus 3 fol., cuius nota, 
sicut módo (p. XII) demonstratum est, alios quo- 
que recentiores codiées comprehendere solet. 
Quorum e numero compendiis scripturae no- 
tati sunt | 


Lugduno-Batavus Vossianus 48 fol, duabus di- 
versis manibus, sed ex uno codice archetypo, 
qui Parisino 2368 fuit simillimus, descriptus, 
cuius extremo folio haec leguntur " Amico inte- 
gerrimo simul et Doctiss. viro D. paulo petavio 
in suprema curia Senatori Raemundus massacus 
Dono dedit tertio nonas Novembres 1599", tum 


V? 2 vir doctus qui scholía nonnulla adscripsit et 


menda permulta correxit, denique 


cod. Co τῷ codex Commandini ab ipso citatus. 


Accedunt hae notae: 


| significat versus exitum in codice Α, 


/ 


spatia singularum litterarum, quae in eodem libro 
evanuerunt (supra p. VIL), 


- spatia singularum litterarum, ubi recentiorum codi- 


cum librarii propter evanidam in À scripturam, va- 
cuo spatio relicto, lacunas notaverunt. 


in Graeco contextu lacunam, in adnotatione singulas 


litteras in À erasas indicat. 


notae codicis adiectum significat dubitationem de 
scriptura quae silentio tantum, ut aiunt, confirmatur. 


in contextu scriptoris pro vulgari usu parentheseos 
signa sunt.: lídem uncini in adnotatione litterae co- 
dicis recentioris circumscripti, velut (B), declarant 
huius quidem codicis scripturam eandem esse atque 
eius, cuius nota ante uncinos posita est, sed nullam 


PRAKRFATIO, XV 


. fidem praestari de spiritu vel accentibus vel « sub- 
scripto vel » ἐφδλχυσεικῷ νοὶ] exeunte vocis οὕτως 
sigma vel etiam de linea super litteras geometricas 
ducta, Namque ipsius Vaticani, id est archetypi, 

. Scriptura diligenter enotata aliorum codicum in his 
minutiis varietatem adiungere plerumque inutile erat 
ei supervacaneum. 


[ ] interpolatorum additamenta notant, quos inter un- 
cinos, sicubi etiam hi () comparent, interpolatis iam 
verbis ab altero infelicis istius industriae aemulo 
aliud insuper interpretamentum insertum esse vi- 
detur. 


Super litteras geometricas et notas numerorum, ubicun- 
que nihil adnotatum est, in À lineam transversam ductam 
esse putato.  Varietatem autem ubique adscripsi, etiamsi de 
distinctione tantummodo vel coniunctione litterarum agebatur, 
velut pro 24 B, quod expressum sit in contextu, Vaticanum 
habere 4,18, atque alia id genus nusquam sciens equidem 
commemorare omisi. 


Quaecunque verba Graeco contextui coniectura sunt in- 
serta, ea diversis litteris exprimenda curavi, item cursivis 
litteris in. Latina interpretatione quidquid perspicuitatis causa 
ipse addidi. 


VIRORUM QUI PAPPI FRAGMENTA EDIDERUNT VEL INTERPRETATI SUNT 
| CONSPECTUS. 


. Sequuntur nómina vel nominum notae virorum doctorum, 
quorum emendationes, coniecturae, interpretationes frequen- 
tius laudandae fuerunt. 

Breton zz Recherches nouvelles sur les Porismes d'Euclide, 
por M. P. Breton (de Chomp), in annalibus qui inseribuntur 
Journal de mathématiques pures et appliquées publié par 


XVI PRAEFATIO. 


J. Liouville, tome XX, année 4855, p. 209—304. Edita sunt 
adhibitis codicibus Parisinis 3368 et 9440 Graeca huius edi- 
tionis libri VII cap. 13—920; eadem in Francogallicum ser- 
monem conversa. voluminis citati pag. 241—248. Tum Bre- 
tonus Pappi lemmata (libri VII cap. 193—932) liberius in 
eundem sermonem convertit, quibus inde a pag. 247 varia 
ad explicandam porismatum rationem addidit. Denique ap- 
pendicis instar pag. 299—303 propositiones de locis planis, 
quas Pappus (VII cap. 23—926) breviter affert, adiunctae sunt. 
Atque iteratis etiam curis omnem quaestionem quae est de 
porismatis Bretonus tractavit in iisdem annalibus Deuxiéme 
série, tome II, année 1857, p. 485—205, et tome III, année 
1858, p. 89—142. Equidem in hac editione primum Bre- 
toni tractatum secundum singulas paginas citavi, eas autem 
quae secutae sunt disputationes et controversias hoc loco se- 
mel commemoravisse satis fuerit. 

Ca τῷ Apollonii de tactionibus quae supersunt, ac ma- 
xime lemmata Pappi in hos libros graece nunc primum edita 
à loanne Guilielmo Camerer, Gothae 1795, et Apollonius von 
Pergen ebene Oerter. Wiederhergestellt von. Robert. Simson. 
Aus dem Lalteinischen übersezt von Johann Wilhelm Camerer, 
Lipsiae 1796. . Quorum librorum prior continet huius edi- 
tionis libri VII cap. 44. 42. 458—184, alter libri VII cap. 
21—26. 185—192. De ratione critica quam in libro de 
tactionibus tenuerit sic disserit auctor p. 19 sq.: "In eden- 
dis his lemmatibus, quae nunc primum, e duobus codicibus 
bibliothecae olim Regiae Parisiensis, codice nempe 2368 et 
$440 descripta, collato etiam alio codice, qui Argentorati in 
bibliotheca Academica servatur, Graeco sermone prodeunt, 
ita versatus sum, ut, si unus saltim codex lectionem com- 
modam haberet, eam amplecterer, neglecta prorsus inepta 
reliquorum lectione, si vero nullus omnino lectionem haberet, 
quae intelligi posset, meo sensu plerumque lectionem resti- 


PRAEFATIO. XVII 


tuerem, indicata tamen in margine msptorum lectione, si du- 
bius essem, dubia pariter in inargine notarem". Prorsus 
iisdem codicum subsidiis eademque ratione critica in altero 
libro, qui reliquias de locis planis continet, Camererus usus 
est (vide illic praef. p. VI sq.) 

Chasles — Les trois livres de porismes d'Euclide, rétablis 
pour la premiere fois, d'aprés la notice et les lemmes de Pap- 
pus, et conformément au sentiment de RB. Simson sur [a forme 
des énoncés de ces propositions; par M. Chasles, Paris 4860. 
Francogallico sermone vel liberius expressa vel in brevius 
contracta sunt quae in hac Pappi editione libri VII cap. 13— 
90. 493—932 leguntur. Praeterea quaecunque vir acutissi- 
mus ad restituendos Euclidis libros porisimatum contulit, ea 
ex Pappi reliquiis se repetivisse ipse commenmorat p. 86. 
Invenit autem suo ingenio porismata CCXXI, id est aliquanto 
plura quam ipse Euclides, siquidem verba quae VII cap. 20 
extr. leguntur: τὰ τρία βιβλία τῶν πορισμάτων — ϑεω- 
ρημάτων ἐστὲν ροα' sine numeri errore tradita et, id quod 
mihi quidem dubium videtur, ab ipso Pappo scripta sunt. 

Co — Pappi Alexandrini mathematicae collectiones a Fed. 
Commandino Urbinate in Latinum conversae et commentariis 
illustratae, Venetiis apud Franciscum de Franciscis Senensem, 
4589 et (quod ad calcem legitur, Pisauri apud Hieronymum 
- GConcordiam 1588. Eadem editio nullo nisi primo folio mu- 
tato paulo post repetita est sub hoc titulo: Fed. Commandini 
— commentaria in libros octo mathematicarum collectionum 
Pappi Alexandrini — ad Seren. Franciscum Mariam II. Ur- 
bini Ducem, Pisauri apud Hieron. Concordiam 1602. [Itaque 
cum tres editiones commemoret Fabricius in biblioth. Graeca 
(vol. IX p. 173 ed. Harles), quae Pisauri 1988, Venetiis 1589, 
Pisauri 1602 prodierint, pro illis haec una tantum quam 
statim attulimus numeranda est. Alteram editionem Carolus 


Manolessius Bononiae a. 1660 in publicum emisit incredibili 
* 


XVIII PRAEFATIO. 


paene cum ignorantia ac temeritate. Qui cum statim in ti- 
tulo iactaverit Commandini commentarios ab innumeris, qui- 
bus scaterent, mendis, et praecipue in Graeco contextu, di- 
lizenter vindicatos esse, et in praefatione gloriose addiderit 
emaculatiorem aut diligentiorem editionem nullam hac sua 
fieri posse, tamen nec quidquam quod dignum mentione esset 
sua industria addidit et Graecas scripturas 8 Commandino 
plerumque recte, interdum mediocri cum errore enotatas ad 
immanes corruptelas detorsit et hoc re vera assecutus est, 
ut maculatior aut indiligentior editio vix ulla cogitari possit. 
Sed redeo ad Commandinum, qui quam egregie de Pappo 
meritus sit, ut in re manifesta, non opus est demonstrare. 
Neque solum ad theoremata et problemata, quae in hanc 
eollectionem congesta sunt, interpretanda atque illuswanda 
laudabilissimam operam attulit, sed etiam Graeca verba to- 
liens et tam feliciter emendavit, ut, si pares aemulos ha- 
buisset eos qui secuti sunt fragmentorum editores, Pappi 
contextum qui legi posset iamdudum haberemus.  Correxit 
autem vel ipsa Graeca verba, scriptura codicis sui diserte 
allata, vel tacite in interpretatione pro Graecis corruptis po- 
suit emendata Latina. [Itaque ubicunque postea ab alio edi- 
tore id Graece expressum est quod Latine significaverat Com- 
mandinus, illum quidem, ut par erat, citavimus, sed simul 
eius emendationis auctorem esse Cómmandinum adiunximus. 
Contra si eiusdem coniecturas Latina interpretatione signifi- 
catlas non recepimus, eas tamen verbis " voluit Co" in Grae- 
cum sermonem translatas apposuimus in adnotatione. 

Ei — Πάτιπου ovvayoyat. Pappi Alexandrini collectio- 
nes inathematicae nunc primum Graece edidit Herm. los. 
Eisenmann. Libri quinti pars altera. Parisiis 1824.  Trac- 
tatum de solidorum corporum comparationibus, i. e. libri V 
capita 33—14105, omissa accentuum notatione, exhibet editor 
uno subsidio codicis Parisini 2368 usus, cuius nonnullos er- 


PRAEFATIO. XIX 


rores emendavit, plurimos retinuit, quosdam etiam mirum in 
modum auxit. Multae deprehenduntur lacunae, quae, si co- 
dicem Parisinum 2440 inspicere non libebat, ex Commandini 
sallem versione expleri poterant, multa libero arbitrio eoque 
vix unquam felici mutata sunt, omnino, quamvis Graeca edita 
sint, tamen hic liber multo longius abest a vera Pappi scrip- 
tura quam Commandini versio Latina. 

Ge — Die Sammlung des Pappus von Alexandrien. Grie- 
chisch und. deutsch herausgegeben von. C. J. Gerhardt, zweiter 
Band, Halle 1874, continet librum septimum et octavum. 
Quibus libris manu scriptis editor usus sit, incertum est, nisi 
forte e notula ad pag. 216 codices Parisinos 2368 et 9410 
inspectos esse licet concludere. Praeterea pag. 300 Ambro- 
sianus 266 ab editore commemoratur (conf. supra p. X sq.) 

Ha -— Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo ex 
Arabico MSto latine versi. Accedunt eiusdem de sectione 
spatii libri duo restituti. Praemittitur Pappi Alexandrini prae- 
fatio ad VlI?"* collectionis mathematicae, nunc primum graece 
edita: cum lemmatibus eiusdem Pappi ad hos Apollonii 
libros. Opera et studio Edmundi Halley, Oxonii 1706, et: 
Apollonii Pergaei conicorum libri IV priores cum  Pappi 
Alexandrini lemmatis ex codd. MSS. Graecis edidit Edmundus 
Halleius, Oxoniae 1710. Horum Halleii egregiorum operum 
prius continet huius editionis libri VII cap. 1 —67, alterum 
eiusdem libri cap. 233—311. 1n praefatione ad libros dc 
sectione rationis, "Pappi", inquit, "praefationem non antehac 
graece, immo vix latine editam operibus hisce praemisi; pri- 
stinae integritati, quoad eius fieri potuit, restitutam e duc- 
bus codd. MSS. bibliothecae Savilianae. Verum, ut ingenue 
fatear, manum adhuc medicam postulat. Nam ut Graeca 
Pappi in hisce codicibus saepiuscule luxata sunt et depra- 
vata, praecipue in descriptione porismatum Euclidis (ubi ni- 
hil fere sani occurrit) , ita in plerisque absurda adeo et in- 


΄ 


XX PRAEFATIO. 


sulsa erat Commandini versio, ut necesse habuerim aut pas- 
sim eam emendare aut aliam de novo conficere". Ex iisdem 
codicibus Pappi ad Apollonii conica lemmata primus edidit. 

Haumann zz Versuch einer Wiederherstellung der Bücher 
des Apollonius von Perga von den Berührungen, von C. G. 
Haumann, Breslau 1817. — Graece repetita sunt ea quae Ca- 
mererus libro de tactionibus (v. supra p. XVI) ediderat. 

Horsley — Apollonii Pergaei inclinationum libri duo. Re- 
stituebat Samuel Horsley. Oxonii 1770. Graece edita sunt 
huius editionis libri VII cap. 27. 28. 196. 

Hu zz editoris emendationes vel coniecturae. 

Sca τῷ notae quas Scaliger inter lineas vel ad marginem 
sui codicis (v. supra p. VIII) adscripsit. 

Simson τὸς Apollonii Pergaei locorum planorum libri duo 
restituti a Roberto Simson, Glasguae 1749. Ex Hallei libris 
de sectione rationis ea quae in hac editione libri VII cap. 
231—926 leguntur repetita partimque emendata sunt e codici- 
bus Parisinis 2368 et 2440 a Iacobo Moor collatis (v. illic 
praef. p. X). Praeterea Pappi ad hos Apollonii libros lemmata 
(in hac editione libri VII cap. 185 sqq.) Latino sermone expressa 
Simsonus Ápollonio suo restituto inseruit ac nonnulla ita cor- 
rexit, ut ipse Graecus contextus inde emendari posset. ltem 
uberrimi fructus redundarunt ex Apollonii sectionis deter- 
minatae et porismatum libris ab eodem viro subtilissimo re- 
stitutis in volumine quod inscribitur " Roberti Simson opera 
quaedam reliqua post auctoris mortem in lucem edita cura 
lacobi Clow. Glasguae 1776", quibus libris etsi Graeca non 
edidit, tamen ad restituenda genuina Pappi verba formulas- 
que plurimum contulit. 

To z losephi Torelli Veronensis geometrica, Veronae 
4769. Edita sunt p. 89—96 Pappi libri IV capita 45—52 
ex "Vaticanae bibliothecae codice mss.,' ut ipse ait praef. 
p. XIll. Qui codex num idem fuerit ac noster À, propterea 


PRAEFATIO. XXI 


difficilius est iudicatu, quia, si forte Torellius aliter quid ad- 
notet ac nos in À invenimus, id vel illius errore vel vitio 
apographi, quod ille exarandum curaverit, factum esse vi- 
deatur. Attamen in paucis paginis tot et tantae discrepan- 
tiae a Torellio afferuntur, ut codicem Vaticanum, quo ille 
usus est, alium ac nostrum ἃ fuisse veri sit simillimum. 
Itaque nos non omnem istam variam scripturam in hanc edi- 
onem recepimus; nam quaecunque in illo Vaticano ab À 
discrepant ex describendi neglegentia originem duxerunt ideo- 
que nulla sunt auctoritate. | 

Vincent τὸ Considérations sur. les Porismes en général et 
sur ceur d' Euclide en particulier. | Excamen et refutation de 
l'interprétation donnée par M. Breton (de Champ) auo textes 
de Pappus et de Proclus relatifs aux: Porismes. Par A. J. H. 
Vincent. Etenim cum Vincentius in annalibus qui La Science 
inscribuntur contra Bretoni de porismatis commentarium dis- 
putare instituisset, plura ab utroque diversis iudiciis in mc- 
dium prolata sunt; denique Vincentius, quaecunque de hoc 
argumento prius scripserat, ea subtilissime retractavit eo quem 
stalim attuli commentario, qui prodiit in Journal de mathé-- 
maliques pures et appliquées publié par Liouville, deuaiéme 
série, tome IV, année 1859, p. 9—46. Praeterea de Pappo 
optime meritus est Vincentius edito mechanicorum fragmento, 
de quo in adnotatione ad libri VIII cap. 19 commemoratum est. 

Wa - lohannis Wallis operum mathematicorum volumen 
IH, Oxoniae 1699. Cuius voluminis pag. 597—610 Wallisius 
Pappi libri secundi reliquias iteratis curis edidit, postquam 
primum a. 41688 eas in lucem emiserat. Ibidem p. 570— 
979 et 578—580 inter Aristarchi Samii de magnitudinibus 
solis et lunae propositiones insertum est fragmentum Pappi 
sexti libri cap. 69—79. Quo codice usus sit, sic breviter 
commemorat editor p. 596: "Cum itaque inter codices manu- 
scriptos ab .. . Henrico Savilio bibliothecae mathematicae in 


XXII | PRAEFATIO. 


usum professorum suorum datos inciderim iam dudum in 
Pappi codicem MS. Graecum, qui continet non tantum Pappi 
librum tertium cum sequentibus, sed secundum etiam, non 
quidem integrum, sed ipsius partem non contemnendam, ex 
qua de reliquo iudicium fiat: facturum me putabam opus 
mathematicis haud ingratum, fragmentum illud ex MS. eru- 
tum tunc primum anno 1688 in lucem mittere". 

Quaecunque alii viri docti ad Pappi reliquias emendandas 
passim attulerunt, ea suis. quaeque locis in adnotatione citata 
sunt plenis librorum titulis adscriptis. 


DE INTERPRETATIONE LATINA. 


Interpretationem Latinam ita conformare studui, ut ab 
huius aetatis et mathematicis et philologis, etiamsi in Graecae 
dictionis mathematicae proprietate minus versati essent, com- 
mode intellegi posset. Ergo, quantumcunque Graecus scrip- 
tor, servato utique vetusti sermonis colore, concessurus esse 
videbatur, formulas recentioris consuetudinis adhibui vel 
eas, primum Graecis verbis strictius translatis, postmodum 
"apposui. Praeterea et in indice, qui partem tertii voluminis 
occupabit,. omnia vocabula mathematica illustravi, et statim 
in ipsa interpretatione vel in adnotationibus, ubi opus erat, 
explicavi; pauca, quae longiorem disputationem requirerent, 
ad appendicem item tertio volumini inserendam reieci. Om- 
nino autem nunquam et Graecum et veterem mathematicorum 
scriptorem a me edi et illustrari oblitus sum, et, quidquid 
mea coniectura addendum esse videretur, his me continui 
finibus, ut aut aliorum veterum scriptorum theoremata ad 
singulos Pappi locos utilia, ubicunque inveniri possent, cita- 
rem, aut, si non invenirentur et tamen Pappum eorum ra- 
tionem habuisse constaret, ex ipsa veterum mathematicorum 
arte ac disciplina restituere conarer. Plurima etiam illu- 
strare contigit hac ratione, ut demonstrationem a Graeco scrip- 


PRAEFATIO. XXIII 


tore in brevius contractam, interpositis eis quae ille tacite 
suppleri vellet verbis vel sententiis, planam et perspicuam 
redderem. 


DE QUIBUSDAM GRAECORUM MATHEMATICORUM FORMULIS. 


Denique ne quis in dicendi genere saepissime apud Pap- 
pum obvio atque a nostra dictione alieno haesitet, hic bre- 
viter, quas formulas in proportionum latissimo usu Graeci 
mathematici adhihere soleant, explicare propositum est. 

Ex Euclidis praeceptis (elem. 5 def. 13—417) proportio 
&:f8 —y:Ó0 has variationes suhire potest: 

ἐναλλάξ, i. e. alterna ratione sive vicissim (quod pleri- 
que etiam permutando dicere consueverunt), ἃ: y Ξε β: ὃ, 

ἀνάπαλιν, i. e. inversa ratione sive e contrario, B : « 
Ξε δ: γ 

συνθέντι sive χατὰ σύνϑεσιν, i. e. componendo sive per 
compositionem, ἃ 4- B : B — y - 0: ὃ, 

διελόντι sive κατὰ διαίρεσιν, i. e. dirimendo sive per 
diremptionem (vulgo dividendo et divisione rationis dicere so- 
lent), α --β: β-ὸὺ -- δ: ὃ, 

ἀναστρέψαντι, i. e. convertendo, α: α — B y:y — ὃ. 

Similiter quaenam fiant, si sit & : $— y : δ, cum Eu- 
clides omiserit demonstrare, addit Pappus VII propos. 3 sqq. 

Porro secundum elem. 5 propos. 12 et 19, si rursus 
ponatur a : 8 — y : δι, additione vel subtractione sunt 

ad y:gktó-aoa:fB-—y:à, 
quae ratio vocabulis συναμφότερος sive ὅλος, et in sub- 
tractione adiectivo λοιπός significari solet. 

Schema δι᾽ ἴσου sive ex aequali secundum elem. 5 
defin. 18 et propos. 22 hoc est. Si sit 

α:β- δ: ε, οἱ 
B:y- 6:0, hinc efficitur 
«:y —6:L 


XXIV PRAEFATIO. 


Similiter συνημμένος sive συγκείμενος λόγος, quam nos 
formulam compositae proportionis diximus, efficitur multipli- 
calis inter se duabus proportionibus. Velut si sit 


y 6m 

id quod pro veterum usu ex elem. 6 propos. 23 et 4 geo- 
metrica ratione concluditur. 

Denique est formula μέγεϑος μεγέϑους δοϑένει μεῖζον 
ἢ ἐν λόγῳ, in datorum theorematis passim obvia, quam ad 
verhum interpretari Latine, quamvis languida et subobscura 
haec versio esset, necesse fuit. Hac igitur formula veteres 
auctore Euclide (dat. defin. 14) significant in proportione 

a—»y:f 

non ipsas quidem magnitudines α et 9 datas esse, at datam 
et magnitudinem γ et proportionem α — y: f. Similiter àAoc- 
σον ἢ ἐν λόγῳ, sive α 4- y : B, explicandum est. Conf. Chasles 
Apercu historique p. 8 versionis Germanicae, et Fr. Buch- 
binder Euclids Porismen und Data, programm. scholae Por- 
tensis a. 1866, p. 44. 


Scribebam Dresdae d. XXVI m. Octobris a. MDCCCLXXV. 


IIAIIIIOY AAEEANAPEQZ ΣΥΝΑΓΩΡῊ. 


A ——ÀÀ € 


PAPPI ALEXANDRINI 
COLLECTIONIS RELIQUIAE. 


Pappus I. ᾿ 1 


1 ^ γὰρ αὐτοὺς ἐλάσσονας μὲν εἶναι ἑκατονεάδος μετρεῖς- 
σϑαι δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν 
εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς. 

Ἔστωσαν οὖν οἱ ἀριϑμοὶ v ν΄ v μ΄ μ΄ X^ ἔσονται ἄρα 
οἱ πυϑμένες & & ε΄ δ' 0 y'* ὁ ἄρα ἐξ αὐτῶν στερεὸς γί-- ὃ 
ψδται μονάδων c. καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆϑος τῶν δεκάδων ἐστὶν 
ς΄ καὶ μετρούμενον ὑπὸ τετράδος λείπει δύο, ἔσται Ó ἐξ 
αὐτῶν στερεὸς [τῶν δεκάδων] μυριάδων ἁπλῶν ἑκατόν. καὶ 
ἐπεὶ ὃ ἐκ τῶν δεκάδων στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυϑμένων 
στερεὸν ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν ἐξ ἀρχῆς στερεόν, ai ἄρα μυριά- 10 
δὲς ρ΄" ἐπὶ τὰς μονάδας ς γενόμεναι ποιοῦσιν μυριάδας E 
διπλᾶς, ὥστε ὃ ἐκ τῶν ν' ν' v u' μ΄ λ' στερεός ἐστιν μυ- 
οιάδων ξ' διπλῶν. 

2 ιε΄. Ἔστωσαν δὴ πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριϑμοὶ ἐφ᾽ ὧν 
τὰ B, ὧν ἕχαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρείσϑω δὲ ὑπὸ 15 
ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν 
μὴ πολλαπλασιάσαντα τοὺς ἀριϑμους. 

Γεγονέτω, καὶ ὃ διπλάσιος τοῦ πλήϑους αὐτῶν μετρεί- 
σθω πρότερον ὑπὸ τετράδος, καὶ ὑποχείσϑω ὑπὸ ἕκαστον 
τῶν B ἑκατοντὰς ἡ α΄, καὶ καϑὸ μετρεῖται ἕχαστος τῶν B20 


4. ἐλάσσονος ASV, corr. BV? — 2. αὑτὸν (sine spir.) A, corr. BS 
&. of — μ΄ λ΄ add. Wa 5. of πυϑμένες ante 4. ἔσονται ἄρα ABS, 
transposuit Hu 6. μονάδων BS, ἡ A 7. ς΄ Wa pro xs 
8. τῶν δεχάδων del. Hu 9. τῶν δεχάτων Α, corr. BS 44. uo- 
νάδας BS, LA γινόμεναι V! Wa — 12. νννμ μὰ A(S), distinxit B 
44. ιε΄ add. Hu, ic! Wa δὲ Wa ὅσοι δήποτε ovv AB, corr. S 
48. Γεγονέτω add. Hu 40. τῶν 8 SWa, τῶν dvo AB utroque loco 





Pappi Alexandrini collectionis libri II reliquiae. 


(Vide commentarios appendicis loco adiunctos.) 


«x nam supponitur eos numeros minores esse centenario Prop. 
et per denarium divisibiles, et oporteat solidum numerum ex 
115 productum dicere, neque tamen ipsos multiplicare. 

Sint igitur numeri $0 50 50 40 40 30; erunt igitur nu- 
meri fundamentales 5 5 5 4 4 3, qui inter se multiplicati 
efficinnt 6000. . Et quia decades sunt numero 6, qui nume- 
rus si per & dividitur, prodit quotiens 4 et restant 2, solidus 
numerus ex his decadibus productus erit 400 myriadum sim- 
plicium. Et quoniam productum ex decadibus multiplicatum 
cum producto ex numeris fundamentalibus efficit productum - 
ex numeris qui ab initio propositi sunt, myriades igitur 100 
cum 6000 multiplicatae efficiunt duplas myriadas 60, sive 
60 -10000?. 

XV..Sit iterum quotcunque numerorum series f, singuli Prop. 
autem numeri sint minores quam 1000 et divisibiles per 
400, et oporteat solidum numerum ex his productum dicere, 
neque tamen singulos numeros multiplicare !). 

Factum iam sit, et quaeratur, quot sint. singuli numeri ; 
quol autem sunt, hic ipse numerus duplicatus sit primum per 
k divisibilis, et sub quemque seriei A numerum ponatur 100, 


*) Hanc propositionem quintam decimam numerat Wa et sic porro 
reliquas, praeter codicis A auctoritatem. 


4) Nonnulla in hac propositione itemque in demonstratione ob- 
scuriora videntur, quia et priores Pappi propositiones et Apollonii liber, 
qui de hac numerorum doctrina scriptus erat, perierunt. Tamen com- 
mentarii instar habendae sunt propositio, quae sequitur, decima sep- 
tima et aliae deinceps. Praeterea conf. append. ad hanc propos. 

1* 


4 | IITAHIMOY ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ B. 


ὑπὸ τῆς ἕξκατοντάδος ἔστωσαν oí ἐφ᾽ ὧν xà I" πυϑμένες 
ἄρα εἰσὶν οἵ ἐφ᾽ ὧν τὰ Γ τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ B. ὁ δὲ διὰ τῶν 
πυϑμένων στερεὸς ἔστω ὃ E [τουτέστιν μονάδες ox]. δεί- 
κνυται οὖν διὰ τῶν γραμμῶν ὃ διὰ τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ B στε- 
ρεὸς μυριάδων διπλῶν 9x, ἐπειδὴ καὶ ó διὰ τῶν ἐφ᾽ ὧνδ 
τὰ Β στερεὺς ἴσος ἐστὶν τῷ διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεῷ 
ἐπὶ τὸν ἐχ τῶν πυϑμένων στερεόν, τουτέστιν διτελῆ μυριὰς α΄ 

᾿ ἐπὲ τὰς ox' μονάδας. 

3 4AÀ ὃ διπλάσιος τοῦ πλήϑους τῶν ἐφ᾽ ὧν và B μὴ 
μετρείσϑω ὑπὸ τετράδος" μετρούμενος ἄρα λείψει δυάδα ἐξ 10 
ἀνάγκης (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), ὥστε καὶ ὃ διπλάσιος 
τοῦ πλήϑους τῶν ἑχατοντάδων μετρούμενος ὑπὸ τετράδος " 
τὸ ἄρα πλῆϑος τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενον ὑπὸ δυάδος 
λείψει μέαν ἑκατοντάδα. ὃ τοίνυν διὰ τῶν ἑἕκατοντάδων 
στερεὸς ἔσται μυριάδων ρ' ὁμωνύμων τῷ Ζ, τουτέστι διπλῶν, 15 
dore δῆλον ὅτι ὃ διὰ τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ B μυριάδες εἰσὶν Q' 
ὁμώνυμοι τῷ Ζ γενόμεναι ἐπὶ τὸν E [τὰς Qx μονάδας]. 
γίγνονται μυριὰς μία δισχίλιαι διπλῶν μυριάδων. 

4 ις΄. Ἔστωσαν δύο ἀριϑμοὶ οἱ 44 B, καὶ ὁ μὲν 4 ὗπο- 
κείσϑω ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἕκατον- 20 
τάδος, οἷον μονάδες o, ὁ δὲ B ἐλάσσων μὲν ἑἕκατοντάδος 
μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, οἷον μονάδες u', καὶ δέον ἔστω 
τὸν ἐξ αὐτῶν ἀριϑμὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς. 

4. οὗ ἐφ᾽ ὧν τὰ ΓῚ of C ABS, οἱ ς B!, of σ S, I^ (omisso of) Wa, 
ἐφ᾽ ὧν τὰ add. Hu. 2. τὰ Γ Wa, τὰ C c super versum) A, τὰ c B3S, 
τὰ (omisso g) B! 8. πυϑμένων — 5. ὁ διὰ τῶν om. Α΄, add. A? in 
marg. es 8. ὁ E Wa, ὁ 1 A?B, ὁ déxa 8 τουτέστιν ἢ ox A?, 
del. Hu τὰ ὰ β SWa, τὰ δύο AB, item vs. 6 8. μονάδας BS, 
RA 9. y" ὃ Hu pro ἀλλα (sine acc.) 10. post ἄρα add. x«r& 
τὸν Z Wa (conf. adnot. ad Latina) 43. μετρούμενος Wa pro ue- 
τρεῖται, qui praeterea post ὑπὸ τετράδος addit κατὰ τὸν Z λείψει δυάδα 
(sed haec tacite intellegi voluit scriptor) 13. δυάδος Wa pro τετράδος 
45. ὁμωνύμων τῷ Z Wa, ὁμωνύμωι ἃ Ν Α(Β) ; ὁμωνύμων S 16. ρ΄ 
Wa prodéo 41. τῷ Z Wa pro τῶι Ν τὸν E Wa pro τὸν I. τὰς ox 
B A, del. Hu 18. γένονται δὲ Wa, τουτέστεν coni. Hu 9. ες 
A! in marg. (BS) of 4.8 A (id est o£ .4B correctum in οὗ 4 B) 
44. oiov μονάδες «p add. B Savilianus (οἷον μονάδων «q' add. V?), in A 


LIBER H. PROPOS. 46. 5 


ei divisione per 100 facta existat series y; ergo numeri se- 
riei y fundamentales sunt numerorum seriei 8. Sit autem 
numerus solidus ex fuudamentalibus productus &. Jam lineari 
demonstratione?) ostenditur numeris seriei 7 inter se multi- 
plicatis effici duplas myriadas 490, quoniam numerus solidus 
e numeris seriei β productus aequalis est solido ex centena- 
ris numero multiplicato cum numero producto ex funda- 
mentalibus, id est — 4100002. 190. 

Sed, quoil sunt singuli numeri in serie B, horum nu- 
. merus duplicatus ne sit divisibilis per 4; erit igitur — 4C -4- 2; 
hoc enim antea demonstratum est, ubi C significabat, quotuplae 
essent myriades?). Itaque etiam centenariorum numerus 
duplicatus erit — ἀξ -- 2; ideoque ipse centenariorum nu- 
merus — 2L - 1|. Ergo solidus numerus e centenariis pro- 
ductus erit 100 myriadum potentiae C"), id est duplarum; 
itaque apparet productum ex numeris seriei 9'"") esse z 
400.400005.e, id est 49000.400002, 

XVI. Sint duo numeri « 8, quorum prior ponatur minor PrOP- 
quam 1000 et divisibilis per 100, velut 500, alter autem mi- 
nor quam 100 et divisibilis per 10, velut 40, et oporteat so- 
lidum numerum ex his productum dicere, neque tamen ipsos 
multiplicare. 


2) Graeca δεέκνυται οὖν διὰ τῶν γραμμῶν sine dubio ad Apollonii 
librum spectant, non ad lineas quasdam cum nolis maximam partem 
corruptis in codice adscriptas, e quibus nulla demonstratio concinnuri 
potest. Quapropter nos, perinde ac Wallisius, eas figuras repetere 
omisimus; probabilem autem descriptionem restituimus in appendice. 

3) Numerus igitur singulorum numerorum seriei B ponitur περισσός 
sive impar, qui duplicatus si per 4 dividitur, restant 2, quotiens autem 4 
significat myriadis potentiam; ergo, Si & z 3 ponitur, sunt μυριάδες 
διπλαὶ — 100002, 

*) Ergo illa quam ex Graecis effecimus formula 9 ᾧ - 4, cum 
centenarii numeri supponantur, significat (4002)5. 400; habes igitur in 


nuce, ut aiunt, ipsam logarithmorum doctrinam. 
**) Vide append. ad hanc propositionem. 


sex septemve litterae erasae 42. δεέχατος (sine acc.) et 41 super v A* 
μονάδες u Β (μονάδων u S), ἃ ἃ A 48. ἀριϑμὸν)] στερεὸν Wa (de- 
buit τετράγωνον) 


$ 


6. 


6 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHS B. 


Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριϑμῶν" oi γὰρ ε΄ δ΄ πυϑ- 
μένες αὐτῶν ὄντες [μο. € καὶ uo. δ πολλαπλασιασϑέντες 
ποιοῦσι μονάδας x , χιλιάκις δὲ ὃ x' ἀριϑμὸς ποιεῖ μυριᾶ- 
δας δύο ποιούδας vÓv ὑπὸ τῶν Αἱ B γινόμενον. τὸ δὲ 
γραμμιχὸν δῆλον ἐξ ὧν ἔδειξεν ΑΙἰπολλώνιος. 5 

ιζ΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ v ϑεωρήματος. Ἔστω πλῆϑος ἀριϑ- 
μῶν τὸ ἐφ᾽ ὧν τὰ «4, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδὸς 
μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλο πλῆϑος ἀριϑμῶν 
τὸ ἐφ᾽ ὧν và B, ὧν ἕχαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος uetoot- 
μένος δὲ brrü ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν ἐφ᾽ 10 


. ὧν τὰ Αἱ B στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσανέα αὐτούς. 


Ἔστωσαν γὰρ πυϑμένες τῶν μὲν ἐφ᾽ ὧν τὰ Αἱ οἱ ἐφ᾽ 
ὧν τὰ H, μονάδες o καὶ β' xai γ' καὶ δ΄, τῶν δὲ ἐφ᾽ ὧν 
và B οἱ ἐφ᾽ ὧν τὰ Θ, μονάδες β' καὶ y' καὶ δ' καὶ &, 
xai ληφϑέντος τοῦ ἐκ τῶν πυϑμένων στερεοῦ [rÀ» 8' y' à 15 
B' y δ' εἼ, τουτέστιν τοῦ E, μονάδων ὄντος βωπ', τὸ 
πλῆϑος τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ 44 προσλαβὸν τὸν δυπτλασίονα τοῦ 
πλήϑους τῶν ἐφ᾽ ὧν và B μετρείσϑω πρότερον ὑπὸ τε- 
τράδος [κατὰ τὸν Z, μετρεῖ δὲ αὐτούς]. χαὶ δείκνυσιν ὃ 
ΑἈΙπολλώνιος τὸν ἐκ πάντων τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ .4 B στερδὸν 20 
μυριάδων τοσούτων, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ E μονάδες, ὁμωνύ.--: 
μων τῷ Ζ ἀριϑμῷ, τουτέστιν τριπλῶν μυριάδων | Borm. 
[μία γὰρ μυριὰς ὁμώνυμος τῷ Z, τουτέστιν τριπλῆ, ἐπὶ 
τὸν E, τουτέστιν và wm, γενομένη ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν 
στερεῶν ἀριϑμὸν τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ 44 B: ὃ ἄρα ἐκ τῶν }ὅ 
ἀριϑμῶν στερεὸς τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ Αἱ B μυριάδες eloiv το- 
σαῦται, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ E μονάδες, ὁμώνυμοι τῷ Z 
ἀριϑμῷ.] 
ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆϑος τῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ .4, προσλαβὸν 


|. οἱ γὰρ EZ A(BS), corr. Wa 4. βἙ καὶ  4Δ, μονάδες € 
καὶ À' d B (μονάδων c κἀὶ μονάδων d S), del. Hu. 8. lx ΑΒ post 
μονάδας x' add. Wa οἱ δὲ ρ΄ xal 4' πολλαπλασιασϑέντες ποιοῦσι χέλια 
ς. τῶν 4B A, distinx. BS &. 5. τὸ δὲ — Ἀπολλώνιος om. B! Savi- 
lia&us (exstant ih A Parisino 2868 SV, in B add. man. 8) 6. i£ A! in 
marg.(BS)  :4'add.B? Wa ἀριϑμῶν om. ABS, τῶν ἀριϑμῶν edd. Wa 
8. τῶν ente ἀριϑμῶν add. S Wa 9. τὸ (ante ἐφ᾽ e») Hu pro τῶν, 


LIBER 11. PROPOS. 41. 7 


Apparet autem, si computalio per numeros fiat. Nam 
numeri fundamentales 5 4 inter se multiplicati efficiunt 20, 
εἰ centenarius cum denario multiplicatus | efficit. 14000, et 
1000 . 20 sunt 2 myriedes, id est productum e numeris a f. 
Linearis autem descriptio manifesta est ex Apollonii demon- 
statione 1). 

XVII. In Apollonii theorema XVIII. Sit series numero- PP 
rum &, quorum singuli minores sint quam 100 et divisibiles 
per 1/0, et alia series numerorum f, quorum singuli minores 
sint quam 1000 et divisiblles per 100, et oporteat solidum 
numerum ex numeris serierüm a : β pr oductum dicere, neque 
tamen ipsos multiplicare. 

Etenim fundamentales numerorum seriei α comprehen- 
dantur serie 7, scilicet 4 2 3 4, et fundamentales numerorum 
seriei B serie 9, scilicet 2 3 4 5, et sumpto solido numero, 
qui ex fundamentalibus efficitur, id est & — 2880, quaeratur, 
quot sini numeri in serie a. quoique in. serie 8; quot autem 
sunt in serie « et bis tot quot sunt in serie B, haec summa . 
sit primum per & divisibilis, sitque quotiens C. Et demon- 
strat Apollonius solidum numerum ex omnibus numeris se- 
rierum « β productum myriadas potentiae ζ tot habere, quot 
sunt unitates in e, id est 100008. 9880. (Hic vocetur pri- 
mus propositionis casus.) | 

Sed, quot sunt numeri in serie a et bis tot quot sunt 


4) Vide append. ad hanc propos. 


om. B Savilianus μὲν add. Hu. 11. rà .4B A, distinx. BS 48. À 
ABS τῶν δὲ — 44. y' xai δ΄ om. A!, add. A? in marg. (BS) 48. τῶν 
I δὲ A2BS, corr. Wa 44. ἃ 2858 45. 46. τῶν ΒΓΖΩ ΒΓΖῈ AS, 
distinx. .B, del. Hu 46. μονάδων S, ἡ A, μονάδος B “ΒΩΠ AB, 
Bet S 47. προσλαβὸν Wa pro προσλαβόντα διπλασιασονὰα (sine 
acc.) A, alterum «o expunxit prima manus — 19. χατὰ τὸν Z — av- 
τοὺς interpolatori tribuit Hu — 30. τὰ 4B A, distinx. BS, item post- 
hac — 21.22. ὁμωνύμων τῷ Wa pro ὁμώνυμοε 488. τριπλαῖς αὶ A, 
τριπλαῖς M B (τριπλαῖς μονάδες S), τριπλαῖ μυριάϑες Wa, corr. Hu 
,BaGI ABS, item vs. 24 23. uía γὰρ — 28. ἀριϑμῷ interpolatori 
tribuit Hu 484, τουτέστεν τὰ] γενομένη τὰ ABS, τουτέστι (omisso τὰ) 
Wa 85. τῶν (post ἀριϑμὸν) Wa pro τὸν 37. A 





8 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ B. 


τὸν διπλασίονα τοῦ πλήϑους τῶν ἐφ᾽ ov và B, μετρού- 
μενον ὑπτὸ τετράδος καταλειπέτω πρότερον ἕνα. καὶ συν- 
ἄγει ὃ ἀπολλώνιος ὅτι ὃ ἐκ τῶν ἀριϑμῶν ἐφ᾽ ὧν τὰ 48 
στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Z, ὅσος 
ἐστὶν ὁ δεκαπλασίων τοῦ Ε, ἐὰν δὲ τὸ προειρημένον πλῆῇ- 5 
Sog μετρούμενον ὑπὸ εὐτράσος καταλείπῃ δύο, ὁ ἐκ τῶν 
ἀριϑμῶν στερεὸς τῶν ἐφ᾽ ὧν «à .4 B μυριάδες εἰσὶν το- 
σαῦται ὁμώνυμοι τῷ Ζ, ὅσος ἐστὶν ὃ ἑκατονταπλάσιος τοῦ 
Ε ἀριϑμοῦ, ὅταν δὲ τρεῖς καταλειφϑῶσιν, ἴσος ἐστὶν ὁ ἐὲξ 
αὐτῶν στερεὸς μυριάσιν τοσαύταις ὁμωνύμοις τῷ Ζ, ὅσος 10 
ἐστὶν ὃ χιλιαπλάσιος τοῦ E ἀριϑμοῦ. 

ιη. Eni δὲ τοῦ ιϑ' ϑεωρήματος. Ἔστω τις ἀριϑμὸς 
ὁ ΑἹ ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, 
καὶ ἄλλοι ὁσοιδηποτοῦν ἀριϑμοὶ ἐλάσσονες δεκάδος οἷον οἱ 
ΒΓ A E, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α' B Γ 4 E στερεὸν 15 
εἰχεεῖν. 

Ἔστω γὰρ καϑ᾽ ὃν μετρεῖται ὃ Αἱ ὑπὸ τῆς δεκάδος ὃ 
Ζ, τουτέστιν Ó πυϑμὴν τοῦ 4, καὶ εἰλήφϑω ὃ ἐκ τῶν Z 
B Pl 4 E στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Η' λέγω ὅτι ὃ διὰ τῶν Α 
B Γ 4 E στερεὸς δεκάκις εἰσὶν οἱ Η. 20 

Καὶ ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριϑμῶν᾽ τοῦ γὰρ 4 ὑπο- 
κειμένου, φέρ᾽ εἰπεῖν, μονάδων x καὶ τοῦ B μονάδων y 
καὶ τοῦ Γ΄ μονάδων δ΄ καὶ τοῦ 4 μονάδων & xai τοῦ E 
μονάδων c', ó ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδες Lo. ἀλλὰ 
καὶ τοῦ Ζ ὄντος μονάδων β΄, 0g ἐστε πυϑμὴν τοῦ 44, ὃ ἐκ "5 
τούτου καὶ τῶν B Γ 4 E στερεὸς δεχάκις γενόμενος ἔσται 
μονάδες ζσ', ἴσος τῷ ἐκ τῶν ΑΔ B Γ 4 E στερεῷ. τὸ δὲ 
γραμμικὸν ὑπὸ τοῦ Αὶιπολλωνίου δέδεικται. 


4. μετρούμενον Wa pro μετρουμένων 4. συνάγει idem, συνα- 
γεεν (Sine acc.) A(BS) 3. ὁ ante ἐκ τῶν add. Hu 4. τῷ add. Hu 
ὅσος Wa pro ὃς 5. πλῆϑος S, τὸ πλῆϑος ABS, πλῆϑος τὸ B! Sa- 
vilianus 6. ὁ add. Wa 8. of ante ὁμώνυμοι add. ABS, del. Wa 
9. ἐστὶν Wa pro ἔσται 43. τη A! in marg. (BS) 44. ὅσοις | ϑήποτ᾽ 
οὖν À, 00o(« ϑήποτ᾽ οὖν B, corr. S ἐλάσσονες 8, ἔλαττον ABI, super 
quod τες (voluit vec) scripsit B3 οἷον of add. Hu —. 15. ΒΓ 4E 
add. Wa ἐκ τῶν ΑΒΓΖῈ ABS, distinx. Wa 48. 49. ZBPAE ABS, 





LIBER II. PROPOS. 48. 9 


in serie 2, haec summa si per 4 dividatur, primum in di- 
visione restet 4, quotiens aulem rursus sit C. Et colligit Apol- 
lonius solidum numerum ex numeris: serierum « 9 productum 
myriadas potentiae ζ tot habere, quot sunt unitates in nu- 
mero 8 decies ducto — qui est secundus casus — 

sin autem eadem summa per 4 dividatur et restent 9, 
solidum numerum ex numeris serierum α β productum my- 
riadas potentiae C tot habere, quot sunt unitates in numero & 
centies ducto — qui est tertius casus — 

si denique in divisione restent 3, solidum numerum ae- 
qualem esse tot myriadibus potentiae 5, quot sunt unitates 
in numero e£ millies ducto — qui est quartus-casus!). 

XVIII. In Apollonii theorema XIX. Sit numerus α mi- Prop. 
nor quam 4100 et divisibilis per 10, et alii quotcunque nu- 
meri minores quam 410, velut B » ὃ δ, et oporteat solidum 
numerum ex a B y ὃ ε productum dicere. 

Sit enim, si « per 10 dividatur, quotiens ζ, id est funda- 
mentalis numeri e, et sumatur solidus numerus ex ζ 8y à 
productus, sitque ἡ; dico esse α.β.γ διε κε 10 η. 

Et manifestum hoc est per numeros; nam si verbi causa 
ponatur α — 20, 8.23, y — 4, ὃ — 5, ε — 6, solidus nv- 
merus ex his productus fit 7200. Sed cum sit C ξξ 2 (qui 
est fundamentalis numeri o) solidus ex ζ et B y ὃ & pro- 
ductus isque decies ductus erit 7200, aequalis solido ex α β. 
y ó*. Linearum autem ratio ab Apollonio demonstrata est ἢ. 


4) Linearem, quam Pappus solet dicere, descriptionem vide in 
append., et conf. Nesselmann, die Algebra der Griechen, Berolini 1843, 
p. 138 sq. 

2) Vide append. 


distinx. Wa 419. ὁ ante διὰ add. Wa 49. 20. 4BI'Z1E ABS, distinx. 
Hu, similiter posthac 40. δεχάχις ἐστὶν ὁ H coni. Hu 22. uov«- . 
δων x S, B K A, μονάδες x B Wa μονάδων y S, ἡ T" AB, μονάδες y 
Wa, et similiter posthac 44. μονάϑες ζσ Wa, ἃ ΖΘ AB!, ἃ o B3, 
μονάδων i19 S — 25. πυϑμὴν rov x Wa ὃ ante éx add. Hu, utrumque 
om. Wa 26. dexdxig add. B? Wa ἔσται in A super versum add. 
man. ἡ 41. ἡ ΖΟ AB, μονάδων ζσ S, corr. Wa 


8 


9 


10 


10 — ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ B. 


ιϑ. ᾿Αλλὰ δὴ ἔστωσαν δύο ἀριϑμοὶ οἱ 24 B, ὧν ἑχκά- 
τάρος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκά- 
δος, τῶν δὲ Γ Δ E ἕχαστος ἐλάσσων δεκάδος ἔστω, καὶ 
δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α B Γ 4 E στερεὸν εἰπεῖν. 

Ἔστωσαν γὰρ τῶν 44 B πυϑμένες οἱ Ζ ΗΠ’ λέγω ὅδειῦ 
ὃ éx τῶν 4 B Γ 4 E στερεὸς τοῦ ἐκ τῶ Z HI A E 
στερεοῦ ἑκατονταπλασιός ἐστιν. 

Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριϑμῶν, τοῦ 44 ὄντος 
μονάδων x' καὶ τοῦ B μονάδων À καὶ τοῦ D μονάδων f 
καὶ τοῦ 24 μονάδων γ᾽ καὶ τοῦ E μονάδων Ó καὶ τοῦ Z10 
μονάδων β' καὶ τοῦ Η μονάδων y'* ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν .4 B 
DI 4 E στερεὸς ἐστιν μὴ Óv, ὁ. δὲ ὑπὸ Z Η ΓΖ E μο- 
νάδες Quó', οὗτος δὲ γενόμενος ἑχατοντάκις ποιεῖ u" δυ΄. 
τὸ δὲ γραμμικὸν ἐχ τῶν Ἰ!πολλωνίου. | 
x. ᾿Αλλὰ δὴ ἔστωσαν τρεῖς ἀριϑμοὶ οἱ ΑΔ B Γ, xoi15 
ἔστω ἕχαστος αὐτῶν ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος 
δὲ ὑπὸ δεκάδος, ἕκαστος δὲ τῶν 4 E Z ἔστω ἐλάσσων δε- 
χάδος, καὶ ἔστωσαν τῶν 44 B D πυϑμένες οἱ H O K, xai 
εἰλήφϑω ὁ ἐκ τῶν ΗΘ K 4 ΕΖ στερεὸς xai ἔστω ὃ A- 
ὅτε Ó ἐκ τῶν Α B DL 4 E Z στερεὸς ἴσος ἐστὶν χιλίοις 20 
τοῖς Ξ. 

Ἔστε φανερὸν διὰ τῶν ἀριϑμῶν, τοῦ «4 ὄντος λύγου 
χάριν μονάδων x καὶ τοῦ B μονάδων À καὶ τοῦ Γ μονά- 
δων u' χαὶ τοῦ Δ μονάδων β΄ xai τοῦ E μονάδων y' καὶ τοῦ 
Ζ μονάδων δ΄, τοῦ δὲ Η μονάδων β' καὶ τοῦ € μονάδων 25 
y καὶ τοῦ Καὶ μονάδων à - ὃ γὰρ ὑπὸ Α B Γ 4 E Z στερεύς 
ἐστιν μυριάδων νζ΄ ἁπλῶν καὶ μονάδων c, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν 
Η O K πυϑμένων xai τῶν 4 E Ζ ἔσται μονάδων φος΄, 
αὗται δὲ χιλιάκις γενόμεναι, τουτέστιν ὃ ἐχ πάντων στερεός, 
γίνεται μυριάδων ἁπλῶν νζ΄ καὶ μονάδων c. 80 

xa. Αλλὰ δὴ ὄστωσαν πλδίους τριῶν οἱ «(8 ΓΖ E, 


4. εϑ' add. ΒΞ8 οἱ add. Wa — 4B A, distinx. BS ἕκαστος Wa 
3. l'4E ABS et similiter posthac, distinx. Hu 6. ὁ add. Wa — 9. μο- 
»dde» x S, αὶ K AB μονάδων 4] 1.4 AS, A22 B. 59--11. αὶ Be 
similiter posthac AB, μον" B etc. 8. 12. fdv à dà, id est μυρεὰς 
ἁπλῆ eic., B? in rasura, ἃ “2 dvo δὲ A, μονάδων Xi ὃ dio δὲ S, uv- 


. LIBER 11. PROPOS. 19. 90. 91. 11 


XIX. Sed sint duo numeri « A, quorum uterque minor Prop. 


sit quam 100 et divisibilis per 10, et alii numeri y ὃ e, quo- 
rum quisque minor sit quam 10, et oporteat solidum tume- 
rum ex a 8 y ὃ e productum dicere. 

Sint enim ftumerorum ἃ β fundatentales C 5»; dico esse 
α.β'γ'διὲ z 100 C. m- y. δ. ε. 

Hoc quoque manifestum est per numeros, cum sit α — 20, 
β - 80, γ ΞξΞ 3, ὃ τὸ 8, ε-ξ ὁ, ζ τῷ Ἐ[ῶ3, η —93. X Est enim 
α.β.γ' διε τὸ 14400, et C-m- y. 0-6 τῷὸ 344. Linearum au- 
tem descriptio ex Apollonii /ibro repetenda est. 


XX. Sed sint tres numeri e 9 y, quorum quisque mi- Prop. 


nor sit quam 400 et divisibilis per 40, quisque autem nt- 
merorum ὃ 8 L sit minor quam 10, et sint numerorum a B » 
fundamentales ἢ 9 x, et sumatur productum ex ?; 9x óe6 
Bitque &; dico esse a- 8. y. 0-6. ζ — 1000 £. 

Manifestum est per numeros, cum verbi causa sit o Ξε 20, 
β Ξε 30, y πε 40, 0 — 2, ε τῷ 8, ζ o 4, tum ἡ z 2, ϑ τ 
ὃ, x z- 4. Nam productum ex α 8 y ó eC est 576000, pro- 
ductum autem ex fundamentalibus ἢ 9. x et ὃ & C erit 576. 


XXI. Sed sit numerorum plus trium series « β y ὃ Prop. 


*) Propositio XXI et XXII ab interpolatore quodam, qui numerum 
huius libri propositionum Apollonianis aequalem esse vellet, intersertaé 
esse videntur; nam Pappus, etsi interdum impeditius et languidius, 
nunquam tamen inepte scribit aut leviter. In his autem, quae inter- 
polata esse dico, nonnulla tam neglegenter scripta sunt, ut omnes emen- 
dandi conatus eludant. 


ριὰς αὶ μονάδες ὅν, ὁ δὲ Wa τοῦ ante ὑπὸ add. Wa 19. 18. ὶ PM 
Α, μονάδες ou B, μονάδων ou S, corr. Wa 48. ἅ v B3 partim in 
rasura, 1" 41 v A, μύρια dv S, μυριάδα α μονάδας dv Wa 15. xA! 
in marg. (BS) ol om. Wa ABT AB, distinx. S, item vs. 18 
47. A4EZ ABS, distinx. Hu ἐλάσσων Hu pro ἐλάττων δεχάδος add. 
Wa 48. HOK AB, distinx. S. 49. HOK 4EZ et 30. 4381 4EZ 
ABS, distinx. Hu — 29. λόγου in A add. man. 2 super vs. — 98—-26. μο- 
v&dov ubique S, A A, μονάδες vel “ΜΒ 94. χαὶ τοῦ d A f add. B5 
(Wa) καὶ τοῦ ε BS, καὶ τοῦ C A. 26. ὑπὸ αβγϑδεξ B, ὑπὸ BI'4 EZ 
AS — 97. μυριάδων S, & AB. ἡ ,c AB — ?8. ΗΘΚ et 1EZ ABS 
μονάϑες qoe B, B *bÓc A 449. ὁ ἐκ πάντων vel ὁ ix τῶν 4 BT AEZ 
add. Hw 80. μυριάδων hoc loco etiam in AB plene scriptum est 
31. χα A! in marg. (BS) — A4BPAE AB3S, αβγὸ B! 











21 *) 


12 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ B. 


καὶ ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ 
δεκάδος, τῶν δὲ Z H Θ ἕκαστος ἔστω ἐλάσσων δεκάδος. 

Τὸ πλῆϑος τῶν 44 B Il 4 E πρότερον μετρείσϑω ὑπὸ 
τετράδος κατὰ τὸν O, καὶ ἔστωσαν τῶν .4 BT 4 E πυϑ- 
μένες οἱ K 44 M. N E: ὅτι ὃ ἐκ τῶν 4 ΒΓ 4 ΖΗ O5 
στερεὸς ἴσος ἐστὶν μυριάσιν ὁμωνύμοις τῷ Ο ὅσαι μονάδες 
εἰσὶν ἐν τῷ στερεῷ τῷ ἐκ τῶν Καὶ Α M N ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν 
Z H O. 

Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριϑμῶν, τοῦ 4 ὑποκχει- 
μένου λέγου χάριν μονάδων (' καὶ τοῦ B μονάδων x' καὶ 10 
τοῦ Γ μονάδων λ' καὶ τοῦ 4' μονάδων μ΄, καὶ τῶ K 44 M N 
πυϑμένων ὄντων μονάδων α' xai β' καὶ γ' καὶ δ'' ὃ ἄρα 
ἐκ τῶν 24 B D 4 στερεός ἐστιν ἁπλῶν μυριάδων xà', ὃ δὲ 
ἐκ τῶν 4 ΒΓ 4 Z H Θ μυριάδων ἁπλῶν ρμδ', ὁ δὲ ἐκ 
τῶν K 4 M N πυϑμένων μονάδων xó'* οὗτος δὲ γενόμενος 15 
ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ H Θ, ὄντα μονάδων ς΄, ποιεῖ μονάδας 
ομδ΄, ὅσαι μυριάδες ἁπλαῖ εἰσιν τοῦ ἐκ τῶν .d ΒΓ A4 Z 
H Θ στερεοῦ, διὰ τὸ καὶ τετράδα ἅπαξ μετρεῖν τὸ πλῆϑος 
τῶν 44 ΒΓ Ζ. 

11 “Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆϑος τῶν 44 B Γ 4 E μὴ μετρείσθω 20 
ὑπὸ τετράδος" μετρούμενον δὴ ἤτοι α' ἢ β' ἢ y λείψει. 
εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει, ἔσται ὃ ἐκ τῶν 4ἍΒΓΖ4ΕΖΉΗΘ 
στερεὸς μυριάδων ὁμωνύμων τῷ O, ὅσος ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν 
K 4 M ΝΞ στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ H Θ γενόμενος δε- 
χκάχις, εἰ δὲ δύο λείψει, ἑκατοντάκις [γενόμενος ὃ εἰρημένος 25 
στερεός]. εἰ δὲ τρεῖς λείψει, ὅσων ὁ ἐκ τῶ K.49M NE 


3. ΖΗΘ ABS 83. AB l'AE Δ, αβγϑὲ BS, item proximo versu 
4. 5. xal ἔστωσαν — Καὶ 4 M N X post δεκάδος vs. 8. transponit 
Wa 5. KA4MNBE ABS ac similiter posthac ὁ add. Wa 6. τῷ 
O Wa pro τῶι σ uovadeg (sine acc.) A(BS) 7. στερεῷ Hu pro éré- 
pou. ix τῶν K.4M ABS, N add. Wa . 410—412. μονάδων ubique S, 
B Δ, ἡ νοὶ μονάδες Β 48. ὁ Wa, ὁ ἄρα Hu pro τῶν 48. τῶν 
ante ἁπλῶν additum in ABS del. Hu μυριάδων S, && AB, at proximo 
versu idem plene scriptum in AB (in A sine acc.), item vs. 47 μυριάδες 
45. β AB, item vs. 46 bis 418. 49. τὸ xal τὸν Θ αὐτῆς μετρεῖ τοὺς ΑΒΓΖά 
ABS (nisi quod B τοῦ pró τοὺς), τὸ x«l τὸν o αὐτοῦ μετρεῖν τοῦ aByd 
B4, τετράδα corr. Hu, reliqua Wa 20. xf hoc loco add. A! BS (conf. 








LIBER II. PROPOS. 94. 13 


£...1, quorum quisque minor sit quam 100 et divisibilis 
per 40, et numerorum b ἢ 9 quisque minor sit quam 10. 

Quot sunt numeri in serie α B » ὃ &..., haec summa 
primum sit divisibilis per 4 sitque quotiens o, et sint nume- 
rorum € B y ὃ &... fundamentales x Au » £...; dico 
solidum numerum ex ἃ 8 y ὃ... ζ ἡ 9 productum aequa- 
lem esse tot myriadibus potentiae o, quot unitates sunt in 
soido ex x ἃ μιν... 5 « 9 producto. 

Manifestum hoc est ex numeris, cum verbi gratia sit 
& 2210, 8220, y 2230, 02 40, 5 4,9 Ξξ 3, 9 —5, 
et fundamentales x 2 1, 4 2 2, u — 3, » zx &. Est igitur 
a-B.y-.Ó τ 240000, et α:β-.γ: δ'ζ. η8 τὸ 14140000, et 
x:À-p-v- τὸ δά; est autem 24.0.5. 9 — 24.6 τ 444, 
quot sunt myriades simplices in producto ex α 8»0057 9; 
simplices autem myriades (id est potentiae 1) sunt, quia « B y ὃ 
quattuor numeri sunt, cutus summae per 4 divisae quotiens est 4. 

Sed quot sunt numeri in serie a 8 y δε. . , haec 
summa ne sit divisibilis per 4; ergo in divisione restabit 
aut 4 aut 2 aut 3. Jam si primum 1 restabit, productum 
ex αβγδε... ζη 9 tot myriadas potentiae o continebit, 
quot unitales continet productum ex x 44» £... 0m 9 
decies ductum; sin vero 2 restabunt, centies; si denique 3 
restabunt, quot erunt unitates in productoex x 42u» δ... 0$ 9 


1) Ternis punctis quotcunque numerorum seriem esse significavi. 
Eius modi seriem supra (propos. 45 et 47) o£ ἐφ᾽ ὧν τὰ Α etc. appel- 
lari vidimus; sed eadem, quae hoc loco, appellatio redit etiam in pro- 
pos. 25, ubi nulla interpolationis suspicio subest. In exemplo autem, 
quod scriptor huius propositionis 24 fingit, satis habet seriem «e 8 y à 
proponere, ceteros casus nihil curans. 


propos. 33) μὴ add. B Wa 44. α ἡ δύο ἡ τρεῖς (7j sine acc.) A (S), 
corr. B Wa 22. 4BI71tE ABS, distinxit et Z H 6 add. Hu (ὁ lx τῶν 
ABI'AE στερεὸς ἐπὶ τὸν ix τῶν ΖΗΘ Wa) 48. post τῷ Ο addendum 
esse videtur rogovrev (τοσαύτων, incredibile visu, ante μυρεάϑων add. 
Wa) 24. K 1MN ABS, Καὶ add. Wa, item vs. 86 post Z H 6 add. 
xal ó ABS, del. Wa 485. λεέψει Hu pro λεέπεε 85. 26. γενόμενος 
— στερεός del. Hu 486. ὅσων add. Hu 





14 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ B. 


ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ H O χιλιάκιρ γενόμενος ἔσταε μονάδων, 
τοσούτων μυριάδων ἡμωνύμων τῷ Ο. τὸ δὲ γφραμμικὸν ἐκ 
τοῦ στοιχείου δῆλα». 
12 κβ΄. Ἔστω ἡ μὲν .4 ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος 
. δ ὑπὸ ἑκατοντάδος, ἕχαστος δὲ τῶν B Γ 4 ἐλάσσων Ó&- 
κάδος, καὶ δέον ἔφτω τὸν ἐκ τῶν 4d B Γ 4 σεξρξὸν εἰπεῖν. 
Κρερίσϑω γὰρ τοῦ μὲν 44 πυϑμὴν ὃ E, ὁ δὲ ἐκ τῶν 
ΕΒ ΓΖ ὃ Ζ' ὅτι ὁ ix τῶν 4 B Γ 4 στερεὸς ἑκατην- 
τάκις ἐστὶν ὁ Z. | 


9 


Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριϑμῶν, τοῦ 44 ὕποτιο 


xsiuévov , φέρ᾽ εἰπεῖν, μονάδων v καὶ τοῦ B μονάδων y 
καὶ τοῦ D μονάδων Ó καὶ τοῦ 4 μονάδων ε΄. ὃ μὲν γὰρ 
ὑπὸ τῶν Jd B Γ 4 ἐστὶν u" x, ὃ δὲ ὑπὸ τῶν E B Γ 4 
ἐστὶν μονάδων on': οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάχις ἔσται 
L^ η. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχδίου δῆλον. 

18. xy. Ἐπὶ δὲ τοῦ κδ΄ ϑεωρήματος. Τοῦ .Α(' ὑποκειμένηυ 
λόγφυ χάριν μονάδων o καὶ τοῦ B μονάδων τ΄ καὶ τοῦ Γ 
μονάδων β' τοῦ δὲ 4 μονάδων y καὶ τοῦ E μονάδων δ', 
ὁ στερεὸς ἐξ αὐτῶν ἔσται μυριάδων ἁπλῶν ομδ΄, ἐπεὶ τὸ 


1ὅ 


διπλάσιον τοῦ πλήϑους τῶν 24 B μετρεῖται ὑπὸ φεεράδος 20 


ἅπαξ [κατὰ τὸν K), ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ H πυϑμένων xai τῶν 
PI 4 E ἐστιν μονάδων Quó [ὁ O στερεός' ἁπλῶν οὖν μυ- 
ριάδων ρμιδ΄ ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α͂ B Γ 4 E στερέος]. 

Ἐὰν δὲ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήϑους τῶν ΑἹ B μὴ με- 


τρῆται ὑπὸ τετράδος, δῆλον ὅτι μετρούμενον κατὰ τὸν K25 


λείψει δύο" τοῦτο γὰρ ἀνώτερον ἐδείχϑη. διὰ δὴ τοῦτο 
[ἐκ τοῦ λείπεσϑαι δύο] μυριάδες εἰσὶν ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ 
K, καὶ ἔστιν ἡ ἐκ τῶν .4 B Γ 4 E στερεὸς ὃ Θ ἴσος τῷ 


4. μονάδων pro μυριάδων restituit et vs. 4 μυριάδων add. Hu 
à. τὸ O A, corr. BS 4. xó' ex p. 12, 20 huc trensponit Hu, xy' add. 
B 5. δὲ (ante ὑπὸ) Wa pro uiv — BIAE et 6. ABIAE ABIS, E 
del. B? Wa 7. ὁ δὲ Wa pro τῶι δὲ 8, ΕΒΓΔ ABS ac similiter 
posthac 9. ὁ (B, OZ À, εἶ 8 ὅτι add. Hu 40. x«i om. Wa 
44. 1$, μονάδων ubique S, αὶ A, Z' vel μονάϑες Β 48. ὑπὸ τῶν (ante 4) 
om. Wa ΑΒΓΖΕ ABS, E del, B5 Wa ἢ η (id est μυριάδος ἁπλῆς etc.) 
B3, ἃ ,H AB!, μονάδων ἢ S, μυριάδες (sic) « μονάδες η- Wa, item 











LIBER II. PROPOS. 48. 48. 15 


millies ducto, tot myriades potentiae o erunt in producto ex 
«8y0e6e...057-» 9. Linearis autem descriptio ex libro 
elementari menifesta est. 

XXII. Sit a minor quam 1000 et divisibilis per 100, et Prop. 
swumerorum $ γ ὃ quisque minor quam 40, et oporteat soli- 
dum numerum ex a 8 y ὃ productum dicere. 

Ponatur enim numert ἃ fundamentalis e, et δ. 9 y: ὃ τε ζ; 
dico esse a. y-d zs 100 C. 

Hoc quoque per numeros manifestum est, eum verbi 
causa sit α z 300, β z 3, y zm ά, ὃ τὸ 5. Est enim 
α-β.γ' zx 18000, et &-8-y- ὃ zz 480. Linearis autem de- 
scriptio ex libro elementari patet. 

XXHI. In Apollonii theorema XXIV. Si verbi causa sit 285 
ἃ Ξε 200, 8 2: 300, y 2: 2, ὁ - 3, ε πε 4, productum ex 
his erit 410000- 4&4, quoniam « 9 duo sunt numeri cenlarit, 
et duo duplicati ac per 4 divisi habent quotientem 4, et pro- 
ductum ex fundamentalibus ζ xe 2, ἡ — 3, ac y ὃ e est uni- 
tatum 444. 

Sed quot sunt wwmeri in serie α (9 .. ., si haec summa 
duplicata non divisibilis sit per 4, ultra quotientem x mani- 
festo restabunt 2; $d enim supra demonstratum est!). Qua- 
propter sunt 100 myriades potentiae x; et 9, id est pro- 


*) Haec quoque propositio eá saltem, quae nunc exstat, composi- 
tione iustae suspicioni obnoxia est. 


4) Conf. supra propos. 1*5 cum adnot. 3. 


vs. 45. 14. B PIL AB 15. γραμμικκχὸν A y δῆλον add. Wa — 46. xy 
A! in marg. (S), xd ΒΒ 17.48. uov&dwv ubique S, LAB 9. ἐπεὶ 
Hu pro ἐὰν 40. μετρῆται S 41. κατὰ τὸν K del. Hu. ὁ δὲ Hu 
proóy&p — 41.393. ZH — ΓΖῈ etsimililer posthac ABS 49. ἐστιν 
Hu pro ἔστι ΑΒ ὁ Θ — 28. στερεός interpolatori tribuit Hu 
39. μυριάδων add. Wa 44. μετρεῖται AB, corr. 8 25. δηλονότι 
(sic) A 86. δὴ om. Wa $7. ἐκ τοῦ λεέπεσϑαι δύο coni. et inler- 
polatori tribuit Hu, ex τῶν A M. δύο εκατοντάδων A(BS), 2x τοῦ λείμ- 
ματος δύο ἤτοι ἐχκατοντάδος γα, ix τῶν λειπομένων δύο ἑχατοντάδων 
Bredow epist. Paris. p. 188 ἑκατὸν Wa pro χιλέαε 28. ἴσος — 
p. 46, 4. στερεῷ add. Hu 


16 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ B. 


ix τῶν ΖΗ Γ ΔῈ στερεῷ ἐπὶ τὰς ἑκατὸν μυριάδας ὁμωνύ- 
μους τῷ K. τὸ γραμμικὸν ὡς “]!ὶΤΠᾶολλώνιος. 

14  x&. Eni δὲ τοῦ κε΄ ϑεωρήματος. Ἔστω τῶν μὲν 4 B 
ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δε- 
κάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Γ Δ E [ἔστω] ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δ 
δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν. 

Ἔστωσαν γὰρ τῶν ΑἹ B πυϑμένες οἱ Θ K, καὶ τῷ ἐκ 
τῶν Θ K Γ 4 E στερεῷ ἴσος ἔστω ὃ 24: ὅτι Ó ἐκ τῶν 
«4 B Γ 4 E στερεὸς ἴσος ἐστὶν ἑκατὸν τοῖς .4. 

Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριϑμῶν, τοῦ ΑἹ ὄντος uo-10 
γάδων x' καὶ τοῦ B μονάδων x', καὶ τοῦ Γ μονάδων & καὶ 
τοῦ 4| μονάδων c' καὶ τοῦ E μονάδων ζ΄, καὶ τῶν Θ K 
πυϑμένων ὄντων μονάδων β΄" ὃ γὰρ ὑπὸ τῶ OKT AE 
γένεται στερεὸς μονάδων ωὠμ', οὗτος δὲ ἑκατοντάκις γενό- 
μενος ἔσται μυριάδων η μονάδων ὃ, ἴσος τῷ ἔκ τῶν 15 
44 ΒΓ 4 E στερεῷ ἀριϑμῷ. 

1ὅ χε΄. Τὸ δ᾽ ἐπὶ πᾶσι ϑεώρημα xg! πρότασιν ἔχει καὶ 
ἀπόδειξιν τοιαύτην. Ἔστωσαν δύο ἀριϑμοὶ ἢ πλείους οἵ 
«4 B, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ 
ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἄλλοι ἀριϑμοὶ ὁσοιδήποτε oi Γ 44 Ε, 30 
ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ 
δεκάδος, καὶ ἀλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριϑμοὶ οἱ Ζ H O, 
ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν 
A BUAEZ H Θ στερεὸν εἰπεῖν. 

Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α' B T 4 E πυϑμένες ok 4 M N25 
A O. ὃ δὴ διπλάσιος τοῦ πλήϑους τῶν 4 B μετὰ τοῦ τῶν 
DI 4 E ἁπλοῦ ἀριϑμοῦ ἤτοι μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἢ οὗ. 


4. ἐπὶ B Wa, ἐπεὶ ΑΒ τὰς ἑχατὸν Hu (ἑκατὸν Wa) pro χιλιας 
(sine acc. A) 8. xd A! in marg. (S), xe B 8. 4. τῶν μὲν . M B éxa- 
τερος Hu, ὁ μὲν πρῶτος AB!IS, ὁ μὲν 8' B*, ὁ uiv πρῶτος xal ὁ δεύ- 
τέρος ΑΒ Wa, ὃ μὲν πρῶτος .4 ἔλασσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ 
ὑπὸ ἑχατοντάδος, ὃ δὲ δεύτερος Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρού- 
μενος δὲ ὑπὸ δεχάδος, ἕχαστος cet. Nesselmann Algebra der Griechen 
p.439 5. P 4 E sic hoc loco recte distincta sunt in AS 86. ἔστω 
del. Hu — 7—9. 4B — ΘΚ — 8KT 4E — AB Γ4ῈΕ e simi- 
liter posthac ABS — 8. ἔστω Wa pro ἔσται — 9. στερεὸς om. Wa 
ἑκατὸν Wa pro χιλέις 410-- 44. μονάδων ubique S, ἃ A, ἢ vel uo- 





LIBER II. PROPOS. 44. 25. 17 


ductum ex «8...y δε, aequale est producto ex C$... 
y ὃ & multiplicato cum 400 myriadibus potentiae x. 

XXIV. In Apollonii theorema XXV. Sit numerorum a (? Pos 
uterque minor quam 100 et per 10 divisibilis, et numerorum 
γ ὃ 8 quisque minor quam 40, et oporteat solidum numerum 
ex his productum dicere. 

Sint enim numerorum c p fundamentales 9 x, οἱ ἃ — 
9-x-y-0Ó-6; dico esse a--y-0-6 — 100 4. 

Manifestum autem est per numeros, cum sit ἃ — β — 90, 
el y 25, ὃ Ξε 6, 8 Ξξξξ 7, ev fundamentales 9-— x — 2. Est 
enim J.x-y-Ó-& — 840, qui numerus centies ductus erit 
84000 2 a-8-y-ó-.e. 

XXV. Omnium autem ultimum Apolloni? theorema habet Prop. 
hanc propositionem et demonstrationem !). Sint duo pluresve 25 
numeri α 9 ..., quorum quisque minor sit quam 1000 et 
divisibilis per 100, et alii quotcunque numeri y ὃ & . . ., 
quorum quisque minor sit quam 4100 et divisibilis per 40, 
denique alii quoteunque numeri £3 9 . .., quorum quisque 
minor sit quam 10, et oporteat solidum numerum ex a B . .. 
706...L5499... productum dicere. 

Sint enim numerorum a β΄... y δε... fundamen-, 
tdles 44 ...»50..., etl quaeratur quol sint numeri in 
serie a β΄. .., quotque in serie y à &... Quot igitur sunt 
in serie « B ..., haec summa duplicata unà cum tot quot 
sunt in serie y ὃ δ΄... aut divisibilis est per 4, aut non. 


4) Vide append. 


»adec B 44. x (ante καὶ τοῦ Bj Wa pro P 44. στερεὸς Wa 
pro ἀρειϑμὸς μονάδων wu] ἡ αὶ cou À, É wu B, μονάδων μυ- 
ρέων ὧμ S, μονάδες ὧμ Wa ἑκατοντάχις Wa pro χιλεάᾶχις 4ὅ. μυ- 
ριάδες ἡ μονάδες d Wa, b op A, & wp B, μυριάδων ὡμ S 47. x& 
add. S 48. ἦ Wa pro οἱ 48. 49. οἱ 4B ABS 20. ὅσοι δή- 
ποτε ΑΒ, ὁσοιδίποτε S, ὁσοιδηποτοῦν coni. Hu oí (ΓῈ AB!S, corr. 
B3 44. uiv add. Hu 39. ὅσοι δήποτ᾽ ovv AD, corr. 5 οἱ ΖΗΘ 
et similiter posthac ABS 25. Ἔστωσαν Hu pro ἑχάστου 46. τοῦ 
πλήϑους add. Hu μετὰ τοῦ Hu pro xoà 27. ἁπλοῦ ἀριϑμοῦ Hu, 
ἁπλῶς ἀριϑμῶν ABS, ἁπλῶς ἀριϑμῶν πλήϑους Wa 
Pappus I. 2 


18 | HAIIIOY SYNATOTHX B. 


ἹΜετρείσϑω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν K, xai 
ὑποτετάχϑωσαν τοῖς μὲν 4 B ἑκατοντάδες αἱ II P, τοῖς 
δὲ Γ 4 E δεκάδες αἱ X T Y [καὶ ὃ διπλάσιος ἄρα τοῦ 
πλήϑους τῶν II P μετὰ τοῦ πλήϑους τῶν Σ T Y μετρεῖται 
ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν K]. καὶ φανερὸν ὅτε Ó ἐκ τῶν ὃ 
II P X T Y ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Δ M N Ξ O ἴσος ἐστὶ τῷ àx 
τῶν A Β Γ A E στερεῷ. εἰλήφϑω δὴ ὃ ἐκ τῶν 23M NE 
Ο Z H O στερεὸς καὶ ἔστω ὃ D: ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΓ! B C 
4 E Z H O στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ 
K ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Φ. τοῦτο δὲ γραμμικῶς Αἴιπολ- 10 
λώνιος ἀπέδειξεν. 

16 Ἐὰν δὲ ὃ διπλάσιος τοῦ πλήϑους τῶν ΑἹ B μετὰ τοῦ 
πλήϑους τῶν Γ 4 E μὴ μετρῆται ὑπὸ τετράδος, μετρού- 
μένος ἄρα κατὰ τὸν K λείψει ἢ ἕνα ἢ δύο ἢ τρεῖς. εἰ 
μὲν οὖν ἕνα λείψει, ὃ ἐκ τῶν II P X T Y ovegeóg μυριάδες 15 
εἰσὶν δέκα ὁμώνυμοι τῷ K, εἰ δὲ δύο, μυριάδες ἑκατὸν 
ὁμώνυμοι τῷ Κι, εἰ δὲ τρεῖς, μυριάδες χίλιαι ὁμώνυμοι 
τῷ K. καὶ δῆλον ἐκ τῶν γεγραμμένων ὅτι ὃ ἐκ τῶν 4 B 
Γ 4 EZ H Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται, ὅσος 6 
δεκαπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ K ἀριϑμῷ, ἢ ὅσος ὃ 30 

. δκατονταπλάσιος τοῦ (D, ὁμώνυμοι τῷ Κὶ, ἢ ὅσος ὃ χιλια- 
πλάσιος τοῦ D, ὁμώνυμοι τῷ K. 

17 Τούτου δὴ [vob ϑεωρήματος] προτεϑεωρημένου πρό- 
δηλον, πῶς ἔστιν τὸν δοϑέντα στίχον πολλαπλασιάσαι καὶ 
εἰπεῖν τὸν γενόμενον ἀριϑμὸν ἐκ τοῦ τὸν πρῶτον ἀριϑμὸν 25 
ov εἴληφε τὸ πρῶτον τῶν γραμμάτων ἐπὶ τὸν δεύτερον 
ἀριϑμὸν ὃν εἴληφε τὸ δεύτερον τῶν γραμμάτων πολλαπλα- 
σιασϑῆναι καὶ τὸν γενόμενον ἐπὶ τὸν τρίτον ἀριϑμὸν ὃν 
εἴληφε τὸ τρίτον γράμμα καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς περαίνεσθαι 
μέχρε τοῦ διεξοδεύεσϑαι τὸν στίχον, ὃν εἶπεν “Γ!΄πολλώνιος 30 
ἐν ἀρχῇ [κατὰ τὸν στίχον) οὕτως. 

4. μετρεέσϑω A? ex μετρεῖσϑιι 8. αἱ II P Hu pro οἱ ΠΡ 


8. el 2 T Y Hu pro οἱ CTY — 8. καὶ ὁ — 5. κατὰ τὸν K interpola- 
tori tribuit Hu 3. 4. τοῦ πλήϑους add. Wa 5. 6. ἐκ τῶν ΟΠΡ 
CTY ABS, prius C del. Wa — 6. ἴσος — 7. στερεῷ add. Wa — 40. μο- 
γάϑες plene scriptum in AS, Z' B 48. μετρῆται Hu pro μετρεῖται 


LIBER II. PROPOS. 26. 19 


Sit primum divisibilis per 4 et quotiens x, et substi- 
tuantur numeris a B . . . centenarii zz Q . . ., et numeris 
yde... denaiig zv .. . Et apparet productum ex 
7T0...0t v... multipicatum cum producto ex Ap... 
»5£0... aequale ese producto ex a βὶ. .. γδε... 
lam sumatur productum ex A4 nu...» £0o...69 9 .... 
sitque φ; dico productum ex a 8...» 0 e€...C9m 9... 
ἰοὺ myriadas potentiae x habere, quot sunt unitates in g. 
Hoc autem per lineas demonstravit Apollonius. 

Sed quot sunt numeri in serie a B ..., si haec summa 
duplicata unà cum tot quot sunt in serie y Ó &... non sit 
divisibilis per &, in divisione igitur ulura quotientem x resta- 
bunt aut 1 aut 2 aut 8, Si igitur primum 1 restabit, pro- 
ductum ex 7 Q ... OT v... continebit 40 myriadas po- 
tentiae x, sin vero 2 resiabunt, 100 myriadas potentiae x, 
denique si 3 restabunt, 1000 myriadas potentiae x. ΕἸ ap- 
paret ex lis, quae lineis descripta ac demonstrata sunt ab 
Apollonio, productum ex & 8... y 0e... C9 9... in 
primo casu esse — 10000*.10 φ, in secundo casu — 10000* . 
400 g, in tertio casu — 10000*.4000 g. 

. Hoc autem theoremate demonstrato apparet, quomodo Prop. ἢ 
datus versiculus multiplicari et numerus dici possit, qui effi- 16 
citur numero, quem prima littera designat, multiplicato cum 
numero secundae litterae eoque producto cum numero tertiae 
litterae multiplicato et sic deinceps usque ad finem versiculi, 
quem exempli causa Apollonius initio sic proposuit 


44. ἕνα S, « A, «' B (sed paulo post ἕνα etiam AB) 46. ἑκατὸν B, 
ier A, 0S 48. γεγραμμένων Hu pro γενομένων ὁ add. Wa 

$0. δεχαπλάσιος τῶι db ABS, corr. Wa ὁμώνυμος cod. Savilianus 

ὁ (ante éxarovz.) B, δ᾽ AS 21. τοῦ Φ AB, τῷ q S 23. ὁμώνυμος 
B Savil. (non AS) 48. dà Wa τοῦ ϑεωρήματος del. Hu προεχτε- 
ϑειμένου B Savil. 34. πῶς om. Wa εστιν sine spir. et acc. A, 
ἐστι sine acc. S, ἐστὶ B. 25. ἀριϑμὸν (allerum) Hu pro τῶν ἀριϑμῶν 
46. ov add. Wa (iv B) γραμμάτων Wa pro γραμμῶν 481. πολλα- 


πλασιασϑῆναι Wa pro πολυπλασιασϑῆναι 30. ov Hu pro ὡς 
94. χατὰ τὸν στίχον del. Hu (nam vix probabile videtur xerd τὸ στοι- 
ytioy coniicere) ovtoc (sine spir. et acc.) A, corr. BS 


2* 


20 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ B. 


, , - / 2 3 Li ^ 
Aoréuidog κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι 
(τὸ δὲ κλεῖτέ φησιν ἀντὶ τοῦ ὑπομνήσατε). 
2 * 3 J £03 , ^ J - à 
18 Ἐπεὶ ovv γράμματα ἐστιν λη΄ τοῦ στίχου, ταῦτα δὲ 
, 3 4 , A , , , ’ , , , , , , 
περιέχει ἀριϑμοὺς δέκα τοὺς Q T O T QO T O X V OO, 
r4 e 331 ἢ ? , - 31 € | 
ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἔστιν χιλιαδος μετρεῖται δὲ τπὸ ὅ 
€ , 4 2 A A ’ ' , J , , , , 
ἑξκατοντάδος, χαὶ ἀριϑμοὺς ιζ΄ τοὺς μ᾽ ἐ οἱ X» À 6C * ὁ 
’ ...ῳι{ΡὋῸ᾿ » 004 [ORE 34 Ὁ » € 
E o' ο΄ v v v x ο΄ v, ὧν ἕχαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν &xa- 
^€8 Dd € A , A A A ^ 
τοντάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ τοὺς λοιποὺς [σὺν 
- ’ , ' , / / , / LE , ’ , , [4 
ταῖς μονάσιν] ια΄ τοὺς α΄ ε΄ δ΄ ε΄ & α΄ & s & a Qa, ὧν 
ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, ἐὰν ἄρα [τοὺς δέκα ἀριϑμοὺς 10 
διπλασιάσωμεν καὶ τοὺς γενομένους κ' προσϑῶμεν τοῖς εἰρη- 
μένοις ἁπλῶς ἀριϑμοῖς ἑπτακαίδεκα, τὰ γενόμενα ὁμοῦ λζ 
ἕξομεν τῶν ὑπ᾽ αὐτοῦ γενομένων ἀναλόγων, κἂν] τοῖς μὲν 
δέκα ἀριϑμοῖς ὑποτάξωμεν ἰσαρίϑμους δέκα κατὰ τάξιν 
ἑκατοντάδος, τοῖς δὲ ιζ΄ ὁμοίως ὑτεοτάξωμεν δεκάδας ιζ΄, 15 
φανερὸν ix τοῦ ἀνώτερον λογιστικοῦ ϑεωρήματος ιβ΄ ὅτι 
δέχα ἑἕχατοντάδες μετὰ τῶν ιζ΄ δεκάδων ποιοῦσι μυριάδας 
ἐνναπλᾶς δέκα. [αἱ γὰρ δέκα ἑκατοντάδες δὲς γενόμεναι, 
, , NC - A , j 
τουτέστιν κ΄, xai προσλαβοῦσαι τὰς ιζ΄ δεκάδας γίνονται AC 
ἀναλόγων Ovta: μερισϑέντα δὲ τὰ λζ΄ εἰς τὸν δ' ποιεῖ τὸν 20 
ἐκ τοῦ μερισμοῦ 9' καὶ καταλείπεται α΄, ὡς εἶναι μυριάδας 
ἐνναπλᾶς δέκα τὰ àx τῶν ἑκατοντάδων δέκα καὶ δεκάδων «C. 


19 Ἐπεὶ δὲ καὶ πυϑμένες ὁμοῦ τῶν μετρουμένων ἀριϑ- 
μῶν ὑπὸ ξκατονταδος καὶ τῶν μετρουμένων ὑπὸ δεκάδος 
εἰσὶν. οἱ ὑποκείμενοι x^ 25 


α΄ y B y d y Bg c δ΄ α΄ 
δ' αἱ ζ' β' γ α' β' Κ ζῶ ζὶ ε' εἰ ε β΄ Ua, 


—— ὄ....... Ξ .. -. 


4. χλεῖταε ΑΒ Savil., « expunxit A?, unde χλεῖτε S 9. χλεῖτε 
φησὶν A?S, χλεῖτεε (φησὶν A!B 3. λη Wa, .1M οἱ eádem mauu 
superscriptum 22H A, ὃμ λη BS (sed in B uterque numerus ex- 
punctus) 4. τοὺς APTCTPCXYP A Paris. 2368 S (magis etiam cor- 
rupti B Savilianusj, corr. Wa 6. 7. τοῦ CMIOK 4IKORONNNKOI 
A, τοῦς et reliqua perinde B (magis etiam corrupti Paris. 2368 S Savil.), 
corr. Wa 8. 9. συνταῖς d A(B), del. Hu 9. τοὺς etc. add. Hu 
40. τοὺς δέχα — 43. xav interpolatori tribuit Hu 44. προσϑῶμεν om. 
Wa τοῖς γενομένοις Wa. 42. ἁπλῶνϑ. 43. ὑπ᾽ αὐτοῦ] '470à- 


LIBER 1l. l'ROPOS. 96. 21 


Zoréuudog κλεῖτε χράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι 
ἰκλεῖτε autem dicit pro ὑχγομνήσατε, i. e. in memoriam re- 
vocale sive celebrate). 

Quoniam versiculus litteras continet 38, in iisque decem, 
scilicet 0 τ 01 QT O y v Q, quae significant numeros sin- 
gulos minores millenario et per centenarium divisihiles, sci- 
licet 100, 500, 200, 500, 100, 500, 200, 600, 400, 100, 
porro septendecim, scilicet ttox Auxo&oovvvxo t, 
quae numeros significant singulos minores centenario el per 
denarium divisibiles, scilicet 40, 10, 70, 20, 30, 10, 30, 70, 
60, 70, 70, 50, 50, 50, 30, 70, 10, denique undecim, sci- 
lieta δε ξδαεξδϑδα a, quae numeros significant sin- 
gulos minores centenario, scilicet 1, 5, 4, ὃ, 5, 1, 50, 5, 5, 1, t, 
si igitur decem illis numeris substituamus totidem in ordine 
centenariorum , et alteris illis septendecimi totidem denarios, 
ex superiore logistico theoremate XII apparet decem centena- 
rios uná cum septendecim denariis efficere decem myriadas 
noncuplas. (Nam 410 centenarii multiplicati cum 2 fiunt 20, 
his additi 17 denarii faciunt 37, quae est summa analogorum 1), 
id est. singulorum denariorum, unde myriades computantur ; 
etenim 37 : & Ξ 9, restatque 1; sunt igitur 40. 100009.] 

Sed quoniam numerorum et per centenarium et per de- 
narium divisibilium fundamentales sunt hi qui sequuntur vi- 
gini septem 

4, 3, 

A, 1 


4, 3, 2, 6, 4, 1 | 
, 8, 4, 2, 7, 6, 7, 7, 5, 5, 5, 9, 7, 4, 


) 


4) Vide append. ad hunc librum. 


lev(ov intellexisse videtur interpolator γενομένων A! ex γενόμενον 


post ἀναλόγων add. πλῆϑος Wa 44. ὑποτάξομεν À, ὦ Superscr. 
! man. δέκα Wa pro dé xe, item vs. 17 46. ἀνωτέρου Wa 
linvitis ABS; 48. αἱ γὰρ — 48. δεχάδων ιζ΄ interpolatori tribuit 


Hu 40. ἀναλόγων --- τὰ .4Z add. A? in marg. (BS) ἀνάλογον coni. 
Hu, τὸν ἀναλόγων B, τῶν ἀναλόγων Wa μετρισϑέντα Wa (voluit με- 
τρηϑέντα) 39. δέχα x«l Wa pro dà χαὶ 4244. χαὶ τῶν Wa pro καὶ 
τοῦ τῶ 85. χζ' add. Hu — 326. 27. 4BI'ATBs4AAAZBPABEGZ 
ZEEEBZA ABS, corr. Wa 


22 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ B. 


᾿ἀλλὰ καὶ τῶν ἐλασσόνων δεκάδος εἰσὶν ια΄, τουτέστιν ἀριϑ- 
μοὶ ot 
a ε΄ δ' & & o εἰ ε΄ ε΄ α’ qd, 
ἐὰν τὸν ἐκ τούτων τῶν (a καὶ τὸν ἐχ τῶν xL πυϑμένων 
στερεὸν δι᾿ ἀλλήλων πολλαπλασιάσωμεν, ἔσται ὃ στερεὸς 5 
μυριάδων τετραπλῶν L9' καὶ τριπλῶν Sis καὶ διπλῶν M rad . 
20 [Ἴσος δὲ τούτῳ συνάγεται xol ὃ διὰ τῶν τοῦ στίχου 
πυϑμένων ἅμα ταῖς μονάσιν 
Ἰρτέμιδος κλεῖτε χράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι, 

οἵ εἰσιν co a y & δ' o δ' ζ΄ β' B y & a y & f a' a'10 
γ' ζ΄ β' & c ζ΄ c ζ e ε΄ e ε΄ & α' β' ζ΄ δ' α΄ c α΄. 

ἕν γὰρ ἐπὶ α΄ γένεται α' 

ἐπὶ y' γένεται y' 

ἐπὶ ε΄ γένεται ic 

ἐπὶ δ΄ γένεται E 1ὅ 

ἐπὶ α΄ γένεται E 

ἐπὶ δ΄ γίνεται σμ' 

ἐπὶ ζ΄ γένεται αχπ΄' 

ἐπὶ β' γένεται γτξ' 

ἐπὶ β' γίνεται yx 20 

ἐπὶ γ᾽ γένεται u* B. xol u? o£ 

ἐπὶ ε΄ γένεται u* v. καὶ u?^ v. 

ἐπὶ αἱ γένεται u^ v. xol u? o' 

ἐπὶ y! γένεται u* À καὶ u?. Bv 

ἐπὶ ε΄ γένεται u^ ove! xol u? B 25 

ἐπὶ β΄ γένεται u^ τβ' καὶ μὴ ὃ 

ἐπὶ α΄ γένεται u" τβ΄ χαὶ u? ὃ 

ἐπὶ α΄ γίνεται u^ τβ' χαὶ μ ὃ 

ἐπὶ y γίνεται u^ ghU καὶ u? B 


4. vo» om. γα δεκάδος Wa pro dexadec ια' add. Wa. — 4.2. ἀριϑ- 
μοὶ οἱ Hu pro ἀριϑμῶν 8. ΔΕΔΕΓΑΒΕΕΛΔΑ͂ ABS, corr. Wa 
4. τῶν (ante ταὮ Wa pro τοῦ τὸν ix add. Wa 5. πολλαπλασιά- 
ζωμεν Wa ἔσται Hu pro ἔσονται 6. 49 B Wa, ΟΘ AsS8. 7 sqq. 
Ἴσος δὲ etc.) totum caput 30 interpolatori tribuit Hu — 7. καὶ om. Wa 
8. ἅμα ταῖς μονάσιν non debebat omittere interpolator, add. Hw 
9. χλειται (sine acc.) À, e superscr. 4 man. 40 sqq. of εἰσιν etc.] 
hinc usque ad finem capitis apponitur continua scriptura codicis A, et 
uncis interclusa adiiciuntur si quae in BS correcta sunt; reliqua omnia 


a Wa emendata esse putato: o? εἰσὶν AAT E | 444ZBBIFEATEBAA 
TZg;ESsZEEEEEABZAAAA. εν yap επι A γένεται Α΄ ἐπὶ Γ γένεται 


LIBER 1i. PROPOS. 36. 23 


et undecim numeri minores denario 
4, 5, 5,5, 5, 4, 5,5, 5, 4, 4, 
si productum ex his undecim cum producto ex illis viginti 
septem multiplicaverimus, efficietur solidus numerus 
19.100004 4- 6036 -100003 -ε- 8480. 100007, 
[Aequale productum efficitur, si-et fundamentales nu- 
meros et unitates ex ordine versiculi 
Joréuidog κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι 
inter se multiplicamus, qui numeri sunt 4, 4, 3, 5, ὁ, 4, 4, 
7, 2, 2, 3, 5, 4,8, 5, 2,1, 4,3, 7, 2, 5, 6, 7,6, 7, 5, 5,5, 
ὅ, ὅ, 4, 9, 7, , 4, 4, 1ἢ 










x ἘΙ Xx 
Arg FRE καὶ 
idi 
ΒΞ ΞῈ ΒΈ ΒΈΙΣ 

3x5 e 

x 

κά 

UX T 

x2 

x2 

x3 

x5 ..10 

x3 .|..30/2400 

x5 . .|-151/2000 

x2 eee [302/4000 

X3... s. 1907/2000 











*) In schemate, quod sequilor, rationem multiplicandi, quam Grae- 
cus scriptor adhibuit, quantum fieri potuit, retinuimus; expulimus au- 
tem supervacaneas istas multiplicationes quae per 4 fiunt, eaeque ab ipso 
scriptore, non a librario, in fine capitis omissae esse videntur. 





T ἐπὶ E γίνεται TE ἐπὶ 4 γίνεται E. ἐπὶ Α γίνεται E ἐπὶ 4 


γίνεται CM ἐπὶ Ζ γίνεται ΑΧΠ ἐπὶ B. γίνεται ,ATR. ἐπὶ B 
γίνεται GSUK ἐπὶ Τ γίνεται ἅ Ἢ καὶ ἃ OPE ἐπὶ E γίνεται [d 
rd S) 1 καὶ ἡ ὦ ἐπὶ A γίνεται αὶ 1 καὶ αὶ ὦ ἐπὶ Τ' γίνε- 
rel 1 καὶ B ἘΚ ἐπὶ E γίνεται [D ῬΝΑ͂ καὶ αὶ B ἐπὶ B 
γίνεται TB καὶ ἃ 4 ἐπὶ 4 γίνεται À TB καὶ ἃ 7 ἐπὶ 4 


γίνεται TB καὶ ᾿ὶ 4 ἐπὶ T. γίνεται (μυριάδες S) ΤῸῺΖ καὶ ἡ ες 





21 ΠΛΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHS B. 


ἐπὶ ζ΄ γέγεται u^. z2Ty xo u?. ὅ 

ἐπὶ Δ΄ γένεται μὴ e χαὶ u^. βιν' χαὶ u? ἡ 

ἐπὶ εἰ γένεται μὲ τ΄ χαὶ au". yqd' 

ἐπὶ ς΄ γένεται uH λη xe u" αχδ' 

ἐπὶ ζ΄ γένεται u? ots! χαὶ u*. ζρξη δ 
ἐπὶ z' γένεται u^ ay χαὶ u^ yn 

ἐπὶ ζ΄ γένεται u P n! xol uP «aA, καὶ u*  nvz' 


ἐπὶ εἰ γένεται μΓ εἶ xal μὲ ς καὶ μ'' ton 

ἐπὶ ε΄ γένεται UT. xn καὶ u? νβ΄ καὶ μα cv . 

ἐπὶ ε΄ γένεται μΓ ou. καὶ μβ £y χαὶ u" B 10 
€ 


΄ γένεται aT. ψ' xal uPÜ ατι τ΄ 

ἐπὶ ε΄ γένεται aT. γῳ' xal uf. 5q0 

ἐπὶ c γένεται uT. yq! καὶ μ zqn' 

ἐπὶ β' γένεται ur £e. x«l μὴ γρξ' 

ἐπὶ ζ΄ γνένεται " Ó xal ΜΙ 99' x«i pu? pex 15 
ἐπὶ δ΄ γίνεται u? 19' xai μΓ ,sÀs' xe u^ qun.) 


21 "brat δὴ συμπολλαπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Exa- 
τοντάδων xci δεκάδων στερεόν, τουτέστι τὰς προχειμένας 
μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα, ποιοῦσιν μυριάδας τρισχαιδεχαπλᾶς 
(Cs, δωδεχαπλᾶς víp, ἑνδεκαπλᾶς δω΄. ἱἐνναπλαῖ γὰρ 20 
μυριάδες ἐπὲ μὲν τετραπλᾶς ποιοῦσι τρισχαιδεκαπλᾶς, ἐπὶ 
δὲ τριπλᾶς γενόμεναι τιοιοῦσιν δωδεχαπλᾶς, καὶ ὁμοίως 
ἐπὶ διπλᾶς πολλατιλασιασϑεῖσαι γένονται ἑνδεκαπλαῖ "ει 
ταῦτα γὰρ πάντα προδέδεικται. 

22 Φατέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον 25 
Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι 
πολλαπλασιασϑέντα δι᾽ ἀλλήλων δύνασθαι μυριάδων πλῆς 
Joc τρισκαιδεκαπλῶν ρΟ ς΄, δωδεκαπλῶν τξη΄, ἑνδεκαπλῶν 
δω΄, συμφώνως τοῖς ὑπὸ ἀ᾿!πολλωνίου κατὰ τὴν μέϑοδον 

ἐν ἀρχῇ τοῦ βιβλίου προγεγραμμένοις. 30 


ἐπὶ Ζ γένεται lí ς TN καὶ 4.1 ἐπὶ B γένεται ἅ A x xe) ἅ C χαὶ 


É, H ἐπὶ E γένεται M c καὶ É, ΓΦ, ins Ξ γίνεται B AH 4H χαὶ ἃ ZPEH 
ἐπὶ ς γένεται ΓΕ Go ἡ ΓΗ ἐπὶ Ζ γένεται μα καὶ iu A4CH καὶ fi 
Q1Nz ἐπὶ E γένεται καὶ E καὶ ἢ εἴ καὶ ἅ ECH ἐπὶ E γένεται Á KH 
χαὶ Á NB καὶ ἥ sY ἐπὶ E γένεται & PM χαὶ αἰ CET καὶ ἅ 2 ἐπὶ E 
γένεται ἤ 5 καὶ f ΤΙς ἐπὶ E γίνεται ἢ De καὶ ἃ ΞΦΠ ἐπὶ 4 


γένεται ὦ ΓΦ χα SH ἐπὶ B γένεται Á, ZA καὶ ΒΡΚ ἐπὶ 4 








«& 
Δ 
u 


LIBER ii. PROPOS. 26. 29 


NMNNMNMMNM 635014000 
, .419700/8000 

. 61350410000 
. .38/409510000 
" .966/71680000 
NNNM 4600,3008/0000 
..1490240560000 
....516040/5980/0000 

.|. 98/0059 6400/0000 
.|.4&010263 900010000 
....|.70014346/0000/0000 
....1350016580/0000/0000 
ἐνὸν Ἴ004.8160 0000 0000 
— ...59009/9190/0000/0000 
— ..19/6036/8480/0000:0000 


Hoc igitur productum multiplicatum cum producto ex 
centenariis et denariis, id est, ut supra computatum est, cum 
10. 100009, efficit 196.40000!3 4- 368-10000!? 4- 4800. 
10000!!, [Est enim 

(19.100004 -- 6036.10000? -- 8480.-100002)-410000? 
— 19. 100001 Ἐν -- 6036. 100003 Ἐ" 4- 8480. 100002 Ὁ *, 
et id productum multiplicatum cum 10 

- 196.10000!3 - 368. 10000!? - 4800. 1000011.] 
liaec enim omnia supra demonstrata sunt. 

Jam dicendum est versiculum qui ab initio propositus erat 
Aovéuidog κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα χοῦραι, 
singulis litteris inter se multiplicatis,. efficere 496. 10000.13 
-- 368-10000!? - 4800. 1000011, congruenter cum iis quae 
Apollonius ea quam invenit ratione initio libri demonstravit. 


XXXXXXXXXXXXXXX 


γίνεται [fl TO xoi ἀ cs xci ἃ "HY. 47. δὴ add. Hu, οὖν Wa 


συμπολυπλασιαζόμεν κα ABS, corr. Wa 49. ἐνναπλᾶς add. Wa rotis 
xai δεχαπλᾶς ABS, corr. Wa, item vs. 3! 30. 1ὦ A, δόω BS 
ἐνναπλαῖ — 23. ἑνδεχαπλαῖ interpolatori tribuit Hu; omisit autem inter- 
polftor multiplicationem per decem (conf. infra cap. 36) 23. δωδε- 
καπλῶς Wa pró 1B 48. διπλᾶς Wa pro διπλῶν 26. post χλειτε 
(sic) add. A ligaturam εἰ, sed eam expunctain 27. πολλαπλ. di ἀλλ᾽ 
om. Wa 23. τρεῖς xal δεχκαπλῶν AB, corr. Wa 29. “ὦ AB (,«c 
S) 30. προγέγραμμένην Wa 


23 


24 


26 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX B. 


Παλιν δεδόσϑω στίχος ὃ ὑποκείμενος 
πῆνιν ἄειδε ϑεὰ Ζημήτερος ἀγλαοχκάρπου, 


N » [4 , 3 J M € , e - 
καὶ εἰλήφϑω τὰ τε ἀνάλογα καὶ οἱ πυϑμένες ἅμα ταῖς μο- 


γάσιν ὥσπερ ὑπόκεινται 


δ΄ 7 € α΄ e a ε΄ al δ΄ c 9' ε΄ a δ΄ 7 δ΄ n y e α΄ 


ζ' Bg a' y y a' ζ Bg a a ) ζ' δ', 


xai πεπολλαπλασιάσϑωσαν δι᾽ ἀλλήλων οἱ ἀριϑμοί" γίνον- 
ται τετραπλαῖ μυριάδες δύο, τριπλαΐῖ αωμϑ', διπλαῖ δυβ', 


ς -“Σ»΄: , 
ἁπλαῖ εχ΄. 
Τέσσαρες γὰρ μ᾽ ἐπὶ γ΄ γίνονται λβ' 
2 * ' , 
ἐπὶ ε΄ γένονται oi 
ἐπὶ μίαν γίνονται ρξ' 
ἐπὲ & γίνετοι ω’ 
ἐπὶ α' γίνεται ὠ΄ 
éni ε΄ γίνεται ὃ 
ἐπὶ μίαν γίνεται ὃ 
3 M , , « ’ ^ 0 , 
ἐπὶ Ó γίνεται u* oa xat u? c 
émi & γίνεται u* v 
7 μη 
ἐπὲ 9' γίνεται u^ οβ' 
ἐπὶ ε΄ γίνεται u* vE 
ἐπὲ a' γίνεται u^ vE 
ἐπὶ δ΄ γίνεται u*  avu' 

S ἢ , β , ν üu , 
ἐπὶ wq γίνεται ui α' καὶ μ΄ agx 
ἐπὶ à γίνεται u δ' καὶ u*. cn 
3. 2! . B , δ u , 
ii η γίνεται μ᾿ Àc' καὶ μ΄ ηχμ 
3 s / , β , ' & 
éni y γίνεται ui? Qu καὶ u^  &CIvx 
ἐπὶ εἰ γίνεται μθ΄ qvf xai u* 9χ' 

» A. p ^ 2 « 94 ' 
ἔπι α γίνεται u^ φνβ καὶ u^ ϑχ 
, A ) p , M «c C , 
ἐπὶ ζ΄ γίνεται μ᾽ γωο΄ καὶ u* Lo 
3 * gg »] e ' « , 
ἐπὶ β' γίνεται μ᾿ Duo! καὶ u* δὺυ 


/ 


4. Πάλιν etc.] haec usque ad finem libri non a Pappo, sed ab alio 


posteriore scriptore, eodem fortasse qui cap. 30 composuit, addita esse 
videntur 3. μονάσιν S, d AB 5. 6. pro omuibus his numeris, 


quos restituit Wa, hos tantummodo habet A: 21 I. E 4 E 4 H Z .1 


ek superscr, 4 man. E.4 ΕΑ 6 E (magis etiam corrupti BS) 


8. τέ- 


5 


10 


15 


LIBER 11. PROPOS. 486. 27 


Rursus datüs sit versiculus qui sequitur 
Μῆνιν ἄειδε ϑεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου, 
ac sumantur et analogi (supra p. 21) et fundamentales unà 
cum unitatibus hoc ordine 
{, 8, ὅ, 1, 5, 4, 5,14, 4, ὅ, 9, 5,1,4,8, 4, 8,3, 5, 4, 7, 2, 
1, 8, 8, 4,7, ἢ, , 4,8 7, 4, 

el hi ipsi numeri (i. e. fundamentales μπά cum unitatibus) 
inter se multiplicentur: fiunt 2- 100004 -4- 4849. 100005 4- 
4402-100002 4- 5600 40000. 

Fiunt enim 


J»yu»n 


J»Y 20231 
530»i0aT 


yu 
5apnidanl 
$30x10ar 


- 


320210 
$apnióan 


. 79/0000 
. .|.360/0000 


TED PED 1440/0000 
.14520,0000 

. Ά 6080 0000 
..36/8640/0000 
.110/5920/0000 
.952/,9600/0000 
PEE .|3870/7200/0000 
eder i4 444,4&£00/0000 


XXXXXXXXXXXXXXXX 


τραπλαὶ μυριάδες Hu, δὲ Μ᾽ μυριάδες ABS (ubi dà Μ᾽ corruptum ex 
“1πλαὶ, δὲ μυριάδες τετραπλαὶ Wa 45. 46. 71 utroque loco A (B) 

47 —232. μ΄ Hu, uiv ubique ABS, Mv. Wa 33 sqq. ἐπὶ *» etc.] haec 
rursus usque ad finem capitis continuá scripturá ex A repetuntor (conf. 
supra ad p. 22, 40 sqq.): ἐπὶ H γίνεται μὲν (MB. Wa, corr. Hu, et 
similiter posthac) .4 καὶ à ,4dK ἐπὶ A γίνεται μὲν 2 καὶ dá SH 


ἐπὶ H I γένεται dg xol üH xe ,AXM ἐπὶ D "γίνεται f PI καὶ 


μὲν ἘΚ ἐπὶ E γίνεται μὲν ΦΝΒ καὶ μεν ΘΧ ἐπὶ Ζ γίνε- 
ται μὲν ΓΩΟ καὶ ἡ ΖΟ ἐπὶ B γίνεται ,Z4MA καὶ μὲν "X 


29 


26 


27 


8 nan ΠΟΥ ZYNATQTHE B. 


ἐπὶ α΄ γίνεται μθ ἔψμα' καὶ u* δυ' 

ἐπὶ Y γίνεται "t F xai μ γσχδ' καὶ u* γσ' 

ἐπὶ y γίνεται uT ς΄ καὶ yu? ϑχοβ' καὶ u" 3x 

ἐπὲ a' γίνεται μ΄ ς΄ καὶ μβ 34of8 καὶ u* ϑχ' 

ἐπὶ ζ΄ γίνεται uT μη καὶ uP DU. καὶ u^ Lo 

ἐπὶ β' γίνεται ut οξ καὶ μθ΄ svxo' καὶ ue v 

ἐπὶ c καὶ πάλιν ἐπὶ α "γίνονται uL ΟΣ καὶ ul evxa' 
καὶ u* δυ' 

ἐπὲ η΄ γίνεται μ᾽ ψπ' καὶ [d 7τοα' xai u^ so 

ἐπὶ D γίνεται HT εὐυξβ' xoi μβ yx καὶ u" ev 

ἐπὶ Ó γίνονται μδ β', τριπλαΐῖ αωμϑ', διπλαῖ δυβ', 
ἁπλαῖ εχ΄. 

Τῶν δὴ ἀναλόγων κβ΄ καὶ μετρουμένων ὑπὸ τετράδος 
[καὶ δυάδος ὑπολειπομένης) ὅσαι μονάδες γεγόνασιν [μέτρῳ 
εἰς εἼ, τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν ἐχβάντα διά τε τῶν μο- 
νάδων χαὶ [διὰ τῶν πεπολλαπλασιασμένων] πυϑμένων ἀριϑ- 


’ λέ δὲ A * τὸ y et 
μὸν (λέγω δὲ τοσαυταχις χατὰ μυριάδων αὐξησιν), core 


J M , € [4 , ^ , 
γίνεσϑαι τὸν πρότερον ὑπάρχοντα μυριάδων τετραπλῶν δύο, 
t Li ^v / M € ^ , “« *? ^ 
τριπλῶν Gu), διπλῶν δυβ' καὶ ἁπλῶν ey, νῦν ἐνναπλῶν 
β΄, ὀχταπλῶν, αωμϑ', ἑπταπλῶν δυβ', ξξαπλῶν ey. 
€! M / ^ 3 , 4, e 3 Ml 
Ὅτι δὲ περιλέλειγτται τῶν ἀναλόγων δύο, ἅπερ ἐστὶ 
τῆς ἑκατοντάδος, τοσαυτάχις αὐξήσομεν τὸν εἰρημένον ἀριϑ- 
, et Ύ J , ^ , 3 - , 
μόν, ὡστε εἶναι μιριάδων ἐννατιλῶν aur , ὑχταπλῶν OCuó, 
ἑπταπλῶν ovc. 
“Ρητέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον 
^ » , 
Mii aede ϑεὰ Ζ“ημήτερος ἀγλαοκάρπου 
πολλαπλασιασϑέντα δύνασϑαι μυριάδων πλῆϑος ἐνναπλῶν 
, ? ev , « ^ , 
σιη, ὑχταπλῶν OC uo, ἐπταπλῶν ovg. 


ἐπὶ 4 γένεται & ΖΨΜΑ xeldi Y ἐπὶ T γίνεται uiv B καὶ ὦ TCKA 
x«l αὶ ΓῸ ἐπὶ Γ γίνεται É Ξ καὶ E ΘΧΟΒ καὶ μὲν 6x dn 4 
yiverai & S xol à K& ΘΧΟΒ καὶ ἡ, ΘΧ ἐπὶ Ζ Z γίνεται f M H καὶ ü 
,ΖΨΙ καὶ μὲν Ζῶ ἐπὶ B B γένεται & GZ & ,EYKA καὶ & ΔΎ (post 
haec ἐπὶ αὶ γίνεται My. GC καὶ Mf. εὐχα ed Ma Jv add. ]l. Wa, ἐπὶ 

^ tantummodo add. Hw) χαὶ πάλιν ἐπὶ A γώονται u GZ QEYKA χαὶ 
E ΔΥ iH γίνεται ἍΝ VII καὶ uiv J*hOA4 καὶ & EC ἐπὶ Ζ 


γένεται & ΕΥ̓ΞΒ καὶ ( ΓΧ καὶ b SY ἐπὶ 4 γένονται ü B τριπλαὶ 











10 


15 


20 


25 


LIBER 11. PROPOS. 6. 99 


.2/3924(3200]0000 
.6/9672/9600/0000 
. .48/7740/7200/0000 
..97/5491/44000000 
780/3374 5200/0000 
....[5469/3600/6500/0000 — 
. .24849/4402/5600/0000 


Quot autem sunt analogi, hunc numerum per 4 divi- 
damus, et quot sunt in quotiente unitates, toties mullipli- 
cabimus illud productum, quod ex multiplicatione unitatum 
et fundamentalium prodiit (dico autem "toties" de peculiari 
iyriadum multiplicatione), ita ut fiant 
. (2: 400001 - 1849. 100009 «- £402.100002 4- 5600 - 10000) . 
400005 2 32.400009 -4- 1849. 100005 «- 4£402.100007 -4- 

5600 - 100005, 
Quoniam autem in analogorum divisione relicti sunt 2, id est 
400, toties multiplicabimus hunc quem modo dixi numerum, 
ita ut sint 218. 100009 -4- 1944 .-410000* 4- 256-100007. 

Dicendum igitur est versiculum, qui ab initio propositus 
erat, 


XXXXXXX 
i 20 NO —-1 02 ὦ 
MMENMENM 


Mijn» ἄξιδε ϑεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου, 
singulis litteris inter se multiplicatis efficere 318. 100009 -- 
4944-4100005 4- 256 400007. 


,490M8 διπλαὶ AYB ἁπλαῖ ΒΧ ὁ Ν 43. δὴ] δὲ Wa, δὴ τῶν 
ABS 44. x«l — ὑπολειπομένης del. Hu xal ante ὑπολειπομένης 
repetunt ABS, cuius loco τῆς coni. Bredow epist. Paris. p. 188 
ὅσαι μονάδες Hu pro ὅτε μὲν 44. 45. μετρω εἰς (sine acc. el spir.) 
E A(BS), del. Hu (μετρούμεναι εἰς ε΄ voluisse videtur interpolator) 
46. διὰ τῶν πεπολλαπλασιασμένων Wa, τῶν διαπεπλασμένων ABS, 
del. Hu 47. λέγω — αὔξησιν) haec utrum ab ipso huius loci scrip- 
tore, an ab alieno interprete interserta sint, ambiguum videtur 
48. μυριάδων add. Hu 49. νῦν — 90. ἑξαπλῶν ty om. et post 
ὥστε γίνεσϑαι interponit μυριάϑων ἐνναπλῶν etc. Wa 20. ἕξα- 
πλῶν S (ἐξαπλῶν B), ἐχαπλῶν A 48. μυριάδων Wa pro μονάδων 
,JTM.A AB, ilem vs. 48 35. ov» add. Wa 48. in fine add. S 
Bi. B τέλος 


90 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


IIAIIIIOY ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Γ. 
Περιέχει δὲ προβλήματα γεωμετριχὰ ἐπίπεδά τε xal στερεά. 


Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον 
διακρίνειν, ὦ κράτιστε Πανδροσίον, πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι, 
καλεῖν ἐφ᾽ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασχευάσαι, 5 
ϑεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποχειμένων τὸ ἑπόμενον αὐτοῖς 
καὶ πάντως ἐπισυμβαῖνον ϑεωρεῖται, τῶν παλαιῶν τῶν μὲν 
προβλήματα πάντα, τῶν δὲ ϑεωρήματα εἶναι φασκχόντων. 
ὃ μὲν οὖν τὸ ϑεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον 
τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς 10 
προτείνοι, ὃ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων [ἂν μὲν ἀμαϑὴς 7) καὶ 
παντάπασιν ἰδιώτης], xiv ἀδύνατόν πως κατασχευασϑῆναι 
προστάξῃ, σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύϑυνος. τοῦ γὰρ 
ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι, τό τε δυνατὸν xai τὸ 
ἀδύνατον, κἂν ἢ δυνατόν, πότε καὶ πῶς καὶ ποσαχῶς Óv-15 
νατόν. ἐὰν δὲ προσποιούμενος ἡ τὰ μαϑήματά πως ἀπεί- 
ρως προβάλλων, οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω. πρῴην γοῦν τινες 
τῶν τὰ μαϑήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν 
προβλημάτων προτάσεις ἀμαϑῶς ἡμῖν ὥρισαν. περὶ ὧν 
ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμᾶς 20 
εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε xai τῶν φιλομαϑούντων ἐν τῷ 
τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ. τὸ μὲν οὖν πρῶτον 
τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν 
ἀμαϑῶς" τὸ γὰρ O60 δοϑεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον 
ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι δι᾿ ἐπιπέδου 25 


4. 4. πάππου ἀλεξανδρέως. συναγωγῶν Γ᾽ περιέχει --- στερεεί om. 
ΑἹ, add. A? (B, nisi quod hic συναγωγὼών τρέτον), Πάππου ἀλεξανδρέως 
μαϑηματιχῶν συναγωγῶν Bi. FT 8, ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ corr. Hu 4. xpa- 
τίστη πανδρόσιον ABS, Cratiste Co, corr. Hu (conf. indicem) 40. τὸ» 
ἀχόλουϑον τοῦτον ABS, consequens eius Co, corr. Hu ὑγειῶς AB, corr. 
S A4. ἂν μὲν — 49. ἰδιώτης interpolatori tribuit Hu — 16. 47. προσ- 
ποιούμενος ἠἡσχηχέγαι và μαϑήματα πως ἀπείρως προβάλλῃ coni. Hu 
προβάλλων S, προβα]λὼν A, προβαλὼν B 48. τὰς add. Hu. 20. ἀπο- 
δειξίς (sine acc.) A, corr. ΒΒ 94. ὠφελέαν A, corr. ΒΒ qiioua- 


LIBER III. 91 


Pappi Alexandrini eolleetionis liber III"). 


Continet problemata geometrica plana ac solida. 


Quicunque ea quae in geometria quaeruntur ex artis 
praeceptis accuratius discernere volunt, clarissime Pandrosio, 
problema appellari existimant; in quo aliquid efficiendum et 
construendum proponitur, theorema vero in quo quaedam ita 
ponuntur, ut id quod consequitur atque omnino inde con- 
tingit perspiciatur. Quamquam veterum alii problemata om- 
nia, alii omnia theoremata esse dicunt. Qui igitur theorema 
proponit, postquam aliqua ratione id quod inde consequitur 
mente praecepit, id ipsum quaerendum esse putat neque alio 
modo recte proponere videtur; qui vero problema proponit, 
etiamsi forte id praecipiat quod construi vix ulla ratione possit, 
venia tamen est dignus et culpa vacat; quaerentis enim est 
hoc etiam determinare, quid fieri possit, quid non, et, si 
fieri possit, quando et quomodo et quotupliciter fieri possit. 
At si quis mathematica se doctum esse profiteatur et tamen 
temere proponat, non est extra culpam. Ut nuper qui- 
dam eorum, qui mathematicis a te institutos se esse pro- 
fitentur, problematum propositiones imperitius nobis determi- 
naverunt. Quibus de rebus aliisque eius generis oportebat 
nos, ut et tibi et omnibus quicunque doctrinae student con- 
suleremus, hoc tertio collectionis libro demonstrationes quas- 
dam afferre. Primum igitur problema homo quidam, qui 
magnus esse geometra videbatur, imperite determinavit. Nam 
quomodo datis duabus rectis lineis duae mediae 
proportionales in continuaanalogia invenirentur, 


4) Hic liber quattuor partibus constat, quas ipse scriptor satis 
aperte distinguit. Primum enim problema, quod ab alio viro mathe- 
matico propositum esse dicitur, explicatur cap. 2—427, secundum 
cap. 28— 57, tertium cap. 58— 73, quibus succedit quartum inde ἃ 
cap. 75. 


ϑούντων Hu pro φιλομαϑῶν τῶ 42. rovrov À, corr. BS 84. δύο 
Hu pro dvo τῶν 85. ἀναλογίᾳ B3S, ἀναλογέαν AB! 


92 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


ϑεωρίας, ἠξίου δὲ καὶ ἡμᾶς ὃ ἀνὴρ ἐπισχεψαμένους ἀπο- 
χρένασϑαι περὶ τῆς ὑπ᾽ αὐτοῦ γενηϑείσης κατασχευῆς, ἥτις 
ἔχει τὸν τρόπον τοῦτον. 

Ἔστωσαν δύο εὐϑεῖαι αἱ “418 AT πρὸς ὀρϑὰς ἀλλή- 
λαις, καὶ ἤχϑω ἀτιὸ τοῦ B τῇ AD παράλληλος ἡ B4, καὶ 5 
κείσϑω τῇ ΑΒ ἴση ἡ BA, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 4T, xai συμ- 
πιπτέτω τῇ ΒΑ͂ κατὰ τὸ E, καὶ ἀπὸ τοῦ E τῇ AT παραλ- 
ληλος ἡ ΕΘ, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἡ 7 ΒΖ, xoi ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 
τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΔΉ, καὶ κείσϑωσαν τῇ B4 ἴσαι αἱ 
Ω͂Ν N44 445 AK, καὶ διὰ τῶν Ν 24 & K σημείων τῇ BE10 
παράλληλοι αἱ NO 4M II ΚΘ, καὶ κείσϑω τῇ ΒΑ͂ ἴση 
ἡ KP, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ KP κατὰ τὸ S, καὶ ὡς ἡ ΚΘ 
πρὸς OX, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς OT, ὡς δὲ ἡ ΣΘ πρὸς OT, 
οὕτως ἡ OT πρὸς ΘΦ, καὶ ἀφῃρήσϑω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ 4B 
ἴση ἢ XA, xai ἐπεζεύχϑω ἡ ΧΚ xai ἣ ΧΦ, xai ἀπὸ τοῦ 15 
Σ τῇ ΧΦ παράλληλος ἡ ΣΨ, ἀπὸ δὲ τοῦ 'P τῇ ΚΞ παραλ- 
ληλος ἣ ΨΩ, καὶ ἔστω ὡς 41MM πρὸς MO, οὕτως 7 $22M 
πρὸς IM. ὡς δὲ ἡ 9M πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ AM πρὸς MB, 
καὶ ἀφῃρήσϑω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ AB ἴση ἧ NI, xai ἐπε- 
ζεύχϑω ἡ D'A4. xai dj DB, xai ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Q τῇ BI'20 
παράλληλος ἡ ἡ Q4, ἀπὸ δὲ τοῦ 4 τῇ AN παράλληλος ἡ ἢ AE, 
xai ἔστω ὡς 7 AH πρὸς ΗΕ, οὕτως ΗΕ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ 
3 EH πρὸς ΗΖ, οὕτως 1) ΖΗ πρὸς H Θ, καὶ ἐπεζεύχϑω 
? ΘΓ, χαὶ ἤχϑωσαν τῇ 9b ᾿παράλληλοι αἱ ΖΚ EA, xai 
ἀπὸ τῶν K 4] ταῖς 4T B4 παράλληλοι αἱ KM ΑΝ") 
δεῖξαι ὅτε τῶν 4I BA μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ M K NA. 


4. ἠξίου δὲ Hu, ηξιούτε (sine spir) ἃ (BS) 4. α' om. AB, add. 
S 6. ἐπι[ζεύχϑω (sine spir.) A(B', corr. S 7. ante ἀπὸ τοῦ E 
cogitatione addendum est ἤχϑω, quod saepius scriplor oinisit 40. ἤχ- 
ϑωσαν ante διὰ τῶν add. Βέ διὰ τῶν Ν. EK A, ἀϊδιΐηχ. BS 
48. πρὸς ὃσ V? pro πρὸς ΘΕ πρὸς 4 OT, ὡς Hu, πρὸς τὸ OT ὡς AB!S, 
πρὸς τὴν ὅτ ὡς B3 43. 44. πρὸς Θ οὕτως (omisso 7) A, corr. BS 
45. ἐπιζεύχϑω AB, corr. S (nisi quod lapsu calami ἐπεζεύχω habet) 
47. 48. ? 9M 1 πρὸς ΜΘ πρὸς ΜΒ ABS, pro ΜΘ corr. ue. B* Co, tum ὡς 
δὲ DT πρὸς μᾳ οὕτω ue add. el pro MB corr. “͵ | B. B^, reliqua. corr. Hu 
49. ἀφηρήσϑω add. ΒΕ ἐπιζεύχϑω AB, corr. S 33. οὕτως ἡ ZH 


(Z iu rasuraj A, lineolam ad Z add. B* 484. ἡ ΘΓ AB!S, lineolam 


LIBER III. 93 


scire se dixit per planae figurae rationem, atque etiam a nobis 
petivit, ut re considerata responderemus de constructione 
quam ipse fecisset, quae quidem hoc modo se habet: 

I. Sint duae rectae ag «y ad rectos inter se angulos, 
et ducatur a puncto f rectae «ay parallela 8d et ponatur 
BÓ — aeg, et iungatur Óy concurratque cum fle productá in 
puncto e, et ducatur ab & rectae «y parallela δϑ, et produ- 





catur 8d, et ducatur a puncto ὃ rectae fe parallela dy, et 
in productá 80 ponatur ὃν — να — AE,— Ex — βδ, et per 
puncta » ἃ E x ducantur ipsi f& parallelae vo Au ἔπ x9, et 
ponatur xo — fa seceturque bifariam in puncto o, et sit 
x9 : 9o — 09: 94 — 9v: 99, et ἃ recta ὃπ abscindatur 
rectae αβ aequalis x5, iunganturque yx yo, et ducatur a 
puncto σ rectae yg parallela aw, et a puncto t rectae 5x par- 
allela ψω, et sit Au : uw — ou: uo — ue: uf, eta recta 
o» abscindatur rectae af aequalis » y, et iungantur ,yÀ y et 
ducatur a puncto ὦ rectae parallela ὦ δι, et a puncto ὃ 
rectae À» parallela às, et sit δὴ: ne ye: — 9:19, 
et iungatur Jy, et ipsi Jy parallelae ducantur £x 8,3, et 
a punctis x ἃ rectis «y βδ parallelae x4 A»; demonstre- 
tur rectarum «y βδ medias proportionales esse jux » 1. 

sub Perasit B3 χαὶ ἤχϑωσαν rj ΘΓ add. Bí Co αἱ ΖΚ ABI, lineo- 
lam ad K add. ΒΞ ελ B? pro E.A 235. ἀπὸ τῶν Κα AB!, torr. 
B3 Co αἱ KM .4N AS, lineolam ad K add. B, tum pro ;4 corr. À B3, 


denique lineolam ad NN add. Hu 46. νὰ B9 et Co pro N.4 
Pappus I. 3 





34 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHS Γ. : 


3 Ταῦτα μὲν οὖν ἐκεῖνος γράψας ἐξέδωκεν ἡμῖν μὴ περι- 
ἔχοντα καὶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ προχειμένου προβλήματος. 
ἐπειδὴ δὲ καὶ 'lég.og ὁ φιλόσοφος καὶ ἄλλοι πολλοὶ τῶν 
αὐτοῦ μὲν ἑταίρων ἐμοὶ δὲ γνωρίμων ἠξίωσαν ἀποκχρίνα- 
σϑαΐ μὲ τέως περὶ τῆς προκειμένης κατασχευῆς, ἐκείνου 5 
τὴν ἀπόδειξιν ἐπαγγειλαμένου ποιήσασϑαι, τοσοῦτον ἔχω 
τὸ νῦν εἰπεῖν, ὡς οὐ δεόντως, ἀλλ᾽ ἀπείρως ἐχρήσατο τῇ 
χατασχευῇ. διχοτομήσας γὰρ τὴν PK εὐθεῖαν τῷ Σ καὶ 
ποιήσας ὡς μὲν τὴν ΚΘ εὐϑεῖαν πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν 
ON πρὸς τὴν OT, ἐποίησεν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ τὴν TO 10 
πρὸς τὴν GO. πᾶσα δὲ ἀνάγχη μήτ᾽ ἐκεῖνον εὑρίσχειν τὸ 
σημεῖον τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου, ὡς τὸ Φ, μήϑ᾽ ἡμᾶς. 
τῆς δὲ τοιαύτης ἀπορίας παρὰ τὴν αὐτοῦ αἰτίαν ἐπακολου- 
ϑούσης ἐνεφάνισεν ἑαυτὸν μηδὲ τοῦτο συνιδόντα τὸ ἀχκόλου- 

4.ϑον. ἀδυνάτου γὰρ ὄντος δρισϑῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, 
ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου, μὴ πρότερον ὑποτεϑέντος τοῦ 
λόγου ὃν ἔχει ἡ KO πρὸς τὴν OP, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει 
ἡ ΒΕ πρὸς τὴν E.4, οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ 
ἀδύνατον, ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ. ὑποτεϑέντος μέντοι τοῦ 
λόγου τοῦ ὃν ἔχει ἣ ΚΘ πρὸς τὴν OP, τουτέστιν ἡ ΒΕ 30 
'πρὸς τὴν ΕΑ͂, καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ, δέδοται ἡ ἐλάσσων 
εὐθεῖα τοῦ τρίτου Àóyov. καὶ δοϑέν ἐστιν τὸ O σημεῖον" 
δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης. καὶ ὅτι 
ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν O P ἢ μεταξὺ τῶν P T δῆλόν 
ἐστιν. [ὅτι γὰρ xat τὸ T μεταξὺ πίπτει τῶν ΡΣ δείξομεν, 25 


m 


9 


3. post πολλοὶ add. μὲν A!, sed id expunctum 7. δεκύντως A? 
ex δὲν ὄντως 9. οὕτω ASsBS 44. πάση δὲ ἀνάγχη ΑΒ, πάσῃ δὲ 
ἀνάγχη S*, corr. Hu 44. τοῦτο accipiendum est pro τόδε; minime 
igitur τούτῳ scribendum 46. ὑπερεχτεϑέντος ΒΟ 47. GP A1, K 
superscr. A2, unde xo S, ἅν B τοῦ om. BS — 18. ἡ H πρὸς τὴν 
BA AB!S, corr. B* Co 20. τουτέστιν add. B!V2, τουτέστιν τοῦ ὃν 
ἔχεε mavult. Hu 91. δίδοται AS, corr. B 23. ὅτι add. V? 
94. GP — PT AS, distinx. B 94. 35. δῆλον ἔσται ABS, corr. Hu 
auctore Co 35. ὅτι γὰρ — p. 86, 3. πρὸς τὴν OP interpolatori tri- 
buit Hu — 25. τῶν ΡΣ A, distinx. BS 





LIBER III. 35 


Ν 


Haec igitur ille scripta nobis tradidit omissa demonstra- 
Hone propositi problematis. Sed quoniam et Hierius philo- 
sophus et alii permulti ex eius amicis, qui mihi noti sunt, 
voluerunt de proposita constructione interim me respondere, 
cum ille quidem demonstrationem promisisset, neque tamen fe- 
eisset, hoc mihi in praesentia dicendum esse videtur, illum non 
ita; ut oportebat, sed imperite in demonstratione versatum.esse. 





Nam postquam rectam ox in puncto 5 mediam divisit et fecit 
Se: 9v — x9:30, in eadem proporlione etiam c9 : 99 
constituit. Αὐ necessario sequitur punctum sectionis in tertia 
proportione, velut o, neque ab illo neque a nobis inveniri 
posse. Cuius haesitationis' cum ipse culpam contraxerit, ne 
hoc quidem quod sequitur sese perspexisse ostendit. Nam 
quoniam fieri non potest, ut sectionis punctum, velut ῳ in 
tertia proportione, definiatur, nisi prius supposita sit pro- 
portio x9 : 9o, id est 8e : ex, non solum ipse id quod in- 
veniri non potest quaerere conatur, sed etiam a nobis idem 
postulat. Si tamen proportionem fe: ex datam supposueri- 
mus et data sit xJ, data est etiam minor recta in tertia pro- 
portione, id est 9p"). Et datum est punctum 3; ergo etiam 
alter terminus rectae minoris, ?d est y, datus est (dat. 27). 
Atque id punctum aut inter 29 o aut inter o 7 cadere appa- 


. ἢ Hoc demonstrat Euclides in datorum propos. 2. Abhinc autem 
usque Euclidis et elementa et data omisso auctoris nomine 
citabimus. ' 


9* 


ὅ 


36 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ T. 


καὶ πρότερον ὅτι τὸ (D orusétov ποτὲ μὲν μεταξὺ vov O P 
ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν P T παρὰ τὴν ὑπόϑεσιν τοῦ λόγου 
ὃν ἔχει ἡ ΚΘ δοθεῖσα πρὸς τὴν OP.) 

“ὙὙποκείσϑω γὰρ ὃ δοϑεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος 
[τῆς ΚΘ πρὸς τὸν OP, τουτέστιν τῆς ΒΕ πρὸς τὴν E.4,5 
ἢ τῆς B4 πρὸς «4 Γ]" λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν OP 
ὃ» ἔχει τὰ (ü πρὸς τὸ α΄, τουτέστιν ὃν Ó' πρὸς β΄" καὶ τῆς 
ΚΘ ἄρα πρὸς OZ λόγος ἐστὶν ὃν Ó' πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν ὡς 
ἢ ΚΘ πρὸς ez, τουτέστιν ὡς δ' πρὸς y, οὕτως ἣ OZ 
πρὸς OT, τουτέστιν ὡς y πρὸς β' καὶ Ó'. ὡς δὲ καὶ τὰ 10 
y πρὸς τὰ β' καὶ δ', οὕτως αὐτὰ τὰ β' δ' πρὸς ἄλλην 
[ἐὰν γένηται, ἔσται πρὸς] ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς 
ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐϑεῖαν τοῦ τρίτου λόγου [καὶ πα- 
σῶν ἐλαχίστην] ἐλάσσονα εἶναι τῆς OP, καὶ τὸ τῆς τομῆς 
σημεῖον, ὡς τὸ (D, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ P. 15 

ἀλλὰ δὴ ὁ δοϑεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος" λόγος 
ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς OP ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς β΄" καὶ τῆς OK 
ἄρα πρὸς OX λόγος ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄. καὶ ἔστιν 


" 


€ A /, N X , e MJ , b] M L4 4 € 
ὡς τὰ ἡ προς τὰ €, οὕτως τὰ 6€ πρὸς τὰ y καὶ ἢ" ὡς 


δὲ A , 4 M L i] A " e ^ , A 4 " 4 
Q6 τὰ € προς τὰ y καὶ τὸ η΄, OUTOG τὰ y χαὶ tO ἢ προς 20 


ἐλάσσονα τῶν δύο, ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου 
μεταξὺ πίπτει τῶν O P. 

Πάλιν ὑποκείσϑω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν OP πεντα- 
πλάσιος᾽ λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέχα πρὸς δύο" 
καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν OZ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ v πρὸς 25 
τὰ c. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ V πρὸς τὰ ς΄, οὕτως αὐτὰ τὰ 
ς΄ πρὸς τὰ y S V': ὡς δὲ τὰ ς΄ πρὸς và y S V", οὕτως 


4. τῶ» ΘΡ οἱ 4. τῶν PT A, distinx. BS 5. τῆς ΚΘ — 6. πρὸς 
AT, manifestum interpretamentum, del. Hu 86. 7 τῆς ΒΔ AB, ἢ τῆς 
B« S Co 7. τὰ δύο πρὸς τὸ 4 τουτέστιν ὃν Zl πρὸς δύο AB, τὰ δύο 
πρὸς τὸ ἕν, τουτέστιν ὃν τέσσαρα πρὸς dt δύο S 8. 9. λόγος ἐστιν ὃν 
a πρὸς Τ' χαὶ ἔστιν ὡς ἡ HO (voluit ΚΘῚ πρὸς ΘΕ om. A!, add. A? 


in marg. 40. ὡς prius] ovro (sine spir. et acc.) A, οὕτω BS, 
corr. Bf 40. 44. δύο χαὶ ΖΔ — jue καὶ ΖΓ À, δύο καὶ ó' utroque 
loco B, dvo x«l τέταρτον V? Sca τὰ B Δ΄ AB, rà δύο d S, τὰ 


δύο δ' Sca, τὰ δύο καὶ τέταρτον V? ps ἄλλην] προσάλληλα AB (S, 


LIBER Ill. 37 


ret. [Nam etiam punctum c inter o 9 cadere demonstrabi- 
mus, et antea, punctum g tum inter 2 o, tum inter o τ 
cadere, prout proportio x2 : Jo supposita sit.] 

Primum enim supponatur datam proportionem esse du- 
plam; ergo est x9 : 909 2 2:1 — &:2; itaque etiam x9 : 
Jo 2 &:3 (nam ex constructione est oa — lox). Εὖ ex 
hypothesi est 9o : 9v τ x9: 90, id es. 4:3 — 3:2]. 
Sed ut recta quae 3 wunitatum est se habet ad eam quae est 
2], ita haec ipsa, quae est 21, ad aliam quandam !) minorem 
duabus unitatibus?), quas ex hypothesi recta 99 continet, ita . 
ut minor recta terliae proportionis, scilicet 9x, minor sit 
quam Jo, et sectionis punctum g cadat inter puncta 2 ρ. 

Sed sit data proportio quadrupla; est igitur x9 : Jo 
— 8:2, ideoque x9 : 90 — 8:5*). Etest8:5 2 ὅ : 84; 
sed ut recta quae 5 unitatum est, se habet ad eam quae est 
δὲ, ita haec tpsa, quae est 34, ad aliam quandam minorem ᾿ 
duabus wnitatibus, ita ut rursus sectionis punctum q, quod 
est in tertia proportione, inter puncta 9. o cadat. 

Rursus supponatur proportio x9 : 9o quintupla; ergo est - 
x9 : 99 2 10: 2, ideoque x9 : 9o — 10:6. Et est 10:6 


4) Instituit hoc loco scriptor id definire, quod nos brevius desig- 
nemus per proportionem a : b z- b: x, scilicet quibus terminis in hoc, 
de quo agitur, problemate existat c ΞΞ 2. Generalis autem conclusio 
infra legitur cap. 6. 

3) Sic brevius scriptor pro "minorem rectá quae 2 unitatum est" 
et similiter paulo post. 


*) Si enim tota x9 est 8 unitatum et 30 2, reliqua ox habet 6 uni- 
tates, et dimidia po 3; ergo 29 -- Q0 — 96 habet 5 unitates, sicut etiam 


haec figura ostendit. L4. L1 LL E 4 
x g 0 3 


πρὸς ἄλλα V* Sca, corr. Co, qui simul addit τινὰ, quod quidem in 
proximo ἐὼν latere coni. Hu — 413. ἐὰν γένηται, ἔσται πρὸς del. Hu. 

43. 44. x«i πασῶν ἐλαχίστην del. Hu 45. 6P ABS, distinxit B3 (an 
B4?) 47. ἔχει add. S, τὰ add. Hu προσδύο A (BS) 49. T xol 
H' AB, τρέα καὶ ; S ὡς add. B V2 Sca. 20. E ABS, P A! T xci 
τὸ H' οὕτως τὰ T xal τὸ H' A(B), τρέα καὶ τὸ ὄγδοον οὕτω τὰ role 
xal τὸ ἢ S 34. ὃν ι΄ πρὸς B Hu 46. . B3 Co, δέκα V? Sca, 
E AB!S  2927.I Γ΄ ὦ AB utroque loco, y S' i" S et hic et posthac 





38 .. ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


αὐτὰ τὰ y S V" πρὸς μείζονά τινα τῶν δύο. καὶ ἔστιν ἡ 
GP αὐτῶν τῶν δύο" μεταξὺ ἄρα τῶν P T τὸ σημεῖον πίπεει 
τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου. 

Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετρα- 

ὃ πλασίου λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν 5 
P O, πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ 
onusio» τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν P T, ὡς καὶ λῆμμα περὶ 
τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα. 

Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, 

7 ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν O P ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν P T, τὺ 
τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὕπ᾽ αὐτοῦ ϑεωρηϑέντος δι᾽ ἣν εἴ- 
πομὲν αἰτίαν [αὐτὸς δὲ λέγει δειχνύναι τὸ προκείμενον, 
ἐάν τε μεταξὺ τῶν O P ἢ τὸ Φ σημεῖον ἐάν τε μεταξὺ τῶν 
P T|, ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σχοπεῖν ὅτι, ὅπου ἂν λάβῃ 
τὸ D, ἤτοι κάτω τοῦ P ἢ ἄνω, οὐκ ἔσται ὡς 7) ΣΘ πρὸς 15 
OT, τουτέστιν ὡς ? KO πρὸς ΘΣ, οὕτως καὶ ?) TO πρὸς 
OP. ἐὰν οὖν λέγῃ “᾿ἰγεγενήσϑω ὡς μὲν ἣ KO πρὸς τὴν ΘΣ, 
οὕτως ἡ OZ πρὸς τὴν OT, καὶ ἡ TO πρὸς τὴν OP," αὐ- 

| τόϑεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών.. àx- 
βληϑείσης γὰρ τῆς ἘΚ καὶ ἴσης τεϑείσης τῇ EK τῆς ΚΙΜα, 20 
xai ἐπιζευχϑείσης τῆς 733 καὶ παραλλήλων ἀχϑεισῶν τῇ 

M^ διὰ τῶν Σ καὶ T xai P σημείων, γεγονὸς ἔσται τὸ 
ζητούμενον καὶ δῆλόν πως. ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ KM? πρὸς 
£ZM, οὕτως $ ΣΙΜΒ πρὸς TMT xoi ἡ TM" πρὸς τὴν PM?. 


4. αὐτὰ τὰ Hu pro τὰ αὐτὰ — D L' v A (B ut supra) $?. αὖ- 
τῶν τῶν Hw pro τῶν αὐτῶν 5. 6. τῶν ΡΘ οἱ 1. τῶν PT À 
40. τῶν GP --- τῶν PT Aitemque posthac, distinx. ΒΒ 48. αὐτὸς — 
44. τῶν P T interpolatori tribuit Hu 45. ἢ] ἢ ASBSS 49. ὡς 
ante ὁμοῖ. add. Co 20. τῆς AK τῆς K|M AB!, corr. B^ 24. τῆς 
M"*6] minuta littera « atque item posthac 8 y d in ABS ubique super 
M positae sunt 34. 49. τῆς K JW διὰ τὴν C καὶ T καὶ P σημεῖον 
AB!, corr. B? (minus feliciter διὰ τὰ — σημεῖκ V?) 48. δῆλον πως 
^; vix tamen probabile videtur δῆλον πῶξ ἡ KM AB!S, corr. B? 


β 

34. ἡ ΣΙΜΒ Hu, EM , omisso 7, AB!S, o pro E corr. B? πρὸς τὴν 
UH. 

PM AB!S, corr. B3V? 


LIBER IIl. 39 


Ξε 6:363"); sed ut recta quae 6 unttatum est. se habel ad 
eam quae est 33, ita haec ipsa, quae est 33, ad altam quan- 
dam maiorem duabus wnitatibus. Et ex hypothesi 90 est 
duarum unitatum; ergo sectionis punctum q, quod est in ter- 
Ua proportione, inter puncta o c cadit!). 





Et apparet omnes proportiones, quae minores sunt quam 
quadrupla, efficere eiusmodi punctum sectionis inter 9 o, om- 
nes autem, quae maiores sunt quam quintupla, efficere sec- 
tionis punctum inter o τ. Atque etiam lemma ad eiusmodi 
proportiones discernendas utile infra (propos. 4) subiunxi. 

Quoniam igitur demonstravimus sectionis punctum, velut 
q, modo inter 9 o modo inter e « cadere, id quod ab illo 
propter eam quam diximus causam minime perspectum est, 
illud ante omnia considerandum est, ubicunque ille punctum 
qp sumit, sive infra o sive supra, non esse 99 : τ (id est 
x9 : 9e) τὸ v9 : 990**). Quod igitur dicit: "fiat ut x9 ad 9o, 
ita 9o ad 9v, et τϑ ad 99g" extemplo erroris convincitur, 
ut qui quaesitum pro concesso sumat.  Productà enim rectà 
ix eique factà aequali xu et iunctà "9 et rectae xu^ 
parallelis per puncta στρ ductis, factum erit id quod quae- 


*) Pro 3$ Graecus scriptor ex suae gentis usu dicit 3 -- 4 - τῆς. 


4) In brevius scriptor conclusionem contraxit; demonstrat enim in 
hoc casu rectam 2q maiorem esse quam 3o; at vero eadem 9«» minor 
est quam Jr, quoniam ex hypothesi est x9: : 9o τῷ 91 : 9x; ergo pun- 
ctum q inter o τ cadit. 


**) In promptu erat et hic et stalim posthac pro 3o coniicere 9q; 
at ex proximis: "erit enim xL": gu?" etc. apparet 9o utroque loco 
recte se habere. Manet utique quaedam obscuritas, quia plena ex- 
positio scriptoris, cui Pappus adversatur, periit. 


40 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν KM" τῇ BA, ἡ δὲ ΚΡ τῇ 48, (d δὲ 
BE τῇ KO, ὥστε καὶ τὴν 41Γ ἴσην εἶναι τῇ PM? καὶ ηϑρῆ- 
σϑαι δύο τῶν .4I' B4, τουτέστιν δύο τῶν KM* PM, δύο 
μέσας ἀνάλογον τὰς E TM", ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. εὑ- 
ϑείας γὰρ οὔσης τῆς OK καὶ σημείου ἐπ᾽ αὐτῆς τοῦ P,5 
ἀδύνατόν ἐστι δι᾿ ἐπιπέδου ϑεωρίας λαβεῖν μεταξὺ τῶν 
P K δύο σημεῖα ὡς τὰ T Z, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΚΘ πρὸς 
τὴν OZ, οὕτως τὴν OZ πρὸς τὴν OT, καὶ τὴν TO πρὸς 
τὴν OP. ὥστε, κἂν τὸ Z λάβη ἀντὶ τοῦ Σ, καὶ οὕτως 
ἀδύνατον ἔσται τὸ πρόβλημα στερεὸν γάρ ἔστιν τῇ φύσει. 10 

8 διὰ τοῦτο δέ, οἶμαι, καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον 
ὁμολογούμενον λαμβάνεται, οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν “τὸ ἕτερον 
πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ P,' ἀνωτέρω δέ, 
τουτέστι μεταξὺ τῶν P O, λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ D, ἀπο- 
πληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν 15 
ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανϑανόμενος. οὐ 
γὰρ ἑχὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐν- 
τυγχανόντων, ἀλλ᾽ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος, ὡς δείξω πρό- 
τερον χατὰ τὸν ὑγιῇ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον 
[καὶ ὕστερον ἐλέγχων αὐτοῦ τὴν ὑπόϑεσιν μὴ ὑγιῶς εἰλημ- 20 
μιένη»)}. 

9 Ἐπεὶ τοίνυν δοϑείς ἐστιν 0 τῆς ΚΘ πρὸς OP λόγος 
καὶ δοθεῖσα ἐστιν ἡ OK (τοῦτο γὰρ ὑποχεῖσθϑαι δεῖ, δο- 
ϑεῖσα ἄρα καὶ ἡ OP καὶ λοιπὴ ἡ PK. ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ 
ἡμίσεια οὖσα τῆς PK: ἦν δὲ καὶ ἡ PO δοθεῖσα" καὶ ὅλη 25 


1. 4. exspectaveris 7 δὲ KP τῇ BA, ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΒΕ, sed in 
progressu demonstrationis scriptor ordinem inverlit, ut ex proximis 
apparet ἡ δὲ BE τῇ KO Hu auctore Co, ἡ δὲ AE τῆι ΚΘ AB!S, 
ἡ δὲ ac τῇ o9 B93V? 3. PM AB!S, corr. B?V2, item vs. 3 ἡρυ- 


σϑαι (sine acc.) A (B!), jvo1a3«: | B4, corr. S 4. τὰς oh B? V2, τοὺς] M 
AB!, τὰς ἃ S 6. 7. τῶν PK. — τὰ TZ ΑΔ 8. καὶ τὴν TO ABS, 
χαὶ τὴν 9r B!'S 11. δὲ οἶμαι V? pro δέομαι 42. ὡς ante ὁμολ. add. 
Hu 148. ἔστω] esse Co; voluit igitur εἶναι 14. τῶν PO A — 48. ἦτ- 
voy V? pro πλέον 47. ἑχὼν ψευδογραφεῖ Hu pro ἐκ τῶν weudo- 
γραφεῖν 30. xal ὕστερον — εἰλημμένην, manifestum interpretamen- 
tum, del. Hu un ἃ 33. ἐπιτοινὺυν δοϑεέσης ἐστιν AB, corr. S 


LIBER III. 41 


ritur, idque manifesta ratione. Erit enim χμῶ: au? -- gu: 
Tul — Tu: eu? (elem. 6, 4). Εἰ est xu^ — 80, et xo — fla, 
el xJ — (je, ila ut etiam sit ay — ou^ et inventae sint dua- 
rum ey BÀ, sive xu^ ou?, duae mediae proportionales ou? 
tu^, id quod fieri nequit. Nam cum recta sit 9x in eaque 
punctum o, nequaquam per planae figurae rationem inter o x 
duo puncta, velut v o, ita sumi possunt, ut sit x9 : 96 — 
96: 3v 2 19:230. Quodsi forte ζ sumpserit ille pro o, 
non magis poterit solvi problema, quippe quod natura soli- 
dum sit. Quapropter, opinor, ipse quoque sciens quaesitum 
se sumere pro concesso, dicere non ausus est alterum mini- 
mae rectae terminum esse o, sed postquam supra o, id est 
inter g 9, eum (erminum sumpsit in puncto g, reliquam 
constructionem arbitrio suo complet; nihilo tamen minus in 
priorem difficultatem sensim relabitur. Neque enim sponte 
neque, ut legentes decipiat, falsa tradit longiore exposilione, 
sed ipse se in errorem inducit, id quod equidem demonstrabo, 
postquam sana ratione propositum persecutus ero. 





Quoniam igitur data est et proportio x2: 9o et recta 9x 
(utrumque enim supponatur necesse est — conf. supra p. 35), 
data est etiam recta Jo (dat. 2), itemque reliqua xo (dat. 4). 
Sed etiam og data, quia est dimidia ox (dat. 7); atque etiam 
90 data erat; ergo tota Jo data est (dat. 5); itaque etiam 


[ 


42 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


ἄρα 7 OX δοϑεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ ὁ λόγος τῆς ΚΘ πρὸς 
OZ δοϑείς ἐστιν, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν OZ, ἡ 
OX πρὸς τὴν OT, καὶ δοϑεῖσα δέδειχται ἢ OZ, δοϑεῖσα 
ἄρα ἔσται καὶ ἣ TO. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἣ OO δοϑεῖσα 
ἔσται, ὥστε καὶ ἡ διαφορὰ τῶν OP GO εὐϑειῶν δοϑεῖσά 5 
ἐστιν. εὑρήσϑω οὖν τὸ ᾧ μεταξὺ τῶν O P, ὡς καὶ διὰ 
τῶν ἀριϑμῶν ἐδείχϑη. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἣ OP διαφορὰ καὶ ἡ 
τὰ P X ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ EK, δοϑὲν ἄρα τὸ 
ΦΧΡ τρίγωνον ὀρϑογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέϑει. δοϑεῖσα 
ἄρα ἡ ὑπὸ POX γωνία, καὶ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΚΣΨ ἐχτὸς 10 
γωνίᾳ" ἐχβληϑείσης ἄρα καὶ τῆς ΩΨ ἐπὶ τὸ Ζ, δοϑὲν ἔσται 
τὸ ΣΖΨ τρίγωνον ὀρϑογώνιον τῷ εἴδει. ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέ- 
ϑει [οὕτως" ἐπεὶ γὰρ δοϑεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν PK PX, 
δοϑεῖσα ἔσται καὶ ἡ XK. καὶ λόγος ἐστὶν δοϑεὶς τῆς XK 
πρὸς τὴν ΚΨ (( αὐτὸς γάρ ἐστιν τῷ τῆς OK πρὸς τὴν ΚΣ 15 
λόγῳ δοθέντι) " δοϑεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΚ. ἀλλὰ καὶ 7) ΤΣ 
δοθεῖσά ἔστιν, ἐπεὶ καὶ ὡς 7) OK πρὸς τὴν ΚΣ, οὕτως 5$ 
ΦΧ πρὸς τὴν 'PZ: καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ DX* δοϑεῖσα 
οὖν ἐστιν xai ἡ ΨΣ. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΨΣΚ γωνία δοϑεῖσα, 
ὥστε καὶ τὸ ΨΣΖ τρίγωνον ὀρϑογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ 20 
μεγέϑει δεδομένον ἔσται]. δοϑεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΖ, παράλ-- 
ληλος οὖσα τῇ EK καὶ im^ εὐθείας τῇ ΨΩ: δοϑεῖσα ἄρα 
xal ἡ Ω.1 ἴση οὖσα τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ OK τῇ 
M4, ἐλάσσων δὲ ἡ 2.1 τῆς ZK (ἴση γὰρ ἡ 9.1 τῇ KZ), 
καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἣ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ZO πρὸς τὴν 25 
OT xci ἡ TO πρὸς τὴν OO, ὡς δὲ ἡ 4M πρὸς M9, 


41. 2. πρὸς ΘΣ δοϑεῖσα AB!, corr. BBIS — 4. ἄρα add. Hu auctore Co 

6. τῶν GP A, distinx. BS 7. xai ἐπιδέδοται A, corr. ΒΒ $j re «bP 
coni. Hu 8. rà P X Hu pro TA PX; errorem iam indicaverat Bf 
lineola ducta sub τὰ 40. Pd γωνία AB!, corr. BIS — KCd^ ἐχτὸς 
AB!, corr. B* Co, q et w per dittographiam habet S 44, ἀλλὰ καὶ 
τῷ μεγέϑει add. Hu (καὶ μεγέϑει pro οὕτως coni. Co) — 48. οὕτως --- 
34. δεδομένον ἔσται interpolatori tribuit Hu: vide adnot. ad Latina 
45. αὐτὸς γάρ ἔστιν add. A? in rasura (BS) — 24. post μεγέϑει add. η 
(sic) A, ἢ B!S, del. BV? — 92. £x B4, HK B!S, fx V? 





LIBER III. 43 


proportio x9 : 9o (dat. 1). Εἰ ex hypothesi est x9 : 98 — 
Jo : 9v; et demonstravimus datam esse 9o; ergo etiam 3: 
data erit. Eadem ratione etiam J data erit, ita ut etiam 
differentia 9o — Jg data sit. lam inveniatur punctum g 
inter 9 o, sicut iam per numeros demonstratum est. Et 
quoniam data est differentia 2o — Jg -- go, itemque recta 
puncta o xy iungens, quae aequalis est rectae ἔχ, triangulum 
igitur orthogonium gyo specie et magnitudine datum .est 
(dat. 44. 52). Datus igitur est angulus ogx, isque propter 
parallelas *y ψσ aequalis exteriori angulo xcv; productà 
igitur rectà c ad 0, triangulum otwV specie datum erit 
(dat. 40). Sed idem etiam magnitudine!). Ergo etiam recta 
VL data est, quae rectae £x parallela est et cum ων unam 
rectam efficit; data est igitur etiam recta «4, quae rectae Cx 
aequalis 6813). Et quia est 9x — μλ, et ox ?*» ωλ (erat enim 
GÀ — ix) ideoque 96 « uo"), et x9: 9o 2 09: 9t τὸ 
$9:939g, et Au: uo τ wu:ua- ou:uf, erit igitur 


4) Graeca verba οὕτως usque ad τῷ μεγέϑει δεδομένον ἔσται ab 
interpolatore addita esse facile ihde apparet, quod illud quod Pappus 
modo demonstravit, triangulum σὲ specie datum esse, in his, quae 
spuria esse dicimus, plane neglegitur. Ac praeterea alia occurrunt, in 
quibus iure offendas, velut languida illa repetitio δοϑεῖσα οὖν ἔστιν xci 
ἡ ΨΣ, et lacuna in demonstratione, cum primum triangulum ox, tum 
denique triangulum oc specie et magnitudine datum esse demon- 
strandum fuerit. Ne multa, equidem existimo huius interpolatoris culpa 
genuina Pappi verba, quae olim fuerunt, ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέϑει excidisse; 
id ipsum autem, triangulum cé etiam magnitudine datum esse, tan- 
quam facile intellectu non disertis verbis a Pappo demonstratum esse 
(scilicet eadem ratione plurimas alias demonstrationes a scriptore omissas 
esse singulae paene huius editionis paginae docentj. Iam vero id quod 
vetus scriptor praetermisit, sine negotio a nobis suppletur. Cum enim 
constet triangulum σῶν specie datum esse, restat ut demonstretur unum 
eius latus magnitudine datum esse (dat. 52). Et est data recta yo, quo- 
niam (id quod etiam interpolator vidit) est qx : xa z yq: wa, dataque 
est proportio «qx: χα ac data recta yq (triangulum enim qo specie et 
magnitudine datum). 


4) His verbis scriptor primum significat figuram «xà esse paral- 
lelogrammum  orthogonium, ideoque specie datum; sed idem etiam 
magnitudine, quia ex dato recta x£ descriptum sit (dat. 52); ergo rectam 
v4 magnitudine datam esse. 


*) Haec "ideoque 96 « uo" in interpretatione addidi neque tamen 
prepterea in Graecis τουτέστιν ἡ M 9 μείζων τῆς 6X excidisse existimo; 
nam talia tacite suppleri voluit scriptor. Sed his saltem additis vide- 


44 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ T. 


ἡ ΜΩ πρὸς τὴν M καὶ ἡ 41H πρὸς τὴν MB, ἔσται ἄρα 
μείζων. ἡ MB τῆς OG (καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχϑήσεται " 
χαὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΑ͂ τῆς OK ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν πάλιν 
δοϑεῖσα ἐστιν ἡ Q4 [ἐδείχϑη ἴση γὰρ τῇ ΖΚ δοϑείσῃ], 
δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ .11Μ (ὅτι xai ἡ KO), καὶ λόγος ἄρα τῆς ὃ 
-1M πρὸς ΜΗ δοϑείς. καὶ ἔστιν ὡς ἡ 4M πρὸς τὴν ΠΩ, 
καὶ ἡ QM πρὸς τὴν ΜΑ͂, xai δοϑεῖσα 7) OM * δοϑεῖσα 
ἄρα xai ἡ Mf. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ IM B δοϑεῖσά ἐστιν, 
ὥστε xai τὸ B σημεῖον δοϑέν ἐστιν, ὅπερ ἔστω ὑποχεί- 
μενον, ὅπου βούλεται, ἤτοι μεταξὺ τῶν G IM, ὡς νῦν ἐστιν, 10 
ἢ μεταξὺ τῶν ζ 4, τῆς e ἴσης ὑποχειμένης ἑκατέρᾳ τῶν 
KP AB τι. εἰ γὰρ λέγει τὸ B πίπτειν κατὰ τὸ G, τὸ 
ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει. φαί- 
νεται γὰρ πάλιν ἐπὶ ϑέσει δεδομένης εὐϑείας τῆς M.4, 
χαὶ σημείου τιγὸς ἐν αὐτῇ δοϑέντος τοῦ C, λαβὼν μεταξὺ 
δύο σημεῖα τὰ Ω «4 καὶ ποιήσας ὡς τὴν 1 πρὸς ΠΩ, 
τὴν Q9M πρὸς τὴν M καὶ τὴν IM^ πρὸς τὴν MG, ὅπερ 
οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ. τοῦτο γὰρ καὶ ot ταλαιοὲ ζητοῦντες 
ἠπόρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, ὡς καὶ αὐτὸς δείξω 
παραϑέμενος τὰς ἐκείνων φωνάς. καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει 20 
λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ “εἰ τὸ G ἐξ 


πω 


9 


4. ἡ MO) πρὰς τὴν ny] AB!S, corr. BV? ἡ 4M πρὸς τὴν ΜῈ 
ABS, lineola sub 4 addita erat in B, sed nunc erasa est 2. 9 M' B ABS 
3. ἡ B.4 ABS, lineolam add. Hu 4. ἐδεέχϑη — δοϑείσῃ del. Hu 
ἐδείχϑη ἴση γὰρ AB!S, ἐδεέγϑη γὰρ ἴση B3, ἴση γὰρ, deleto ἐδείχϑη, 
v? 5. post xal ἡ ΚΘ add. δοϑεῖσα ἔσται xal ἡμω V? 8. ἡ M'B 
ABS 9. "B σημεῖον ABS ὅπερ ἔστω cet. non vacant corruptelae 
suspicione; certe ὅπου ἄν βούληται legenda esse videntur 40. τῶν 
cM AS, distinx. B 44. 5; Hu auctore Co pro ἡ τῶν cd À, τῶν s« 
BS, corr. V? ἑχατέρας AS, corr. B secundum Waitzii collationem 
44. 42. τῶν KP ΑΒ x Hu, τῶν KP AB XE TN ABt, !, τῶν κραβ yEtw 
S, τῶν xpo αβ χὲ Jv B? V? Co, τῶν xg oB xci xt Jv B4, in lacuna 
excidisse verba ἀδύνατόν ἐστιν τὸ πρόβλημα coniicias collata pag. 40, 10, 
vel εἰς ἄπορον δηλονότι ἐμπέπτει coll. p. 40, 46 42. τὸ " B ABS 
46. τῶ 4? A 47. τὴν MA? καὶ τὴν ΜΑ͂ ἃ 49. αὐτοδείξω A, 
αὐτὸ δείξω B, corr. S 31. τὸ c] fallitur Co pro s coniiciens B 





LIBER Ill. 45. 


Jg « uj (nam hoc quoque infra propos. 2 demonstrabitur) ; 
ergo etiam x9 — Jy ^» ἀμ — uj, id est 8À « qx. Rur- 
sus quia data est ωλ (sicut statim demonstravimus) dataque 





Ap (quoniam aequalis est datae x3), ergo etiam recta c 
(dat. 4), ideoque proportio ἂμ : uc data est. Εὖ ex hypo- 
thesi est Àu : ut) — cu : ua, et data est cu; ergo etiam 
μια data est. Eadem ratione etiam rectam 4,8 datam esse 
demonstratur (erat enim ex hypothesi ὧμ : u a — μα: uf), 
ideoque etiam punctum /£ datum est (dot. 27), quod quidem, 
ubicunque ille vult, supponatur, sive inter puncta g u, ut 
nunc est, sive inter c α (siquidem supponatur gÀ — xo — 
af), manifestus est error. Quodsi, id quod unum praeterea 
, relinquitur, punctum f in ipsum c cadere dicit, nihilo secius 
quaesitum sumit pro concesso. Nam rursus ih recta uA po- 
sitione data, in qua punctum c datum sit, apparet eum inter 
c À duo puncta sumere et facere Au : ut) — ou : ua — 
μια: Hc, quod quidem nemo ei concedit. Hoc enim iam 
veteres per plana inveniri posse desperaverunt, sicut ipse 
appositis illorum sententiis demonstrabo (infra propos. δ). 
Neque ille quidquam, quo nos refellat, afferre potest, si ei 
dicamus "si c necessario est sectionis punctum tertiae pro- 


mus propositionem huius libri secundam, quam verbis x«i τοῦτο γὰρ 
ἑξῆς δειχϑήσεται scriptor significat, recte citari; quem ad finem etiam 
ordinem membrorum supra in Graecis paulo turbatum restitui. 


46 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Γ. 


ἀνάγκης τὸ τῆς τομῆς σημεῖον τοῦ τρίτου λόγου, δεῖξον 
ὕτε οὔτε μεταξὺ τῶν G 4 δύναται πέπεειν οὔτε μεταξὺ 
τῶν M c" ἡμεῖς γὰρ ἀπεδείξαμεν ἢ ἐν ἀρχῇ καὶ ἄνω τοῦ Ρ 
xai κάτω τὸ σημεῖον [πίπτει γὰρ παρὰ τὴν ὑπόϑεσιν τοῦ 
11 λόγου]. ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦδ 
δεδόσϑαι τὸ CBI' τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέϑει, κἂν 
τὸ Β τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ j τῶν 4 4, δεδομένου δὲ 
καὶ τοῦ 49.1 τριγώνου, ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον xai τῆς 
AE δεδομένης, ἔσται δοϑεὶς καὶ ὃ τῆς 4H πρὸς τὴν HE 
λόγος, τουτέστιν ὃ τῆς EH πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ὁ τῆς 10 
ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὃ τῆς 4H πρὸς 
τὴν HC, ἴσης ὑποχειμένης καὶ νῦν τῇ KP, τουτέστιν τῇ 
“48, τῆς 4€, κἂν τὸ Θ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Z Ch. 
οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστιχόν, ἀκούων παρ᾽ 
ἡμῶν “δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν CI H μήτε μεταξὺ τῶν 18 
12 ἢ 2 πίπτει." εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἁπλῶς τὸ τῆς τοι- 
αὕὐτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ C] βούλεται, τὸ ζητού- 
μενον χαὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν. μὴ διδομένου δ᾽ 
αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ C] σημεῖον (ἐπεὶ μηδὲ χατὰ 
τὸ P συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν), δὲ 20 
καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν E Η λαβεῖν ἐβούλετο, ὡς τὸ Ζ, 
αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηϑεὶς τὸ Θ ἔλαβεν. ὡς βούλεται 


4. δεῖξαν B? (voluit δεῖξαι) 9. τῶνς 4 A. 8. τῶν Mc AB*S, 
distinx. Hu Á. πέπτει — 9. λόγου del. Hu 6. δϑεδόσϑαι Hu pro 
δίδοσϑαι τὸ ὁ 5 8.7 B3V3 τὸς T'v A, , τὸ efi BIS 6. 7. x&v τὸ 
B A, x&v τὸ vg BS BS 7. ἡ (Sic) τῶν e« A (BS) 8. δὲ add. Hu 
9. 1E Hv pro AE 40. τουτέστιν ὁ τῆς EH πρὸς τὴν HZ om. S, 
unde λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς "t πρὸς n καὶ τῆς E πρὸς τὴν n? coni. 
v2 41. xa) ante οὐδαμῶς) ἀλλ᾽ coni. Hu 41. 142. πρὸς τὴν H9 
Hu pro ὁ πρὸς τὴν HE 42. 48. τῆς ΚΡ --- τῆς AB τῆι 475 ABS, corr. 
Hu 18. τῆς 4122] pro Z» nota numerali A et hic et infra formam TY 
habet, quae in codicibus recentioribus aut in ipsum r aut in formam 
simillimam abiit (etiam Co τ legit, Waitzius autem recte «T» descripsit) 
τῶν Zm AB, τῶν C T $5 15. δεῖξον A! ex x δεῖξων, ut videtur, δεῖξαν 
B τῶν TV AB, τῶν τὴ ϑ 15. 46. τῶν "SZ A, distinx. ΒΒ 46. εἰ 
δὲ S, ηϑὲ (sine spir. et acc.) A, δε B 48. χαὶ ante νῦν add. B 





LIBER III. 47 


portionis, demonstra id neque inter c α neque inter μ c 
cadere posse." Nos enim initio (cop. ὃ sq.) demonstravimus 
illud et supra o et infra cadere posse. Similiter igitur reso- 
lutione procedente ex eo quod triangulum cy specie et 





magnitudine datum est (etiamsi β sectionis punctum inter 
c α sit), datoque etiam triangulo δωλ, denique, similiter 
ac supra demonstravimus, rectà quoque Ó e datà, erit etiam 
data proportio δὴ : 2e, id est δὴ : ἢζ, id est Cp : y 9, mi- 
nime autem proportio d» : 7C? (hic quoque supposità δῶ 
zz xg — (ja), etiamsi 9. inter (TP PL cadere velit. Etenim 
ne sic quidem habebit quod contra dicat, si a nobis audiat 
" demonstra punctum 9. neque inter ἡ €T? neque inter CT» C 
cadere. At si simpliciter ex concessione illud sectionis 
punctum in ( esse velit, sic quoque quaesitum pro con- 
cesso sumpserit. Sin vero ei non concedatur sectionem esse 
in puneto €T» (scilicet ne in o quidem esse concedebamus, 
demonstrationem in recta x9 facientes), etsi aliud quod 
punctum inter 6 5, velut ζ, sumere poterat, tpse quidem 
nescio quo pacto deceptus 2 sumpsit. Sed, quemadmodum 


δεδομένον S 19. χατὰ alterum add. Hu 40, ποιούμενοι. ΑἹ ex 
ποιουμένου (ποιεῖσϑαι voluit Co) 30. 24. εἰ χαὶ cet. aut lacunosa 
aut alioquin corrupta esse videntur; forsitan pro ἐβούλετο legendum sit 


ἐδύνατο — 924. τῶν E H Hu auctore Co, τῶν CK AB, τῶν σ x S 
τὸ Z ABS, lineolam add. Hu — 392. ἔλαβεν Hu, λαβών ABS, sumit Co. 


48 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Γ. 


δέ, κείσϑω χωρὶς τοῦ εἶναι χατὰ τὸ ΩΡ. καὶ ἐπιζεύξας 
τὴν ΘΓ, καὶ παραλλήλους ἀγαγὼν τῇ μὲν ΓΘ τὰς ΖΚ EA, 
διὰ δὲ τῶν K 44 παραλλήλους τῇ “4 τὰς KM AN, δῆ- 
λον ποιεῖ μὴ νενοηκέναι τὸ πρόβλημα. παραλλήλου γὰρ μὴ 
γενομένης τῇ ΕΗ τῆς ΘΓ ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνία ἀμβλεῖα μέν ὃ 
ἐστι τοῦ Θ μεταξὺ τῶν H em πίπτοντος, ὀξεῖα δὲ τοῦ Θ 
μεταξὺ τῶν C Z ὄντος: ἡ γὰρ πρὸς τῷ Ch γωνία ὀρϑή 
ἐστι, καϑ᾽ ἣν μόνως γίνεται τὸ πρόβλημα, ἐάν τις συγχω- 
ρήσῃ, καϑὰ πολλάκις εἴπομεν, ἐπὶ ϑέσει δεδομένης εὐϑείας 
τῆς AH, καὶ σημείου δοϑέντος τοῦ Cm, λαβεῖν δύο σημεῖα 10 
ὡς Ε Ζ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΔΉ πρὸς τὴν HE, οὕτως τὴν 

13 HE πρὸς ΗΖ, καὶ τὴν ΗΖ πρὸς τὴν Hoy. μὴ 'διδομένου δὲ 
τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταϑὲν ὑπ᾽ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπι- 
πέδων εὑρεϑῆναι, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριϑμῶν αὐτῶν ἀκολούϑως 
τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισϑῆναι, χρωμένοις 15 
τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύχλῳ εὐθειῶν. ἀλλὰ τοῦ- 
tov μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως 
εὑρίσχειν, ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεϑέντα νῦν δείξομεν. 

14 β΄. Ἔστω τις εὐθεῖα 7 4H τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ 
τὰ ΒΓ 4ΕΖ: ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΒΓ πρὸς 20 
τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ 444 πρὸς 48, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς 
τὴν ZT' καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ 4 πρὸς ΕΒ, οὕτως 
ἣ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ U AZ 
πρὺς τὴν ZB, οὕτως ἢ ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ZT καὶ τὸ πέμπτον 
τῆς ΓΒ, ὡς δὲ 7j AH πρὸς τὴν HB, οὕτως ἡ BH πρὸς 28 
τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕχτον τῆς ΓΒ. 

Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριϑμῶν παραληφϑέντων κκα 
καὶ ἀεὶ οὕτως, ὅτι ὡς Ó δοϑεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριϑμὸς 
ἀπὸ τοῦ 24 πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα, οὕτως ὃ μονάδι 
ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῇς ΓΒ μό- 30 
ριον ὁμώνυμον τῷ δοϑέντι πλήϑει τῶν ἴσων εὐϑειῶν. 


4. καὶ A!B, χὰν A2, ut videtur, unde x&v S 94. 8. τὰς ZK ἘΠῸ 
διὰ dà τῶν ΚΑΊ A, lineolas addidit et pro «T» correxit 24 B3 8. τῆι 
AT τὰ KM AN A, τὰς corr. B5S, lineolam sub 4 del. Hu, lineolos 
sub M .£N add. B δ. ὑπὸ ΓΘΗ͂ ΑΒ, lineolam sub 6 add. B ἀμβλεῖα 
B2V?, /////]] A, om. BIS 6. τῶν IIT» AB, sed cum H in A litterae 


LIBER Ill. PROPOS. 4. 49 


vult, positum. sit punctum extra C». Tum ille iunctà 2» 
eique parallelis ductis £x 8,2, ac pér puncta x ἃ rectae ay 
parallelis ductis xu , À», ruanifesto ostendit problema se non 
intellexisse. Nam cum Jy rectae ep non parallela sit, an- 
gulus , si ,9 inter ἡ CTI» cadit, obtusus est, sin autem 
inter & je acutus. Angulus enim ad qv rectus est, secun 
dum quem problema hac una ratione efficitur, si quis, ut 
saepius iam diximus, concesserit in recta δὴ positione data, 
datoque puncto CT», duo puncta velut & |j ita sumi posse, 
ut sit δὴ : ye — ep: ἢ Ξε en : ἡδβ.. Verum si hoc non 
concedatur, fieri non poterit ut id quod ab illo propositum 
est per plana inveniatur, idque etiam per ipsos numeros, 
convenienter cum Aac quam nos inslitutmus resolutione, om- 
nibus persuasum erit, si Ptolemaei tabulam .de rectis in cir- 
culo lineis!) adhibebunt. Αἱ vero istum perinde ac reliquos 
de resolutione dubitare satius erat, quam ista ratione in- 
venire. Nos autem ea quae supra (cap. 6. 9. 10) dilata 
sunt iam ostendamus. 

Il. Sit quaedam recta o5, in partes aequales divisa in Prop. 
punctis B y ὃ & C; dico esse ey : yf 2 yf : 4yB, et a0: 08. ' 
Ξε ὃβ : (Uy -- 358), et ae : ef — ef : (ey 4- 1y8), et ab : L8 

— ζβ : (Dy -- 178), et aw : "B — 8 : (ny τε 176). 

d Numeris 4, 2, ὅ et sic porro adsumptis apparet, 
ut datum aequalium rectarum numerum inde a puncto α 
ad numerum unitate minorem, ita esse numerum uni- 
tat minorem ad proximum numerum unitate minorem 
unà cum ea particula rectae yg, quae datae multitudini 
aequalium rectarum respondeat (vel, sí una aequalis 


εἰ pars dicatur a, datus autem partium numerus sit ὦ, 


ac a (2—34) 
6886 ------ mm ----------- l 


a(0—)  z—3) 4 E a 


v E "to 


3! 
4) Almageste ou astronomie de Ptolemée par Halma, vol. I p. 38— 45. 


N simillimum sit, in S immigravit τῶν ν eh πέπτοντος B* pro πέπτει 
7. τῶν ΖΑ, distinx. ΒΒ ὄντος vel γινομένου add. Hu 10. 4H 
Hu auctore Co pro -£K — 144. ὡς EZ A, distinx. BS . 19. 8 add. S 
3.4N A,corr. BS 90. τὰ ΑΒΓ AEZ A, distinx. BS, et « erasum in B - 
33. τὸ τρίτον τῆς βν8 23. τῆς ΓΒ Hu u pro τῆς ΒΓ 48. 934. ἡ «C πρὸς 
τὴν gc S 25. τῆς ΓΒ Hu pro τῆς Br 37. παραλειρϑέντων 5 
post παραληφϑέντων lacunam indicavit οἱ οἷον τῶν « β y coni. Hu 
38. ὅτε ὡς Hu, ὡς AS, om. B 39. οὕτω dV? Scaproór. ὡς 80. τῆς By S 
Pappus I. 4 





f 


50 | ΠΆΠΠΟΥ XYNATOTHZ Γ. 


15 γ΄. Ἔστωσαν ἴσαι εὐθεῖαι c& 4 B, μείζων δὲ ἡ ΓΑ 
τῆς Ν [ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν 24 B), xai πεποιήσϑω 
ὡς μὲν ἡ ἢ “4 πρὸς τὴν IA, ἡ P4 πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ Ü EZ 
πρὸς τὴν HO, ὡς δὲ ἡ B πρὸς τὴν N, 5 N πρὸς τὴν Π 
xai ἡ II πρὸς τὴν Ρ' λέγω ὅτι ἡ P. ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΗΘ. 5 

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΓΖά τῆς Ν, κείσϑω τῇ N ἴση 
ἡ ΓΚ' ἔστιν ἄρα ὡς 1) Ad πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ B πρὸς τὴν N. 
καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ .4 πρὸς τὴν LA, ἡ L'A πρὸς ΕΖ, γεγενήσϑω 
ὡς ἢ 44 πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΕΖ“. ἔστι δὲ 
καὶ ὡς ἡ B πρὸς N, ἡ N πρὸς II, καὶ ἴση ἐστὲν ἡ "μὲν 2d 10 
τῇ B, ἡ δὲ ΓΚ τῇ Ν' δι᾽ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ 4“ πρὸς τὴν 
E, ἡ B πρὸς τὴν II: ἴση ἄρα 7) EA τῇ Il. διὰ τὰ αὐτὰ 
dj, ἐπεί ἐστιν ὡς 7) Jd πρὸς τὴν ΓΖΩά,, οὕτως ἡ EZ πρὸς 
ΗΘ, ἔσται ἄρα xai ὡς ἡ 4 πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς τὴν 
ΕΑ, καὶ ? ΕΑ τιρὸς ἐλάσσονα τῆς HO. ἔστω πρὸς τὴν 1ὅ 
HM: ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἣ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΑ, ἡ EA 
πρὸς τὴν HIM, ὡς δὲ ἡ Ν πρὸς τὴν II, οὕτως ἡ II πρὸς 
τὴν P, καὶ ἴση ἐστὶν ἣ ΓΚ τῇ N, ἡ δὲ EA τῇ II, ἴση ἄρα 
xci ἡ P τῇ HM: ἐλάσσων ἄρα ἣ P τῆς HO. 

ἄλλως τὸ αὐτό, 20 

16 à. "Ἔστω ἴση ἣ .4 τῇ E, μείζων δὲ ἣ B τῆς Ζ, καὶ 
πεποιήσϑω ὡς μὲν ἡ 244 πρὸς B, οὕτως ἡ. B πρὺς Γ καὶ 
ἡ Γ πρὸς 4, ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἡ Ζ πρὸς τὴν Η, 
xai ἣ H πρὸς τὴν Θ᾽ ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ 4 τῆς Θ. 

Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ B τῆς Z, ἴση δὲ ἡ d τῇ E, ἡ B25 
ἄρα πρὸς τὴν «΄' μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Z πρὸς τὴν 
E. ἀνάπαλιν ἡ .4 πρὸς B ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ E 
πρὸς Z. ὡς δὲ ἢ Α πρὸς B, οὕτως ἡ B πρὸς Γ΄ xal ἡ B 

. ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἣ E πρὸς Z. ὡς δὲ 


4. y' add. 8 αἱ 48 et 2, τῶν 48 A, distinx. BS 3. ἐλάσσων “--- 
τῶν 4 B Anterpolatori tribuit Hw 9. ὡς ἡ « B3S, ὡς A AB! 
40. 44. ἐστὴν ἡ μὲν A4 τῇ B, ἡ δὲ] ἐστὶν [//[////] dà A, om. Bt, ἐστὶν 
ἡ μὲν. τῇ. ἡ δὲ 8, corr. BB δα 144. ΓΚ τῆς N A, corr. BS 48. ἡ 
β πρὸς τὴν z B Sca, {{{{{{{{Ὶ| A, ql. S 43. οὕτως ἡ EZ] 
οὕτως ἡ ΓΖΩ͂ πρὸς τὴν EZ καὶ ἡ EZ voluit Co 341. 4 A! in marg. 
(S, om. Β 25. ἡ B ἄρα — p. 52, 2. ὡς δὲ ἡ B] pro his nihil nisi 





LIBER !H. PROPOS. 4. 51 


lll. Sint aequales reófae α β, et reeta γὸ maior quam » ProP- 








oademque minor quam α sive 8], et fiat — y - "ὁ - Ec ; 
. atque - τς —; dico esse ρ « 79. 

a Quoniam enim est γῇ» », 

EL———— —— ponatur yx — »; esi igitur a : yx 

» τὖ ΞΞ,  β: ν. Et quia est α: γὸδ τε 





ε à 6 yÓ : &, fiat o : yx 2 yx: eÀ.. Sed 
est etiam B: » ξεν: π|, eta ΞΕ β; 








ῆ B 9 

B ooa, — exaequali igitur est a : ek o B : n 
8 (elem. 5, 22) ; ergo δλ᾿ 2 π. Ea- 
y τ dem ratione, quia est « : yd — 
ι------ - -- εξ : $9, erit igitur ut o: yx, sive 

Pid . . 
yx : €À, ita δὰ ad aliam quandam 

E ——————————À . 
e minorem quam $3. Sit ad zu; ac 


quoniam est yx : εὰ — ελ : gu, οἱ ν: π — m: ρ, et yx —m v, 
et eÀ — zt, est igitur etiam yu — ρ; ergo ρ « 79. 
ALITER IDEM Í). 
IV. Sit recta α — e, et β ἡ ζ, et fiat ^ -ὖ - Ah 


€ ζ 3 . BO 
atque TIU. πὶ dico esse ὃ » 9. 
4 Quoniam est B ^» C et α — 6, 
« 
! est igitur £ »- La et e contrario 
B 
E ——————————4À 7 « " Sed est 7 Ξ- ξ; ergo 
7 ᾿ 
. β € e Ü 
E ————————————À Ld — L zm 
7 etiam y « P Sed t T 


4) Ubicunque in hac mathematica collectione unam demonstrationem 
sequitur altera sub “4λλως, in medio relinquitur, utrum hanc ipse Pappus 
ex amplissimo suo operum mathematicorum apparatu, an alius quidam 
scriptot posterioris aetatis adiecerit. Omnino modo hoc, modo illud 
factum. esse videtür; et hoc quidem loco prior demonstrationis forma 
sine dubio, est antiquior; altera multo tersior et expeditior, sed duobus 
aliis lémmatis (propos. 3 et 4) innititur, cum prior demonstratio per se stet. 


haec habet S: 7 B ἄρα πρὸς τὴν a μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἢ ξ 

πρὸς η. ὡς δὲ ἡ f; quae sic emendare conatus est Sca: ἢ ἃ ἄρα 

πρὸς τὴν β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ, 1 € πρὸς C καὶ ἡ β πρὸς γ 

ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ € πρὸς y. ὡς δὲ ἡ f cet. 41. ἥπερ ἡ E] 

ἥπερὴ H ἜΑ, ἥπερήκεΒ 38. ὡς δὲ ἡ Α --- 39. ἥπερ ἡ E πρὸς Z add. Hy 
. 4* 


52 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Γ. 


ἢ E πρὸς Ζ, οὕτως ἡ Ζ πρὸς H: καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ 3 Ζ πρὸς H. ὡς δὲ ἣ B πρὸς T, 
οὕτως ἡ Γ πρὸς 4: καὶ J Dr ἄρα πρὸς 4 ἐλάσσονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς. Η. ὡς δὲ ἡ Ζ πρὸς Η, οὕτως 1 H 
πρὸς O: καὶ ἡ T ἄρα πρὸς 4 ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤττερ 5 
$ Η πρὸς Θ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΑἹ πρὸς B ἐλάσσονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ, ἡ δὲ Β πρὸς. Γ ἐλάσσονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἢ Ζ πρὸς H, E δὲ Γ πρὸς 4 ἐλάσσονα ἤπερ 
ἧ H πρὸς Θ, δι᾽ ἴσου ἄρα ἡ «Αἱ πρὸς 4 ἐλάσσονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Θ διὰ τὸ ἑξῆς. καὶ ἔστιν ἴση ἡ 2d 10 
τῇ Ε΄ μείζων ἄρα ἡ 4 τῆς Θ, ὅπερ: “- 

17 δ. Ἡ 4 πρὸς B ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἧ Γ 
πρὸς 4: ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ n4 πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει 
ἥσεερ ἡ Β πρὸς τὴν Ζ. 

Πεποιήσϑω ὡς 7 «Α΄ πρὸς B, οὕτως 3 Γ πρὸς Ε΄ 15 
μείζων ἄρα ἐστὶν 7) E τῆς 4. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἧ A 
πρὸς B, οὕτως ?) Γ πρὸς E, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ 4 πρὸς T, 
οὕτως ἡ B πρὸς E. ἡ δὲ B πρὸς E ἐλάσσονα λόγον ἔχει 
ἥπερ ἡ B πρὸς Z1: καὶ ἡ «Α' ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἡ B πρὸς 4. 20 

18 c'.. Τούτου. δειχϑέντος ἡ .4 πρὸς B ἐλάσσονα λόγον 
ἐχέτω ἤπερ 7) 4 πρὸς E, ἐχέτω δὲ καὶ ἧ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα 
λόγον ἤπερ ἡ E πρὸς Z: ὅτι xai δι᾽ ἴσου ἡ .4 πρὸς Γ 
ἐλάσσονα λόγον. ἔχει ἥπερ ἡ 4 πρὸς Ζ. 

Ἐπεὶ γὰρ ἢ 4 «πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἣ 2 25 
πρὸς E, ἐναλλὰξ ἡ .4 πρὸς 4 ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ 
j B πρὸς Ε. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἢ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς. Z. ἐπεὶ οὖν ἢ À πρὸς Δ πολλῷ ἐλάσσονα 
λόγον ἔχει ἥπερ 5 V πρὸς 2, ἐναλλὰξ ἡ ἢ 24 γερὸς Γ ἐλάσσονα 
λόγον ἔχει ἧπερ ἡ 4 πρὸς Ζ, ὅπερ: — 80 


à 


19 ES "4 μὲν οὖν ἔδει ue προειπεῖν ἐστιν ταῦτά, παρεὶς 

5. ἡ DA ἄρα AS, ἡ y *&ge B, corr. etiam Sca 6. 7 ante H 
om. ADSS (plura om. B!), add. Sca 410. ἴση 3j « B? («c in rasura) 
Sca, ἡ εἴ AS 44. ὅπερ nulla sequente nota corgpendii A, ὅπερ: “- B, 
onto ἔδει. “Οὐ. 12. E A! in marg. (S), om. B. 47. ἄρα add. Hw, 
item vs. 49 *. 24. c A! in. marg., om: BS 38. ἐπεὶ οὖν — 99. ἡ Γ 


LIBER ΠΙ. PROPOS. 3. 4. 


ergo etiam B i Sed rm 7. 
7 Ἶ χ᾽ à?! 

. » . 

ergo etiam 4 « * Sed — τ ΞΞ σ! 


ergo etiam 5 « z Iam am est 


j«peft«taifaeli, 


ὃ 


ex aequali igitur est : « 3 propter τὰ quod deinceps de- | 


monstrabitur. Et est à — 6; ergo ὃ.» 9 (elem. ὃ, 10), 4. e. d. 


V. Sit 7 « "I dico etiam vicissim esse y. « £*). 





VI. Hoc demonstrato sit — «9 οἱ £ « “ ; dico ex Prop. 
; e! Ü ^ 


aequali esse — « T 





VII. Haec igitur sunt, 


. eC γ. 

Fiat $7 est igitur 
T « ^ ideoque (elem. -5, 10) 
€ » 0. . lam quia est "1 Ξε p 
vicissim igitur est T L— 8. Sed 
est £ « δ (elem. 5, 8) . ergo 


etiam P m £. 


. . « ὃ. 
Quoniam enim est — « "E 


8 


propter superius lemma vicissim 


est T « £. Eadem ratione est 
etiam £ « T lam quia est 
» « £ « T vicissim igitur est 
« , óÓ 

— «. —, q. e. d. 

y * pa d 


quae me praefari necesse erat; 


*) Idem paulo aliter demonstrater infra VII propos. 5. 


πρὸς Z add. Hu partim auctore Sca, qui πολλῷ ἄρα “μᾶλλον 7] « πρὸς 


ὃ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡπὲρ v γ πρὸς t coniecerat 31. Z A! in marg. 


(S, om, B 


Prop. 
3 


20 


21 


54 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHI T. 


δὲ κρίνειν GoL τε xai τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ 
ὑπ᾽ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφ᾽ 
ἡμῶν ἐπενεχϑέντα, καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι χαὶ τὰ δόξαντα 
τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκϑέσϑαι 
xai πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμδερίᾳ προβλη- 5 
μάτων, ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦϑεν. 

Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη 
φασὶν elvat, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ 
στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν δι᾽ εὐθείας καὶ κύκλου 
περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα" 10 
καὶ γὰρ ai γραμμαὶ δι᾽ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα 
τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ προβλήματα λύεται 
παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου 
τομῶν ἢ πλειόνων, ταῦτα στερεὰ κέχληταε' πρὸς γὰρ τὴν 
κατασχδυὴν ἀναγκαῖόν ἐστε χρήσασθαι στερδῶν σχημάτων 15 
ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖρ κωνικαῖς. τρίτον δ᾽ ἔτι κατα- 
λείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν" γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι 
παρὰ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποι- 
κιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν, ὁποῖαι 
τυγχάνουσιν αἱ ἕλιχες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς 20 
καὶ κισσοειδεῖς, πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι 
συμπτώματα. τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημάτων 
οὔσης oL παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὲ τῶν δύο 
εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τ᾽ 
ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουϑοῦντες, 25 
ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου. τομὰς ῥᾷδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν 
ἦν [ὡς δεῖ δύο δοϑεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνά- 
λογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ), τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλα- 
βόντες αὐτὸ ϑαυμασίως slg χειρουργίαν xai κατασχευὴν 
ἐπιτήδειον ἤγαγον, ᾧς ἔστιν ἰδεῖν [ἀπὸ τῶν φερομένων 80 
αὐτοῖς συνταγμάτων, λέγω δ᾽ ἐν τῷ Ἐρατοσϑένους μεσο-- 


4. τὰ) τά τε coni. Hu 18. elg τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν χατασχευὴν 
Co, corr. Hu 49. βεβιασμένην AS, sed litterae βεβε vix perspicuae 
in À, μεξταπλασμένην B, χατασχευασμένην cod. Paris. 2869, iransmutabi- 


lem Co — 29. τυγχά |[[[]/[[[[][[| καὶ A tuy............ καὶ B!, τυγχάνου- 
σεν αἷ ..... χαὶ B9, τυγχάνουσε ,...... καὶ S, ἕλικες add, (0 κοχλοει- 


LIBER lll. PROPOS. 4. 55 


sed tibi. aliisque qui in geometria versaü sunt et ea quae 
ille de constructione in medium protulit, et quae a nobis 
obiecta sunt, diiudicanda permitto, ac satius duco et vete- 
rum de hoc problemate sententias explicare et pauca de geo- 
metricis problematis in universum praemittere, cuius dispu- 
tationis hinc iam initium faciam. 

Geometricorum problematum veteres tria genera esse 
statuerunt, eorumque alia vocari plana, alia solida, alia line- 
aria!). Quae igitur per rectas lineas et circuli circumferen- 
tias solvi possunt, ea merito plana dicantur, quoniam lineae, 
per quas eiusmodi problemata solvuntur, in plano originem 
habent. Quorum autem problematum resolutio adsumptis 
una pluribusve coni secüonibus invenitur, haec solida appel- 
lata sunt; nam ad eorum constructionem solidarum figurarum 
superficiebus, nimirum conicis, uti necesse est. Tertium au- 
tem relinquitur genus quod lineare vocatur; nam praeter eas 
quas statim descripsi lineas aliae variam et contortiorem ori- 
ginem habentes ad constructionem adhibentur, quales sunt 
helices sive spirales, tetragonizusae sive quadratrices, con- 
choides sive conchiformes, cissoides sive hederae similes, quae 
omnes multas et insignes proprietates (symptomata Graect 
vocant) in se habent. Sic igitur cum problemata inter se 
differant, veteres geometrae illud quod supra positum est 
problema de duabus rectis meds proportionalibus, quippe 
quod natura solidum esset, secundum geometricam rationem 
construere non potuerunt, quoniam coni sectiones in plano 
describere non facile erat; instrumentis autem adhibitis miri- 
fice ad manuum operationem aptamque constructionem id 
perduxerunt?), sicut ex Eratosthenis mesolabo et Philonis 


4) Eadem latius tractantur infra IV cap. 57 sq. 
4) Conf. infra VIII cap. 25. 


δεῖς À!, y superscr. ΑΞ, unde χογχλοειδεὶς Bl, χογχοειδεῖς BS 41. αὐὖ- 
τὰς AB!S, corr. B? 27. ὡς dei — 28. ἀναλογίᾳ del. Co 30. ἀπὸ 
τῶν — 81. λέγω δ᾽ et p. 56, 4. ἢ καταπαλτιχοῖς interpolatori tribuit 
Hw; ceterum pro αὐτοῖς συνταγμάτων ille ἐν τοῖς αὐτῶν συντάγμασι 
voluisse videtur 


56 IIAIIIIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


λάβῳ xai τοῖς Φίλωνος xai Ἥρωνος μηχανικοῖς [ἢ κατα- 
παλτικοῖς]. οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν. εἶναι τὸ πρό- 
βλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται 
[συμφώνως Απολλωνίῳ τῷ Περγαίῳ', ὃς καὶ τὴν ἀνάλυσιν 
αὐτοῦ πεποίηται διὰ τῶν τοῦ κώνου τομῶν, καὶ ἄλλοι. διὰ ϑ 
τῶν Αρισταίου τόπων στερεῶν, οὐδεὶς. δὲ διὰ τῶν ἰδέως 
ἐπιπέδων καλουμένων], Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοει- 

.22 doc γραμμῆς, δι᾿ ἧς xai τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν. ἐκ- 

ϑησόμεϑα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευὰς μετά τενος ἐμῆς 

ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσϑένειον, δευτέραν 10 

δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὲ Ἥρωνα 

μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτο-. 
νεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ᾽ ἡμῶν ἀνευρημένην. 

[στερεοῦ γὰρ παντὸς ἕτερον στερεόν, ὅμοιον τῷ. δοϑέντε, 

χατασχευάζεται πρὸς τὸν δοϑέντα λόγον, ἐὰν δύο τῶν 15 

δοϑεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον. 

ληφϑῶσιν, ὡς Ἥρων ἐν μηχανικοῖς καὶ καταπαλτικχοῖς.] 

28 Ἔστω o)» πλινϑίον πεπηγὸς τὸ JMBI'4, καὶ ἐν αὐτῷ 
τρίγωνα ὀρϑογώνια ἴσα τὰ 4ΕΘ MZK NH.A, ὀρϑὰς ἔχοντα 
τὰς πρὸς τοῖς E Z Η γωνίας, καὶ τὸ μὲν 44 ΕΘ προσπε-- 20 
πηγὸς μενέτω, τὸ δὲ MZK τὴν χίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν AB 
ΓΖ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν MZ ἐπὶ τοῦ 48 κανόνος 
φέρεσϑαι ἔχοντος σωλῆνα δι᾿ ὅλου, τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κὶ 


v 


4. συμφώνως --- "7. καλουμένων interpolatori tribuit Hu "1. λέ- 
λυχε Hu pro xal λόγω: κοχλοειδοῦς A! ante rasuram, χογχλοειδοῦς 
B!, χογχοειδοῦς A?2B3S 8. γραμμῆς B et S correctus (incertum an a 
Scaligero), γραμμικῆς AS! 10. τὴν ante Eger. om. AB, add. S 
44. τὴν περὶ τὸν νικομήδη S 14. στερεοῦ — 47. καταπαλτικοῖς] nec 
falsum est hoc theorema nec suspecta Heronis, qui citatur, auctoritas ; 
tamen haec interpretamenti loco ab aliena manu addita esse apparet 
44. στερεοῦ παντὸς interpolator ex ἕτερον suspensa esse voluit (στε- 
ρεοῦ γὰρ δοϑέντος coniecerat Hu, στερεοῦ γὰρ παντὸς δεδομένου Co) 
45. τῶν del. Hu 48. τὸ 48 I1 ^, coniunx. BS 19. ἴσα A? ex 
ie — uix vg B3V2, MZ KMH.z ^, nix μηδ S, uix uA B! 90. τὰ 
πρὸς AB!, corr. B3S 24. ἐπὶ om. AB!S, edd. B*V? Co ..48. σω- 
λῆνα Sca, σωληνίαχον Hu, ocio fere litterae evanidae in A, latuna 
in BS ' 


LIBER III. PROPOS. 5. ᾿ 97 


Heropisque mechanicis cognoscere licet. ΗἸἰ enim, de solida 
problematis natura consentientes, constructionem eius nulla 
alia ratione nisi per instrumenta effecerunt [convenienter 
Apollonio Pergaeo, qui resolutionem eius eliam per coni 
sectiones invenit, aliique per Aristaei locos solidos, nemo 
autem per plana quae proprie dicuntur]; Nicomedes autem 
per.lineam conchoidem solvit, per quam etiam angulum tri- 
partito divisit. . Ita fit, ut, addito meo quodam supplemento, 
iam quattuor problematis constructiones exponendae sint, pri- 
mum  Eratosthenica, (um ea quam Nicomedis schola am- 
plectitur, tertium illa quae Heronianis probatur, maxime ad 
manuum: operationem iis qui architecturae student accommo- 
data, postremo ea quae a nobis inventa est. |Nam ad quid- 
vis datum solidum alterum solidum, dato simile, iuxta datam 
proportionem construitur, si duabus datis rectis duae mediae 
in continua proportione sumantur, ut Hero docet in mecha- 
nicis et catapulticis. | 

Duabus datis rectis duae mediae in continua proportione FroP- 
inveniantur. 

Sit igitur, inquit Eratosthenes!), margo compactus; 
forma rectanguli oblongi, αβγδ, in eoque triangula orthogonia 


y 


β 


aequalia «e9 ubx νηλ, rectos angulos ad puncta & D ἡ ha- 
bentia, et triangulum a&3 fixum maneat, triangulum autem 
uix moveatur in regulis eg yó"), ita αἱ latus μὲ in vegula 
ap feratur canalem per totam longitudinem habente, vertex 








4) Multum differunt ea quae Eutocius in Archimedis de sphaera 
et cylindro libr. 11 (p. 445 sq. ed. Torell. ab Eratosthene ad Ptole- 
maeum regem Scripta esse tradit. 


»)* "Ex epistola Eratosthenis, quae legitur in commentariis Eutocii 
in secundum librum Archimedis de sphaera et cylindro (p. 445) appa- 
ret ipsum voluisse medium parallelogrammum seu triangulum affixum 
esse et manere, non primum. Sed res in idem recidit; nam etiam si 
ultimum maneat et alia duo moveantur, idem plane continget. Co. 


58 ΠΑΠΠΗΟΥ͂ ZYNATOQTHS T. 


διὰ τοῦ lf κανόνος xai αὐτοῦ δι᾿ ὅλου τοῦ μήκους σε- 
σωληνισμένου, παραπλησίως δὲ καὶ τὸ NH.A τρίγωνον ἐχέτω 
τὴν κίνησιν ἐπὶ τῶν 1 Γ4 κανόνων κατὰ τοὺς προειρη- 
μένους Óxevovg. τούτων δὴ οὕτως ὑποχειμένων, ὅτε βού- 
λοιτό τις κύβον κύβου διπλασίονα ποιῆσαι, διπλασίαν ἀπο- 5 
λαμβάνων τὴν 4T τῆς 415 καὶ διιστὰς τὰ MZK ΝΗΑ͂ τρί- 
γωνα; μέχρις ἂν κατ᾽ εὐθεῖαν γένηται τὰ ΑΔ E σημεῖα ταῖς 
τῶν τριγώνων τομαῖς ταῖς IE O, ἐπιζεύξει τὴν ΑἼΠΟΞ 
συμπίπτουσαν τῇ ΓΖΩ͂ κατὰ τὸ P (τοῦτο γὰρ κατ᾽ ἀνάγκην 
ὀφείλει ἐπακολουϑεῖν), καὶ οὕτως τὸ προκείμενον αὐτῷ 10 
συμβαίνει. 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ AT πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ .4P 
πρὸς ΠΡ, καὶ ἡ . πρὸς IIK, καὶ ἡ OP πρὸς PK, καὶ 
ἡ IIO πρὸς OK, καὶ ἡ ΠΡ πρὸς PO, καὶ ἡ IIK πρὸς O.4, 
"xai ἡ ΚΡ πρὸς ΡΑ͂, καὶ ἡ OK πρὸς ΑΞ, τῶν ΑΓ 4E 15 
ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν. 
xai ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς 4E: διπλάσιος ἄρα καὶ ὃ 
ἀπὸ τῆς “1Γ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς IIO κύβου. εἰ δ᾽ ἄλλον 
τινὰ λόγον ἔχει ὃ κύβος πρὸς τὸν κύβον, ἐχεῖνον τὸν λόγον 
ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς «15, καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως 30 
κατασκευάζειν. [καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι ἀδύνατόν ἔστι 
τὸ προκείμενον διὰ τῶν ἐπιπέδων λύεσθαι. 

24 ». Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐϑειῶν τῶν 
I4 4.4 δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς λαμβάνονται τρόπῳ 
τοιῷδε. 25 

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον, xai 
τετμήσϑω δίχα ἑκατέρα τῶν 4 ΒΓ τοῖς 21 E σημείοις, 
καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ 414 ἐκβεβλήσϑω xai συμπιπτέτω τῇ ΓΒ 


4. yd κανόνος Sca et καὶ αὐτοῦ Hu, “|| του &, post lacunam 
rov B, τοῦϑ 48. yq4 B? in rasura, NAM AS, vÀg V2 Sca 8. κατὰ 
Sca, per Co, καὶ ABS 4. ὅταν βούληταί — 5. ποιῆσαι, ἡμίσειαν 
ἀπολαμβάνων τῆς 4Γ τὴν 48 coni. Hu 6. MZ KNHA A, corr. 
BS  7.:à AX et 8. ταῖς ΠΟ A, distinx. ΒΒ 13. πρὸς IIK] πρὸς KH 
AS, πρὸς xz B, corr. V? Sca 44. πρὸς OK] πρὸς ΘΚ ABS, corr. 
B3V? Sca πρὸς PO] πρὺς PC ABS, corr. B3V? Sca 46. «f£ IG OK] 


«i HO EK AS, αἱ πϑ ex Bl, corr. B9V2 Sca — 19. ἔχοι ὁ κύβος He 





LIBER ill. PROPOS. 5. 90 
A 


autem x in regula yÓ ipsa quoque per totam longitudinem 
canalis instar excavata, ac similiter triangulum »z4 in regulis 
af yd per eosdem canales moveatur. Quae cum ita prae- 
pareta sínt, si quis cubum cubi duplum facere velit, rectam 
λὲ dhimidiers rectae Am, id est ya, abscindat, tum triangula 
uix νηλ distrahat, donec puncta a ἔ in eadem recta, in qua 
triengulerum sectiones z o, posita sint, denique rectam ασποξ 
iungat, quae rectae yÓ in puncto o occurrat (hoc enim fieri 
necesse est), et sic illud quod ei propositum est contingit. 
Nam cum sit 


πϑ zo πα xQ ox op oÀ ἀρ ἐλ᾽ 

rectarum igitur e» $4 duae mediae in continua proportione 
sunt πϑ ox. Et est cy duplo maior!) quam $4; ergo etiam 
cubus ex «y duplo maior est quam cubus ex z3"). Si 
autem aliam quandam proportionem alter cubus ad alterum 
habeat, eandem quoque recta «y ad $4 habeat necesse est, 
quo facto reliqua eodem modo construuntur. [Atque ex his 
apparet propositum per plana solvi non posse.] 

VII. Nicomede autem auctore, datis duabus rectis yó 
δα, duae mediae continuo proportionales sumuntur hoc modo?). 

Compleatür αβγδ parallelogrammum, et rectae af gy in 
punetis 4 & bifariam secentur, et iuncta δὰ producatur rectae- 


4) Duplo maior cum latine pre Graeco ϑεπλάσιος sive διπλασίων 
dicimus, ec similiter triple maior pro τρεπλάσεος etc., ablativi dupio, 
triplo non differentiam, sed proportionem significant, velut si dixeris 
dupla proportione maior etc. 

*) Conf. elem. 5 def. 44; 8, 42; 11, 83; Bretschneider, die Geo- 
meirie und die Geometer vor Euklides, Lipsiae 4870, p. 98 sq. 444 sq. 
Copiosius de eo argumento expositum est a nobis in Fleckeiseni anna- 
libus (Neue Jahrbücher für Philologie und Paedagogik, vol. 197, Lipsiae 
a. 4873 p. 498—501). 

2) Eadem demonsíratio, paucis admodum mutatis, infra redit IV 
propos. 24, congruens illa quidem cum Eutocii commentariis in Archi- 
medem. 


$4. καὶ ἐκ — 22. λύεσϑαι interpolatori tribuit Hu — 28. H Alin marg. 
(8), om. B 31. roig -4E A, distinx. ΒΒ 38. » 421] » ΔΑ Hu 





60᾽ ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Γ. 


ἐκβληϑείσῃ κατὰ τὸ H, καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρϑὰς ἡ EZ, 
xai ἐπεζεύχϑω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ 44, καὶ ἐπεζεύχϑω 
ἡ ΖΗ, καὶ αὐτῇ παράλληλος ἣ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς 
ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ 
δοθέντος τοῦ Ζ δι- ὃ 
ἤχϑω ἡ ΖΘΚ ποι- 
οὔσα ἴσην τὴν ΘΚ 
τῇ ddr 
(τοῦτο γὰρ ὡς δυνα- 
τὸν ἐδείχϑη διὰ τῆς 10 
κοχλοειδοῦς γραμ- 
μῆς), καὶ ἐπιζευχ- 
ϑεῖσα ἡ ΚΖ ἐκβε- 
βλήσϑω καὶ συμ- 
πιπτέτω τῇ B.4 ἐχ- 15 
βληϑείσῃ κατὰ τὸ 
M: λέγω ὅτι ἐστὶν 
ὡς ἢ 4Γ πρὸς ΓΚ, 

ἡ ΓΚ πρὸς ΜΙΑ͂ xoi $ M.4 πρὸς τὴν 44. — 

Ἐπεὶ γὰρ ἡ BU τέτμηται δίχα τῷ E καὶ πρόσκειται 20 
αὐτῇ ἡ ΓΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν 
τῷ ἀπὸ EK. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ EZ: τὸ ἄρα ὑπὸ 
BKI μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον 
ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ KZ. καὶ ἐπεὶ 
ὡς 1? M.4 πρὸς “18, ἡ MA πρὸς AK, ὡς δὲ ἡ MA πρὸς 25 
ΖΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, xki ὡς ἄρα ἡ ΜΑ͂ πρὸς AB, 
οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστιν' τῆς μὲν ,4,1Β ἡμίσεια 
ἢ 441, τῆς δὲ ΒΓ διτιλῆῇ ἡ ΓΗ ἔσται ἄρα xoi ὡς ἡ ΠΗ. “Α΄ 
πρὸς τὴν 44.4, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΓΗ 
πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους 80 





4. ante τῇ ΒΓ, ut plurimis aliis locis, cogitatione addendum est 
ἤχϑω, quod ne forte in contextum inserendum esse putes, conf. etiam 
infra IV propos. 24 3. ἡ ante 79 om. Αἴ, add. A?BS 8. τῇ 4.4 
ἢ τῇ IZ] pro ἡ coni. τουτέστιν Hu 10. ἐδεέχϑη] demonstratum 
hoc esse a Nicomede, non a se ipso, Pappus dicere voluit; aliter au- 
tem idem ἐδεέχϑη infra sonat IV cap. 48 44. .χοχλοειδοῦς Al, κογχλο- 


LIBER III. PROPOS. 5. 61 


que γβ productae occurrat in puncto ἡ, et rectae gy perpen- 
dicularis ducatur εἶ, cuius punctum LC ita sumatur, ut iuncta 
γζξ aequalis sit rectae aA"), et iungatur C£» eique parallela 
ducatur y9, et productá By ad punctum x (adhuc definiendum), 
cum datus sit angulus κγϑ ἢ, a dato puncto ζ recta ζϑκχ ita 
ducatur, ut 9x aequalis sit rectae «À sive γζ — hoc enim 
fieri posse demonstratum est per conchoidem lineam!) — et 
iuncta xàó producatur occurratque rectae f productae in 
puncto t; dico esse Óy : yx — yx : ua — μα: a. 
Quoniam enim 8» bifariam secta est in puncto & eique 
in eüdem rectá addita est yx, est igitur propter elem. 2, 6 
Bx xy -- γε} — ex?. Commune addatur &?; est igitur 
Bx xy -- ye? - cC? — ex? - eC, id est 
B*-xy 4- JC? — x2. Et quoniam propter parallelas «à 
Bx est 
μα: af Ξε μὸ : Óx, et propter porallelas ug ày 
μ: Óx — By : yx, est igitur etiam 
μα: ag - βγ: γκ. Etest αβ — 3 αλ, et By — Δ ἢ 
ες (quia ηβ — aó — gy); ergo erit 
etiam 2) 
ua: αλ τῷ, 7»y : yx. Sed propter parallelas ηζ γϑ' est 
q$y : yx z L9 : 9x; ergo etiam 
componendo | 
v) 'Oporlet ex duabus datis y δὰ maiorem esse o τὴν óy. aliter 
enim γξ aequalis «À non subtenderet angulum rectum yez" V2, 


**) Datum esse angulum xy ex iis demum sequitur quae libro IV 
propos. 24 ab initio supponuntur. 

4) Vide infra IV propos. 23 sq. et conf. adnot. ad Graeca p. 60, 40. 

2) Hic adnotat V? "quia id quod fit ex αβ By est aequale ei quod 
fit ex «À ηγ, idem igitur per formulam multiplicationis significat, quod 


Pappus per proportionem tacite supplevit, si sit a : b 2 c:d, esse etiam 
α: ὃτ 2c:d. 


ειἰδοῦς Bi, χογχοειδοῦς A?B3S 14. χαὶ συμπιπτέτω BV? (conf. supra 
p. 58, 28 et infra IV cap. 48), tot fere litterae partim evanidae partim 
charta agglutinata inductae in A, om. S, ἕως «v συμπίέπτῃ Sca 18. ὡς 
ἢ 4r πρὸς TK] "i Illi, /K ^, ὡς * yó πρὸν xx Bl, ὡς ἡ yd πρὸς yx 
B3, ...... ἡ Bx S, ὡς ἡ uB πρὸς Bx VI, corr. V? Sca (praeter necessita- 
tem insuper οὕτως add. Sca — 2!. ἡ yx B3V2 Sca, ἡ IIK AB!S 


62 ΠΑΙΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


τὰς ΗΖ Il'O: «ai συνϑέντε ἄρα ὡς ἡ Mad πρὸς fad, ἡ ΖΚ 
πρὸς KO. ἴση δὲ ὑπόκδιταε καὶ 7) 44.4 τῇ ΘΚ [ἐπεὶ καὶ 
τῇ ΓΖ ἴση .ἐστὶν ἣ 441.1]" ἴση ἄρα καὶ ἣ ΜΑ τῇ ΖΚ. 
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΞ.1 τῷ ἀπὸ ΖΚ. xoi ἔστι τῷ μὲν 
ἀπὸ Μ. ἴσον τὸ ὑπὸ BIW.4 μετὰ τοῦ ἀπὸ “1.1, τῷ δὲ δ 
ἀπὸ ZK ἴσον ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ BKT μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, 
ἐν τὸ ἀπὸ 411 ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ (ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ d.d 
τῇ LZ): ἴσον ἄρα xei λοιπὸν τὸ ὑπὸ BMW λοιπῷ τῷ 
ὑπὸ ΒΚΓ" ὡς ἄρα $ MB πρὸς ΒΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς 
M4. ἀλλ᾽ ὡς ἡ MB πρὸς ΒΚ, ἡ 4Γ πρὸς ΓΚ’ καὶ ὡς 10 
ἄρα ἡ 4Γ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΗ. ἔστι δὲ xai ὡς 
ἡ MB πρὸς ΒΚ, ] M.4 πρὸς d: καὶ ὡς ἄρα 7 4Γ 
πρὸς ΓΚ, ἡ ΚΓ πρὸς AM καὶ ἡ Md πρὸς 44h. 

20 9'. Κατὰ δὲ τοὺς περὲ τὸν Ἥρωνα, πῶς ἔστιν δυνατὸν 
δύο δοϑεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανι- 15 
χῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὲν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καϑά 
φησιν xai ᾧ Ἥρων, στερεόν. “᾿᾿ἐχϑησόμεϑα δέ φησιν " τῶν 
δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔϑετον." 

26 Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοϑεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς 
ὀρϑὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. 20 

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον, καὶ 
ἐκβεβλήσθωσαν αἱ AT did, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 48 DA, 
καὶ παραχείσϑω κανόνιον πρὸς τῷ B σημείῳ καὶ κινείσϑω 





3. ἐπεὶ x«l — 8. ἡ 4.41 interpolata esse putat Hw, quemvis ea- 
dem infra IV cap. 43 et apud Eutocium redeant 9. ἡ 44] ἡ Ad 
AS, corr. B Sca 7.8. τὸ ἀπὸ 4.4 | Αἴ, tum post exitum versus G 
(i. e. ἴσον) τὰ τῶι et ante initium proximi versus ἀπὸ ΓΖ. i65 γὰρ ὑπό- 
κειται ἡ 4.41 adscripsit A?, porro τῆι TZ ἴσον ἄρα καὶ cei A! 
44. ΘΑΙ in marg. (S), om. B 47. 0 ante ἐκϑησόμεϑα ad: add. ABS, 
del. Hu 20. ἀλλήλαις B3S, ἀλλήλας A, om. B! 91. τὸ AB ΖΑ, 
coniunx. BS 32. ἐπεζεύχϑωσαν BS, in A manus secunda (an alia re- 
centior?) in particula membranarum antiquae scripturae superducta 
scripsit ἐπεζεύχϑω, tum initio proximi versus sequitur σαν pr. m. 
exaratum 39. αἱ AB T4 A, corr. BS 23. B σημείῳ) octo de- . 
cemve litterarum spatium inductum in A, B ....... B Sca, B σημείω 
B*, om. S 


LIBER Ill. PROPOS. 5. 63 


HÀ : α τῷ Ux : 9x. Sed ex hypothesi est a4 z 9x; 
ergo eliam μὰ — ζκ, et 
BÀ? — κζ, Εἰ propter elem. 2, 6 est 
p? — Bu. ua -- aÀ?, et supra demonstratum est 
xL? — βκ. χγ - y00. dam in his est aA? z- yt? (nam 
ex hypothesi est «4 — 40); ergo 
etiam subtrahendo 


Bu - μα — Bx. xy, id est proportione facta (elem. 6, 16) 

Hu : Bx τ yx: μα. Sed propter parallelas μβ ày est 
ug : Bx — Óy : yx; ergo etiam 

dy : yx — yx : μα. Sed. propter parallelas 8x αὃ est 
UB : gx — μα : a, ideoque 

yx : ua z- μα: αδ' ergo etiam 

dy : yx 22 yx : μα zs μα: αδ. 

IX. Quomedo autem secundum Heronem!) eiusque 
sectatores duabus datis rectis duae mediae proportionales in- 
veniri possint instrumento adhibito, iam demonstraturi sumus, 
quoniam hoc problema, sicut etiam ipse Hero dicit, solidum 
est. '" Exponemus autem" inquit ' demonstrationem omnium 
maxime ad manuum operam accomodatam'' 2). 

ϊ Sint enim datae rectae «f γὸ ad 
rectos angulos inter se positae, qua- 
rum duae mediae proportionales in- 

β veniendae sunt. 


u . Compleatur ofyó parallelogram- 
mum, et producantur à» δὰ ad puncta 
(nondum definita) € 5"), iunganturque 
Óf ya secantes sese in puncto ἢ, et 
ὃ γ t . apponatur regula versatilis in puncto β 


4) Conf. supra cap. 21, infra VIII cap. 25. 


2) Similis demonstratio exstat in Heronis quae feruntur belopoeicis 
(veterum mathem. op. ed. Thevenot p. 443 s8q.), quam passim mutatam 
sub titulo ὡς "Hoo ἂν μηχανιχαῖς εἰσαγωγαῖς xal ἐν τοῖς βελοποιιχοῖς 
repetivit Eutocius in commentariis ad Archim. de sphaera et cylindro 
p. 436. Sed in utroque libro ipsa Heronis scriptura minus accürate 
"servata esse videtur quam in hac Pappi collectione. 


*) Neque hoc loco in Graecis ἐπὶ τὰ E Z'nec paulo post τέμνουσαι 
ἀλλήλας χατὰ τὸ H addenda esse existimem; namque haec ipse Pappus 
brevitatis causa omisisse videtur. 


64 | ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ T. 


τέμνον τὰς ΓΕ ΑΖ, ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ H ἀχϑεῖσα ἐπὶ 
τὴν τῆς DE τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ H imi τὴν τῆς 
-Z τομήν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἢ μὲν τοῦ κανονίου ϑέσις 
ἡ ΕΒΖ, ἴσαι δὲ αἱ EH HZ: λέγω οὖν ὅτι αἱ AZ ΓΕ 
μέσαι ἀναλογόν εἶσιν τῶν .4B ΒΓ. δ 
Ἐπεὶ γὰρ ὀρϑογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓΔ παραλληλό- 
γραμμον, αἱ 'τέσσαρες εὐϑεῖαι αἱ ΔῊ H.4 ΗΒ ΗΓ ἴσαι 
ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ 4H τῇ .4Η, καὶ διῆκται 
ἡ ΗΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ 4Z.4 μετὰ τοῦ ἀπὸ 4Η ἴσον ἐστὶν 
τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ A4ET μετὰ vobi 
ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ HE HZ 
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ 4Ζ.Α μετὰ τοῦ ἀττὸ 4 τῷ ὑπὸ 4ΕΓ) 
μετὰ τοῦ ἀπὸ DH. ὧν τὸ ἀπὸ ΤῊ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ’ 
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΔῈΓ ἴσον ἐστὲν τῷ ὑπὸ 4Ζ. ὡς 
ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς AZ, ἡ Z.4 πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἢ ΕΖΔ πρὸς 3 
AZ, ἢ τε ΒΑ͂ πρὸς ΑΖ καὶ Υ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται 
καὶ ὡς ἡ Α͂Β πρὸς ΑΖ, ἣ τε. ΖΑ͂ πρὸς lE xoi ἡ ΓΕ 
᾿ πρὸς LB: τῶν ἄρα .4 ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ 42 ΓΕ. 
27 v. Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ 
τοῦ ὑποχειμένου ὀργάνου. καὶ καϑ᾽ ἡμᾶς, ἀλλὰ καὶ καϑόλου 90 
λόγον ἔχων. τὸν ἐπιταχϑέντα. 


4. Η ἀχϑεῖσα ἐπὶ τὴν] tot fere litterae inductae in A, ἡ ἐπὶ τὴν B 
Sca, om. S, ἀχϑεῖσα add. Hu 4. ἔσαι δὲ αἱ EH HZ abundant, ideo- 
que suspecta videantur; sed similis pleonasmus infra cap. 97 redit 
6. τὸ 4B I4 A, coniunx. ΒΒ 8. τῇ «y BS, τῆ: AN A 410. δὴ BS. 
AH A. 49. τοῦ ἀπὸ «m B3V2 Sca, τοῦ ἀπὸ TH ABIS — 43. τοῦ ἀπὸ 
ym B? V2 Sca, τοῦ ἀπὸ ΤΕ ΑΒΊΒ τῷ ἀπὸ ηα B3 Sca, ri τῶι ἀπὸ HE 
AB!S 46—48. ἥτε ΒΑ πρὸς AZ. aoioek κὰκ Ἀπ | πρὸς i ΤῈ χαὶ iq TE 
πρὸς ΓΒ. ὥστε ἔσται χαὶ ὡς ἡ AB πρὸς AZ ἢ 18 | ΖΑ͂ πρὸς ΤΙ ΓΕ καὶ 
ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ Αἱ erasis novem fere litteris ab A2; post ἥτε ΒΑ πρὸς 
AZ add. A2: xai ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ' ὥστε ἔσται xoà ὡς ἡ AB πρὸς 4Ζ 
51 τε ΖΑ; tum sequuntur, ut modo significatum est, pr. m. seripta πρὸς 
ΤῈ xc ἡ Γ΄ ΤΕ πρὸς ΓΒ; denique ea quae porro A! habet, ὥστε usque 
ad πρὸς ΤῈ, del. A2 49. εἶ om. ABS 49 —9241. aut negligentissime 
haec scripta sunt a Pappo aut corrupta a librariis et hunc fere in mo- 

, dum restituenda: xe«3' ἡμᾶς δὲ διὰ. τοῦ ὑποχειμένου ὀργάνου οὐ μόνον 
εὑρέσκεται χύβος κύβου διπλάσιος, ἀλλὰ καὶ χαϑόλου λόγον ἔχων τὸν 
ἐπιταχϑέντα EE 





LIBER IIl. PROPOS. 5. 65 


moveaturque secans rectas ye aC, donec recta ab ἢ ad sectionis 
punctum rectae ye ducta aequalis facta sit rectae quae ab ἢ 


ad sectionis punctum rectae aC duca- 
tur. Factum iam sit, ac regulae po- 
sitio sit εβζ, et ep — vb; dico igitur 
rectarum of 8» medias proportionales 
B esse oL γε. 
Quoniam enim parallelogrammum 
᾿αβγδ rectangulum est, quattuor rectae 
δὴ n« ηβ vy inter se aequales sunt. 
Ν lam quia a vertice trianguli aequicruris 
y αδη ad productam basim ducta est nC"), 
est igitur 
OL-Co -- o»? — wL?. Eadem ratione est 
δὲ. ἐγ -- yy? — ve?. Et ex hypothesi aequales sunt 5e 
yb; ergo etiam 
ób.Lbo -- oy? — δὲ. 6y -- yy?. Ex quibus est 
«7? — yy?; ergo subtrahendo 
0L. Ca — δὲ - ey, ideoque proportione facta 
€0 : δὲ — Ca: ey. Sed propter parallelas αβ δὲ et 
yB δὲ est 
εὃ : δὲ — fa: alb — ey: yg ; ergo etiam 
ag : ab 2 at: ye 2 γε : fy. 


X. Nostra autem ratione per id quod supponitur in- 


srumentum non solum cubus, qui dupla maior sit quam 
eubus, sed etiam omnino, qui datam proportionem habeat, 
invenitur ἢ. 


4 


*) Graeca verba, quibus Hero brevissime, ut solet, 
theorema quoddam auxiliare significavit, ita transtulimus, 
ut, quid scriptor sensisset, statim intellegi posset. De- 
monstratio autem, quam supplevit Commandinus, sic se 
habet: Ductá perpendiculari 39, propter elem. 92, 6 est 
dC. Ca -- «39? — C92. Commune apponatur ηϑ3; itaque 
est «3? - 49? — αηξ, et C92 -- 89? τ ζηδ, ergo 00- 0a 

η an? z n. 


4) Haec problematis solutio infra redit VIII propos. 
14, eandemque e Pappo xer« λέξιν, ut ait, repetit et cum 
Dioclis problemate comparat Eutocius in Archim. p. 489 sq. 


Pappus I. 9 


66 IIAIIIOY ZYNATOTHS T. 


, Kaveoxevdo 9o γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, xai ἀπὸ τοῦ 
4 κέντρου πρὸς ὀρϑὰς ἀνήχϑω ἡ 4B, καὶ κινείσϑω xavóvióv 
τι περὶ τὸ Α΄ σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἕν πέρας αὐτοῦ 
περικεῖσϑαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ ΑΓ σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ 
λοιπὸν μέρος ὡς περὲ κένερον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ 5 
τῶν B I. τούτων δὴ κατεσχευασμένων ἐπιτετάχϑω δύο 
κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοϑέντα. καὶ 
τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσϑω ὃ τῆς B4 πρὸς 4E, καὶ 
ἐπιζευχϑεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Z. παραγέσϑω δὴ 
τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν B D, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον 10 
αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ EB εὐϑειῶν ἴσον γένηται τῷ 
μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐϑείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερξδίας" τοῦτο 
γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως 
ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω ϑέσιν τὴν ΑΉΘΚ, 
ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ OK. λέγω ὅτι 0 ἀπὸ τῆς ΒΖ 1 
κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 40 κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχ- 
ϑέντα, τουτέστιν τὸν τῆς 4B πρὸς AE. 

Νοείσϑω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεττληρωμένος καὶ ἐπι- 
ζευχϑεῖσα ἡ ΚΔ, ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ 21, καὶ ἐπεζεύχϑω 
ἡ JH: παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β4 διὰ τὸ ἴσην εἶναι 20 
τὴν μὲν KO τῇ OH, τὴν δὲ KA τῇ 4.1. ἐπεζεύχϑωσαν 
δὴ καὶ jj τε 44.4 καὶ ἡ AT. ἐπεὶ οὖν ὀρϑή ἐστιν 1) ὑπὸ 
Η.3.1 ἐν ἡμιχυκλίῳ xai κάϑετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ 
ἀπὸ 44M πρὸς τὸ ἀπὸ M.A, τουτέστιν ὡς ἡ I'M πρὸς MA, 
οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ MH (καὶ γὰρ ὡς ἡ .ΑἹΜ 25 
πρὸς τὴν ΜΙΑ͂, οὕτως 7) M4 πρὸς τὴν MH, ὥστε καὶ ὡς 
τὸ ἀπὸ 4M πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΙ͂Α͂, οὕτως τὸ ἀπὸ 4M πρὸς 
τὸ ἀπὸ MH, καὶ ἡ ΓΙΗ͂ πρὸς M.4). κοινὸς προσκείσϑω 
λόγος ὃ τῆς ΑΙ πρὸς MH. ὃ ἄρα ovyxeluevog ἔκ τε τοῦ 


3. ἡ 48 Hu pro ἡ Bz! collato VIII, 26 οἱ Eutocio 6, τῶν ΒΓΑ, 
distinx. BS, item vs. 40 40. ἕως οὗ τὸ in A paene evanuerunt 
41. 42. τὸ μεταξὺ A, corr. BSV? 49. ἐπιϊζεύχϑω A, corr. BS 
31. 29. ἐπεζεύχϑω δὴ Pappus infra VIII cap. 26 et Eutocius 48. post 
ἐν ἡμιχυχλίῳ add. γὰρ B3, οὖσα Hu 35. xal γὰρ ὡς --- 48. ἡ I'M 
πρὸς M.4 om. Pappus VIII cap. 26 οἱ Eutocius 29. ὁ ante λόγος 
additum in ABS del. Hu τοῦ add. B? 


. LIBER 1H. PROPOS. 5. 07 


Construatur enim semicirculus αβγ, cuius a centro ὃ 
erigatur perpendicularis 0f, et regula quaedam circa punctum 
& ita moveatur, ut alter eius 
terminus detineatur clavulo in 
puncto α infixo, reliqua autem 
pars circa clavulum tamquam 
centrum inter puncta f y movea- 
tur. His igitur constructis propo- 
situm sit duos invenire cubos, qui 
datam inter se proportionem ha- 
beant. Ac datae quidem pro- 
portioni aequalis fiat proportio 
Bà : δε, et iuncta ye producatur ad ζ punctum circumferentiae. 
lam regula inter puncta B y circumagatur, donec eius seg- 
mentum, quod inter rectas Ce ef abscinditur, aequale factum 
sit segmento, quod est inter rectam fle et circumferentiam 
βχγ; hoc enim temptantes semper et regulam circumagentes 
facile efficiemus. Factum igitur sit, ac regula positionem ha- 
beat «59x, ita ut sit 29 — ϑχ; dico cubum a β ad cubum 
a 09 datam proportionem habere, id est βὸ : δε. 

Figatur enim circulus completus, et iuncta xó produ- 
catur ad À punctum circumferentiae, et iungatur 4m; haec 
igitur parallela est rectae 8ó (propter elem. 6, 2, quia ex 
constructione est x9 — ϑη, et κὸ — δλ). lam iungantur rectae 
aÀ Ày. Quoniam igitur angulus gaÀ, wt in semicirculo, rectus, 
et in triangulo Àga perpendicularis est ou, est igitur 

Àu? : uo? — ey? : uy?, id est 

yH : μὰ — ou? : ur? (namque propter elem. 6, 8 coroll. 

est ἀμ : ua — ou : μη, ia ut sit etiam 
Àu? : uo? — au?: μη3, et, quia in triangulo 
semicirculari yaÀ, perpendiculari ductá ἂμ, 
est yt : μὰ τε Àu : uo, propter elem. 6, 20 
coroll. 2 est yu : μα — yu? : uÀ? — Au? : uo?). 
Harum proportionum utraque multiplicetur 
cum αμ : 4m; est igitur per formulam com- 
positae proportionis 





5* 


| 68 HAIIIIOY YNATOTHZ T.- 


τῆς DM πρὸς M.4 καὶ τοὺ τῆς -4MI πρὸς IMH, τουτέστιν 

ὁ τῆς ΓΙΗ͂ πρὸς MH, λόγος ὁ αὐτός ἔστιν τῷ συγκειμένῳ 
ἔκ v& τοῦ τοῦ. ἀπὸ τῆς 1ΠΞ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς IMH καὶ ἐκ 
τοῦ τῆς «ἍΜ πρὸς MH. ὁ δὲ συγκείμενος ἔχ τε τοῦ τοῦ 
ἀπὸ .4M πρὸς τὸ ἀπὸ MH καὶ τοῦ τῆς 4M πρὸς ΜΗ 5 
0 αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ Gm τῆς 41M κύβος πρὸς 
τὸν ἀπὸ τῆς MH x)fov: καὶ ὃ τῆς ΓΙΜ ἄρα πρὸς τὴν MH 
λόγος ὃ αὐτές ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς 41M κύβου πρὸς 
τὸν ἀπὸ τῆς MH κύβον. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΓΙ πρὸς MH, 
οὕτως ἣ ΓΖΩ͂ 'πρὸς AE, τουτέστιν ἡ BA πρὸς 4Ε, ὡς δὲιο 
ἡ .4M πρὸς MH, οὕτως ἡ 444 πρὸς 4O, τουτέστιν ἡ 4B 
πρὸς 4Θ' xai ὡς ἄρα ἡ B4 πρὸς 4E, τουτέστιν ὡς ὃ 
δοϑεὶς λόγος, οὕτως ὃ ἀπὸ τῆς B4 χύβος πρὸς τὸν ἀπὸ 
τῆς 40 κύβον. ἐὰν οὖν ποιήσωμεν καὶ ὡς τὴν B4 πρὸς 
τὴν 40, οὕτως τὴν 4Θ πρὸς ἄλλην τινά, οἷον τὴν A4N,15 
ἔσονται τῶν B4 4Ὲ δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ 4. AN. 

28 ια΄. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε. 

Ἐν ἡμιχυχλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις 
ἔφασχεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐχϑέμενος, οὗ κέντρον 
τὸ E, xai τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς 4T λαβὼν τὸ Z4, καὶ ἀπ᾿ 20 
αὐτοῦ πρὸς ὀρϑὰς ἀγαγὼν τῇ ΕΓ τὴν 48, καὶ ἐπίδείξας 
τὴν EB, καὶ αὐτῇ κάϑετον ἀγαγὼν ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AZ, 
τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἁπλῶς ἐν τῷ ἡμιχκυχλίῳ ἐκ- 
τεϑεῖσϑαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριϑμητικήν, τὴν δὲ 4B μέσην 
γεωμετριχήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονιχήν. 2ὅ 

Ὅτι μὲν οὖν 1) B4 μέση ἐστὶ τῶν .44 4Γ ἐν τῇ γεω- 
μετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἡ δὲ ΕΓ τῶν 44 AT. ἐν τῇ ἀριϑμητικῇ 
μεσότητι, φανερόν. ἔστι γὰρ ὡς μὲν ἢ «44 πρὸς 48, 
ἡ 4B πρὸς AT, ὡς δὲ ἡ 444 πρὸς ἑαυτήν, οὕτως ἡ τῶν 
"44 AE ὑπεροχή, τουτέστιν 1) τῶν 444 ED, πρὸς τὴν τῶν 30 
ΕΓ L4. πῶς δὲ καὶ ἡ ZB μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς 


4. τοῦ anle τῆς 4M οἱ 8. ante «zo τῆς 44M add. Hu Á. τοῦ 
ante τοῦ ἀπὸ add. B3 7. ἄρα πρὸς τὴν B9 Sca, ἄρα πρὸς τῆε A(S), 
omisit et haec et alia B! 44. ἐὰν οὖν et cetera om. Pappus l. c. et 
Eutocius 45. τὴν ὃν B3V? pro τὴν ΑΜ (ad DX Co) 46. τῶν 


B4 4M AB:S, corr. Β8 Sca (Ὁ a£ 410 AH AB!S, corr. BB 47. 74 


LIBER Ill. 69 


de? μη δ — 
βδ 





75) 5180 etiam 
^ Ξε KE esy autem βὲ : δὲ 
“- “57 data proportio. Si igitur fece- 


rimus ut βὺ ad 09, ita 09 ad 

aliam quandam velut ὃν; erunt rectarum βὺ δὲ duae mediae 
proportionales δϑ ὃν ἢ. 

XI. Secundum problema !) hoc erat. 

In semicirculo tres medietates sumendas esse alius qui- 
dam proposuit, ac postquam semicirculum o», cuius cen- 
trum erat e, descripsit, et in rec- 
ta oy quodvis punctum ὃ sump- 
sit, et inde rectae ey perpen- 
dicularem erexit Of, et rectam 
ef iunxit, eique perpendicula- 
rem ἃ puncto ὃ rectam OL duxit, 
wes medietates in semicirculo simpliciter expositas esse con- 
tendebat; nam ἐγ esse mediam arithmeticam, tum 08 mediam 
geometricam, denique 95 harmonicam. 

lam vero βὸ mediam esse rectarum αὖ óy in geometrica 
analogia, et ey rectarum αὖ óy in arithmetica medietate ma- 
nifestum est. Namque est αὃ : 0f — Of : à», et (quo arithme- 
lica. medietas demonstretur) T Ξε T Ξ- T Sed quo- 
modo etiam 664 media in harmonica medietate, vel qualium 


*) Nam quia est 8J3: 33 — $0: δὲ, propler elem. 11, 33 cum 
coroll. est BS: 09 — ὅϑ: α τὸ ἃ : δε, et est x, sive ut Pappus ait, Jv 
data, quoniam data est et proportio 80 : 93 et ipsa δύ (dat. 2). 


4) Conf. supra p. 34 adnot. 1. 








— — — 


Αἱ in marg. (S), om. B 19. 20. κέντρον τὸ B AB!S, corr. B? 
34. τὴν uiv ΕΖ ABS, corr. Co 27. ἡ δὲ AE ABS, corr. Co 38. 7 
ante .141 add. S 





29 


90 


70 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ [Γ᾿ 


34 [] 3 ^ 3 3 , 4 ὦ , 
μεσότητος, ἢ ποίων εὐθειῶν, ovx εἶπεν, μόνον δὲ ὅτι τρίτη 
ἀνάλογόν ἐστιν τῶν EB B4, ἀγνοῶν ὅτι ἀπὸ τῶν ΕΒ B4 
ΒΖ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ οὐσῶν πλάσσεται ἡ ἄρμο- 

* /, * € 3 ^ 
νιχὴ μεσότης. δειχϑήσεται γὰρ ὑφ᾽ ἡμῶν ὕστερον ὅτι δύο 
αἱ EB καὶ τρεῖς αἱ 4B καὶ μία ἡ ΒΖ ὡς μία συντεϑεῖσαι 5 

ew * P Ὁ od 

ποιοῦσι τὴν μείζονα ἄκραν τῆς ἁρμονικῆς μεσύτητος, δύο 

δὲ αἱ ΒΩ}! καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν μέσην, μία δὲ ἡ B4 καὶ μία 

ἡ ΒΖ τὴν ἐλαχίστην. 

Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων 
[xal μετὰ ταῦτα περὶ τῶν ἐν ἡμικυκλίῳ), εἶτα περὶ τῶν 10 
ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν χατὰ τοὺς παλαιούς, καὶ 
ὕστερον τιερὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούϑως 
ταῖς γνώμαις αὐτῶν, καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν 
δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν, 
ἵνα καὶ τὸν προχείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συσεησώμεϑα. 15 

Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων. 
/ , ’ ἕ 2 , - , * 
ιβ΄. Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ 
μὲν τί ἔστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ 
, - € 

ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μὲν ἀριϑμητική, 

ἡ δὲ γεωμετριχή, ἡ δὲ ἁρμονιχή. 20 
ω 3 ῳ 
ριϑμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων 

ὅρων ὃ μέσος τῷ ἴσῳ ἕνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑὕπερ-- 

’ Δ ς bl Ὁ - € P4 , M M L4 b] 

ἔχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὃ ς᾽ πρὸς τὸν 9' xai 

* )/ 5 , 2 c! 3 c ς -“ἢὉἷ e, * € »" 
τὸν y ἀριϑμον), ἢ ὅταν ἢ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος προς GUTO», 

7 πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. [πρῶτα δὲ ἀκούειν 25 

δεῖ τὰ ὑπερέχοντα.) 

s PN , , , 3 ] 

Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία 

* ν Ld 

κυρίως, ὅταν ἢ ὡς ὃ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄχρων, οὕ- 

τως ὃ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον (ὡς ἔχει ὃ ς΄ ἀριϑμὸς πρός 

^ ! ' * ' ν 2) c 5 c € - 
τε τὸν ιβ' καὶ τὸν y), καὶ ἄλλως" ὅταν ἢ ὡς ὁ πρῶτος 80 
ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἢ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευ- 
τέραν. 


4. δὲ ὅτι Hu pro διότι 2. τῶν EB. ABS, corr. Hu auctore Co 
5. x«l τρεῖς Hu pro καὶ αἱ τρεῖς 7. μέα δὲ Hu auctore Co pro μέαν 


δὲ 40. xai μετὰ — ἡμικυχλίῳ del. Hu 17. IB A! in marg. (S), 


LIBER 11. 11 


rectarum media esset, non dixit; sed tantummodo hanc esse 
teriam proportionalem rectarum εβ βὸ significavit, ab ipsis 
&8 89 8L, quae in geometrica sunt proportione, harmonicam 
medietatem formari nesciens. Infra enim (propos. 20) a no- 
bis demonstrabitur in harmonica medietate esse 

maiorem extremitatem — 9εβ -4- 308 4- BC 

medium terminum Ξε 208 - 0 

minimum terminum — — ὁβ 4- ft. 

Primum autem de his ipsis tribus medietatibus, tum de 
aliis tribus, quae apud veteres his opponuntur, disserendum 
est; denique de quattuor illis, quae sunt apud recentiores, 
secundum ipsorum sententias dicemus, et, quomodo unaquae- 
que e decem medietatibus per geometricam analogiam inve- 
niri possit, ezponemus, quo copiosius hanc quam ingressi 
sumus demonstrationem persequamur. 

DE TRIBUS MEDIETATIBUS. 

XII. Differt igitur medietas ab analogia eo, quod qui- 
dem omnis analogia medietas est, minime autem contra. 
Etenim medietates tres sunt: arithmetica, geometrica, har- 
monica. 

Arithmetica medietas dicitur, si, tribus positis terminis, 
aequalis differentia est inter medium terminum unumque ex- 
wemum atque inter alterum extremum mediumque (velut 6 
eodem differt a 9 et a 3), vel si primus terminus ad se 
ipsum eadem proportione est ac prima differentia ad se- 
cundam. 

Geometrica medietas dicitur, si medius terminus ad unum 
exiremum eadem proportione est atque alter ad medium 
(velut 6 : 12 2: 3: 6), et aliter: si primus terminus ad se- 
cundum eadem proportione est ac prima differentia ad se- 
cundam. 
om. B εἰ A? in rasura 24. y S, τρία ἈΒ 7 ὡς ὃ B (ἢ ὡς B3 


* 


'jn resura), //// A, ἢ ὡς (sineóo) S αὐτὸν ABS, corr. Hu auctore Co 
45. 26. πρῶτα — ὑπερέχοντα interpolatori tribuit Hw (vide p. 87 
adnot. 4) 28. ὁ ante μέσος om. S 80. τὸν δωδεκα (sine acc.) 
καὶ τὸν τρία A(B), numerales notas restituit S - 


72 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


ρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης, ὅταν ὃ μέσος ὅρος τῷ αὐτῳ 
μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ 
λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ y ἀριϑμὸς πρὸς τε τὸν β΄ καὶ τὸν g), 
ἢ ὅταν ἢ ὡς ὃ πρῶτος ὕρος πρὸς τὸν τρίτον, 7j πρώτη 
ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. ὅ 
Τούτων ὑποχειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τὰς τρεῖς μεσό- 
τητὰας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριϑμὸν προγρα- 
φέντων τῶνδε. 
91 Ἔστω δὴ πρῶτον δοϑεισῶν τῶν 4B ΒΓ μέσην εὑρεῖν 
κατὰ τὴν γεωμετριχὴν ἀναλογίαν. 10 
Ἤχϑω πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΓΖΩ͂, καὶ 
δίχα τετμήσϑω ἡ .418Β τῷ E, καὶ 
περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περι- 
φέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς 
ὀρϑὰς κατὰ τὸ 7, καὶ τῇ và B 415 
ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃρήσϑω ἡ ΒΖ, 
καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχϑεῖσα γὰρ ἡ 44 
ὀρϑὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς Β4 διὰ τὸ ἴσην εἶναι &xa- 
τέραν τῶν ΒΕ E.4 τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ 4 E. ἔστιν δὲ καὶ 
ἣ πρὸς τῷ Γ' ὀρϑή. καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ .41Β4' τρίγωνον 20 
τῷ ΒΓΩ͂, καὶ διὰ τοῦτο αἵ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν 
πρὸς τῷ B πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν᾽ ὡς ἄρα ἡ .48 πρὸς 48, 
ἢ B4 πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν 4 ΒΓ ἡ BA ἴση τῇ ΒΖ. 
32 wq. Ἔστω δὲ δοϑεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα 
ἄκραν λαβεῖν. | 25 
Τετμήσϑω δίχα ἡ 4B τῷ E, 





ὃ xai περὶ κέντρον τὸ E διὰ τοῦ B 
περιφέρεια γεγράφϑω, καὶ αὕτη 
τειμήσϑω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὲ 

«ἐγ B χέντρον τὸ B γραφομένης περιφε- 30 


N , 
θείας κατὰ τὸ 4, xai κάϑετος ἤχϑω 


3. c B? pro 7f (idem tacite corr. Co) 4ὅ. τὰ B-1 AS, distinx. B 
19. τὰ ;1E ABS, distinx. Hu $92. πλευραὶ B3 pro πλευρὰν (idem ta- 
cite corr. Co) 24. iy add. Hu. ἐλάττονα AB, corr. S 38. αὕτη 
B, «vr? sine spir. et acc. À, αὐτὴ S 49, διὰ B? Sca, « A, & S, δὲν Bt 


. LIBER 1Π|. PROPOS. 6. 7. 73 


Harmonica est medietas, si medius terminus eadem parte 
superat unum extremum ac superatur ab altero extremo 
(velut 3 superat 2 dimidià huius parte et superatur a 6 di- 
midià numeri 6 parte), vel si primus terminus ad tertium 
eadem proportione est ac prima differentia ad secundam ἢ. 

His definitis tres simul medietates inveniemus in mini- 
mis quinque rectis lineis (propos. 15), postquam haec prae- 
miserimus. 

Primum igitur propositum sit, datis rectis af 8y, me- Prop. 
diam in geometrica analogia invenire. 

Ducatur perpendicularis γδ, et bifariam secetur af in 
puncto e, et circa centrum & circumferentia per f descripta 
secet perpendicularem in ó, et rectae puncta β ὃ iungenti 
aequalis abscindatur 85; iam fit media quam quaerimus fL. 
Nam iunctá ja angulus αδβ rectus est, quoniam est fle — 

— de"). Sed etiam' angulus βγὺ rectus est; ergo triangu- 
lum «60 simile triangulo ófy, ideoque latera circa commu- 
nem eorum angulum f proportionalia sunt, id est ag : ὃβ Ξε 
0f : By, sive rectarum «f f» media proportionalis est B0, 
quae aequalis est ipsi βζ. 

XIII. Propositum autem sit datis rectis «f 6C minorem Prop. 
extremam /n geomeírica analogia sumere. 

Bifariam secetur αβ in puncto e, et circa centrum 8 per 
punctum f circumferentia describatur, et hanc circumferen- 
tia per punctum £ circa centrum f descripta secet in puncto 
δ, et ducatur ὃγ perpendicularis ad o; iam rectarum 


4) Formules igitur hasce proponit Pappus: primum in progressione 
quae descendere sive ad minus vergere dicitur, positis ternis membris 
8 b c, notationes esse 





arilhmeticae medietatis a : a a—b 
geometricae » » a:b b ; 
harmonicae »» 46:06 τό 


at in crescente progressione similes esse formulas membris differentia- 
rum vicissim positis. 


*) Hoc voluit dicere: quoniam ex constructione punctum d est in 
circumferentia semicirculi, cuius diametrus est e8 et centrum €. 


74 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTH? T. 


ἡ 4T, καὶ γίνεται τῶν 4B ΒΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΓ. δεί- 
χρυται γὰρ ὁμοίως [κατὰ τὰ αὐτὰ) τοῖς προειρημένοις ἐπὶ 
τῆς μέσης. 

[Καὶ φανερὸν ὅτι, ἐὰν μὲν ὃ δοϑεὶς τῆς ἀναλογίας λόγος 
ἢ διπλάσιος, ὥστε τὴν .4B τῆς Bl τετραπλασίαν εἶναι, $5 
ἴση τῇ JB τιϑεμένη διχοτομία ἐστὶν τῆς 48, τουτέστιν 
ἡ EB ἐστὶν, ἐὰν δὲ μείζων 1) διπλάσιος ὃ λόγος ἧ, ἐλάσσων 
ἐστὶ τῆς ἡμισείας, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ἢ τοῦ διπλασίου, μείζων 
ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας.) 

99 Ἔστω δὲ νῦν δοϑεισῶν τῶν ZB ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν 10 
εὑρεῖν. 

Ἤχϑω δὴ πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΓΘ, 

καὶ περὶ κέντρον τὸ B διὰ τοῦ Z 

γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὖ- 

τὴν χατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ BO ἐπι- 15 

a^ fy β ζευχϑείσῃ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ A09 

γίνεται δὴ ἡ 4B. τρίτη ἀνάλογον 
τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γὰρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγ- 
μένων. 

34 ιδ΄. Πάλιν ἔστωσαν δίο εὐϑεῖαι αἱ 48 ΒΓ, καὶ πρὸς 20 
ὀρϑὰς τῇ .4B ἡ 4.4E, dove ἴσην εἶναι τὴν ΑΔ vij AE, 
xai ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΒΩ ΕΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Z κάϑετος 
ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ ZH: ὅτι ἐστὶν ὡς ἣ .4B πρὸς BH, οὕτως 
7 τῶν .4B ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ BH ὑπεροχήν. 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ 4B πρὸς BH, ἡ 4.4 πρὸς ΖΗ, 25 
τουτέστιν ἡ 4E πρὸς ZH (ἴση γάρ ἐστιν ἡ 4E τῇ 44), 
χαὶ ὡς ἄρα ἡ .4Β τιρὸς ΒΗ, οὕτως 7) 4E πρὸς ΖΗ. ἀλλ᾽ 
ὡς ἡ 4E πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσο- 


4. ἡ By B3? Sca Co, ἡ Bd AB!S 2. χατὰ τὰ αὐτὰ del. Hu 
& —9. haec alienum a Pappo stilum produnt 4. initio notam «y' 
add. S 6. ἔσηι À, corr. BS τῇ om. AB!S, add. B^ 5ca πρὸς 
διχοτομίᾳ Bf 7. ἤ 8nte διπλ.}] ἦι Αἱ, ἤει A? 4, ἡ yó B3 44. αὖ- 
τῆς Δ, corr. BS 45. xarà τὸ ὃ καὶ τῇ BO B? 46. ἡ αὖ B3 
$0. 14 A! in marg., om. BS 33. «yt B? pro IZ (idem. tacite corr. 
Co) 23. λέγω ante ὅτι add. B! 37. 28. ἀλλ᾽ ὡς ἡ AE πρὸς ZH 
A? in marg. BS, om. A! 


LIBER III. PROPOS. 8. 9. . 19 


af βζ teria proporüonalis fit βγ. Demonstratio enim similis 
est superiori de media proportionali. | 

[Et manifestum est, si data analogiae proportio dupla 
sit, ita ut «9 sit quadrupla y, rectam quae aequalis rectae 
89 ponitur dimidiam esse ag, videlicet ipsam ef; si autem 
maior quam dupla proportio sit, eandem esse minorem quam 
dimidiam; denique, si proportio minor quam dupla sit, ean- 
dem maiorem esse quam dimidiam.] 

lam propositum sit datis rectis 86 y maiorem extre- Prop. 
mam in geometrica analogia invenire. à 


Ducatur perpendicularis 72, et hanc circumferentia circa 
centrum f per & descripta secet in puncto 2, et iunctae 89 
perpendicularis ducatur «2; fit igitur af tertia proportiona- 
lis rectarum 8y 8C. Nam hoc quoque manifestum est ex iis 
quae supra demonstravimus. 


XIV. Datis. rectis a8 By minor extrema in harmonica Prop. 
medietate. inveniatur 1). 3 
ὃ . Rursus sint datae duae rectae . 
αβ By, et ipsi af perpendicu- 
laris ducatur recta δας, ita ut sit 
δα — ae, et iungantur rectae βὸ 
ἐγζ, et a puncto & perpendicula- 
ris ad γβ ducatur £9; dico esse 

eB αβ-αβΥ — 


“τ΄  -——— e. 


8" yB — Bu 


Quoniam enim propter paral- 
lelas δα ζη est 








ag: gy — δα: ζὴ — ac: Cn (est enim da — as), et 
propter similitudinem triangulorum 
aye γηξ 

a€ : ζὴ z ay : yr, est igitur etiam 


4) Hinc usque ad propositionem 15, quid quoque loco propositum 
sit, in Graecis non legitur; addidit Commaydinus, cuius verba nos pau- 
cis mutatis repetivimus. 


16 . : ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ T. 


γώνια εἶναι τὰ τρίγωνα 43ΓῈ ΓΖΗ- ἔστιν ἄρα xoi ὡς 4B 

πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς ΓΗ͂. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΓ 

ὑπεροχὴ τῶν ΑΒ ΒΓ, ἡ δὲ ΓΗ͂ ὑπεροχὴ τῶν ΓΒ BH: 

ἔστιν ἄρα ὡς 1 ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν .18Β ΒΓ ὑπερ- 

οχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ BH ὑπεροχήν. [τοῦτο δὲ τὸ ϑεώ- ὃ 
ρημα χρήσιμόν ἔστιν eig τὴν ἁρμονικὴν μεσότητα" πρώτη 

γάρ ἔστιν 7) .4B, δευτέρα ἡ ΒΓ, τρίτη 7) BH.) 

35 Ἐὰν δὲ αἱ .4B BH δοϑῶσιν ἄκραι, ζητῶμεν δὲ τὴν 
μέσην, ἐπιζεύξαντες τὴν B4, καὶ πρὸς ὀρϑὰς ἄξαντες ἀπὸ 
τοῦ Η τὴν ΖΗ͂, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες 10 
τὴν ΖΓΕ, ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ. καὶ ἡ ἀπό- 
δειξις φανερά. 

36 ιε΄. 4οϑεισῶν δὲ τῶν EB ΒΓ τὴν μείζονα ἄχραν εὗ- 
ρήσομεν ἀπὸ τοῦ E πρὸς ὀρϑὰς ἄξαντες τὴν 4ΕΖ καὶ ἴσας 
ϑέντες τὰς .1Ε ΕΖ, καὶ τὰς ΒΖ 4Γ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐχ-- 15 
βαλόντες ἐπὶ τὸ H. .$ γὰρ ἀπὸ τοῦ H ἐπὶ τὴν ΒΓ éx- 
βληϑεῖσαν κάϑετος ἀγομένη HO ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητου- 
μένῃ τὴν ΘΒ. ἰσυμττεσοῦνται γὰρ αἱ IL'11 ΒΖ ὡς ἐπὶ τὸ H 
nyuévat* δεῖ γὰρ ὑποτίϑεσθαι τὴν ΒΕ μείζονα τῆς ET.] 

97 eg. ΦΙύο πάλιν δοϑεισῶν εὐθειῶν τῶν 4B T, ὧν μεέ- 20 
ζων ἡ 4B, μέσην ἐν toy ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως. κείσϑω 
τῇ Γ ἴση ἡ ./B, καὶ ἡ 4.4 δίχα τετμήσϑω χατὰ τὸ E, xai 
τῇ EB ἴση χείσϑω $ Ζ. καὶ φανερὸν ὅτε ἡ Ζ ovi» ἡ 
ζητουμένη εὐϑεῖα. 


5. τοῦτο — 7. ἡ BH interpolatori tribuit Hu 71. ἡ AB B' ΗΒΓ 
Γ᾽ ἡ BH A (item B. nisi quod hic distinxit ἡ y), δευτέρα et τρέτη 
restituit S 43. IE A! in marg., om. BS τῶν EB ΒΓ Hu pro 
τῶν ΓΒ BE 44. 4EZ Hu pro EAZ 47. 39. B? pro ἡ 9 
48. 19. συμπεσοῦνται γὰρ cet. scholii instar ab aliquo Pappi interprete 
addita idem diserte monent quod tacite Pappus supposuit 48. συμ- 
πεσοῦνται B, convenient Co; octo fere litterae obductae in A, quas ex- 
cipit αὕται non satis perspicue scriptum; eandem scripturam post la- 
cunam significat S 48. 49. ἐπὶ τὸ H ἡγμέναι Hu pro ἐπὶ τὰ H μέρη 
19. ὑποτίέϑεσϑαι τὴν B et codex Commandini, ὑπὸ τί ac deinde initio 
versus decem fere litteras obductas habet A, ὑπο ré ......... S 
BE segre agnoscitur in A, om. B!S, fy add. B^ et codex Commandini 
τῆς ἐγ Co, τῆς ΘΓ AB!S cod. Comm., τῆς 8e B* — 20. Ig A! in marg. 


LIBER III. PROPOS. 410. 44. 42. T1 


eg: u- ay:yy. Et est ay — αβ — By, ei yn — 
— f»; ergo etiam 


of  βὴ m 


Datis vectis ag 8v media in Prop. 
harmonica medietate inveniatur. 19 


ξ Si autem af fn extremae 

datae erunt et mediam nos quae- 

« "1 p remus, iunclà βδ a puncto y rec- 

tae af perpendicularem ducemus 

yb, et a C ad ε iungemus rectam 

Cye; sic habebimus ipsam yf me- 

diam rectarum a 85. Et mani- 
festa est demonstratio. 


XV. Dalis vectis eB By maior extrema in harmonica me- Prop. 
dietate inveniatur. 


o 


Datis autem e fy maiorem 


à extremam inveniemus, si a puncto 

e rectae fy perpendicularem du- 

9 $ - B cemus rectam δεζ, ita ut sit de — 
eL, et iunctas 8C ày producemus 

E ad y. Nam perpendicularis 723, 


ab ἡ ad βγ protractam ducta, abs- 
cindit rectam 9βββ aequalem ei 
quam quaerimus. X [Concurrent 
? enim ὃγ 5 versus punctum ἢ 
' ductae; scilicet βὲ maior quam ey supponenda est.] 


XVI. Datis vectis αβ » media. in. arithmetica. medietate Prop. 
inveniatur. 12 


« Rursus datis duabus ef y, quarum maior 

: «B, mediam in aequali differentia sic invenie- — " 
mus.  Ponatur rectae y aequalis 8ó, et δα bi- 

δ t | fariam secetur in e, et rectae £f aequalis po- 


| natur ζ. Et apparet ζ esse eam rectam quam 
g | d quaerimus. 


(S) om. B τῶν ΑΒΓ A, distinx. BS — 23. ἡ 98 B3, ἡ .7E ABS, 
i B0 Co κατὰ add. Co τὸ ε Co, τῶι EK AB!S, τῳ c B3 


78 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


38 Ὁμοίως δὲ xüv αἱ Z Γ δοϑῶσιν, τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν 
προσϑέντες τῇ Ζ τὴν γενομένην ἕξομεν ἴσην τῇ .4B. 
9 Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ 4B Ζ δοθϑῶσιν, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ 


τῆς Ζ ἀφαιρεϑεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην. 

4 Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν 418 Γ ἔν ἴσῃ ὑπεροχῇ" καὶ ὃ 
ἔσται ἀριϑμητικὴ μεσότης τῶν 4B Z Γ᾽ εὐθειῶν. γεγενή- 
σθϑω δὲ xoi ὡς ἢ Z πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς H: καὶ ἔσται 
τῶν Ζ ΓῊ εὐϑειῶν γεωμετρικὴ μεσότης, τουτέστιν ἀνα- 
λογία κυρίως. κἂν διὰ τὸ προδειχϑὲν δύο εὐθειῶν τῶν 
ΓΗ͂, ὧν μείζων ἡ Γ, τὴν Θ ποιησώμεϑα, ὥστ᾽ εἶναι ὡς 10 
τὴν P πρὸς τὴν Θ, οὕτως τὴν τῶν D Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν 
τῶν H Θ ὑπεροχήν, ἔσται ἄρα xol τῶν D H O εὐἰϑειῶν 
ἁρμονικὴ μεσότης. ὃ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς 4D πρὸς τὴν I, 
xci τῆς D πρὸς τὴν O, τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριϑ- 
μητικῆς μεσότητος xai τῆς ἁρμονιχῆς" ἔσονται οὖν πέντε 15 
τὸν ἀριϑμὸν ἐλάχισται εὐϑεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσό- 
τητας [δυνάμεναι καὶ ἀσύμμετροι εἶναι πρὸς ἀλλήλας]. 

41 “Ἅμα καὶ δι᾿ ἀριϑμῶν ἐλαχίστων série. συνίστασϑαι 
κατά τε τοὺς τεολλαπλασίους λεγομένους λόγους καὶ ἐπε- 
μορίους καὶ τοὺς λοιπούς, ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος 20 
ὑποχειμένης. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς 4B 
πρὸς τὴν P [ἐν διπλασίῳ λόγῳ δοϑείσης)] ὑποδείγματος 


4. αἱ ZT' A, distinx. BS 3. ef add. Hu — 4BZ A, e B CB 
corr. Co 5. τῶν ΑΒΓ A, τῶν « 8 y BS, corr. Co 6. τῶν AB ΖΓ T 
ABS, distinx. Co 8. τῶν ZI'H A, distinx. BS 9. 40. τῶν ΓΗ͂ ὧν 

μείζων HIA, distinx. BS 40. ποιησώμεϑα Hu pro πορισώμεϑα 
ὥστ᾽ À, ὥστε D, ὡς 8 414. τὴν τῶν γη B3, τὴν ΓΠ AS, τὴν y" B! 
412. ante τῶν H0 add, Θ οὕτως ὁ (ὁ del. A2, ἡ add. S) τὴν ΓΗ͂ ὑπεροχὴν 
πρὸς τὴν AS, 3 οὕτω τὴν add. B!, del. B* (erratum igitur partim cor- 
rexit B!, partim B4) 412. τῶν HO A, distinx. BS ἄρα Hu pro uiv 
τῶν DHO A, disinx. ΒΒ 141. δυνάμεναι --- ἀλλήλας) vera haec sunt; 
nec tamen ab ipso Pappo scripta, sed ab interprete addita esse viden- 
tur — 48. μα χαὶ etc.] haec usque ad cap. 42 extremum Pappi col- 
lectioni ab alio scriptore interserta esse videntur — "4u«j Ἔστω δὲ 
coni. Hu πέντε S, E AB 40, γοῦν Hu, nimirum Co, οὖν ABS 
22. ἐν — δοϑεέσης del. Hu auctore Co (alia est ratio loci qui sequitur 
p. 80, 12) 


LIBER III. PROPOS. 18. . 45. 79 





Datis rectis ζ y. maior. extrema in arithmetica medietate Prop. 
inveniatur. . 
Similiter autem, si & y datae sint, differentià earum 


er addità rectae ζ habebimus rectam aequalem ipsi 


ef (quae in superiore problemate maior extrema 
| I posita. est). 
9i τ Datis rectis afl & minor extrema in. arith- Prop. 
: b ametica. medietate. inveniatur. " 
n Í Rursus si af ζ datae sint, differentia ea- 


rum a C subtracta efficit γ tertiam. 
Tres simul medietates in quinque minimis rectis inve- Por. 
niantur. 
Sit igitur & media rectarum af y in aequali differentia ; 
ergo erunt af C y in arithmetica medietate sive progression 
Sed fiat etiam ζ : y — y : y; erunt 
tur b y ἡ in geometrica medietate sive 
Ϊ progressione, quae proprie analogia ap- 
pellatur. Denique si secundum ea quae 
| | supra (propos. 9) demonstrata sunt dua- 
l| 








bus rectis y ἢ) quarum maior est y, 
i tertiam 3 talem addiderimus, ut sit 
NH y:392y—75:9 —9, erunt igitur 
| "1 "» rectae y 7 9 in harmonica medietate 
1 | sive progressione. Est autem a :y — 

y: 97), et sunt af y extremi termini 

in arithmetica, y 9 in harmonica me- 
dietate; erunt igitur quinque minimae rectae, quae tres 
medietates continent [eaeque etiam inter se incommensura- 
biles esse possunt]. 

Verum etiam propositum sit in minimis quinque numeris 
ires medietates constituere, et in multiplicibus quae dicuntur 
et superparticularibus aliisque proportionibus, indivisibili ni- 
mirum unitate posita. Nam exempli gratia, in dupla propor- 
lione recae af ad y, minimi numeri id quod propositum est 


4) Vide append. 


80 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ T. 


€t » 4 ) " P Ἢ , 
ἕνεκεν ἔσονται τὸ προχείμενον ποιοῦντες ἀριϑμοὶ ἐλάχιστοι 
ce i € / | € ἢ | € ’ | cC , 1 - 
0 τὲ ιβ' καὶ ὃ ϑ' καὶ ὁ c' καὶ 0 δ΄ καὶ ὃ y', ἐπὶ δὲ τῆς 
, 3 ’ 2 M 5 / , εἰ 4 
τριπλασίονος ἀναλογίας ἀριϑμοὶ ἐλάχιστοι γίνονται ὃ τε ἢ 
| cC | € , | € , € 6,’ * - c - 
xai ὃ ιβ' καὶ ὃ ς΄ καὶ ὃ y καὶ ὁ β΄. xai δῆλον ὡς δεῖ 
ED NE ^ » , M , ) 3 A 3 
xai ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγων τοὺς ἐλαχίστους ἀριϑμοὺς ἀνευ- 5 
’ D ^ , ὍΝ M € / ? 2; 
42 ρίσχειν τῶν τριῶν μεσοτήτων. κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ 
x -ο ΄- ev 
ἐχτίϑεσθαι, διὰ τῶν προγεγραμμένων εὐδηλον, τῶν τριῶν 
ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριϑμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχί- 
2 ^ ’ ’ 3 M A - e , 
στοις ἀριϑμοῖς y β' α΄, ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετριχῆς δ΄ B. αἱ, 
A “ M hl , , , ? M 32 4 
καὶ τῶν κατὰ τον διδόμενον λόγον πυϑμένων εἰς τοὺς ἰσάκις 10 
πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ 
M ? T » - ) , - 
τοὺς λοιπούς. οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου, τῆς .4B 
δ M , 3 Li ev » s 1 νὴ , / 
πρὸς τὴν D' λόγον ἐχούσης 0v ἔχει τὰ β' πρὸς τὸ α᾽, τάξο- 
2 M A] ΄- , Mj J ) M] A - ὔ A 2 
uev ἀντὶ μὲν τῶν β' τὰ δ΄, ἀντὲ δὲ τοῦ o' τὰ β' [ἐν tom 
€ - - , 3) 1 ^ 4 , ) «- »ν Υ 
ὑπεροχῇ τῷ B]. καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ 15 
ὑπερέχειν xai ὑπερέχεσϑαι, γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων 
^ J b] € “οΨ Ἁ M] , € 
τριῶν [μέσον]. καὶ ὃ τῆς Z πρὸς τὴν D λόγος ἡμιόλιος, 
€ , M [ € 2 " M] , A € - b A 
ὡς y πρὸς B. ὃ αὑτὸς δὲ τούτῳ xai ὁ τῆς Γ᾽ πρὸς τὴν 
- , ^ 
Η γενόμενος ov ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου 
2 j e 
μενούσης. πάντα ἄρα τρίς" καὶ γίνεται avri μὲν τοῦ δ΄ 20 
6 ιβ΄, ἀντὶ δὲ τοῦ y ὃ J' ἀριϑμός, καὶ ἀντὶ τοῦ f ὃ ς΄. 
xoi γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δ΄ καὶ ἢ O δηλονότι μο- 
) “ A e A , 2 M L4 , 14 , 
νάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριϑμοὶ ιβ΄ 9' ς᾽ à y. 
48 ιζ΄. Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ 
4 , cet M M € ) , 4 - 
τοὺς παλαιούς, ὅτε δὲ καὶ iv ἡμιχυχλίῳ δυνατόν ἔστιν 23 


3. iB S, ϑώδεχα AB καὶ o ἐννέα xal ὃ FE B (sed deinde cum AS 
καὶ ὃ δ καὶ ὁ y) 3. τριπλασέονος A? ex τριπλασέκε (erasis litteris 
ov, αἱ videtur) 4. xa ὁ IB ABS, om. Bi, χαὶ ὁ i0 8 καὶ ἡ 9 
χαὶ ἡ D καὶ ἡ B A, καὶ oi 8E xai οἱ y καὶ οἱ dvo Bi, corr. B?S (nisi 
quod B? intacta reliquit ££ et dvo) 7. προγεγραμμένων B, προ {{{{{Π] 
μένων Α (sed vestigia litterarum y.yo... etiam nunc agnoscuntur), προ- 
λελεγμένωνδ 8. ἀριϑμητιχῆς μεσότητος BS, «o//////[///|ueao[[vog A 
ὕντων Hu, [[[|v A, ....» B, ...» S 9. « (ante ἐπὶ) B3S, ΖΑ, om. Bt 
ἐπὶ δὲ B! et τῆς B^, tot fere litterae evanuerunt in A, unde lacuna in S 
δ β « Bi Co pros P B 40. xal τῶν — 12. λοιπούς] nonnulla de- 
siderari videntur Commandino; ante xai τῶν add. ἐπὶ δὲ τῆς «ouovt- 
κῆς z/y B Hu 418. λόγον ἐχούσης Hu pro οὔσης 44. uiv τῶν Hu 


LIBER ΠΙ. PROPOS. 15. 81 


facientes erunt 12 9 6 4 3; in tripla autem proportione mi- 
nimi numeri erunt 18 129 6 3 2. Et manifestum est, qua 
ratione etiam in aliis proportionibus minimi trium medieta- 
tum numeri inveniendi sint. Atque etiam, si quis separatim 
quamque medietatem exponere velit, id ex lis quae supra 
scripta sunt elucet; siquidem: tres termini minimi in arithme- 
tica medietate erunt 3 2 4, in geometrica 4 2 4, in harmo- 
nica 6 3 2, et numeri, qui iuxta datam proportionem fun- 
damentales sunt, in. aeque multiplices et superparticulares 
reliquosque transferentur!). Velut in dupla proportione, si 
est a8 :y 2 2:1, ponemus ὁ pro 2, et 2 pro 1. Et 
quoniam necesse est medium numerum a primo aeque dif- 
ferre atque a medio extremum, fit recta C trium unitatum. 
Et rectae 5 ad » proportio sesquialtera est (scilicet 3 : 2). 
Cui si aequalem facimus proportionem y: ἢ) non solvimus 
id quod propositum est, quoniam unitatem dividi noluimus. 
Omnia igitur ter multiplicamus , et fiunt 12 pro 4, 9 pro 3, 
6 pro 2. Itaque fit recta ἡ unitatum & et 9 3; ergo data 
dupla proportione trium medietaffffn minimi numeri sunt 19 
9 6 43. 7 

XVII. Haec igitur de tribus medietatibus secundum ve- 
teres; verum etiam fieri posse, ut 


4) "Per πυϑμένας intellige numeros in qualibet proportione mini- 
mos, qui sunt veluti radices quaedam, a quibus reliqui gignuntur; Dio- 
phantus ὑποστάσεις appellat. Videtur autem docere quo pacto inve- 
niantur minimi numeri, tres medietates continentes" Co, qui praeterea 
demonstrationem a Graeco scriptore omissam supplet. Quod autem 
Diophanti ὑποστάσεις comparat, quae in illius arithmeticis passim oc- 
currunt, in errore, ut opinor, versatur. 


pro μὲν τοῦ 44. 15. dy ἔσῃ ὑπεροχῇ τῷ B' del. Hu (interpolator signi- 
ficavisse videtur differentiam inter 4 et 2 aequalem esse numero 2, 
quod ab ἢ. l. alienissimum est; Pappus scripsisset ἐν' ἔσῃ ἀναλογέᾳ, 
nisi id ipsum tacite intellegi maluisset) 45. ἐπεὶ B9S, ἐπε (sine acc.) 
À et, ut videtur, B! 16. γέγνεταε À, corr. BS 41. μέσον del. Hu 
30. τρὶς Co pro τρεῖς 34. ó ιβ' Hu, οἱ B AS, οἱ δύο B ó c B38, 
ΘΑ, 5€ B! 94. i add, S 
Pappus I. 6 


82 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Γ. 


αὐτὰς συστήσασϑαι ἐν ἐλαχίσταις ς΄ εὐθείαις τὸν ἀριϑμόν, 
δῆλον ἐντεῦϑεν. 

Ἐχχείσθϑω γὰρ τὸ ἡμιχύχλιον ἔχον τὴν BA κάϑετον καὶ 
τὴν EB ἐκ κέντρου, καὶ τὴν 4Z κάϑετον, καὶ ἤχϑω διὰ 
τοῦ B ἐφαπτομένη τοῦ κύχλου ἡ OH καὶ ἐκχβληϑείσης τῆς ὃ 
ΕΓῊΗ κείσϑω τῇ BH ἴση ἡ BO, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 4“1ΚΘ᾽ 
λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν 
ΒΕ ΕΖ, μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. 

Ἐπεὶ γὰρ ὀρϑαί εἰσιν ai πρὸς τοῖς B Ζ γωνίαι [παρ- 
ἀλληλὸς ἐστιν ἣ 42 τῇ OH, καὶ ἰσογώνιον τὸ EBH τρί- 10 
γωνον τῷ EZ4 τριγώνῳ, τὸ δὲ BOK τρίγωνον τῷ ZKA 
τριγώνῳ], ἔστιν ἄρα ὡς 7? ΒΕ πρὸς ΕΖ, $ ΗΒ πρὸς Z4. 
ἴση δὲ ἡ ΒΗ͂ τῇ ΒΘ' καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΘ 
πρὸς 4Z. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν AZ, ἡ ΒΚ πρὸς KZ, 
xoi ἔστιν 7?) μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν BE ΕΚ εὐϑειῶν, «ἡ δὲ τ 
ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν KE EZ εὐϑειῶν- ἔστιν ἄρα ὡς ἡ BE 
πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν 
ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν" ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν 
αἱ ΒΕ ΕΚ EZ εὐϑεῖαι, μέσης οὔσης τῆς EK καὶ μεγίστης 
τῆς BE καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. ἐδείχϑησαν δὲ καὶ αἷ μὲν 20 
44 ΕΓ UA τὴν ἀριϑμητικήν, ot δὲ 44 BA AU τὴν γεω- 
μετρικήν᾽ oi τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὲν xai ἐν 
ἡμικυχλίῳ. 


4. αὐτὰς Hu pro αὐτὰ 3. χάϑετον BS Co, χαϑέχατον A, xa9* 
ἕχαστον B! cod. Co ’ 6. ἐπεζεύχθω A! ex ἐπιζεύχϑω, ut videtur 
ἡ 4ΚΘ Co, ἡ KO AB!S, ἡ «x9. B*, ἡ d9 Sca 59. toic BZ A, distinx. 
BS παράλληλος --- 43. τριγώνῳ interpolatori tribuit Hu 44. 12. τῶι 
EZ4 τριγώνωε ABS, corr. Sca (τῷ KZ τριγώνῳ Co) 49. 7 apte 
HB add. Hu 44. ἀλλ᾽ ὡς A? ex ἄλλως $0. τῆς εξ BS, evanuit 
scriptura in A ἐδεέχϑησαν B* (ostensum est Co), /[[/|35a«v A, ....ϑησαν 
Bi, ἐλεέφϑησαν S, ἐλήφϑησαν Sca vel alius corrector in S 21. τὴν 
ἀριϑμητιχήν scil. περιέχουσαι μεσότητα) Hu pro τῆς ἀριϑμητικῆς 
αἱ δὲ 44 Β4 4Γ τὴν γεωμετρικήν Hu, αἱ δὲ &g ἐγ εὃ τῆς γεωμε Β4 
(Co) et τρικῆς Bl, in A quindecim fere litterae evanuerunt οἱ tantum 
ἐτριχῆς manserunt, in S spatium relictum ante γεωμετριχῆς 23. nut- 
χύχλω A, corr. BS 


LIBER Il]. PROPOS. 16. 83 


in semicirculo tres medietates in sex minimis rectis Prop. 
constituantur, 
ex his manifestum est. 
Exponatur enim semicirculus αβγ, cuius a centro & du- 
catur εβ et diametro perpendicularis 80, et recíae ef per- 


$9 





7 ῆ 


pendicularis 05, et ducatur per f tangens circulum recta 
35, et rectà ey productà ad ἡ ponatur 839 — βη, et iun- 
gatur recta ÓxJ; dico in harmonica medietate ex mediam 
esse rectarum fe e&, maximum autem /(erminum esse fe, mi- 
nimum &L. 

Quoniam enim anguli ad 9 ζ recti sunt, est igitur 
fe: εζ — fn:00 — 89 : ζδ. Sed propter similitudinem trian- 
gulorum 89x ζὸκ est 89 : £0 — Bx : Dx, et est Bx — fe — ex, 
el Lx — x& — eb; est igitur fe: eC — fle — sx : xe — el. 
Ergo rectae βὲ εκ ej harmonicam medietatem continent, est- 
que ex media, 9e maxima, εζ minima. Verum etiam demon- 
stravimus (supra cap. 28 med.) rectas αὃ &y ὃγ arithmeticam, 
et αὖ β Óy geomewicam medietatem continere; ergo tres 
medietates in sex minimis rectis fe (sive ey) ex sb αὃ Óy 
B90*) ex ordine constitutae sunt in semicirculo. 


*) Diserte haec addidimus quae cogitatione supplevit Graecus scrip- 
tror. Sunt autem utique necessaria atque efficiuntur ex nostra emen- 
datione p. 82, 24, qua demum genuina demonstrationis elegantia resti- 
tuta est. 


6* 


84 . . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Γ. 


44 ιη. Ἐπεὶ δὲ καὶ Νικόμαχος ὁ Πυϑαγοριχὸς καὶ ἄλλοι 
τινὲς οὐ μόνον περὶ τῶν πρώτων τριῶν μεσοτήτων εἰρή- 
κασιν, αἱ χρήσιμοι τυγχάνουσιν μάλιστα πρὸς τὰς τῶν πα- 
λαιῶν ἀναγνώσεις, ἀλλὰ καὶ περὲ ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς 
παλαιούς, καὶ ἔτι ταῖς ἕξ ταύταις ἄλλαι ὑπὸ τῶν νεωτέρων 5 
προσεύρηνται τέσσαρες, πειρασόμεϑα καὶ περὶ τούτων εἰ- 
πεῖν ἐπιτονώτερον, ἀκολουϑήσαντες μέντοι ye τοῖς πρό- 
τερον, οἵτινες ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου ποιούμενοι τὴν 
μετάβασιν τρεῖς ἐξέϑεντο τὰς προειρημένας ww» [ἀπὸ τοῦ 
ἐλάσσονος μείζονα μετροῦντες ἄλλας τρεῖς διαφερούσας τῶν 10 
7tQUT OY). 

45 'Orav μὲν γὰρ ἢ ὡς ὃ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, 
οὕτως ἢ τοῦ πρώτου ὅρου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, 
τὴν μεσότητα ὑπεναντίαν τῇ ἁρμονικῇ καλοῦσιν. 

Ὅταν δ᾽ ἢ ὡς ὃ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ τοῦ 15 
πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, ἡ μεσότης καλεῖ- 
ται πέμπτη xai ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ (τινὲς γὰρ αὐτὴν 
οὕτως ὀνομαζουσιν). 

Ὅταν δὲ ὡς ὃ δεύτερος ὅρος ἦ πρὸς τὸν πρῶτον, ἥ 
τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, καλεῖται 720 
μεσότης ἕχτη, λέγεται δὲ καὶ αὐτὴ ὑπᾷναντία τῇ γεωμε- 
τριχῇ διὰ τὴν αὐτὴν τῶν λόγων ἀντακολουϑίαν: ὡς εἶναι 
xat' αὐτοὺς μεσότητας ἕξ. 

46 Ὑπὸ δὲ τῶν νεωτέρων, ὡς εἴπομεν, ἄλλαι τέσσαρες 
τὸν ἀριϑμὸν εὑρέϑησαν πῇ μὲν συμφερόμεναι, κέχρηνται 25 
δὲ καὶ ὅροις ἰδίοις οἱ ταύτας εὑρύντες [νεώτεροι] καλοῦσι 
γὰρ τὴν μὲν τοῦ πρώτου ὅρου παρὰ τὸν δεύτερον ὑπεροχὴν 
πρώτην, τὴν δὲ τοῦ δευτέρου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν 
δευτέραν, τὴν δὲ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν 


4. TH Αἱ in marg. (S), om. B 5. ταῖς ἐξαυταῖς A, ταῖς ἕξ αὐταὶς 
BS, corr. Hu 5. 6. ἄλλας ---- προσευρῆσϑαι τέσσαρας AB, corr. Hu 
nam προσευρῆσϑαι συμβαένει τέσσαρας alienum videtur a Pappi 
usu) 9—11. lacunam statuit et verba ἀπὸ --- πρώτων interpolatori 
tribuit Hu (conf. p. 87 adnot. 4) — 144. τὴν om. 8 17. πέμπτη Hu 
auctore Co pro πέμπτον 44. αὐτὴ S, αὑτῆι (sine spir.) A, αὐτῇ Bt, 
αὔτη 'voluit αὕτη) B? — 34. τέσσαρες BS, 7f A 35. πῇ S, πῆι A, 


LIBER III. 85 


: XVIII. Quoniam autem Nicomachus Pythagoreus aliique !) 
nonnulli non solum de primis tribus medietatibus egerunt, 
quae omnium utilissimae sunt ad veterum scripta tractanda, 
sed etiam de aliis tribus quae sunt apud veteres, atque in- 
Super a recentioribus praeter has sex aliae quattuor inven- 
lae sunt, etiam de his diligentius scribere conabimur, se- 
quemur tamen vetustiores scriptores in eo, quod illi a maiore 
termino ordientes tres medietates, de quibus próimum dixi- 
mus, exposuerunt « « « [sed a minore (ermóno maiora me-. 
tentes alias tres diversas a primis]. 

Si enim sit ut tertius terminus ad primum, ita prima 
differentia ad secundam?), medietatem harmonicae contra- 
riam appellant. | 

Si autem sit ut tertius terminus ad secundum, ita prima 
differentia ad secundam, medietas appellatur quinta et geo- 
metricae contraria (sunt enim qui sic eam appellent). 

Si autem sit ut secundus terminus ad primum, ita 
prima differentia ad secundam, medietas sexta dicitur; a 
quibusdam vero haec quoque geometricae contraria vocatur, 
propterea quod item in consequentia proportionum contrarius 
ordo est. 0 

Itaque secundum veteres sex omnino sunt medietates. 

À recentioribus autem, ut diximus, aliae quattuor me- 
dietates inventae sunt, aliqua ex parte utiles, et suis quae- 
que definitionibus distinctae. Appellant enim [recentiores] 
primam differentiam eam qua primus terminus secundum 
superat, secundam differentiam eam qua secundus terminus 
tertium, denique tertiam differentiam qua primus tertium ; 


4) Conf. Procli comm. in Euclid. libr. I p. 67, 5 ed. Friedlein, 
Herm. Hankel, Geschichte der Mathematik, Lipsiae 4874, p. 482. 

2) Primam et secundam differentiam, perinde atque ipse Paeppus 
supra cap. 30, brevius diximus pro "differentia primi termini a se- 
cundo" et "secundi termini a tertio." Εἰ conf. paulo infra cap. 46. 


πῆ B πῆ uà» συμφερόμεναι] haec aut ab interpolatore addita, aut 
ex genuinis aliis ac fortasse aliquanto pluribus verbis corrupta esse vi- 
dentur — 26. νεώτεροι del. Hu 


86 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


τρίτην , γοουμένου καὶ λεγομένου δηλονότι, χαϑὰ καὶ ἐν 
ἀρχῇ διεστειλάμεϑα, τοῦ μὲν μεγίστου ὅρου πρώτου, τοῦ 
δὲ μέσου δευτέρου, τοῦ δὲ ἐλαχίστου τρέτου. 

Καὶ ὅταν ἦ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην » ὁ 
δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἑβδόμην ἐκά- ὃ 
λεσαν. 

Mévovrog δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου τῶν ὑπεροχῶν, ὅταν γί- 
νηται οὕτως ὃ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, τὴν μεσό- 
τητα ὀγδόην ὀνομάζουσιν. 

Ὅταν δὲ ἦ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, Ó10 
πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἐνάτην, 

Ὅταν δὲ ἢ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν, ὃ 
δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα δεκάτην ὠνό-- 
μασαν. 

47 Τούτων δὴ τῶν ὅρων ὑποχειμένων τὰς γενέσεις τῶν 15 
δέκα μεσοτήτων ἐκϑησόμεϑα καὶ διὰ τῇς γεωμετρικῆς &va- 
λογίας, ὡς εἴπομεν. [ἀναλογία δὲ συνέστηκεν ἐκ λόγων. 
λόγου δὲ παντὸς ἰσότης ἀρχή.) 

Ἢ τοίνυν γεωμετρικὴ μεσότης ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν πρώ- 
vy» λαβοῦσα γένεσιν αὐτή τε αὑτὴν καὶ τὰς ἄλλας συστήσει 20 
μεσότητας, ἐνδεικνυμένη, καϑὰά φησιν ὃ ϑειότατος Πλάτων, 
τὴν τῆς ἀναλογίας φύσιν αἰτίαν τῆς ἁρμονίας πᾶσι xai τῆς 
εὐλόγου καὶ τεταγμένης γενέσεως " λέγει γὰρ ἕνα δεσμὸν εἶναι 


3. τοῦ ante τρέτου repetit A, corr. BS 5. ἕβδομον AB!S, corr. 
B4 17. 8. ὅταν γένηται οὕτως Hu, in À octo fere litterae, chartae frag- 
mento superducto, legi non possunt, quam lacunam sequuntur xar' 
αὐτοὺς ὁ πρῶτος etc., unde lacuna et tum eadem scriptura repetita 
est in BS 8. ὅρος add. Hu 8. 9. τὴν μεσότητα ὀγδόην] τὴν au, 
tum undecim fere litterae eo quo statim diximus modo deletae in A, 
τὴν αὐτὴν μεσότητα ὀγδόην B, τὴν μεσότητα ὄγδοον S 44. ἐνατον 
(sine spir. et acc.) A, corr. B (in quo ab alia manu ἔννατον scriptum 
erat, sed id rursus deletum), ἔγνατον S 47. ἀναλογία — 18. ἀρχή, 
manifestum interpretamentum, quod ex Procli commentario in Platonis 
Timaeum p. 342 ed. Schneider. repetitum esse videtur, del. Hw 
90. αὐτὴ rt αὐτὴν À, corr. B (αὕτη τε αὐτὴν S) συνέσταται Coni. 
Hu (constituit Co) 38. λέγει γὰρ — p. 88, 4 φύσις priorum verbo- 
rum paraphrasim continent fortasse ab interpolatore scriptam 


LIBER Ill. 87 


atque in his ubique, sicut etiam initio exposuimus 1), maxi- 
mus terminus primus et intellegitur et appellatur, itemque 
medius terminus secundus, minimus tertius. 

Et si sit ut tertia differentia ad primam, ita secundus 
terminus ad tertium, medietatem septimam dixerunt. 

Si autem, manente differentiarum proportione, sit uf 
lertia, differentia ad primam, ita primus terminus ad secun- 
dum, medietatem octavam vocant. 

Sed si sit ut tertia differentia ad primam, ita primus 
terminus ad tertium, medietatem nonam; denique 

Si sit ut tertia differentia ad secundam, ita secundus 
terminus ad tertium, medietatem decimam appellaverunt. 

His igitur definitionibus praemissis, quomodo quaeque 
decem medietatum oriatur, etiam per geometricam analogiam, 
ut supra (cop. 29) professi sumus, explicabimus. 

Geometrica igitur medietas, cum ex aequalitate primum 
ortum habeat, et se ipsam et alias medietates constituet os- 
tendens, ut ait divinus Plato?), analogiae naturam omnium 
rerum harmoniae et rationalis ordinatique ortus procreatri- 
cem esse. Dicit enim omnium quaecunque procreata sunt 


4) Graeca χαϑὰ xol ἐν ἀρχῇ διεστειλάμεϑα quo referenda sint, non 
satis liquet. Nem supra cap. 44 talem quidem disquisitionem inchoavit 
-Scriptor et quasi praeteriens tetigit, neque tamen ad finem persecutus 
est. Et cum illo loco verba quae in codice exstant ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος 
μεέζονα μετροῦντες Cet. ineptius composita ac sanae continuaeque ora- 
tioni prave inculcata esse videantur (namque etiam in quarta quinta 
sextaque medietate a maioribus terminis veteres inceperunt, id quod 
ex buius libri propos. 34—98 elucet), forsitan his eiectis post σπροξερη- 
μένας latior lacuna statuenda sit, in qua omnia interciderint, quaecun- 
que verbis xa9à — διεστειλάμεθα significat scriptor. Ceterum iam 
supra cap. 80 glossa πρῶτα dé ἀχούειν Oti τὰ ὑπερέχοντα, ab inter- 
polatore quodam adiecta, simile quid monuit; nam πρῶτα ille esse vo- 
luit et πρῶτον ὅρον et πρώτην ὑπεροχήν, aque progressionem ad mi- 
nus descendentem intellexit. Sed nihil eius modo illo quidem loco 
Pappus in mentem induxit, cuius definitio, ut aiunt, generalis est valet- 
que etiam de progressione augescente. 


$) Non ipsa Platonis verba a scriptore citantur; sed haec senten- 
tia liberius composita est ex pluribus Timaei locis: vide p. 84, B. C; 
32, A. C (similiter Locr. p. 95, B. C; 99 A. B); 44, E (ὅτι γένεσις 
πρώτη μὲν ἔσοιτο τεταγμένη μέα πᾶσιν); 99, E (γενέσεως καὶ κόσμου 
ἀρχήν), 80, B (διὰ τὴν τῆς ϑείας ἁρμονέας μέμησιν). Conf. etiam no- 
stram scriptionem supra p. 59 adnot. * citatam. 


88 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


τῶν μαϑημάτων ἁπάντων, αἰτία δὲ γενέσεως καὶ δεσμὸς 
πᾶσι τοῖς γενομένοις ἡ τῆς ἀναλογίας ϑεία φύσις. δειχ- 
ϑήσεται δὲ ἡ σύστασις τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεω- 
μετρικῆς ἀναλογίας προϑεωρηϑέντος τοῦδε. 

48 Τρεῖς ἀνάλογον ἔστωσαν ὅροι οἱ «Α΄ B Γ καὶ ovvau- 5 
φοτέρῳ μὲν τῷ ΑἹ D μετὰ β' τῶν B ἴσος ἐκκείσϑω ὁ 4, 
συναμφοτέρῳ δὲ τῷ ΒΓ δὲ, τῷ δὲ Γ ὃ Ζ' λέγω ὅτι καὶ 
οἱ 4 E Ζ ὅροι ἀνάλογόν εἶσιν. 

Ἐπεὶ γὰρ ὡς ὁ 4 πρὸς τὸν B, οὕτως ὁ B πρὸς τὸν Γ, 
ἔσται xai συνθέντι ὡς συναμφότερος ὃ ΑΒ πρὸς τὸν Β,10 
οὕτως συναμφότερος ὃ ΒΓ πρὸς τὸν Γ΄ καὶ πάντες ἄρα ol 
ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ 
λόγῳ ὡς συναμφότερος 0 «4 B μετὰ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ 
πρὸς συναμφότερον τὸν B D, οὕτως συναμφότερος ὁ B I 
πρὸς τὸν Γ. καὶ ἔστιν συναμφοτέρῳ μὲν τῷ ΑΓ B μετὰ 1δ 
συναμφοτέρου τοῦ Β Γ ἴσος ὃ 4, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ ΒΓ 
ἴσος ὃ E, καὶ τῷ Γ ὃ Z: καὶ οἱ 4 E Z ἄρα ἀνάλογόν 
εἶσιν [ἐν τῷ συναμφοτέρου τοῦ 44 B πρὸς τὸν B λόγῳ]. 

49 Διόπερ ἴσων μὲν ὑποκειμένων τῶν .4d Β Γ οἱ 4EZ 
ἐν τῇ διπλασίᾳ γένοιντ᾽ ἂν ἀναλογίᾳ συναμφότερος γὰρ ὁ 20 
44 Γ μετὰ δύο τῶν B διπλάσιος συναμφοτέρου τοῦ B I, 
συναμφότερος δὲ ὃ B Γ τοῦ Γ διπλάσιος" τῶν δὲ .4B T 
ἐν τῇ διπλασίᾳ ἀναλογίᾳ ὑποκειμένων, μεγίστου μὲν ὄντος 
ἐν αὐτοῖς τοῦ 44 οἱ 44 E Ζ ἔσονται ἐν τῇ τριπλασίᾳ, ἐλαχί- 


4. μαϑημάτω»]) immo γεννημάτων Hu. &. πρδαἰϑϑεωρήϑεντος Αἴ ex 
πρὸσ᾽ϑεωρήματος, πρὸς ϑεωρηϑέντος Bl, corr. BBS — 5. avvauqotégtov 
AB!,corr. BIS — 6. τῶι “ AS, distinx. B. 7. δὲ τῷ B y B, δὲ τῶι B 
AS 9. ὡς ὁ 4 πρὸς τὸν T, omissis reliquis, AB!S, corr. B4 Co 10. 6 
συναμφότερος À, corr. BS 44. ὃ By B? in rasura S, τὸ BP AÀ 
44. 43. εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ forsitan interpolator addiderit; conf. 
tamen infra cap. 53 48. ὁ ante συναμφότερος additum in ABS, del. 

. Hu. 6 4B — τοῦ ΒΓ ABS, distinx. Hu (item posthac) 44. τὸν fiy 
(ante οὕτως) BS, τοῦ ΒΓ A 45. τῶι ΑΒ ABS (sed statim posthac 
recte A τοῦ B T) 46. di τῷι ΒΓ AS, distinx. B 48. ἐν τῷ — 
λόγῳ del. Hu τοῦ 48 AS, distinx. B λόγῳ om. S 49. Διόπερ 
ἴσον etc.] De hoc cap. 49 idem iudicandum esse videtur quod supra 





LIBER 1II. PROPOS. 417. 48. 89 


unum vinculum esse; causa autem procreationis et vincu- 
lum, quo omnia procreata continentur, est analogiae divina 
natura. Demonstrabitur autem decem medietatum per geo- 
metricam analogiam constitutio hoc praemisso theoremate. 
Sint tres termini proportionales « 9 y, et ponatur 
Ó — a-- 28 -- y, οἱ 
€ — β --y, et 


1 [| dico terminos d & 5 proportionales esse. 
| | Quoniam enim est a : β z 0 : y, erit etiam 
| | componendo 
| «48:0 — 8 --y:y, itaque summa 
| antecedentium ad summam 
consequentium erit in ea- 
| dem proportione (elem. 5, 
12), scilicet 
| r & 4-20 --y:8 --y m B b y:y. 
Et ec hypothesi est ὃ — α -- 28 -- y, et ε — 
P--y,e6 0 — y; ergo etiam ὃ : e e: ζ. 


Prop. 
47 


Itaque suppositis aequalibus « f y, erunt ὃ & ζ in du- Prop. 


pla proportioné; est enim α -4- 98 -- y — 3(β -- y), et ! 


B--y -— y. Conwa si « 8 y in dupla proportione suppo- 
nantur (id est aut α : 8 2 8 :y 22:4, auta: B:y 
Ξε 1:9) et in priore casu « maximus terminus sit, erunt 
ὃ e ζ in tripla proportione, contra si e minimus terminus 


*) Hoc numerorum exemplum, quod qmnino simile est superiori 
illi in propos. 45, singularis propositionis loco numerat Commandinus, 
praemisso titulo "Geometricas medietates per analogiam invenire." In 
Graecis non solum ea quae in versione Latina sequitur propositio 19, 
sed etiam alia nonnulla antea excidisse videntur, quorum loco inter- 
polator hoc quod nunc exstat cap. 49 posuerit. Conf. append. ad 
propos. 24. 


ad p. 78, 48 adnolatum est 20. διπλασία γενοιτ᾽ &vaAoy (eat A(BS), 
corr. Hu συναμφότεραι γὰρ À, corr. ΒΒ 20. 24. 0 4Γ AS, distinx. 
B 34.22. τοῦ ΒΓ — ὁ ΒΓ AS, distinx. B 94. ἔσονται add. Hu, 
few Co ἐν τῇ τριπλασία B9 (Co), ἐν τῆι πλασίαι A, ἐν τῇ διπλα- 


σίᾳ B!, lacuna ante διπλασέᾳ in S 





8 ἢ) 


90 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNAT'QTHZ T. 


στου δὲ ἐν τῇ ἡμιολίᾳ xai γὰρ συναμφότερος ὁ ΑΓ B τοῦ 
B τριπλάσιος μέν ἐστιν, εἰ διπλάσιος εἴη ὃ Α τοῦ B, 
ἡμιόλιος δέ, εἰ ὃ Α΄ τοῦ B ἥμισυς δἴη. καὶ οὕτως ἀπὸ 
τῶν ἑξῆς λόγων οἱ ἀκόλουθοι πολλαπλάσιοί ve xai ἐπε- 
ς » ^ , » J 3 € 
μόριοι εὑρίσκονται. xal παλιν, εἰ uowtóeg εἶεν ot 4d B Γ' ὅ 
ἣ κατὰ τοὺς 4d E Z γϑεωμετρικὴ μεσότης ἐν ἐλαχίστοις 
λέγοιτ᾽ ἂν ἀριϑμοῖς τοῖς δ΄ B α΄. 
50 τ ιϑ΄. Ἢ ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας 
οὕτως συνίσταται [καὶ τῆς ἰσότητος ἐν τῇ 
τάξει τῆς ἀναλογίας διαφόρως κἀνταῦϑα κἀν 10 
τοῖς ἑξῆς παραλαμβανομένης)]. ὑποκχείσϑωσαν 
e - ᾽ ’ L4 M] , i] 
ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ 4 B Γ,, xai δύο μὲν 
τοῖς 44 καὶ τρισὶ τοῖς B xai ἑνὲ τῷ Γ ἴσος 
ἔστω ὃ 4, δύο δὲ τοῖς B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὃ E, 











: 
p ιὃ ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὃ Z-* λέγω ὅτι οἱ 15 
4 Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα. 


Ld 
Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ 44 B I, ἔσον- 
A ς , € 4 ^ M 4 
ται καὶ ὡς Óvo οἱ .Α('ὶ μετὰ τοῦ B πρὸς τὸν 
| B, οὕτως δύο οἱ B μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν T, 
y καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ 24 μετὰ τριῶν 20 
| φῶν B xai ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς B Γ, vovz- 
ἐστιν ὡς ὃ 4 πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ .4 
μετὰ τοῦ B πρὸς τὸν B. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ “4 μετὰ τοῦ 


4. συναμφότερος BS, συναμ] Α reliquis obductis ὁ 4B AS, ó B y. 
B 2. ὁ 4 τοῦ B Co pro ὁ B τοῦ 4 8. dà η ΘΑ͂ τοῦ B A (et Bt, 
ut videtur), δὲ ὁ y τοῦ B B4, δὲ ὁ 9« τοῦ B S, corr. Hu auctore Co 
x«l ὁμοίως ἀπὸ coni. Hu 5. εἶεν οἱ B*S, εἶναι Α “ (ante B T, 
ἢ κατὰ) Δ, corr. BS 7. τοῖς Ó βα 2 in rasure, τοῖς 4B AT AS 
8. IO A! in marg. (S), om. B δι᾽ 9. οὕτω hoc loco etiam A, 
sicut BS fere constanter ante consonas 9. xal τῆς — 44. παραλαμ- 
βανομένης interpolatori tribuit Co 10. x&v Hu pro xal 411. παρα- 
λαμβανομένης AB?, παραλαμβανομένοις B!S 44. οἱ ΑΒΓ A, distinx. 
BS 418. τρισὶ τοῖς δύο AB! cod. Co, corr. ΒΞ83Ξ Co Γ᾽ (ante ἴσος) 
A? in rasura quattuor litterarum 44. δυσὶ δὲ τοῖς B 41. οἱ AB Τ' 
A, distinx. BS 30. δύο of « B Co, δύο ὁ I.4 A (dvo ὁ &« cod. Co, 
δύο οἱ t« S) 48. μετὰ τοῦ — p. 92, 1 of .4 om. AB!S, add. Βέ 
in marg. (eadem in suo codice legisse videtur Co) 


LIBER III. PROPOS. 19. 40. 91 


sit, in sesquialtera. Erit enim, si sit α — 20, a - B - 
35, contra si sit ἃ 2 48, a - 9 — T. Et similiter ex re- 


liquis proportionibus (scilicet quadrupla, quintupla cet.) numeri, 
qui hinc consequuntur, et multiplices et superparticulares inve- 
niuntur. Et rursus, si unitates sint α 9 », numerorum ὃ e C 
geometrica medietas in minimis numeris & 2 4 constitui dicatur. 





TOTo3 Arithmetica medietas per analogiam sic con- Pra 
| | stitwtur. 
| Supponantur (tres termini proportionales 
| & D y, et sit 
ὃ — 2α 4- 8B -Ἦ y, et 
€ & — 0 -- 2D -t- y, et 

β by; 
1 | dico terminos ὃ 8 C arithmeticam medietatem con- 

δ stituere. 





Quoniam enim est ὃ: ὃ — a -- B : a -- B, 
lr 1 ρὲ ex hypothesi 
: α- β τῷ ὃ -- ε ΞξΞ  ε -- ζ, est igitur 
ὃ: ὃ τ ὃ --ε:8ὃ —L, quae est arith- 
t ^— metica medietas (supra cap. 80). Εἰ apparet, 
si a B y unitates ponantur, hanc medietatem in 
^ — qinimis numeris 6 4 2 constitui. 
XIX. Harmonica medietas per analogiam sic constituitur. Prop. 
Supponantur tres termini proportionales « Ó », et sit 30 
zz 2. -t 30 --, οἱ 
€ z 20 -- y, οἱ 
U— y 
dico terminos à &€ & harmonicam medietatem efficere. 
Quoniam enim proportionales sunt «e 6 y, erit etiam 
multiplicatione per 2 faciá et componendo 
2a τ 8 -- 28 4- y 
B 


l 





, et summá antecedentium consequen- 


tiumque factà (elem. 3, 12) 

2« 4-898 -y 84. πβ 
8ty — 

*) Hane propositionem in Graecis omissam addidimus auctore 


Commandino. Sed hic aliter et d ε & definit et minimos numeros po- 
nit 5 3 4. Conf. append. ad. propos. 84. 


, id est (ex hypothesi) 


51 


52 


92 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ. 


B ὑπεροχὴ ἧ ὑπερέχουσι δύο οἱ À καὶ τρεῖς ot B καὶ εἷς ὃ I 
δύο τῶν B καὶ évóg τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν 4 E ὑπεροχή, 
τ : € € ? 2 eC c , / € * H 
eig δὲ 0 B ὑπεροχὴ ἔστιν ἢ ὑπερέχουσιν δύο ot B καὶ eig 
ὁ Γ συναμφοτέρου vo? B I', τουτέστιν ἡ τῶν E Ζ ὑπεροχή. 
ὅταν δὲ ἢ ὡς ὃ 4 πρὸς τὸν Z, ἡ τῶν 4 E ὑπεροχὴ πρὸς ὃ 


τὴν τῶν E Z ὑπεροχήν, ἣ μεσότης ἐστίν ἁρμονική. καὶ 


δῆλον ὅτι λέγοιτ᾽ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριϑμοῖς, μονάδων 
ὑποτεϑεισῶν ὁμοίως τῶν ΑΔ B T, τοῖς c y β΄. 

x. 'H τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντία μεσότης ἐκ τῆς ἀναλο- 
γίας οὕτως συνίσταται. ὅρων ἀνάλογον ὑποχειμένων τῶν 10 
«4 B Γ δύο μὲν τοῖς ΑΓ xoi τρισὲ τοῖς B καὶ ἑνὶ τῷ Γ 
ἴσος ἔστω ὃ 4, δύο δὲ τοῖς «4 καὶ δύο τοῖς B καὶ &vi τῷ 
D ὃ E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ &i τῷ Γ ὃ Z: λέγω ὅτι οἱ 4 EZ 
τὴν εἰρημένην ποιοῦσι μεσότητα. 

Πάλιν γὰρ ὁμοίως τοῖς προδεδειγμένοις ἔσται ὡς ὃ 2115 
πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο ot 24 μετὰ τοῦ B πρὸς τὸν B. καὶ 
εἰσὶν δύο μὲν οἱ ΑἹ μετὰ τοῦ B ὑπεροχὴ ἡ ὑτιερέχουσιν δύο 
οἱ 44 καὶ δύο οἱ B καὶ εἷς 0 Γ ἑνὸς τοῦ B καὶ ἑνὸς τοῦ II, 
τουτέστιν 7 τῶν E Ζ ὑπεροχή, ἐΐς δὲ ὃ B ὑπεροχὴ Tj ὑπερ- 
ἐχουσι δύο οἱ À καὶ τρεῖς οἱ B καὶ εἷς ὃ D δύο τῶν 2420 
xai δύο τῶν B καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἢ τῶν 4 E ὑπερ- 
oyr' ὡς ἄρα ὃ Ζ πρὸς τὸν 4, οὕτως ἡ τῶν 4 E ὑπεροχὴ 
πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ ἐστὲ κατὰ τὴν μεσότητα 
τὴν τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίαν. δῆλον δ᾽ ὅτι xot, μονάδων 
ὑποτεϑεισῶν τῶν 24 B D, εἴη ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριϑμοῖς 25 
ἡ μεσότης τοῖς ς΄ ε΄ β΄. [5 αὐτὴ καταγραφή. 

Ἢ πέμπτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. 
ἐκκείσϑωσαν ἀνάλογον ὅροι τρεῖς οἱ Α' B T, καὶ &vi μὲν 


4. τῶν 41 A, distinx. BS — 8. ὑπεροχῆς ἔστιν AB!S, corr. B3 
4. τοῦ ΒΓ AS, *distinx. B τῶν EZ A, distinx. BS, item paulo post 
vs. 6 7. λέγοιτα μὲν | ἐλαχίστοις Α, corr. BS 9. K A! in marg. 


(S), om. B 40. οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) ὅρων Hu auctore 
Co pro rüy — 44. dvo ui» B!S, Àvouev (sine acc.) A, δυσὶ μὲν» B3 
44. 44. τῶι Γ᾿ 0 E ἴσος À, sed ὁ E del. prima m. 45—417. ὡς 


ὁ JIIII/][[[[|ot 4 μετὰ τοῦ B πρὸς τὸν B καὶ εἰσὶν δύο uiv οἱ 4 JJ//jJ[J/]]] 


LIBER III. PROPOS. 31. 33. 93 
i ἘΞ’. Et est 928 - β B — ὃ — e, e 
βεε-τ" 
Si vero sit d: ζ — ὃ -- ε: ὃ -- ζ, harmonica est medietas 
ísupra cap. 30). Et apparet, si unitates supponantur a f y, 
hanc medietatem in minimis numeris 6 3 9 constitui. 








XX. Harmonicae contraria medietas ex analogia sic con- Prop. 
- tn 
Sütuitur. 
Suppositis terminis proportionalibus ἃ 





iT By sit 
la 2a 4-38 - y, οὐ 
d 6 — 2a -Ἦ 28 -- y, et 
| ξ- β -- γ; 


dico terminos ὅ & £, medietatem harmonicae 
contrariam efficere. 








1 
I] la , Rursus enim similiter, ac modo demon- 
l stratum est, erit 

|| i-r Et est. 
. 90 - 8 — 6 — b, et 
T B — à — 6; ergo 
y PET 
" δ’ επτ 





id quod contingit secundum medietatem har- 
monicae contrariam (supra cap. 48). Et ap- 
paret, si unitates supponantur « f y, hanc medietatem in 
minimis numeris 6 5 9 consistere. 
Quinta medietas ex analogia sic constituitur. Prop. 
Exponantur tres termini proportionales & B », et sit ud 





| n ὑπερέχουσιν A, ὡς ὁ ὃ ola μετὰ τοῦ B. πρὸς τὸν B^ 
χαὶ εἰσὶ δύο μὲν οἱ ἃ .. ἦ ὑπερέχουσι BIS, lacunas explevit 
B* (Co) 49. τῶν EZ À, distinx. ΒΒ 19. 30. εἰς δὲ — ϑύο οἱ ἃ 








add. Bé (Co) — 34. τῶν ΤῈ A, distinx. BS, item proximo versu 
38. τῶν E Z] ἘΖ AS inx. B, τῶν add. Hu 84. ὑπεναντία À, 
corr. BS 25. τῶν ΒΓΑ, distinx. BS εἴη ἂν Hu, εἴτε AB!S, 


ἔσται ΒΕ 186. τοῖς SEB A, distin. ΒΒ ἡ αὐτὴ καταγραφή del. Hu 


94 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS T. 


τῷ «4 xai τρισὶ τοῖς B καὶ &vi τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ 4, bri 
δὲ τῷ ΑἹ xal δύο τοῖς B. xal ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ 
ἑνὶ τῷ Γ ὃ Ζ' λέγω ὅτι οἱ 4 E Ζ κατὰ τὴν πέμπτην εἰσὶ 
μεσότητα. 
Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὃ .4 μετὰ τοῦ ὅ 
B πρὸς τὸν B, οὕτως ὃ B μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, ἔσται 
καὶ συναμφότερος ὁ ἡγούμενος ὃ Α΄ B μετὰ συναμφοτέρου 
τοῦ B Γ πρὸς τὸν ἑπόμενον συναμφότερον τὸν B Γ᾽, τουτ- 
ἐστιν ὡς ὁ E πρὸς τὸν Z, οὕτως συναμφότερος ὃ .4 B 
πρὸς τὸν B. καὲ ἔστι συναμφότερος μὲν ὃ 24 B ἡ ὑπεροχὴ 10 
ἢ ὑπερέχει εἷς ὃ 2d καὶ δύο οἱ B xai εἷς ὃ Γ ἑνὸς τοῦ B 
καὶ ἑνὸς τοῦ D, τουτέστιν ἡ τῶν E Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ B j 
ὑπερέχει elg ὃ 24 καὶ τρεῖς ot B καὶ εἷς ὃ Γ ἑνὸς τοῦ 4 
καὶ δύο τῶν B καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν 4 E ὑπεροχή" 
ὡς ἄρα ὃ Ζ πρὸς τὸν E, οὕτως ἢ τῶν Δ E ὑπεροχὴ πρὸς τὴν 15 
τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ τῇ πέμπτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. 
xai λέγοιτ᾽ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριϑμοῖς τοῖς & δ' 8, μονά- 
δων ὑποτεϑεισῶν τῶν 44 B I. [ἡ αὐτὴ δὲ καταγραφή.} 

53 Ἢ ἕχτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. 
ἐχκείσϑω 7) αὐτὴ τῶν 24 B Γ᾽ ὅρων ἀναλογία, καὶ ἑνὲ μὲν 20 
τῷ 44 xai τρισὶ τοῖς B καὶ δύο τοῖς Γ ἴσος ὁ 4, ἕἑνὲ δὲ 
τῷ 44 καὶ δύο τοῖς B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, 6 δὲ Ζ ἔστω ἢ 
ὑπεροχὴ y ὑπερέχει συναμφότερος ὃ 1 τοῦ Γ΄" λέγω ὅτι 
οἱ 4 E Ζ τὴν προκειμένην ποιοῦσι μεσότητα. 

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὃ 24 μετὰ δύο δ 
τῶν B πρὸς συναμφότερον τὸν 44 B, οὕτως ὁ B μετὰ δύο 
τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν B I', καὶ πάντες οἱ ἡγού- 


$. xe δυσὶ (δύο Hu; roig β --- τῷ B add. B* (Co) ΄ 8. πέμπτην S, 
EAB  5.ó« B?S, 5.4 BIS 86. ὁ B (ante μετὰ τοῦ D) A! ex ὁ 4 
1---9. ὁ 4B — τοῦ ΒΓ --- τὸν ΒΓ eic. AS, distinx. B 7. 8. συναμφο- 
τέρου τοῦ Hu, τοῦ συναμφοτέρου AB!S, τοῦ συναμφοτέρου τοῦ B3 
40. πρὸς τὸν f add. B* 48. τῶν E Z Co, τῶν AE A, τῶν ὃ ε BS 
42. ὁ δὲ B — A. τουτέστιν ἡ τῶν 4 E ὑπεροχή om. B! (add. B5) 
44. 7 B3, ὡς AS 48. τρεῖς ὁ B AS, dvo οἱ β B3 44. τῶν AE (post 
τουτέστιν ἢ) A, distinx. S, τῶν ε C£ B9 cod. (Ὁ 45. ὡς ἄρα — ὑπερ- 
οχὴ add. Co, ὡς ἄρα ὁ € πρὰς τὸν ζ. οὕτως ἡ τῶν d ε ὑπεροχὴ add. B$ 
cod. Co 4186. τῶν EZ et 41. τοῖς EZ1B A, distinx. ΒΒ 18. ἡ αὖ 


LIBER lli. PROPOS. 38. 95 


ὅτεα -Ἦ 3β -᾿ γ, εἱ 














T T &— 04-98 -- y, el 
" | | Ü-B8-y 
i | d dico terminos d & C in quinta medietate esse. 
| Quoniam enim propter analogiam et 
, componendo est 
" ἐξ’ - e 2 summà antecedentium 
d . consequentiumque fa- 
t ctà (elem. 5, 13) erit 
etiam 
s*B «τβὲγ (£6 
, τ πεν Cp Et est 
i ἀα-βτ-ε-ζ, δι 
B τὸ ὃ — εἰ ergo 
i - PET id quod in quinta medietate contingit (su- 
pra cap. 45). Atque, -si unitates supponantur « 8 y, haec 
medietas in minimis numeris 5 & 9 constitui dicatur. 
TOT Sexta medietas ex analogia sic consti- 
tuitur. 
ξ Exponeatur eadem proportio a: β — 
By, et sit 
à — a 4-38 4-25, εἱ 
€ ea 28 γ, e 
T ζιπα-β-γι 
la δ dico terminos ὃ & ζ sextam medietatem effi- 
l cere. 


Quoniam enim propter analogiam !) est 

τ AX Ξε PE fe summ antece- 

r dentium consequentiumque 
[δοιὰ (elem. δ, 42) 














4) Est enim er m et componendo et e contrario zt 


Y 2-8 8 ELM Pay 
Fey ava grey wxRCg*YX 

















7 5 ergo per additionem 





δὲ χαταγρ. del. 33. ἔστω Hu pro καὶ 84. ἥσουσι 5 
846. τὸν AB AS, distinx. B (paulo post recte τὸν B Γ et τοῦ B T^ etiam A) 








54 


96 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHZ D. 


μενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς ὃ 
-4 καὶ τρεῖς oi B καὶ δύο oi Dl πρὸς συναμφότερον τὸν 
-4 B μετὰ συναμφοτέρου τοῦ B I, τουτέστιν ὡς ὁ 4 πρὸς 
τὸν E, οὕτως ὃ B μετὰ δύο τῶν Γ' πρὸς συναμφότερον τὸν 
ΒΓ, καὶ ἔστιν ὁ μὲν B μετὰ δύο τῶν Γ ὑπεροχὴ  ὑπερ- 5 
ἔχει ὃ .4 μετὰ δύο τῶν B καὶ ἑνὸς τοῦ Γ τῆς ὑπεροχῆς jj 
ὑπερέχει συναμφότερος ὃ -4 B τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν E Z 
ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὁ B T ὑπεροχή ἐστιν ἡ ὑπερέχει. 
ὃ .4 μετὰ τριῶν τῶν B καὶ δύο τῶν Γ ἑνὸς τοῦ 4 καὶ δύο 
τῶν B καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν 4 E ὑπεροχή, ὡς 10 
ἄρα E πρὸς 4, οὕτως ἡ τῶν 4 E ὑπεροχὴ 

eli | πρὸς τὴν τῶν E Ζ ὑπεροχήν, ὥστε oi 
« 4 E Z τὴν ἕχτην ποιοῦσι μεσότητα. καὶ 

συνίσταται ὁμοίως ἐν ἐλαχίστοις ἀριϑμοῖς 
t^ τοῖς c' δ' o, μονάδων ὑποτεϑεισῶν τῶν 15 

"ΑΒ Γ. ($ αὐτὴ καταγραφή.] 

T t ou. t 

κα΄. *H δὲ ὀγδόη μεσότης ἐκ τῆς ἀνα- 
λογίας οὕτως συνίσταται. ἐχκείσϑωσαν 
τρεῖς ἀνάλογον ὅροι οἱ Α΄ B Γ,, καὶ δύο 
μὲν τοῖς Α΄ καὶ τρισὶ τοῖς B καὶ ἑνὶ τῷ of 
Y Γ ἴσος ὃ 4, ἑνὶ δὲ τῷ 4 xai δύο τοῖς B. . 
καὶ ἑνὶ τῷ T ὃ E, δύο δὲ τοῖς B καὶ bi 
τῷ Γ ὁ Ζ' λέγω ὅτι οἱ 4 E Z κατὰ τὴν 
ὀγδόην εἰσὶ μεσότητα. 





-ι 








4. 8. τὸν 4B AS, distinx. Β 4— 6. οὕτως ὁ B {{{||||{|{|{{|᾿]Ὶ᾿ πρὸς 
συναμφότερον τῶν ΒΓ καὶ ἐστιν ὁ μὲν B μετὰ] {{{{|||| ὑπεροχὴ ἡ ὑπερ- 
ἔχει ὁ “ μετὰ ϑύο τῶν B A, eaedemque lacunae in BS, quas explevit δὲ 
τὸν B y, καὶ ἔστιν corr. B3 (Co) — 6. ἑνὸς add. Hu τῆς ὑπεροχῆς 
AS, ἡ ὑπεροχὴ B? in rasura 17. ὁ 4B τοῦ T AB!S (Co), ὁ « βὶ μετὰ 
τοῦ συναμφοτέρου B y B, ὁ a B μετὰ τοῦ συναμφοτέρου τοῦ j y cod. 
Co τῶν EZ À, distinx. ΒΒ 8. ὁ BT AS, distinx. B. — 9. τριῶν 
τῶν B BS (Co), τριῶν τῶν δύο cod. Co — 10. τῶν AE A, distinx. BS, 
item paulo post (sed mox τῶν E Z — οἱ Z1 E Z etc. recte etiam A) 
40. 44. ὡς ἄρα — ὑπεροχὴ add. A? in marg. (BS) 46. ἡ αὐτὴ xa- 


LIBER Ill. PROPOS. $4. 25. 07 


dep .a4Br] Uy) atque est B -- ὃ) — &— ζ, et 
B A- y — ὃ — 6, ergo 

T zm LL itaque termini ὃ ε ζ sextam efficiunt me- 
dietatem (supra cap. 45). Et similiter, si unitates supponan- 


tur α 8 y, haec medietas in minimis numeris 6 ὁ 4 consti- 
tuitar. 


Septima medietas ex: analogia sic constituitur. Ps 
Ecponantur tres. termini * proportionales * 
T afy,etsi 





ὃδτξ α -- β.- γ, οἱ 
€ & — α- D, et 
7: 
dico terminos ὃ & ζ septimam medietatem con- 
stituere. 
, 


ὡς 
Ι 


Quoniam enim eo hypothesi est 
ó—0b-—aoa--B-e,et 
ὃ — & zy — L, est igitur 
Ϊ τ ΞΞ T— id quod in seplima medietate 
» contingit. (supra cap. 46). Atque, si unitates po- 
nantur α B », haec medietas in minimis numeris 
à 2 1 constituitur. 


XXI. Octava medietas ex analogia sic constituitur. Prop. 


Exponantur tres termini proportionales « 8 »y, et sit 
ὃ — 2a -- 3 -- y, et 


dico terminos ὃ & ζ secundum octavam. medietatem esse. 


*) Vide append. 


vayoaq del. Hu 47. ΚΑ A! in marg., om. BS 48. οὕτω ABS 


(conf. ad p. 90, 9) 49. τρεῖς Hu pro οὗ οὗ ΑΒΓ A, distinx. BS 
καὶ δυσὶ B?, item posthac 
Pappus I. 1 


98 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHS f. 


Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ὡς δύο oi 24 μετὰ τοῦ B 
πρὸς συναμφότερον τὸν À B, οὕτως δύο οἱ B μετὰ τοῦ D 
πρὸς συναμφότερον τὸν B D, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς 
δύο οἱ 4 καὶ τρεῖς οἱ B καὶ εἷς ὁ Γ πρὸς ἕνα τὸν «Γ'! καὶ 
δύο τοὺς B καὶ ἕνα τὸν D, τουτέστιν ὡς ὁ 4 πρὸς τὸν E,5 
οὕτως δύο οἱ 44 μετὰ τοῦ B πρὸς συναμφότερον τὸν .1 B, 
καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ 44 μετὰ τοῦ B ὑπεροχὴ 3) ὑπερέχουσιν 
δύο οἱ .4 καὶ τρεῖς οἱ B καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν B xai &vóg 
τοῦ DL, τουτέᾳριν 7) τῶν 4 Ζ ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὃ 
44 B ὑπεροχή ἐστιν ἦ ὑπερέχουσιν δύο οἱ 44 καὶ τρεῖς ot B 10 
καὶ εἷς ὃ Γ ἑνὸς τοῦ ΑἹ καὶ δύο τῶν B καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, 
τουτέστιν ἡ τῶν 4 E ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὃ 4 πρὸς τὸν 
E, ἡ τῶν 4 Z ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν 4 E ὑπεροχήν, ὅπερ 
τὴν ὀγδόην συνίστησι μεσότητα. καὶ λέγοιτ᾽ ἂν ἐν ἐλαχί- 
στοις ἀριϑμοῖς τοῖς c δ΄ γ΄, μονάδων νοουμένων τῶν .4 B Γ΄ 15 

55 χβ΄. Ἢ ἐνάτη μεσότης δι’ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. 
τῶν 44 B Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἕνὲ μὲν τῷ « καὶ δύο 
τοῖς B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὃ 4, ἑνὶ δὲ τῷ 4 καὶ ἕνὶ 
τῷ B καὶ ἑνὶ τῷ D ó E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Z- 
λέγω ὅτι οἱ 4 E Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα. 20 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ὃ 24 B πρὸς τὸν B, 
οὕτως συναμφότερος ὃ Β Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς 
πάντας, ὡς ὃ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς συναμ- 
φότερον τὸν B Γ᾽, τουτέστιν ὡς Ó 4 πρὸς τὸν Ζ, οὕτως 
συναμφότερος ὁ ΑΒ πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ “συναμφότερος μὲν 23 
ὃ 4 B ὑπεροχή ἐστιν ἦ ὑπερέχει εἷς ὃ 24 καὶ δύο oi B 
καὶ εἷς 6 T συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν 3 τῶν 4zZ 
ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ὑπεροχή ἐστιν ἦ ῇ ὗπερέχει εἷς ὁ 44 καὶ δύο 
οἱ B καὶ εἷς ὃ Γ ἑνὸς τοῦ 24 καὶ ἑνὸς τοῦ B καὶ ἑνὸς τοῦ T, 


3. 4 B οὕτως — 8. συναμφότερον τὸν om. AB!S, add. B* ((0) 
6. συναμφότερον τὸν ZE AB!S cod. Co, corr. B9 (Co) 9. τῶν 4Ζ 
A, distinx. BS 9. 40. ὁ AB AS, distinx. B 42. τῶν ΔΕ A, distinx. 
BS 43. 13. πρὸς τὸν Z ἡ τῶν E ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν AZ ὑπερ- 
οχήν AB! (item S cod. Co, nisi quod pro 4Z S habet d ε ( et cod. Co 


α Q), corr. B? (Co) 45. τοῖς H 1 I' AB!S cod. Co, corr. B? (Co) 
46. KB A! in marg. (S), om. B ἐνάτη A(B!), ἔννάτη Β5 δι᾽ add. 





LIBER III. PROPOS. 36. 99 


Quoniam enim propter analogiam!) est 


Ra 30 I, et summá antecedentium consequen- 


tiumque factà (elem. 5, 43) 
Li» y 


δ 
wr3 TS atque est 2a -- 8 — ὃ -- ζ, et 


& 4- B — 0 — e, ergo 
id quod octavam medietatem constituit 








Ξ τ’ 
[supra cap. 46). Atque haec in minimis numeris 6 & 3 con- 
sidere dicatur, si unitates ponantur α f y. 
XXII. Nona medietas per analogiam sic constituitur. ^ Prop. 
lisdem terminis a B y suppositis sit 
T [ . ὅτε α - 9β- γ, οἱ 
e | € 0 B y, et 
| t-8-5 
| dico terminos d & t nonam complecti me- 
" dietatem. 


Ϊ Quoniam enim propter analogiam et 
B 





componendo est 





“τ ut, et summá (ut in su- 
* 





EJ 


! —— 7, aique est 
r By ps 


B — 3 — e, ergo 


4) Est enim, quia ex hypothesi a: β το 8: y, e contrario et com- 


Ὁ. 5 : 
ponendo et rursus e contrario — — rey] - Fey et FEY EY ergo 
def y 











per additionem "xBUBAY 
Ha (hoc enim fecilius interciderit quam alterum, quod exspectamus, 
ἐκ τῆ) οὕτω ABS (conf. ad'p. 90, 9) 47. τῶν 4 Β Τ' A!B, post 


τῶν add. γὰρ A rec. S, τῶν αὐτῶν vel ὅρων τῶν .4 B T' coni. Hu 

ἐνὶ μὲν BS, εἰ μὲν A — 11.48. δυσὶ τοῖς Β' 19. E — τῷ Γ ὁ om. 
ΑΒΙΒ, edd. Co (imilitor post ἐνὶ δὲ τῷ « Bt odd. καὶ ἑνὶ τῶ f καὶ 
ἑνὶ τῶ y ὁ ἢ — 30. ἐνάτην A(B), ἐννάτην S Φ4, ὡς συναμφοτέρους 


A, corr. BS 34. 39. ὁ ΑΒ — ὁ ΒΓ AS, distinx. B, ac similiter 


postbac — 37. τῶν ZZ A, distinx. BS, ac similiter posthac 
1» . 





96 


57 


100 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Γ΄. 


τουτέστιν 7) τῶν 4 E ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὃ 4 πρὸς τὸν 
Ζ, ἡ τῶν d Z ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν 4 E ὑπεροχήν, ὅπερ 
τῆς ἐνάτης μεσότητος ἴδιόν ἐστιν. καὶ περιέχουσιν αὐτὴν 
ἐλαχιστοι ἀριϑμοὶ οἱ 0 γ' β΄, μονάδων ὑποκειμένων ὁμοίως 
τῶν ΑΔ B I. [5 αὐτὴ καταγραφή.] 5 

x[. 'H δεκάτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνί- 
σταται. πάλιν τριῶν ἀνάλογον ὄντων τῶν 44 B Γ τοῖς μὲν 
44 B Γ ἴσος ἔστω ὁ 4, τοῖς δὲ BI 0 E, τῷ δὲ Γ ὃ Ζ 
λέγω ὅτι 06 4 E Ζ κατὰ τὴν δεκάτην εἰσὶ μεσότητα. 

Ἐπεὶ γὰρ ὡς συναμφότερος ὃ B Γ πρὸς τὸν I, τουτ- 10 
σειν ὡς ὃ E πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὃ .4 B 
πρὸς τὸν B, καὶ ἔστιν συναμφότερος ὃ Α΄ B ὑπεροχὴ ἣ 
ὑπερέχουσιν οἵ 4 B D τοῦ I, τουτέστιν ἡ τῶν 4 Ζ ὑπερ- 
οχή, ὃ δὲ B, ἡ ὑπερέχουσιν οἵ B Γ' τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν 
E Z ὑπεροχή, ἔστιν ἄρα ὡς 0 E πρὸς τὸν Ζ, οὕτως 1) τῶν 15 
Δ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν E Ζ ὑπεροχήν, ὃ τῇ δεκάτῃ 
συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ ποιοῦσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριϑ- 
uoi οἱ y' B' a', μονάδων ὑποτεϑεισῶν τῶν Α B T. 

Ἔκχκεινται δὲ τοῦ προχείρου χάριν καὶ οἱ ἀριϑμοὶ ἑξῆς, 
καϑ᾽ οὕς ἕκαστος ὅρος τῆς ἀναλογίας πολλαπλασιαζόμενος 20 
ποιεῖ μεσότητα ἑκάστην, καὶ παράκεινται οἱ ἐλάχιστοι περι-- 
ἔχοντες αὐτάς. οἷον ἐπὲὶ τοῦ τῆς ἕκτης μεσότητος πλινϑίου 
ὁ μὲν πρῶτος στίχος ὃ α' y B' σημαίνει τοῦϑ᾽ ὅτι ὃ πρῶτος 
ὅρος τῆς ἀναλογίας ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος τρὶς xai ὃ τρίτος 
δὶς συντεϑέντες τὸν πρῶτον τῆς μεσότητος ὅρον ἀποπλη- 25 
οοὔῦσιν. ὃ δὲ δεύτερος τοῦ πλινϑίου στέχος ὃ a' β' α΄ ση- 
μαΐνει ὅτε ὃ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύ--: 
τερος δὶς καὶ ὃ τρίτος ὅπαξ τὸν δεύτερον ὅρον ἀποπληροῦσε 
τῆς μεσότητος. ὃ δὲ τρίτος τοῦ πλινϑίου στίχος ἐπὶ μὲν 


8. ενάτης (sine spir.) A, ἑνάτης B, ἐννάτης S δ. ἡ αὐτὴ κατα- 
γραφὴ del. Hw 6. xy add. S οὕτω ABS (conf. ad p. 99, 9) 
8. roig δὲ ΒΓ A, distinx. BS (paulo ante τῶν 44 B Τ' et et uiv ABF 
recte etiam A) 9. of AEZ A, distinx, BS 40. ὁ ΒΓ AS, distinx. 
B, ac similiter posthac ᾿ 48. οἱ .4BI' — τῶν 4Z A, distinx, BS, ac 
similiter posthac 24. μεσότητας c | A(S), corr. B 33. οἷον Hu, wt 


Coproó róv 88. ὁα y B Β8, ὁ 4ΒΓ AB!S 94. τρὶς S, τρεῖς AB 





LIBER III. PROPOS. 47. 101 


ὃ — . JAN . 
-— T ; id quod nonae medietatis proprium est 
(supra cap. 46). Et hanc complectuntur minimi numeri 
& 3 2, si perinde unitates supponantur « β y. 
XXIII. Decima medietas ex analogia sic constituitur. Prop. 
Sint rursus tres (ermini proportionales 
| | egye 
« δια ἘἘΠβ.- γ, e 
€ 
006—098 --y,e& 
δ ζ Ξε γ; 
dico terminos ὁ & ζ iuxta decimam medietatem 


L 
| 


esse. 
, | T Quoniam enim componendo est 
ξ 


8 — y -n^* 
α - β- ὃ -- ζἵ, οἱ 
B τες - ζ, est igitur 
ν I — “Ξὶ, id quod in decima contingit 


medietate (supra cap. 46). Et banc efficiunt 
minimi numeri 3 92 4, si unitates supponantur α Ó y. 

Sed quo commodior sit conspectus, a nobis et numeri expo- 
siti sunt, cum quibus singuli termini proportionales multiplicati 
unamquamque medietatem, sicut. modo demonstravimus , ef- 
ficiunt, et appositi sunt minimi numeri qui medietates con- 
tinent. Velut in tabula sextae medietatis primus versiculus 
α΄ y f significat primo termino proportionali semel, et se- 
cundo ter, et tertio bis sumptis et horum summa facta pro- 
dire primum medietatis terminum. . Secundus autem tabulae 
versiculus α΄ β΄ α΄ significat primo termino proportionali se- 
mel, et secundo bis, et tertio semel sumptis et horum summa 
facta prodire secundum terminum medietatis. Tertii autem 
tabulee versiculi in reliquis medietatibus simpliciter, ut per- 


25. συνἰϑέντες A(BS), corr. Hu auctore Co 486. ὁ 484, ABSS, distinx. 
Co $7. ὅρος ἅπαξ B9, πρὸς ἅπαξ AS, προσάπαξ B! 39. μεσόν» 
τητος Hw euctore Co pro ἀναλογέας 


102 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Γ. 


"S 7, , € » ς / 
τῶν ἄλλων μεσοτήτων ἁπλῶς, ὡς γέγραπται, συντέϑεται, 
ἰδίως δ᾽ ἐπὶ ταύτης ὃ α΄ α' α΄, καϑὸ προείρηται, σημαένει 
γίνεσϑαι τὸν τρίτον τῆς μεσότητος ὅρον ἐχ τῆς ὑπεροχῆς 7) 


Οἱ περιέχοντες τὰς μεσότητας 


, * 
Mtoortqtes *) τρεῖς ἐλάχιστοι ἀριϑμοί 


ἀριϑμητική 


γεωμετρική 


ἁρμονιχή 


ε 
υπεναντέα 





4. συντέϑεται Hu pro συντιϑέμενος 9.06 4A A AB, ὁ «ac S 
*) ad hanc tabulam varietas scripturae tentummodo ex S enotata est ; 
sed cum Commandinus in sua descriptione eosdem errores ac S ex- 
hibeat, ceteros codices fere consentire efficitur **) sequitur in S 


LIBER ΤΙ. 103 


scriplum est, componuntur; proprie autem in hac sexía me- 
ditate versiculus α΄ α΄ α΄, sicut supra (propos. 23) dictum 
esi, significat tertium medietatis terminum effici ex differen- 


. Terminorum 
Medietates | comparatio 


Ó — δα 4-38 4 y 
arithmetica €m &-d4-28 y 
[x BY 


óÓ-— 04-928--y | 






Terni minimi numeri qui 
medietates continent 












geometrica 







d 3c 38 
harmonica € Ξε 28 Ὁ y 
ζΞ β 7 












— —M———— —ÓM——— 


Ó —3e-F38-y 
















contraria 
; € — 2a 4- 28 -- y 
harmonicae ὲ τε By 
zot498--y 
quinta €z «4-28 --y 
| b 8-y 
ὄτεα - 8β- 37 
sexla € & 4-28 -- y 







septima 







Ü — 3e --38--y 
€ € 4-28 y 
ζω 3 y 


Ó-— ac28y 
nona ἐξ € B --y 
P - Bty. 


óc αἰ βὲγ 
decima FE BTYy 
ξ Ξε y 










undecimus ordo ««' cum una nota «: vide Co ***) numeri huius 
columnae variis rationibus in S turbati sunt, cuius corruptelae speciem 
exhibet Commandinus 4) pro sex α΄ S Co nihil habent nisi Z£ ἀττι- 
xoc τ) pro δ΄ in S legitur « 


104 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


ὃ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὃ δεύτερος ἅπαξ 
συντεϑέντες ὑπερέχουσιν ἅπαξ ληφϑέντος τοῦ τρίτου. oi 
δ᾽ ἐκ τῆς τρίτης τοῦ πλινϑίου ἀριϑμοὶ οἱ c' δ' α' τὴν με- 
σότητα περιέχουσιν αὐτήν. [ὡς γὰρ Ó δεύτερος ὅρος πρὸς 
τὸν πρῶτον, τουτέστιν ὡς GL τέσσαρες μονάδες πρὸς τὰς ὃ 
ξξ, οὕτως ἣ ὑπεροχὴ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν δεύτερον, τουτ- 
ἐστιν ἡ τῶν ἕξ μονάδων παρὰ τὰς τέσσαρας ὑπεροχή, αἵπερ 
εἰσὶ μονάδες δύο, πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ δευτέρου ὅρου παρὰ 
τὸν τρίτον, τουτέστι τῶν τεσσάρων μονάδων παρὰ τὴν μίαν, 
αἵπερ εἰσὶ μονάδες τρεῖς. ἕκάτερος γὰρ λόγος (ἑκατέρου) 10 
ὑφημιόλιος" αἵ ve γὰρ τέσσαρες μονάδες τῶν ἕξ καὶ δύο 
τῶν τριῶν τὸν αὐτὸν ὑφημιόλιον περιέχουσι λόγον.] τὰ δ᾽ 
ὅμοια καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πλινϑίων νοείσϑω. 

58 xb. Τὸ δὲ τρίτον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε. 

Ἔστω τρίγωνον ὀρϑογώνιον τὸ .4BDU ὀρϑὴν ἔχον τὴν 15 
B γωνίαν, καὶ διήχϑω τις ἡ 444, καὶ κείσϑω τῇ 4B ἴση 
$ 4E, καὶ δίχα τμηϑείσης τῆς ΕΑ, κατὰ τὸ Z καὶ ἐπι- 
ζευχϑείσης τῆς ΖΙΓ δεῖξαι συναμφοτέρας τὰς 4ΖΓ δύο πλευ-- 
ρὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου μείζονας τῶν ἐκτὸς συναμφοτέρων 
τῶν BAT πλευρῶν. 20 

Καὶ ἔστι δῆλον. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΓΖΑ͂, τουτέστιν αἱ ΓΖΕ, 
τῆς ΓΑ͂ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ 4E τῇ .48, αἱ ZA ἄρα 
δύο τῶν ΓΑ͂Β μείζονές εἰσιν. 

59 — 'H» δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως. 
ὀρϑογωνίου τυχόντος ὑποκδιμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι ση-- 25 
“μεῖον ἐντὸς τοῦ τριγώνου, καὶ ἀπ᾽ αὐτοῦ δύο εὐϑείας ἀγα-- 
γεῖν, μίαν μὲν τέμνουσαν τὴν BI, τὴν δὲ λοιπὴν dni τὸ P 
ἐρχομένην, ὥστε συναμφοτέρας μείζονας εἶναι τῶν ἐχετός, 


2. χαὶ ante ληφϑέντος add. S 3. ἐκ τῆς τρίτης (scil. μερίδος) 
Hu, extrae (sic) A(B!), ἐχτὸς B3, ἐχ S oí H 4 4 AB!S, corr. B? 
&. ὡς γὰρ — 12. λόγον interpolatori tribuit Hu δ. τέσσαρες S, 


4 AB 1. ἔξ BS, :-α ὑπεροχὴν Α, v erasum in B, et abest a S 
40. post ἑχάτερος add. τὴν μέαν A!, expunx. A?  éxarfgov alius qui- 
dam interpolatis iam verbis imperite inseruit 414. xÓ' add. 8 
45. 46. τὴν B y[[[[[]|| διιήχϑω τίς A 47. δίχα τμηϑείσης B* Sca, 
διχὰ ruj[/[|[[[ A, tot fere litterarum lacuna in B!S 48. δεῖξαε συναμ- 


LIBER III. PROPOS. 38. 105 


tia, qua summa termini proporlionalis primi semel, secun- 
dique semel sumpti superat tertium terminum. n tertia 
autem iabulae parte numeri 6 4 4 ipsam medietatem conti- 
nent. [Namque ut secundus terminus ad primum, ita est 
prima differentia ad secundam, id est 4 : 6 22 6— 4:4 — 4 
— $2:3. Utraque enim proportio (scilicet 4: 6 et 2:5) 
subsesquialtera est, quippe cum et 4 unitates ad 6, et 2 ad 
8 eandem subsesquialteram proportionem contineant.] Simi- 
lia etiam de reliquis tabulis mente percipiantur. 

Tertium problema !) hoc erat. 

XXIV. Sit triangulum orthogonium af», angulum f re- Prop. 
ctum habens, et ducatur quaedam αὖ, ponaturque δὲ — af, 
ei, cum δὰ in puncto 
C bifariam secta sit et 
iuncta Ly, demenstre- 
tur summam laterum 
0b Cy, quae sunt in- 
tra triangulum, maio- 
rem esse summáà la- 
terum fa ay. 

Hoc quidem ma- 
nifestum est.  Quo- 
niam enim est 
γζ -- ζὰ 7» γα, id est γζ -- Ce 7» ya, et δὲ — afl, est igitur 
γζ -ἰ- be -- δ, id est γζ -- CÓ o» ya -- af. 

Rectius autem idem βίᾳ proponi poterat. Triangulo ortho- 
gonio quovis af» supposito sumatur punctum quoddam intra 
triangulum, et ab eo duae rectae ducantur, quarum una ba- 
sim fy secet, altera ad punctum y tendat, earumque summa 
maior sit summá exteriorum /aterum, scilicet ut is cui pro- 


8 ὃ y 


4) Conf. supra p. 84 adnot. 4. 


φοτέρας He, àJ//]]]!/]]]l][ A, 9.............. BS — dvo πλευρὰς) πλευρὰς τὰς 
coni. Hu 341. αἱ ZA ΑΒ, lineolam sub α om. 8 αἱ ante IZE 
add. Hu $3. αἱ γζα ἄρα S, in quo γξζό (sic recte AB Co) restituit 
$ca 38. συναμ(οτέραι (sine acc.) A, corr. BS 


106 : IIATITIOY ZYNATOTH2 T. 


ἵνα δηλονότι [ὃ προταϑεὶς) διάξας τυχοῦσαν τὴν 244 xoi 
ϑεὶς τῇ 418 ἴσην τὴν 4E καὶ τεμὼν δίχα τὴν E-4 κατὰ 
τὸ Ζ ἀποδείξῃ τὸ Ζ σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα. ἐπει- 
ζευχϑείσης γὰρ τῆς ΓΖ δύο at ΓΖΔ δύο τῶν ἐχτὸς ΓΑ͂Β 
μείζονές εἰσιν. ἀλλ᾽. ὅτι τοῦτο μέν, ὅπως ἂν τις ἐϑέλοι δ 
προτείνειν, ἀπειραχῶς δείκνυται δῆλον, οὐκ ἄκαιρον δὲ 
καϑολικώτερον περὶ τῶν τοιούτων προβλημάτων διαλαβεῖν 
ἀπὸ τῶν φερομένων παραδόξων '"Egvxivov προτείνοντας 
οὕτως. 

60 κε΄. Ἐν παντὶ τριγώνῳ, πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἐσο-- 10 
σκελοῦς τοῦ τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχοντος, δυ- 
νατόν ἐστι συσταϑῆναί τινας ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς δύο 
εὐθείας ἴσας ταῖς ἐχτὸς ὁμοῦ λαμβανομέναις. 

Ἔστω πρότερον ἀνισοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα 
ἔχον τὴν 1Β τῆς ΒΓ, καὶ τετμήσϑω συναμφότερος 7) .4ΒΓ΄ 15 
δίχα κατὰ τὸ 4, xai εἰλήφϑω μεταξὺ τῶν 4 B τυχὸν ση- 
μϑῖον τὸ E, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχϑω 7) EZ, καὶ ἐπ᾿ 
αὐτῆς τυχὸν τὸ H, καὶ τῇ ΕΑ͂ παράλληλος ? HO, καὶ 
ἐπιζευχϑεῖσα ἡ ΗΓ ἐχβεβλήσϑω. ἐπεὲ μείζονες at μὲν EBZ 
τῆς EZ αἱ δὲ ΓΖΗ τῆς ΓΗ͂, συναμφότερος ἄρα 5 EBD20 
μετὰ τῆς ΗΖ μείζονές εἰσι συναμφοτέρων τῶν EZ ΗΓ. 
κοινὴ ἀφηρήσϑω ἡ ZH: μείζων ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ 
ΕΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΗΓΓ, καὶ μᾶλλον τῆς ΗΓ. ἔστω 
συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση ἡ ΗΑ͂, καὶ περὶ κέντρον τὸ H 
διὰ τοῦ 24 γεγράφϑω κύχλου περιφέρεια 7) 41KO τέμνει 25 
δὴ éxavégav τῶν ΓΘ OH, ἐπεὶ ἡ .4Ε, τουτέστιν ἡ OH, 


4. ὁ προταϑείς (is cui problema propositum est?) iure suspectum 
videatur et ab interpolatore additum, qui verbi ἀποδεέξῃ subiectum 
cogitatione suppleri non intellegeret τυχοῦσαν τῆι “4.4 AB!S, corr. 
Β4 9. ϑεὶς] ὃ εἰσ A, ὃ εἷς BIS, ϑεῖς B? 4 8. χατὰ ΖΑ, 
τὸ add. BS δ. ἀλλ᾽ ὅτι Hu pro ἀλλὰ 8. ἐρυχειν ουπροτείνοντας 
Α, ἐρυχκεένου προτεένοντας B!S, ἐρυκεένου προτεέίνοντος B?, corr. Hu 
40. χε Αἱ ἴῃ marg. (8), om. Β 46. τῶν -18Β AS, distinx. ΒΒ 418. τῆε 
À, coniunx. BS 49. ἐπιζευχϑεῖσαπ ἡ H P A?ex ἐπιζευχϑεῖσαπᾳ 

μὲν add. Hu. — 41. τῶν EZHT' A, distinx. ΒΒ 984. χέντρον 
τὸ N AV!, corr. ΒΒΥ2 46. ἑχατέραν τῶν γϑ 97 B* (Co), ἑκα[τερ {{{{{{{|| 
A, éxat£......... ἡ B!, ἑχατέρων τῶν .... S, ἑχατέραν τῶν 4Γ HO Sca 


ἘῸΝ] 


4 
Γ 


LIBER III. PROPOS. 49. 107 


positum est quamcunque rectam aó ducat, factàque δὲ Ξε af 
et δα bifariam sectà in puncto ζ demonstret punctum £ ef- 
ficere problema. Nam iunctà 7C erunt γζ 4- CÓ » ya 4- af. 
Sed hoc quidem, quomodocunque proponere quis vult, infi- 
nite ostendi posse manifestum est; neque tamen alienum vi- 
detur de eiusmodi problematis latius disserere et secundum 
Erycini quae feruntur paradoxa primum sic proponere. 

XXV. In omni triangulo, praeterquam aut in aequilatero, PTOP- 
aut in aequicruri basim minorem a/ferutro latere habente, 
fieri potest ut in basi intra duae rectae constituantur, qua- 
rum summa aequalis sit summae exteriorum. 





Sit primum triangulum non aequicrure af», cuius latus 
«f? maius sit quam fy, et a9 - By bifariam secetur in puncto 
δ, et inter ὃ f sumatur quodvis punctum e, et rectae a paral- 
lela ducatur δζ, in eaque sumatur quodvis punctum 7, et rectae 
&c parallela ducatur n9, et iuncta yy producatur. Quoniam 
sunt 
εβ -- B6 9 eb, et γζ - Cn » yy, erunt igitur 
ef - Bb -- Dy -- Dn, dd est eg e By -- 0n » eb ar yn. 
Communis auferatur 57 ; erit igitur 
εβ -- By *» δὴ - yy, eoque magis : 
» yy. 
Sit ηλ — εβ -- By, et circa centrum ἢ per À describatur cir- 
culi circumferentia Àxo; haec igitur et rectam γϑ' et 97 se- 


108 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ T. 


μείζων ἐστε συναμφοτέρου τῆς EBI, τουτέστιν τῆς H4. 
ἐπεζεύχϑω ἡ ΚΗ λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἣ ΘΗΚ ἴση 
ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ .48ΒΓ. 

Ἔστιν δὲ φανερόν" ἡ μὲν γὰρ HO τῇ AE, ἡ δὲ KH 
τῇ H.4, τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση, xoi γένδταε 5 
ἀπειραχῶς. 

xg. Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν μὲν 
AB ἴσην ἔχον τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΑΓ μείζονα ἑκατέρας αὐτῶν, 





καὶ περὶ κέντρον τὸ Α' διὰ τοῦ B γεγράφϑω κύκλου περι-- 
φέρεια ἡ BEA, καὶ διήχϑω τις ἡ -AEZ τέμνουσα τὴν ΒΓ 10 
ἐχτὸς τῆς περιφερείας, xai εἰλήφϑω ἐπὲ τῆς EZ τυχὸν 
σημδῖον τὸ H, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ém 
αὐτῆς τυχὸν τὸ K, καὶ τῇ .4Ζ παράλληλος ἡ ΚΑ͂, καὶ 
ἐπιζευχϑεῖσα ἡ ΚΙ ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ M, καὶ τῇ EH ἴση 
ἀφῃρήσϑω ἡ ΒΝ’ ἔσται οὖν $ ΑΉ, τουτέστιν ἡ KA, ἴση 15 
συναμφοτέρῳ τῇ 4BN, καὶ λοιπὴ ἡ NT ἐλάσσων τῆς ΚΑ. 
καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν ΘΖΗ τῆς ΘΗ μείζονές εἰσιν, αἵ δὲ ΓΘΚ 
τῆς ΓΚ, συναμφότεροι ἄρα αἱ ΓΖΗ μετὰ τῆς OK μείζο- 
γές εἶσιν συναμφοτέρων τῶν ΓΚ ΗΘ. κοινὴ ἀφῃρήσϑω 7 
ΘΚ’ λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἣ ΓΖΗ μείζων συναμφοτέ- 20 
ρων τῶν ΓΚΗ͂. κοινὴ προσχείσϑω ἡ «ΑΗ συναμφότεροι 


LIBER 1Π|. PROPOS. 49. 109 


cat, quoniam recta «e, id est ϑη, ex consiruchone maior est 
quam αὖ eoque magis maior quam ef 4- y, id est v4. 
lungatur x9; dico esse 39 - 9x zx a - y. 

Est vero manifestum; namque est ϑὴ Ξε ae, et xn 74, 
id est 2» εβ -- fy, et hoc infinite fieri potest. 


XXVI. Sit deinde aequicrure triangulum αβγ, aequali- 
bus lateribus a8 By, quorum utroque maier sit basis cy, et 
circa centrum « per jf describatur circuli circumferentia 
βεδ, et ducatur recta quaedam αδζ, quae rectam fy extra 
cireumferentiam secet!) et sumatur in eG quodvis punctum 
75, et rectae «y parallela ducatur 59, in eaque sumatur 
quodvis punctum x, et rectae oi parallela ducatur ἀκ, et 
iuncta xy producatur ad u"), et rectae &7 aequalis abscin- 
datur f»; erit igitur «5, id est ἀκ, aequalis summae recta- 
rum αβ gv, et reliqua »y minor quam Ax. Et quoniam 
sunt 9ζ -θ 55 » 39$, et y9 -- 9x » yx, erunt igitur 

99 ὸ ὃς poe ὅν, id est γζ - Un --Ἦ 9x » yx 4- 9η. 
Communis auferatur J*; restat 
igitur 

JC 4-0 o» yx 4- xy. Communis addatur a$; ergo 


4) Scilicet, si angulus «y acutus sit, recta &» partim erit intra 
circumferentiam, partim extra. 


*) Rectae x4 magnitudo, ideoque puneti με positio postea demum 
definitur; fit enim xu z vy. 


4. συναμφοτέρου τῆς egy BS, avvegu|///éo]] ]]] [|] Δ, avvauqoréox« 
su ... Bl, συναμφοτέρας ... ... S, in quo τῆς εβγ add. Sca 4. ἐπι- 
ζευχϑὼ (sine acc.) A, corr. ΒΒ 7. xc A! in marg. (BS) 14. ἐχτὸς 
τῆς περὲ in À erasa sunt a manu recenliore, quae figurae appositae 
lineas huc usque traxit et tum ἐχτὸς τῆς περὶ initio proximi versus 
adscripsit 48. 44. xal ἐπὶ rov ζευχϑεῖσα A, corr. ΒΒ — 45. ἡ BH 
(ante ἔσται) A, corr. BS ἔσται οὖν ἡ 4B ASV! cod. Co, corr. BV2 
Co Sca 11. αἱ uiv GHZ AB!SV! cod. Co, corr. B3V? Co 48. αἱ 
yiy B? Co, αἱ HZ ZH A, ai «ys Bi, αἱ qx Cg S, αἱ ἢγ ζη cod. Co, 
al HZ ZTI' Sca 


110 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTH? T. 


ἄρα at ΑΖΙ συναμφοτέρων τῶν ΑΗ HK ΚΓ μείζονές 
εἰσιν. τῶν δὲ ΑΖΓ μείζονές εἰσιν at ΑΒΓ καὶ αἱ 4B 
ΒΓ ἄρα τῶν ΑΗ HK ΚΓ μείζονες. ὧν συναμφότερος ἣ 
BN τῇ 44H. doviv ἴση" λοιπὴ ἄρα ἡ NI μείζων τῶν 
HKI' συναμφοτέρων καὶ μᾶλλον τῆς ΚΙ. κείσϑω οὖν τῇ ὃ 
NI ἴση ἡ KIM, καὶ περὶ κέντρον τὸ K διὰ τοῦ M γρα- 
φεῖσα κύκλου περιφέρεια τεμνέτω τὴν ΓΑ͂ κατὰ τὸ E, καὶ 
ἐπεζεύχϑω ἡ ΚΕ. λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΑΚΞ ἴση 
ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ «ΑΓ. 

Ἔστι δὲ φανερόν. 1) μὲν γὰρ K.4 ἴση ἐστὶ συναμφο- 10 
τέρῳ τῇ ΑΒΝ, ἢ δὲ ΚΞ τῇ KM, τουτέστιν τῇ NI, καὶ 
γίνεται ἀπειραχῶς. 

62 xb. “έγω δ᾽ ὅτι, ἐὰν ἢ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ 
ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον, ἀδύνατον 
ἔσται συσταϑῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός, ἀλλ᾽ αἱ ἐν-- 15 
τὸς ἐλάσσονες ἔσονται. 

Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς 
ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάσσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ 
συνεστατωσᾶν τινες ἐντὸς αἱ ΔΕ ΕΠ λέγω ὅτι ἐλάσσονές 
εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ. 20 

Ἐχβεβλήσϑω ἡ AE ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ AZ. 
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν v ὑπὸ ΒΑ͂Γ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΑ͂, μείζων 
ἣ ὑπὸ ΒΓΑ͂ τῆς ὑπὸ ΖΑ͂Γ. τῆς δ᾽ ὑπὸ ΒΓ. ueiQow ἡ 
ὑπὸ Z444: πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ Z4 τῆς ὑπὸ Z.AA, 
ὥστε καὶ ἡ «42 μείζων τῆς ΖΖΩ. ἐπεὶ μείζων μὲν T) ὑτεὸ 25 


4. μετὰ τῆς ante KT'add. Hu. 2. καὶ ai] χαὶ ABS, αὖ δια 8. 4. ἡ 
ABN ASB3S Co, ἡ αβμ Bí cod. Co 8. ἡ 44K ἴση ABIS cod. Co, corr. B9 
Co Sca 989. τῆι[η ΑΒΓ A, ἡ erasum in B. 44. τῆι MI καὶ ABISVI, 
corr. B?V? Sca 43. KZ A! in marg. (S), om. B 45. post συστα- 
ϑῆναι add. ἐπὶ τῆς βάσεως V? (vid. propos. 39) ταῖς À! ex τὰς 
ἀλλ᾽ αἱ B* Sca, αλλαι (sine βρίψ. et acc.) A, ἄλλαι S 48. τῆι AT 
ASV!, corr. BsV? δια ἐλάσσονα om. AB!V!, add. B«*SV2 91. ἐπι- 
ζεύχϑω AB, corr. S — 5 aj B9S, ἡ 42 AB! 23. post μείζων add. 
ἄρα B*, sed idem p. 413, 3 post ἔσται a scriptore huius propositionis 
omissum est 38. ἡ ὑπὸ Bya V? Co pro ἡ ὑπὸ B4 vij δ᾽ ὑπὸ 
AB, corr. S 33. 94. ἡ ὑπὸ Z4 AS, ἡ ὑπὸ BZ4 Sca, corr. B 
$5. xci ante ἐπεὶ add. B* 








LIBER III. PROPOS. 80. 111 


yb -- ab  αἡ - qx 4- xy. Sed sunt αβ -- By $» oc -- Cy 
(elem. 4, 21) ; ergo etiam 
αβ -4- βγ» an -- ** -- xy. Ex quibus per consiructio- 
nem esi af -- βν — ar; 
ergo subtrahendo 
yy * "x-- xy, eoque magis »y *» xy. lam ponatur 
χμ — »y, et circa centrum x per 4 descripta circuli cireum- 
ferentia. secet rectam yÀ in puncto ᾧ, et iungatur x$; iam 
dico esse ἀκ -- x5 — af -- By. 

Est autem manifestum; namque ec constructione est 
et ἀκ — af -- B», et x5 — xu — vy; atque hoc infinite fieri 
potest. 

XXVII. Quodsi triangulum aut aequilaterum sit, aut Prop. 
aequicrure basim latere minorem habens, dico neque fieri 39 

| posse ut in basi intra duae 
β rectae constituantur, quarum 
summa aequalis 510 summae 
ξ exteriorum, et interiores mi- 
nores esse. 

Sit enim triangulum a6 
aut aequilatrerum, aut ae- 
quicrure basim ey minorem 
quam αβ vel By habens, et 
intra constituantur quaedam 
rectae δὲ 65; dico harum 
summam minorem esse quam 

β ᾿ς ap 4- By. | 
Producatur δὲ ad C, et 
t iungatur αζ. Quoniam ez hy- 
pothesi est. [, Bay τὸ L βγα, 
est igitur [, 8ya *» L Lay. 
Sed est [ ζδα ^ ὁ βγα; 
multo igitur est /, £0a *» [ Cay 
sive Lad; itaque etiam ab 
CÓ. Quoniam angulus otf 
e 7 » maior est angulo βγα, οἱ ex 


112 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ T. 


“428 τῆς ὑπὸ BI, ἡ δ᾽ ὑπὸ ΒΓΑ͂ διὰ τὴν ὑπόϑεσιν / 
ovx ἐλάσσων τῆς ὑπὸ «ΑΒΓ, ἔσται μείζων ἡ ὑπὸ .4ZB τῆς 
ὑπὸ ΒΖ, ὥστε καὶ ἡ 4B μείζων τῆς 4Ζ. ἡ δὲ AZ 
τῆς Z4 ἐδείχϑη μείζων καὶ 7) 4B ἄρα τῆς 4Z xal πολλῷ 
μᾶλλον τῆς AE μείζων. ὁμοίως δὲ δειχϑήσεται καὶ ἣ ΒΓ ὃ 
μείζων τῆς ΕΗ ἐλάσσονες ἄρα εἰσὶν αἵ HEA τῶν ABI. 

63 χη. "Eq! ov μέντοι τριγώνων ai ἐντὸς ἴσαι συνίσταν- 
ται ταῖς ἔχτος, ἐπ᾽ ἐχείνων καὶ μείζους τῶν ἐχτὸς Bvróg 
τινες εἶναι δύνανται συναμφότεῤαι λαμβανόμεναι. 

Ἔστωσαν γὰρι0 
β ἐν τῷ ΑΒΓ τρι- 
ἢ γώνῳ αἱ 4ΕΖ ἴσαι 
ταῖς ABT, καὶ àx- 
βεβλήσϑω uia τῶν 
ἐντὸς ἡ 4 éni τὸ 15 
Η, καὶ μεταξὺ τῶν 
ὥ 7 EH εἰλήφϑω τυ- 
χὸν σημεῖον τὸ Κ, 
xai ἐπεζεύχϑω ἡ KZ: ἔσονται δὴ αἱ A4KZ μιείζονες τῶν 
4ΔΈΖ, ὥστε καὶ τῶν ΑΒΓ. δῆλον δ᾽ ὅτι, κἂν ἐντὸς τοῦ 20 
ΒΓ τριγώνου τὸ K σημεῖον οὕτως ληφϑῇ ὥστε τὰς 4EZ 
περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ἀπ᾽ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ 4 Ζ ἐπιζευγνυμένων, 
ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ οὕτως ἔσται τὸ 
αὐτό, καὶ ἑκατέρως ἀπειραχῶς ἔσται τὸ προκδίμενον. 

θ4 κϑ΄. Καὶ τούτου παραδόξου δοκοῦντος εἶναι τοῖς ἀγεω-- 25 
μετρήτοις ἔτι παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συν- 
αμφότερον συναμφοτέρῳ, ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνιστα- 
μένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι δύνασθαι 
καὶ μείζονα κατὰ μίαν. δείκνυται δ᾽ οὕτως. 


6. τῆς EH) in.A littera H vix differt ab Ν᾽ αἱ H4 τῶν AB 
AB! (et, ut videtur, cod. Co), ef ἢ ὃ τῶν afy S, al 4EH τῶν ABT 
Co Sca, corr. ΒΕ 17. KH A! in marg. (S), om. B 46. 47. μεταξὺ 
τῶν EN AB!S, pro N corr. ἡ B3 Sca — 24. οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) 
39. ἐπὶ rà 42 ADB!, distinx. Β8 25. KG A! in marg. (S), om. B 
26. μόνον συναμφοτέρου AS cod. Co, corr. B Co 39. δ᾽ οὗτος A, 
corr. BS 


LIBER III. PROPOS. 84. 89. 113 


hypothesi angulus f»a non minor quam angulus of», erit 
igitur angulus αζβ maior angulo afy sive a5; itaque etiam 
af * ab. Sed demonstrata est αζ 7» CO ; ergo etiam af *» C6, 
eoque magis o *» δε. Similiter demonstrabitur esse etiam 
By ?» &5; ergo sunt δὲ -t- ey «; ap 4- By. 


XXVIII. In quibus autem triangulis duae intra rectae P 
uná sumpíae aequales constituuntur summae exteriorum, in 
. his etiam duae intra esse possunt unà sumptae maiores 
summá exteriorum. 

Sint enim in o6» triangulo δὲ -ἔ- εζ — αβ -- fy, et pro- 
ducatur altera rectarum quae intus sunt de ad ἡ punctum 
concursüs cum f», et inter 8 ἢ sumatur quodvis punctum x, 
et iungatur xb; erunt igitur ὄχ 4- x5 δὲ - eC, ideoque 
etiam » af -- fy. | 

Apparet autem, etiamsi intra triangulum «fy punctum x 

ita sumatur, ut 

óc εζ compre- 
hendantur a re- 
ctis quae a x ad 

ὃ ζ ducuntur, ut 

descriptum — est 
y in altera figura!), 

idem contingere ; 
et in utroque casu propositum infinite fieri poterit. 





XXIX. Et cum hoc mirum esse videatur, multo etiam Prop. 
magis mirabuntur ii qui geometriam non callent, non solum 
summam rectarum quae intra constituuntur summae exterio- 
rum aequalem esse posse vel summam summáà maiorem, sed 
etiam utramque interiorum utrique exteriorum aequalem esse - 
posse vel utramque utráque maiorem.  Demonstratur autem 
hoc modo. 


4) Rectas δὲ εἢ óx xi punctis delineavimus, quo significaremus ac- 
curatam linearum rationem perspicuitatis causa teneri non potuisse; 
multo autem longius a vero abest figura in codice tradita. 

Pappus I. 8 


114 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


ὙὙποκείσϑω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν .4B τῆς ΒΓ μὴ 
ἐλάσσονα ἔχον, τὴν δὲ ΑΓ ἑκατέρας αὐτῶν μείζονα, καὶ 
περὲ κένερον 
β τὸ 4 διὰ τοῦ 
B κύχλου zt&- 5 
e.gépeia  ye- 
D γράφϑω ἢ 
ps $9 BEZ, xoi 
εἰλήφϑω με-- 
μ o? ταξὺ αὐτῆς 10 
καὶ τῆς ΒΓ 
εὐϑείας τυ- 
χὸν σημεῖον 
τὸ 4, καὶ 
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 44 4Γ. ἐπεὶ 7) μὲν 44 μείζων τῆς .4 15 
καὶ διὰ τὴν ὑπόϑεσιν τῆς ΒΓ, ἡ δὲ ΖΔΓ ἐλάσσων τῆς ΒΓ, 
ἐὰν ἐκβαλόντες τὴν AT τῇ ΒΓ ἴσην ϑῶμεν ἑκατέραν τῶν 
40 4Κ, Ó περὶ κέντρον τὸ 4 διὰ τῶν Θ K γραφόμενος 
κύκλος τεμεῖ τὴν 41Ζ. τεμνέτω κατὰ τὸ H, καὶ μεταξὺ 
τῶν 44 H εἰλήφϑω τυχὸν σημεῖον τὸ Δ δῆλον δὴ ὅτε 20 
. ἐπιζευχϑείσης τῆς ΔΛ ἑχατέρα τῶν 424] 2.1 ἑκατέρας τῶν 
AB ΒΓ ἔσται μείζων. 

65 A. "Mv δὲ ϑέλωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην εἶναι, δε- 
ἥσει τὴν μὲν 4 τῆς 4.8 μείζονα ὑποϑέσϑαι, τὴν δὲ ΒΓ 
τῆς B.4 ἐλάσσονα. 25 

Ἐχέτω yàp οὕτως, καὶ ὁμοίως ἡ BEZ περιφέρεια ye- 
γράφϑω, καὶ τὸ 4 σημεῖον εἰλήφϑω, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν 
αἱ 4.4 AT, καὶ τῆς AT" ἐκβληϑείσης τῇ ΒΓ ἴση κείσϑω 


6. 7. ἡ ZEB ABS, corr. Co 48. τῶν OK ^, distinx. BS 
49. τὴν AZ A, sed ex 4 factum esse videtur 4, unde τὴν di BSV!, 
quod corr. V? (cod. Paris. 4369 cum A consentit in τὴν αἢ 40. τῶν ΔΗ 
A, distinx. BS τυχὸν τὰ σημεῖα À, τυχόντα σημεῖα B8S, corr. Bt 
τὸ .4 Hu auctore Co, τὰ 4M Α, τὰ λ μ BS ἐπιζευχϑείσης τῆς 
4.4 Hu auctore Co pro ἐπιζευχϑεῖσα τῶν “2 aM ABSV!, τῶν δὰ 
du V?, rov 14 4M Co, corr. Hu auctore Co 93. 44 A! in marg. 
(S), om. B 38. τῆς dy V? Co pro τῆς ΒΓ 





LIBER IIl. PROPOS. 38. 115 


Supponatur triangulum αβγ, cuius latus af non minus 
sit quam βγ, et basis «y utroque maius, et circa centrum 
a per 8 circuli circumferentia describatur βεζ, et sumatur 
. inter hanc et rectam fy quodvis punctum ὃ et iungantur αὖ 
Óy. Quoniam ec constructione αὖ maior est quam af, ideo- 
que propter hypothesim maior quam By, et dy minor quam 
By (elem. 4, 24), si produxerimus rectam óy et ipsi f» 
aequalem fecerimus utramque àJ ὄχ, circulus circa centrum 
à per puncta 9 x descriptus secabit rectam a0.  Secet in 
puncto ἢ, et inter a ἢ sumatur quodvis punctum À; appa- 
ret igitur, iunctà δὰ, esse αὖ maiorem quam ae, et λδ 
quam βγ ἢ). 

XXX. Quodsi utramque ἑπίογϊογηη utrique exteriorum Prop. 
aequalem esse velimus, necesse erit rectam ay maiorem quam δ 
af, et 4γ minorem quam «f supponere. | 





Sic igitur constructum sit, et similiter ac supra circum- 
ferentia βεζ describatur, et punctum ὃ sumatur, et δα dy 
iungantur, et productà ὃγ ipsi gy aequalis ponatur ὄχ, et 


*) Sic nos partim ex coniectura, quam librarius codicis B fecit, 
partim Commandino auctore et Graeca verba et Latinam interpretationem 
correximus, cum duarum rectarum 4d Óu constructio ex proxima pro- 
positione prave huc translata esse videatur. Ceterum in figura apposita 
ipsam speciem, quae in codice exstat, servavimus, quo corrupta etiam 
codicis scriptura, nec non altera Commandini coniectura intellegi posset, 
qui haec quoque adnotat: "vel sí placet etiam duo puncta sumere, ita 
legemus: et inler ἃ ἡ puncta sumantur ἃ u. perspicuum est, iunctis λδ 
ép, singulas ipsarum αὖ δὰ vel ad Jp singulis αβ By maiores esse". 

Li S* 


66 


116 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΙΏΓΗΣ T. 


ἡ AK, καὶ ἡ ΚΗΘ περιφέρεια κατὰ τὸ αὐτὸ γραφεῖσα 
τεμνέτω τὴν 444 κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ .4Ζ κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ 
δὲ μείζων ἣ 4B τῆς ΒΓ, ἔσται καὶ τῆς 4G μείζων. xsi- 
σϑω αὐτῇ ἴση T 4.4, xal περὲ κένερον τὸ 4 διὰ τοῦ 4 . 
περιφέρδια γραφεῖσα τεμινέτω τὴν ΑΠΠὺἕψὄΟ κατὰ τὸ M. φα-ὅ 
νερὸν δὴ ὅτι ἐπιζευχϑεῖσα δκατέρα τῶν £M 4H ἴση ἔσταε, 
δχατέρᾳ τῶν .4B ΒΓ. 

λα. Μᾶλλον δ᾽ ἂν ἐπιταϑείη τὸ παράδοξον, δὲ μὴ μό- 
γον ἴσαι ἢ μείζους. ὁπιλῶς εἶεν αἱ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς 
τοῦ τριγώνου συνιστάμεναι τῶν περιεχουσῶν δύο πλευρῶν, 10 
ἀλλὰ καὶ λόγον ἔχοιεν πρὸς αὐτὰς τὸν ἐπιταχϑέντα. 

Κατεσκευάσϑωσαν γὰρ αἱ EZK ἴσαι ταῖς ΑΒΓ (votso 
γὰρ ὡς δυνατόν ἐστι γενέσϑαι [διὰ τῶν πρώτων] εἴρηται 
ἐν ἀρχῇ), καὶ τὸ μὲν II δίχα τεμνέτω συναμφότερον τὴν 
ABI, ἣ δὲ ΘΖΗ παράλληλος ἤχϑω τῇ .4Γ [καὶ ἡ ΖΕ δὲ 15 
παράλληλος ἔστω τῇ B.4], καὶ τῷ δοϑέντι λόγῳ ὃ αὐτὸς 
ἔστω ὁ τῆς [4B πρὸς 44, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχϑω 
ἡ ΠΝ, καὶ ἐπὶ τῆς A4MN σημεῖον εἰλήφϑω τὸ IM, ὥστε 
τὰς δι᾽ αὐτοῦ ταῖς B.4 ΒΓ παραλλήλους ἀγομένας τὰς MO 
M περιλαμβάνειν τὸ Ζ. ἔσται δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς 20 
ΑΒΓ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς EZK, πρὸς συναμφότε- 
ρον τὴν ΑΧ1 NT, τουτέστι πρὸς συναμφότερον τὴν OMA, 
δοϑεὶς λόγος: ἐν ἄρα τῷ OMA τριγώνῳ ἐντὸς οὖσαι αἵ 
EZK πρὸς τὰς OMA περιεχούσας λόγον ἔχουσι τὸν ἐπι- 
ταχϑέντα. 25 


$9. τὴν 44 Co Sca pro τὴν 4B4 4. καὶ add. Hu auctore Co 
6. τῶν 4M MH ABSV!, corr. V? Sca (τῶν M4 4H voluit Co) 
8. λα add. S 48. did. τῶν πρώτων om. Co (orta esse videtur haec 
corruptela ex glossa διὰ τὸ xe, i. e. propos. 29) 44. τὸν μὲν FI 
&jlllillll][]]]qórtoov A, τὸν μὲν .......... συναμφότερον B, τὸν μὲν z, 
et cetera ut B, S, corr. Hu 15. ἡ δὲ $04 V? (ἡ dà HZOG Co) pro 
ἡ δὲ GHz 45. 46. χαὶ ἡ ΖΕ — τῇ ΒΑ͂ interpolatori tribuit Hu 
447. ὁ τῆς ΑΒ πρὸς B.4 ABSV! cod. Co, corr. V? Co τῇ .4I add. 
Hu 18. ἡ ΜΝ καὶ ἐπὶ τῆς .4ZN. ABSV! cod. Co, corr. Co (ἡ du» 
corr. etiam V2) 49. 90. τὰς M6 M4 ABSV! cod. Co, corr. V? Co 
33. τὴν 4.4NT' ABS, distinx. Co 48. δοϑεὶς λόγος) exspectamus λό- 
γος ὁ αὐτὸς τῷ δοϑένιε 44. πρὸς τὰς 48Γ ABSV! cod. Co, corr. V? €o 








. LIBER ΠΠ. PROPOS. 84. 117 


circumferentia χηϑ ea quam diximus ratione descripta secet 
rectam αὖ in 9, et ab in ἡ. Tam recta af, quia maior est 
quam fjy, maior etiam erit quam 93.  Ponatur ipsi af aequa- 
lis δά, et circa centrum ὃ per ἃ circumferentia descripta se- 
cet rectam «n in u. Apparet igitur, iunctis Óp Óm, esse 
ὃὅμ — of, et δη — βγ. 

XXXI. Sed magis etiam admiratio intendatur, si recta- Prop. 
rum intra triangulum in basi constitutarum summa non so- ' 
lum simpliciter aequalis 510 summae laterum duorum ipsas 
comprehendentium vel maior eádem summá, sed etiam ad 
eam summam datam proportionem habeat. | 





Construantur enim εἷζ -4- Dx — af -- gy (hoc enim fieri 
posse initio [propos. 29] demonstratum est), et punctum zr 
summam rectarum αβ 4- fy bifariam secet, et rectae «y 
parallela ducatur 252, et datae proportioni aequalis sit αβ : a4, 
et rectae «y parallela ducatur Au», cuius punctum μι ita su- 
matur, ut rectae uo μδ parallelae ipsis ga f» ductae punc- 
tum D circumplectantur. lam, quia datae proportioni a: a4 
propter parallelas ἂν ay aequalis est By : vy, est igitur summá 
antecedentium consequentiumque factà (elem. 5, 42) 

aB ^ «Bg - By € 
«À ^ «à vy! oU 4- ud! 
ergo in triangulo ouó rectarum, quae intus sunt, sb 0x 
summa ad laterum ou uó, quae ipsas comprehendunt, sum- 
mam habet datam proportionem. 





118 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHSZ T. 


Ἐπεὶ δὲ δεῖ τὴν ΑΗ͂Ν ἀνώτερον πίπτειν τῆς HO, δεῖ 
τὴν B.4 τῆς 44.4 ἐλάσσονα εἶναι ἢ διπλασίαν (ἐπεὶ xai 





τῆς 44II ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία), ὥστε καὶ τὸν δοϑέντα 
λόγον δεήσει. ἐλάσσονα εἶναι τοῦ διπλασίου. δῆλον δ᾽ ὅτι, 
ὅσῳ ἂν ἡ μὲν .4B τῆς BU πολλαπλασία γίνηται, ἡ δὲ B5 
γωνία ἀμβλύνηται, μᾶλλον αἱ EZK τῷ διπλασίῳ συν- 
εγγιοῦσι λόγῳ, xal μᾶλλον, εἰ μὴ ἴσαι εἶεν αἱ EZK ταῖς 
ΑΒΓ ἀλλὰ μείζους αὐτῶν, καὶ φανερόν, εἰ καϑέτου ἀχϑεέ- 
σης τῆς ΜΞ πρὸς τὰς OMA συγκρίνονται. δυνατὸν δὲ καὶ 
χαϑ᾽ ἑτέρας ἐφόδους τὸ αὐτό, ἀλλὰ πρὸς ἔνδειξιν ἱκανὸς 10 
ὃ τρόπος οὗτος. | 

67 AB. Οὐ μόνον δ᾽ ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἵ 
εὐθεῖαι συνίστανταε συναμφότεραι μείζους τῶν ἐχτὸς αἱ 
ἐντός, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τετραπλεύρου δύο τῶν τριῶν καὶ 
τρεῖς τῶν τριῶν, καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι πολυπλευροτέρων 15 
ὁμοίως ὁσαιδὴ αἱ ἐντὸς ὁσωνοῦν τῶν ἐχτὸς μείζους εἶναι 
δύνανται. ^ 

"4v γὰρ ἢ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἐν ᾧ συνίστανται cà 4EZ 


4. τὴν .4MN Co pro τὴν Μ 3.8. ἐπεὶ --- διπλασέα om. Co 
3. τῆς J41I Hu pro τῆς 4 Θ 8. φανερόν Hu pro μᾶλλοο εἰ coni. 
Co, ἔτι AS, ἐπὶ B cod. Co 9. συγχρινόμενα ABS, συγκρινόμεναε 
vel avyxo(voutv coni. Co, corr. Hu 49. 1β' add. BS 45. ἔτι A? 
ex ἐπι 46. ὅσαι δὴ ABS ὅσων οὖν AB, coniunx. S 

* 


LIBER III. PROPOS. 35. 119 


Sed quoniam rectam Au» supra rectam ηζϑ' cadere opor- 
(ον (alioquin enim rectae op, μὸ non. comprehenderent ipsas 
& 0x, id. quod in constructione supposuimus) et quia ea pro- 
ps. 29 sequitur rectam «L9. supra s cadere, ideoque est 
0À » cm * «n, aique ex hypothesi est 
αβ -- By 
c7 


3. 
v c τ; itaque etiam datam proportionem minorem 


esse oportebit quam 2 : 4. Apparet autem, quo maior fiat 
proportio a8 : βγ magisque obtusus angulus αβγ, eo magis 
proportionem εζ -- bx : oj - μὸ appropinquare proportioni 
2:1*), et magis etiam, si summa εἷζ 4- Cx non aequalis sit 
summae αβ -- 8y sed maior quam illa, idque manifestum 
fit, si perpendiculari ductà μὲ rectae && 5x cum op u$ com- 
parantur?). Idem etiam aliis modis effici potest; sed ad de- 
monstrationem satis est haec ratio quam supra ingressi sumus. 


“ 4 às T" 
— τ ilaque!) — T; necessario igitur est 


XXXII. Non solum autem in trianguli basi rectae intus Prop. 
constituuntur, quae simul sumptae maiores sunt exterioribus, δ 
sed etiam in quadrilatero duae uná sumptae tribus exterio- 
ribus, et tres tribus, et similiter in polygonis quae plura 
etiam latera habent quotcunque interiores quotcunque exte- 


rioribus maiores esse possunt. 
Nam si sit triangulum αβγ, in quo δὲ -- e construun- 


4) Ad haec supplenda viam praemonstravit Commandinus ; sed il- 
lius ratio aliquanto, opinor, impeditior est. 


*) "Quo enim αβ magis superat Sy, eo punctum z magis accedit 
ad « et proportio βα ad αλ augeri potest, ut ad duplam propius ac- 
cedat" Co. 


2) Hoc loco scriptor supponere videtur aut ipsarum «f 8y magni- 
tudinem non variari (quae est Commandini sententia) , aut summam 
ag 4- By eandem manere. Hoc igitur si statuimus, primum redit illa 
hypothesis ' "quo maior fit proportio «8: By" ; accedit autem altera "quo 
magis, manentibus «8 8y, angulus «gy obtusus fil". Sic enim scriptor 
existimat magis magisque rectas og ud imminui posse, et ita quidem, 
ut semper tamen rectas εξ ix, quae ipsae magis magisque augeantur, 
intra se contineant. Quod ope perpendicularis u£ demonstrari posse 
significat. Acutissime haec sine dubio sunt observata et digna quae 


latius exponantur. 


120 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


μείζονες τῶν ΑΒΓ καὶ διαχϑῇ 7) ΠΘ τυχοῦσα ὑπὲρ τὸ E, 
μείζονες ἔσονται αἱ 4ΕΖ τῶν ΑΠ IIO ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓ 





& ὃ t mmu y 


τετραπλεύρῳ. κἂν τυχοῦσα κλασϑῇ ἡ 4KE, oi τρεῖς ὁμοῦ 
ot 4K KE EZ τῶν τριῶν τῶν 4117 IIO ΘΓ μείζους ἔσον- 
ται. κἂν πάλιν κλασϑῇ ἡ ΠΗΘ, μείζους ἔσονται oí 4EZ 5 
xai ἔτι αἱ AK KE ΕΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΙ ΠΗ HO ΘΓ 
ἐν πενταπλεύρῳ. κἂν ἔτι χλασϑῇ ἢ EAZ, μείζους ἔσονται 
τέτταρες αἱ ΖΚ KE Ε“ 44Z τῶν τεττάρων τῶν AIL ΠΗ ΗΘ 
ΘΙ. κἂν ἡ ΠΗ͂ΨΘ κλασϑῇ, κἂν ἔτι πρὸς πλείω σημεῖα 
τῶν H Ψ καὶ τῶν Καὶ 24 7 κλάσις γένηται, τὲ αὐτὸ συμ-- τὸ 
βήσεται. καὶ ἐπὶ τὸ ἄπειρον, ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ τὰς 
ἐντὸς ὁσωνδὴ τῶν ἐχτὸς εἶναι μείζους, τῷ αὐτῷ τρόπῳ 
κατασχευασϑήσεται. 
68 λγ. Δυνατὸν δὲ καὶ τὰς ἐντὸς ὁσαισδὴ ταῖς ἐκτὸς 
περιλαμβανούσαις πάσαις ὁμοῦ πάσας ἴσας εἶναι. 15 
Κατασκευασϑεισῶν ydQ, ὡς προδέδεικται, τῶν HO OK 
ΚΑ. μειζόνων ὁσωνδὴ τῶν .4B ΒΓ Γά 4Ὲ ΕΖ, ἂν 


4. τῶν AII ΠΟ ΘΓ iv τῶι AII H A (item BS, nisi quod απη), 
corr. Co — 5. x&v Hu auctore Co pro xol (xol πάλιν &»v V?) ἡ IIHO 
Co pro ἡ H6 (ἡ πϑ V?) 5—9. αἱ AEZ | τῶν ]] ]K(?) JG ΘΓ ἐν 
πενταπλεύρωι καὶ ἔτι αἱ ΖΚ KE EAM AZ || 198 9r xà» ἡ 
IIH ΨΘ cet. A et similiter BSV, duae ΖῈ EZ itemque tres 4K KE EZ. 
maiores quattuor .4II ΠΗ͂ ΗΘ ΘΓ in quinquelatero, et si inflectatur EL4Z, 
erunt et quattuor 4K KE E44 AZ maiores quam quattuor Α Π ΠΗ͂ ΗΘ 
GI. at si inflectatur ΠΗΨΘ cet. Co, reliqua corr. Hu (αὖ ὄχεξ τῶν 





LIBER ΠΠ. PROPOS. 86. 121 


tr maiores quam «af? -- y, et quaevis recta z ducatur 
supra e, in quadrilatero az:9y erunt 
δὲ -- εζ 7» az -- z9 -- 9y. 
Et si quaevis linea ὅχδ inflectatur !), in eodem quadrilatero erunt 
Óx - κε -- eb 7» om -- πϑ 2- 95. 

Et rursus si inflectatur πηϑ, in quinquelatero ἀπηϑγ erunt 

ds -- &5, itemque Óx -ἐ- xe - &b » az -- πὴ - 29 -ἰ 97. 
Et si insuper inflectatur δλζ, erunt quattuor inferiores quat- 
tuor eacterioribus maiores, scilicet 

Óx -t- X6 -- EÀ -- ἀξ am -- πὴ -ἰ ηϑ -ἰ 9γ. 

Εἰ si inflectatur πηψϑ, et si ad plura etiam puncta quam 
ἣΨ et x ἃ inflexio fiat, idem continget. Atque in infinitum, 
quotcunque quis rectas interiores exterioribus quotcunque 
mores esse iusserit, eadem erit construendi ratio. 

XXXIII. Fieri etiam potest ut summa interiorum recta- P 
rum summae quotcunque exteriorum aequalis sit. 





? t 


Si enim construantur, sicut modo demonstratum est, 
rectae n9: 9x xÀ ἀμ uná sumptae maiores quam quotcun- 


4) Id est, si super rectam de quivis angulus dxe constituatur, ita 
scilicet, ut punctum x sit inter de et απ. 


απνϑγ ἐν πενταπλεύρῳ xol ἔτι αἱ dx χε tà AQ τῶν ἀπνψϑγ. x&v ἡ 
zwwy cet. V2) 40. τῶν HU A, distinx. BS τῶν Καὶ 44 Hu, τῶν 
K4 A Co (distinx. BS) 43. ὅσων δὴ ABS τῶν αὐτῶι À, COIT. 
BS 4144. 4T Ai in marg. (BS) ὅσαις δὴ ΑΒΒ 45. περιλαμβανο- 
μέναις ABSV!, corr. V? 47. μείζων AB, us(tov S, corr. ἥν. ὅσων 
δὴ ABS, οὐσῶν coni Co 








122 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ T. ; 


κλασϑῇ ἡ BNAE τῷ ἴσῳ μείζων τῆς BIAE, γεγονὸς ἔσται 
τὸ προχείμενον. 
69 λδ΄. “Ῥάδιον δὲ ἀπὸ δύο σημείων τῶν B E κλασαι τὴν 
BNAE καϑόλου τῇ δοϑείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων 
. 10 πλῆϑος δοϑὲν ἔχουσαν. 5 
Ἔστω γὰρ và μὲν 
δοϑέντα σημεῖα τὰ Α 
B, ἡ δὲ δοϑεῖσα τῷ 
μεγέϑει εὐθεῖα 4T μεέ- 
ζων τῆς 4B, καὶ διη- 10 
: f e y θήσϑω ἡ ΒΓ elg τυχού- 
σας εὐϑείας τὰς ΒΖ AE 
ΕΓ μιᾷ ἐλάσσονας τοῦ τῶν κλασμάτων πλήϑους, καὶ ἡ μὲν 
AOB κεκλάσϑω τῆς Α͂Β ὑπερέχουσα τῇ B4 (ὅάδιον γὰρ 
ποιῆσαι), 7 δὲ ΑΗΘ κεχλάσϑω τῆς 410 ὑπερέχουσα τῇ 15 
AE, ἡ δὲ ΑΖΗ κεκλάσθω τῆς ΑΗ ὑπερέχουσα τῇ ED- 
ἔσται δὴ τὸ πλῆϑος τῶν .4Z ZH HO ΘΒ ἴσον τῷ δοϑέντι, 
xol ἣ ἐκ πασῶν συγκειμένη εὐθεῖα ἴση τῇ .4Γ. εὔκολον 
γὰρ ἐκ τῆς κατασχευῆς τοῦτο συνιδεῖν καὶ ὅτι ἀπειραχῶς 
γίνεται. 20 
70 λε΄. “υνατὸν δὲ καὶ παραλληλόγραμμον εὑρεῖν, οὗ ἐπὶ 
τῆς βάσεως ἐντὸς εὐθεῖαι δύο συνίστανται ταῖς περι- 
ἐχούσαις τρισὶν ἴσαι καὶ μείζους αὐτῶν προδιδαχϑέντος 
τοῦδε. 


ξ 4] 





4. ἡ BN KE AB (ἡ Bv te S), coniunx. Co 3. λδ΄ hoc loco 
add. Hu, idem paulo post ante Ἔστω exhibent ABS τῶν BE A, di- 
stinx. BS 7. 8. τὰ AB AB, distinx. S 48. τὰς ΒΩ Co pro τὰς 
Br 48. τοῦ τῶν Αἱ ex τούτων 48. 44. ἡ μὲν A0B Hu, ἡ μὲν 
42: ““ (quasi sit finis propositionis, et tum ineunte proximo versu) 
-H A, ἡ μὲν a£ BIS, ἡ μὲν at B (Co) 44. τῆς 48] τῆς ΛΗ͂ Co 
ὑπερέχουσαι., ABS, corr. Hu auctore Co 45. post τῆς 48 ὑπερέχουσα 
add. τῆι B4 ποιῆσαι ἡ δὲ ΗΘ κεχλάσϑω τῆς ΔῊ ὑπερέχουσα AB3S, 
corr. Co (idem voluit Bi, qui spuria illa omittit, sed pro 49 habet a) 
46. ἡ δὲ 40B κχεκχλάσϑθω τῆς 418 voluit Co (conf. adnot. ad Lat.) 
49. τοῦτό τε Coni. Hu. 34. ΔῈ Alin marg. (B, om. 5 82. 93. av»- 
έστανται --- ἴσαι Hu auctore Co pro συνιστὰν — ἴσας 


LIBER III. PROPOS. 37. 38. 123 


que αβ By γὸ δὲ eL. .., et inflectatur B»5e*) inflexcam βγδὲ 
superans aequali differentia atque inflezca ηϑκλμ superat αβγδεζ 
(propos. 37), factum erit propositum. 

XXXIV. Facile autem est a duobus datis punctis (μέ PIDP- 
B 8 in superiore propositione) inflectere omnino quamlibet li- 
neam (velut modo βνξε), quae datae cuidam aequalis sit et 
datum numerum singularum rectarum contineat. 

Sint enim data puncta α f, et recta magnitudine data 
«y maior quam of, et dividatur gy in quaslibet rectas β 
δὲ €y..., quarum numerus uno minor sit dato numero sin- 
gularum rectarum, e quibus inflexa componenda sit, et in- 
(lectatur «958 rectam ef superans ipsà 80 — hoc enim fa- 
cile fieri potest!) — et αηϑ' inflectatur rectam a3 superans 
ipsàá δὲ, et αζὴ inflectatur rectam «* superans ipsà ey "Ὦ ; 
erit igitur numerus rectarum αζ ζὴ 29. 98... aequalis dato 
numero, et recta quae ex omnibus componitur aequalis ipsi 
«y. Facile enim haec ita fieri, et quidem infinite, ex con- 
siructione perspicitur. 

XXXV. Fieri etiam potest ut parallelogrammum  inve- FTOP- 
niatur, cuius in basi intus duae constituantur uná sumptae 
aequales tribus quae ipsas comprehendunt, vel maiores iis- 
dem, hoc prius demonstrato. 

*) Paulo commodius ex recentiorum usu scribi poterat 'et inflecta- 


tur βνξε ita, ut sit Bv -- vE -- Ee — (By -- yÓ -- δὲ) z «9 -- 9x 4- xÀ 
λμ — (a8 -- By τ Ἣ γδ- δὲ -- eC)". | 


4) Scilicet in recta αβδ ita sumatur quodvis punctum 3, ut ex 
rectis αϑ 90 «8 construi possit triangulum «98. Paulo latius haec ex- 
plicat Commandinus. ' 


**) Unam codicis pravam scripturam (vid. Graec. p. 123, 13. 14) reti- 
nens Commandinus plura alia, quae sanissima sunt, corrupit hunc in 
domum: "et «(x quidem inflectatur adeo, ut superet a" quantitate lineae 
po, ano vero inflectatur, ut superet «9 quantitate de, οἱ «98 superet αβ 
ipsa ey". Nos autem nihil nisi manifestam illam codicis corruptelam 
mutavimus, reliqua autem servavimus, quae commodius ex nostratium 
usu sic perscribuntur: "construantur 

c9. 4- 98 — af 4- BÓ 
αἡ 4 59 — «9 7 δὲ 
αξ - ζὴ τ «n - ἐγ" unde sponte efficitur esse 
αζ τ ζὴ κτηϑιϑβεαβαβδ- δὲ - ἐγ 
ΞΞ αγ. 


124 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


Ἔστω ἡ 4B τῆς ΒΓ δοϑείσῃ μείζων ἢ ἐν λόγῳ * ἀγα- 
γεῖν παράλληλον τῇ AT τὴν 4E καὶ ποιεῖν ἐν τῷ λόγῳ 
τὴν 4414 πρὸς συναμφότερον τὴν 4Ε ΒΓ. 





ὥ 7 


Γεγονέτω. ἐπεὶ ἡ 4B τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἐσεὶν 
ἢ ἐν λόγῳ, ἔστω λόγος τῆς 4 πρὸς τὴν ΒΓ μετὰ δοϑεί- 5 
σης" ἔστω τῆς Z. ὃ δ᾽ αὐτός ἐστιν καὶ τῆς 44 πρὸς 
τὰς 4E ΒΓ καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΒΔ λόγος πρὸς τὴν τῶν 
2 AE ὑπεροχὴν ὃ αὐτός ἐστίν. καὶ ἔστιν δοϑεῖσα ἡ Ζ᾽ 
δοϑεῖσα ἄρα καὶ ἡ 4E ««« ϑέσει ἄρα ««» ὥστε καί, ἂν 
ἡ 48 τῆς ΒΓ μείζων ἢ ἢ διπλῆ, δυνατὸν ἔσται ἀγαγεῖν 10 
παράλληλον τὴν 4E καὶ ποιεῖν τὴν 44 διπλῆν συναμφο- 
τέρου τῆς 4E ΒΓ. 

71 Ag. Ἐκκείσϑω δὴ τοιοῦτον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ὥστε 
τὴν μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζονα εἶναι ἢ διπλασίαν, τὴν δὲ 
AT τῆς ΓΒ διπλασίαν, καὶ ἤχϑω παράλληλος ἡ 4E που- 15 
οὔσα τὴν 444 διπλασίαν συναμφοτέρου τῆς 4E ΒΓ, καὶ 


4. δοδεῖσαι ABS!, δοϑεέσης cod. Paris. 3868 S2, corr. Hu auctore Co 
4. ΑΓ τὴν add. Hu ποιεῖ ABS, corr. Hw auctore Co 8. τὴν ΚΖ 
πρὸς συναμφότερον τὴν 4E AT. AS, τὴν Ox πρὸς συναμφότερον τὴν δὲ 
ἐγ B, corr. Co 4. γέγονεν τω Al, corr. A? δοϑείση AB, δοϑεέσης 
S 1. τὰς ΔΈΒΓ A, distinx. ΒΒ 71. 8. τῶν ΖΖ4Ὲ ABS, dislinx. Co 
8. ὁ αὐτός ἔστιν add. Hu auctore Ὁ ἡ ΖΑΒ, ἡ ζ 8 post? Z 
nullum lacunae signum posuimus, quanquam in Latinis nonnulla sup- 
plevimus; haec enim Graecus scriptor cogitatione addenda esse putavit 
neque diserte expressit 9. ««9Gt. ἄρα «««] de lacunis, quarum 
nullum est vestigium in Graecis codicibus, vide Latina 48. 4g Αἱ 
in marg. (BS) 46. τῆς ΕΒΓ ABS, distinx. Co 





LIBER IIl. PROPOS. 89. ᾿ 126 


Triangulo αβγ specie dato!) sit recta of, comparata cum 
By, datà maior quam in datá proportione?2): proposttum sit 
rectae oy parallelam de ita ducere, ut in eadem proportione 
sit ad : δὲ -- By. - 

Factum iam sit. Quoniam ef, comparata cum (jy, datà 
maior est quam in daía proportione, uic :psi aequalis sit 
proportio rectae ag ad gy unà cum alia data, quae sit 59. 
Sed secundum id quod factum iam esse posuimus est 





d P7 IA ergo eliam subtractione facta datae 
proportioni aequalis est 
pa 


P—4 Et data est b, dataque proportio Bó : δὲ (est 
eim aequalis proportioni Ba : ay, quae ex hypothesi data est) ; 
ergo δὲ magnitudine data est3). Sed eadem etiam positione 
(est enim parallela. rectae ay) ; datum est igitur punctum ὃ wx» 

x» ergo, si sit af : By *» 2, parallela δὲ ita duci po- 
leri, ut sit «à : δὲ -- By — 2**. 


XXXVIl. Exponatur igitur eiusmodi triangulum, ut sit Prop. 
af * 28y, eV. ey τ 2fy, et ducatur rectae ay parallela δὲ 
Ha, ut sit «0 — 2(ds -i- y), et in producta ya ponatur ζὰ — 


4) Haee nos propter ea quae sequuntur addenda esse censuimus. 


2) Id est, si data proportio significetur notá P, dateque vecta d, 
"sit «8 — d: By τὰ P". Vide Euclid. dat. def. 44 et auciores infra ad 
VII cap. 26 in adnot. ad IV versionis Lat. citatos. 

«8 —d eg 


*) Significat scriptor ex aequationibus P — 5i 


. / 
ζ Ξε ἐν i - $ Geometricam demonstrationem ex ratione veterum 
supplet Commandinus: vide append. 








definiri 





3) Verba a nobis addita "dataque proportio 8d : &e" cet. conveniunt 
cum iis quae initio supplevimus (conf. Euclid. dat. def. 3). Illis autem 


quae supra leguntur suppositis, scilicet datis P Ξξ DE et p P. 





et datá ipsá ζ, facile efficitur datam esse δὲ — , unde prodit 


PP 
P--p 
simplicior illa formula, quam in appendice exhibemus, δὲ Ξε Pap 


**) Vide append. 


126 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHRS T. 


τῆς 4E διπλασία κείσϑω ἐπ᾽ εὐθείας ἡ 4Z, καὶ συμπε- 
πληρώσϑω τὸ ΤῊ παραλληλόγραμμον κε 

Ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΖΑ͂ διπλασία ἐστὶν τῆς 4E, ἡ δὲ 
AT' τῆς ΓΒ, ἔσται ὅλη ἡ ΖΓ, τουτέστιν ἡ ΗΒ, διπλασία 


λ 


$ c 9 y 


συναμφοτέρου τῆς 4E BI- ἴση ἄρα ἐστὶν τῇ 444. ἐπειδὴ 5 
ἡ 4414 τῆς ΒΓ μείζων ἢ διπλασία, κατήχϑω ἡ 40 διπλα- 
σία τῆς BI: ἴση ἄρα ἡ 4O ταῖς HZ ΒΓ. ἐδείχϑη δὲ 
xci ἡ 444 τῇ HB ἴση" αἱ 440 ἄρα ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΒ 
BI, καὶ ἔστιν παραλληλόγραμμον τὸ ZHBT. 

4ῆλον δ᾽ ὅτι καὶ μείζους αἱ 440 τῶν ZH ΗΒ ΒΓ τὸ 
δύνανται εἶναι. 

Καὶ ληφϑέντος σημείου τινὸς τοῦ K μᾶλλον αἱ .4K 
ΚΖ 40 μείζους τῶν éxvóg. 

Καὶ εἰ, ὅσῳ μείζους εἰσίν, κλασϑείη ἡ Η..18 τῷ αὐτῷ 
μείζων τῆς ΗΒ, ἔσονται καὶ αἱ ΑΚ ΚΖ 40 ἴσαι ταῖς 15 
ZH H.A .18 ΒΓ ἐν πενταπλεύρῳ. xai ἐπὶ τῶν πολυ- 

πλευροτέρων ὃ ὁ αὐτὸς τρόπος, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀπὸ τυ- 
χόντος τετραπλεύρου συνισταμένων προδέδεικται. 

72 λζ΄. Ἕπεται τοῖς προειρημένοις καὶ τὰ τοιαῦτα. δο- 
ϑέντος παραλληλογράμμου χωρίου δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν 20 
ἕτερον παραλληλόγραμμον, ὥστε αὐτὸ μὲν τὸ ἐπιταχϑὲν 
μέρος εἶναι τοῦ δοθέντος, ἑκάστην δὲ πλευρὰν ἑκάστης 
πολλαπλασίαν κατὰ τὸν δοϑέντα ἀριϑμόν. 


3. lacunam, cuius nullum vestigium codices exhibent, explevimus 
in Latina versione 4. τῆς ΓΒ Co pro τῆς D4 5. τῆς 1Ε ΒΓ 


LIBER III. PROPOS. 40. 127 


2 de, et compleatur parallelogrammum 08; dico in basi pa- 
rallelogrammi ζηβγ duas rectas constitui posse, quarum summa 
aequalis sit summae trium parallelogrammi laterum ipsas com- 
prehendentium , itemque duas recias, quarum summa maior 
sit. quam summa, eorundem laterum. 

Quoniam enim est ζὰ — 3δδ, et oy — 3βγ, erit tota 
by, id est ηβ — 2(0: -- By), ideoque n8 — aO. Quia est 
αὃ - 2(0s5 -- By), id est »» 28y, ducatur 09 — 268y; ergo 
09 — ηζ -- By. Sed etiam demonstrata est αὃ — vf; ergo 
αὃ -- 09 — ζη 4- 2f -- By; et est parallelogrammum ζηβγ. 

Apparet autem fieri etiam posse ut ad 4- 0-2: maiores sint 
quam £m» -F 7f -- By (conf. supra propos. 54). 

Et si quoddam punctum x (extra αὃ à9, sed intra pa- 
rallelogrammum) sumatur et inflectatur oxó, eo magis «x -- 
χὸ -- 02 maiores erunt exterioribus ζη 4- ηβ -- fy. 

Et si super ηβ linea ηλβ ita inflectatur, ut sit 

ηλ -- λβ — ηβ — ox 4- x 4- 03 — (5n -- 28 -- By), 
erunt etiam in quinquelatero 

€X -- χὸ 4- 09 — Un -- ηλ -- AB 2- By. 
Et in polygonis quae plura etiam latera habent eadem valet 
ratio, sicut iam supra (propos. 35. 56) in rectis quae a quo- 
vis quadrilatero constituuntur demonstratum est. 

XXXVII. Ad ea quae dicta sunt accedunt etiam alia Prop. 
huiusmodi. Dato parallelogrammo rectangulo aliud parallelo- ὰ 
grammum eiusmodi inveniri potest, ut ipsum sit proposita 
pars dati parallelogrammi, singula autem latera singulorum 
dati parallelogrammi laterum multipla sint secundum datos 
numeros ἢ). 


4) Τὸν δοϑέντα ἀριϑμόν scriptor significat simplicem proportionis 
numerum; supponit igitur singula latera alterius parallelogrammi ad 
latera dati parallelogrammi esse in proportione dupla vel tripla etc., 
nec tamen ignorat etiam aliam quamcunque proportionem, velut 3: 2 etc., 
sumi posse. 


— 


Copro τῆς 4EB 8.75.44 Hupro ἡ 44 ἴση add. Hu auctore Co 


15. αἱ om. AS, add. B 4ὅ. 46. ταῖς ZHH.A ABBF' Α, distinx. BS 
41. ὅσπερ AB, ὅπερ S, quemadmodum Co, corr. Hu 49. λζ΄ add. BS 





^ 128 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ T. 


Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφϑω 
ἑκατέρα τῶν ΕΔ 4Z πολλαπλασία ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ 
κατὰ τοὺς δοϑένεας ἀριϑμούς, καὶ ἤχϑω τῇ 4E πρὸς Óp- 

.9àg ἡ EK, καὶ ἀπειλήφϑω τὸ ὑπὸ ΔῈΚ τὸ ἐπιταχϑὲν 


9 x A 
L0] L—Rd— 
€ 


μέρος τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου, xai διὰ vob Καὶ τῇ 4E5 
παράλληλος ἤχϑω ἣ ΘΚΑ͂, καὶ περὲ κέντρον τὸ 4 περι- 
φέρεια γραφεῖσα 7) ΖΗΘ τεμνέτω τὴν OK.4 κατὰ τὸ Θ 
καὶ ἐπιζευχϑείσῃ τῇ 40 παράλληλος ἤχϑω ἡ ΕΑ͂. δῆλον 
δ᾽ ἐκ τῆς κατασχευῆς ὅτι αὐτὸ μὲν τὸ 4.4 παραλληλό- 
γραμμον τὸ δοϑὲν μέρος ἐστὶν τοῦ ΑΓ ὀρϑογωνίου, ἑχάστη 10 
δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς προτε- 
ϑέντας ἀριϑμούς. 

73 λη. Πάλιν τριγώνου δοϑέντος ἔλασσον εὑρίσκεται τρί- 
γωνον ἑκάστην ἔχον πλευρὰν ἑκάστης μείζονα. 

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓΙΓ, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ ΒΓ 15 
βάσις ἐφ᾽ ἑκάτερα μέρη, καὶ κείσϑω τῇ μὲν 418 ἴση ἡ 
B4, τῇ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ περὶ τὴν 4E εὐϑεῖαν τῷ 
ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσϑω τὸ 4H, καὶ 
εἰλήφϑω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν τὸ Θ. ἐπεζεύχϑω- 
σαν αἱ ΘΖ OH. καὶ ἐπεὶ ἴση doviv ἡ 4 τῇ BA, μεί- 30 
ζων ἄρα ἐστὶν ἡ 4O τῆς B.4. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι 
καὶ ἣ EO τῆς .4I μείζων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ZH τῆς ΒΓ 
μείζων oi τρεῖς ἄρα αἱ ΘΖ ZH ΗΘ κατὰ μίαν μείζονές 
εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ͂. ἐπεὶ δὲ τὸ 4H παραλληλόγραμ- 


$. τῶν ΒΕΓ À, distinx. BS 4. τὸ ὑπὸ 4EOK ABS, corr. Co 
5. τοῦ ΑΓ brevius pro τοῦ ΔΒΓ scriptor posuit et hic et paulo post 
8. ἐπιζευχϑεῖσαε AB cod. Co, ἐπιζευχϑεῖσα Paris 2368 (επιζευχεῖσα S), 


LIBER III. PROPOS. 44. 129 


Sit enim parallelogrammum «fy, et sumatur eó multipla 
rectae af, et δὲ multipla gy secundum datos numeros, et 
rectae δὲ perpendicularis ducatur ex, et punctum x ita su- 
matur, ut rectangulum δὲ. εκ sit proposita pars parallelo- 
grammi αβγ, et per x rectae δὲ parallela ducatur recta 9xÀ, 
et circa centrum ὃ describatur circumferentia ζηϑ, quae rec- 
tam JxÀ in puncto 9. secet, et iunctae 99 parallela ducatur 
&À. Apparet autem ex constructione parallelogrammum δὲλϑ 
datam partem esse parallelogrammi rectanguli af», et sin- 
gula eius latera singulorum alterius laterum multipla esse 
secundum propositos numeros. 

XXXVIII. Rursus dato triangulo aliud minus triangulum, ΠΡ. 
cuius singula latera singulis dati trianguli lateribus maiora 
sint, invenitur hoc modo. 

Sit enim triangulum αβγ, et basis fy in utramque par- 
tem producatur, et ponatur βὸ — of, et ye — ay, et ex 


7 


recta δὲ construatur parallelogrammum δζηξε triangulo oy 
aequale, et in recta y sumatur quodvis punctum 2, iun- 
ganturque 95 9x. Εἰ quia est βδ — αβ, est igitur 099 *» of. 
Similiter etiam  demonstrabimus esse Je * ay. Sed est 
etiam C» Ὁ fy; ergo singulae 96 £9» $9: maiores sunt sin- 
gulis αβ βγ ya. Sed quia parallelogrammum £e et duplo 


corr. Co 8. 9. δῆλονότι ἔχ A(BS), corr. Hu 40. τὸ δοϑὲν Co pro 
τοῦ do94vrocg ὀρϑογωγνίου] παραλληλογράμμου coni. Co (conf. tamen 
ind. sub χωρέον) 43. 44H A! in marg. (BS) ἑλάσσον B, ἐλάσσων 
λδ τριγώνου 8 44. ἑχάστην ΒΊ, ἑχάστης ABS πλευρᾶς ABS, 
corr. Hu auctore Co 24. τῶν ABBIT.A À, distinx. BS 

Pappaus I. 9 








74 


190 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΩΓῊΣ T. 


μον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, ἀλλὰ τὸ 4 παρ- 
αλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, μεῖζον ἄρα 
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὸ τὰς ἐλάσσονας ἔχον πλευρὰς τοῦ 
ΖΗΘ. 

A9'. Τοῦτο μὲν ἐν τοῖς παραδόξοις φέρεται, γένοιτο ὃ 
δ᾽ ἂν παραδοξότερον, εἰ τὸ μὲν τρίγωνον αὐτὸ εὑρδϑείη 


μέρος τοῦ δοθέντος τριγώνου, ἑκάστη δὲ πλευρὰ ἑκάστης 


πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοϑέντας ἀριϑμοὺς [ὡς ἐπὶ τοῦ 
παραλληλογράμμου προείρηται] ἡ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία. 
"Eovw γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ συνεστάτω τρίγωνον 10 
τὸ EZH ἕκάστην πλευρὰν ἔχον ἑἕχάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ 
πλευρῶν πολλαπλασίαν κατὰ τοὺς δοϑέντας ἀριϑμοὺς [ἢ 
καὶ μείζονας ἢ πολλαπλασίας]), καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ 
μὲν τοῦ Ε περιφέρεια γεγράφϑω ἡ ΕΘΚ, διὰ δὲ τοῦ Ζ 
περιφέρεια ἡ ΖΑ͂, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος 15 
ἤχϑω ἡ KHM, καὶ κάϑετος ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν 
EZ ἡ HN, καὶ ἔστω τὸ ἐπιταχϑὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώ- 
vov τὸ ὑπὸ KIM HII [τοῦτο γὰρ προδέδειχται)], καὶ τῇ 
KM παράλληλος ἤχϑω ἡ OILA, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ HO 
Η.4. φανερὸν οὖν ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι τὸ ΘΗ τρί- 320 
γωνον ἔλασσόν ἔστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ληφϑέντος μέρους τοῦ 
ΑΒΓ (ἐλάσσων γὰρ ἡ ΘΑ͂ τῆς KM), ἑκάστη δὲ αὐτοῦ 
πλευρὰ ξκάστης τῶν τοῦ .4BI' ἢ πολλαπλασία ἢ xal μείζων 
ἢ πολλαπλασία χατὰ τοὺς δοϑέντας ἀριϑμούς (μείζων γὰρ 
ἡ 0.4 τῆς EZ). 25 


5. 469 A! in marg. (B), om. S 7. δοϑέν in A extremum eat 
fol. 24; sequitur rasura versuum duorum et dimidii, tum initio fol. 35 
τος τριγώνου Cet. 8. 9. ὡς — προεέρηται interpolatori tribuit et 
ἢ καὶ — πολλαπλασία add. Hu 40. τὸ ΑΒΓ A! ex τὸ AT 
44. 48. ἢ καὶ — πολλαπλασίας del. Hu (scilicet haec ex margine prave 
huc irrepsisse videntur, postquam paulo supra incuria omissa sunt) 
48. τὸ (ante ὑπὸ) V Co pro τοῦ τοῦτο γὰρ προδέδεικται) "nos con- 
sullo omisimus; neque enim hoc a Pappo ante demonstratum est, sed 
ex elementis petitur" Co 34. 5 add. cod. Paris. 3368 S 33. 3 
πολλαπλασία ἢ καὶ add. Hu (paulo aliter Co: ἑχάστης τῶν τοῦ ΔΒΓ 
ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοϑέντας ἀριϑμοὺς ἢ μείζων ἢ πολλαπλασέα) 





LIBER lii. PROPOS. 43. 131 


maius est quam triangulum ϑζη et aequale triangulo of, 
est igitur triangulum αβγ, quod quidem minora latera habet, 
maius quam triangulum Ji», cuius singula latera maiora sunt. 


XXXIX. Hoc quidem inter admirabilia numeratur; multo Pr 
n 


autem magis mirum fiat, si ipsum quidem triangulum inve- 
niatur pars esse dati trianguli, singula autem eius latera 
multipla singulorum da£i trianguli laterum secundum datos 
numeros [sicut de parallelogrammo supra (propos. 40) demon- 
statum est] vel etiam maiora quam multipla. 

Sit enim triangulum oy, 
et construatur triangulum zeC, 
euius singula latera singulo- 
rum of» trianguli laterum 
multipla sint secundum datos 
numeros, et circa centrum 7 
8 7 per € describatur cireumferen- 
tia eJx, et per 5 circumferentia LAjt et per 7 rectae && parallela 


«€ 


x 


é 





ducatur κημ, et a puncto ἡ ad rectam eb ducatur perpendi- 
cularis jv, et in ea punctum πὸ ita, sumatur, ut rectangulum 
χμ.ηπ sit proposita pars trianguli ey, et rectae x44 parallela 
ducatur JzÀ, iunganturque 729 v4. Apparet igitur ex con- 
structione triangulum 9:54 minus esse quam dimidium propo- 
Sitae partis trianguli «y (est enim 94 minor quam »t, ideo- 
que triangulum 91À minus quam dimidium rectanguli xq - 57), 
singula autem eius latera multipla sunt singulorum trianguli 
afly laterum secundum datos numeros vel etiam maiora quam 
multipla (est enim 95 — £r, et ηλ — mL, et 94 » «&L). 
9* 


op. 
2 


132 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ T. 


75 μ΄. Eig τὴν do9eicav σφαῖραν ἐγγράψαι và πέντε πο- 
λύεδρα, προγράφεται δὲ τάδε. | 

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὃ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος 7) ΑΓ 
καὶ κέντρον τὸ 4, καὶ προκείσϑω εἰς τὸν κύχλον ἐμβαλεῖν 
εὐϑεῖαν παράλληλον μὲν τῇ .4Γ διαμέτρῳ, ἴσην δὲ τῇ do- 5 
ϑείσῃ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς Τ᾽ διαμέτρου. 

Κείσϑω τῇ ἡμισείᾳ τῆς δοϑείσης ἴση ἡ Ed, καὶ τῇ 
ΑΓ διαμέτρῳ ἤχϑω πρὸς ὀρϑὰς ἡ EB, τῇ δὲ ΑΓ παράλ- 
ληλος ? ΒΖ, ἥτις ἴση ἔσται τῇ δοϑείσῃ" διπλῆ γάρ ἔστιν 
τῆς E4 (ἐπεὶ καὶ ἴσῃ τῇ EH, παραλλήλου ἀχϑείσης τῆς 10 
ZH τῇ BE). 

76 μα΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι xvxAou οἱ ΑΙ KA 
BEZT, ἡ δὲ διὰ τῶν B Γ' ἀγομένη εὐϑεῖα διάμετρος ἔστω 
τοῦ κύκλου, καὶ προκείσϑω ἀγαγεῖν διάμετρον τοῦ ΑΙ ΚΩ͂ 
κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ διαμέτρῳ. 15 

Ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν B Γ΄ σημείων ἐπίπεδον ὀρϑὸν 
πρὸς τὸν κύκλον, καὶ ποιήσει τομὴν ΑΒΓΖ μέγιστον κύ-- 
zÀov: ὃ .4BI'4 ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν καὶ 
δίχα τεμεῖ καὶ τὸν Α ΚΖ. $ ἄρα ἐπὶ τὰ 2d 4 ἐπιζευγνυ- 
μένη διάμετρος παράλληλός ἐστι τῇ ἐπὶ và B I. ἔστι δὲ 20 
φανερόν: τετμήσθω γὰρ ἢ ΒΓ περιφέρεια δίχα τῷ Θ ση- 
μείῳ ἐπεὶ οὖν ἣ ΘΑ͂ τῇ ΘΖ ἴση ἐστὶν (ἐκ πόλου γάρ), 
ὧν ἢ ΘΒ τῇ ΘΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ .48 λοιπῇ τῇ L4 ἐστὶν 


41. M. A! in marg. (BS) τὰ πέντε Hu, τε À (fuil igitur in ar- 
chetypo τὰ c), τὲ B, τὰ S $. τάδε et 3. Ἔστω add. Co 5. τὴν 
AT. διαμέτρωι AB, corr. S 7. ἡμισείᾳ τῆς δοϑείσης Co pro δοϑείσῃ 
8. post ἤχϑω add. Α 5, sed del. prima m. — .10. ἐπεὶ add. Hu 
43. M.A A! in marg. (BSj 43. BE ΖΓ ABS, coniunx. Co τῶν BI' 
AS, distinx. B, item vs. 45 46. ixgeBlro9« A, sed litterarum ἐχβεβλ 
incerta tantum vestigia comparent, ....u709« B, ....xe(09«» S ση- 
μεῖον AB, corr. S 47. τὸ μὲν ΑΒΓΔ μέγιστος xvxloc ABS, corr. 
Co Sca 48. πολλῶν A Paris. 2369 cod. Co, corr. BS Co 49. reuei Hu 
pro τέμνει τὰ ΑΔ A Co Sca, τὰ B B!, τὰ a β B3, τὰ af S cod. Co 
20. παράλληλος add. Co Sca rà ΒΓ AS, distinx. B ἔστι δὲ add. 
Co 29. ἴση add. Co ἐχπολλῶν A(BS), àx πόλων coni. Co, corr. 
Co Sca 33. ὧν ἡ Hu, tv A, ὧν B, ὧν 8 καὶ λοιπῆι ἄρα À, corr. BS 





LIBER IIl. PROPOS. 48. 44. 133 
€ 


In datam sphaeram quinque polyedra inscribantur !) ; 
praemittuntur autem haec. 

XL. Sit in sphaera circulus αβγ, cuius diametrus «y et POP 
centrum ὅδ, et propositum sit in circulo construere rectam 
diametro «y parallelam et aequa- 
lem datae cuidam, quae non sit 
maior quam «y» diametrus. 

Ponatur δ aequalis dimidiae 
datae, et diametro «y perpendicu- 
laris ducatur £8, et eidem «ey pa- 
rallela 85, quae datae aequalis erit; 
est enim dupla ed (quoniam ae- 
qualis est rectae δη, siquidem 57 
rectae βὲ parallela ducta sit). 

XLI. Sint in sphaera paralleli circuli «xó βεζγ, et recta Prop. 
per 9 y ducta circuli diametrus sit, et propositum sit dia- 
metrum circuli «xó parallelam rectae fy ducere. 

Ducatur per puncta f y 
planum circulo perpendicu- 


d Z—ÀN lare, quod sectionem efficiet 

β LN maximum circulum o0; 
ς-. τς 7 ergo cireulus αβγδ per polos 
circulorum flet» ax transibit 

a HC 005 0x » “" circulum quoque ακὸ bifa- 
VEENNNU riam secabit (Theodos. sphaer. 
1, 15). Recta igitur quae in- 

ter α ὃ iungitur diametrus est 

ipsi By parallela. Et hoc qui- 

dem manifestum est. Cireum- 

ferentia enim y bifariam secetur in puncto J. lam quia cir- 


cumferentia 9o circumferentiae 99 aequalis est (nam utraque 
ex polo ad diametrum pertinet), et 98 aequalis 9y, per sub- 





4) Hoc quartum est ex problematis principalibus quae Pappus hoc 
libro tractavit: vide supra p. 34 adnot. 4. Quod autem τὰ πέντε πο- 
λύεδρα, i. e. quinque illa polyedra regularia quae vulgo Platonica vo- 
cantur, correximus, satis est Platon, Tim. p. ὅδ et Eucl. elem, 13 
propos. 418—418 citare, 


184 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ T. . 
ϑ 


(0m: παραλληλος ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ ΑἹ 4 διάμετρος τῇ ἐπὶ τὰ 
B Γ᾽ διαμέτρῳ. 

71 Ἔστω δὲ ἡ ἐπὶ τὰ E Z μὴ διάμετρος καὶ προχείσϑω 
διάμεερον ἀγαγεῖν τοῦ ΑΙ ΚΑ, xvxÀov παράλληλον τῇ émi 
τὰ Ε Ζ. 5 

Κείσϑω τῇ ἡμισείᾳ τῆς ὑπεροχῆς ἢ ὑπερέχει ἡμιχύ- 
κλιον τῆς EZ περιφερδίας ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΖΓ ἴση, καὶ διὰ 
τῶν B I γεγράφϑω ὁμοίως μέγιστος ὃ 4ΒΓ4 ἔσται ἄρα 
ἡ ἐπὶ τὰ 24 4 διάμετρος τοῦ 44 Κ4 κύκλου παράλληλος 
τῇ ἐπὶ và E Ζ, ὅτι καὶ αὐτὴ παράλληλος τῇ ἐπὶ «à B Γ΄ 10 

78 μβ΄. Ἔστωσαν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις παράλληλοι 
εὐθεῖαι αἱ 44 ΓΖ, καὶ ἐν τοῖς αὐτοῖς ἐπιπέδοις διήχϑω- 
σαν αἱ .4B ΓΖά ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ διὰ τῶν ΑῈ ΓΖ 
ἐχβαλλομένου ἐπιπέδου ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ 
B.4E AVUZ: ὅτι καὶ αἱ .4B Il παραλληλοί εἶσι, τουτ- 15 
ἔστιν ὅτι ἐκβληϑὲν τὸ διὰ τῶν B 4 Γ σημείων ἐπίπεδον 
ποιεῖ ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΙ᾿ 2 ἐπιπέδῳ τὴν ΓΖ. 

Ei γὰρ ἑτέραν ποιήσει ἐκεῖ, περιέξδι μετὰ τῆς ΓΖ 
γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ B.4E, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον" ἴση γὰρ 
ὑπόκειται ἡ ὑπὸ B.AE τῇ ὑπὸ ATZ. ^. 920 

79 μγ΄. "Ex τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἐν παραλλήλοις ἐπι- 
πέδοις κύκλοι ὦσιν [ὡς ὑπογεγραμμένοι)], καὶ ἐν αὐτοῖς 
παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ 48 I4 ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν E Ζ κέν- 
τρων ὅμοια τμήματα κύκλων ἀπολαμβάνουσαι, παράλληλος 
ἔσται ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ BE τῇ AZ. 25 





4. 2. τὰ 4.1 — rà ΒΓ AS, distinx. B, et similiter posthac cap. 77 

3. διάμετρος S pro διαμέτρωὀ — 8. προσχείσϑω AS, corr. ΒΒ 4. παρ- 
ἄλληλον A*, παράλληλος BS 8. ὁ AB T4 À, coniunx. BS, χύχλος 
ὁ ABT'41 coni. Co 40. avri» παραλληλας A(B), αὐτὴν παράλληλος 5, 
αὐτὴ corr. Co Sca 414. MB Αἱ in marg. (BS) 49. α 4ETZ — 
43. αἱ ABT A et τῶν AETZ A, distinx, BS — 44. ἐπιπέδων ABS, corr. 
Co 46. διὰ τῶν ΑΒΓ ABS, corr. Co 41. διὰ τῶν 1 Γ' Z add. 
Hu 18. Ei Co pro ἐπεὶ 48. 49. τῆς Γά γωνίας ἴσον τῆι ὑπὸ BAT 
ABS, corr. (Ὁ 49. ἀδύνατον add. Hu, ἄτοπον Co 40. ὑποχεέσϑω 
ABS, corr. €o Sca . MF A! in marg. (BS) ἐν add. Hu auctore 
Co 99. ὡς ὑπογεγραμμίνοι del. Hu 293. αἱ 48Γ24 — τῶν EZ A, 
distinx, BS 45. ἡ uiv 40 τῆι TZ ἡ δὲ BI ABS, corr. Co 





LIBER III. PROPOS. 45. 46. 41. 135 


tracionem igitur est αβ aequalis 70; ergo diametrus αὖ dia- 
metro Gy parallela est. 
Sed sit tm circulo eLy recta quaevis eC, quae non sit Prop. 
diametrus, et propositum i 
sit diametrum circuli axó 
ducere  parallelam rec- 

tae &. 

Sumatur | differentia 
semicirculi et circumfe- 

β y  rentiae eb, ac dimidiae 
differentiae aequalis po- 
natur et εβ et Cy, et per 
Py similiter describatur 


& C ————5 ὃ maximus circulus αβγὸ: 


f 


erit igitur circuli ακὸ dia- 

metrus αὖ parallela rectae 

εζ, quoniam haec ipsa 

parallela est diametro 6». 
XLII. Sint in planis parallelis rectae parallelae ae γζ, Prop. 
et in eisdem planis ducantur rectae "6 

ag γδ ad easdem partes plani per ae 

.— f. yb prodücti, quae angulos gae Oy ae- 

c quales faciant; dico rectas αβ yÓ inter 

se parallelas esse, id est, planum per 


^ puncta f « y transiens in plano óyt 
facere sectionem γὸ. 
ὃ Nam si in plano ὃγζ aliam secti- 
y onem faciet, cum recta γζ continebit 


angulum aequalem angulo (aee, id 

i quod fieri non potest; nam ex hypo- 
thesi angulus ee angulo ὃγζ aequa- 
lis est. 

XLII. Hinc manifestum est, si in parallelis planis cir- Prop. 
cui sint, et in his parallelae rectae αβ γδι quae ad easdem 
parles centrorum 8 & similia segmenta abscindant, parallelam 
e&e rectam «6 ipsi γζ, et ge ipsi OL. 


136 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


Ἴσαι γὰρ γίνονται διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τμημάτων αἵ 
τὲ 44 T καὶ αἱ B 4 γωνίαι [ἴσαι ἀλλήλαις), καὶ παράλλη- 
λοι αἱ 4B Γ4 ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις. 

80 μδ΄. "4v δὲ oi τὰ ὅμοια τῶν τμημάτων κύκλων ἀπο- 
λαμβάνουσαι παράλληλοι μὴ ἐπὶ τὰ: αὐτὰ μέρη τῶν xév-5 
τρων ὦσιν, αἱ ἀπὸ τῶν κέντρων ini τὰ μὴ ὁμοίως κείμενα 
πέρατα τῶν παραλλήλων ἐπιζευγνύμεναι παράλληλοι ἔσονται. 

Δείκνυται γὰρ καὶ ὁμοίως ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης 
καταγραφῆς. 

81 με΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι xal παράλληλοι κύκλοι 10 
oL .4B ΓΖΩ͂, καὶ ἐπὲ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ἴσαι καὶ 
παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ' ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα 
αὐτῶν τὰ .4 D, B 4 ἴσαι τέ εἶσιν καὶ παράλληλοι xai 
ὀρϑαὶ πρὸς τὰ τῶν κύχλων ἐπίπεδα. 

Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τῶν προ- 15 
δεδειγμένων- ἐπιζευχϑεῖσαι γὰρ 
αἱ 4E ΓΖ παράλληλοι ἔσονται. 
χαὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις" ὥστε καὶ 
αἱ 4T EZ ἴσαι v& καὶ παράλλη- 
Aot εἰσιν. ὁμοίως καὶ αἱ EZ BA. 30 
καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὀρϑὴ πρὸς τὰ τῶν 
κύκλων ἐπίπεδα (περὲ γὰρ τοὺς 
αὐτοὺς πόλους εἰσίν, καὶ ἢ διὰ 
τῶν πόλων αὐτῶν ἀγομένη ὀρϑή 

ἐστιν πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε 325 
καὶ τῆς σιαΐίρας ἐλεύσεται, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς) " καὶ 
ai 4Γ Β4 ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοι xal ὀρϑαί εἰσι πρὸς 
τοὺς χύκλους. 

82 μς΄. πὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων 








4. 4. αἵ τε Hu pro ἔσται 4, ΑΓ ABS, distinx. Co xal αἱ 
B. AB!S, distinx. B3 ἴσαι ἀλλήλαις del. Hu 3. αἱ 48Γ4 A, 
distinx, BS 4. M. A! in marg. (BS) δὲ αὖ Hu auctore Co pro 
δ᾽ ἐπὶ 40. ME A! in marg. (BS) ἔσοι xal add. Co 42. at 
AB T4 add. idem 43. τὰ III αἱ AT BA ABS, TII αἱ del. Co 
$5. éx«rí£pav ABS, corr. Hu auctore Co 27. παράλληλοι καὶ add. 
Co 98. roig χύχλοις ABS, corr. Hu (nam τοὺς χύχλους recte dici vi- 


LIBER Ill. PROPOS. 48. 49. 50. 137 


Nam propter similitudinem 
segmentorum angulus « angulo », 
et angulus f angulo ὃ aequales et 
θα; hypothesi rectae αβ y parallelae 
sunt in parallelis planis; ergo pro- 
7 δ pler superius lemma efficitur τὰ 

quod propositum est. 

XLIV. Sin vero rectae paral- Prop 
lelae quae similia circulorum seg- 
menta abscindunt non ad easdem 
centrorum partes sint, radii in 
alterutro circulo ad oppositas cir- 
cumferentiae partes producti par- 
alleli erunt radiis alterius circuli. 

Hoc enim demonstratur simi- 

ϑ' liter atque ad superiorem figuram. 

XLV. Sint in sphaera circuli Prop. 
aequales et paralleli αβ γδ, et ad 
easdem partes centrorum aequales 
et parallelae rectae of γδ; dico 
rectas quae earum terminos ἃ y, B ὃ coniungunt aequales et 
parallelas esse et perpendiculares ad circulorum plana. 

Est autem manifestum ex iis quae modo demonstrata 
sunt. lunctae enim rectae ae yb parallelae erunt (propos. 
47). Et sunt inter se aequales (quia ex centris sunt), ita 
ut etiam rectae o» && aequales et parallelae sint. Similiter 
etiam rectae εζ 80. Εἰ est eb perpendicularis ad circulorum 
plana (nam circa eosdem polos sunt, et recta per polos 
eorum ducta perpendicularis est ad utrumque ac per centra 
et ipsorum et sphaerae transibit, ut est in Theodosii sphae- 
ricis 2, 4. 4, 40); ergo etiam rectae «y BÀ aequales sunt 
et parallelae et perpendiculares ad circulorum plana. 

XLVI. Sed non sint ad easdem partes centrorum aequa- POP. 


7 


— 


delur pro τὰ τῶν χύχλων ἐπέπεδα, quod supra legitur) 39. Ms A! 
in marg. (BS) 


188 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ T. 


αἱ ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ 48 ΓΖΩ͂- ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι 
τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ À Δ, B D ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις v6 καὶ 
τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας. 

Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ H, καὶ ἐπεζεύχϑω- 
σαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΔΕ EH καὶ ot 4ΖΖ ΖΗ. ἐπεὶ ὅ 
ἴση ἣ .4B τῇ L4, καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ 244 ΒΓ, 
αἷ δ' ἄρα αἱ AH ΗΔ BH HF ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν- τοῦτο 
γὰρ φανερόν ἐστιν" dove καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ 
καὶ ἢ 4E τῇ “2 ἐστὶν ton [ἐκ κέντρου τῶν ἴσων κύκλων]. 
ἔστι δὲ καὶ [αὐτῇ παράλληλος] ἔση μὲν ἢ ὑπὸ E.4H yw-10 
via τῇ ὑπὸ HAZ, ἐναλλάξ, ἡ δὲ .4H βάσις τῇ Η4 - ὥστε 
xai 7 ὑπὸ ΑΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ 4HZ. κοινῆς 
προστεϑείσης τῆς ὑπὸ EH. γίνονται αἵ ὑπὸ .4HE EHA, 
δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι οὖσαι, ταῖς ὑπὸ ΕΗΖ4, A4HZ ἴσαι [ὥστε 
xci ταῖς ὑπὸ EHA 4HZ δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσας εἶναι)" ἐπ᾿ 15 
εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. καὶ ἴση ἐδείχϑη ἡ ΕΗ 
τῇ ΗΖ' κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους 
ὑποχεῖσϑαι τοὺς χύχλους" διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας at 
A4 ΒΓ, καὶ ἴσαι ἀλλήλαις. 

8. Ἂν δ᾽ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευχϑῶσιν αἱ ΑΓ B4Á,20 
ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις τε καὶ ὀρϑὰς μετὰ τῶν 4B I4 πε- 
ριέξουσιν γωνίας. 

Τῇ γὰρ L4 ἴσης καὶ παραλλήλου ἐφαρμοσϑείσης τῆς 
OH, ἔσται ἡ OH ὀρϑὴ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΘΓ Α͂Θ, xai 
πρὸς τὸ αὐτῶν ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ἡ I4: ὀρϑὴ ἄρα dosi» 25 
ἡ ὑπὸ ΑΓΔΩ͂. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί. 


4. xo) add. Hu auctore Co 4. 9. αἱ — 4 4, B l'add. Hu par- 


tim auctore Co — 5. EII xai Co pro EN καὶ Ἵ. αἱ 4 ἄρα] {||} 
ἴσαι A, et hinc lacunae in BS, erunt rectae lineae 8n 7 inter se ae- 
quales Co, αἱ post ἄρα add. B3, reliqua corr. Hw 8. φανερὸν Co 
pro μικρόν. ὥστε xal | q ΠΗ 1 ἐστιν À, eaedemque lacunae in BS, 


ὥστε xci ἡ δη τῆ. . fog ἐστιν B?, ὥστε xo) ἡ 4H τῇ H.A ἴση ἔστε Co, 
corr. Hu 9. ἐκ — χύχλων interpolatori tribuit Hw 10. qum, παρ- 
«Aoc A, αὕτη παράλληλος B, del. Hu 7 add. Hu . τῆι ὑπὸ 
HZ4 ABS, corr. Co Sca ἡ δὲ AH Hu pro ἡ δὲ EH (basis £n basi 
26 Co) βάσις Hu auctore Co pro βάσει 44. ἴσαι add. et ὥστε — 
45. cives, manifestum interpretamentum, del. Hu 45. EH (ante 


AHZ δυσὶν) Co pro E4H 4186. ἡ EIL Co prog] ΕΝ 26. αἱ 4ΓΒΖ4 
A, distinx. BS 34. ἴσαι — τῶν 11} ΓΙ͂ om, Al, add. ΑΣ in marg. 


LIBER III. PROPOS. 54. 139 


ls οἱ parallelae rectae af yÓ; dico rectas quae terminos 
erum α ὅδ, 8 y coniungunt et inter sese et diametro sphae- 
rae aequales esse. 


Secent enim inter se in puncto 
/ et ad centra ducantur oe δ et 
C Cp. Quoniam ez hypothesi αβ 
jyÓ aequales inter se δὲ parallelae 
el in. planis vtrculorum. aequalium 
et parallelorum sunt, easque rectae 
αὃ fy coniungunt, quattuor igitur 
rectae «7 ηὃ 5 vy aequales sunt 
inter sese; hoc enim manifestum 
, est; ergo etiam αὖ (jy aequales 
sunt. Sed est etiam a6 aequalis 
OL, et, quoniam propter propos. 48 
parallelae sunt «e δζ, angulus δα aequalis angulo ηδζ, et, 
ut modo significovimus, basis em ipsi yÓ aequalis; ergo et 
recla ey rectae «sb et angulus ame angulo δηζ aequalis est. 
Communi apposito angulo egó fiunt 
L «9e -- L εηδ κε L εηὸ - L δηζ. 
Sed ex constructione anguli aye 4- εηδ duobus rectis aequales 
sunt; ergo δῇ nb in eadem recta sunt. Et demonstrata est 
recta δῇ aequalis ipsi ηζ; ergo, quia ex hypothesi circuli 
αβ γδ aequales sunt, punctum ἡ centrum sphaerae est!) ; ergo 
αὃ βγ diametri sphaerae sunt eaedemque inter se aequales. 





Si vero ad easdem partes iungantur rectae ey 89, haeP 


et inter se aequales erunt et cüm af) yÓ rectos angulos con- 
tinebunt. | 

Rectae enim γῇ aequalis et 
parallela in plano circuli yÓ con- 
struatur 35; erit igitur 97 per- 
pendicularis et ad. Jy (propos. 52) 
et ad Ja (propos. 49 vel 52) ; ergo 
etiam ad planum «3» (elem. 11, 4); 
itaque etiam recta yÓ ad idem pla- 
num perpendicularis est (elem. 11, 
8); rectus igitur est angulus αγὸ, 
itemque reliqui. 





1) Hoc Pappus, ut videtur, effici voluit ex Theodosii sphaer. 4, 6 et 7. 


(BS 48. τῆι γὰρ AB, corr. S 34. ἡ 6H Co pro ἡ ΘΑ τῶν 
ΘΓ ΑΓ ABS, τῶν HI' H.A Co, corr. Hu (mutatis scilicet inter se figu- 
rae litteris & οἱ H) 25. αὐτῶν B!, ἑαυτῶν AB3S 


rop. 
51 


140 . ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHS T. 


84 μζ΄. Ἐὰν ὦσιν £v σφαίρᾳ παράλληλοι εὐθεῖαι, ai τὰ 
ὁμοταγῆ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι ἔσονται ἀλλή- 
λαις᾽ ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἵ παράλληλοι, καὶ αὐταὶ παρ- 
ἄλληλοι ἔσονται xci ὀρϑαὶ πρὸς τὰς ὑποκειμένας παραᾶ- 
λήλους. δ 

Ἔστιν δὲ φανερόν: ἐχβληϑέντος γὰρ τοῦ διὰ τῶν παρ- 
αλλήλων ἐπιπέδου γίνεται κύκλος ἐν ᾧ εἶσιν αἵ παράλλη- 
λοι, καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς ἐξ ἀρχῆς παραλλήλους 
ἀνιούσας τραπέζιον ποιήσουσιν - ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἵ 
παράλληλοι, αἵ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς οὐκέτι τραπέζιον 10 
ἀλλὰ τετράγωνον ἢ ἑτερόμηχες περιέξουσιν. 

85 Ἔστωσαν ἂν ὑποκειμένω ἐπιπέδῳ αἱ AB. ΒΓ ᾽ εὐϑεῖαι 
ἴσας περιέχουσαι γωνίας μετὰ τῆς 48Ε ἐν τῷ αὐτῷ κει- 
μένης ἐπιπέδῳ, καὶ ἐφεστάτω ἡ ΒΖ μεϑ᾽ ἑκατέρας τῶν 
“418 ΒΓ ἴσας περιέχουσα γωνίας " ὅτι ὀρϑή ἐστιν τῇ AE. τ: 

Ἤχϑω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον χάϑέτος ἡ ZH, 
καὶ ἐπὶ τὰς .4B ΒΓ αἱ ΗΓ ΗΑ“, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἵ 
AZ ZT HB: αἱ AZ 2Γ ἄρα ὀρϑαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς 41Β ΒΓ. 
καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΒΖ ΓΒΖ γωνέας ἔσαε 
ἔσονται xai αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ ΖΑ͂ ΖΓ, καὶ ΗΑ͂ ΗΓ, καὲϑ3ι 
γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ 4844 
τῇ ὑπὸ EBD ὑπόκειται ἴση" καὶ ὅλη ἄρα ὅλῃ" κάϑετος 
ἄρα ἡ ΗΒ ἐπὶ τὴν 4Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ZH ini τὸ ἐπέ- 
"600v: καὶ ἡ ΖΒ ἄρα κάϑετος ἐπὶ τὴν AE. 


4. Mz A! in marg. (BS) $. post πέρατα repelunt τὰ AS, del. 
B 9. τραπεέζειον A(B!), corr. B?S, item vs. 10 40. παραλλήλοες 
ἐπιζευγνύουσαι AB, παράλληλοι corr. S, a£ restituit Hu 44. τετρά- 
ycvov ἢ add. Co 46. ἐπεὶ AB, corr. S ἐπι} || ΖΗ Α, 
ἐπίπεδον ....... . & BS, χάϑετος ἡ add. Sca, ὀρϑὴ ἡ Co 47. τὰς 
ABBF' A, distinx. BS 417—230. &riéevyo[[[[[[[|[[[[]| | ἔσονται ἐπὶ 
τὰς ΑΒΒΓ καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι [[]||]//[[[]]| | ας ἴσαι ἔσονται καὶ at 
AB ΒΓ À (et similiter cum lacunis BS), xol ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ζα Cy ηβ. 
αἱ (« ὧν ἄρα ὀρϑαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς αβ By ὡς ἐδείχϑη ἐν τοῖς ὀπτικοῖς. 
καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν αβὲ yBC γωνίας cet. Sca, iungantur- 
que ζὰ by mB. erunt ζὰ iy ad «B By perpendiculares. δὲ cum anguli 
«BC; yBC sint aequales cet. Co 43. ὑποχείσϑω ABS, ponitur Co, corr. 
Hu 34, ἐπὶ τῆι 4E ABS, corr. Hu 





LIBER III. PROPOS. 53. 53. 141 


XLVII. Si sint in sphaera rectae parallelae, rectae terminos 
earum ex iisdem partibus coniungentes aequales inter se erunt ; 
si vero parallelae etiam aequales sint, hae quoque quae :ipsas 
coniungunt parallelae erunt et perpendiculares ad illas parallelas. 

Hoc quidem manifestum est. Nam ducto per parallelas 
plano fit circulus in quo sunt eae ipsae parallelae, et quae 
eas coniungunt rectae cum illis initio constructis parallelis 

trapezium efficient; sin autem parallelae etiam aequales sint, 
rectae eas coniungentes non iam trapezium, sed quadratum 
vel oblongum continebunt. 

Sint in plano subiecto rectae a y eaeque cum recta ὅβε, 
quae in eodem plano sit, aequales angulos efficiant, et ad pla- 
num 1nclinata erigatur B5 cum utraque rectarum afl 8y aequales 
angulos efficiens; dico βζ ipsi δὲ perpendicularem esse. 

ὃ Ducatur a puncto ζ ad planum 
subiectum perpendicularis 57, et ad 
t rectas fa y perpendiculares qa my, 
et iungantur a£ Cy vB ; rectae igitur 
Ca Cy perpendiculares erunt ad rec- 
tas αβ 8y**). Et quia ex hypothesi 
d 7 anguli «5 Ly inter se aequales 
sunt, erunt etiam a z y, et 
Da — Dy, et qa — ηγ, et Log — 
L ηβγ. Sed ex hypothesi etiam 
e 7 L ὅβα — L εβγ: ergo etiam 
L ὅβα -- L αβὴ — L «fy --  γβε, 
ideoque 29 perpendicularis est ad de. Sed ex hypothesi recta 
ζη ad planum δὲ perpendicularis est; ergo etiam planum 
Gg ad planum ve perpendiculare, ideoque recta ζβ ad δὲ 
perpendicularis est. 


*) Hanc propositionem Pappi collectioni posterior quidam scriptor 
inseruisse videtur. 


** "Quoniam enim ζῇ perpendicularis est ad subiectum planum, 
eliam planum quod per ηξ ζαὰ ducitur ad idem planum rectum erit 
lelem. 44, 48); ergo ζὰ ad αβ est perpendicularis. Et eodem modo 
perpendicularis ostendetur £y ad yf" Co. Scaliger, quod adnotat ὡς 
ἐδείχϑη ἐν τοῖς ὀπτιχοῖς, Euclidis quae feruntur opticorum propositionis 
37 scholion primum spectavisse videtur. 


Prop. 
»* 


Prop. 
53 


86 


142 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHSZ T. 


μη. Eig τὴν δοϑεῖσαν σφαῖραν πυραμίδα ἐγγράψαι. 
ἘἘγγεγράφϑω καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτῆς ἐν vii 
ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας và Α͂ ΒΓ 4. ἤχϑω δὴ διὰ τοῦ 
4 τῇ L4 παράλληλος ἡ EZ: 
ἴσας δὴ περιέξει μετὰ τῶνδ 
AT 444 γωνίας ἰδκατέραν 
διμοίρου, ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι- 
πέδῳ αὐταῖς οὖσα]. καὶ 
ἐφέστηκεν ἡ .4B ἴσας not- 
οὔσα μετὰ τῶν 4T “44 γω- 10 
᾿ ψίας " διὰ τὰ προδειχϑέντα 
ἄρα ὀρϑή ἐστιν ἣ ΕΖ τῇ 
-AB, καὶ ἐφάψεται τῆς 
. σφαίρας. ἐὰν γὰρ ἐκβληϑῇ 
τὸ διὰ τῶν Z4 AAT ἐπίσε.-- 15 
δον, ποιήσει κύκλον, ἐν ᾧ 
ἰσόπλευρον ἐγγεγράψεται τρίγωνον τὸ Α4Γ,, καὶ τῇ ΓΑΩ͂ 
παράλληλος ἣ EZ: ἐφάψεται ἄρα ἡ EZ τοῦ κύκλου, ὥστε 
καὶ τῆς σφαίρας. ἐκβληϑὲν οὖν τὸ διὰ τῶν ΕΖ 18 ἐπέ- 
πεδον τομὴν ποιήσει τῆς σφαίρας κύκλον, οὗ διάμετρος 20 
ἔσται ἡ 4B. διὰ τὸ ὀρϑὴν εἶναι τῇ ΕΖ ἐφαπεομένῃ ὁμοίως. 
xüv διὰ τοῦ 4 τῇ 4B παράλληλος ἀχϑῇ ἡ ΗΘ, ἐφάψεται 
τῆς σφαίρας, καὶ ὀρϑὴ αὐτῇ ἔσται ἡ DA. κἂν ἐκβληϑῇ 
τὸ διὰ τῶν HO L4 ἐπίπεδον, κύκλον ποιήσει διάμετρον 
ἔχοντα τὴν ΓΔΑ, ἴσον καὶ παράλληλον τῷ διάμετρον ἔχοντι 25 
τὴν .4B: παράλληλοι γὰρ oat ΕΖ I4 xai αἱ .4B ΗΘ. 
ἤχϑω διὰ τοῦ Καὶ κέντρου τῇ 44 ὀρϑὴ ἡ ΑΜ’ παράλληλος 
ἄρα ἐστὶν τῇ JB. κἂν ἐπιζευχϑῶσιν αἱ B.4 BM ,' ἡ μὲν 
BM ὀρϑὴ ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν 48 4M καὶ τοῖς τῶν κύκλων 
ἐπιπέδοις, ἡ δὲ B.4 διάμετρος τῆς σφαίρας (προδέδεοικταε 30 








4. μη add. BS μυραμιδα ΑἹ, nz) superscr. A? 4. σημεῖον» 
AB, corr. S γωνιὧν] ἐπ᾿ AB, γωνιῶν ἐπ᾿ S 8. τὰ 4B TA A, 
distinx. BS 5. δὴ Hu pro δὲ 6. ἑκατέραν — 8. οὖσα interpola- 
tori tribuit Hu 8. x«l super vs. add. A! 9. ποιοῦσασ À, sed ex- 
tremum 6 expunxit prima man. 48. ἐφάψεται A? ex Aqdipseren 
20. τῆι σφαέραι A(BS), ἐν τῇ σφαίρᾳ voluit Co, corr. Hu 21. ἐφα- 


LIBER ΠῚ. PROPOS. 54. 143 


XLVIII. In datam sphaeram pyramis inscribatur. 

Sit iam inscripta, et angulorum eius puncta in superfi- 
cie sphaerae sint «a 8 y δ. Ducatur per o rectae yÓ paral- 
lela €; haec igitur aequales angulos cum «y aó continebit 
(scilicei utrumque duarum tertiarum recti, in eodem plano 
eum ay αὖ posita). Et erecta est «f aequales angulos cum 
ay aÓ (scilicet. utrumque duarum tertiarum recti) faciens; 
ergo secundum ea quae supra (propos. 93) demonstrata sunt 
rectae af perpendicularis est eG, et sphaeram tanget. Nam 
Si planum quod per δὰ ay transit producatur, efficiet cir- 
eulum, in quo triangulum aequilaterum «óy inscriptum erit, 
et ex constructione rectae yÓ parallela est εζ: ergo εζ circu- 
lum tanget, ideoque etiam sphaeram !). Planum igitur per 
εξ αβ productum sectionem sphaerae efficiet circulum, cuius 
diametrus est «f propterea quod af perpendicularis est 
rectae &&, quae similiter ac modo demonstratum est circulum 
quoque «8 tangit. Εἰ si per ὃ rectae of! parallela ducatur 
79, haec sphaeram tanget, eique perpendicularis erit 7ó. 
Et si planum quod per 539 γὸ transit producatur, cireulum 
efficiet, cuius diametrus est γδ, aequalem et parallelum ei qui 
diametrum ef habet; parallelae enim sunt et εζ γὅ et af 
59"). Ducatur per centrum x rectae yÓ perpendicularis ἂμ ; 
haec igitur rectae of parallela est. Εἰ si iungantur 84 fu, 
erit $4 perpendicularis et rectae αβ et ἂμ itemque circulo- 
rum of γλδμ planis, et BÀ diametrus sphaerae (hoc enim 


4) "Quoniam enim e£ parallela est ipsi γδ, si a puncto « ipsi εξ 
ad rectos angulos ducatur ex, secabit ea yd bifariam atque ad angulos 
rectos et per centrum transibit, quare εξ circulum et propterea ipsam 
Sphaeram contingat necesse est ex 16. tertii libri elementorum et 47. 
primi libri conicorum Apollonii" Co. De Apollonii quod citatur theo- 
remate conferendus est Eutocii commentarius. 


Ἢ "Sequitur illud ex 145. undecimi elem.; etenim duae rectae li- 
neae sese tangentes εξ «8 duabus rectis lineis sese tangentibus γὅ ηϑ 
parallelae sunt et non in eodem plano; ergo plana quae per ipsas du- 
cuntur parallela erunt; circuli autem sunt aequales, cum aequales ha- 
beant diametros og yÓ" Co. 





“πτομένη ABS, dativum corr. Co 22. ἐφάπτεταε ABS, corr. Hu au- 
ctore Co 24. διὰ τοῦ ΗΘΓΩ͂ AS, distinx. B, τῶν corr. Hu 26. «i 
EZTIA4 A, distinx. BS 





Prop. 
δή 


88 


144 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


γάρ). καὶ ἐπεὶ ἐπιζευχϑείσης τῆς ΜΓ τὸ ἀπὸ τῆς .4M 
διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς MI, ἔσται καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ 
διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΓΜ. καὶ 
ὀρϑὴ 7) ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἄρα 
ἡ BM τῇ ΜΓ, ὥστε διπλά- 5 
σιον τὸ ἀπὸ 44M τοῦ ἀπὸ 
MB: ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ 
Β.1 τοῦ ἀπὸ AM. xal ἔσειν 
δοϑεῖσα ἡ B4 διάμετρος τῆς 
σφαίρας" δοϑεῖσα ἄρα καὶ 10 
ἡ ΔΙΜ τοῦ κύκλου διάμε- 
τρος. καὶ οἱ κύκλοι ϑέσει, 
καὶ δοθέντα τὰ Α B Γ 4 
σημεῖα. 

Καὶ ἡ σύνϑεσις φανερά" 15 
δεήσει γὰρ ἐν τῇ σφαέρᾳ 
γράψαι δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὦστε τὴν διά- 
μετρον τῆς σφαίρας ἡμιολίαν εἶναι δυνάμει τῆς ἑκατέρου 
διαμέτρου, καὶ ἀγαγεῖν δύο διαμέτρους παραλλήλους τὰς 
ΑΔΒ 44M, Σἑὠὡἧς προεμάϑομεν, καὶ τῇ 44MM διὰ τοῦ κέντρου 20 
ὀρϑὴν τὴν ΓΩ͂, καὶ ἔχειν τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν τῆς πυρα- 
μίδος τὰ .4 B Γ 4. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ 
ἀναλύσει καὶ συναποδέδεικται ὅτι 7) διάμετρος τῆς σφαΐί- 
ρας ἡμιολία ἐστὲ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμέδος. 

u9'. Εἰς τὴν δοϑεῖσαν σφαίραν κύβον ἐγγράψαι. 

Ἐγγεγράφϑω καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας 





— ————— ....--.-. 


. 4. ydg ἐπὶ τῆς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ 
ἐπιζευχϑείσης ἔσται ABS, corr. Hu auctore Co 8. ἀπὸ DM Co pro 
ἀπὸ ΓΒ 5. 6. διπλά [| [n9 -4M A, διπλάσιον ... .. λμ S, corr. 
B 8.9. B.4 τοῦ [//[|| 0993 ἔστιν δοϑεῖσα A(B), fÀ τοῦ ........ ἐστὶ 
δοθεῖσα S, corr. Co 410. 44. (4. dosed////]]/]]/I] - AM A(S), δοϑεῖσα ....... 
ἡ Àp B, corr. (Ὁ — 48. τὰ 4B T4 A, τὰ af y ὃ B, etiam « B distinx. 


S 49. διαμέτρου Hu auctore Co pro διάμετρος . ἔχειν] ex- 
spectamus ἕξομεν, at eadem infinitivi structura infra cp. " et 94 re- 
dit 94, τὰ 438 I4 A, distinx. BS 94. ἐστὶ Α55, Por)» B 


45. u9' add. BS 


LIBER III. PROPOS. 55. 145 


supra propos. 49 et 50 demonstratum est). Et quia, iunctà 
uy, est Au? τὶ 2y?, erit etiam fy? — 2uy? (est entm By — 
af — Àu). Et, quia Bu perpendicularis est ad. planum cir- 
cui γλδμ, angulus uy rectus est; ergo 
py? τ Bu? -- uy?. Sed supra ostendimus By? 
— 8uy5 ergo 
Bu? — uy, id est Bu — uy. ΕἸ est By — Àu; ergo 


Àu? — 98yu?. Et rursus, quia angulus Bu rectus est, 
q gu 
erit 8A? — Àu? -4- βμ2, itaque 
Ba | 


3 
Et est data 84 diametrus sphaerae; ergo etiam Au diametrus 
circuli data est. Et circuli αβ᾽ yAóu positione dati sunt ; 
ergo diametri af yÓ magnitudine et positione dati, ideoque 
data puncta a 8 » à**. 

Et compositio manifesta est. ^ Oportebit enim in sphaera 
duos circulos aequales et parallelos ita describere, ut qua- 
dratum ex sphaerae diametro sesquialterum sit quadrat! e 
diametro circulorum?), et ducere duas diametros parallelas 
ag Au, ut supra (propos. 44) didicimus, et diametro Ag per 
centrum perpendicularem yÓ, et sic invenire angulorum py- 
ramidis puncta « 9 y à. Et demonstratio contraria est ana- 
lysi, qua demonstratione facta simul ostensum erit quadratum 
ex sphaerae diametro sesquialterum esse quadrati e latere 
pyramidis ?). 

IL. In datam sphaeram cubus inscribatur. Prop. 

Sit iam inscriptus, et in superficie sphaerae sint puncta 35 


**)| In hac et proximis propositionibus scriptor tamquam consenta- 
neum supponit unum angulorum in superficie sphaerae punctum po- 
sitione datum esse (quod scilicet plane, ut libet, sumatur). "Velut 
in hac propositione si punctum 8 datum esse statuimus, datae sphaerae 
diaemetrus 84 data est et positione et magnitudine, unde reliqua facile 
efficiuntur; ac similiter in proximis propositionibus. 


2) Vide append. 


8) Demonstrationem a scriptore tamquam consentaneam omissam 
non difficile est restituere; et pauca eum in usum supplentur a Com- 


mandino, quae hic repetere alienum fuerit. 
Pappus I. 10 


146 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHS T. 


τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ 44 B D 4 E Z H O, καὶ 

ἐχβεβλήσϑω δι᾿ αὐτῶν ἐπίπεδα" ποιήσει δὴ τομὰς κύχλους 

ἴσους καὶ παραλλήλους" καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα 

[τοῦ κύβου] ἴσα τε καὶ παράλ- 

ληλά ἐστιν. καὶ ἔσται ἐπεζευγ- 5 

μένη ἡ ΓΕ διάμετρος τῆς σφαί- 

gag. ἐπεζεύχϑω καὶ ἡ EH. 
ἐπεὶ διπλάσιον τὸ ἀπὸ EH τοῦ 
ἀπὸ EO, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ 

ΗΓ, καὶ ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ 

γωνία, ἔσται τὸ ἀπὸ ΓΈ τοῦ 

ἀπὸ EH ἡμιόλιον. δοϑὲν δὲ 

τὸ ἀπὸ ΓΕ" δοθὲν ἄρα καὶ τὸ 

ἀπὸ EH. καὶ &otw διάμετρος 
τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου * δοϑεὶς ἄρα 15 

ὃ κύκλος, ὥστε καὶ 0 A 4BI'4 καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς τϑεράγωνα 
καὶ τὰ τῶν γωνιῶν σημεῖα τοῦ κύβου. 

89 Καὶ ἡ σύνϑεσις φανερά" δεῖ γὰρ κύκλους ἐ ἐν τῇ σφαέρᾳ 
γράψαι δύο παραλλήλους, καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν διαμέτρων 
ἡμιολία ἔστω δυνάμει 7) τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ àyygd- 20 
ψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν τετράγωνον τὸ J4BIA, xai τῇ 
BI ἀγαγεῖν ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον τὴν ZH ἴσην 
τῇ ΒΓ, ὡς προεδείξαμεν [καϑόλου ἴσην τῇ δοϑείσῃ)], καὶ 
ἀπ᾽ αὐτῆς τετράγωνον συμπληρῶσαι τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἔχειν 
τὸν κύβον ἐγγεγραμμένον. δειχϑήσεται γὰρ ἀκολούϑως τῇ 25 
ἀναλύσει τετράγωνον τὸ ΒΖΗΓ καὶ τὰ λοιπά, καὶ συναπο- 
δέδεικται ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλα- 
σίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, καὶ ὅτι οἱ αὐτοὶ κύκλοι τὰς 
τῆς πυραμίδος καὶ τὰς τοῦ χύβου περιέχουσι γωνίας" xai 





4. τὰ AB T4 EZ ΗΘ A, distinx. BS 4. ToU χύβου B!S, rovrov 
xuBov À, τὰ toU χύβου B9, del. Hu 5. ἐπεζευγνυμένη B, ἐπιζευγνυ- 
μένη S 45. τοῦ EZ HO A, coniunx. BS 46. ὁ ante xuxAoc add. 
Hu ie ἦ AB T4  A(S) corr. B ' 20. ἔστω Hu auctore Co pro 
ἐστιν . τὸ 4B ΓΩ͂ Α, coniunx. BS 498. χαϑόλου --- δοϑείσῃ 
interpolatori tribuit Hu — 25. χύβον Co pro χύχλον 26. τὸ ΒΖ ΗΓ 
A, coniunx. ΒΒ 41. τριπλασίων Hu pro τριπλάσιον (conf. p. 450, 7) 


LIBER 1Π. PROPOS. 55. 147 


angulorum eius « dy ὃ eG ἡ 9, et per ea ducantur plana; 
haec igitur sphaeram secantia circulos aequales et parallelos 
efficient (namque item quadrata circulis inscripta aequalia et 
parallela sunt). . Et. iuncta γε diametrus sphaerae erit (pro- 
pos. 50). lungatur etiam erm. Quoniam est ey? — 269? — 
27y?, et rectus angulus yye (propos. 49), erit 
2 — py? 2 QUU 
ye" — γ΄ Ἕ δη" —-- 

Sed datum est ys? (nam γε diametrus sphaerae est); ergo 
etiam 5&7? datum. Et est ey diametrus circuli δζηϑ; ergo 
etiam ipse circulus datus est, itemque circulus αβγδ, et 
quadrata in utroque inscripta, et puncta angulorum cubi!). 

Et compositio manifesta est. Oportet enim in sphaera 
duos circulos parallelos describere aequalibus diametris, qua- 
rum quadrati sesquialterum sit quadratum ex sphaerae dia- 
metro (propos. 504), et in alterutrum circulum inscribere qua- 
dratum afyó, et rectae fy in altero circulo rectam 5m ducere 
parallelam et aequalem, quemadmodum supra (propos. 43) 
demonstravimus, et ex hac quadratum δζηϑ complere, et sic 
invenire cubum inscriptum. — Convenienter enim analysi de- 
monstrabitur quadratum esse βζηγ et cetera?), quo facto si- 
mul ostensum erit quadratum ex sphaerae diametro triplum 
esse quadrati ex cubi latere, atque eosdem circulos et pyra- 
midis et cubi angulos continere; namque etiam in illà qua- 


4) Conf. p. 445 adnot. ** ad propos. 54. 


3) "Iungantur ye €; erit ys ipsius sphaerae diameter ex 50. huius. 
Kt ex diameter circuli ex iis quae demonstravimus in 52. huius. An- 
gulus autem γηὲ est rectus; nam y» 86 perpendiculares sunt ad plana 
cireulorum ex 49. huius, quare et ad omnes rectas lineas, quae in eis 
ipsas contingunt. Cum igitur quadratum ex ye sesquialterum sit qua- 
drati ex εη, et quadratum ex eg duplum quadrati ex ζη, sitque angu- 
lus yg& rectus, erit quadratum ex ye quadrati ex £x triplum. Rursus 
quadratum ex ye cum sesquiallerum sit quadrati ex ey, erit quadrati 
ex zy triplum; quadratum igitur ex £x quadrato ex yy est aequale, et 
recta linea 0x aequalis ipsi sy. Sunt autem $8 «y inter se aequales, 
et anguli γηζ βζη recti; ergo βζηγ quadratum erit. Et eadem ratione 
a£(B «690 δϑηγ quadrata demonstrabitur. Cubus igitur constitutus est 
in data sphaera, quod facere oportebat" Co. 
. 10* 


90 


91 


148 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Γ΄. 


γὰρ ἐπ᾽ ἐκείνης ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἦν δυ- 
γάμει τῆς διαμέτρου τῶν κύκλων ἑκατέρου. 

v. Εἰς τὴν δοϑεῖσαν σφαῖραν ὀκτάεδρον ἐγγράψαι. 

Ἐγγεγράφϑω καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ ἐν 
τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας và 44 B Γ 4 E Z, καὶ ἐκβλη- ὃ 
ϑέντα τὰ δι᾿ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιείτω κύκλους τοὺς ΑΒΓ 
AEZ. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ 4 ἴσαι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσ- 
σδπεώχασιν αἱ 44 48 AE AZ, ἔσται τὰ Α΄ E Ζ B ἐν &i 
ἐπιπέδῳ [καὶ γὰρ oi ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ᾽ 
αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν]. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις 10 
αἵ .4B ΒΖ ΖΕ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ τετράγωνον ἄρα τὸ 
EZB, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ 4B. ὁμοίως καὶ ἡ μὲν 
AE τῇ ΒΓ, ἡ δὲ AZ τῇ .3“Γ" παράλληλοι ἄρα καὶ οἱ κύ- 
κλοι" καὶ ἴσοι ἀλλήλοις, ἐπεὶ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς ἰσόπλευρα 
τρίγωνα ἴσα ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλ- 15 
ληλοι κύκλοι εἰσίν, xol ἐν αὐτοῖς ἴσαι εὐθεῖαι καὶ παράλ- 
ληλοι αἱ 448 EZ, καὶ εἰσὶν οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν 
κέντρων, ἔσται ἐπιζευγνυμένη 7 «42 διάμετρος τῆς σφαίρας 
[καὶ αἱ ΑΕ ΖΒ ὀρϑὰς μετὰ τῶν 418Β ΕΖ περιέξουσι γω- 
víag, ὡς προδέδεικται]. καὶ εἰσὲν ἴσαι αἱ .4E EZ: δι- 30 
πλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ. τὸ δ᾽ ἀπὸ τῆς 
διαμέτρου τοῦ 4ΕΖ κύκλου ἐπίτριτον τοῦ ἀπὸ τῆς EZ: 
ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 412 τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ 
AEZ κύκλου. δοθεῖσα ἄρα T7 διάμετρος, καὶ ὃ κύκλος, 
ὥστε καὶ Ó ΑΒΓ καὶ τὰ ἐπ᾽ αὐτῶν σημεῖα. 

Καὶ ἢ σύνϑεσις ἀκολούϑως᾽" δεῖ γὰρ ὁμοίως ἐγγρά- 


8. Ν A! in marg. (BS) 4. onus(ov À, σημεῖον B, corr. S 
5. τὰ ΑΒΓ AEZ A, distinx. BS ἐχβληϑέντα A? ex ἐχειβλήϑε 
8. τὰ .4E ZB AS Co, distinx. B 9. 40. καὶ γὰρ — εἰσίν inter- 
polatori tribuit Hu 44. post a£ ,4B repetit ;4B A, om. BS 48. δὲ 
om. Δ, add. BS 45. ἴσα add. A? super vs. 46. xoà ante ἐν «v- 
τοῖς add. Hu auctore Co 47. αἱ add. Hu, item vs. 49 49. χαὶ 
αἱ .4E — 20. προδεδεέχται tribuit Hu interpolatori, qui quidem verbis 
ὡς προδέδεικται significat propos. 54; at vero «ae εξ ad rectos inter 
80 angulos esse in hac ipsa propositione statim demonstratum est 
39. ἐπὶ τρέτον ABS, corr. Co — 25. ἐπ᾿ Hu pro ἀπ᾽ 


LIBER 1Π. PROPOS. 56. 149 


dretum ex diametro sphaerae sesquialterum erat quadrati ex 
diametro utriusque circuli (propos. 54). 
L. In datam sphaeram octaedrum inscribatur. 

Sit iam inscriptum, et in 
superficie sphaerae sint puncta 
angulorum eius α 8y Ost, 
et plana quae per ea ducuntur 
efficiant circulos ay et.  Quo- 
niam a puncto ὃ ad superficiem 
sphaerae aequales rectae do ὃβ 
δὲ δξ ductae sunt, erunt puncta 
« &€ L B in uno plano circuli, 
cuius polus. est à  (Theodos. 
sphaer. 4 def. δ). Ac sunt ae- 
quales inter se rectae af 8C Ce, eaedemque in plano circuli αεζβ; 
ergo quadratum est αεζβ, et parallelae && «8. Similiter etiam 
δὲ By, et OC cy inter se parallelae esse demonstrantur ; ergo 
circuli δὲζ «yf inter se paralleli sunt. (elem. 41, 15); iidemque 
aequales, quoniam triangula aequilatera in iis inscripta aequalia 
sunt. Et quoniam in sphaera sunt aequales et paralleli cir- 
culi ef» δζἕε, in iisque aequales et parallelae rectae αβ δζ, 
neque hae ad easdem partes centrorum, iuncta αζ diametrus 
erit sphaerae (propos. 50). Et sunt aequales «e eC; est igi- 
tur aL? — 9 ζε2, Sed quadratum ex circuli δὲζ diametro est 


- 2 . . 
-- ἐπ Ὦ; ergo quadratum ex αζ ad quadratum ex circuli 





ὃ 
óe; diametro est — ὃ : 2. Sed data est αζ (quippe quae 
datae sphaerae sit diametrus); ergo data est circuli δεῖ dia- 
metrus, et datus ipse circulus; itaque etiam circulus of 
datus est, itemque puncta íriangulorum aequilaterorum circu- 
lis de ay inscriptorum!). 

Et compositio convenienter analysi se habet. " Oportet 

Ἢ Est enim quadratum ex εξ triplum quadrati ex radio circuli 
(elem. 43, 42). Sed quadratum ex diametro circuli est eiusdem radii 


qüadruplum; ergo quadratum diametri ed quadratum ex «i est ut 4 
ad 8, hoc est ἐπέζριτον sive sesquitertium (Co). 


1) Conf. p. 145 adnot. ** ad propos. 54. 


Prop. 
56 


150 . IIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ T. 


wat τῇ σφαίρᾳ δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὧν 
ἑκατέρου τῆς διαμέτρου ἡμιολία δυνάμει ἡ τῆς σφαΐρας 
διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν ἰσόπλευρον 
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, xoi ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον 
ἀγαγεῖν τὴν ΕΖ ἴσην τῇ J4B, καὶ ἀπ᾿ αὐτῆς ἐγγράψαι τὸ ὃ 
EZ τρίγωνον, καὶ ἔχειν συνεσταμένον τὸ ὀχτάξεδρον. καὶ 
συναποδέδεικται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας διπλασίων δυνά- 
M&L τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀχταέδρου. συνεώραται δ᾽ ὅτι εἷς γε 
τὴν τῆς πυραμίδος ἔγγραφὴν xci εἰς τὴν τοῦ κύβου καὶ 
τοῦ ὀχταέδρου oi αὐτοὶ παραλαμβάνονται κύκλοι [ὧν εἰς 10 
τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐναρμόζεται τὰ πολύεδρα)], καὶ ὅτι ὃ 
αὐτὸς χύκλος περιλαμβάνει τὸ τετράγωνον τοῦ κύβου καὶ 
τὸ τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου. 

να΄. Εἰς τὴν δοϑεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι. 

Ἐγγεγράφϑω, καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν 15 
γωνιῶν αὐτοῦ τὰ 
4ABrTI,Z4EZ, 
H O K, 44 M N. 
ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ B ση- 
μείου πρὸς τὴν ἐπι- 20 
φάνειαν προσπε- 
πτώχασιν αἷ 438Β ΒΓ 
ΒΖ BH BE ἴσαι 
ἀλλήλαις, ἐν ἕνὶ 
ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ 28 
AT ZH E σημεῖα 
[καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ 
κέντρου τῆς σφαίρας 
ἐπ᾿ αὐτὰ ἐπιζευγ- 
. ψύμεναι ἴσαι εἰσέν]. 30 
xai ἴσαι ἀλλήλαις αἵ ΑΓ ΓΖ ZH HE EA, καὶ εἰσὶν ἐν 





5. ἴσην τῆς AB A, corr. BS 8. συνεωρατο (sine acc.) A(BS), corr. 
Hu 40. 44. ὧν — πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 44. ΝΑ͂ ΑἹ in 
marg. (BS) — 147. 48. ΒΓ 4EZ ΗΘΚ .4MN A, distinx. BS 


26. AIZ HE A, distinx. BS 27. xci — 30. εἰσέν interpolatori 
tribuit Hu 41. γὰρ add. Co, αἱ Hu 








LIBER III. PROPOS. 57. . 151 


enim similiter in sphaeram duos circulos aequales et paral- 
los ita inscribere, ut quadratum ex sphaerae diametro ses- 
quiallerum sit quadrati ex circulorum diametro (propos. 54), 

ei in alterutrum circulum in- 


parallelam et aequalem ducere 


ZA c scribere aequilaterum triangu- 
CINA lum ey, et in altero rectae «8 
eb, ab eaque triangulum δεζ in- 

scribere, et sic invenire octaedri 

AN constructionem !) , quo facto si- 


mul ostensum erit quadratum ex 
Ξε ἡ sphaerae diametro duplum esse 
quadrati ex latere octaedri?). 
Solutis autem his tribus proble- 
malis (propos. 654—256) simul 
perspectum erit ad constructionem et pyramidis et cubi et 
octaedri sphaerae inscriptorum eosdem adsumi circulos [quo- 
rum in eandem sphaeram polyedra accomodantur], atque 
eundem circulum continere et cubi quadratum et octaedri 

triangulum. 

LI. In datam sphaeram icosaedrum inscribatur. Prop. 

Sit iam inscriptum, et sint in superficie sphaerae puncta 57 
angulorum eius α f y, δεῖζ, 9 9 x, A u ». Quoniam a 
puncto β ad superficiem ductae sunt rectae Be fy B6 8» Be 
inter se aequales, in uno plano erunt puncta a y ζ ἢ e". 
Et item ex hypothesi inter se aequales sunt rectae e» yb Cm 
5e €x, suntque in circulo; ergo ἀξηζγ pentagonum aequi- 


4) Similiter ac supra, adhibitis propos. 50 et 54, Commandinus 
demonstrat triangula agd Jes «ye ἐγξ γβὲ C89 aequilatera esse et trian- 
gulis αβγ δεζ aequalia, ex quibus octaedrum constet. 


3) Sint notae sphaerae diametri: D, circuli in ea descripti dia- 
metri: d, eiusdem circuli radii: r, lateris octaedri: o; erit igitur ex 


9 
constructione 2 D? — 3d?, et propter elem. 13, 42 o? 8r? — 2 


ergo D? — 20?. 


*) Hoc ex Theodosii sphaer. 4 def. 5 similiter atque in propos. 56 ef- 
ficitur; inepta autem sunt verba quae in Graecis sequuntur, a nobis seclusa. 


152 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOQTH? T. 


κύκλῳ * ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΕΗΖΓ πεντάγωνον ὁμοίως καὶ 
δκάτερον τῶν KEBI4 4ΘΖΒΑ͂ καὶ τὰ 343ΚΩῊΒ ΑἸΚΝΘΓ 
ΓΘΙΜΗΒ ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια [xai ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ]. 
καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχϑείσῃ, ἡ δὲ 
ΕΖ τῇ KO, ἡ δὲ KO τῇ 4M* καὶ γὰρ τὸ .4KA40M πεν- ὃ 
τἀάγωνόν ἔστιν. ὁμοίως δειχϑήσονται καὶ αἵ μὲν ἐπιζευγ- 
ψύουσαι τὰ ΒΓ, E 4, ΗΘ, ΑΝ παράλληλοι, ai δὲ ἐπε- 
ζευγνύουσαι τὰ B Α͂, Z 4, H K, M Ν παράλληλοι. καὶ 
ὁμοίως ὃ περὶ τὰ «(4 B D κύκλος ἴσος καὶ παράλληλος τῷ 
περὶ τὰ 4 M Ν' ἴσα γὰρ καὶ ὅμοια τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα 10 
τὰ ΑΒΓ ΖΝ. οἱ δὲ περὶ τὰ 4 E Ζ, K H Θ σημεῖα 
κύκλοι ἴσοι καὶ παράλληλοι" καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα 
ἴσα καὶ ἰσόπλευρα: ἑκάστη γὰρ πλευρὰ πενταγώνου γω- 
γίαν ὑποτείνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ οἱ περὶ τὰ 4 E Z, 
K H Θ κύκλοι ἴσοι εἰσὶν καὶ ἐν αὐτοῖς ἰσοπλεύρων τρι- 15 
γώνων πλευραὶ παράλληλοι ai ΕΖ KO μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ 
μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ζ Καὶ διάμε- 
τρος τῆς σφαίρας καὶ ὀρϑὴ ἣ ὑπὸ ZEK γωνία" προδέδει-- 
χταὶ γάρ. καὶ ἐπεὶ πεντάγωνόν ἐστι τὸ HE.AUZ, τεῆς EZ 
ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, μεῖζον ἔσται τμῆμα $20 
AT: ἣ ἄρα ΕΖ πρὸς τὴν .«4Γ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ ἐξαγώ-- 
vov πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δύναται ἀμφο-- 


4. τὸ 4Ε2 ΖΓ ABS, corr. Co 3. τῶν KEBIA440ZBA 5, 
distinx. BS, 7f pro .4 corr. Co τὰ KA4AHB ABS, corr. Co 
3. xal — ἐπιπέδῳ interpolatori tribuit Hu ἂν add. Hu auctore Co 
AK4 6M A, coniunx. BS, τὸ 4HZOM Co 7. τὰ ΒΓ Ed H9 4H 
A (item S, nisi quod τὰς), distinx. B, Ν᾽ pro H corr. Co σπαραᾶ- 
λήλου AB, παραλλήλους S, corr. Hu auctore Co 8. τὰ BA ΖΙ HK 
MN A (τὰς etc. S), distinx. B παραλλήλους ABS (conf. vs. 7) 
9. τὰ ABT οἱ 40. τὰ ΑΙΜΝ A, distinx. BS 44. ol dà] ὁμοέως di 
xci coni. Hu τὰ 4EZ KHO AS, distinx. Β 12. χύχλοις AB, corr. 
S 144.15. τὰ 4EZ ΚΗΘ ABS, distinx. Hu. 16. ἡ εἴχϑ B, ἡ εἰ x9 
S (recte A) 47. τὰ ΖΚ A, distinx. BS 49. ἐπεὶ BS, ἐπε (sine 
spir. et acc.) A τὸ HE TZ A, coniunx. ΒΒ 980. τεμναμένης AB, 
corr, S 





LIBER 1II. PPOPOS. 57. 153 


angulum est. Similiter demonstratur planas figuras esse κεβγ 
ὀϑζβα ακληβ axv9y γϑμηβ easdemque pentagona aequilatera et 
aequiangula. Et erit a» parallela iunctae &b5, et eG iunctae 
X9, et x9 (unciae Àu; namque etiam λχαδϑμ pentagonum 
aequilaterum est!). Similiter demonstrabitur rectas fy εὃ ηϑ 
ἀν parallelas esse, itemque parallelas 8e CÓ ηκ uv. Et simi- 
liter. demonstratur circulum qui per a βὶ y puncta transit 
aequalem et parallelum esse ei qui per À μ᾽ »; nam, ut 
modo significovimus , rectae fy ἂν, itemque fa uv inter 86 
parallelae sunt; ttaque paralleli circuli (elem. 44, 45); idem- 
que aequales, quoniam ea hypothesi triangula afly Au», quae 
his circulis sunt inscripta, aequalia et similia sunt. ltem 
circuli qui per ὃ 8 ζ, x ἡ 9 puncta transeunt aequales et pa- 
ralleli sunt ; nam triangula iis inscripta sunt aequalia et aequi- 
latera, quoniam singula latera angulos pentagoni in eadem 
sphaera subtendunt. lam quia in sphaera circuli dei «59 
aequales in iisque triangulorum aequilaterorum latera δζ x9 
parallela neque ad easdem partes centrorum sunt, recta quae 
b x iungit erit sphaerae diametrus et angulus Lex rectus; 
utrumque enim supra (propos. 50 et 51) demonstratum est. 
Et quoniam pentagonum aequilaterum est ἡξαγζ, si recta 
δ extremá ac medià proportione secetur?), maius segmen- 
tum erit αγ; ergo δζ ad ey eandem proportionem habet 
quam hexagoni latus ad latus decagoni?). Et est e£? -- oy? 


4) Quoniam «egy pentagonum aequiangulum est, trapezium erit 
ecy, parallelaeque «y εξ; item in pentagono axvóy parellelae «y x9, 
denique in pentagono Àxd94 parallelae x9 Au.  (Fusius id demonstrat 
Co in libro de centro gravitatis solidorum, Bononiae 4565, fol. 2v.) 


3) Eucl. elem. 6 def. 3: 44xgov καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσϑαι 
Myerou, ὅταν ἡ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς 
τὸ ἔλασσον. Auream sectionem cum Pythagoreis nostrates dicere 
Solent. 


8) Si in pentagono regulari ηεαγζ recta εξ &xgov xal μέσον λόγον 
,Seetur, maiori segmento ipsum pentagoni latus aequale esse efficitur 
ex elem. 43, 8; ac statim proxima eiusdem elementorum libri propo- 
siio docet maius segmentum ad minus esse ut latus hexagoni ad latus 
decagoni eidem circulo inscriptorum. 


184 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


τέρας $) ΖΚ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν EK τῇ “Γ᾽ ἕξει ἄρα 
ἡ ΖΚ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς μὲν τὴν ΕΖ λόγον, ὃν 
7 τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ξξαγώνου, πρὸς δὲ ΑΓ, 
ὃν ἡ τοῦ πενταγώ- 
vOv πρὸς τὴν TOUS 
δεκαγώνου. xai δο- 
ϑεῖσα 7» διάμετρος 
τῆς σφαίρας: δο- 
ϑεῖσα ἄρα καὶ ἕκα- 
τέρα τῶν ΕΖ ΑΓ τὖ 
ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν 
χέντρων τῶν κύκλων 
τρίτον μέρος οὖσαι 
δυνάμει τῶν ΕΖ 
ΑΓ: καὶ αὐτοὶ ἄρα 15 
οἱ χύκλοι δοϑέντες, 
καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς 
καὶ παράλληλοι, καὶ 
τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν. 
93 Kai ἡ σύνϑεσις φανερά' δεήσει γὰρ ἐκϑέσθϑαι δύο 20 
εὐθείας, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν 
ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς 
τὴν τοῦ δεκαγώνου, καὶ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους, 
ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος δυνάμει τῶν ἐχτεϑει- 
σῶν εὐθειῶν ἑχατέρα ἑχατέρας, ὡς τοὺς 4ΕΖ «ΑΒΓ, καὶ 25 
ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσους αὐτοῖς 
γράψαι παραλλήλους τοὺς ΚΗΘ ΑΝ, καὶ ἐναρμόσαι ἐν 
ἑχάστῳ ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευρὰς παραλλήλους τὰς 
ΑΓ EZ KO 4M ἐνηλλαγμένως πρὸς τὰ κέντρα κειμένας, 
καὶ ἐγγράψαι τὰ τρίγωνα ὅλα τὰ ποιοῦντα τὰς τοῦ πολυ- 30 
ἐδρου γωνίας. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἐκ τῆς ἀναλύσεως εὐχερής. 
συνορᾶται δ᾽ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας τριπλασία 
ἐστὶν δυνάμει τῆς τοῦ πενταγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν 
AEZ κύκλον ἐγγραφομένου" ἡ μὲν γὰρ ΚΖ πρὸς τὴν ΖΕ 





4. τὴν [[ | τῆι ΑΓ Δ, τὴν... τῇ αγ BS cod. Co, corr. Co 6. x«l 


LIBER III. PROPOS. 57. 153 


zx? quia angulus Cex rectius et ex aequalis ay est; ergo 
propler elem. 43, 40 reciae Ux εἴ ay inter se sunl μὲ la- 
lera pentagont, hexagoni, decagoni eidem circulo inscriptorum. 
Et est Cx. sphaerae diametrus; haec igitur ad εζ eandem pro- 
portionem habet quam pentagoni latus ad hexagoni, et ad «y 
eandem quam pentagoni latus ad decagoni. Εἰ data est 
sphaerae diametrus; ergo etiam δζ ey datae sunt, itaque 
eliam circulorum δζὸ «yf radii, quorum quadrata tertiae par- 
tes sunt quadratorum ex εζ «y (elem. 15, 12); ergo ipsi 
quoque circuli dati sunt, itemque, qui iis aequales et paral- 
leli sunt, circuli x99 Àu», et quae sunt in iis puncta angu- 
lorum polyedri4. 

Et compositio manifesta est.  Oportebit enim duas rec- 
tas exponere, quarum ad unam diametrus sphaerae propor- 
tionem eandem habeat quam pentagoni latus ad hexagoni, ad 
alleram autem quam  pentagoni latus ad decagoni, et in 
sphaera duos circulos ita describere, ut quadrata ex eorum 
radiis terüiae partes sint quadratorum ex rectis expositis, 
velut circulos δὲζ αβγ, et ad alteras centri sphaerae partes 
his duos aequales et parallelos describere χηϑ Au», et in 
unoquoque latera triangulorum aequilaterorum construere pa- 
rallla ay eC x29 Au ad oppositas centrorum partes, et inscri- 
bere tota triangula quae polyedri angulos efficiant. Et de- 
monstratio ex analysi facile sequitur5), ac simul perspicitur 
quadratum ex sphaerae diametro triplum esse quadrati ex 
latere pentagoni in circulum δὲζ inscripti; etenim ec con- 
tíruclione χῷ ad L& proportionem eandem habet quam penta- 


4) Conf. p. 145 adnot. ** ad propos. 54. 
5) Conf. ibid. adnot. 3. 





(95 AB, corr. 5 44. αἱ add. Co 17. oí add. Hu — 18. 19. x«l 
τὰ Hw, κατὰ τὰ AB (Co), κατὰ S 34. ἔχειν διάμετρος ABS, corr. 
Hv auctore Co 37. 28. ἐναρμόσαι τῶν ἐν ἑχάστωι ᾿ἰσοπλεύρωι τρι- 
γώνωι ABS, corr. Hu 838. συνορᾶται] deprehensum est Co; voluit igi- 
lur συνεώραται 


166 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ T. 


λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ τιενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἕξα- 
γώνου, ἡ δὲ EZ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου τοῦ ἐν τῷ αὐτῷ 
κύχλῳ, ὃν ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, xai 
ἔστιν τριπλασία δυνάμει ἡ τοῦ τριγώνου τῆς τοῦ ἑξαγώνου" 
τριπλασία ἄρα δυνάμει ἐστὶν καὶ ἡ ΚΖ διάμετρος τῆς ὃ 
σφαίρας τῆς τοῦ ἐν τῷ EZ κύκλῳ πενταγώνου πλευρᾶς. 

94 »β΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν [τὸ] δωδεκάεδρον By- 
γράψαι. 








Ἐχγγεγράφϑω, καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ 
ABLTA4EZHOKA,MNEOILPZTY O0.) 
ἔσται δὴ ἣ μὲν ἘΔ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Z 4, ἡ δὲ 4E. 
παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ζ H. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ αἱ λοι- 
παί, ὥστε καὶ τὸ διὰ τῶν .4 B Γ 4 E ἐπίπεδον παράλ- 
ληλον τῷ διὰ τῶν ΖΗ O K (1. ἐπεὶ δὲ αἱ ἐπὶ τὰ O 44, 
A TD παράλληλοι (ἑκατέρα γὰρ τῇ BO) καὶ ἴσαι εἰσίν, καὶ τὸ 
αἵ ἐπὶ τὰ O KH, .4 Γ ἄρα παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ ΣΤ 





3. ἑξαγώνου τοῦ Hu auctore Co pro πενταγώνου — 4. τῆς om. AB, 
add. B — 6. τοῦ in ABS ante πενταγώνου additum huc transposuit Hu 


7. NB A! in marg. (BS) τὸ del. Vt 40. “ΒΓΔ EZHO KAMK 
OIIPCTY* AS, distinx. B, N add. Co 44. 42. τὰ ΖΩ — τὰ ZH 








LIBER ΠῚ. PROPOS. 58. 157 


goni latus ad hexagoni, et ζε ad latus hexagoni eidem cir- 
culo inscripti proportionem eandem quam trianguli latus ad 
hexagoni, et est quadratum ex trianguli latere triplum quadrati 
ex hexagoni latere (elem. 15, 12. 4, 15 coroll.); ergo etiam 
quadratum ex x& diametro sphaerae triplum est quadrati ex 
latere pentagoni circulo dei inscripti 9). 

LH. In datam sphaeram dodecaedrum inscribatur. Prop. 

Sit iam inscriptum, et sint puncta angulorum eius a f 3 
9e Cun 9x, un»50om,pocvv g. Erit igitur si- 
militer, ac supra (propos. 57) demonstratum esi, recta εὖ 
parallela ipsi CA, et «e parallela Cy, et eadem ratione etiam 
reliquae, ita ut planum quod per o β y ὃ e transit paral- 
lelum sit ei quod per ζ 9 9 x 4. Sed quia οα $y paral- 
lelae (utraque enim rectae $3: parallela est) et aequales sunt !), 
ergo etiam rectae o5 «y inter se parallelae sunt, itaque etiam 


6) Quamquam demonstratio quae supra legitur per se satis per- 
Spicua esse videtur, tamen brevior expositio addatur hunc in modum. 
Notentur pentagoni, trianguli, hexagoni circulo δὲζ inscriptorum latera 
Pih. Iam ex constructione est 

xí: iE p:h,et 

GE: ἢ τ 06: ἢ; ergo 

xí :pzi:h. Sed est (elem. 13, 12 etc.) 
i? — 3A?; ergo etiam xi? — 3p?. 


4) Rectas 839 y£ inter se parallelas esse similiter ac supra propos. 
δ] adnot. 4 inde sequitur, quod ex hypothesi 89£xy pentagonum re- 
guere est. Item in pentagono βϑοηα parallelae sunt 89 «o. Nec mi- 
Dus perspicuum est rectas γξ «o inter se aequales esse. Ceterum du- 
: bilari vix posse videtur, quin Graecus scriptor ipsam dodecaedri formam 
modulo expressam in demonstratione persequenda ante oculos habuerit. 
Nem lineae in plano descriptae, quas nostrá coniecturá adumbravimus, 
minus perspicuae sunt facileque inter se confunduntur; quapropter etiam 
aiag per se quidem necessarias, sed non diserte a Graeco scriptore 
commemoratas omisimus, ne difficultas adspectus augeretur. 


AB, distinx. S 43. τὸν διὰ AB, corr. 8 τῶν ΑΒΓ AE AS, distiox. 
ΒΒ 44. 45. τῶν ZHOK 4 — τὰ OAET AS, distinx. Bs 45. ἔσαι 
εἰσίν Hu pro εἰσὶν ἔσαι 40. «f (ante ἐπὶ) add. Α1Β8 super vs. τὰ 
ΟΔΕΤ ἄρα AS, distinx. Bs, corr. Co 





158 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Γ. 


ΕΔ. ὁμοίως καὶ αἱ ΣΡ I4, καὶ oi λοιπαί" καὶ τὰ δι᾽ 
αὐτῶν ἐπίπεδα ἄρα͵ παράλληλα. νοείσϑωσαν οὖν οἱ περὲ 
αὐτὰ γραφόμενοι [παράλληλοι] κύκλοι. ἔσται δὴ ὃ μὲν 
. περὶ τὰ .4 B l' 4 E ἴσος τῷ περὶ :à ΡΣ T Y Φ' τὰ 
γὰρ ἐν αὐτοῖς πεντάγωνα ἴσα ἐστίν. ὃ δὲ περὶ τὰ Z H5 
ΘΚ 4 τῷ περὶ τὰ  Ν & Ο II: καὶ γὰρ τὰ ἐν τούτοις 
πεντάγωνα ἴσα. καὶ ἔστιν ἡ ἐπὶ τὰ D 44 παράλληλος τῇ 
ini τὰ E Y (ἑκατέρα γὰρ τῇ KN): ἐν ἑνὲ ἄρα ἐπιπέδῳ 
ἔσται τὰ 4 Dl A Y σημεῖα. καὶ oi ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰ 
ἴσαι εἰσίν" ἴσων γὰρ πενταγώνων ὑποτείνουσι γωνίας " καὶ 10 








εἰσὶν ἐν κύκλῳ τετράγωνον ἄρα τὸ ΑΓΞΥ͂, ὥστε διπλῆ 
δυνάμει ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Κ΄ 24 τῆς ἐπὶ τὰ Α' T, τουτ- 
ἔστιν τῆς ἐπὶ τὰ Ζ «4. καὶ ὀρϑὴ 1j ὑπὸ EZ. γωνία" ἐν 
ἴσοις γὰρ κύκλοις ἴσαι καὶ παράλληλοι εὐϑθεῖαί εἰσιν ai 
ΟΞ ΖΑ: τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΖ τοῦ ἀπὸ Z4. καὶ τὸ 
ἔστιν διὰ τὰ προδεδειγμένα διάμετρος τῆς σφαίρας 7j ἐπὶ 
τὰ Z Ξ' οὐ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων εἰσὶν oi 
ΟΞ ZA. ἕξει οὖν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν ΖΑ͂ 
λόγον ὃν τριγώνου πλευρὰ πρὸς ἑξαγώνου τῶν εἰς τὸν 
3. ἄρα Hu pro πάντα 3. παράλληλοι, etsi re verum, tamen 
alienum ab hoc loco esse videtur 4. τὰ ABT AE AS, τὰ αβγδὲ 


LIBER 1Π. PROPOS. 58, 159 


στε &0. Similiter rectas ρσ ὃγ, itemque binas τὺ ea, vg a, 
qo By inter se parallelas esse demonstratur ; ergo etiam plana 
quae per eas transeunt. lam intellegantur circuli circa ea 
puncta descripti?) ; erit igitur circulus αβγδὲ circulo ρστυφ 
aequalis; nam .pentagona regularia iis inscripta aequalia 
sunt. Sed etiam circuli £p9x4 μνξοττ inter se aequales, 
quia item pentagona his inscripta aequalia sunt. Et est recta 
yÀ ipsi $v parallela (utramque enim rectae x» parallelam 
esse. similiter ac supra demonstratur); ergo puncta ἃ y & v 
in uno plano sunt (elem. 14, 7). Et rectae quae ea puncta 
iungunt aequales sunt, quia aequalium pentagonon angulos 
subtendunt?); et sunt in circulo (Theodos. sphaer. 4, 14); 
ergo quadratum est ἄγξυ (elem. 4, 6); ideoque, iunctà ἔλ, 
est 54? — 2 4y? — 9 AD? (nam rursus λγ λξ aequalium penta- 
gonon AÓyxv ἀμζεδ angulos subtendunt). Et rectus est angu- 
lus ξλζ; nam in aequalibus circulis aequales et parallelae 
sunt o5 LÀ (propos. 54); ergo 5L? 2 £A? -- CA? — 304*. 
est propter ea quae supra (propos. 50) demonstrata sunt 
recta $5 sphaerae diametrus; neque enim ad easdem centro- 
rum partes sunt οὗ LÀ. Sed propter elem. 45, 42 5t ad ζλ 
est proportio lateris trianguli circulo inscripti ad. radium, id 
est ad latus hexagoni eidem circulo inscripti; ergo sphaerae 
diametrus ad LÀ eandem proportionem habebit quam latus 
2) Hoc loco scriptor, quippe quod sine ullo negotio suppleri posse 


videretur, omisit demonstrare circulum, qui per o σ᾽ τ transeat, etiam 
per v ᾧ transire etc. 


3) Intelleguntur angulus 4d» pentagoni Aóyxv, angulus yx£ penta- 
goni yx£9Bf etc. 


(sic) B3 (plura hoc loco om. Bj, dislinx. Hu τὰ PCTYd AS, τὰ 
σ σοτυς τυφβ ὅ. δὲ περὶ Hu auctore Co pro δ᾽ ἐπὶ 5. 6. τὰ 
ΖΗΘΚΑ — τὰ MNROII AS, distinx. B* 7. 8. τὰ ΓΑ — τὰ EY 
AS, distinx. Bs 8. ἄρα add. Hu auclore Co 9. τὰ .4I'AY AS, 
distinx. Be αὐτὰς ABS, corr. Hu auctore Co 14. χύχλω | τε- 
τράγω [| ἄρα | 4, explev. BS 5 ΑΓ EY. 5, ἡ γλξυ Bi, ἡ ἦγξυ B3S, 





τὸ corr. Co 48. τὰ ΞΑ͂ ABPS, τὰ AE B! 42. 43. τὰ . 4T — τὰ ΖΑ͂ 
AS, distinx. B5 44. Zac: Hu auctore Co pro σοι 17. τὰ ZA AS, 
distinx. Be 47. 18. af. OR Co pro αἱ EZ 49. εἰς τὸν S Co, εἴς 
τὴν ΑΒ cod. Co 


^ 
160 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Γ. 


ΖΗΘΚΑ κύκλον ἐγγραφομένων. ἔχει δὲ xai ἣ ΖΑ͂ πρὸς 
τὴν τοῦ τριγώνου πλευράν, ὃν jj τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν 
τοῦ τριγώνου" ἕξει ἄρα καὶ δι᾽ ἴσου ἡ διάμετρος τῆς σφαί- 
ρας πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν λόγον ὅν 3 τοῦ πεντα- 
γώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου. ἐπεὶ δὲ καὶ τῆς Zud λόγος 
πρὸς τὴν ΕΔ, ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου ἔχει πρὸς τὴν τοῦ δεκα- 
γώνου (ἄχρον γὰρ αὐτῆς καὶ μέσον λόγον τεμνομένης μεῖ- 
Lov τμῆμα ἡ ἘΔ διὰ τὸ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνειν τὴν 
ΖΑ, οὗ πλευρὰ ἡ ΕΔ), ὡς δὲ ἡ Ζ.4 πρὸς EA, ἡ τοῦ τρι- 
γώνου πλευρὰ τοῦ ἐν τῷ ZHOK.4 πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου 10 








πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓΖΈ, ἕξει καὶ ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς 
τὴν τοῦ τριγώνου λόγον ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πρὸς τὴν τοῦ 
δεκαγώνου. ἔχει δὲ καὶ ἣ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς τὴν 
τοῦ τριγώνου πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΖΗΘΚΑ͂, ὃν ἡ τοῦ πεν- 15 
ταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου" ἕξει ἄρα ἡ διάμετρος 
πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓΖΈ, ὃν 


4. ΖΗΘ ΚΑ A, coniunx. B (I9 χὰ S) κύκλων A cod. Co, sed 
in A prima, ut videlur, manus puncto subscripto corr. χύχλον, quod 


LIBER III. PROPOS. 58. 161 


trianguli ad hexagoni circulo ζηϑκχλ inscriptorum. Sed recta 
DÀ latus est pentagoni eidem circulo inscripti; haec igitur ad 
trianguli latus eandem proportionem habet, quam letus pen- 
tagoni ad trianguli; ergo ex aequali diametrus sphaerae ad 
trianguli latus circulo. Cy9xÀ inscripti eandem proportionem 
habebit quam pentagoni latus ad hexagoni4). Sed quia 74 
ad εὖ eandem proportionem habet quam latus hexagoni ad 
decagoni — nam si ZA extremà ac medià proportione sece- 
tur, maius segmentum est ed, quia CÀ angulum pentagoni, 
cuius latus est ed, subtendit5) — itemque LÀ ed, id est la- 
lera. pentagonon circulis Cn9xÀ αβγδὲ inscriptorum inter se 
sunt ut latera triangulorum iisdem circulis inscriptorum, ha- 
bebit igitur trianguli latus circulo ζηϑκλ inscripti ad latus 
wianguli círculo αβγδὲ inscripti eandem proportionem quam 
latus hexagoni ad decagoni. Sed, wt modo demonstravimus, 
sphaerae diametrus ad trianguli latus circulo &n9xÀ inscripti 
eandem proportionem habet quam pentagoni latus ad hexa- 
goni; ez" aequali igitur sphaerae diametrus ad latus trianguli 
dredlo ofyóe inscripti eandem proportionem habebit quam 


4) lisdem notis ac supra propos. 57 adnot. 6 adhibitis demonstratio 
commodius perscribitur hunc in modum. Quoniam est 
ξζ 2 30022, et (2 τῷ 3 ?, est igitur 
££: CA τ t: ἢ. Sed ex hypothesi in circulo ζηϑκχλ est ζλ — p, 
ideoque 
QA:t p:t; ergo ex aequali. est sphaerae diametrus 
ξξ: ἐπε Ῥ. ἢ. 


8) Demonstratio plane eadem est ac supra propos. 57 adnot. 3, 
li quod hoc loco pentagonum ζᾧμλδε intellegitur. 


——À M —MM— . 


exhibent BS — 3. τὴν add. Hu auctore Co — 5. 8. ἔχει δὲ χαὶ ἡ ΖΑ͂ 





πρὸς τὴν Ed λόγον ὃν ἡ cet. coni. Co 6. ἔχει add. Hu δεχα- 
γζώγνου Co pro τριγώνου 7. μείζων Δ, corr. BS 8. διὰ τὸ Hu 
pro διὰ τοῦ 9. ἡ ΕΖ Co pro ἡ ΕΑ 11. τῶι. 4 DAE Α, 


coniunx. BS 43. ἔχει αὶ δὲ ἃ 
Pappus I. 11 


162 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


€ - " b M ^ ᾽ . “- 3; 
ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου" δοϑεῖσα ἄρα 
€ ld , mw , 2, et i! 
ἐν ἑκατέρῳ χύκλῳ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὥστε καὶ ai ἐκ 
τῶν κέντρων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν πλευρῶν. 
/ P M c / M € » 3 - Α U 
δοθέντες ἄρα Xai οἱ κύκλοι καὶ ot ἴσοι αὑτοῖς καὶ παραλ- 
ληλοι καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν, 5 
ὅπερ: “- 
“- 3 e . 

95 Δεῖ οὖν ἐν τῇ συνϑέσει δύο ἐχϑέσϑαι, πρὸς ἃς λόγον 
ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρός 
ve τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, ἃς καὶ 
ἐπὶ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐξεϑέμεϑα, καὶ γράψαι δύο παραλλή-- 10 

ev ^ 3 
λους κύκλους ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ αὐτὸ 
μέρος τοῦ κέντρου κειμένους, ὡς τοὺς ZHOK.4 .ABIAE, 
ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος εἰσὶ δυνάμει τῶν ἔκ-- 
χειμένων εὐϑειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ τούτοις ἴσους 
ἄλλους δύο κύχλους καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη 15 
τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὡς τοὺς MNAOII ΡΣΤΥΦ, καὶ 
ἐναρμόσαι τὰς ΕΖ Ζ. OR ΣΤ πενταγώνων πλευρὰς παρ-- 

’ M 3 2 3 ^v 3 ? A , 3 
αλλήλους, καὶ ἀπ᾿ αὑτῶν ἀναγράψαι τὰ πεντάγωνα, δὲ 
[4 e D 
ὧν αἱ τοῦ πολυέδρου συνίστανται γωνίαι. καὶ φανερὸν ἐκ 
τῆς κατασκευῆς, ὅτι οἱ περιέχοντες κύκλοι τὰς τοῦ δωδεκα-- 20 
ἐδρου γωνίας οἱ αὐτοί εἰσιν τοῖς περιέχουσιν τὰς τοῦ εἰ- 

/ ! A ce € 3 N / , 
κοσαέδρου γωνίας, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβανει 
τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δω- 
δεκαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων. 


9. αἱ add. Hu 9. «c AB cod. Co, ὡς S 44. τούτοις B3S, 
τούτους À, Tovr B! 46. ὡς τοὺς Hu auctore Co pro cg τοῦ 
47. πλευρὼν AB, corr. S 20. 21. δωδεκαέδρου — τὰς τοῦ om. Paris. 
2368 S 24. post ἐγγραφομένων add. παππου συναγωγῆς τρέτον ες 
τιν δὲ των ἐπιπέδων καὶ στέερεων xat /[|[] A3, τῆς τοῦ πάππου ἀλε- 
ξανδρέως συναγωγῆς τρίτου τέλος B, τέλος τοῦ τρίτου S 


LIBER III. PRÓPOS. 58. ^A 103 


latus pentagoni ad decagoni9?). Εἴ data est sphaerae diame- 
irus; ergo etiam latera triangulorum circulis ζηϑκλ αβγδε 
inscriptorum data sunt, itaque etiam circulorum radii, quo- 
rum quadrata tertiae partes sunt quadratorum ex lateribus 
iriangulorum (elem. 15, 12) ; ergo etiam circuli 5n9x4 αβγδε, 
et qui iis aequales et paralleli sunt, circuli uv5om oovvg 
dati sunt, itemque quae in his sunt puncta angulorum poly- 
edri?), q. e. d. | 
In compositione igitur oportet duas rectas exponere, qua- 
rum ad unam diametrus sphaerae proportionem eandem habeat 
quam pentagoni latus ad hexagoni, et ad alteram quam pen- 
tagoni latus ad decagoni, quas quidem rectas etiam in ico- 
saedro exposuimus (p. 455), et in superficie sphaerae ad eandem 
centri partem duos circulos, velut ζηϑχλ afyóe, ita descri- 
bere, ut quadrata ex eorum radiis tertiae partes sint qua- 
dratorum ex rectis expositis, et his circulis duos alios aequa- 
les et parallelos ad alteras centri sphaerae partes, velut 
μινξοπ ρστυφ, describere, et in unoquoque latera pentagonon 
aequilaterorum δὃ LÀ οὗ ov parallela construere, et ex iis 
pentagona describere, unde polyedri anguli constituantur 5). 
Atque ex constructione apparet circulos qui dodecaedri an- 
gulos continent eosdem esse atque illos qui icosaedri (pro- 
pos. 57), et eundem circulum comprehendere triangulum 
icosaedri et pentagonum dodecaedri in eandem sphaeram in- 
scriptorum (V propos. 48). | 
6) Sint ἐ ἔ latera triangulorum circulis ζηϑχλ αβγδὲ inscriptorum, 
D diametrus sphaerae, p ἡ d latera pentagoni, hexagoni, decagoni ei- 
dem circulo inscriptorum; haec igitur erit brevior demonstratio. Osten- 
dimus (p. 464 cum adnot. 5) esse 
QA : εὖ — h : d, ét ex hypothesi est 
(A: ed τε t:0; ergo 
t: C — h:d. Sed erat, ut supra (adnot. 4) demonstravimus, 


D:tzp:h; ergo ex aequali 
D:t' -p:d. 


7) Conf. p. 445 adnot. ** ad propos. 54. 
8) Reliquam demonstrationem, a scriptore tamquam consentaneam 
omissam, supplet Co. 


11* 


96 


64 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHS T. 


"Aeg τὸ déxarov ϑεώρημα lv τῷ τρέτῳ τῆς τοῦ Πάππου συναγωγῆς 
καὶ τὴν ἀπόδειξιν περιέχον xoi τὴν ὀργανικὴν χατασχευὴν τοῦ τε 
διπλασιασμοῦ τοῦ χύβου χαὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον. 


Ἔστω κύκλος ὃ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ 4, διάμετροι 
δὲ αὐτοῦ πρὸς ὀρϑὰς ἀλλήλαις ἔστωσαν αἵ 4A4T BAE, xai 5 
διήχϑωσαν ot. EMN ΒΘΖΗ, 
ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ZH- 
λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΖ πρὸς 
4M, οὕτως ὃ ἀπὸ τῆς ΕΖ, κύ- 
Boc πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 4210 
κύβον. 

Ἐπεζεύχϑω γὰρ ἡ HA καὶ 
ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ 24, καὶ 
ἐπεζεύχϑω ἡ 440 καὶ ἡ AE: 
παράλληλος ἄρα ἣ ΘΑ͂ τῇ 15 
AAT. καὶ ἡ BH τῇ .1Ε. ἐπεὶ 
οὖν ἢ ΑΚ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ 
BAE κχάϑετος ἧκται ἐπὶ τὴν BAE, $ ΚΑ ἄρα μέση 
ἀνάλογόν ἐστιν τῶν EK ΚΒ' ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς 
EK πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΑ͂, οὕτως ? ΕΚ πρὸς ΚΒ, τουτ- 3ι 
ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς B4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z, οὕτως ἡ 
42 πρὸς 4M. κοινοῦ ἄρα προσληφϑέντος λόγου τοῦ τῆς 
B4 πρὸς τὴν 4Z, ἔσται ὡς ἢ B4 πρὸς τὴν 4, οὕτως 
ὁ ἀπὸ τῆς B4 κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 4Ζ, τουτέστιν ὡς 
ἡ ΕΔ πρὸς 41M, οὕτως ὃ ἀπὸ τῆς E4 κύβος πρὸς τὸν 3: 
ἀπὸ τῆς 4Ζ. 





1. cap. 96—4104, Pappi collectioni a posteriore quodam scriptore 
inseria, om. Co, e codice Guelferbytano ediderunt G. G. Bredow et 
Nickelius, Epistolae Parisienses, Lipsiae 4849, p. 487—300 ἐν 
τῷ Ó^ et superscr. γ B! 4. διάμετροι A? ex διάμετρεε 6. αἱ 
EMO Bredow, αὖ EMON Huv (scilicet in productá EM ἃ scriptore 
praeter punctum 6 etiam Δ poni posterior demonstratio, quae habet 
litteras A etc., docet; puncti autem Δ locus esse non potest nisi in 
circumferentia circuli) 44. ἡ 14» καὶ A 141. ἡμικύχλωι A, ἡμιο- 
λέῳ Guelf., corr. BS 31. πρὸς τὸ .4.4Z οὕτως ABS, corr. V? Sca 


LIBER liil. PROPOS. ὅθ. . 165 


Aliter decimum problema (cap. 27) in tertio libro Pappi collectionis, 
quod et demonstrationem et organicam constructionem duplicationis 
cubi et duarum mediarum proportionalium continet. 


Sit circulus egy circa centrum δι, cuius diametri αὖδγ ProP- 


fide sibi invicem perpendiculares sint, et rectae eu» 890m 
ita ducantur, ut sit 95 — Cn; dico esse εὃ: ὃμ — εδϑ : 0C. 
Iungatur recta ηδ et ad À punctum circumferentiae pro- 
ducatur, et iungantur rectae A9 4e; ergo 94 parallela est 
rectae αὖγ et 8» rectae 4e*). lam quia in semicirculo 94e 
perpendicularis ad 0& diametrum ducta est ἀκ, haec igitur 
' media proportionalis est rectarum ex xfj (elem. 6, 8 coroll.) ; 
est igitur (elem. 5 def. 40. 6, 20 coroll. 1. 2) 
&x3 : xA? — εχ : XB, id est 
Bo? : 0? — 0C: On ἢ. Ergo multiplicatione per pro- 
portionem 69 : δὲ factà erit 
Bà? : 9C? — 580 : δμ, id est (quia β — 60) 
εὖ : ὃμ — εδῆ : OL. 
*) Rectas 9À «y parallelas esse eadem ratione ac supra p. 67 


inde efficitur, quod est 97 — £x, et 40 — 09; alteras autem βὴ λὲ paral- 


lelas esse apparet, quia 4x Be diametri sunt. Ceterum prolixior demon- 
siratio infra cap. 99 sequitur. 


**) Hoc quomodo efficiatur, infra cap. 100 longiore ambitu osten- 
dil scriptor; breviorem autem demonstrationem, auctore Nickelio, hunc 
in modum &sddamus. Propter triangulorum βδξ exÀ similitudinem est 
2 
με Ξ 5 ideoque n" z a Sed rursus propter triangulorum 


similitudines est 
89 fx ju — x9 





δὲ" x9" οἱ τῷ Ξ πε’ ergo per formulam compositae propor- 
tionis 
P Ξε: ἐπ id est, quia βδ — εδ, atque e contrario 
δξ εκ ex — ex? βὺ 
ju zz xf Sed erat xB - AU ig ergo 
£8? : 0? τ, δὲ : ὅμ. 
Nickel 44, 33. λόγου τοῦ τῆς Z4 πρὸς τὴν τρέτην ἀνάλογον τῶν 


B4 4Z ABS, corr. Hu auctore Bredowio 8ὅ, τὴν ante Δ add, B 
Guelf. ὃ add, BS 


97 


166 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


Ὀργανικῶς δὲ κατασκευασϑήσεται τὸν τρόττον τοῦτον. 

Ἔστω τύμπανον πρὸς κανόνα ἀπωρϑωμένον, ἐν ᾧ κα- 
ταγραφέντος κύχλου κέντρῳ xai διαστήματι ἐλάττονι τῆς 
ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ τυμπάνου, ὡς τοῦ ΑΒΓ, πρὸς ὀρϑὰς 
ἀλλήλαις ἤχϑωσαν διὰ τοῦ κέντρου αἱ BAE AAT, καὶδ 
χατὰ τὸ Β σημεῖον τρηματίου γενομένου ἐμβεβλήσϑω εἰς 
αὐτὸ ἀξόνιον κυκλοτερές, καὶ περὶ τὸ ἀξόνιον περιβεβλήσϑω 
χανὼν διατρηϑεὶς καὶ αὐτός, ὡς ὃ ΒΘΖΗ, ὥστε εὐλύτως 
περὶ τὸ B κέντρον περιάγεσθαι, περόνης ἐμβληϑείσης εἰς 
τὸ ἀξόνιον τῆς χατεχούσης ἐν τῇ περιαγωγῇ τὸν κανόνα. 10 
| τούτων δὲ οὕτως γενομένων x- 
Bog κύβου πολλαπλάσιος xa9 
ὁποιονοῦν ἀριϑμὸν ῥᾳδίως κα- 
τασχευασϑήσεται. προκείσϑω 
δὴ διπλασίονα κατασκευάσαι" 15 
λαβόντες γὰρ vT» 4Ε δισπλα- 
σίονα τῆς 41M ἐπιζεύξομεν [κα- 
γόνι] τὴν EMN, καὶ τὸν κανόνα 
τὸν ΒΘΖΗ͂ κινήσομεν περὲ τὸ 
B κέντρον, ἕως ἂν ἡ [αὐτῷ μέση ?u 
γραμμὴ) μεταξὺ τῶν O H δι- 
χοτομηϑῇ ὑπὸ τῆς 244 κατὰ 
τὸ Ζ σημεῖον, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ͂. τοιαύτην 
γὰρ ϑέσιν τοῦ κανόνος λαβόντος ἀφορισϑήσεται 7) 4Z, ἀφ᾽ 
ἧς ὃ ζητούμενος κύβος ἀναγραφήσεται ἀκολούϑως τῇ ἀπο- — 


δείξει. 





4. τοῦτον τὸν τρόπον B! Guelf. (sed in B tertia vel alia quaedam 


.manus verum ordinem restituit) 5. ἀλλήλαις ἤχϑωσαν ABSS, inverso 


ordine B! Guelf. 8. ὁ BG| ZH A(S), coniunx. B 19. πολυπλάσιος 
Bredow . 4145. δὴ Hu pro δ διπλασίονα AB9S Guelf., διπλάσιον B! 

46. τὴν 4E διπλάσιον ABS, corr. Hu 47. κανόνι et 20. 44. αὐτῷ 
μέση γραμμὴ, manifesta interpretamenta, del. Hu (pro αὐτῷ μέση Bt 
habet χάτω, ad quod B? addit μέση) 48. τὴν EMO Bredow (vide 
ad p. 164, 6) 91. τῶν OH A, distinx. BS 33. ὥστε — τῇ ZH 
abundanter posita perinde ac similia illa supra p. 64, 4 (vid. adnot.) 


LIBER Ill. PROPOS. 59. 167 


Instrumenti autem ope constructio hunc in modum fiet. 

Sit tabula plana rotunda!), in eaque describatur circu- 
lus, velut e», cuius radius minor sit radio tabulae, et per 
centrum sibi invicem perpendiculares ducantur rectae βδε 
αὖγ, et in foramen in puncto f factum inseratur axiculus 
teres, ad quem regula itidem perforata, velut βϑζη, ita ap- 
plicetur, ut commode circa centrum f circumagatur, fibulà 
nempe in axiculum infixàá, quae regulam in circumactione 
detineat?). Quo facto cubus cubi iuxta quemlibet numerum 
multiplus facile construetur. am propositum sit duplum 
cubum construere; sumemus igitur δὲ — 20, "**) et iungemus 
rectam &u», et regulam 83075 circa centrum movebimus, 
donec poríio, quae est inter 9 ἡ puncta sectionis cum recta 
ἐν el cum circuli circumferentia, bifariam dividatur in ζ 
puncto sectionis cum recta αὖ, ita ut sit 95 — ζη. Nam si 
talem positionem regula sumpserit, definietur recta OG, ex 
qua duplus qui quaeritur cubus describetur convenienter 
superiori demonstrationi. 


4) "Verti τύμπανον tabulam rotundam, quia ei centrum tribuitur. 
Fortasse veteres mathematici eiusmodi tabulam in usum quotidianum 
semper ad manus habebant. Sed non opus est, ut sit rotunda: quae- 
vis alia, modo sit plana (id enim verba πρὸς χανόνα. ἀπωρϑωμένον signi- 
ficant) huic usui inservire poterit, ut ex constructione facile patet". Nickel. 


4) Περόνην igitur dicit clavulum, qui, velut rotam in axe vehiculi, 
ila regulam in axiculo detineat. Aliter hunc locum interpretatur Bre- 
dowius p. 491: "inseratur foramini axis parva (sic) circularis, cui ap- 
picetur regula 83459, itidem perforata, ut, acu per foramen eius in 
axem immisso, facile — circumagi possit". 


***) Haec quisquis scripsit, aut ignorantiae aut socordiae crimini ob- 
noxius est; nam cum ex proximis verbis cubum, cuius latus est 97, 
duplicari appareat, haec ipsa recta dj non data, sed quaerenda eliam- 
nunc supponitur. Poterat scriptor, si suam rationem sine errore sequi 
volebat, rectam δὲ datam esse supponere , et hinc dimidium cubum 
invenire, sic fere: προχεέσϑω δὴ ἥμισυν κατασχευάσαι᾽" λαβόντες γὰρ 
τῆς 4E ἡμίσειαν τὴν 4M ἐπιζεύξομεν cet.; sed maluit neglegentius 
scribere, hanc quidem, ut opinor, sententiam amplexus: Sumatur quae- 
libet recta δὲ et, ut supra legimus, fiat constructio; tum, ut δξ ad de, 
ita fiat latus dati cubi ad latus eius qui quaeritur, id est dupli. Conf. 
etiam cap. 403 sq. 


1 
168 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ T. 


98 ὉὙπομνηματικώτερον δὲ συνταχϑείη ἂν τὸ αὐτὸ πρό- 
βλημα οὗτως. 

Ἔστω κύχλος 0 4BIE περὶ κέντρον τὸ 4, πρὸς ὀρϑὰς 
δὲ ἀλλήλαις διηγμέναι αἱ 244T BAE, καὶ ἀπὸ τοῦ B πρὸς 
τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἐντὸς προσπίπτουσα ἣ BZH:5 
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ZH. 

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ διὰ τοῦ κέντρου οὖσα μείζων. ἐστὶ τῆς BH, καὶ 1 
ἡμίσεια ἄρα τῆς ἡμισείας μείζων" μείζων ἄρα ἡ B4 τῆς ἡμισείας τῆς 
BH. ἡ δὲ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς B4: πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ 
τῆς ἡμισείας τῆς BH, καὶ πολλῷ ἄρα χαὶ τῆς ZH. 10 

Ἐπεὶ ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΖΗ, ἴση τῇ ΖΗ κείσϑω 
ἡ OZ: λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΖ4 πρὸς τὴν 41M, οὕτως ὃ 
ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὲ τῆς AZ. 

99 Ἐπεζεύχϑω γὰρ ἡ H4 καὶ ἐκβεβλήσθω imi τὸ A4, καὶ 
ἐπεζεύχϑω ἢ .16 καὶ ἡ “Ε' παράλληλος ἄρα ἡ ΘΑ͂ τῇ ιὸ 
AAT. καὶ ἡ ΒΗ τῇ AE. 

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΘΖ τῇ ΖΗ διὰ τὴν ὑπόϑεσιν, ἡ δὲ 44 
τῇ 4H διὰ τὸ ἑχατέραν αὐτῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύχλου εἶναι, ἔστιν 
ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ 444 πρὸς τὴν 4H. ἐὰν τριγώνοὐν 
ἀνάλογον ἐμηϑῶσιν αἷ πλευραί, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα 20 
παρὰ τὴν λοιπήν ἔστι τοῦ τριγώνου πλευράν" παράλληλος ἄρα ἡ ΘΑ͂ 
Tj Z4. καὶ ἐπειδὴ δύο αἱ BAH δυσὶ ταῖς .14} ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία 
ἡ ὑπὸ ΒΔΉ τῇ ὑπὸ J44E ἐστὶν ἴση, xol βάσις ἡ BH βάσει τῇ 4E 
ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι 
εἰσὶν ἑκατέρα ἑχατέρᾳ, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα 25 
ἡ μὲν ὑπὸ EAH τῇ ὑπὸ ΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ HBE τῇ ὑπὸ BEA. καὶ 
εἰσὶν ἐναλλάξ᾽ παράλληλος ἄρα ἡ BH τῇ 4E. 

100 Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν y ΚΑ τῇ 4Γ, αἱ ὑπὸ 
“ΚΔ ΚΩΓ δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν. ὧν ὀρϑὴ 17) ὑπὸ 


4. ΜὝωαϑηματιχώτερον Nickel 4. 9. post πρόβλημα add. ἦε A (B 
Guelf.), ἡ S, del. Nickel 8. ὁ 4814 ABS, ὃ ΑΒΓ Bredow, corr. Hu 
ὅ. προσπίπτουσα ἡ Hu, προσπέπτουσαν ABS, προσπέπτουσα Nickel, 
προσπιπτέτω V2 0. τῆς ἡμισείας add. V? Nickel καὶ πολλῷ ἄρα 
add. Hw (nisi forte rectius Sca, deletis τῆς ΒΗ͂, breviore demonstra- 
tione scribit πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ καὶ τῆς ZH, in quibus de- 
nique ἐστὶ xai emendandum esse videtur in ἐστὶν) καὶ τῆς ZH 
AB?8, χαὶ τῆς ηξ B! Guelf. 44. γὰρ ἡ H4 V? Sca Nickel pro γὰρ y 


4 49. 20. ἐὰν δὲ τριγώνου ἀνάλογον τμηϑῶσιν dvo πλευραί coni. 
Bredow 2950. τμηϑῶσιν ἡ πλευραι ἡ ἐπὶ À, τμηϑῶσι ἡ πλευρὰ sj ἐπὶ 





LIBER Ill. PROPOS. 59. 169 


Sed ratione ad instituendos (tirones magis accomodata 
idem problema sic componere licet. 

Sit circulus «ye circa centrum d, et sibi invicem per- 
pendiculares ducantur rectae αὖγ βδδ, et a puncto β ad cir- 
euli circumferentiam cadat recta Cm; est igitur 8C 7 Cy. 

Quoniam diametrus fe maior est 
quam f», etiam dimidia maior est 
dimidiáà; ergo 80 ? 4 8». Sed, quia 
Bc subiendit angulum rectum 8064), 
est 86 7 80; multo igitur est Bc » 
ἡ βη. Sed quia X B» « BC, est igitur 
4 8n» (8n — BD), id est » 0x; ergo 
multo est βζ Ὁ 6. 


Quia est 95 *» Cy, ponatur 
9C τῷ ζη; dico esse εὖ: du — 
εὖϑ : ài. 

Iungatur enim 7Ó et pro- 
ducatur ad À punctum circum- 
ferentiae, et iungantur A9 4e; est igitur 94 || ey, et 8v || λε. 





Quoniam enim ex hypothesi est 95 — ζη, et A0 -— δὴ (sunt enim 
radii circuli), est 92: i$ — 40 : δη. Quodsi trianguli latera proportio- 
naliter secantur, recta sectionis puncta iungens reliquo (rianguli lateri 
perallela est (elem. 6, 2); ergo in triangulo 91 rectae 34 parallela est 
(d. Et quia est β — 4d, et δὴ — δὲ, et ( βδὴ — [| Ads, est igitur 
etiam basis βὴ basi λὲ ac triangulum triangulo aequale, et reliqui an- 
guli, quos aequalia latera subtendunt, uterque utrique, aequales sunt?) ; 
ergo est [ tàn — [ ληβ, et {ηβὲ τ [ βελ. Et sunt alterni; ergo 
parallelae sunt 8» λὲ (elem. 4, 27). 


Sed quia parallelae sunt χὰ óy, summa angulorum λχὸ 
xÓy duobus rectis aequalis est. Et rectus est angulus xóy; 


T) Haec commode addit V?. 


3) Haec est elementorum 1 propositio 4 paene verbotenus repetita ; 
iniuria autem post dvo a£ B4H δυσὶ ταῖς 44./E omisit scriptor éxa- 
τέρα ἑχατέρᾳ. 


Bi, corr. B9S 25. ἐκατερα ἐχατέρα A, accentus etc. add. BS, éxa- 
τέρᾳ om. Bredow 26. ἡ δὲ ὑπὸ HBE AB3S, ἡ δὲ ὑπὸ Bde B1, ἡ δὲ 
ὑπὸ HB4 Bredow 37. ἄρα ἡ βη V? Sca Bredow, ἄρα ἡ EH ABS 


170 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ T. 


KAT': καὶ ἢ ὑπὸ J4K4 ἄρα ὀρϑή ἐστιν πρὸς ὀρϑὰς ἄρα 
? ΚΑ τῇ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ Β.1Ε πρὸς ὀρϑὰς 
ἦχται ἣ ΑΚ, μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἢ ΑΚ τῶν ΕΚ KB- 
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΑ, οὕτως 
ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ. καὶ ἐπειδὴ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΒΖ ὃ 
τῇ AE, ἡ δὲ ΘΑ͂ τῇ ΖΞ, ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν .4KE τρίέ- 
yovov τῷ BKO, τὸ δὲ BKO τῷ BAZ, καὶ ἔτι τὸ μὲν 
OKE ὅμοιόν ἐστι τῷ MAE, τὸ δὲ ΚΕ τῷ EAE: ἰσο- 
γώνιον ἄρα ἕκαστον ἑκάστῳ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς EK 
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ τ0 
ἀπὸ τῆς ΚΘ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 
ΚΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς B4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z: ὡς 
ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ἘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΑ, οὕτως 
ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς B4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Ζ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ 
ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΑ, οὕτως 7 ΕΚ πρὸς τὴν τὰ 
KB: xai ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 
B.4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AZ. πάλιν ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν 
AKE τρίγωνον τῷ BKO, τὸ δὲ OKE τῷ MAE, καὶ τὸ 
AKE τῷ EAE τριγώνῳ διὰ τὸ τὰς παραλλήλους ἰσογώνια 
αὐτὰ ποιεῖν, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΕΚ πρὸς ΚΩ͂, οὕτως ἣ ΒΚ λα 
πρὸς KO, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ 
AK πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ EK πρὸς ΚΑ, οὕτως ἡ E4 
πρὸς τὴν 4H, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Ed, οὕτως 7» 
ΚΑ πρὸς 43. ὁμοίως καί, ἐπεὶ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ, 
οὕτως ἡ E4 πρὸς ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς E.f,22 
οὕτῳς ? ΚΘ πρὸς τὴν 4/M , δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΑ 
πρὸς τὴν 471,5, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν MA, καὶ ἐναλλὰξ 


— — MÀ —— 


4. ἡ ὑπὸ .1K 4 Bredow, ἡ om. ABS ἄρα add. V? Nickel 

8. 9. ἰσογώνιον οὖν ἕκαστον Bredow 46. τὸ om. AB Guelf., add. 
S Nickel 47. ἐπεὶ — 20. ποιεῖν] haec verba, ut prorsus otiosa, se- 
cludit Nickel, neque tamen aliena sunt ab huius interpolatoris mediocri 
doctrina rudique verborum turba 418. τῷ BK6 Sca Bredow, τῷ BK 
Α, τῷ Bx ΒΒ - 24. τὴν (ante KB οὕτως) om. Αἴ, add. A? super vs. 
(BS) 23. 24. τὴν anle E4 οὕτως et ante 74 add. B Guelf. 37. πρὸς 
τὴν M. AS, πρὸς τὴν ua B, πρὸς τὴν .(M Bredow 


LIBER III. PROPOS. 59. 171 


ergo etiam ἀκ rectus, ideoque ἀκ ipsi f& perpendicularis est. 
— Et quoniam in semicirculo As perpendicularis ad diametrum 
ducta est Àx, haec ipsa rectarum ex xf media proportionalis 
est (elem. 6, 8 coroll.); est igitur (elem. 5 def. 10. 6, 20 co- 
roll. 4. 2) 
&x2 : wA? — εχ : xf. 
Et quia βὲ Ae itemque 34 L5 parallelae sunt, est igitur 
Δ Àxe — Δ ϑχβ, et Δ Bx9 — A BOC, et Δ 9ue — A uóe, et 
À Àxe — A 50s; ergo, quia in triangulis aequiangulis [atera 
circum. aequales angulos proportionalia sunt (elem. 6, 4), item- 
que quadrata quae ex his fiunt (elem. 6, 22), est 
&x2 : XA? z x? : χϑ3, et 
px? : x9? — 80? : 0L?; ergo 
&x2: xÀ? — 80?: 002. Sed erat εχ: xA? zm &x : xf; 
ergo est etiam 
&x : χβ τι. 0? : 0L. 
Rursus quia est. À Axe — ϑχβ, εὐ A 9xe — A uds, et 
Δ Àxe —— A ἔδε (etenim, ut modo demonstravimus, propter 
parallelas fiunt aequiangula), est 
€x : XÀ — fix : x9, et vi- 
cissitn 
ex : fx — xA: x9; atque 
ἐκ : χὰ τᾷ, 60 : δὲ, et vi- 
cissim 
&X : εὃ — xÀ : δὲ: simili- 
ter etiam 
€x : X9 — εὖ : Op, et vi- 
cissim 
€X : δ — x9: p; ergo 
ex aequali 
χὰ. δὲ — x9 : ὃμ 11), et 


vicissim 





ἘΠ Apparet hoc loco scriptorem ineplis ambagibus uti, idque me- 
rito notat V£ his verbis: "Non est τὸ δε ἴσου (elem. 5 def. 48). dic 
brevius: ut x4 ad d£, ita xe ad de, hoc est x9 ad Ju; ergo ul x4 ad 
δξ, ita x9. ad du". Conf. etiam supra p. 165 adnot. **. 


172 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ T. 


AK πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως $ H4 πρὸς 4Μ. ἀλλ᾽ 

AK πρὸς ΚΘ, οὕτως $ ΕΚ πρὸς KB: καὶ ὡς ἄρα 

K πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ 4 πρὸς τὴν 4M. ἴση δὲ 

4 τῇ 4Z: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως 

ἡ Z4 πρὸς τὴν 4M. ἀλλ᾽ ὡς ἡ EK πρὸς τὴν KB, οὕτως ὃ 
τὸ ἀπὸ τῆς B4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z-: καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ 
τῆς B4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 42, οὕτως ἡ Z4 πρὸς τὴν 4M. 

101 Ὅτι δὲ ἴση ἐστὶν ἡ Kd τῇ 4Z δῆλον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἔσειν 
ἡ 4B τῇ ΖΗ, ἰσογώνιόν ἔστι τὸ ABA τρέγωνον τῷ ZAH. καὶ ἐπεὶ 
δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ MEA ΖΖΉ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ X441 4.1810 
ταῖς ὑπὸ ΖΓ .ÍHZ δυσὶν ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν 44 
μιᾷ πλευρᾷ τῇ 4H ἴσην, xol αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς ἴσαι 
ἔσονται ἑχατέρα ἑκατέρᾳ τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας γωνέας. ἴση ἄρα 
ἡ 45 τὴ 42. 

102 Κοινοῦ ἄρα προσληφϑέντος λόγου τοῦ τῆς B4f πρὸς 15 
τὴν 42, ἔσται ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν 4M, οὕτως ὃ ἀπὸ τῆς 
BA κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 4Z, τουτέστιν ὡς ΕΔ πρὸς 
MA, οὕτως ὃ ἀπὸ τῆς E4d κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς AZ. 

103 Καὶ τούτοις ἀκολούϑως δύο τῶν ΕΖ 4M δοϑεισῶν 

᾿ς ληψόμεϑα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. 20 
ἐκκδίσϑωσαν γὰρ ταῖς Ed 52 4M ἴσαι αἱ Ed 42 AM. 
καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ed πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 
42, οὕτως ἡ 42 πρὸς τὴν 4M, δῆλον ὡς ἡ 4M οὐκ 
ἔστι τρίτη ἀνάλογον τῶν E4 AZ. 

El γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ 4M τρέτη ἀνάλογον τῶν Ed 4Z. ἐπεὶ "5 
οὖν ἡ 4M τρίτη ἀνάλογόν ἐστι τῶν EA AZ, ἔστιν ὡς ἡ Ed πρὸς τὴν 
4Ζ, οὕτως ἡ 4Z πρὸς τὴν .1M^ χαὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ 
ἀπὸ τῆς 12, οὕτως ἡ Ed πρὸς 4M. ἀλλ᾽ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ed πρὸς 
τὸ ἀπὸ τῆς 4Ζ, οὕτως ἡ 4Z πρὸς 4Μ δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΖ 
πρὸς τὴν 4M, οὕτως ἡ 4Z πρὸς τὴν [4M ἑκατέρα ἄρα τῶν Ed 42 30 
πρὸς τὴν 4M τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ 4Z, ὅπερ 


NN 


4. 9. ἄλλως ἡ .1Κ Αἱ, corr. man. rec. (BS) 2. 8. ἄρα EK AS, 


ἡ add. B Guelf. 6. τῆς (ante 4Z) om. AB!S, add. B? et, ut vi- 
detur, Guelf. 40. γωνίας τὰς ὑπὸ Kd AR ABS, γωνέας τὰς ὑπὸ 
ξλδ uL V?, corr. Bredow 44. ταῖς ὑπὸ (dg V? Sca Bredow pro 


ταῖς ὑπὸ Ξ5.1 19. λοιπαῖς ἴσαις AB!S, corr. B? 44. ἡ “5 τῆι AR 
ABS, ἡ δὲ τῇ λξ V? Sca (voluerunt ἡ 4Ζ τῇ 4A), corr. Bredow 
45. 16. τῆς B4 πρὸς τὴν 4Z] τῆς Z4 πρὸς τὴν τρέτην ἀνάλογον τῶν 


LIBER ΠΙ. PROPOS. 59. 173 


Àx : XO x 50 : Óu. Sed est Àx : x9 — δὰ : χβ; ergo 
εκ : χβ — £0 : ὃὅμ. Sed est ξδ — OC; ergo 

ex : χβ τῷ LO : Óu. Sed erat ex : χβ — 80? : 0t?; ergo 
B0? : 07? — ζὸ : Op. 

Esse autem £d — d£ apparet. Quoniam enim parallelae sunt ἀξ £y, 
lriangulum 4£À triangulo ηζὺ aequiangulum est. Et quia sunt duo 
triangula ἀξδ ηξζ duos angulos £04 4E duobus ἔδη δηζ, utrumque utri- 
qw, aequales habentia, unumque latus 4d uni lateri δὴ aequale, reli- 


qua igilur etiam latera reliquis, utrumque utrique, quae aequales an- 
gulos subtendunt, aequales erunt (elem. 4, 26); ergo δὲ — δὲ. 


Multiplicatione igitur per proportionem βὸ : ὃζ factà erit 
PE A au ap id est. $ -& d est 
εὃ : ὃμ — 6? : OL. 
lam secundum haec quae demonstravimus , datis duabus 
ἐδ ὃμ, sumemus duas medias proportionales in continua ana- 
logia. Exponantur enim ipsis δὸ 
Ob Ópg aequales δ Ó5 Óp. Εἰ 
quoniam nodo demonstravimus 
esse 80?, id est 
εὖ : δὲ — δξ : Ón, 
apparet ὃμ non esse tertiam pro- 
portionalem rectarum δ óL. 


Nam si fieri potest, sit Ju ter- 
tia proportonalis rectarum εὖ di. 
Iam quia dj tertia est proportio- 
nalis rectarum «ed J£, est εὖ: δὲ — 
0C: Ou ; ergo etiam &e0? : 97? — εδ : du. 
Sed erat ed? : dC? — δὲ : du; ergo ex 
aequali*) est εδ : ὃμ — δξ: Ou; ergo et εδ et δὲ ad dj eandem pro- 
portionem habet, ideoque est εδ — δξ (elem. 5, 9), id quod fieri non 





e 


4) Similiter ac supra (adnot. Ὁ) errorem scriptoris notat V?: non 
est δι᾽ σου. 


B4 AZ ABS (nisi quod S e£ pro extremo .7Ζ), τῆς B4 πρὸς Z4 Sca 
46. 47. ὁ ἀπὸ τῆς Β΄ Sca Bredow pro ὁ ἀπὸ τῆς E4 φῦ, ἔστω 
manus quaedam recentior diversa a Sca in S, ἔστιν ABS 98. ἄλλην 
ὡς Ai, corr. man. rec. (BS), z» om. Bredow 


174 IIAIIIOY ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ T. 


ἀδύνατον (μείζων γὰρ ἡ Ed τῆς 4Z): οὐχ ἄρα ἡ 4M τρίτη ἀνάλογόν 
ἔστιν τῶν ἘΔ AZ. 

Εἰλήφϑω τῶν E4 42 τρίτη ἀνάλογον 7 ΟΠ. ἐπεὶ 
οὖν τῶν E4 AZ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν $j ΟΠ, ἔστιν ὡς ἡ 
E4 πρὸς τὴν AZ, οὕτως ἡ 4Z πρὸς τὴν OII: καὶ ὡς ἄραϑ 
τὸ ἀπὸ τῆς 4E πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z, οὕτως ἡ E4 πρὸς 
τὴν ΟΠ. ἀλλ᾽ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 
AZ, οὕτως ἡ 4Z πρὸς τὴν 4M- δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς 
ἡ E4 πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως $ Z4 πρὸς τὴν 4’ καὶ 
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν AZ, οὕτως ἣ OII!0 
πρὸς τὴν 41M. ἀλλ᾽ ἦν ὡς ἡ Ed πρὸς τὴν 4Ζ, οὕτως ἡ 
AZ πρὸς τὴν OII* καὶ ὡς ἄρα ἡ 4Z πρὸς τὴν OIL, οὕτως 
ἢ ΟΠ πρὸς τὴν 4M: αἱ E4 4Ζ ΟΠ 4M ἄρα τέσσαρες 
οὖσαι ἐν τῇ συνεχεῖ καὶ ἐφεξῆς ἀναλογίᾳ εἰσί" τῶν E4 
4M ἄρα δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν ai 4Ζ ΟΠ. 15 

104 Τῆς δὲ ἀποδείξεως imi τῆς προχειμένης καταγραφῆς 
ἀχολούϑως τῇ ὀργανικῇ κατασκευῇ γενομένης δῆλον ὡς ἣ 
μὲν ὀργανικὴ κατασχευή, δύο δοϑεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων καὶ 
λόγου πρὸς ἀλλήλας τῶν εὐθειῶν δεδομένου, εὑρίσκει τὰς 
δύο μέσας ἀνάλογον, ἐφ᾽ ὧν ὡς 7) πρώτη πρὸς τὴν τετάρ- 30 
την, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 
δευτέρας, ἡ δὲ ἀπόδειξις, ὑποστησαμένη τινὰ εὐθεῖαν καὶ 
ἄλλας δύο λαβοῦσα διὰ τῆς τῶν γραμμῶν καταγραφῆς 
ἐλάττονας μὲν τῆς πρώτης ἐφεξῆς δὲ αὐτῇ κειμένας καὶ 
ἀλλήλαις ἀνίσους, εὑρίσκει ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς 325 
τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὴν δευτέραν πρὸς τὴν ἐλαχί- 
στην. τούτων δὲ τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας προσλα- 
βοῦσα τρίτην ἀνάλογον ἀποδείκνυσιν τὰς δύο μέσας ἀνά- 
λογον οὕτως ϑεωρουμένας ὡς ἐπὲ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς. 
τούτων γὰρ τὸ μὲν συμπέρασμα τὸ αὐτό, δι᾿ ὧν δὲ τοῦτο 30 


3. ἡ ΟΠῚ ἡ 4II Bredowius et similiter posthac, quod sine dubio 


alienum est a mente scriptoris 6. 7. οὕτως ἡ Ed πρὸς τὴν A4II 
ABS, corr. V 7. ἄλλην et 11. αλλην (sine spir. et acc.) A!, corr. man. 
rec. (BS) 9. πρὸς τὴν 4M ABS, corr. Sca Bredow 44. 44. οὕ- 


τως ἡ 4E AB, corr. S 43. ἡ om. A, add. BS 36. post οὕτως Α 
habet τὸ ἀπὸ, sed delevit ea prima manus 39. ἐπὶ ABS, ἦν Bredow 


LIBER lll. PROPOS. 59. ' 175 


polest (namque ed ^ δῶ; ergo du non est tertia proportionalis recta- 
rum «d dC. 
Sumatur rectarum δὸ δζ tertia proportionalis oz. am 
quia rectarum δὃ ó& tertia proportionalis est ozr, est igitur 
δὃ : ὃζ — OL : 07; ergo etiam 


£—— —316 &0? : δ 2 εὃ : oz. Sed erat 
$— ———À6 .602 : δ, τ δὲ ᾿.: 0p; ergo ex aequali 
9 ———3À zt (vid. adnot. 4) est 


εὖ: 07: — OL : ὅμ, ideoque vicissim 
&0 : δὲ — 07m : Óu. Sed erat 

εὃ : OL — 0L: 0x; ergo etiam 

0L : οπ — oz : Óp. 

Ergo quattuor &ó ὃζ oz: ὃμ sunt in continua analogia; itaque 
retlarum δὃ δὃμ duae mediae proportionales sunt ὃξζ or. 

Ita cum in proposita figura 
demonstratio convenienter cum 
organica constructione facta sit, 
apparet per organicam construc- 
tionem, datis duabus rectis in- 
aequalibus (seÓ δμ) ac propor- 
tione rectarum data, inveniri 
duas medias proportionales, qua- 
rum ut prima (66) ad quartam 
(Ou), ita cubus5) ex prima sit ad 
cubum ex secunda (δῇ. Demon- 
Ssiratio autem, cum unam quandam rectam (eO) supposuerit et 
per linearum descriptionem duas alias (0C du) adsumpserit, 
quae minores quam prima et iuxta eam ex ordine positae et 
inter se inaequales sint, ut quadratum ex prima ad quadratum 
ex secunda, ita invenit esse secundam ad minimam (p. 175). 
Et cum ad primam et secundam tertiam proportionalem (ozr) 
adsumpserit, ostendit duas medias proportionales ita conside- 
randas esse ut in organica constructione. Nam ://« quidem 


j—À4u 





5) Rursus scriptor, cum εἶδος huc intulerit, neglegentius versatus 
esi. Etenim εἶδος Euclides elem. 6, 20 coroll. ? de figuris planis ac 
similibus adhibet. Iam nihil obstat, quin idem de solidis figuris dicatur; 
sed hoc Graecus scriptor diserte exponere debebat, velut στερεὸν εἶδος 
ὅμοιόν τὲ καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον (elem. 11, 37), neque vero εἶδος 
simpliciter ponere licebat, cum cubum intellegeret. 


176 IIAITIOY ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ A. 


εὑρίσκεται τῶν πρώτων, οὐ τὸ αὐτό. ἐπὶ μὲν yàg τῆς 

ὀργανικῆς κατασχευῆς, λόγου ÓoSévrog δύο εὐθειῶν ἀνίσων, 

τὸ συμπέρασμα δείκνυται, ἐπὶ δὲ τῆς ἀποδείξεως, μὴ δο- 

ϑέντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν, διὸ ἔτι τοῦτο μένει ζητού- 

μενον, πῶς ἐν λόγῳ δοϑέντι oi τέσσαρες εὐθεῖαι. δεῖ γάρ, 5 
λόγου δοϑέντος τοῦ ὃν ἔχει ἣ πρώτη εὐθεῖα πρὸς τὴν τε- 

τάρτην, ἐν τῷ αὐτῷ λόγω γενέσϑαι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώ- 

της εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τεῦς δευτέρας. 


α΄. Ἐὰν ἢ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν 4B ΒΓ 
ἀναγραφῇ τυχόντα ταραλληλόγραμμα τὰ 4BA4E BIUZH,1C 
χαὶ αἱ 4E ZH ἐκχβληϑῶσιν ἐπὶ τὸ O, καὶ ἐπιζευχϑῇ ἡ 
ΘΒ, γίνεται τὰ .4BA4E ΒΓΖΗ παραλληλόγραμμα ἴσα τῷ 
ὑπὸ τῶν 4I ΘΒ περιεχομένῳ παραλληλογράμμῳ ἐν γωνίᾳ 
ἢ ἐστιν ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΑ͂Γ 408. 

Ἐκβεβλήσθω γὰρ 5 ΘΒ ἐπὶ τὸ K, καὶ διὰ τῶν Α' ΓΞ 
τῇ ΘΚ παράλληλοι ἤχϑωσαν αἱ ΑΑ͂ LM, καὶ ἐπεζεύχϑω 
ἡ 4M. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ 24 4O0B, αἱ 24 4 
ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. ὁμοίως καὶ at ΜΓ OB 
ἴσαι τέ εἶσιν καὶ παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ 71.4 MI ἴσαι 
τέ. εἰσιν καὶ παράλληλοι. καὶ αἱ ΑΞ ΑΙ ἄρα ἴσαι v&20 
καὶ παράλληλοί εἶσιν: παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ 
ΔΓ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ AAT, τουτέστιν συναμφοτέρῳ 





8. δεέκνυται) γένεται Hu &. τοῦτο ABS, τοίνυν Paris. 4868, τὸ 
πρόβλημα Bredow ὄὅ. post εὐθεῖαι add. εὑρέσχκονται Bredow ῥ9. ini- 
tio libri praeter titulum periit praefatio, id quod et aliorum librorum 
similitudo et cap. 78 docent α΄ manus recentissima in B, quae 
etiam βιβλίον δ΄ margini adscripsit, $ S, om. αὶ 10. ἀναγραφῇ τυ- 
χόντα S, ἀναγραφη τυχον | τὰ σημεῖα A, ἀναγραφὴ τυχὸν τὰ σημεῖα 
B τὰ 4B 1Π ΒΓ ZH ABS, coniunx. Ὁ 49. τὰ AB 4E ΒΓ ZH 
A, coniunx. B (BI om. S) 45. ἐκβληϑῆ γὰρ GB A(BS), corr. Hu 
τῶν Al A, distinx. ΒΒ' 47. ἐπεὶ S, ἐπι (sine acc.) A (B cod. Co) 


LIBER IV. PROPOS. 4. 177 


quae in ratiocinando conclusio dicitur eadem est, sed quibus 
ex principiis utrumque efficiatur, non ad idem redit. Nam in 
organica quidem constructione, data proportione duarum rec- 
tarum inaequalium, in demonstratione autem, non data propor- 
tione rectarum, fit conclusio; quapropter hoc relinquitur quod 
quaeratur, quomodo in data proportione quattuor rectae ?n- 
veniantur. Oportet enim, data proportione primae rectae ad 
quartam, in eadem proportione cubum ex prima fieri ad 
eubum ex secunda. 


Pappi Alexandrini eolleetionis liber IV. 


* 


L Si sit triangulum ay, et a rectis αβ By quaelibet ProP- 
parallelogramma αβεὸ βγζη describantur, et rectae δὲ ζῃ pro- 
ducantur ad 9, et iungatur 98, summa parallelogrammorum 
oed βγζη aequalis fit parallelogrammo quod rectis ay 9 
continetur sub angulo qui summae angulorum βαγ 036 aequa- 


lis est. 
Producatur enim 


98 ad x, et per a y 
ipsi 9x parallelae du- 
cantur aÀ yp, et iun- 
gatur Au. Quia paral- 
lelogrammum est «436, 
rectae «A 38 aequales 
et parallelae sunt. Item 
uy 98 aequales et pa- 
rallelae sunt ; itaque et- 
iam eÀ uy aequales et parallelae sunt. Ergo etiam Au «y ae- 
quales et parallelae. Parallelogrammum igitur est αλμγ sub 





47. 48. αἱ 4.198 A, om. B!, dislinx. B3S 18. 49. ὁμοίως — παράλ- 
Amie om. S 18. ΘΒ Co pro OB 20. xoà αἱ 4M non satis per- 
spicua in À 39. 4.4 MT' AB, coniunx. S ToU**|réoriw À 
Pappus I. 12 
΄ 





178 ΠΑΠΠΟῪ ΣΥΝΑΓΩΓΙῊΣ A. 


τῇ τε ὑπὸ ΒΑ͂Γ καὶ ὑπὸ 4OB- ἴση γάρ ἔστιν ἡ ὑπὸ 4“36Β 
τῇ ὑπὸ 41.4B. καὶ ἐπεὶ τὸ 4.418 παραλληλόγραμμον τῷ 
-1.4BOG ἴσον ἐστίν (ἐπί ve γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν 
τῆς 4B καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς .4“8 4790), 
ἀλλὰ τὸ -J444BO τῷ 4ΗΑ͂ΚΝ ἴσον ἐστίν (ἐπί τὸ γὰρ τῆς ὃ 
αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς 4.4 καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλή- 
λοις ταῖς ΑΑ OK), καὶ τὸ “348Ε8Β ἄρα τῷ “ΑΑ͂ΚΝ ἴσον 
ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ xai τὸ ΒΗΖΓ τῷ ΝΚΓΙΜ ἴσον ἐστίν" 
τὰ ἄρα 4.4BE ΒΗΖΓΙ παραλληλόγραμμα τῷ 21.4DM ἴσα 
ἐστίν, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΓ OB ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΓ, τὸ 
T ἐστιν ἴση συναμφοτέραις ταῖς ὑπὸ ΒΑ͂Γ BOA. καὶ ἔστι 
τοῦτο χκαϑολικώτερον πολλῷ τοῦ ἐν τοῖς ὀρϑογωνίοις àni 
τῶν τετραγώνων ἐν τοῖς στοιχείοις δεδειγμένου. 

p. “Ημικύκλιον ἐπὶ τῆς 4B δητὴν ἔχον τὴν διάμετρον, 
καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση καὶ τῇ ΔΒ ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΒΓ, 15 
καὶ ἐφαπτομένη 7) Γ4ά4, καὶ δίχα ἡ B4 περιφέρεια τῷ E 
σημείῳ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ DLE: ὅτι $ ΓΕ ἄλογός ἐστιν ἢ 
καλουμένη ἐλάσσων. 

Εἰλήφϑω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχ- 
ϑωσαν αἱ ΖΩ ΖΕ. ἐπεὶ ὀρϑή ἐστιν ἣ ὑπὸ ZAT, ἐν ἣμι- 30 





χυχλίῳ ἐστὶν τῷ ἐπὶ τῆς ZI, οὗ χέντρον ἐστὶν τὸ B. καὶ 
τῆς B4 ἐπιζευχϑείσης ἰσόπλευρον γίνεται τὸ BZA τρίγω- 
γον, ὥστε διμοίρου μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ 42Ζ8 γωνία, τρίτου 
δὲ ἡ ὑπὸ EZB. ἤχϑω κάϑετος ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὴν “418 
διάμετρον ἡ ΗΕ ἰσογώνιον ἄρα τὸ l'Z4 τρίγωνον τῷ ΕΖΗ: 
4. τέ ὑπὸ ΑΒΓ AB, corr. S 9. τὸ ἀπὸ AABE AB! cod. Co, τὰ 
ἀπὸ λαβε 8, ἀπὸ del. B3 Co 2. 8. τῶι £4 8B AS(B), corr. Co 
5. τὸ 4f GB τῶι 444 ΚΝ ΑΒ, coniunx. S, corr. Co post ἐπέ v 


LIBER iV. PROPOS. 2. 179 


angulo λαγ, id est summáà angulorum flay 098; nam angulus 
038 angulo λαβ aequalis est. Εὖ quoniam parallelogrammum 
δαβε parallelogrammo λαβϑ' aequale est (sunt enim in eadem 
basi αβ et in iisdem parallelis «8 03) , itemque λαβϑ' ipsi Aaxv 
aequale (sunt enim in eadem basi λὰ et in iisdem parallelis 
λα 9x), ergo etiam parallelogrammum δαβὲ parallelogrammo 
λαχν aequale est. Eadem ratione etiam βηζγ ipsi vxyu 
aequale est; ergo summa parallelogrammorum δαβὲ βηζγ 
parallelegrammo Aeyu aequalis est, id est ei quod rectis ay 
69 continetur sub angulo Ae», qui quidem summae angu- 
lrum ey 096 aequalis est. Atque hoc multo est genera- 
lus quam illud quod in tríangulis orthogoniis de quadratis 
in elementis demonstratum est !). 

Hl. Si semicirculus in recta o6, rationalem diametrum Prop. 
habens, et radio aequalis in productà αβ sit By, et ducatur ὃ 
langens yO, et bifariam secetur circumferentia 89 in puncto 
δ, et iungatur ye; dico ye irrationalem esse, quae minor 
vocatur. 

Sumatur semicirculi centrum ζ, et iungantur CÓ Le. 
Quoniam angulus Có» rectus est, idem in semicirculo est 
euius basis by et centrum f. Εἰ iunctà βδ triangulum Có 
fii aequilaterum, itaque angulus δζβ est duarum tertiarum 
recti, et angulus eC tertia pars recti. Ducatur ab e ad dia- 
metrum «f perpendicularis £7; ergo triangulum γζδ ipsi em 
aequiangulum est (quoniam angulus εζη angulo CyÓ aequalis 

4) "Videlicet in 47. primi lib. elementorum. Idem etiam demon- 
Slratur in 84. sexti libri de aliis figuris similibus; sed illud in trian- 
gule rectangulo tantum, hoc (guod Pappus exhibet) in omni triangulo; 


illud de quadratis tantum vel figuris similibus, hoc universe de omni- 
bus parallelogrammis etiam inter se dissimilibus" Co. 


γὰρ A! expunxit «v 7. τὸ 4/1 EB ἄρα τῶι 14 ΚΝ AS, coniunx. 
B* Co, ac similiter in proximis versibus 8. τῶι, KN ΓΜ A(BS), τῷ 
KNMTFP' Co, corr. Hu 42. τοῦτο καὶ ολικώτερον A(BS), corr. Hu au- 
ctore Co 43. post τετραγώνων add. V? “χαὶ τῶν ὁμοίων καὶ ὁμοίως 
ἀναγεγραμμένων lib. 6. Elem." 14. β' add. Β 15. ἴσην AB, corr. 
5 τῇ 48Β add. Co ἔστω ante ἡ BI' add. S 46. τετμήσϑω ante 
ἡ B.1 sdd. Sca 11. ὅτι Co Sca pro οὕτως 
12* 


180 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Δ. 


τριγώνῳ, xai ἔστιν ὡς ἡ ΖΓ πρὸς τὴν D4, ἡ ΕΖ πρὸς 
ΖΗ. ἐπίτριτον δὲ τὸ ἀπὸ ZI τοῦ ἀπὸ L4: ἐπέίέτριτον 
ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ τοῦ ἀπὸ ZH: λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ EZ 
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ὃν ig πρὸς ιβ΄, τοῦ δὲ ἀπὸ ΖΓ 
πρὸς τὸ ἀπὸ EZ ὃν EÓ πρὸς ig. καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἄραδϑδ 
πρὸς τὸ ἀπὸ ZH λόγος ἐστὶν ὃν ξδ΄ πρὸς ιβ΄. ἔστω δ᾽ ἡ 
ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ' καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ 
ΖΓ. λόγος ἄρα τῆς ZI πρὸς τὴν ΖΘ, ὃν wy πρὸς ε΄, καὶ 
τῆς ΖΘ πρὸς ΘΓ ὃν ε΄ πρὸς y καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ZI ἄρα 
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ λόγος ἐστὶν ὃν EÓ' πρὸς κε΄. ἐδείχϑη 10 
δὲ τοῦ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ὃν ξδ΄ πρὸς if: 
καὶ τοῦ ἀπὸ ΘΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ZH λόγος ἐστὶν ὡς κε' 
πρὸς if: αἱ ΘΖ ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον ovu- 
μετροι, καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ dovu- 
μέτρου ἑαυτῇ. καὶ ὅλη v ZO σύμμετρός ἐστιν δητῇ τῇ 15 
AB: ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ OH. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΓ 
καὶ ἢ διπλῆ αὐτῆς ἡ ἄρα δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ZI HO 
ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. καὶ δύναται τὸ δὲς 
ὑπὸ ΓΖ HO ἡ LE: ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ LE. 

Ὅτι δὲ ἡ LE δύναται τὸ δὶς ὑτετὸ ΓΖ ΗΘ, οὕτως ἔσται 2 
δῆλον ἐπεζεύχϑω ἡ ΕΘ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ET ἴσον ἐστὶν τοῖς 
ἀπὸ τῶν EO ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘ OH, ἔστιν δὲ καὶ 
τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ ἴσα τῷ ἀπὸ EZ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ZO OH 
[ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὰ ἀπὸ EO ΘΓ 
μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ l'OH, οὕτως τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ πρὸς τὸ 36 
ἀπὸ ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΖΘΗ͂. καὶ ὡς ἕν πρὸς ἕν, 
πάντα πρὸς πάντα. χαὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῖς ἀπὸ 
ΕΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗῚ, ἴσα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ ΓΕ EG 
ΘΖ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΓ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ͂ μετὰ τοῦ 


4. ἡ EZ Co Sca pro ἡ EH 4. ἐπὶ τρέτον utroque loco A, corr. 
BS 5. τὸ ante ἀπὸ EZ add. S 6. ἔσται δὴ A, ἔσται δὴ ἡ BS, 
corr. V2 (ἔστω δὴ ἡ Sca, sit Co) 7. διπλασίων S, δι {ἐὼν A, di- 
πλάσιον B 8. 9. τὴν ZO ov H πρὸς {{{| τῆς exremo folio A, τὴν 
£9 ὃν ἡ πρὸς .. καὶ τῆς S, corr. B Sca 45. ὅληι ἡ AB, corr. S 
47. xal διπλὴ αὐτῆς del. Sca, ἡ ante διπλῆ add. Hu δὶς add. Co 


LIBER IV. PROPOS. 4. 181 


est; ulerque enim. lertía pars. recti), atque. est Cy : γὸ — 
ἐξ : Cn. Sed est Ly? — 4y0?*); ergo etiam eC? — 4. ζη3, ita- 
que &£2 : Cp? — 16 : 12, et Cy? : eL? 2 64 : 16 (quia ex con- 
siruclione Cy — 3εζ). Sit autem 89 — 168; et est ζβ — 
liy; ergo (y: 9. 2 8:5, et 09: 9y 2 5:3; itaque 
2: L9? τῷ 64 : 25... Sed demonstravimus etiam £y? : 5»? τῷ 
06: 12, itaque C9?: ζη — 25 : 12; ergo rectae 59 C» ra- 
üonales sunt potentia solum commensurabiles, et quadrato- 
run ex L2 D» differentia quadratum est ex recta quadam 
sibi ipsi incommensurabili!). Et tota 59: commensurabilis 
est rationali «8**); ergo 9$ apoteme quarta est (elem. 10 
defin. tertiarum 4). Sed Ly rationalis est, itemque dupla 
by; ergo recta, cuius quadratum duplo rectangulo ex £y 3: 
aequale est, irrationalis est, quae minor vocatur (elem. 10, 
9). Et est 20y- 99 τῷ ys?; ergo ye minor est. 

Esse autem ye? 2 20-97 sic apparebit. lungatur ε9. 
Quoniam propler elem. 2, 12 est 

γεῖ zz 69? τ 9y? -ἰἰ 3γϑ. 97, atque 

£92 « 90? — s? -- 20:9. 99"), sunt igitur 

γε -- £9? -- 90? 5 69? 4- 99? -- 67 -- 259. 95 -ε 259 97, 

id est (quia γϑ 4- £9. — Ὁ) 


*| Est enim £y — 2(0, ideoque £y? — 4007. Sed est eliam iy? — 
{δ᾽ 4, dy?; ergo (0? — 1 yà?, et ty? — $y0? (Co). 


4) Scilicet 35 — 42 — 13, et V 13 iriationalis est. 
**) Est enim 49 Ξῷ (8 - 89 — 4$ a8 -- o8 — $ αβ. 


***) Hoc efficitur ex elem. 2, 13 cum commentariis Commandini . 
(fol. 35) vel Clavii (p. 199 sq.. Nimirum illad theorema, quod Eucli- 
des de oxygonio tantum triangulo posuit, valet etiam de orthogonio et 
amblygonio. 


48. post ἐλάσσων add. ἐστιν A, ἐστὶ B?S, om. B! Sca 21. ἐπεὶ BS, 
ἐπὶ A 22. 23. xal τὸ ἀπὸ A, corr. BS 394. ἀνάλογον — 28. δὲς 
ὑπὸ l'OH, manifestum interpretamentum, del. Hu πρὸς τὸ ἀπὸ ABS, 
corr.Í Hu auctore Co — 25. οὕτως τὸ ἀπὸ A Paris. 2368, οὕτω τὸ ἀπὸ 
B, corr. S (an forte Sca?) 36. ὑπὸ ΖΘΗ͂ Sca pro ὑπὸ ΖΗΘ 
97. πρὸς πάντα add. Hu auctore Co 48. ὑπὸ ΓΘΗ Sca, ὑπὸ CEGH 
AS, ὑπὸ γε ϑὴ Β 49. ὑπὸ ΓΘΗ͂ Sca pro ὑπὸ H6 


182 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


δὶς ὑπὸ ZOH, τουτέστιν τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ. κοινὸν 

ἀφηρήσϑω τὸ ἀπὸ EO- λοιπὰ ἄρα τὰ ἀπὸ ED ZO ἴσα 

ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΕΖ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ. ὧν τὸ 

ἀπὸ ΖΘ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν EZ OLD (τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς 

ZO ἐστὶν χε', τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΓ 9', καὶ τὸ ἀπὸ EZ ig):5 
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ LE ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΖΙΓ HO. 

y. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς [4D ῥητὴν ἔχον τὴν διά- 
μδτρον, καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω ἡ L4, xai ἐφα- 
᾿ πτομένη ἡ 48, καὶ δίχα τετμήσϑω ἡ ὑπὸ LAB γωνία ὑπὸ 
τῆς 4Ζ: ὅτι d 42 ὑπεροχή ἐστιν $ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύοιο 
ὀνομάτων τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης. 

Εἰλήφϑω γὰρ τὸ Η κέντρον τοῦ ἡμιχυχλίου, καὶ ἐπε- 
ζεύχϑω ἡ BH, καὶ ἐπὶ τῆς HA γεγράφϑω ἡμικύκλιον τὸ 
HBA, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ AZ ἐπὶ τὸ K* ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 
ΒΚ περιφέρεια τῇ ΚΗ. ἤχϑω κάϑετος ἐπὶ τὴν AT ἡ ΚΑ͂. 15 





xai ἐτιεὶ ξξαγώνου ἐστὶν πλευρὰ ἣ BH, ἡμίσεια δὲ τῆς 
ἑξαγώνου ἡ ΚΑΊ (ἐκβαλλομένη γὰρ τὴν διπλῆν τῆς KH 
περιφερείας ὑποτείνει), διπλασία ἄρα ἡ BH τῆς ΚΑ, 
τουτέστιν ἡ ΓΚ τῆς ΚΑ. καὶ ἔστιν ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ ΚαΓ΄' 
ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ KT τοῦ ἀπὸ D 4, τουτέστιν 20 
τὸ ἀπὸ 4Γ τοῦ ἀπὸ ΓΖ’ αἱ AT ΓΑ͂ ἄρα ῥηταί εἶσιν δυ-- 
γάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ 4Γ τῆς L4 μεῖζον δύναται 
τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἕξαυτῇ, καὶ ἡ μείζων ἡ 4Γ σύμμετρός 
ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ. ἐκ δύο ὀνομάτων ἄρα πρώτη ἐστὶν i) 
AA, ῥητὴ δὲ $ Hd: 5 ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν HA χωρίον 25 





6. ὑπὸ ΖΓΝΘ AS, ὑπὸ yt ηϑ B!, corr. Β8 Co Sca 7. F A! in 
marg. (BS) ἐπὶ Co pro ἀπὸ 98. γωνία ἡ ὑπὸ À, yovía ἡ ὑπὸ B9S, 


LIBER IV. PROPOS. 8. 183 


— 692 -- 9j? -- 62 -- 20y. ϑη.  Com- 
mune auferatur &e3?; restant igitur 
y6? -- 90? z2 9y? -- εἴ - 20y - 9n. Et est 90? — e? 4- 95? 
(quia quadrato ex 89 pro unitate 
supposito demonstravimus esse 90? 
— 35, 42 — 46, 9γ) το 9); per 
subtractionem igitur est 
y&) e& 20y- 97. 


III. Sit semicirculus in recta «y, diametrum rationalem Prop. 
3 


habens, et producatur «y ac semidiametro aequalis sit 70, 
et ducatur tangens Óf, et angulus yÓf rectà Ó& bifariam se- 
celur; dico rectam OL differentiam esse qua recta ex binis 
nominibus (elem. 10 defin. secund.) eam superat quae cum 
rationali medium totum efficit (elem. 40, 96). 

Sumatur enim semicirculi centrum ἢ, et iungatur 6m, 
et in recta ηὃ describatur semicirculus ηβδ, et producatur 
ὃζ ad x punctum circumferentiae ; ergo circumferentiae fx xn 
inter se aequale8 sunt. Ducatur χὰ perpendicularis ad «y. 
Et quia 85 hexagoni circulo ?nscripti latus est (elem. 4, 45 
coroll, eiusque dimidia pars est χὰ (quoniam x4 producta 
circumferentiam duplam ipsius x5 et aequalem circumferentiae 
Bx subtendit), est igitur βὴ — xA, id est yx — 2xÀ. Et 
rectus est angulus xÀy; ergo est xy? — 514? (propos. 2), id 
est 0j? — 4yÀ?; itaque à yÀ rationales sunt potentia solum 
commensurabiles, et quadratum ex óy superat quadratum ex. 
yÀ quadrato ex recta sibi ipsi commensurabili, et maior y 
longitudine commensurabilis est rationali «y; ergo AÓ est ex 
binis nominibus prima (10 def. sec. 1), et rationalis ηδ; ita- 
que recta, cuius quadratum rectangulo sub yó ÓÀ contento 


γωνέᾳς τῇ ὑπὸ Bl, corr. Sca 40. ὅτε Co Sca pro οὕτως 41. ποι- 
οὐσης S, item A, nisi quod οὐσῆς paene evanuit, ποιοῦσα B, π...... V 
48. 14. τὸ HB4 B Sca, τὸ HB* A, τὸ 88 Co. 44. ἡ AZ ἐπὶ τὸ Καὶ 
Hu, ἡ ZAK ABS, ἡ ΖΚ Co 1ὅ. τῇ KH add. Sca (τῇ KH περι- 
᾿φερείᾳ voluit Co) 40. ἐπεὶ τρέτον Αἴ, corr. A*(BS) 34. τὸ ἀπὸ 
Sca, ἡ B!, om. AB3S 33. ἀπὸ ἀσυμμέτρου AS, ἀπὸ τῆς ασυμμέ- 
zgov B, corr. Co Sca 24. ῥητὴ AB, corr. S 


184 IIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Δ. 


δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. δύ- 
γαται δὲ αὐτὸ ἡ 4K (διὰ γὰρ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ HAK 
τρίγωνον τῷ 44K τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ H4 πρὸς AK, ἡ 
ΚΖ πρὸς 4.1): ἡ 4K ἄρα ἐκ δίο ὀνομάτων ἐστίν. καὶ 
ἐπεὶ διμοίρου ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία καὶ ἴση ἡ HB τῇ 
HE, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΗΓ τρίγωνον. ἤχϑω δὴ 
κάϑετος ἣ BO: διπλῇ ἄρα ἐστὲν ἡ ΗΓ, τουτέστιν ἡ AT, 
τῆς ΓΘ. χαὶ ἐδείχϑη τὸ ἀπὸ AT. τοῦ ἀπὸ ΓΑ͂ ἐπίτριτον᾽ 





ω ] 7) λ, ϑ γ ÓÜ 


τὸ ἄρα ἀπὸ Γ τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ DO: αἱ AT 
ΓΘ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ 4T: 
τῆς ΓΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ξαυτῇ, καὶ τὸ 
ἔλασσον ὄνομα τὸ ΓΘ σύμμετρόν ἐστιν ῥητῇ τῇ [4T ἡ 40 
ἄρα ἀποτομή ἔστιν πέμπτη. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ὑπὸ ΖῊΘ 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ BH διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ BHO 
BHA τρίγωνα, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΗ. ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΚΗ͂! 
διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ KH.1 KHA τρίγωνα, ἔστιν ἄρα 
ὡς τὸ ὑπὸ 4Π|Θ πρὸς τὸ- ἀπὸ BH, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΉΚ 
πρὸς τὸ ἀπὸ KH. xai ἐναλλάξ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΖΗΘ πρὸς 
τὸ ὑπὸ 4“, οὕτως ἡ OH πρὸς τὴν H4 [κοινὸν γὰρ ὕψος 
τὸ 4H]: καὶ ὡς ἄρα 7 ΘΗ πρὸς τὴν H.4, οὕτως τὸ ἀπὸ! 


hl 


BH, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ZH, πρὸς τὸ ἀπὸ HK- διελόντι 


3. ἡ 4K Sca, HAK A, qóx ΒΒ 8. τῷ 4.Κ Co pro τῶι H.AK 
4. ἡ δὲ 4K ἄρα ABS, corr. Sca 5. ἐπε διμοίρου AB, corr. S 
ἴση »xx τῆι A!, ἴση HB τῆι A?S, ἡ add. B 7. χαϑετὸος ΗΒΖΘ AB, 
κάϑετος yBÀd S, corr. Sca 8. ἐπὶ τρίτον A!, corr. AXBS) 48. xoi 
ἐπεὶ — p. 486, 2. τὸ ἀπὸ HK iniuria om. Co (conf. adnot. ad p. 486, 3) 
418. uiv ὑπὸ ΗΘ AB!S, corr. B3 Sca 45. ὑπὸ 4H.1 Sca pro 





LIBER IV. PROPOS. 3. 185 


sequale est, irrationalis est quae ex binis nominibus vocatur 
(elem. 40, 55). Sed est Ox? — ηδ. δὰ (nam propter trian- 
gulorum ηδχ xÓdàÀ similitudinem est ηὃ : Óx — ὄχ : δλ) ; ergo 
rela Ox est ex binis nominibus. Εὖ quia angulus gry dua- 
rum tertiarum recti est et n9 yy aequales sunt!), triangulum 
igtur βὴγ aequilaterum est. lam ducatur perpendicularis 
B9; est igitur py — ὃγ — 3γϑ. Et demonstratum est ày? 
Ξ ἀγλ2; ergo 4 y9? 2 4γλ2, id est 3y9? — yM; itaque yÀ 
γ9 rationales sunt potentia solum commensurabiles, et qua- 
dratum ex yÀ superat quadratum ex 72 quadrato ex recta 
sibi ipsi incommensurabili, et minus nomen 72 commensu- 
rbilee est rationali ay; ergo 49 apotome quinta est (elem. 
0 def. tert. δ). Et quoniam propter triangulorum 859 δηβ 
similitudinem est 8n: 99 2 δὴ: B», id est 

0n: 79 — ny, 
εἰ propter triangulorum x24 δὴκ similitudinem x5 : yÀ — 
δη: χη, id est 

δηλ 2 κῃ, est igitur 


dg - δη. E 
1 jum et vicissim 











po ox 
óp-»9 — gn δη.η — 9, : 
δη. ηλ κηϑ᾿ Sed est Jg.»i ^ ηλ᾽ “80 euam 
2 2 " 
ὅς 97 .. ὄπ. dirimendo igitur est 


ηλ x? χη: 


4) Angulum βηγ duarum tertiarum recti esse scriptor inde effecisse 
videtur, quod antea demonstravit 85 latus hexagoni esse; praeterea 
elem. 4, 5 adhibuit, ut aequiangulum, ideoque aequilaterum triangulum 
esse ostenderet. Sed rectius, nisi fallor, in superiore propositione idem 
demonstratum est. 


ὑπὸ BH.A ἀπὸ KH idem pro ἀπὸ Κα 46. ἔστιν ἄρα idem 
ΡῸ ἄρα ἐστιν — 47. ὑπὸ (ante 4H.4) add. idem 18. x«i add. idem 
ἐναλλάξ) ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ 4110 πρὸς τὸ ὑπὸ 4H.4, οὕτως τὸ ἀπὸ 
ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΙ Sca, quae nos ab ipso scriptore, tanquam tacite 
supplenda, omissa esse censemus ideoque in Latinam versionem reie- 
cimus ὡς dà? Sca pro dé ὡς 49. 20. χοινὸν — τὸ ΔῊ del. Hu 
34. πρὸς τὸ ἀπὸ HK Sca pro πρὸς τὸ 4HK 





180 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS A. 


ἄρα ἐστὶν ὡς 7 ΘΙ πρὸς ΛΗ͂, οὕτως τὸ ἀπὸ KZ πρὸς 

τὸ ἀπὸ ΗΚ. καὶ ἐδείχϑη ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΔΉ. τῷ ἀπὸ 

HK: ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν 4H 409 τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ 

ἔστιν ἡ μὲν ,.1Θ ἀποτομὴ τιέμπτη, ἣ δὲ ΔΉ ῥητή" ἢ ἄρα 

KZ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὕλον ποιοῦσά ἐστιν. ἐδείχϑη ὃ 
δὲ καὶ ἢ AK ἐκ δύο ὀνομάτων᾽ λοιπὴ ἄρα n AZ ὑπεροχή 

ἐστιν ἢ ὑπερέχει ἢ &x δύο ὀνομάτων τῆς μετὰ δητοῦ μέσον 

τὸ ὅλον ποιούσης. 

0'. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ E, διά- 
μετρος δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ἐφαπτομένη 7) 444 συμπίπτουσα τῇ 10 
ΒΓ κατὰ τὸ 4, καὶ διήχϑω ἡ AZ, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ 4 
ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ H, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ZKH H.10* 
ὅτι ἴση ἐστὲν ἡ EK τῇ ΕΑ. 

Γεγονέτω xoi ἤχϑω τῇ ΚΑ παράλληλος ἡ ORM: ἴση 
ἄρα καὶ 5) ΜΕ τῇ ΞΘ. ἤχϑω ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὴν ΖΘΙιΞ 
χκάϑετος ἡ ΕΝ' ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΝ τῇ NO. ἦν δὲ καὶ 
ἡ MA τῇ KO: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ NE τῇ MZ: οὕτως 


. ἐστὶν Hu pro ἔσται 4. 9. τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ HK Hu 
;uctore Sca pro τὸ ὑπὸ τῶν 4H 40 πρὸς τὸ ὑπὸ 4H.4 Ι. τὸ ἀπὸ 
KZ — 8. τῷ ἀπὸ KZ] τὸ ἀπὸ KZ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ 
ἀπὸ KH ἴσον ἐστι τῷ ὑπὸ 4H.4, ἔσται xal ὡς ἡ ΘΑ͂ πρὸς “Η, τὸ 
ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΗ.4. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ O.4 πρὸς JH, τὸ ὑπὸ 
4H 40 πρὸς τὸ vnó 414. καὶ τὸ ὑπὸ 4H .10 ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ 
44H.4 ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ὑπὸ 4H 4. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ 
ἀπὸ ΚΖ τῷ ὑπὸ 4H .10 Sca, in quibus vir acutissimus iusto liberius 
Scripturam traditam evagatus esse videtur (conf. adnot. ad p. 184, 48 et 
Lat. versionem) — 2. x«l ἐδεέχϑη — 3. τῷ ἀπὸ KZ) ostensum autem 
est rectangulum quod. 4H 169 continetur quadralo ex KZ aequale esse 
Co, ad quae addit: ubi hoc ostensum sit, nondum comperi , nisi fortasse 
ipse ostenderit in superioribus, quod tamen non apparet; nos autem illud 
ipsum ostendere sequenti lemmate nitemur | (sequitur languida demon- 
stratio quaeque longe ab elegantia Graeci scriptoris a nobis restituta 
abhorreat) 5. μεταρητου [///[] 9/// | ποιοῦσα A Δ, μετὰ τοῦ ῥητοῦ μέ- 
σον τὸν λόγον ποιοῦσα Bl, corr. B3S 6. ἡ AK ἐκ δι Null 42 
ὑπεροχή À, ἡ Óx ἐκ δύο ὀνομάτων ...... . ᾿ς B!S, ἡ ἄρα add. B?, corr. 
Sca 7. ἢ (ante àx dvo) add. Sca 9. 41 Alin marg. (BS) 41. κατὰ 
τὸ 4 xci διήχϑω ἡ AZ Sca (quia paulo post pro ἡ 4E, quod recte 
AB? praebent, in B!S ἡ de legitur) 43. post H.40 add. αϑὲ S 


LIBER IV. PROPOS. 4. 187 








— 2 .— xn? 2 . 
$— m LP T id. est LL n Et demonstravi- 
ηλ x1) àp κη : 
mus esse δῃ -ηλ — χη, ergo eliam 
2 
" ΞΞ m . QSed est etiam 
$4. 31119. ergo 
Àg  0Qq:35À^ 8 


09: À9. — κζ3. 
Et est. 49: apotome quinta, et Ó7 rationalis; ergo recta κζ 
est quae cum rationali medium totum efficit (elem. 10, 96). 
Sed demonstravimus etiam rectam Óx esse ex binis nomini- 
bus; ergo per subtractionem recta OL differentia est qua 
eta ex binis nominibus eam superat quae cum rationali 
medium totum efficit. | 

IV. Sit circulus oy, cuius centrum sit e, diametrus Prop. 
. By, et tangens «ó, quae productae By occurrat in ὃ, et a 
puncto d per circulum ducatur recta 0965, et iuncta ae pro- 
ducatur ad ἡ punctum circumferenliae, et iungantur rectae 
Um qÀA9 ; dico rectas sx δὰ inter se aequales esse. 





Factum iam sit, et ipsi χὰ parallela ducatur u$9; est 
igiiur u$ — 59.  Ducatur ab & ad 6&9 perpendicularis e»; 
est igifur Gv — v3: (elem. 5, 5). Sed erat etiam μὲ — 83; 


48. ὅτι Co Sca pro οὕτως 17. παράλληλος et superscr. ia Paris. 2368, 
ἴσῃ in contextu AB cod. Co, παράλληλος S Co 


7 


8 


188 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ A. 


ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ONA τῇ ὑπὸ τῶν NZM, 
τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑ͂Ξ' οὕτως ἄρα ἐν κύκλῳ ἐστὶν 
và Α͂Ν AH Θ σημεῖα’ οὕτως ἄρα ἴση ἐστὶν T) ὑπὸ τῶν 
ANO γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑἼἸΞΘ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν 
AE.1: οὕτως ἄρα ἐν χύχλῳ ἐστὶν τὰ Α͂ N E 4 σημεῖα. 5 
ἔστιν δέ᾽ ὀρϑὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν Ε“4 ENA. 

Συντεϑήσεται δὴ οὕτως. ἐπεὶ ὀρϑή ἐστιν ἑκατέρα τῶν 
ὑπὸ τῶν E.44 ΕΝ.1, ἐν χύκλῳ ἐστὶν τὰ d 4 ΕΝ σημεῖα" 
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ NA τῇ ὑπὸ 414. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ 
“44 ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ 4,1ΞΘ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΕΖ 19- 
AO: ἐν κύκλῳ ἄρα τὰ ΑΙ N Κὶ Θ σημεῖα: iom ἄρα ἐσεὶν 
ἣ ὑπὸ ΘΑ͂Ξ γωνία τῇ ὑπὸ ONE. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΘΑ͂Ξ ἴση 
ἐστὶν τῇ ὑπὸ OZIM: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΙΜ τῇ ΝΞ. 
καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΝ τῇ NO- ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ME τῇ 
AO. καὶ ἔστιν ὡς ἡ EH πρὸς HE, οὕτως ἣ μὲν EM πρὸς 15 
EK, ἡ δὲ O5 πρὸς AE: καὶ ὡς ἄρα ἡ ἘΠῚ πρὸς EK, 
οὕτως 1) OX πρὸς .,Ε. καὶ ἐναλλάξ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ME 
vj ΞΘ' ἴση ἄρα καὶ 7 KE τῇ AE. 

ε΄. Ἔστω κύκλος ὃ ΑΒΓ, καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ 24.4 1T, 
καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΑΓ, καὶ διήχϑω ἡ ΕΖ, ἔστω δὲ ἡ ΕΗ ἢ 
ἴση τῇ HZ: ὅτι καὶ ἡ OH τῇ ΗΚ ἐστὶν ἴση. 

Ἤχϑω τῇ .4U παράλληλος $ EM, καὶ εἰλήφϑω τὸ 
κέντρον τοῦ γύχλου τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ d AZ 
AT 4M AE ,1Η. ἐπεὶ ἴση ἐστὲν ἢ EH τῇ ΗΖ, ἴση dosi» 
xci ἡ MEI τῇ ΓΖ. καὶ ἔστιν ἢ Ml πρὸς ὀρϑὰς τῇ D.4:25 


92. τοῦτ᾽ ἔστ À, τουτέστι BS 3. τὰ .4N A6 A, distinx. B (pro A 
et hic et infra passim S habet δ: conf. ad p. 486, 44) 5. τὰ 4EN 


σημεῖα A, dislinx. B, τὰ αενὸ σημεῖα S, corr. Hu 8. τὰ 44 EN 
AS, distinx. B 40. dió AB cod. Co, corr. S Co 40. 44. τὰς El 
ΞΘ Co, τὰ EEG A (B cod. Co), τὰς εἰ E9 S 44. τὰ .$N X6 A, 
distinx. B (τὰ δνξϑ S) 43. ἔστιν τῆι ὑπὸ €NXE A(B cod. Co), ἐσεὶ 
τῇ ὑπὸ 90» S, corr. Co ἡ ΖΗ Co pro ἡ ZUM 46. EK rij δὲ 
ΘΞ πρὸς «4E ἃ (B cod. Co), corr. S Co 46. 41. πρὸς ΘΚ οὕτως 
AB cod. Co, corr. S Co 47. χαὶ (ante ἴση) add. A! super vs. 


49. E A! in marg. (8), om. B 80--88. ἔστω | /// /// ///| [Ζ οὕτω; 
καὶ | /////[[[[|| n ἤχϑω A, ἔστω xci ἴση ἡ m9 τῇ nx (nj B?) οὕτως κα 





LIBER IV. PROPOS. 5. 189 


ergo parallelae. sunt »$ Cu (elem. 6, 2); itaque [, 9»5 τῷ 
L*tu — L ϑαξἢ. Ergo puncta 9 a » 5 sunt in circum- 
ferentia circuli (ec elem. 5, 21 conversa); itaque [ ανϑ' — 
[La59 τῷ [ asà. Ergo puncta α ν & ὃ sunt in circumferen- 
tia circuli. Sunt vero; nam ea constructione uterque angu- 
lum ead &vÓ rectus est. 

Componetur hoc modo. Quoniam uterque angulorum 
& &vÓ rectus est, in circuli igitur circumferentia sunt puncta 
&0 € v, ideoque [ ανὸ — [ «ed. Sed propter parallelas 
εὃ 59. est [, αὲὸ τε { «59; ergo puncta « » £ 9 sunt in cir- 
cli circumferentia; itaque /, 9a& 2» L 9»&. Sed ex con- 
siructione est [, ϑαξ — L ϑζμ (sunt enim in eodem segmento 
719); ergo 4. ϑζμ τὸ L 9v&, ideoque parallelae Cu »$. Et est 
ἕν — v9 (elem. 3, 3) ; ergo est μὲ — 59. Et, quia ex con- 
structione  parallelae sunt. u9 xÀ, est £p : ey — μὲ : xs — 
I9: ελ, et vicissim μὲ: £9 — xe: sÀ. Et est μξ 2 59; 
ergo etiam χε — «4. ; 

V. Sit circulus «gy, et tangentes αὖ dy, et iungatur Prop. 
ay, ei rectum ay in ἡ secans inter ad Oy recta εζ ita duca- 3 
tur, ut portiones ep ζ inter se 
aequales sint; dico etiam ϑη $x 
(id est portiones quae sunt intra 
circulum) inter se aequales esse. 

Ducatur rectae «y parallela 
&u, et sumatur circuli centrum 4, 
et iungantur λὰ AC Ày Àu Ae λη. 
Quoniam est ep — ηζ, propter 
parallelas yy eu est etiam uy Ξξ 
yt. Et est uy ipsi yÀ perpen- 
dicularis (elem. 5, 18); ergo est 





*) Anguli enim νῴμ 3«£, id est 94x ϑαη, in eodem Sunt segmento 
(elem. 3, 21). | 


TP ἤχϑω B, ἔστω δὲ ἡ em ἴση τῇ ηξ οὕτως καὶ ἡ 35 τῇ qx ἔσται 
ἴση. ἤχϑω S, reliqua corr. Có 32. 23. τὸ Καὶ χέντρον AB!, x del. 
Bj, om. S 3234. .4E add. 5 25. ἡ ΤΓ add. S 


190 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Δ. 


. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ,1Ζ τῇ 4M. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ 44 
τῇ ΖΓ, ἴση ἐστὶν ἡ 4E τῇ MI. ἔστιν δὲ καὶ ἡ 44 τῇ 
ΑΓ ἴση, καὶ ὀρϑὴ ἢ ὑπὸ τῶν ἘΑ͂.4 ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ τῶν 
MIA ἐστὶν ἴση" ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἣ ΕΑ τῇ .4M , τουτ- 
ἔστιν τῇ MZ. ἀλλὰ καὶ ἡ EH τῇ ΗΖ ἐστὶν Von: ἡ H.45 
ἄρα κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν EZ* ἴση ἄρα ἐσεὶν ἧ OH τῇ ΗΚ. 

9 ς΄. Ἔστω κύχλος ὁ J4BI' καὶ ἐφαπεόμεναι αἱ 44 AT, 
καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΑΓ καὶ διήχϑω ἡ ΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ 
HO τῇ HK: ὅτι καὶ ἡ EH τῇ ΗΖ ἐσεὶν ἴση. 

Εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ xv-10 
κλου τὸ 44, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν ai 
EA AA ΠΗ ΔΖ ΑΓ. ἐπεὶ ὀρϑή 
ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν E44 
ΕΗ, ἐν χκύχλῳ ἐστὶ τ E AH A 
σημεῖα" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν 16 





ΤῸ Η.4.1 γωνία τῇ ὑπὸ τῶν HEAÀ 
“.- “λ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ ὀρϑή ἐστιν &xa- 
έ "V τέρα τῶν ὑπὸ vOv ΗΖ TZ, ἐν 
κύχλῳ ἐστὲν τὰ 1 H ΖΓ σημεῖα" 

f ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν HI A4 γω- 30 


vía, τουτέστιν T7) ὑπὸ τῶν H.4.4, τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν 
ΗΕ., τῇ ὑπὸ τῶν HZ: ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ EA τῇ AZ. 
xci ἔστιν κάϑετος ἣ ΔΗ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ EH τῇ ΗΖ. 

10 Ἐὰν ὦσιν τρεῖς κύκλοι τῇ ϑέσει καὶ τῷ μεγέϑεε δεδο- 
μένοι καὶ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων, καὶ ὃ περιλαμβάνων αὐὖ- 25 
τοὺς κύκλος δοϑεὶς ἔσται τῷ μεγέϑει. προγράφεται δὲ τάδε. 

11 C. Τετράπλευρον τὸ .4BUA4 ὀρϑὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ 
γωνίαν καὶ δοθεῖσαν ἑκάστην τῶν ΑΒ ΒΓ Γά 44 e- 
ϑειῶν: δεῖξαι δοϑεῖσαν τὴν ἐπιξευγνύουσαν τὰ 4] B σημεῖα 
[τὴν B4]. 30 


5. τῆι AZ A? ex τῆι 4, 1. & A! in marg. (S), ΕἾΒ — ef add. 
Hu 59. ὅτι Co pro ovrog 44. 4H AZ AT Hu, ΑΓ AH ABS, 4r 
AH 4Z Co 48. τῶν ὑπὸ τῶν S, τῶν αὐτῶν AB — 44. 45. ἐν χύχλῳφ 
— σημεῖα el ἄρα add. Co 18. “ΗΖ Hu pro .44HK 418. 49, ἐν 
κύχλῳ Co pro χύχλων 49. τὰ 4 IIZT' À, distinx. BS 24. τουτέστιν 


ἢ ὑπὸ τῶν HLAK ABS, corr. Sca, om. Co 234. numerum 4?" prae- 


LIBER IV. PROPOS. 6. 7. 191 


λξ τ Àu (elem. 4, 4). Et quoniam est αὖ — δγ ἢ, est igitur 
propter parallelas ay &u Δ ady — Δ εδιε, ideoque ed — Oy, et 
subiraohendo && — yu. Sed est etiam a4 — Ay, et 4 εαλ — 
ἰμγλ: (uterque enim rectus est); ergo est &À — ἀμ — ᾳ λζ (ut 
statim demonstravimus). Sed ex hypothesi est etiam &r — vC; 
ergo triangula. &Àn ζλη inter se aequalia. sunt et similia, ideo- 
que 4 perpendicularis est ipsi ἐζ; itaque 9: — 7x (elem. 3, 5). 

VL Sit circulus afy, et tangentes αὖ óy, et iungatur Prop. 
ay, et. similiter atque in. superiore theoremate recta εζ ita du- 
catur, αὐ sit 9: — sx; dico esse etiam δῇ z mL. 

Sumatur circuli centrum A, et iungantur eA λὰ λὴ AC 
ly. Quoniam propter elem. 5, 18 et 3 uterque angulorum 
ec) δηλ rectus est, in circuli circumferentia sunt puncta 
£07 À; ergo est [, ηαλ Ξε L ηελ (elem. 9, 21). Rursus quia 
Uerque angulorum Ag£ ἀγζ rectus est, in circuli circumfe- 
rentia sunt. puncta ὁ η ζ y; ergo est L ηγὰ —- L ηζλ. Et 
est (. ηγὰ — L ηαλ — L yeÀ (ut modo demonstravimus) ; ergo 
L9cÀ τὸ L ηζλ; itaque aequicrure est triangulum ελζ Εἰ 
est perpendicularis 45; ergo est δὴ — ηζ. 

Si sint tres circuli positione et magnitudine dati et inter 
se tangentes, circulus quoque qui eos comprehendit magni- 
ludine datus erit!). Praemittuntur autem haec. 

VII. Sit quadrilaterum αβγδ, angulum αβγ rectum et Prop. 
singulas αβ By γὸ da magnitudine datas habens; demonstre- 
tur rectam quae puncta 8 Ó coniungit magnitudine datam 
esse?) . 


*) Nullum eiusmodi theorema in Euclidis elementis invenitur; et 
est corollarium ad 4 propos. 36, quod auctore Campano disertis verbis 
addidit Commandinus, veteres autem ut consentaneum omiserunt. 


4) Vide infra propos. 10. 


2) Sine dubio scriptor, ut supra iam significavimus, hoc agit, ut 
quadrilateri, cuius unus arígulus rectus sit, lateribus magnitudine 
datis, nulla positionis laterum ratione habita, demonstret diagona- 
lem, quae rectum angulum secat, magnitudine datam esse. Ceterum 
punctorum « 8 y δ positionis plures sunt casus, e quibus unum tan- 
tum eligit, reliquos omittit. Conf. p. 195 adnot. *. 


mittit B 235. ἐφαπτομένη Αἴ, corr. A?(BS) 27. & add. Hu 
30. τὴν B4 del. Co 


192 ΠΑΠΠΟΥ EYNATOTHS Δ. 


Ἐπεζεύχϑω ἡ ΑΓ καὶ κάϑετοι ἤχϑωσαν ἐπὶ μὲν τὴν 
ΓΖ ἡ ΔΉ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΓ ἢ BE. ἐπεὶ οὖν ἑχατέρα τῶν 
“48 ΒΓ δοθεῖσα ἐστιν [ἢ ἐν ἀριϑμοϊῖς], xai ὀρϑή ἔστιν ἡ 
ὑπὸ ABI, καὶ κάϑετός ἐστιν ἡ BE, δοϑεῖσα ἄρα ἔσται 
β καὶ ἑκάστη τῶν 4 ΕΓ ΑΓ 
BE (καὶ γὰρ τὸ ὑπὸ .4LE 
ἴσον ὃν τῷ ἀπὸ ΒΓ γένεται 
δοϑέν" καὶ δοϑεῖσά ἐστιν ἡ 
ΑΓ, ὥστε ἑκάστη τῶν 4E 
ΕΓ ΒΕ ἔσται δοϑεῖσα'. πά- ft 
ó παν σϑἱν λιν ἐπεὶ δοϑεῖσά ἐστιν ἕκά- 
στη τῶν ΑΓ Γά ΔΑ͂ εὑ- 
ϑειῶν, καὶ κάϑετός ἐστιν ἢ ΑΗ, δοϑεῖσά ἐστι καὶ ἑκάστη τῶν 
4H ΗΓ ΔῊ (καὶ γὰρ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ 
4 παρὰ τὴν ΓΙ παραβληϑεῖσα ποιεῖ δοϑεῖσαν τὴν τῆς 15 
ΓΖ πρὸς H.4 ὑπεροχήν, ὡς ἔστι λῆμμα" ὥστε καὶ ξκάστην 
τῶν 4H HI .4H δεδόσϑαι). καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἔστιν τὸ 
HT τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς 
DIE, οὕτως ἣ ve 4 πρὸς ΓΖ καὶ ἡ .4H πρὸς τὴν ΕΖ. 
καὶ ἔστι δοϑεὶς ὃ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΕ λόγος" δοϑεῖσα ἄρα 
ἔσται καὶ ἑχατέρα τῶν ΓΖ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΒ 
BI: καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ZB BI ΓΖ δοϑεῖσα. ἤχϑω δὴ 
χάϑετος ἐπὶ τὴν ΓΖ ἡ ΒΘ' δοϑεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη 
τῶν ZO ΘΓ ΒΘ' dore καὶ ἑκατέρα τῶν 410 ΘΒ δοϑεῖσά 
ἐστι. καὶ ὀρϑή ἐστιν $ ὑπὸ BO4d: δοϑεῖσα ἄρα ἐστὶν 35 
ἡ B4. 


4. ἐζεύχϑω ABS, corr. Hu 29. ΑΓ ἡ BE — ἑχατέρα add. Sca, 
AT ἡ BEZ. xal ἑχάστη add. Co 8. ἢ ἐν ἀριϑμοῖς interpolatori tri- 
buit Hu 7] η A, ἢ B, ἡ S, del. Co Sca 6. καὶ γὰρ — 10. ἔσται 
δοϑεῖσα, elsi vera ratione nituntur, tamen suspecta videntur; nam 
scriptor hanc demonstrationem tamquam consenteneam poterat omit- 
tere; at vero, si ponere malebat, debuit ex ordine demonstrare primum 
«y, ium ee ey, denique 8e datas esse 9. τῶν 4E Co Sca pro τῶν 
AE 410. BE add. Hu 48. ἡ 41] Co Sca pro ἡ .4H 44. ΜΗ 
add. Hu — 145. 16. τὴν τῆς Γἅ Hu pro τὴν τῆς LIH 460. ἄρα add. 
Sca 21. ἑχατέρα Hu utroque loco pro ἑχαάστη 22. ΓΖ (ante do- 
$«i0«) Hu pro I7f 






LIBER IV. PROPOS. 7. 193 


lungatur «y, et ducantur perpendiculares «5 ad yó et 
fe ad ay, ei producta B& secet ipsam ὃγ in ζ. lam quia 
uraque rectarum «f fy magnitudine data, et angulus ay 
reetus, οἱ f& perpendicularis est, singulae igitur αδ &y ay pe 
datae erunt — etenim rectangulum sub αγ ye, quippe quod 
quadrato ex y aequale sit, datum est; et data «y; ergo 
eliam singulae ae ey Be datae erunt?). Rursus quia singulae 
ay γὺ da datae sunt et ay perpendicularis est, etiam singu- 
lae δῃ ny «5 datae sunt — etenim quadratorum ex ay αὖ 
diferentia ad rectam Oy applicata efficit differentiam recta- 
rum dy δη datam, sicut lemmate quodam demonstratum est^), 
ia ut singulae dy yy αἡ datae sint*). Et quoniam trian- 
gulum &5y simile est triangulo Gey, est yy : ye — ay : γξ — 
αῃ: εζ. Εἰ est proportio ny : ye data (dat. 4), dataeque ay 
«p; ergo etiam utraque γζ εζ dala erit (dat. 2). Sed etiam 
utraque Je gy; ergo trianguli CBy singula latera data sunt. 
lam ducatur perpeudicularis 89 ad Gy; ergo, similiter ac 
modo demonsiravünus, singulae G9 Jy 839 datae sunt. Εἰ 
data est 99 (— ày — 9y); ergo trianguli orthogonii 998 ca- 
theti 99. 98 singulae datae sunt; data igitur est δβ (adnot. δ). 

3) Est enim «y. ye — gy? propter elem. 10, 33 lemma; et data 
es( By; ergo etiam gy? (dat. 52); itaque rectangulum «ay. ye magnitu- 
dine datum est. Sed quia est «y? — ef? -- By?, el ag By maguitudine 
datae sunt, etiam quadratum ex «y magnitudine datum est; ergo etiam 
recta «y magnitudine data (dat. 55). Et datum erat rectangulum «y - ye; 
ergo ys data est (dat. 57); itaque etiam «e (dat. 4). Denique, quia 
propter similitudinem triangulorum est «8 : 8y — ft : ἐγ, dala est etiam 
ft (dat. 1. 2). 


4) Hoc lemma nostra aetate non exstat; quod sic restituendum esse 
videtur. Propter elem. 2, 13 est 
«y? τ aó? « 0j? — 2y δη, sive 
ay? — ad? τ dy? — 467. δὴ — dy (dy — 205). 
Et datae sunt rectae «y αὖ; ergo etiam quadrata, et quadratorum dif- 
ferentia. Et data est dy; ergo secundüm dat. 57 differentia dy — 347 
data est; itaque etiam differentia dy — d. 


5) Differentia dy — δη, quam datam esse demonstravimus, est ipsa 
»y. Et data est dy; ergo etiam δὴ data (dat. 4). Et est ay? — «y? — sy? ; 
ergo data est «7 (adnot. 3 med.). 
Pappus I. 13 


194 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS Δ. 


ἄλλως. 

12 p. Ἤχϑω κάϑετος ἐπὶ τὴν AT ἡ 4E καὶ ἐκβεβλήσϑω 
ἐπὲ τὸ Ζ. ἐπεὶ δοϑεῖσά ἐστιν ἕχάστη τῶν 44 AT. ΓΑ͂, 
καὶ κάϑετος ἡ 4E, δοϑεῖσα ἔσται xal ἑκατέρα τῶν 4E ET. 

καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστεν τὸ δ 

2 ABT τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τρι- 

t γώνῳ, ἔστιν ὡς ἢ ΓΕ πρὸς 
ΕΖ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ͂. δο- 
ϑεὶς δὲ ὁ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ͂ 
λόγος" δοϑεὶς ἄρα καὶ ὃ τῆς 1 « 
ΓΕ πρὸς ΕΖ λόγος. καὶ δο- 
ϑεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ δοϑεῖσα 

δ 7 ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἦν δὲ xai ἡ 
4E δοϑεῖσα καὶ ὅλη ἄρα ἡ 
42 ἔσται δοϑεῖσα. κατὰ ταὐτὰ δοϑήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν 15 

ΒΖ ΖΓ (ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς Bl, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΕ. 

καὶ δοϑεὶς ὁ τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ λόγος). ἤχϑω δὴ πάλιν 

ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετος ἡ ΔΉ: δοϑεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ZH 
HI', ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν BH ΗΖ δοϑεῖσά ἐστι. καὶ 
ὀρϑή ἐστιν ἡ Η γωνία: δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἣ BA. 50 

13 9'. Ἴσοι κύκλοι τῇ ϑέσει καὶ τῷ μεγέϑει δοϑέντες, 
ὧν χέντρα τὰ Α B, καὶ δοϑὲν σημεῖον τὸ I', καὶ διὰ τοῦ 
D ἐφαπτόμενος τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ 4 B, γεγράφϑω 
ὁ l'EZ: ὅτι δοϑεῖσά ἐστιν αὐτοῦ ἡ διάμετρος. 

Ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΕΖΗ ΓΖΘ ΓΗΠ 4B ΓΕ ΠΖΚ ΘΚ "5 
ΘΗ. γίνεται δὴ παράλληλος 7) ΗΘ τῇ ΓῈ διὰ τὸ τὰς κατὰ 
κορυφὴν γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΖΓ ΗΖΘ ἴσας εἶναι, καὶ ὁμοίας 


4. ηὖν B, C AS. 4. xal (ante ἑκατέρα) add. Co ἑκάστη τῶν 
AE ΕΓ E4 coni. Hu. 47. post ΓΒ λόγος add. δοθεὶς ἄρα xal ὃ τῆς 
ΖΓ πρὸς ΓΕ λόγος. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ DTE: δοθεῖσα ἄρα xol ἡ TZ 
Co (at haec tacite suppleri voluit scriptor) 48. 19. ἑκατέρα τῶν {{{{ 
ὥστε À, in lacuna δὴ ηξ add. B Co, ΖΗ ΗΔ Sca, corr. Hu 341. 6 
Aiin marg. (BS) — 32 τὰ 4B AB, distinx. 8 48. τὰ AB A, distinx. 
BS, item p. 496, 4 25. ABI E Il ΖΚ 6 K A, efy tnt x9x BS, 48 
ΓΕ ΠΖ ΖΗΘ Sca, corr. Co 26. 6H add. Hu 


LIBER IV. PROPOS. 8. 195 


ALITÉR. 

VIII. Ducatur ad ey perpendicularis de, quae producatur 
ad ζ punctum sectionis cum βγ ἢ. Quoniam singulae ad dy 
γα magnitudine datae sunt), et de perpendicularis est, sin- 
gulae αϑ &y &eÀ datae erunt (adnot. 4. 5). Et quoniam tri- 
angulum ey simile est triangulo Gey, est ye : εζ — yf : go. 
Sed data est proportio y8 : Bo (dat. 14); ergo etiam ye : && 
data. Et data est ye; ergo etiam eC data (dat. 2). Sed 
erat etiam δὲ data; ergo tota ÓG data erit (dat. 5). Eadem 
rione utraque βὲ Ly data esse demonstrabitur (est enim 
ay: γβ — Cy : ye; et data est proportio «y : y8, ac data 
recta γε; ergo data Ly, itemque By — ἦγ — 8C). lam rursus 
ἃ ὃ ducatur perpendicularis dy; ergo singulae $y yy δὴ da- 
tage sunt. Et data est βὴ (— βζ -- 0x) ; ergo trianguli ortho- 
gonii 95d catheti 8x ηδ singulae datae sunt; itaque β data 
es( (adnot. δ). 

IX. Sint duo aequales circuli positione et magnitudine Prop. 
dati, quorum centra « 8; et extra sit datum punctum y, 
per quod circulus γεζ describatur, tangens eos, quorum cen- 
tra « β, in punctis δ &; dico circuli γεζ diametrum datam 
esse 1). 

Iungantur e£» y59 yum αβ ye nix 9x ϑη ἢ. Fiunt igi- 
tur n9 ye parallelae, quia ad verticem anguli ey $59 inter 


*) Hic unus casus est ex pluribus quos licet statuere. Punctum 
enim & aut extra quadrilaterum in productam γα cadit, aut in ipsum 
punctum «, aut inter « y; atque in hoc quidem casu rectae de pro- 
ductae punctum ᾧ aut inter 8 y cadit (quod supra supponitur), aut in 
ipsum f, aut inter « 8. Εἰ huius extremi casus demonstrationem ad- 
dit Commandinus, quam Graecus scriptor neutiquam omisit incuria; 
sed uno casu demonstrato reliquos consentaneos esse existimavit. 


6) Scilicet «d Jy ex hypothesi, et γα secundum adnot. 8. 


4) Nonnulla eaque graviora scriptor huius theorematis silentio 
omisit, quae a nobis, quantum probabili coniectura adsequi potuimus, 
restituta sunt. In figura lineas punctis notatas et litteras £ o addidimus. 


**) Vult igitur scriptor puncta ἢ 9 x esse in circumferentia circuli 
cuius centrum α, item zr in circumferentia circuli γεζ; denique 4 Sta- 
tuit punctum gectionis rectarum f« £63. 


13* 


106 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ A. 


τὰς EIIZ HKZ περιφερείας καὶ τὸ ΕΓΖ τρίγωνον ἰσογώ- 
vov τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ OK τῇ 
IIT ἐστὶν παράλληλος. καὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι, ὧν τὰ 
κέντρα τὰ 44 B: ἴση ἄρα 7, 
ZH τῇ AE. Ἦἤχϑωσαν κά-5 
ϑετοι αἱ Α͂Σ B.A: ἴση ἄρα 
? 4X τῇ Ba: wore καὶ ἡ 
μὲν BM τῇ M.A ἐστὶν ἴση, 
ἡ δὲ 4M τῇ MZ (δύο γὰρ 
τρίγωνά ἐστιν τὰ ΒΑ 1« 
XM τὰς δύο γωνίας τὰς 
κατὰ κορυφὴν ἴσας ἔχοντα 
καὶ τὰς πρὺς τοῖς ἋΣ ση- 
μείοις ὀρϑάς, ἔχει δὲ καὶ 
μέαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ!1: 
ἴσην τὴν BA τῇ 4X). καὶ 
δοϑεῖσά ἐστιν ἑχάστη τῶν 
MA 4B MX ΣΑ͂ [οὕτως 
καὶ ἡ ZH ΖΕ xai Β΄ AZ]: 
δοϑεῖσα ἄρα καὶ ἑκαξκέρα 20 
τῶν BM M 41 εὐϑειῶν. ἀλλὰ 
καὶ ἑξχατέρα τῶν 4T ΓΒ 
δοθεῖσα ἐστιν (ϑέσει γὰρ τὰ 44 B Γ σημεῖα)" δοϑὲν ἄρα 
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει" καὶ ἡ I'M ἄρα δοϑεῖσα ἔσται 
(καϑέτου ἀχϑείσης ἀπὸ τοῦ D ἐπὶ τὴν .4B). xoi ἐπεὶ 358 
δοϑεῖσα ἐστιν ἡ ΝΡ διάμετρος τοῦ ΗΘΚ κύκλου, ἀλλὰ καὶ 





4. ΗΚΖ (ante περι ερείας) Co.pro ΗΝΘ 4. 3. τῇ IIT Co 
pro τῆι ΠΤ 9. δύο γὰρ --, 16. τῇ ΑΖ interpolatori tribuit Hw 
(scilicet scriptor huius tbeorematis alia multo difficiliora omittit) 
46. post τὴν B.4 sdd. xe) κάϑετον ABS, om. Co (interpolator χάϑε- 
Tov χαϑέτῳ voluisse videtur, quae vera quidem sunt, at certe abun- 
danti) 48. MC C4 À, pc c B, uc σλ S, corr. Hu. 48. 49. οὕτως 
— ΒΑ AZ, manifestam interpolationem, del. Hu 39. 48. τῶν AT 
TB δοθεῖσα ἔστιν bis scripta in A(S), corr. B 43. ϑέσει A? in marg. 
Bt, εὐθεῖα A!B3, ϑέσει ev9eio S 24. τὸ 4B τρέγωνον ABS, corr. 
Co 25. χαϑέτου — ἐπὶ τὴν AB forsitan interpolata sint 


LIBER iV. PROPOS. 8. 197 


se aequales, et cireumferentiae ez ἡκζ similes?), ideoque 
triangula &y& ηϑξ aequiangula sunt. Atque eadem ratione 
Jx zy parallelae esse demonstrantur. ἘΠ ex hypothesi cir- 
culi, quorum centra « 8, aequales sunt; ergo recta L7» ipsi 
δ aequalis est?). Ducantur ad rectam &*9 perpendiculares 
ασ fA; hae igitur inter se aequales sunt (nam propter 
eem. 5, 14 in aequalibus circulis aequales rectae distant a 
centris aequali intervallo); itaque etiam eu Bu, itemque ou 
ἀμ inter se aequales sunt (nam duo triangula «ou Au binos 
angulos ad verticem aequales, et angulos ad o À rectos, et 
unum latus ec uni lateri 8A aequale habent). Et datae sunt 
singulae μλ AB uc σα; ergo etiam utraque fj μα data est ἢ). 
Sed data est etiam utraque «y γβ (dat. 26; nam puncta «a 
B y positione duta sunt) ; ergo triangulum affy specie datum 


2) Hoc tamquam consentaneum scriptor omisit demonstrare. Et 
sumpto circuli γεζ centro ᾧ iünctisque rectis αξ £e «x facile apparet, quo- 
niam recta £c per £ transit (elem. 3, 12), et radii sunt εξ £6 ηα a£, trian- 
gula ££ ηαζ aequiangula esse. Unde nos statim concludimus angulos, qui 
sunt ad peripheriam, ἐγζ 596 aequales (elem. 3, 20), ideoque triangula ἐγξ 
794 aequiangula esse. Verum Graecus scriptor, Euclidis elementa liberius 
egrediens et centri £ mentionem evitans, lemmate nititur huius modi: Si 
duo circuli extrinsecus se tangant, et per contactüs punctum quaelibet 
recta, velut «££», ducatur, similes circulorum circumferentiae abscinduntur 
(quod quidem lemma similiter, ac modo significavimus, demoustratur; nec 
minus valet, si circuli intus se tangant, et a contactüs puucto quaelibet 
recta, velut «0c, ducetur, ut recte adnotat Co). Porro ex arcuum «zr xc 
similitudine effcit eos, qui in his insistunt, ad peripheriam angulos ἐγξ 
794 aequales esse. Denique conferatur libri VII propos. 102, ubi auxilio 
tangentis rectas, velut ηϑ ye, parallelas esse demonstratur. 


3) Hoc loco scriptor sic concludere videtur: Quoniam, ut supra de- 
monstratum est, parallelae sunt 39 £y, aequales sunt anguli ζηϑ ζεγ. Sed 
sit o punctum sectionis rectae ἐγ et circuli, cuius centrum B8, cireumferen- 
tiae, et iungatur do, Ergo triangula £59 dco similia sunt (utrumque enim 
triangulo ζεγ simile). Sed eadem etiam aequalia, quia circuli cireumscripti 
aequales'sunt (elem. 3, 26. 28) ; ergo est ζὴ — δε. (At vero brevius, ut vi- 
detur, demonstrari poterat rectas 89, £&« parallelas, ideoque triangula egd 
αὶ similia et aequalia esse. Alia rursus ratione Commandinus ex lem- 
mate, quod in adnot. 2 attulimus, arcüs cd ἐπξ similes, itaque arcus ed 
1x6 similes et aequales; ergo etiam recias ἐδ ηζ aequales esse demonstrat. 
Quod si verum esse statuamus, supra abundet demonstretio de rectatum 
ἐγ 95 parallelismo.) 


4) Argumentatio scriptoris haec esse videtur: Propter dat. 88 sin- 
gulae εὖ εξ £y magnitudine datae sunt, ideoque etiam tota ey. Et datae 
sunt £4 (Ξ 4«0), no (— $50); ergo per subtractionem data est recta 4G, 
ideoque etiam utraque Au μσ (dat. 7. Tum rectas BÀ ασ datas esse inde 
effecisse videtur, quod in triangulis orthogoniis £48 *5« datae sunt singu- 


198 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Δ. 


ἡ Μ.44 δοϑεῖσα, καὶ λοιπὴ 

ἄρα ἡ MP δοϑεῖσά ἐστιν. 

καὶ ἐπεὶ δοϑέν ἐστιν τὸ ὑπὸ 

NMP, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ 

ὑπὸ HWMZ, τουτέστιν τὸ 

ὑττὸ EMZ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ 
τῶν ΓΙΗ͂Π. καὶ δοϑεῖσά 
ἐστιν ἡ ΓΙΗ δοϑεῖσα ἄρα 
xci ἡ ΓΠ. ἐπεὶ οὖν ϑέσει 

καὶ μεγέϑει ἐστὶν κύκλος, 10 

οὗ κέντρον τὸ 44, καὶ δο- 

ϑεῖσα τῇ ϑέσει καὶ τῷ με- 
γέϑει ἡ ΓΠ,, καὶ διηγμέναι 
αἱ ΠΖΚ ΓΖΘ, ὥστε παρ- 

ἄλληλον εἶναι vj DII τὴν 15 

ΚΘ, δοϑεῖσά ἐστιν ἡ διά- 

μετρος τοῦ περὶ τὸ ΓΖ 
τρίγωνον κύκλου, τουτέστιν τοῦ ΓΕΖ. 

14 v. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν δο- 
ϑεῖσαν, καὶ σημεῖον ἐντὸς τὸ 4, καὶ ᾧ ὑπερέχει ἡ 444] τῆς 20 
I4, τούτῳ ὑὕὑπερ- 
ἐχέτω καὶ ἡ ΓΩ͂ 
τῆς 4B, καὶ ἔστω 

ν ὑπεροχὴ δοϑεῖσα" 
ὅτι ἑχάστη τῶν 44 25 
4Γ 48 δοϑεῖσα 
ἐστιν. 

7 "Emi τῶν 4A 

ΖΓ ὑπεροχὴ δοϑ εἴ- 

—. σά ἐστιν, ἔστω τῇ 30 

ὑπεροχῇ ἴση ἑκατέρα τῶν .4E ΒΖ᾽ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΕΖ 

AT. 42 ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. γεγράφϑω περὶ κέντρον τὸ 








8. 4. τὸ ὑπὸ NMP Co pro τὸ ὑπὸ ΗΜ0Ρ 6. τουτέστιν τὸ add. 
Hu auctore Co — 45. 16. τῆι ΓΠ τῆι ΚΘ ΑΒΙΒ, τὴν ΓΠ τῇ ΚΘ voluit 
Co, corr. B3 49. I Αἱ in marg. (BS) 20. ev toic | τὸ A(S), corr. 
B Sca 


LIBER IV. PROPOS. 9. 199 


est (dat. 39) ; itaque etiam yp data erit5). Et quia circuli 
99x diametrus »o (dat. def. 5), itemque μα datae sunt, re- 
liqua igitur uo data est9). Et quia datum est »u - ug, datum 
igtur etiam nu: μζ (utrumque enim rectangulum propter 
eem. 5, 36 quadnuato ex tangente aequale est), id est eu - ut, 
id est. (elem. 5, ὅδ) yu- un. Et data est yu; ergo etiam μπ' 
(dat. 37) itemque yz data est. lam quia positione ac magni- 
tudine datus est circulus, cuius centrum o, et positione ac 
magnitudine data est recta zry, et rectae zx γζϑ' ita ductae 
sunt, ut 2x ipsi,.zry parallela sit, data est diametrus circuli 


drea γζσε triangulum descripti"), id est circuli eL. 

X. Sit triangulum of singula latera data habens, et Prop. 
intus punctum ὃ, et sit aÓ — δγ — ὃγ — ὅβ, sitque ea dif- ϑ 
ferentia data; dico unamquamque rectarum «d óy δβ da- 
lam esse. 

Quoniam data est differentia αὖ — Óy, sit ei differentiae 
uraque rectarum os 8L") aequalis; ergo tres εὖ Oy OL inter 
se aequales sunt. Describatur circa centrum ὃ circulus yet; 


lae ελ ησ (ut statim demonstravimus), itemque «f 8» (sunt enim radii cir- 
culorum magnitudine datorum : dat. defin, 5). Omnino igitur scriptor ea- 
dem ratione quam supra propos. 7 adnot. 2 et 8 demonstravimus sic pro- 
cedit, ut omissa punctorum « f positione rectas a, uf magnitudine datas 
esse ostendat. Αἱ multo brevius dicere poterat secundum dat. def. 6 
puncta « β positione data esse (id quod paulo post diserte scribit); ergo 
rectam «f mognitudine (dat. 26), ideoque utramque etiam rectarum eu 
HB, quippe quae inter se aequales sint, magnitudine datam esse (dat. 7). 
δ) Hoc aut ex ipsis datis efficitur, quoniam triangulum ufy specie 
datum est (44); sed idem etiam magnitudine (52); 
ergo γὲμ. magnitudine data (55), — aut, sicut vel ipse 
huius theorematis scriptor vel interpolator quidam sig- 
$9 nificavit, a puncto 7 perpendiculari ad a8 ductá, quae 
si sit yr, secundum ea quae propos. 7 adnot. 4 et 5 
demonstravimus datae erunt τὰ ry; et data etiam zu 
(2 τα — u«); ergo trianguli orthogonii yr, singulae 
catheti datae sunt, itaque etiam 4 (ibid. adnot. 3). 
6) Circuli enim 59x datus est radius o« (dat. def. 5); et data μα; 
ergo etiam μρ data (dat. 4). Sed pro radio ρα scriptor diametrum vo 
ponit, quia statim in proximis tota νμὲ (2 vo -F ou) tamquam data uti- 
tur; itaque sic concludit: Data vo; ergo etiam dimidia ρα; et data μα; 
ergo datae etiam μα — o« — μρ, et uo -- vo z vip. 
7) Vide append. ' 
*) Qualem punctorum «: £ positionem scriptor intellexerit, statim 
€x proximnis elucet. 


Ἔν 


18 


200 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Δ. 


Δ κύκλος ὁ DEZ: διὰ δὴ τὸ ττρογεγραμμένον do9eiod ἔστιν 
ἡ 4Z. ἧς ἡ ΒΖ ἐστὲν δοϑεῖσα" ἡ λοιπὴ ἄρα 7) BA ἐστὲν 
δοϑεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν 414] 4T δοϑεῖσά ἐστιν " 
ἑχάστη ἄρα τῶν AA “1 AB ἐστὶν δοϑεῖσα. 

ια΄. Τὰ μὲν οὖν λήμματα ταῦτα, τὸ δὲ ἀρχαϊκόν" τρεῖς ὃ 
κύκλοι ἄνισοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων δοϑείσας ἔχοντες τὰς 
διαμέτρους, ὧν κέντρα τὰ 41 B I, καὶ περὲ αὐτοὺς κύκλος 
ἐφαπτόμενος αὐτῶν ὃ A4EZ, οὗ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν διά- 
μετρον. | 

Ἔστω δὲ αὐτοῦ vó1C 
κέντρον τὸ H, xai ἐπὶ 
τὰ κέντρα τὰ 4 B Γ 
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 4B 
AT ΓΒ καὶ ἔτι αἱ H “4, 
HBZ HIE. ἐπεὶ obvi: 
αἱ διάμετροι τῶν κύ- 
χλων, ὧν κέντρα τὰ 4 
B Γ᾽, δοϑεῖσαΐί εἰσιν, 
γενήσεται καὶ ἕχάστῃ 
τῶν 4Β BI ΓΑ͂ o-» 
ϑεῖσα. καὶ αἱ τῶν ΜΗ 
ΗΓ HB διαφοραὶ δο- 
ϑεῖσαι" διὰ ἄρα τὸ προγεγραμμένον δοϑεῖσά ἐστιν ἡ .ΑΉ. 
ἀλλὰ καὶ ἡ 444 δοϑεῖσά ἐστιν, ὥστε δοϑεῖσά ἐστιν ἡ διά- 
μετρος τοῦ 4EZ κύκλου. καὶ τοῦτο μὲν àv9dÓs μοι πέρας 35 
ἔχει, τὰ δὲ λοιπὰ ὑπογράψω. 





4. ὁ γεξ B Co, 6 ΓΖ AS. 2. ἧς vel ἀλλὰ καὶ Hu pro ὧ ἔστιν 
δοϑεῖσα ἐστιν ἡ λοιπὴ A(B3S), prius ἐστιν om. Bl, allerum Hu. 3. éxe- 
τέρα Hw pro ἡ 3. 4. δοθεῖσα ἔστιν — τῶν 44 add. Hu (alterum 
AT, quod exstat in A, omittunt insuper BS) — 5. [4 A! in marg. (BS) 
7. τὰ .4 BT À, distinx. BS, item vs. 14 44. χέντρον τὸν B Co 
44. 45. H44 HBZ HT. A (sed H simile N), v«d zt vy B, ταῦ v8i 
vy S, ter ἢ corr. Sca, N.44 NBZ NTFE Co 47. 48. τὰ ABT. AS, 
distinx. B 48. δοϑεῖσαι ἐστιν A(BI), δοϑεῖσα ἐστὶ B3(S), corr. Hu 
auctore Co — 21.23. τῶν ΙΝ NT NB ABS Co, Gorr. Hu. 38. ἡ ΑΝ 
Co 25. 26. ταῦτα μὲν — ἐχέτω coni. Hu 





LIBER IV. PROPOS. 40. 201 


erga propter superius /emma data est OL. Cuius portto 8i 
data est; ergo reliqua /gÓ data est. Sed etiam utraque rec- 
Grum αὖ (— ὁζ - 8L) et ὃγ (— OC) data est; ergo una- 
quaeque rectarum αὖ ó»y Of) data est. 

ΧΙ. Haec igitur sunt lemmata ; iheoremu autem ab initio 
propositum | (cap. 10) iain. demonstratur hunc. in modum. 

Sint tres circuli inaequales, inter se tangentes, quorum Prop. 
diametri datae sint, et centra « (9 y, et circa eos describatur 
langens ipsos circulus δὲζ, cuius diametrum invenire opor- 
leat ἢ). 

Sit eius centrum ἢ, et centra « f y iungantur reclis 
αβ By γα, item iungantur ze yf yy producanturque ad ὃ L6 
puncta. circumferentiae. circuli, cuius centrum ἢ. lam quia 
diametri circulorum, quorum centra * f y, datae sunt, sin- 
gulae etiam of fy γα datae erunt (elem. 5, 42). Et sunt 
rectarum αἡ ἢγ ηβ differentiae datae?) ; ergo propter superius 
lemma recta am data est?). Sed etiam δα data est, itaque 
diametrus circuli dez data est. Et haec quidem iam finem 
habeant; reliqua autem subiungam. 


4) Accuratius, nisi fallor, scribebatur "dico eius diametrum datam 
esse", Praeterea scriptor determinare omittit, quibus finibus radiorum 
δὰ (f «y proportiones contineantur, ut circa tres circulos α 8 y unus 
dj: describi possit. 

4) Nam quia ex hypotbesi ἡ centrum est circuli circa circulos α 8 y 
descripti, est ηα - «d — my -- ys — ng -- BC, ideoque ηβ — yy ΞΞ ye — 
fi, et 58 — ηα — ad — BU et ηγ — 5y« — ad — γε. Et datae sunt ye 
βὲ αὖ; ergo eliam differentiae. 


3) Etenim in producta se ponatur «9 z 9*y — ηβ — 9«; ergo est 
"B — "y — "y — (ue -- «9) 
5 (-— "y — ηϑ. 
Iam vero, ut propositio 9 adhiberi possit, de- 
monstrari oportet trianguli 98y singula latera 
data esse; quod etsi neutiquam dubium vi- 
9) detur, tamen qua ratione effectum sit a scrip- 
07; jy ἴοτο, nonsatisliquet. Porro adhibitá propos. 9 
apparet datam esse 25, et, quia dnta est 9« 
(adnot, 9), etiam «x datam esse, 


16 


202 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHZ Δ. . ΄ 


ιβ΄. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, xai κεκλάσϑω ἡ ΓΒΑ͂, 
xai διήχϑω ἡ L4, καὶ ἴση ἔστω ἢ ΓΒ συναμφοτέρῳ τῇ AB 
AT, xai κάϑετοι ἤχϑωσαν ἐπὶ τὴν ΑΓ αἱ BE AZ: ὅτι ἣ ΑΖ 
διπλασίων ἐστὶν τῆς ΒΕ. 

Κείσϑω γὰρ τῇ μὲν ΑΕῚ ἔση ἡ EH, τῇ δὲ 48 ἴση ἡ 5 
ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν εὐϑεῖαι αἱ .40 ΘΗ ΘΖ, xai κά- 
ϑετος ἤχϑω ἡ OK, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΒΙΚ. ἐπεὶ ἡ ΓΒ ἴση 
ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ 38 AT, ὧν ἡ ΒΘ τῇ ΒΑ͂ ἐσεὶν 
ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΓ λοιπῇ vij ΓΩ͂ ἐστὶν ἴση" καὶ τὸ ἀπὸ 
τῆς D 4 ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τεῆς τα 
AT ἴσον doviv τὸ ὑπὸ τῶν ATLZ: καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ATZ 
ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ' ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν 
ΖΘΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν O.4H γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ 
τῶν ΓΑ͂Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 418, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ 
τῶν IAE, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑ͂Η, ἴσον ἐστὲν τῷ δὲς 1ξ 
ἀπὸ τῆς 41Β, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς 46 ἴση ἄρα ἐστὶν 
ἡ ὑπὸ τῶν JOH γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΓΖ γωνίᾳ. ἔστιν 
δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν O.4H ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ΄ λοιπὴ ἄρα 
ἡ ὑπὸ τῶν .4HO λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΓ ἐστὶν ἴση" xai- 
ἡ ὑπὸ ΘΗΖ ἄρα τῇ ὑπὸ OZH ἐστὶν ἴση. καὶ κάϑετος 10 
ἦχται 1 ΘΙ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρϑή 
ἐστιν ἑχατέρα τῶν ὑπὸ τῶν [BO 4ΚΘ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν 
τὸ .4BOK τετράπλευρον" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν BO 4 
γωνέα τῇ ὑπὸ τῶν BKA. ἡμίσους δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν 
BO 4A: ἡμίσους ἄρα ἐστὶν καὶ E ὑπὸ τῶν BK.4. ὀρϑὴ δέ 25 
ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν BEK: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ BE τῇ ΕΚ. τῆς 





4, IB A! in marg. (BS) 41—5. τὸ 48Γ κεχλαίσϑω ἡ ΓΒΙ xci 
ϑιήχϑω ἡ T4 xe | ΜΗ συναμφᾳτέρωι | /JJIIIIIIIIII] κάϑετοι ἤχ- 
ϑωσαν | {{Π||{{{Π|}{{{{ διπλασέων | ἔστιν τῆς BH καὶ χείσϑω γὰρ A, 
similesque lacunae in BS, nisi quod χεχλάσϑω ἡ γβα B, χεχλασϑω ἡ γβὅ 
S, et xai ante χάϑετοι atque ἡ δὲ ante διπλασίων add. S 4. xai 
(ante χεχλάσϑω) add. Sca 4. 3. ἴση συναμφοτέρῳ τῇ 48 4D ἡ ΒΓ 
Sca, ἔστω ἴση ἡ ΓΒ συναμφοτέρῳ τῇ 48Β.Γ Co 8. ἐπὶ τὴν AT αἱ 
add. Sca BE 4Z: ὅτι ἡ .4Z add. Co Sca 4. τῆς BE Co Sca 
pro τῆς BH 5. 6. ἡ BO καὶ A, ij Be καὶ B, corr. S 6. ἐπιζξεύχ- 
ϑωσαν À, corr. BS 7. ἐπιζεύχϑω A, corr. BS ἡ ΓΒ Co pro; ΓΖ 

N 


XII. 


LIBER IV. PROPOS. 44. 203 


Sit semicirculus αβγ, cutus diametrus ay, et du- Prop. 


eatur angulus «y, et ὦ puncto y ad circumferentiam ducatur 
γὸ ia, ut sit yf — αβ -t- Óy, et ducantur ad «y perpen- 
dieulares Be OC; dico esse αζ — 2 fie. 


Ponatur enim 
6 — a£, et 89. — 
«8, et iungantur 
rectae αϑ 39» 9C, 
et ducatur perpen- 
dicularis Ox, οἱ 
iungatur 8x. Quo- 
niam ex hypothesi 
est γβ — of -- ὃν, 





el &x constructione 8.29. — Bo, subtrahendo igitur est 


Jy 2 Óy, ideoque 9y? — ày?. Sed est ày? — ay. yt 
(elem. 40, 58 lemma); ergo 
9j? 2 ay- yb, id est 9y : ay Ξε yb: 9y; itaque 
ἰ ϑαγ τε L ζϑγ. Rursus quia est (elem. l. c.) 
ag? — γα -αξ, est igitur 2o? — 2ya-ac, id est (quia 
ex constructione 89: — af, et ξὴ — at) 
αϑ — ya. a9; id est a3 : ya 2 ag : a3; itaque 
L γα — [ 99a. Sed demonstravimus eliam 
LtC9y 2 L 9ay; ergo triangulorum. ϑγζ αϑη reliqui 
quoque anguli aequales sunt, id est 
L 90; 2 L αηϑ; ergo etiam 
ἰ ϑζηὴ — L ϑηζ. Εἰ perpendicularis ducta est $x; ergo 
Ux — xy. Et quia uterque angulorum αβϑ' ακϑ' rectus 
est, circulo inscriptum est quadrilaterum 
αβϑκ; itaque (elem. 3, 24) 
L 89e — L βκα. Sed est angulus 83« dimidius rectus ; 
ergo etiam angulus xo dimidius rec- 
(us est. Et est rectus angulus fex; 
ergo est 


— — — . . ...-. 


19. 30. xe) ἡ ΗΘ ἄρα τῇ ΘΖ ἐστιν A(BS), corr. Hu 29. xol χύχλῳ 
B (voluit x«l ἐν κύχλῳ, quod expressit Co) 48. ἄρα add. Hu 


204 : ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX A. 


δὲ EK διπλῆ ἐστιν ἡ 412 (ἐπείπερ ἡ μὲν .4E vij EH ἐστὶν 
ἴση, ἡ δὲ ΖΚ τῇ KH): καὶ τῆς ΕΒ ἄρα διπλῇ ἐστιν ἡ 
AZ, ὅπερ: “- 

17 ιγ΄. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσϑω ἡ 42, 
xai ἔστω ἴση ἡ .4B τῇ Β.1, καὶ τῇ Β.1 πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ὃ 
ἡ 4E, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ BE, καὶ αὐτῇ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω 
ἡ ΕΖ, καὶ τὸ κέντρον τὸ H, καὶ ἔστω ὡς ἡ 4H πρὸς H4, 
οὕτως 7, 4Θ πρὸς ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΘΕ" ὅτι ἡ ὑπὸ 
τῶν BEA γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν AEO γωνίᾳ. 

Ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν BE κάϑετος ἡ HK: oni 
ἄρα ἐστὶν ἡ BK τῇ ΚΕ. καὶ ἔστιν ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ τῶν BAE- 
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ BK K4 KE ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ 
παραλληλός ἐστιν ἡ ΗΚ τῇ ΕΖ, καὶ ἐπεὶ ἐζήτουν τὴν ὑπὸ 
τῶν KE4 γωνίαν τῇ ὑπὸ τῶν 4ΕΘ γωνίᾳ ἴσην, καὶ ἔστιν 
ἴση ἡ 4K τῇ KE, ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ KE4 γωνία 15 
τῇ ὑπὸ ΚΩΈ, ὅτι ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ KAE τῇ ὑπὸ A4EO ἴση 
ἐστίν, ὅτι ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ 4K τῇ EO. 

Ἤχϑω καὶ vij 4E παράλληλος ἡ ΚΑ, καὶ ἐκβεβλήσϑω 
ἡ L4 ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ Β.1. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν 
ΚΑ vij 4E ἐστὶν παράλληλος, ἡ δὲ KH τῇ ΕΖ, ζητεῖται 30 
δὲ καὶ ἡ K4 τῇ ΕΘ παράλληλος, ὅτι ἄρα διὰ τὸ ἰσουγώ- 
νιον εἶναι τὸ μὲν KH τρίγωνον τῷ EAZ τριγώνῳ, τὸ δὲ 
AKH τῷ ΕΘΖ, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΤΗ πρὸς ΗΚ, ἡ 42 πρὸς 
ΖΕ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς H.4, ἡ ΕΖ πρὸς ZO* ὅτι ἄρα καὶ 
ὡς ἡ 4H πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ 42 πρὸς ΖΘ (δι᾽ ἴσου yap): 25 
ὅτι ἄρα xai ἐς ἡ .14 πρὸς τὴν ΔΉ, οὕτως ἡ 40 πρὸς 
τὴν ΘΖ (διελόντι γάρ). ὑπέκειτο δὲ καὶ ὡς ἡ 490 πρὸς 


4. IT A! in marg. (BS) Ἔστω etc.] hoc theorema posteriore 
demum aetate Pappi collectioni insertum esse videtur 48. ἐπὶ ἐζη[ῆν 
τὴν À neque haec satis perspicua, ἐπεζεύχϑωσαν τὴν B (sed εζεύχϑωσαν 
expunctum), ἔπεε ..... S, ἐπεί ἔστιν ἡ Sca, quoniam est Co, corr. Hu 
44. γωνίαν τῆι ὑπὸ τῶν 4EO γωνίαν ἴσην ABS, γωνία τῇ --- γωνέᾳ 
ἴση Sca (Co) 416. ὑπὸ 4EC ἴση AB cod. Co, corr. S Co 48. 49. ἐχ- 
βεβλήσϑω ἡ ΓΑ͂ coni. Hu 20. fortasse ἔτε ζητεῖται legendum esse 
adnolat Sca 34. ὥστε δὲ ἡ KH A!, re del. A? 


LIBER IV. PROPOS. 44. 205 


βε τ, εκ. Sed est ex — (aC (quia ex constructione est 
«& — δὴ, et, ut modo demonstravimus, Cx — 
x7); ergo esl 

ab — 2e, q. e. d. 

XIII. Sit semicirculus oy, et ducatur angulus of ita, 
ul sit αβ — 60, et ipsi 8Ó perpendicularis ducatur δὲ ad 
dreumferentiam , et iungatur fe, eique perpendicularis du- 
catur e& ad. basim, et sumatur centrum ἡ, fiatque 02 : ϑζ — 
v» :50*), et iungatur Je: dico angulum βεὃ angulo δεϑ 
aequalem esse. ' 





7 7 

Ducatur ab ἢ ipsi βὲ perpendicularis zx; ergo est fx — 
χε (elem. 5, 5). Et angulus /fóe rectus est; ergo tres fx 
XÀ xe inter se aequales sunt (elem. 3, 31). Ac parallelae 
Sunt zx Le; et quia propositum est demonstrare angulum βεὸ 
angulo δεϑ' aequalem esse, atque est Óx — xe, dico igitur 
angulum xsÓ angulo xó& aequalem esse, itaque, si propositum 
iam factum esse statuamus, angulum xóe angulo 0e9 aequa- 
lem, itaque rectas Óx Je parallelas esse. 

Ducatur ipsi δὲ parallela xA, et producatur γα ad à, et 
iungatur 8A. lam quia parallelae sunt Ax δὲ, κῃ eb, et pro- 
positum est demonstrare rectas xà &9 parallelas esse, dico 
igitur, quia triangulum 4x7 triangulo δεζ, et triangulum ὅχη 
wiangulo Js& est simile, esse 

Àp: yx — 05: Ce, et. 

xn: nÓ — t6: C9; itaque ex aequali 

Àn : ηὃ τ 05: C9; ergo dirimendo 

λὸ : δὴ — 09: 9C. Sed ex hypothesi erat 


*) Id est, recla δὲ iuxia proportionem «5 : ηδ secetur in 9. 


Prop. 
12 


206 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


ΘΖ, οὕτως ἡ .4H πρὸς H4: ὅτι ἄρα ἐστὲν ὡς ἡ 44 
πρὸς 4H, οὕτως ἡ 4O πρὸς ΘΖ, τουτέστιν ἣ 4 πρὸς 
ΗΖ ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἢ 744 τῇ ΑΗ’ ὅτι ἄρα καὶ ἡ 44 
τῇ 4H ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἢ .4B τῇ Β4 ἐστὶν ἴση" ὅτι 
ἄρα καὶ ἡ 4Β τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ ἡ BH ἑκατέρᾳ 5 
τῶν 44 ΔΗ ἐστὶν log: ὅτι ἄρα καὶ ἡ B.4 τῇ 444 ἐστὶν 
ἴση. ἔστιν δέ" ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ K.4 τῇ AE, 





καὶ ἔστιν ἴση ἡ 4K τῇ KE, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚ. 
γωνία τῇ ὑπὸ τῶν J4KA4. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ BK τῇ 
ΚΩ͂ καὶ γωνία 1) ὑπὸ τῶν BK. γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν 41Κ.110 
ἐστὶν ἴση, καὶ ἡ B.4 ἄρα τῇ .414 ἐστὶν ἴση. 

18 Καὶ ἡ σύνϑεσις ἀχολούϑως τῇ ἀναλύσει. ἐπεὶ γὰρ 
ἴση ἐστὶν ἡ 4K τῇ KE, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ KAE τῇ 
ὑπὸ KE4. ἀλλ᾽ ἡ μὲν ὑπὸ KAE τῇ ὑπὸ 4K.A ἐστὶν ἴση, 

ἡ δὲ ὑπὸ KEA4 τῇ ὑπὸ BK.4 ἐστὶν ἴση διὰ τὰς ΚΑ ΕΖ 15 
παραλλήλους " καὶ ἡ ὑπὸ BK.Á4 ἄρα τῇ ὑπὸ KA ἐστὲν ἴση. 
ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΒΚ εὐϑεῖα τῇ KA ἴση" καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΑ 
βάσει τῇ 444 ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ABA 
τῇ ὑτιὸ B4, τουτέστιν τῇ ὑπὸ 4.4.8, τουτέστιν τῇ ὑπὸ 
ΑΒΗ. κοινὴ ἀφῃρήσϑω ἡ ὑπὸ Α41Β4 λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ 20 
A B.A λοιπῇ τῇ ὑπὸ 4BH ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ B4H 
τῇ ὑπὸ B.4 4 ἐστὶν ἴση " δύο δὴ τρίγωνά ἐστιν và BAH B4 4 
τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μέαν πλευρὰν 
τὴν 418 τῇ BJ: ἴση ἄρα ἡ μὲν BH τῇ B.4, ἡ δὲ 4H 
τῇ 444, ὥστε xai $ 44 τῇ 4H ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν 25 
ὑπόκειται ὡς ? ΑΗ πρὸς HA, ἡ 40 πρὸς ΘΖ, ἴση δὲ 


8. ἡ 44 τῆι ΛΗ͂ ΑΒ, corr. S — 45. ἡ δὲ ὑπὸ ΚΩῈ AB, corr. S 
46. τῆι ὑπὸ K.14 AB cod. Co, corr. S Co 48. ἡ anle yo»t« addi- 





LIBER IV. PROPOS. 12. 207 


αῃ : ηὃ — 023 : 90; itaque 
Ad : 09 — a : 90; ergo est AÓ — a7; itaque 
λα — Oy. Sed ex hypothesi est etiam αβ Ξε 80; ergo 
ÀB — βη. Sed est gr» zs av, et demonstravimus am — 
ÀÓ; ergo 
AB — λὸ. 
Est vero; nam quia parallelae sunt Ax δε, atque, ut demon- 
stravipius , Óx xe aequales, angulus igitur 8x4 angulo ἀκὸ 
aequalis est (est enim L, βχλ τὶ L βεδ — L[ &Óx — ( λκδ). lam 
quia demonstravimus esse fx — xà, et ὁ βκλ — L ἀκ, est 
igiiur A8 — λδ. 
Et compositio congruenter analysi decurrit. Quoniam 
enim est 
Ox z κε, est etiam 
L xóe — [ κεδ. Sed propter parallelas Ax δὲ est [ κδε 
Ξε ἐ λκὸ, et [, κεδ Ξε [ BxÀ ; ergo cliam 
L βκλ τ L λκδ. Sed triangulorum xA ÓxÀ commune 
est latus Àx, et aequalia latera 8x ὄχ; 
ergo etiam bases aequales, id est 
βλ τῷ λὸ, itaque etiam /, λβδ — ὁ βδα. Εἰ est [, 89a 
—  βαὸ, et [, Bad — ( αβη; ergo 
L ἀλβὸ — Lc «85. Communis auferatur angulus a0 ; re- 
stat igitur 
 L Afe τῷ L ὅβη. Sed (quoniam ex hypothesi αβ — 82) 
est etiam 
ἰ λαβ — L *0f; sunt igitur duo triangula λαβ 198, 
quae binos angulos binis aequales et 
unum latus αβ lateri 08 aequale ha- 
beant; ergo est BÀ — f», et λα — 
70; itaque etiam 
λὸ — am. lam quia ex hypothesi est an : yd — 09 : 9€, 
et o9 — λδ, est igitur 


tam. in ABS del. Hu — 319. τῇ ὑπὸ Β44) τῆι ὑπὸ B4 44A AB, corr. 


S 44. τὴν AB τῆς ΒΙ A, τὴν αβ τῆς βὸ S, corr. B 35. τῆι 48 
iari» AB, corr. S 


208 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


ἡ 4H τῇ 44, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ “14 πρὸς ΔΉ, ἡ “10 
πρὸς OZ: συνϑέντι ἄρα ὡς ἡ 4H πρὸς HA, ἡ AZ πρὸς 
ZO. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΚ, ἡ 42 πρὸς ZE: 
ἐξ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ KH πρὸς HA, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ. καὶ 
ἔστιν iom 7 ὑπὸ EZO τῇ ὑπὸ ΚΗΖ διὰ τὸ παραλλήλους 5 
εἶναι τὰς ΕΖ KH ἴση ἄρα xoi ἡ ὑπὸ ΕΘΖ τῇ ὑπὸ KAH-* 
παράλληλος ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΚΩ τῇ ΕΘ᾽ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 
ὑπὸ ΚΔΈ, τουτέστιν 7) ὑπὸ KE γωνία τῇ ὑπὸ A4EO. 

19 ιδ΄. Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη" ὑπο- 
χείσϑω τρία ἡμικύκλια ἐφαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ 44Ε: 
ΕΖΓ, καὶ εἰς τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον, 





ὃ δὴ καλοῦσιν ἄρβηλον, ἐγγεγράφϑωσαν κύκλοι ἐφαπτό- 
μενοι τῶν τε. ἡμικυχλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς 
oL περὲ κέντρα τὰ H Θ K 24: δεῖξαι τὴν μὲν. ἀπὸ τοῦ H 
κέντρου χάϑετον imi τὴν 4T ἴσην τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὲ 15 
τὸ H κύχλου, τὴν δ᾽ ἀπὸ τοῦ Θ κάϑετον διπλασίαν τῆς 
διαμέτρου τοῦ περὲ τὸ O κύκλου, τὴν δ᾽ ἀπὸ τοῦ K κά- 
ϑετον τριπλασίαν, καὶ τὰς ἑξξῆς καϑέτους τῶν οἰκείων δια- 
μέτρων πολλαπλασίας κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερ- 
ἔχοντας ἀριϑμοὺς im^ ἄπειρον γινομένης τῆς τῶν κύκλων X 
ἐγγραφῆς. δειχϑήσεται δὲ πρότερον τὰ λαμβανόμενα. 


20 ιε΄. Ἔστωσαν δύο κύκλοι ot ZB BM περὶ κέντρα τὰ 
44 Γ' ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ B, xai μείζων ἔστω 
ó BM, ἄλλος δέ τις ἐφαπτόμενος αὐτῶν κατὰ τὰ Καὶ 4,1 
γερὶ κέντρον τὸ Η ὁ ΚΩ͂, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΓΗ͂ 4812: 


LIBER IV. PROPOS. 48. 209 


Àó : δὴ τε 035 : 90; componendo igitur 
Àn : ηὃ — OL: ζϑ. Sed propter parallelas yx ζε et Àx 
δὲ est etiam 

OL : Le; ex aequali igitur 

»X : ηὃ — Le : L9. Et propter parallelas xy εζ est 
ἰ κηδ — L e£9; ergo propter 
elem. 6, 6 est 

L κδὴ — L &3C; itaque parallelae sunt xà £9; ergo 

L xóe — { δεϑ. Et est 4 κδὲ — ( κεδ sive βεδ; ergo 

L βεὃ τε ( δεϑ. 


XIV. Circumfertur in quibusdam libris antiqua propositio 
huius modi. Supponantur tres semicirculi inter se tangentes 
0jy ade ey, et in spatium inter circumferentias interiectum, 
quod ἄρβηλον sive scalprum vocant, inscribantur circuli quot- 
cunque, qui et semicirculos et sese invicem tahgant, velut 
drea centra ἢ 9 x ἃ; demonstretur perpendicularem quae a 
centro ἡ ad oy ducitur aequalem esse diametro circuli ἢ, et 
perpendicularem a 9 duplam diametri circuli 9, et perpen- 
dieularem a x triplam diametri circuli x, et, quae deinceps 
perpendiculares ec ceniris ducuntur, eas diametrorum, quae 
cuiusque sunt circuli, multiplas esse secundum numerorum 
Seriem per unitates progredientem , et ita quidem, ut circu- 


lorum inscriptio in infinitum fiat. Sed prius lemmata, quae 


ad eam propositionem adhibentur, demonstrabuntur. 


XV. Sint duo circuli ζβ fj. circa centra y a, sese in Prop. 


puncto tangentes, sitque maior βμ, alius autem circulus ἀκ 
cirea centrum ἢ tangat eos in punctis ἃ x, et iunganlur γῆ 


4. ἄρα add. Hu auctore Co 4. ἐξ ἴσου ἄρα add. Hu 5. τῆι 
ὑπὸ KH. ABS, corr. Co 8. ὑπὸ (ante KZE) add. Hu KAE 
τουτινη ὑπὸ Al, τέσ superscr. A2, plane corr. BS 9. I4 A! in marg. 
(BS) 43. ὅσοι δήποτ᾽ οὖν A, coniunx. BS 44. τὰ ZH OK A ^, 
distinx. BS, Z del. Co 24. ἐγγραφῆς A? ex »«yypaqiic τὰ ante 
πρότερον additum in AB del. S 32. εὖ add. B 39. 23. τὰ ΑΓ 
A, distinx. BS 94. τὰ K 4 et similiter posthat A, distinx. BS 
25. ὁ ΚΑ Hu auctore Co pro ΘΚ. 

Pappus I. 14 





13 


210 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


(πεσοῦνται δὴ διὰ τῶν K ΑἹ, καὶ ἡ ἐπὲ τὰ K Α' ἐπι- 
ζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη τεμεῖ μὲν τὸν ΖΒ κύκλον, 
συμπίπτει δὲ τῇ διὰ τῶν 4 Γ κέντρων ἐκβαλλομένῃ εὐϑείᾳ 
διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΑΚ πλευρὰν τῆς L4 τοῦ Α4Κ4Γ 
τραπεζίου " συμπιπτέτω οὖν κατὰ τὸ E τέμνουσα τὸν κύκλον 5 
κατὰ τὸ 4: δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς ἣ 4B πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ 
AE πρὸς ΕΓ. 

Ἔστιν δὲ φανερόν [ἐπιζευχϑείσης τῆς ΓΑ] " γίνεται γὰρ 
ἰσογώνια τὰ L4 “ΚΗ τρίγωνα τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας 
[πρὸς τῷ 4] ἴσας ἔχοντα καὶ περὶ τὰς D Η γωνίας τὰς 10 
πλευρὰς ἀνάλογον [ἔχοντα], ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ 4IH 
ΓΗ“ γωνίας ἐναλλάξ, καὶ παράλληλον τὴν ΓΩ͂ τῇ AH, 
καὶ ὡς τὴν 4Ε πρὸς τὴν ΕΓ, τὴν AK πρὸς I4, τουτ- 
ἔστιν τὴν 4.,Β πρὸς BI. 

21 Καὶ τὸ ἀναστρόφιον δὲ φανερόν ἐστιν. dày γὰρ ἢ ὡς 15 
ἡ 4B πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ 4E πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΔ ἐπ᾽ εὐϑείας 
γίνεται τῇ 4E. 

Παράλληλός τε γὰρ ἐστιν ἣ 4K τῇ L4 καὶ ἔστιν ὡς 
7? .4B πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, v» “3κΚ 
πρὸς L4: ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν $ KA τῇ 4E. εἰ γὰρ 20 
ἡ διὰ τῶν Κὶ Ε οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ 4, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, 
γίνεται ὡς ἣ 44 πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΘ, ὅπερ ἀδύνα- 
τον. ὑμοίως οὐδὲ τοῦ 4 ἐχτὸς ἥξει τέμνουσα τὴν ΓΖΔ ἐκ- 


4. πεσουνται A?IBS), πεσουται correctum ex πέσουσαι A1, διοῦσαι 
coni. Hu 9. τὸν [Β xüxlov Ἀ, τὸν B κύκλον B!, τὸν Bu κύκλον B5, 
τὸν ηϑλ κύχλον S, corr. Hu 8. συμπεσεῖται. voluit Co 8. 4. ἐχ- 
βαλλομενηι εὐθεῖα {{|Π| τὸ μείζονα A, εὐθεία (sic) corr. altera manus in 
Poris. 2368, διὰ add. BS 4. 5. τῆς F4 τοῦ ΑΚ AT. τραπεζείου A, 
τῆς yl τοῦ αχλ τραπεζίου BS, corr. Hu δ. τὴν xuxàov À, corr. BS 
8. ἐπιζευχϑείσης τῆς P4 interpolatori tribuit Hu (nam iungendem esse 
dy scriptor iam supra verbis τοῦ 4“,Κ24Γ τραπεζίου significavit) 
40. πρὸς τῶι «1 A9, πρὸς τὸ À BS, del. Hu τὰς LH A, distinx. BS 
44. ἔχοντα interpolatori tribuit Hu ὑπὸ “ΓΗ͂ Sca (ὑπὸ HI'4 Co) 
pro ὑπὸ AJHT 49. τῇ 4H) καὶ τῆι ΑΚ AS cod. Co, καὶ del. B 
Co Sca, ΑΗ corr. Hu 43. post τὴν ΕΓ add. r^ Paris. 4868 S (vo- 
luerunt οὕτως) 49. ἡ AE A? ex ἡ 45: 30. ἡ K4 Co Sca pro ἡ 
TA 23. τέϊμνουσακτὴν A 





LIBER IV. PROPOS. 43. . 211. 


an, quae scilicet per À x transibunt (elem. ὅ, 42), et recta 
xÀ, si producatur, circulum ζβ secabit ac rectae ay productae 
occurret propterea quod trapezii ακὸγ ἢ latus ex maius est 
quam yÓ; occurrat igitur in δ, circulum ζβ iterum secans in 
ὃ: demonstretur esse of : By — ae : ey. 

Est autem manifestum; triangula enim λὸγ 4x: similia 
sunt, quia angulos ad verticem aequales et circa angulos γ ἢ 





latera proportionalia babent (elem. 6, 7); itaque anguli dy» 
yga aequales, et, quia alterni sunt, rectae ὃγ ma parallelae 
sunt, ideoque ae: ey — ax : yÓ — of : By. 

Atque etiam conversa propositio manifesta est. Si enim 
sit af : By — ae: ey, dico puncta x ὃ e in eádem rectà esse. 

Est enim ox ipsi yÓ parallela!), et oa : βγ — ακ.: yà 
(quia af — ox, et By — γδ). Sed ex hypothesi est αβ : βγ 
-— «6: &y; ergo ax: yÓ — a£: ἐγ; itaque puncta x ὃ e in 
eadem recta sunt?)|. Nam si recta, quae per x e ducta erit, 
non transibit per à, sed per 3, erit && : ey — ax : yJ, quod 
fieri non potest?). Similiter recta xe neque extra punctum ὃ 

*) Rectas ex γ᾽ parallelas esse ex proxima demum demonstratione 
efficitur. 


4) Id similiter atque in prima demonstratione (cap. 20) ex trian- 
gulorum 4d» Àxy similitudine ostenditur. 
2) Conf. infra VII propos. 128 adnot. * 
8) Quoniam enim ex hypothesi est «e : ey — ax: yd, fieret y9 Ξε y, 
eum tamen sit y9 « yd. 
j4* 


212. HADIIOY ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ A. 


βληϑεῖσαν, olov κατὰ τὸ Ν᾿ ἔσται yàg πάλιν ὡς ἡ .4E 
πρὸς ΕΓ, ἣ 4K πρὸς ΓΝ, ὅπερ ἀδύνατον" ἔστιν γὰρ πρὸς 
τὴν L4. | 





Ἢ οὕτως. διὰ τοῦ K τῇ AE παράλληλος ἡ ΚΝ ἤχϑω, 
καὶ γίνεται τταραλληλόγραμμον τὸ ΑΓΝΚ'," καὶ ἴση ἡ 4K5 
τῇ ΓΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 41 πρὸς EI, οὕτως ἡ AK, 
τουτέστιν 7) ΓΝ, πρὸς L4, διελόντι ὡς ἡ AT πρὸς ΓΕ, 
ἡ N4 πρὸς 4Γ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ AT, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΝ, 
πρὸς ΝΩ͂, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς P4. καὶ περὶ τὰς ἴσας γω- 
γίας τὰς πρὸς τοῖς N Γ αἱ τιλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ὅμοιον 10 
ἄρα ἐστὶν τὸ ΕΑΓ τρίγωνον τῷ Α͂ΝΚ τριγώνῳ" ἴση ἄρα 
ἐστὶν ἢ ὑπὸ ΕΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ NA4K. καὶ ἔστιν εὐθεῖα 
ἡ ΓΝ: εὐϑεῖα ἄρα καὶ ἡ ΚΖΈ. 

22 “Μέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ KE.4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EB. 

Ἐπεὶ γὰρ ὡς ἢ 4E τιρὸς ET, οὕτως ἡ 4B πρὸς ΒΓ, 18 
τουτέστιν τιρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ 7) λοιπὴ ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν 
τὴν ΕΖ ὡς ἡ “3 πρὸς ΕΓ, τουτέστιν ὡς 1?) KE πρὸς ΕΖ. 
ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΚΕ πρὸς Ed, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΕ. πρὸς 
τὸ ὑπὸ 4E Ε4, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ 
τῆς BE πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΖ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΧΕ ΕΖ 2 
τῷ ὑπὸ BE EZ: ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕ.“ τῷ ἀπὸ EB. 

23 ig. Δύο ἡμιχύκλια và ΒΗΓ BEA, καὶ ἐφαπτόμενος 
αὐτῶν κύκλος ὁ EZHO, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ 4 
κάϑετος ἤχϑω ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν τῶν ἡμικυκλίων ἢ ΑΜ’ 
ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ MB πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ 3: 


LIBER ΙΝ. PROPOS. 44. 913 


transibit, rectam γὅ productam, velut in », secans; erit enim 
rursus «£6: £y — ax: y», quod fieri non potest; est enim 
Q:e6y- oQxX:yÓ. | 

Vel sic demonstratur. Ducatur per x ipsi «e parallela 
X», ac fit parallelogrammum  «yvx, et ox — yr. Et quo- 
niam est 

ἀξ : εγ — ax : yÓ, id est — yv : yó, dirimendo est 
Αγ : γε 2 νὃ : Oy. Et vicissim 
€y : νὃ — γε: Oy, id est (quia ay — x») 
Xv : νὃ — γε: Oy. Et circa aequales angulos ΧΡ) eyv 
: triangulorum xvà &yà latera propor- 
tionalia sunt; ergo Δ x»à — Δ eyó; 
itaque 
L εὃγ τε [ xÓüv. Atque ec constructione recta est γὸν ; 
ergo etiam recta est quae per x δ e 
transit 4). 

Dico insuper esse xe&-&À — «f?. 

Quoniam enim est ae : ey — af : By — af: Cy, per sub- 
Éactionem erit a& — af : ey — Ly, id est Be : eb — a6: ey 
Ξε χε : εὖ. Sed est κε: εὖ — x&- δᾶ : δὃ. δὰ, et fe : e m 
fe? : 86 - δζ, et est δ. εὃ — Be- εζ (elem. 5, 56); ergo etiam 
x6: eÀ τ εβ3. 

XVI. Sint duo semicirculi yy βεδ sese (angentes in Prop. 
punclo 8, et tangens eos circulus εζηϑ, cuius a centro α. ad 
By basim semicirculorum ducatur perpendicularis ou, et sit 
ab circuli £259. radius; dico esse in prima figura 


4) Quia recta est yJv, anguli yÀx -- xd» duobus rectis aequales 
sunt. Sed est [ xdv — [ «dy; ergo etiam anguli «dy -- ydx duobus 
reclis aequales sunt, itaque recta est quae per x à «s transit (Co). 


5. τὸ ΑΓΚΝ ABS, corr. Co 40. τοῖς NI' AS, distinx. B 
19. τὸ ὑπὸ 4Ε ΕΖ AB cod. Co, corr. S (τὸ ὑπὸ 4E4 Co) 20. πρὸς 
τὸ ὑπὸ /]Z Α, πρὸς τὸ x» BeC Bi, corr. B3 (τὸ ὑπὸ τῶν βεξ S) $1. ἄρα 
καὶ | ὑπὸ /]| τῶε Δ, integram scripturam servarunt BS 44. Ic A! 
in marg. (BS) τὰ ΗΒΓ AB, τὰ «fy S, corr. Co 48. ὁ EZ| H6 
A(S) coniunx. B — 25. ὡς add. Hu auctore Co 


214 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


κύκλου, οὕτως ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς ἀμφότερος 
ἡ ΓΒ B4 πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν L4, ἐπὶ δὲ τῆς 
δευτέρας καὶ τρίτης οὕτως ἡ τῶν ΓΒ B4 ὑπεροχὴ πρὸς 
συναμφότερον τὴν ΓΒ BA, τουτέστιν τὴν ΓΔ. 

Ἤχϑω διὰ τοῦ 4 τῇ ΒΓ παράλληλος $ ΘΖ. ἐπεὶ ξ 
οὖν δύο κύκλοι οἱ BHI' ΕΖΗΘ ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ 
τὸ H, καὶ διάμετροι ἐν αὐτοῖς παράλληλοί εἰσιν αἱ ΒΓ ZO, 
εὐθεῖα ἔσται ἣ τε διὰ τῶν H O B καὶ ἢ διὰ τῶν Η Z T. 


πρώτη 
καταγραφή 





P ᾿ x 9 αὶ A 7 


πάλιν ἐπεὶ δύο χύκλοι ot ΒΕ. EZHO ἐφάπτονται ἀλλή- 
λων κατὰ τὸ E, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι διάμεεροί εἰσιν 1 
αἱ OZ B4, εὐθεῖα ἔσται d) τε διὰ τῶν Z E B καὶ ἡ διὰ 
τῶν ΘῈ 4. ἤχϑωσαν καὶ ἀπὸ τῶν O Z σημείων κάϑετοι 
αἱ OK Zt: ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΗΓ 
ΒΘΚ τριγώνων ὡς ἡ ΒΓ πρὸς BH, οὕτως ἡ BO πρὸὰς τὴν 
ΒΚ, καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ 1: 
HB BO, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΖ. BEA τριγώνων 
ὡς ἢ 4B πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς BA4, καὶ τὸ 
ὑπὸ 4B B.4 ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ 
HB BO τῷ ὑπὸ ZB BE: ἴσον ἄρα xoi τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ 
τῷ ὑπὸ 4B B.4, ἂν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Z χάϑετος ἐπὶ τὸ Ax 


4. τουτέστιν τὴν L4 add. Hu. 6. EZ HO A, coniunx. BS, item 


vs. 9 8. τῶν HGB ABS, distinx. Hu ἡ (ante διὰ) add. S 

τῶν ΗΖΓ AS, distinx. Β 44. 12. τῶν ZEB — τῶν ΘΕΖ AS, distinx. 
B 418. τῶν ΘΖ A, distinx. S (τῶν ἢ 9 B) 44. 45. πρὸς τὴν ΘΚ 
x«i AB cod. Co, corr. S Co 45. igo» τὸ AB, corr. S 20. ἄν 


δὲ — p. 216, 4 ἀπὸ τῆς B4 ἃ Graeco scriptore addita sunt propter 
propos. 17 


LIBER IV. PROPOS. 44. 215 


Bu : aC τε gy -- 80 : By — βὸ τε By -- B8 : y, in se- 
cunda autem et tertia figura 
Ξε y — Bà : By -- 80 τῷ fy — 88 : γδ. 

δευτέρα Ducatur per a 
καταγραφή 7 ipsi f» parallela 
ϑζ. lam quia duo 
circuli py δζηϑ 
inter se tangunt 
in puncto 7», in 
iisque diametri 8y 
3. 59 parallelae sunt, 
recta erit et quae 
per 7 9 f, et quae 
per 2 £ y transitl). 
Rursus quia cir- 
culi βεδ εζηϑ in- 
ter se tangunt in 
puncto e, in iis- 
que diametri 97 
f? parallelae sunt, 
recta erit et quae 
pere, et quae 
per 2 & à transit. 
Ducantur a punc-- 
tis 9 & ad basim 

perpendiculares 
à 9* CÀ; erit igitur 
propter triangulo- 

rum 85y 8x9 similitudinem 6y : βὴ — 39 : Bx, et 





4) Iungatur enim (in prima figura) qy«; 
baec igitur producta transit per » circuli 
βηγ centrum. lam ducantur 85 35; ergo, 
quia 9« βν parallelae sunt, estque ϑα: 8» τῷ 
αἢ : νη, secundum ea quae supra propos. 43 
cap. 24 demonstrata sunt rec(a 35 ipsius 
Bm pars est. Item puncta ἡ ζᾧ y in eádem 
rectá esse ostenditur. Ac similis est de- 
monstratio in reliquis figuris. 





216 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ A. 


πίπτῃ, tQ ἀπὸ τῆς B4. ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης xata- 
γραφῆς ὡς ἡ ΓΒ πρὸς B4, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν BK, 
ὥστε καὶ συναμφότερος ?; ΓΒ BA πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὖ- 
τῶν τὴν D 4, οὕτως καὶ συναμφότερος $ ΛΒ ΒΚ πρὸς τὴν 
ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Κα. καὶ ἔστι συναμφοτέρου μὲν τῆς 
ΑΒ ΒΚ ἡμίσεια ἡ BM (διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν KM τῇ 
M4), τῆς δὲ Κ ἡμίσεια ἡ Κ΄ καὶ ὡς ἄρα συναμφό- 
vegoc ἡ ΓΒ B4 πρὸς τὴν ΓΖά, οὕτως ἡ BM πρὸς MK, 
τουτέστιν πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. 
ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης καταγραφῆς, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ 
ΓΒΚ ἴσον ἐδείχϑη [καὶ κοινῶς] τῷ ὑπὸ 4B.4, ὡς ἄρα ἡ 
ΓΒ πρὸς B4, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΚ. συνϑέντι ὡς 
ἡ ΓΖΩ͂ πρὸς 4B, ἡ KA πρὸς KB: ὥστε καὶ ὡς ἡ ΓΖά 
πρὸς τὴν τῶν ΓΒ Β4 ὑπεροχήν, οὕτως ἡ Κὶ' πρὸς τὴν 
τῶν 4B ΒΚ ὑπεροχήν. καὶ ἔστι τῆς μὲν ΚΑ ἡμίσεια ἢ 
éx τοῦ κέντρου τοῦ EZHO κύκλου [ἀντὶ τῆς [4M], 7 δὲ 
BM ἡμίσεια τῆς τῶν 1Β ΒΚ ὑπεροχῆς διὰ τὸ ἴσην εἶναι 
τὴν ΑΙ τῇ MK, ὥστε καὶ ὡς ἡ MB πρὸς τὴν ἐκ τοῦ 
κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, οὕτως ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης 
καταγραφῆς συναμφότερος ἡ ΓΒ B4 πρὸς τὴν ὑπεροχὴ" 
αὐτῶν τὴν D4, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τῆς τρίτης ἡ τῶν 
ΓΒ B4 ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓΒΔ, τουτέστιν 
τὴν D4 [ἀνάπαλιν γάρ]. 


4. 5. οὕτως x«l — αὐτῶν τὴν add. Co, item Sca, nisi quod ovre 
et 7 Àox scripsit (voluit ἡ ABx) 5. ἔστι (sic) AS, ἔστε B, item vs. 45 
6. 7. τῇ M.4 Sca, τῆι MA ABS, τῇ M.4 vel polius τῇ 6.4 Co 
7. ἡμέσειαν τὴν MK ABS, corr. Hu 9. τουτέστιν B, τουτέστι ASS 
τοῦ EZ HO A, coniunx. BS 40. ἐπεὶ A? ex ἐπὶ 41. xal χοινῶς 
interpolatori tribuit Hu 45. 46. ἡμέσεια ἐκ τοῦ κέντρου EZ H6 
A(BS), ἢ add. Sca, τοῦ (post χέντρου) add. Hu, ἐζηϑ coniunx. BS 
46. ἀντὶ τῆς 4M interpolatori tribuit Hu — 18. τῇ MK Sca, τῆι .4K 
ABS cod. Co, τῇ 42 Co 49. οὕτως ἐπὶ Co Sca pro ὅπως 7 
91. τῶν add. Sca 48. τὴν add. Hu ἀνάπαλιν γάρ interpolatori 
(qui significavit proportionem quae vs. 13 legitur e contrario mutatam 
esse in eam quae est vs. 48 sqq.) tribuit Hu 


LIBER IV. PROPOs. 44. 217 


By.» — 8n-89, et propter triangulorum βλζ βεὸδ si- 
militudinem 8C : 8À τῷ 80 : fle, e 
Bà. BÀ τῷ βζ. 8e, cVest βη. 89 — βζ. Be lelem.5, 56) ; 
ergo etiam 
By - gx — 80-8À, vel, si perpendicularis a £ in punc- 
| . ium ὃ cadat, 
— 8ó?. Ergo in prima figura est 
By : 80 τῷ BÀ: Bx, itaque etiam?) 
By -- Bà : By — 88 — BÀ - Bx : BÀ — Bx, id est 
By 4- Bà : γὃ — BÀ -- Bx: ἀκ. Et est 1 (BÀ - fix) — 
Bu (quia xu — μὰ, itaque 
BÀ -- Bx — 28x -- 2xu — 2βμ), 
ei 1 Àx — xu; ergo etiam 
By -- BÓ : yÓ τ Bp: xp, id est 
— βμ : αζ. In secunda autem et ter- 
Lia figura, quia demon- 
stratum est 
By - Bx — βὸ. BÀ, est igitur 
By : β — BÀ: Bx. Et componendo γὸ : BÓ τε ἀκ : fx; 
itaque etiam ?) 
yó : By — gà — λκ: BÀ — Bx. Et est f Àx — at, et 
4 (8A — fx) — βμ, quia BÀ — f 
— Àu -- Bu — ux 4- Bp, et λμ — 
Hx; aque etiam 
By — Bà: yó — fu: at. Ergo est in prima figura 
Bu : αζ τε By B8: By — βὸ — By τε Bà : à, in se- 
cunda autem et tertia figura 
Ξε βγ — Bà : By -- βὸ — βγ — fà : γδ. 


4) Quoniam enim est By : 80 — BÀ : Bx, primum componendo, tum 


* contrario, denique convertendo sunt 


£y -- 89 : B0 τῷ BÀ -- Bx : Bx 
βῆ: By - Bx: BÀ 
: By — Bà — a: BÀ — gx; ergo ex aequali 
By -- B0 : By — β — BÀ -- Bx : BÀ — Bx. 
3) ΝᾺ igitur 
d : Bd τῷ àx : fx, et e contrario, quia £y : 8d z B4 : fx, 
" : By Ξε Bx : BÀ, e convertenda eadem proportione 


218 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Δ. 


24 Συνϑεωρεῖται δ᾽ ὅτι xai τὸ ὑπὸ τῶν BK 4T ἴσον 
ἐστὲν τῷ ἀπὸ τῆς .4M. διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΘΚ 
ZAT τριγώνων ἐστὶν ὡς ἣ ΒΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΖΑ͂ 





πρὸς τὴν ΖΓ, xai τὸ ὑπὸ BK AT ἴσον τῷ ὑπὸ OK Z 4, 
τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς AM. 5 

Γίνεται δὲ καὶ διὰ μὲν τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν 
DI4, οὕτως τὴν B^1 πρὸς ΚΑ, τὸ ὑπὸ ΒΓ καὶ τῆς ΚΑ, 
τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ Β. AT, 
διὰ δὲ τὸ εἶναι ὡς τὴν B4 πρὸς τὴν L4, οὕτως τὴν BK 
πρὸς ΚΑ, τὸ ὑπὸ τῆς BA καὶ τῆς ΚΑ͂, τουτέστιν τῆς τοῦ 10 
κύχλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ BK AT. 

25 ιζ΄. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων γεγράφϑω κύκλος ὁ GPT 
ἐφαπτόμενος τῶν τε ἐξ ἀρχῆς ἡμικυκλίων καὶ τοῦ EHO 
κύκλου κατὰ τὰ O P T σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν 4 II xé»- 
τρων χκάϑετοι ἤχϑωσαν ἐπὶ τὴν BE βάσιν ci ΑΜ IIN : 15 
λέγω ὅτε ἐστὲν ὡς ἢ .4M μετὰ τῆς διαμέτρου τοῦ EH 
κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον αὐτοῦ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τὴν 
τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον. 

Ἤχϑω τῇ B4 πρὸς ὀρϑὰς ἡ BZ: ἐφάπτεται ἄρα τοῦ 
ΒΗΓ ἡμικυκλίου. καὶ ἐπιζευχϑεῖσα 7 Α,(Π ἐκβεβλήσϑω 20 
ἐπὶ τὸ Z. ἐπεὶ διὰ τὸ προδειχϑὲν ὡς συναμφότερος ἡ 





4. συνϑεωρεῖται rad' ὅτι A(BS), συνϑεωρεῖται. λέγω ὅτε Co, corr. 
Hu 9. ἐστιν τὸ ἀπὸ A, corr. BS 4. ΒΚ AT Co pro BK 4T 
8. τῶι ὑπὸ B.4 ΖΓ ABS, corr. Co 412. IZ A! in marg. (BS) 


44. τὰ GPT — rà» AII A, distinx. ΒΒ'Ξ' 19. Ἤχϑω τῇ ΒΓ coni. Hu 


LIBER IV. PROPOs. 15. 219 


Simul etiam demonstratur esse x.Ày — ou?. | Nam 
propter triangulorum 9x39 ζλγ similitudinem *) est 
fx : *9 — LÀ : Ày, atque 
Bx - Ày — x9. LÀ, id est (quia x9 — LÀ — ou) 
- ou?. 
Sed, quia est fy : yÓ τε BÀ : κα ἢ, est etiam 
By - xÀ -— BÀ - yó, 
id est rectangulum ex fy et (quia x4 — 230) circuli ££99  dia- 
metro aequale rectangulo 54.0. 
Denique, quia est βὸ : yÓ — (Ix : xÀ"*), est etiam 
Bà - xÀ τῷ βκ. à, 
id est rectangulum ex β et circuli e£p9: diametro aequale 
rectangulo fx. γδ. 

XVII. lisdem suppositis describatur circulus 239r, tan- 
gens et semicirculos initio descriptos et cireulum £3 in punctis 
t Q 9, et ἃ centris.o zz; ad basim y perpendiculares du- 
cantur ejt zv; dico esse ut eu unà cum circuli εϑη dia- 
metro ad ipsam diametrum, ita zr» ad circuli 9oz diametrum 
(vel brevius sic: si circulorum δϑὴ Jor diametros notamus 
Da Dz, esse ou -- Doa : Do z nv : τη. 

t πρώτη καταγραφή x Ducatur ipsi 
By perpendicula- 
ris 9C; haec igi- 
tur semicirculum 
βὴηὴγ angit. Εἰ 
iuncta απ produ- 
catur ad C. Quo- 
niam propter su- 
perius lemma est 
β, v ὃ &4 y inprima figura 

4) Utrumque enim (riangulorum x9 ζάγ simile est triangulo 857 (Co). 


*| Nam supra demonstratum est fy-Bx τὸ 89 .βλ. ergo est 
By : Bd — BÀ: fx, itaque in prima figura convertendo 
: yd. BÀ :xÀ. Idem in secunda et tertia figura componendo 
6, convertendo et e contrario demonstratur (Co). 


**) Quoniam enim statim demonstratum est 
By : γδ τ βλ: xÀ, in prima figura dirimendo, in secunda et ter- 
tia componendo fit 
BÓ : yd fix : xà. 





Prop. 
1$ 


220 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


δευτέρα καταγραφή 


| 


Ó 
DLB4 πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν L4, οὕτως xai ἡ ΒΙΜ 
ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς πρὸς τὴν ἐχ τοῦ χέντρου 
τοῦ EHO χύχλου, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας xal τρίτης ὡς ἡ ὕπερ- 
οχὴ αὐτῶν πρὸς συναμφότερον, τουτέστιν ὡς ἡ τῶν ΓΒ B4 
ὑπεροχὴ τιρὸς τὴν ΓΩ͂, οὕτως ἡ MB πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέν- 5 
τρου τοῦ EHO κύκλου, καὶ ἡ BN πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου 
τοῦ ΘΡΤ κύκλου, ἔσταν ἄρα καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ MB πρὸς 
τὴν BN, ἡ .4O ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ EHO κύχλου πρὸς τὴν 


7 





4. uiv add. Hu 4. 3. πρὸς τὴν — κύχλου add. Co Sca 8. καὶ 
τρέτης add. Co — 8. post τὴν Bv add. S οὕτως ἡ ui πρὸς τὴν (E καὶ ἡ 
«C πρὸς τὴν (x οὕτως 


LIBER IV. PROPOS. 45 221 


τρίτη xaraygad ἡ 





X 


ul By -- 80, in secunda autem et tertia ut βγ — βὃ ad 
yd, id est 
By X 80 : yó — Bu : a9, et propter idem lemma 
zv»: πϑ' (nimirum circulorum 529: 9or 
radii sunt αϑ' zr3J, perinde at- 
que in superiore lemmate at 
circuli £9), vicissim igitur erit 


222 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ A. 


ΘΠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ' κύκλου. ἀλλ᾽ ὡς ἡ MB πρὸς 
BN, ἡ .4Z πρὸς ZII (ἐπιζευχϑείσης γὰρ τῆς ΖΙΜ ἔσται 
ὡς ἡ MB πρὸς τὴν ΒΝ, οὕτως ἡ MZ πρὸς τὴν ΖΒ). καὶ 
ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸὺς τὴν ΖΠ, οὕτως 7? “4Θ ἐκ τοῦ κέντρου 
τοῦ EHO κύκλου πρὸς τὴν ΘΠ ἐκ τοῦ χέντρου τοῦ OPT5 
χύχλου. καὶ τῶν EHO POT κύκλων ἐφάπτεταί τις κύκλος 
ὁ BPEA κατὰ τὰ P E σημεῖα" διὰ ἄρα τὸ προδειχϑὲν ιε΄ 
ϑεώρημα ἡ và P E σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐϑεῖα ἐχβαλλο- 
μένη ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον πεσεῖται, καὶ ἴσον ἔσται τὸ ὑπὸ 
ΕΖΡ περιεχόμενον ὀρϑογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΖ τετραγώνῳ. 10 
ἔστιν δὲ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ZB τετραγώνῳ ἴσον τὸ ὑπὸ EZP: 
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΖΒ τῷ ἀπὸ ΖΘ' ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ 
ZO. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ μὲν M.4 ἐκβληϑεῖσα τέμνει τὴν τοῦ 
EHO κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Σ, ἡ δὲ ΠΝ τέμνει τὴν 
τοῦ OPT κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ο σημεῖον, ἴση ἄρα 15 
ἐστὶν ἢ μὲν 4 τῇ ΑΑΣ, ἡ δὲ ΠΟ τῇ IIO, καὶ τὰο Z 
σημεῖα ἐπιζευγνύουσα ἥξει διὰ τοῦ Θ' ἴση γάρ ἐστιν ἧ 
ὑπὸ ΘΑ͂Σ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΠΟ γωνίᾳ ἐναλλάξ, καὶ ἰσο- 
γώνιόν ἔστιν τὸ ΑΙΘΣ τρίγωνον τῷ ΠΘΟ τριγώνῳ, xai 
ἔστιν εὐθεῖα ἡ .41I: εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ διὰ τῶν 20 
Σ O O σημείων ἀπαγομένη. ἥξει δὲ καὶ διὰ τοῦ Β΄ εὐ- 
ϑεῖα γὰρ ἡ ΘΟΒ διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΖ πρὸς ΖΘ, οὕ- 
τως τὴν ΟΠ πρὸς τὴν IIO, ἴσων οὐσῶν τῶν ὑπὸ ΒΖΘ 
OIIO γωνιῶν ἐν παραλλήλοις ταῖς ΒΖ OII: καὶ τοῦτο 


1. τοῦ (ante ΘΡΤῚ omissum in A add. BS 4. ἀλλ᾽ ὡς — 5.6. ΘΡΤ 


κύκλου om. S 4. ὡς ἡ MB Co pro ὡς ἡ ME 4. ὡς ἄρα add. 
Hu 5. τὴν add. Hu 7. τὰ PE A, distinx. BS, item proximo 
versu 7. 8. διὰ ἄρα — σημεῖα add. A! in marg. (BS) ue 
ϑεώρημα forsitan interpolator addiderit 9. ἐπὶ τὸ Z Co Sca pro ἐπὶ 
τὸ H 43. ἐπεὶ Hu, ἔστιν A, ἔστι BS 45. 16. ἔση ἄρα ἐστὶν ἡ 
μὲν Hu, om. Αἴ, ἴση uiv add. A? in marg. (BS) — — 16. ἡ δὲ ΠΟ A? 
ex ἡ δὲ II* ἡ (ante τὰ) add. Hu τὰ OC A, distinx. BS 


20. 31. τῶν cOO A? super evanidam primae manus scripturam, distinx. 
BS 34. τοῦ B Co Sca pro τὸῦ BE 34. 44. ευϑεῖ! {{{| {|| [[[ | τὸ 
εἶναι Ai, α γὰρ η GOB διὰ add. Α3(5), εὐθεῖα γὰρ ἡ ϑοξ διὰ τὸ εἶναι 
Β 33. πρὸς τὴν ΠΘ ἴσων | super evanidam primae manus scriptu- 
ram AZ(B2S), πρὸς τὴν 79 .... B! 


LIBER IV. PROPOS. 15. 223 


Bu : Bv — a9: x3. Sed cst 
. Bu : βν — Ca : Ur (iunctà enim reclà ζὲμ erit Bu : B 
Ξε ἔμ: ζὲ τε ζα : n); ergo etiam 
ζα: Em — a9: πϑ. Et circulos εϑη ϑρτ tangit cir- 
^ culus βρεδ in punctis e o; ergo, 
secundum ea quae supra theore- 
mate XV (cap. 21) demonstrata 
sunt, recta, quae puncta ερ iun- 
git, producta cadet in punctum C, 
atque erit (ibid. cap. 22) 
eb.Lo — OU. Sed est etiam propter elem. 5, 56 
eb. ζρ — 08? ; ergo ζβ2 — 902, et 
ἱβ τὸ ζ9. 
Sed quia μα producta circuli εϑη circumferentiam secat 
ino, et zr» circuli 3er circumferentiam secat in o, est igitur 
α΄ — a9, et πὸ — n9, 
Εἰ recta, quae puncta σ o iungit, eliam per $9 transibit; an- 
Sui enim alterni Jac ϑπὸ aequales sunt, estque 9a : ac τα 
ὅπ: πο, itaque propter elem. 6, 7 triangula a96 πὸ si- 
milia sunt; et rec- 
ta est a7; ergo 
NS r recta etiam est 
7A T9 n proóS22G 
lucitur!). — Sed 
/ 7 eadem recta etiam 
/, per B transibit; 
/ | nam recta est 








S08, quia supra 

demonstravimus 
esse ζβ — C9 e 
πὸ — n9, ilaque est CB : C9 — πο: n9, et propter paral- 
leas C8 πὸ anguli 853. οπϑ' aequales sunt; nam hoc quoque 
supra demonstratum est decimoquinto?). 








4 vo 4,y 


4) Hoc eadem ratione ac supra propos. 43 adnot. 4 demonstratur. 


4) Vide supra p. 244 sub finem vel p. 318. Proportio aulem 
(8 :ἴϑ τε πο: πϑ tranaponenda est in £9: ὃπ — (f : πο, ut respon- 
deal illi ac : y τε ex: 


224 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


γὰρ προδέδεικται ιε΄. ἐπιζευχϑεῖσα δὲ καὶ ἡ BII ἐκβεβλή- 
σϑω xai συμπιπτέτω τῇ ΠΑ ἐκβληϑείσῃ κατὰ τὸ Κ. ἐπεὶ 
οὖν 7» ὡς ἡ MB πρὸς ΒΝ, τουτέστιν ὡς 7) KB πρὸς τὴν 
BII, οὕτως ἡ “2 πρὸς ΖΠ καὶ ἡ “43 πρὸς ΘΙ, ἔσται 
καὶ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΠ, ἣ ΑΗ͂Σ πρὸς ΠΟ καὶ ἣ ΣΚ πρὸς ὅ 
ΠΟ’ ἴση ἄρα ἢ AE τῇ EK. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ “ΑΚ ὅλῃ τῇ 
διαμέτρῳ τοῦ EHO κύκλου ἐστὶν ἴση, καὶ ἔστιν ὡς ἡ KM 
πρὸς ΚΣ, οὕτως ἣ ΝΠ πρὸς OII, ἔσται καὶ ὡς ἡ MK 
πρὸς τὴν ΚΑ͂, τουτέστιν ὡς ἡ M.4 μετὰ τῆς διαμέτρου 
τοῦ EHO χύκλου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως 7, NII πρὸς 10 
τὴν τοῦ OPT χύχλου διάμετρον, ὅπερ: — 

26. wy. Τούτων προτεϑεωρημένων vnoxsio9o ἡμικύκλιον 
τὸ ΒΗΓ, καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον εἰλήφϑω 
τὸ 4, καὶ ἐπὶ τῶν BA 4Γ ἡμικύκλεα γεγράφϑω τὰ BEA 
ΔΎΓ, xoi ἐγγεγράφϑωσαν εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῶν τριῶν 15 
περιφερειῶν τὸν καλούμενον ἄρβηλον κύκλοι ἐφαπτόμενοι 
τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς οἱ περὶ τὰ 
χέντρα τὰ Α΄, II O, καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων αἰτῶν κάϑετοι 
ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχϑωσαν αἱ ΑΠ ΠΝ OZ: λέγω ὅτι ἢ μὲν 
ΑἿΜ ἴση ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ 24d κύχλου, ἢ δὲ 30 
ΠΝ διπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ πιερὶ τὸ Il κύχλου, ἡ δὲ ΟΣ 
τριπλῇ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου, καὶ αἱ ἑξῆς 
κάϑετοι τῶν οἰκείων διαμέτρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς 
ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριϑμούς. 

Ἤχϑω διάμετρος ἡ ΘΖ παράλληλος τῇ ΒΓ, xai κά- 38 


4. “εἼ c6 A, ἐε S, ἐν τῷ i69. B (conf. ad p. 222, 7. 8) 4. τὴ 
ΜΑ Co pro τῆι M.A ἐκβληϑείσης A(BS), corr. Sca (Co) 4. ov- 
τως — 40 πρὸς ΘΙ bis scripta in ABS, corr. Co Sca 5. 6. πρὸς 
IIO* ἴση ἄρα ἡ 42 τῇ add. Hu auctore Sca, qui ἴση «p« ἡ 0x τῇ 
πσα adscripsit (πσα igitur pro codicum scriptura ΣΧ intulit) 7. xal 
ante ἔστιν super versum add. A prima, ut videtur, manu 8. 7 ante 
NII om. AS, add. B!, rursus del. B? 41. in fine huius lemmetis 
quaedam periise videntur: vide append. 49. 7H A! in marg. (BS) 
45. ἐγγράφϑωσαν Αἱ, corr. AXBS) — 47. ὅσοι ϑήποτ᾽ οὖν AB, coniunx. 
S ὡς ὃ περὶ ABS, corr. Hu 48. rà .4IIO ^A, distinx. BS 
21. post διπλὴ add. ἐστι (sic) ABS, del. Hu τοῦ A? in rasura pro 
τῆς 29. αἱ ἑξῆς αἱ AS, ἑξῆς αἱ B, corr. Hu 





LIBER 1V. PROPOS. 46. 225 


Iuneta autem zr producatur et rectae μὰ productae oc- 
eurrat in x. lam quia est 
Bu : Bv — Bx: βπ — αὗ : Gr, et, ut supra demonstra- 
vimus 
a9 : zt9, erit etiam 
a9 : 79 — ag : πο. Et propler pavallelas 
χα πὸ esl 


aL : Lb 
px : gn 


Bx : Br — κα: xo; ergo 
α΄ ΞΞ xG. 

lam quia tota ακ ( ασ 4- xo) circuli εϑη diametro ae- 
qualis, et propter parallelas xu zr» est xu : x90 — 7r : πο, 
erit etiam (quia. &x —, 2xo) 

Xp: OX τ πν : 27:0, 
id est, ut eu unà cum circuli &97 diametro ad ipsam dia- 
metrum, ita erit zt» ad circuli 9ov diametrum (sive, ut supra 
p. 219, αμ -- Do : Da z zv : Dzt), 4. c. d. 

Quodsi pro circumferentia. semicirculi βηγ sit recta linea 
βὴ ad ipsam 80 perpendicularis, nihilominus circa. descriptos 
circulos eadem contingent 3). 

XVIII. His praemonstratis supponatur semicirculus fy, Prop. 
cuius in basi quodlibet punctum δ᾽ sumatur, et in rectis ga ' 
ὃγ deseribantur semicirculi βεδ Óvy, et in spatium quod est 
inler tres cireumferentias, quod ἄρβηλον vocant, inscribantur 
dreuli quotcunque, qui et semicirculos et se invicem tangant, 
velut qui sunt circa centra « πὶ o, et a centris ad gy du- 
cantur perpendiculares ἂμ πν 00; dico 

eu aequalem esse diametro circuli o, 

zv» duplam diametri circuli zr, 

og tiplam diametri circuli o, 

reliquas deinceps perpendiculares multiplas diametrorum, 
quae cuiusque sunt circuli, secundum numerorum 
seriem per unilates progredientem. . 

Ducatur diametrus ϑαζ ipsi gy parallela, et ad By per- 


3) Haec addidit Co: vide append. ad h. l. et infra cap. 27. 





33. τὸ O Co pro τὸ 6 
Pappus 1. | 15 


220 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Δ. 


. 9evov αἵ ΘΚ ΖΑ: ἔσται δὴ κατὰ τὰ προγεγραμμένα τὸ 


μὲν ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον ὀρϑογώνιον ἴσον τῷ ὑπὸ 


AB BA, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΓ I4 τῷ ὑπὸ KIA. καὶ δεὰ τοῦτο 


πρώτη καταγραφή 





p 


ὡς ἡ BK πρὸς K.4, οὕτως ἣ KA πρὸς 41 ἑκάτερος γὰρ 
λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς B4 πρὸς AT (ἐπεὶ γὰρ τὸ δ 
ὑπὸ ΓΒ BK ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ .18Β BA, ἔστιν ἄρα ὡς 1) 
ΓΒ πρὸς B.4, οὕτως ἡ 4B πρὸς ΒΚ’ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΓΒ 
πρὸς B4, οὕτως 7, 4B πρὸς BK: διελόντι ὡς ἡ ΓΖ πρὸς 
AB, ἣ J4K πρὸς KB: ἀνάπαλιν ὡς 7? B4 πρὸς AT, ἡ 
ΒΚ πρὸς Kod: πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΓΑ͂ ἴσον ἐστὶν τῷ 10 
ὑπὸ KI L4, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ I4 
πρὸς ΓΑ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν L4, ἡ ΚΓ πρὸς 
τὴν DL 71: διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἣ B4 πρὸς AT, οὕτως ἡ 
ΚΑ πρὸς τὴν 4Γ- ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν TA, ἡ 
ΒΚ πρὸς τὴν K1* καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΩ͂, οὕτως [δ 
ἣ ΚΛ πρὸς τὴν AT): ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν BK I4 τῷ 
ἀπὸ τῆς ΚΑΊ. προδέδειχται δὲ τὸ ὑπὸ BK T ἴσον καὶ 
τῷ ἀπὸ ΑἿΜ’ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ .4M τῇ ΚΑ, τουτέστιν τῇ 
ZO διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου. ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦτο 





3. τὸ δὲ ὑπὸ BD I4 τὸ A!S, L4 restituit Co, τῶ corr. A? (τῷ 
B* Paris. 3368) &. πρὸς πρὸς ΑΓ À, sed alterum πρὸς expunctum 
6. 7. ὡς ἡ ΓΒ — ἐναλλὰξ et 44. 12. ὡς ἡ ΒΓ — ἐναλλὰς sive ab ipso 
huius theorematis scriptore praeter necessitatem posita sive ab alio 
inculcata, quia sine dubio abundant, omisimus in versione Lat. 


LIBER IV. PROPOS. 46. 997 


pendiculares 9x GÀ; erit igitur secundum ea quae supra (cap. 
35 p. 217) demonstrata sunt 

By: Bx — B8. BÀ, et 

By y Ξε γδ' yx?). 


δευτέρα καταγραφή 





3 


lam quis By - Bx — βδ. 8A, est ieitur 
By : β τῷ BÀ : Bx, et dirimendo 
0y : BÓ — xà: P el e contrario 
Bà : ὃγ — Bx : xÀ 

Rursus quia By - γλ — γὅ. yx, est igitur 
By : yó 2 xy: o et. dirimendo 


fà : y τ - 

Sed erat etiam βὸ : ὃγ — x : xÀ; ergo 
gx : κα τ ks 4, itaque 
Bx. Ày — 


Sed supra, (cap. o, demonstravimus esse 
B*«-Ày — ou?; ergo est 
αμ τ xÀ — ϑζ, id est 
cp aequalis diametro circuli o. 


*) Scilicet circulus « non solum semicirculum «d (unde demon- 
Siratur By - fx 2: 80-84), Sed etiam semicirculum yv tangit ea ratione 
quae initio propositionis 44 supponitur; ergo, quo facilius appareat 
ee βγ.γλ τὸ yJ-yx, pro litteris in priore casu (βγ. βχὰ — βδ. βλ)ὴ ex 
propos. 44 repetitis 


BxAYy 
in hoc altero casu ad figuram primam vel secundam supra descriptam 
&apponantur 

y ἃ x B. 


18. post διελόντι add. ὡς ABS, del. Hu 45. 46. οὕτως ἡ ΚΙ add. 
Hw auctore Co 4148. ἐστιν ὥρα A(BS), transposuit Hu 
15* 


228 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Δ.. 


προδέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ .4M μετὰ τῆς ΖΘ πρὸς τὺν 
ΖΘ, οὕτως ἣ ΠΝ πρὸς τὴν τοῦ περὶ τὸ II κύκλου διά- 
μέτρον, καὶ ἔστιν ἡ .4M μετὰ τῆς ZO διπλῆ τῆς ΖΘ, 
ἔσται καὶ ἡ ΠΝ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ II κύκλου διπλῆ. 
ἣ ΠΝ ἄρα μετὰ τῆς διαμέτρου τοῦ περὲ τὸ Π κύκλου τρι- ὃ 
πλασία τῆς διαμέτρου, καὶ ἔστιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἡ ΟΣ 
πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Ο x)xAov: καὶ $ ΟΣ ἄρα 
τριπλασία τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου. καὶ ὁμοίως 
καὶ ἡ τηῦ ξξῆς κύκλου κάϑετος τῆς διαμέτρου τετραπλασία, 
καὶ αἱ ἑξῆς κάϑετοι τῶν xa9' αὑτὰς διαμέτρων εὑρεϑή- 10 
σονται πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερ- 
ἔχοντας ἀριϑμούς, καὶ τοῦτο συμβαῖνον ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀπο- 
δειχϑήσεται. 


21 Z[v δ᾽ ἀντὶ τῶν ΒΗΓ ΦΎΎὝΓ περιφερειῶν εὐθεῖαι ὦσιν 
ὀρϑαὶ πρὸς τὴν 1Ὁ 

τρίτη καταγραφή | BA , ὡς ἐπὶ τῆς 

Ὃν «Φ ; ἐ τρίτης ἔχει κατα- 


γραφῆς, τὰ αὐτὰ 
συμβήσεται περὲ 
τοὺς ἐγγραφομέ- 20 
vovg κύκλους" αὖ- 
τόϑεν γὰρ ἡ ἀπὸ 
τοῦ ΑἹ κέντρου 
κάϑετος Emi 'τὴν 
ΒΖ ἴση γένεται 35 
τῇ τοῦ περὶ τὸ 
«4 κύκλου διαμέ- 
τρῳ. 
Ἂν δὲ αἱ μὲν 
ΒΗΓ ΒΕΔ μέ- 80 
vti» περιφέ- 
οειαι, ἀντὶ δὲ 
τῆς AYI περιφερείας εὐθεῖα ὑποτεϑῇ (ὡς Emi τῆς τε- 
τάρτης ἔχει καταγραφῆς) ἡ 4Z ὀρϑὴ πρὸς τὴν ΒΓ, τῆς 
μὲν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, τετραγωνικὸν ἐν ἀριϑμοῖς λόγον 35 
ἐχούσης, σύμμετρος ἔσται ἡ ἀπὸ τοῦ 24 κάϑετος τῇ δια- 





LIBER ΙΝ. PROPOS. 16. 229 


Sed quia superiore lemmate etiam hoc demonstravimus, esse 
αμ 4- 96: ϑ — nv : diam. circ. zt, estque 
Gu - 96 — 2 9L, erit etiam 
πν dupla diametri circuli zr. 
Ergo zz» unà cum diametro circuli zz tripla est eiusdem dia- 
metri, atque (2em propler superius lemma) in eadem pro- 
portione est o0 ad circuli o diametrum; ergo est etiam 
o0 tripla diametri circuli o**). 
Et similiter perpendicularis, quae ex centro proximi circuli 
ducitur, quadrupla est ipsius diametri, et 
reliquae deinceps perpendiculares invenientur multiplae 
diametrorum, quae cuiusque sunt circuli, secundum 
numerorum seriem per unitates progredientem, 
e| hoc in infinitum contingere demonstrabitur. 

Quodsi pro circumferentiis βὴγ Óvy rectae sint lineae 
perpendiculares ad 80, ut est in tertia figura, eadem circa in- 
Seriptos circulos contingent; nam statim perpendicularis, quae 
à centro α ad à ducitur, aequalis fit diametro circuli «***). 

Sin vero circumferentiae ny βεδ maneant, pro circum- 
ferenia autem óvy (ut est in quarta figura) recta linea ὁξζ 
supponatur ad fy perpendicularis, primum, si fy ad γὸ 
eandem proportionem habeat quam quadrata quorumlibet nu- 
Ierorum , perpendicularis ex ἃ commensurabilis erit dia- 

**| Haec, iisdem notis ac supra p. 219 adhibitis, distinctius sic de- 
Scribuntur : Quoniam zr» τὸ 2 Dr, est igitur 

7» τ Dz —-83Dz. Sed secundum propos. 145 (litteris scilicet 


convenienter mutatis) est 
zv τ Dz : Dx - oo: Do; ergo οὔ — 3Do 


, ἘΝ Significat igitur scriptor circulum ϑεζ tangere semicirculum βεδ 
l1 € el perpendiculares 89 δ in 9 (; ergo diametrus 97 ipsi gÀ pa- 
rallda est et aequalis; itaque ej. diametro circuli « aequalis. Reliqua 
Perinde ac supra initio huius paginae demonstrantur. 





3. ; ante 4M add. Hu. 5. ἡ ΠΝ A? ex χὰ ΠΝ 10. αἱ add. 
Ils 42. α«ποδειχϑήσονται. ABS, corr. Paris. 2368 V 44. δ᾽ add. 
Huauctore Co 16. B4 Co pro BI, item vs. 35. 24. αὐτόκϑεν Α 
37. διαμέτρου ABS, corr. Hu auctore Co 249. uiv add. A! super vs. 
δέ. ἡ 4Z Co pro ἡ 43, item p. 330, 8 et 5 36. συμμέτρον (sine 
800.) A(B), corr. Paris. 2868 V (utraque forma exstat in S) 





280 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ A. 


μέτρῳ τοῦ περὲ τὸ ΑἹ κύκλου, εἰ δὲ μή, ἀσύμμετρος. κα- 
ϑόλου γὰρ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖΔ, τοῦτον ἔχει 


τετάρτη χαταγραφή 





"d 7X kk 7 
τὸν λόγον δυνάμει ἡ 4Z πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὲ τὸ 
44 κύκλου, ὡς ἑξῆς δείκνυται. οἷον ἐὰν ἢ τετραπλασέα 
μήκει ἡ ΒΓ τῆς ΓΩ͂, γίνεται διπλῆ μήκει ἡ 4Z, τουτέστιν 5 
ἢ ἀπὸ τοῦ ΑἹ χάϑετος, τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ .4 
χύχλου, καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Π τριπλῆ, ἡ δ᾽ ἀπὸ τοῦ Ο 
τετραπλῆ, καὶ ἑξῆς κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμούς. 

28 v9'. Τὸ ὑπερτεϑὲν λῆμμα. ἡμικύκλια τὰ ΒΗΓ B.Ad, 
καὶ ὀρϑὴ ἡ 4E, καὶ κύκλος ἐφαπτόμενος ὃ OHZ. 4: ὅτιϊα 
ἐστὶν ὡς 7) ΒΓ πρὸς τὴν DA μήκει, οὕτως ἡ 4Z πρὸς τὴν 
διάμετρον τοῦ (OHZ 4 χύχλου δυνάμει. 

Ἤχϑω διάμετρος ἡ OZ: εὐϑεῖαι ἄρα a& ΖΑΒ OMA. 
κάϑετος ἤχϑω ἡ OK: ἔσται ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα τὸ 
ὑπὸ τῶν ΓΒ BK περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς1-- 
B4 τετραγώνῳ: ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖά, οὕτως ἡ B4 
πρὸς 4Κ, τουτέστιν πρὸς ΘΖ. ὡς δὲ ἣ BA πρὸς ΘΖ, ἡ 
4.4 πρὸς ΘΑ͂, ὡς δὲ ἡ 4.4 πρὸς 440, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 


δ 


3. post λόγον add. μήκει Co & —8. verba οἷον ἐὰν usque ad 
finem capitis forsitan alius atque ipse theorematis scriptor addiderit 
9. 710 A! in marg. (BS) 410. ὁ ΘΗ ZA A, coniunx. BS, item vs. 4€ 
et p.232, 4 144. ὡς add. Hu auctore Co — 12. κύχλου add. Hw auctore 
Co 44. τὰ omissum in AB add. S 45. τῶ ἀπὸ super evanidam 
primae manus scripturam A?(BS) 41, 4K τουτέστιν AX(BS), //. {{{{{{ 


LIBER IV. PROPOS. 17. 2231 


metro circuli «, atl si non, incommensurabilis. Nam om- 
nino quam proportionem habet y ad γδ, eandem habet 
quadratum ex ὃξ ad quadratum ex diametro circuli e, ut 
deinceps (propos. 17) demonstrabitur. Velut si recta By qua- 
drupla sit ipsius yÀ, recte Oi, id est perpendicularis ex α, 
fi, dupla diametri circuli α, et perpendicularis ex zr tripla 
diametri circuli zz, et perpendicularis ex o quadrupla diametri 
arculi o, et sic porro secundum numerorum seriem. 

XIX. Sequitur lemma quod supra dilatum est. Sint Prop. 
semicirculi βηγ ad, et perpendicularis de, et circulus ϑηζα, " 
qui semicirculos et perpendicularem tangat in y e 6; dico 
esse ut rectam y ad γδ, ita quadratum ex ὃζ ad quadratum 
ex diametro circuli ϑηζα. : 





Ducatur diametrus 3C ipsi 8» parallela; ergo rectae li- 
Deae sunt Lag S:0*). '"Ducatur perpendicularis 9x; ergo 
Proter ea quae supra (cap. 28 p. 247) demonstravimus erit 

By: Bx — B^; ergo 

By : βὸ — BÓ : Bx, el convertendo 

By : yÀ — 80 : Óx, id est 

— 0: 96. Sed propier parallelas Bà 90 est 

Bà : 95 — δα: 3o; ergo etiam 
By : yà τε δα: 9a. Sed, quia triangulum ϑζὸ ortho- 
gonium est, et perpendicularis ad 
hypotenusam ducta Co, est igitur 


*) Vide supra propos. 44 cum adnot. 4. 


À 48. ὡς { [4 []]] || {{πως At, ὡς δὲ ἡ 44 πρὸς 196 οὕτως A?, 
ὡς δὲ ἡ ὃ πρὸς λϑ S, corr. B 


232 TIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ A. 


Z4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ (ὀρϑογώνιον γάρ ἐστιν τὸ OZA, 

1 ’ ? M c [j € * C P c 
χαὶ καϑετος ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν ἡ Z.d)* καὶ ὡς aa ἢ 
ΒΓ πρὸς L'A, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Z4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δια- 
μέτρου τοῦ ΘΗΖΑΑ κύκλου. 

29 χ΄. Ἔτι καὶ τοῦτο διὰ τῶν προγεγραμμένων λημμάτων 5 
τεϑεώρηται. ἔστω ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ Α444ῈΕ, καὶ γε- 
γράφϑωσαν ἐφαπτόμενοι τῶν περιφερειῶν αὐτῶν κύκλοι 
οἱ περὲ τὰ κέντρα τὰ Ζ H Θ, καὶ οἱ συνεχεῖς αὐτοῖς ὡς 

3 ^. 
ἐπὶ τὸ ΑΙ. ὅτι μὲν οὖν ἣ ἀπὸ τοῦ Z χάϑετος ἐπὶ τὴν ΑΓ 
ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Ζ κύκλου δῆλον, |0 
λέγω δ᾽ ὅτι καὶ ἣ μὲν ἀπὸ τοῦ H κάϑετος τριπλασία τῆς 
3 d , ^ M M J € 1i 2 M ev 
ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ H xvxAov, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ O 
κενταπλασία, καὶ αἱ ξξῆς κάϑετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων 
πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξξῆς περισσοὺς ἀριϑμούς. 





c € 7 


Ἐπεὶ γὰρ προδέδειχται ὡς 7) ἀπὸ τοῦ Z κάϑετος μετὰ 15 
τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως 7 ἀπὸ τοῦ H 
A M χω} ν᾽ € 3 Ml ^v 
xa9erog πρὸς τὴν ἰδίαν διάμετρον, καὶ ἔστιν ἡ ἄπο vob Z 
χάϑετος μετὰ τῆς διαμέτρου ἡμιολία τῆς διαμέτρου, τῆς 
ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται τριπλασία. πάλιν ἐπεί ἐστιν 
€ ς ) M ^ ’ N - , 1 4 
ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ H κάϑετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν 26 
διάμετρον, οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Θ χάϑετος πρὸς τὴν διά- 
€ 3 3 M ^v ’ M ^v A 
uevgov, ἡ δ᾽ ἀπὸ τοῦ H κάϑετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς 
^ / » e 2» A M lj ἢ 
τὴν διάμετρον λόγον ἔχει ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ δύο, 
ce M € 3 Pl - , M bl , M 
ἕξει καὶ ἢ ἀπὸ vob O xaJerog πρὸς τὴν διάμετρον τὸν 
αὐτὸν Aóyov: τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται πενταπλασέα. 55 
ὁμοίως δειχϑήσονται καὶ αἵ ἑξῆς χάϑετοι τῶν ἐκ τῶν xév- 
τρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριϑμούς. 


LIBER IV. PROPOS. 418. 233 


δα: αζ — aC : 9a; itaque (elem. 5 def. 10. 8, 11) 
δα : 9a — 0o?: a(?. Sed est δα : αἵ — 05 : C9; ergo 
δα : 9a — 0l? : C9?; ergo etiam 
By : γ — 0D? : 59?, id est, ad quadratum ex diametro 

circuli 95a. 

XX. Praeterea ex lemmatis quae modo perscripta sunt Prop. 
hoc quoque facile demonstratum erit. Sint semicirculi af !8 
ade, οἱ describatur circa centrum C circulus, qui e£ basim ay 
ef semicireulos tangat, tum circa centrum ἢ circulus, qui ef 
circulum C et semicirculos tangat, tum similiter circulus 9. et 
alii continuo se excipientes usque ad punctum o. lam vero 
perpendicularem ex ζ ad «y ductam aequalem esse radio cir- 
eui £ manifestum est; sed dico etiam 

perpendicularem ex ἢ esse triplam radii circuli 7, et 

perpendicularem ex 2 quintuplam rad circuli 3, et 

reliquas deinceps perpendiculares multiplas radiorum, 
qui cuiusque sunt circuli, secundum impares de- 
inceps numeros. 

Quoniam enim supra (propos. 10) demonstravimus ut 
perpendicularem ex & unà cum diametro circuli &, ad ipsam 
diametrum, ita esse perpendicularem ex ἢ ad diametrum cir- 
culi», atque perpendicularis ex & unà cum diametro ad dia- 
metrum proportionem habet 3 : 2, perpendicularis igitur ez ἢ 
radii cércul? ἡ erit tripla. Rursus,quia ut perpendicularis ex ἢ 
unà cum diametro circuli ἢ ad ipsam diametrum, ita est per- 
pendicularis ex 9 ad diametrum circul? 9, et perpendicularis 
ex 7 unà cum diametro ad diametrum proportionem habet 
9:29, etiam perpendicularis ex 2 ad diametrum circuli 9 
eandem proportionem habebit; radii igitur erit quintupla. 
Similiter demonstrabitur reliquas quoque perpendiculares mul- 
üplas esse radiorum, qui cuiusque sunt circuli, secundum 
impares deinceps numeros. 


5. K Alin marg. (Β38 8. c& ZHO A, distinx. BS 48. 44. καὶ 
ἑξῆς κάϑετος — πολλαπλασια (sine acc.) A(BS), corr. Hu auctore Co 
38. πρὸς τὰς δύο AB?, corr. BIS 46. αἱ add. A! super vs. 


284 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


90 κα΄. Τὸ ἐπὶ τῆς ἕλικος τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γραφομένης 
ϑεώρημα προῦτεινε μὲν Κόνων ὁ Σάμιος γεωμέτρης, ἀπέ- 
δείξεν δὲ Ἀρχιμήδης ϑαυμαστῇ τινι χρησάμενος ἐπιβολῇ. 
ἔχει δὲ γένεσιν ἡ γραμμὴ τοιαύτην. 

31 "Eovo κύχλος οὗ κέντρον μὲν! 

τὸ Β, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΑ͂. 

χεχινήσϑω ἡ ΒΑ͂ εὐθεῖα οὕτως 
ὥστε τὸ μὲν B μένειν, τὸ δὲ Αἴ 
ὁμαλῶς φέρεσθαι κατὰ τῆς τοῦ 
κύκλου περιφερείας, ἅμα δὲ αὐτῇ 

ἀρξάμενόν τι σημεῖον ἀπὸ τοῦ B 

φερέσϑω κατ᾽ αὐτῆς ὁμαλῶς ὡς 

ἐπὶ τὸ «ΑΙ, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τό τὲ 
ἀπὸ τοῦ B σημεῖον τὴν B.4 διερχέσϑω καὶ τὸ ΑἹ τὴν τοῦ 
χύκλου περιφέρειαν" γράψει δὴ τὸ κατὰ τὴν Bo4 χκινού-: 
μενον σημεῖον ἐν τῇ περιφορᾷ γραμμὴν οἵα ἐστὲν ἣ ΒΕΖΑ͂, 
καὶ ἀρχὴ μὲν αὐτῆς ἔσται τὸ Β σημεῖον, ἀρχὴ δὲ τῆς περι- 
φορᾶς ἡ B.4, αὐτὴ δὲ ἡ γραμμὴ ἕλιξ καλεῖται. καὶ τὸ 
ἀρχικὸν αὐτῆς ἐστι σύμπτωμα τοιοῦτον. 

82 Ἥτις γὰρ ἂν διαχϑῇ πρὸς αὐτὴν ὡς ἡ ΒΖ καὶ éx-? 
βληϑῇ, ἔστιν ὡς ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν 
AAT. περιφέρειαν, οὕτως 1) 44B εὐϑεῖα πρὸς τὴν ΒΖ. 

Τοῦτο δὲ συνιδεῖν ῥάδιον ἐκ 
τῆς γενέσεως" ἐν ᾧ μὲν γὰρ τὸ d 
σημεῖον τὴν ὅλην κύκλου περιφέ- 
οδιαν διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ 

« ἀπὸ τοῦ B τὴν ΒΑ͂, ἐν ᾧ δὲ τὸ .4 

τὴν Α4Γ περιφέρειαν, ἐν τούτῳ 
καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΖ εὐϑεῖαν. 
καὶ εἰσὶν oi κινήσεις αὗται ξαυταῖς : 
ἰσοταχεῖς, ὥστε καὶ ἀνάλογον εἶναι. 
33 Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο ὅτι, αἵτινες ἂν διαχϑῶσιν ἀπὸ 





2 


4. ΚΑ Αἱ ἴῃ marg. (BS) φ4. Κόνων Hu pro χώνων 44. ἀπὸ 
τοῦ add. Hu, item vs. 41 46. ἡ ΒΖ E.4 ABS, corr. Co — 47. περι- 
φορᾶς Hw auctore Co pro περιφερείας 44. ἔστάε voluit Co, ἔστιν A, 
ἔστιν ΒΒ 459. τὸ ἀπὸ τοῦ B] τὸ B τὴν B ΑΒ, τὸ β S Co, corr. Hu 


LIBER IV. PROPOS. 19. 90. 935 


XXI. Theorema de helice sive linea spirali in plano de- 
seripta, a Conone Samio geometra propositum, Archimedes !) 
admirabili ratione, cum punctorum aequabiliter procedentium 
moíus adhiberet, demonstravit. Hunc autem ortum linea 
habet 2). 

Sit cireulus, cuius centrum β et radius ga. .Moveatur 
reta βα ita, ut punctum f maneat et punctum « aequabi- 
liter in cireuli cireumferentia procedat, simul autem cum recta 
βα punctum quoddam in δὰ ipsà a β ad α procedere incipiat, 
ei aequali tempore hoc punctum rectam ge, ac punctum «a 
creuli circumferentiam permeet: describet igitur punctum in 
recta βὰ procedens, cum ipsa f« circumagetur, lineam qua- 
lis est βεζα, et initium eius erit punctum f, circumversionis 
autem initium recta o, ipsa autem linea helix vocatur?), cuius 
principalis proprietas (quod σύμπτωμα Graect vocant) haec est. 

Si enim quaelibet recta, velut 92, ad helicem et porro Prop. 
ad y circuli circumferentiae punctum ducatur, est ut tota cir- 19 
culi eireumferentia ad «óy circumferentiam, ita recta αβ 
ad g5*). 

Hoc autem facile ex ortu spiralis lineae perspicitur. Quo 
enim tempore punctum « totam circuli circumferentiam, eo- 
dem punctum a f procedens rectam f permeat, et quo 
lempore punctum « circumferentiam αὖγ, eodem punctum 
ἃ 8 procedens rectam βζ permeat. Εἰ fiunt punctorum mo- 
lus aequabili celeritate; ergo etiam lineae quas dicimus sunt 
iler se proportionales ἢ). 


Atque hoc etiam apparet, si quaelibet rectae sub aequa- Prop. 
20 


4) De helicibus p. 217 sqq. ed. Torelli. 
4) Conf. l. c. p. 219. 

8) Ibidem p. 230. 

*) Conf. Archim. propos. 44. 


4) Propriam et accuratam demonstrationem scriptor propterea omi- 
sisse videtur, quod ea facile ex Archimedis propositione 9 suppleri 
posset. 


94 


236 IIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ A. 


τοῦ B πρὸς τὴν γραμμὴν εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας, 
τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχουσιν. 

χβ΄. Δείκνυται δὲ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὗπό τε τῆς 
ἕλικος καὶ τῆς εὐϑείας τῆς ἐν ἀρχῇ τῆς περιφορᾶς τρίτον 
μέρος τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κύκλου. 5 

Ἔστω γὰρ 0 ve κύκλος xai ἣ προειρημένη γραμμή, xai 
ἐχκείσϑω παραλληλόγραμμον ὀρϑογώνιον τὸ ΚΝΩ͂Π, xai 
ἀπειλήφϑω ἡἣ μὲν ΑΓ περιφέρεια μέρος τι τῆς τοῦ κύκλου 
περιφερείας, ἡ δὲ ΚΡ εὐθεῖα τῆς ΚΠ τὸ αὐτὸ μέρος, καὶ 
ἐπεζεύχϑωσαν 1) τε ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ͂, καὶ τῇ μὲν ΚΝ παραλ- 10 
ληλος ἡ PT, τῇ δὲ ΚΠ ἡ QM, καὶ περὲ τὸ B κέντρον 
περιφέρεια ἡ ZH. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἣ ΑΔΒ εὐϑεῖα πρὸς 
AH, τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, οὕτως ἢ ὅλη τοῦ κύκλου 
περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ͂ (τοῦτο γάρ ἐστιν τὸ ἀρχικὸν τῆς 
ἕλικος σύμπτωμα), ὡς δὲ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρδια πρὸς 15 
τὴν ΓΑ͂, ἡ IIK πρὸς ΚΡ, ὡς δὲ ἡ ΠΚ πρὸς τὴν ΚΡ, ἡ 
AK πρὸς τὴν KO, τουτέστιν 5 PT πρὸς τὴν ΡΩ, καὶ ὡς 
ἄρα ἣ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, ἡ ΤΡ τρὸς ΡΩ. καὶ ἀναστρέ- 
ψαντι" καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς BI πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, 
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς PT πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς TQ. ἀλλ᾽ ὡς 
μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, οὕτως ὃ. ΑΒΓ 
τομεὺς πρὸς τὸν ZBH τομέα. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ PT πρὸς 
τὸ ἀπὸ ΤΩ, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου 
κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν NT πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ MT 
παραλληλογράμμου κύλινδρον περὲ τὸν αὐτὸν ἄξονα" καὶ 25 
ὡς ἄρα ὃ ΓΒΑ τομεὺς πρὸς τὸν ZBH τομέα, οὕτως ὃ 
ἀπὸ τοῦ KT παραλληλογράμμου κύλινδρος περὲ ἄξονα τὸν 


2. ὑπερέχουσι (sic) omissum in AB add. S 3. KB A! in marg. 
(BS) 3. 4. τῆς ἕλικος καὶ τῆς εὐθείας bis scripta in ABS 7. τὸ 
xv,Àz B, ΚΝ .11| (sine τὸ) A, xàvz S 8. ἡ μὲν ABT. περιφέρεια 
μέρος ἐστὶν τέ A(BS), corr. Co et manus quaedam recentior (non Sca- 
ligeri) in 5 40. ἡ B-4 Co pro KA — 411. τῇ δὲ ΚΠ Hu pro rij 
δὲ KM (τῇ δὲ KP Co S man. rec.) 43. οὕτως ἡ add. S man. rec. 
39. πρὸς τὸν *ZB.H τομέα À 36. τὸν ZBH A? ex τὸν «BH ὁ 
omissum in AB add. S 











LIBER IV. PROPOS. 24. 531 


libus angulis a puncto β ad spiralem lineam ducantur, ha- 
mum inter se differentias aequales esse!). 

XXIL Demonstratur etiam figuram quae helice et rectà, 
unde circumversionis est initium, continetur tertiam partem 
*sse circuli helicem comprehendentis 3). 

Sit enim et circulus et spi- 
ralis linea, atque exponatur pa- 
rallelogrammum rectangulum 
xvÀm, et sumatur circuli cir- 
cumferentiae pars quaedam ay, 
ac reclae xz: eadem pars x, et 
iungantur yf fe, et rectae xv 
parallela ducatur gr, et rectae 
xn parallela uc, et circa 8 cen- 
trum circumferentia Dy. lam 
quia est ut recla aff ad or, id 
est By ad yb, ita tota circuli 
circumferentia ad circumferen- 
tiam ya (haec enim principalis 
helicis qualitas est), et ut cir- 
culi circumferentia ad circum- 
ferentiam ya, ita zzx ad xg, et 
ut zx ad xg, ita ἀκ ad χω, id 
γι, — — — X  estcQ ad Qo, ergo etiam ut By 
ad jt, ita τρ ad ρω, et con- 
Verendo ut fy ad fb, ita gz ad τω, ideoque ut By? ad BL, 
ἴὰ gr? ad τωΣ. Sed ut By? ad BL, ita est sector γβα ad 
Selorem C85"). Ut autem gz? ad vo?, ita est cylindrus, 
Qui circa axem »z a parallelogrammo xvzQ oritur, ad cylin- 
drum, qui cirea eundem axem fit ex parallelogrammo uvzo **) ; 
Srgo etiam ut sector γβα ad sectorem ζβη, ita prior quem 

4) Haec est Archimedis propositio 19. 

3) Est Archimedis propositio 24; sed Pappi demonstratio alia ra- 
lione procedit. 

*) Similes seclores inter sese esse ut quadrata ex radiis Comman- 


dinus efficit ex elem. 6, 33 et 48, 8. 
**) Hoc sequitur ex elem. 43 propos. 44 et 8. 














Prop. 
94 


H 


238 IIAIIIOY ZYNATQOTH? A. 


NT πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ MT παραλληλογράμμου κύλινδρον 

35 περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα. ὁμοίως δὲ ἐὰν τῇ μὲν ΑΓ ἴσην 
ϑῶμεν τὴν LA, τῇ δὲ KP ἴσην τὴν PX, καὶ τὰ αὐτὰ κατα- 
σκευάσωμεν, ἔσται ὡς ὃ ΖΒΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΒΘ, οὕ- 
τως ὃ ἀπὸ τοῦ PO παραλληλογράμμου κύλινδρος περὲ ἄξονα 5 
τὸν T πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ἘΦ παραλληλογράμμου κύλιν- 
ὅρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα. τῷ δ᾽ αὐτῷ τρόπῳ ἐφοδεύ- 
σαντες δείξομεν ὡς ὅλον τὸν κύκλον πρὸς πάντα τὰ ἐγγε- 
γραμμένα τῇ ἕλικι ἐκ τομέων σχήματα, οὕτως τὸν ἀπὸ τοῦ 
NII παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ ἄξονα τὸν Ν( πρὸς 10 
πάντα τὰ τῷ ἀπὸ τοῦ KN.4 τριγώνου περὶ τὸν /4N ἄξονα 
κώνῳ ἐγγραφόμενα ἐκ κυλίνδρων σχήματα, καὶ πάλιν ὡς 
τὸν κύκλον πρὸς πάντα τὰ περιγραφόμενα τῇ ἕλικι ἐκ το- 
μέων σχήματα, οὕτως τὸν κύλινδρον πρὸς πάντα τὰ τῷ 
αὐτῷ κώνῳ ἐκ κυλίνδρων περιγραφόμενα σχήματα, ἐξ οὗ 1Ξ 
φανερὸν ὅτι ὡς ὁ κύκλος πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ 
τῆς .4 εὐϑείας σχῆμα, οὕτως ὃ κύλινδρος πρὸς τὸν κῶνον. 
τριπλάσιος δὲ ὃ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλάσιος ἄρα καὶ 
ὃ κύκλος τοῦ εἰρημένου σχήματος. | 

36 xy. TQ δ᾽ αὐτῷ τρόπῳ δείξομεν ὅτι, κἂν διαχϑῇ vig Ξ 
εἰς τὴν ἕλικα ὡς ἡ ΒΖ καὶ διὰ τοῦ Ζ περὲ τὸ κέντρον τὸ 
B γραφῇ κύκλος, τὸ περιεχύμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ZEB 
ἕλικος καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας τρίτον μέρος ἐστὶν τοῦ περι- 
ἐχομένου σχήματος ὑπό τε τῆς ΖΗΘ περιφερείας τοῦ κύκλου 
καὶ τῶν ΖΒΘ εὐϑειῶν. -Ξ- 

97 Ἢ μὲν οὖν ἀπόδειξις τοιαύτη τίς ἐστιν, ἑξῆς δὲ γρά- 
φομὲν ϑεώρημα περὲ τὴν αὐτὴν γραμμὴν ὑπάρχον ἱστορίας 
ἄξιον. 

x0. Ἔστω γὰρ 0 τὲ κύχλος Ó προειρημένος ἐν τῇ ye- 


&. τὸν ΕΒΘ Co pro τὸν ΕΘΒ 6. τοῦ Ad παραλληλογράμου). 
quod plenius "parallelogrammo ξτφο" in Lat. versione scripsimus, litte- 
ram quidem O, quae in Graeco contextu non exstat, figura in codicibus 
tradita exhibet 116. πρὸς τὸ À, πρὸς rà ΒΒ 17. σχῆμα Hw auc- 
tore Co pro σχήματα 20. ΚΓ A! in marg. (BS) 32. post σχῆμα 
repetunt γραφη A(BS), del. Co φῦ, xol τῶν ZBH ABS, et rectis li- 
neis ZB ΒΘ Co, corr. Hu 39. ΚΖ A! in marg. (BS) 


LIBER IV. PROPOS. 439. "939 


diximus cylindrus ad alterum. — Àc similiter, si cireumferen- 
tiae ay aequalem yd, et rectae xg aequalem Qy posue- 
rimus eademque construxerimus, erit ut sector δβγ ad sec- 
terem. 4βϑ, ita cylindrus, qui circa axem vg a parallelo- 
grammo ρτφχ oritur, ad eum cylindrum, qui cirea eundem 
axem fit ex parallelogrammo $vgo. Eadem autem ratione 
prgredientes demonstrabimus ut totum circulum ad omnes 
fguras helici ex sectoribus inscriptas, ita esse cylindrum, 
qui cirea axem νὰ a parallelogrammo xvAzr oritur, ad omnes 
ex eylindris figuras inscriptas cono, qui circa axem γᾷ a 
triangulo x»À ortum habet, et rursus ut circulum ad omnes 
ex sectoribus figuras helici cireumscriptas, ita esse cylindrum 
ad omnes ex cylindris figuras eidem cono circumscriptas, 
unde apparet esse ut circulum ad figuram quae helice et 
retà af continetur, ita cylindrum ad conum. Est autem 
eylindri tertia pars conus; ergo etiam circuli tertia pars est 
ei quam diximus figura ?). 


XXIII. Eadem ratione demonstrabimus, si ad helicem 
αζεβ quaelibet recta, velut 95, duca- 
é tur et circa centrum f per punctum £ 
| cireulus describatur, figuram quae he- 
lice ζεβ et rectà CB continetur tertiam 
« partem esse figurae quae circuli cir- 
cumferentià ζηϑ et rectis ζβ 83 conti- 
netur. 
7 Hoc igitur modo z/la quam supra 
instituimus fit, demonstratio; iam vero 
Subiungimus a/tud theorema cura ac studio dignum, quod ad 
eandem lineam pertinet. 


XXIV. Sit enim et circulus, qualem de ortu helicis dis- Prop. 


3) Ad hanc demonstrationem ex Euclidis elementis nihil nisi libri 
1$ propositionem 10 (πᾶς κῶνος χυλίνδρου τρέτον μέρος etc.) licet ci- 
lare; neque ex Archimede, nisi fallor, quidquam afferri potest, quod 
proprie ad hunc locum pertineat; attamen haec Pappi argumentandi 
ratio tota ex Archimedis ingenio et auctoritate pendere videtur. 


240 | ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHE A. 


γέσει, καὶ ] ES αὐτὴ ἡ AZEB: λέγω ὅτι, ἥτις ἂν διαχϑῇ 
ὡς ἡ ΒΖ, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς 0 ὅλης ἕλικος καὶ τῆς 48 
εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ZEB ἕλικος 
καὶ τῆς ΒΖ εὐϑείας περιεχόμενον, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς 48 
κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΖΒ κύβον. ὅ 
Γεγράφϑω γὰρ διὰ τοῦ Ζ κύ- 
κλος περὶ κέντρον τὸ B ὃ ΖΗΘ. 
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς .dMZEB 
γραμμῆς καὶ τῆς 4B εὐϑείας περι- 
ἐχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς 10 
6 Ὁ] |^ ZEB γραμμῆς xai τῆς ZB εὐϑείας 
περιεχόμενον σχῆμα, οὕτως ὃ 44T4 


€ 
7 κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΗΘ 
E περιφερείας xai τῶν ZBO εὐϑειῶν 


περιεχόμενον σχῆμα (ἑκάτερον γὰρ 18 
ἑκατέρου τρίτον ἐδείχϑη μέρος), ὁ δὲ “4Γ4 κύκλος πρὸς 
τὸ ὑπὸ τῶν ZBO εὐϑειῶν xai τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπο- 
“λαμβανόμενον χωρίον τὸν συγχδίμενον ἔχει λόγον ἔκ ve τοῦ 
ὃν ἔχει ὃ 4Γ4 κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον καὶ ἐξ οὗ 
ὃν ἔχει ὃ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ZBO εὐϑειῶν καὶ Ἀπ 
τῆς ΖΗ͂Θ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον, ἀλλ᾽ ὡς 
μὲν ὃ 41 Γ4 κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ 
τῆς .438 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, ὡς δὲ ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς 
τὸ εἰρημένον χωρίον, ἡ ὅλη αὐτοῦ περιφέρεια πρὸς τὴν 
ΖΗΘ, τουτέστιν ἣ τοῦ ΑΓΔ κύκλου περιφέρεια πρὸς 7 
τὴν ΓΖ, τουτέστιν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς 7?) 4B 
εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, καὶ τὸ μεταξὺ ἄρα τῆς ἕλικος καὶ 
τῆς .4 εὐϑείας σχῆμα πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς 
ΒΖ λόγον ἔχει τὸν συγχείμενον ἔκ ve τοῦ τῆς .4Β πρὸς τὸ 
ἀπὸ τῆς ΖΒ καὶ ἐκ τοῦ τῆς -AB πρὸς ΒΖ. οὗτος δὲ ὁ 3 
λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς 418 ὁ κύβου πρὸς τὸν 
ἀπὸ τῆς ΒΖ κύβον. 


4. καὶ ἕλιξ ἡ αὐτὴ coni. Hu. αὐτὴ ἡ 42 EB AS, corr. B λέγω 
ὃ τις tg ητισᾶν A, corr. BS 2. ἐστιν A, ἐστὶν BS 8. τῆς M4ZEB A? 
ox A4xEB 44. καὶ τῆς ZB A? ex καὶ τῆς x 47. ἀπολαμβά- 
»ov ABS, corr. Hw auctore Co, item vs. 24 20. πρὸς add. Hw auc- 





LIBER IV. PROPOS. 99. 241 


serentes posuimus, et ipsa helix αζεβ; dico, si quaelibet 
reta, velut AC, ad helicem ducatur, esse ut figuram quae 
toà helice et rectà af? continetur ad figuram quae helice ζεβ 
εἰ rectà G5 continetur, ita cubum ex af ad cubum ex 60". 

Describatur enim per ζ circa centrum β circulus 559. 
lam quia ut figura quae lineà as et recta αβ continetur 
δὰ figuram quae lineà ζεβ et rectà CÓ continetur, ita est 
dreulus αγὸ ad figuram quae circumferentià ζηϑ et rectis 
(8 89. continetur (nam utramque ex superioribus figuris utrius- 
que ez posterioribus tertiam pártem esse demonstravimus 
propos. 24), et circulus αγὸ ad figuram quae rectis ζβ 89 
οἱ cireumferentià $n9: continetur habet proportionem compo- 
Siam ex δὰ quam circulus αγὸ habet ad circulum ζηϑ et 
ilà quam cireulus £9 habet ad figuram quae rectis ζβ 839 
e cireumferentià ζηϑ' continetur, sed ut circulus «yd ad cir- 
culum n3, ita est «f? ad 8L?, ut autem cireulus ζηϑ ad 
eam quam statim diximus figuram, ita est tota circuli circum- 
ferentia ad circumferentiam ζηϑ' (elem. 6, 55), id est circuli 
αγὸ circumferentia ad circumferentiam γδα, id est propter 
proprietatem | spiralis lineae (propos. 19) recta αβ ad βζ: 
ergo etiam figura inter helicem αζεβ et rectam of ad figuram 
inter helicem ζεβ et rectam 86 habet proportionem composi- 
lam ex aj? ad 80? et og ad βζ. Haec autem proportio ea- 
dem est ac cubi ex αβ ad cubum .ex fL. 

*) Quo magis elegantia demonstratfonis huius theorematis appareat, 
δὲ Graecorum verborum interpretationem quae supra legitur hic bre- 
viorem formularum conspectum iuvat addere. Sit area circuli ayó 
* 4A, circuli 299 — B, sector inter rectas (8 89 οἱ circumferentiam 
(5$ 2 C, figura inter helicem «ef et rectam «f z D, eiusdem pars 


inter ζεβ et 8C — E; est igitur (propos. 34) D — 14, et E— £C; ergo 
D:E-*4:C. Sed est 


A A B o. 4 af? 

c" BC et in his Bgm atque 
B  circumf. B circumf. 4 -- 9B oro os. 49) ; ergo 
C  circumf. ζηϑ circumf. γδα — 8 propos. t/j erg 

A ef? eB og 

— ξῷ ——'727, d est -πξ ---. 

€ 80 Bi E β3 

lore Co 30. xol ἐκ //[oU A, καὶ ἐκ τοῦ Bí, καὶ ix τε τοῦ B9S 


34. πρὸς τὸ À, corr. BS 
Pappus 1, 16 


242 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ A. 


38 χε΄. "Ex δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν τῆς ἕλικος $mo- 
κειμένης καὶ τοῦ περὶ αὐτὴν κύκλου ἐκβληϑῇ ἡ 418 ἐπὶ 
τὸ 4 καὶ πρὸς ὀρϑὰς αὐτῇ ἀχϑῇ ἡ ΓΖΕΚ, οἵου ἐστὶν ἑνὸς 
τὸ μεταξὺ τὴς BA4E γραμμῆς καὶ τῆς ΒΕ εὐϑείας χωρίον, 
τοιούτων ἐστὶν τὸ μὲν μεταξὺ τῆς NME γραμμῆς καὶ τῶν5 
NBE εὐϑειῶν χωρίον ἑπτά, τὸ δὲ μεταξὺ τῆς ΖΘΝ γραμ- 
μῆς καὶ τῶν ΖΒΝ εὐθειῶν ιϑ', τὸ δὲ μεταξὺ τῆς MEZ 
γραμμῆς καὶ τῶν Α48Ζ εὐθειῶν AL (δῆλα γὰρ ταῦτα ἐκ 
τοῦ προδεδειγμένου ϑεωρήματος), καὶ ὅτι οἵων ἐστὶν ἡ .4B 
δ᾽, ἡ μὲν ΖΒ τριῶν, ἡ δὲ ἜΝ δύο, ἡ δὲ ΒΕ ἑνός καὶ γὰρ 10 
τοῦτο δῆλον ἔκ ve τοῦ τῆς γραμμῆς συμπτώματος καὶ τοῦ 
τὰς ΑΓ DA 4Κ ΚΑ περιφερείας ἴσας εἶναι. 

39 κε΄. Εἰς τὸν διπλασιασμὸν τοῦ κύβου παράγεταί τις 
ὑπὸ Νικομήδους γραμμὴ καὶ γένεσιν ἔχει τοιαύτην. 

Ἐκχκείσϑω εὐθεῖα ἡ 48, καὶ αὐτῇ πρὸς ὀρϑὰς ἡ AZ, 1: 
καὶ εἰλήφϑω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΓΖΩΖ δοϑὲν τὸ E, καὶ 











μένοντος τοῦ E σημείου ἐν ᾧ ἐστιν τόπῳ ἡ ΓΖῈΖ εὐϑεῖα 
φερέσϑω κατὰ τῆς .44} εὐθείας ἑλχομένη διὰ τοῦ E. ση- 


4. KE A! in morg. (BS) 8. ἡ ΓΖ ΕΚ AS, coniunx. B — 4. τῆς 
(ante EAT) add. Hu δ. 6. τῶν NB εὐϑειῶν A(B), corr. S (τῶν NB BE 
voluitCo) δ6. χωρίον ἐπα A, corr. BS 6. 7. τῆς ΖΘΗ͂ γραμμῆς ABS, 
cor. Co 1. τῶν ZB BN εἰ 8. τῶν ΑΒ ΒΖ voluit Co 8. 9. ἐκ- 
τετοῦ A(B Paris. 2368), corr. S 9. 40. ἡ 4B δΊ ἡ 484 AB, ἡ af 








LIBER ΙΝ. PROPOS. 49. 248 


XXV. Ex hoc igitur apparet, si, helice et circulo circa 
ipsam positis, recta αβ ad à punctum circumferentiae produca- 
Ur, eique perpendicularis ducatur diametrus yGex, ac spatium 
| inter lineam 4e et rectam 
Be pro unitate ponatur, tales 
unitates spatio inter lineam 
γμὲ et rectas vB s inesse 7, 
spatio autem inter lineam G9» 
οἱ rectas ζβ Bv 19, denique 
spatio inter lineam αξζ et 
rectas αβ βζ 37; haec enim 
ex superiore theoremate ma- 
nifesta sunt!). ltem constat 
rectas a8 Bib 8v Be inter sese 
esse ut &:3:2:4; nam hoc 
qTUOque et ex spiralis lineae proprietate (propos. 49) et inde 
Tanifestum est, quod circumferentiae «y γὺ Óx xa inter se 
3equales sunt. | 

XXVI. Ad duplicationem cubi a Nicomede?, linea quae- 

*m inducitur, quae huiusmodi ortum habet. 
. Exponatur recta e eique perpendicularis recta γδζ, et 
"n hae sumatur punctum quoddam datum &, et, cum punc- ' 
'üm , suo loco maneat, recta γδεζ feratur in recta αδβ per 





41) Quia rectae «8 80 Bv Bs inter se sunt ut 4:8:2:4 (propos. 49), 
et Spatia inter spiralem et quamque earum rectarum contenta inter se 
3Unt ut cubi ex ipsis rectis (propos. 22), si spatium inter spiralem f4e 
9t rectam Be pro unitate ponitur, tales unitates spatium inter νμελβ et 

" habet 8, spatium inter ζϑυμελβ et 80 27, denique spatium inter to- 
Un helicem et rectam ef 64. Unde illa quae supra posita sunt sponte 
*fficiuntur, 


4) Eutocius in Archim. de spbaera et cylindro Il p. 1446 ed. Torell. : 
YOcqi dà καὶ Νιχομήδης ἐν τῷ ἐπιγεγραμμένῳ πρὸς αὐτοῦ περὶ xoy- 
Χοεεδῶν συγγράμματι ὀργάνου κατασχευὴν τὴν αὐτὴν ἀποπληροῦντος 
XOtfay. Ac.porro Eutocius p. 1446 .--- 149 Nicomedis et instrumentum 


*t demonstrationem latius exponit. 
π-- ὁ Ἀ ἅ.. . 


τεσσάρων S 48. Kc A! in marg. (BS) (45. xal αὑτὴ « πρὸς ὀρϑὰς 
A, χαὶ αὕτη « etc. B, corr. 8 4141. ἡ γδζ εὐϑεῖα S 
105 


244 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΉΣ A. 


μείου οὕτως ὥστε διὰ :ravróg φέρεσϑαι τὸ 1 ἐτιὶ τῆς .4B 
εὐθείας καὶ μὴ ἐκπίπτειν ἑλκομένης τῆς ΓΩ͂ΕΖ διὰ τοῦ E. 
τοιαύτης δὴ κινήσεως γενομένης ἐφ᾽ ἕχάτερα φανερὸν ὅτι 
τὸ Τ' σημεῖον γράψει γραμμὴν οἵα ἐστὶν 1) ΑΓΙΗ͂, καὶ ἔστεν 
αὐτῆς τὸ σύμπτωμα τοιοῦτον. ὡς ἂν εὐϑεῖα προσπίπτῃ ὃ 
τις ἀπὸ τοῦ E σημείου πρὸς τὴν γραμμήν, τὴν ἀπολαμβα- 
γομένην μεταξὺ τῆς ve 418 εὐθείας καὶ τῆς ALTM γραμμῆς 
᾿ἔσην εἶναι τῇ LA εὐθείᾳ" μενούσης γὰρ τῆς AB καὶ μέ- 
νοντος τοῦ E σημείου, ὅταν γένηται τὸ 4d ἐπὶ τὸ H, ἡ IA 
εὐθεῖα τῇ ΗΘ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ᾽ σημεῖον ἐπὶ τὸ O10 
πεσεῖται ἴση ἄρα ἐστὶν $ D τῇ ΗΘ. ὁμοίως καὶ ἐὰν 
ἑτέρα τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμὴν προσπέσῃ, 
τὴν ἀποτεμνομένην ὑπὸ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς 4B εὐϑείας 
ἴσην ποιήσει τῇ Γά [ἐπειδὴ ταύτῃ ἴσαι εἰσὶν ot προσπίσε- 
τουσαι]. καλείσϑω δέ, φησιν, ἣ μὲν 4,1Β εὐθεῖα κανών, 15 
τὸ δὲ σημεῖον πόλος, διάστημα δὲ ἡ P4, ἐπειδὴ ταύτῃ 
ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπτουσαι πρὸς τὴν “ΓΙΜ γραμμήν, 
αὐτὴ δὲ ἡ ΑΓΙΜ γραμμὴ κοχλοειδὴς πρώτη (ἐπειδὴ καὶ ἡ 
δευτέρα xai ἣ τρίτη καὶ ἣ τετάρτη ἐχείϑεται εἰς ἄλλα 
ϑεωρήματα χρησιμεύουσαι). 26 


40 xL'. Ὅτι δὲ ὀργανικῶς δύναται γράφεσϑαι ἡ γραμμὴ 
καὶ ἐπ᾽ ἔλαττον ἀεὶ συμπορεύεται τῷ κανόνι, τουτέστιν 
ὅτι πασῶν τῶν ἀπὸ τινων σημείων τῆς ΓΘ γραμμῆς ἐπὶ 
τὴν ΑΒ εὐθεῖαν καϑέτων μεγίστη ἐστὶν ἡ ΓΔ κάϑετος, 
ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς DA ἀγομένη κάϑετος τῆς ἀπώτερον 35 
μείζων ἐστίν, καὶ ὅτι, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τοῦ κανόνος 
καὶ τῆς κοχλοειδοῦς ἐάν τις ἦ εὐθεῖα, ἐκβαλλομένη τμη- 
ϑήσεται ὑπὸ τῆς κχκοχλοειδοῦς, αὐτὸς ἀπέδειξεν ὁ Νικο- 


9. τῆς L4 ΕΖ AB, coniunx. S 6. τις Sca (quaepiam Co) pro 
τῆς 8. εἶναι] ποιεῖ Hu. τὴν T4 ευϑειαν A(BS), corr. man. rec. 
in S — 44. πεσεῖται add. ω 114. 45. ἐπειδὴ — προσπέπτουσαε ex 
proximis inepte huc translata del. Hw 47. af om. AB!S, add. B? 
48. κογχοειδὴς Αἴ, corr. A? BS 49. ἐχτέϑενται Hu 94. KZ A! in 
marg. (BS) — 22. συμπορεύεσθαι ABS, corr. Hu auctore Ὁ 35, δὲ 
ἢ tyyetov À, spirit. ct acc. add. B, corr. S 27. χοχλοειδοῦς AB? 


LIBER ΙΝ. 245 


puncium 8 attracta ila, ut punctum à semper in recta of 
moveatur neque, dum recta γδδζ per punctum 8 attrahitur, 
excidat?). Itaque cum huiusmodi motus in utramque par- 
iem fiat, punctum »y apparet describere lineam qualis est. 
bu, cuius proprietas.haec est. Utcunque recta quaedam a 
puncto & ad lineam ducitur, eius rectae pars inter rectam 
ef et lineam Àyp abscissa aequalis est rectae yó; nam cum 
e| recta αβ et punctum & maneant, si punctum Ó pervenerit 
in punctum ἡ, recta yÓ cum 3 congruet et punctum » ca- 
de, in punctum 9; ergo aequales sunt rectae γὺ 73. Simi- 
liter, si alia recta a puncto & ad lineam ducetur, haec par- 
tem inter lineam et rectam af abscissam aequalem rectae yó 
' efficiet. Et vocetur, inquit*), recta «f canon, punctum € 
peus, recta yÓ intervallum, quoniam huic réctae aequales 
sun(i quaecunque ad lineam ἀγμ eo quo diximus modo du- 
cuntur; ipsa autem Ayp linea conchoides prima appelletur 
(quoniam etiam secunda et tertia et quarta exponuntur, quae 
ad alia theoremata utiles sunt). 


* XXVII. Sed eam lineam instrument ope describi posse, 
eamque propius semper ad canonem accedere, id est, om- 
nium perpendicularium quae a quibuscunque lineae AyJu 
punetis ad rectam «f ducuntur maximam esse yd, et sem- 
per perpendicularem quae propius yd ducitur maiorem esso 
remotiore, et, si recta quaedam in spatium inter canonem et 
conchoidem incidat, hanc productam a conchoide secari, ipse 


3) Rectae γδεζ motum, qualis animo scriptoris obversatur, in figura 
lineis per puncta expressis significavimus. 


4) Eutoc. p. 447: γραφήσεταί τις γραμμή, οἵα ἐστὶν ἡ 4MN (apud 
Pappum ἡ £M), ἥντινα χαλεῖ Νικομήδης xoyxotióij πρώτην γραμμήν, 
καὶ διάστημα μὲν τῆς γραμμῆς τὸ EK (apud Pappum τὸ 14) μέγεϑος 
τοῦ κανόνος, πόλον δὲ τὸ 4 (apud Pappum ro E). 


(om. B!) S, sed 4 expunxit et γ superscr. prima, ut videtur, manus in 
A, item proximo versu 7] διαχϑῇ coni, Hwy 28, ὑπέδειξεν ABS, 
corr. Hw 


246 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


μήδης, χαὶ ἡμεῖς ἐν τῷ εἰς τὸ ἀνάλημμα Διοδώρου, τρίχα 
τεμεῖν τὴν γωνίαν βουλόμενοι, κεχρήμεϑα τῇ προειρημένῃ 
γραμμῇ. 

41 Διὰ δὴ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν γω- 
νίας δοϑείσης ὡς τῆς ὑπὸ Η.4“Β καὶ σημείου ἐκτὸς αὐτῆς ὃ 
τοῦ Dl διάγειν τὴν DH καὶ ποιεῖν τὴν KH μεταξὺ τῆς 
γραμμῆς καὶ τῆς «48 ἴσην τῇ δοϑείσῃ. 





Ἤχϑω κάϑετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν .4B ἡ ΓΘ 
καὶ ἐκβεβλήσϑω, καὶ τῇ δοϑείσῃ ἴση ἔστω ἡ 40, καὶ πόλῳ 
μὲν τῷ D, διαστήματι δὲ τῷ δοϑέντι, τουτέστιν τῇ 46, ἢ 
χανόνι δὲ τῷ .4B γεγράφϑω κοχλοειδὴς γραμμὴ πρώτη 7 
EAH: συμβάλλει ἄρα τῇ -AH διὰ τὸ προλεχϑέν. συμο 
βαλλέτω κατὰ τὸ H, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ DH: ἴση ἄρα καὶ 
ἡ ΚΗ τῇ δοϑείσῃ. 

42 xn. Τινὲς δὲ τῆς χρήσεως ἕνεκα παρατιϑέντες κανόνα 
τῷ D κινοῦσιν αὐτόν, ἕως ἂν ἐκ τῆς πείρας ἡ μεταξὺ ἀπο- 
λαμβανομένη τῆς 4B. εὐϑείας καὶ τῆς ἘΖΉ γραμμῆς ton 
γένηται τῇ δοϑείσῃ" τούτου γὰρ ὄντος τὸ προκείμενον ἐξ 
ἀρχῆς δείκνυται (λέγω δὲ κύβος κύβου διπλάσιος εὑρίσκεται. 
πρότερον δὲ δύο δοϑεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ 0 
συνεχὲς ἀνάλογον λαμβάνονται, ὧν ὃ μὲν Νικομήδης τὴν 
κατασχευὴν ἐξέϑετο μόνον, ἡμεῖς δὲ καὶ τὴν ἀπόδειξιν 
ἐφηρμόσαμεν τῇ κατασχευῇ τὸν τρόπον τοῦτον. 


4. ἀνάλημμα) α΄ vel κα’ λῆμμα vel alium quempiam numerum, qui 
in «e»« corrumpi facile potuerit, coni. Hu 4. τῶν προειρημένων S 
44. κοχλοειϑής ABS, sed in À prima, ut videtur, manus ἃ οχρυηχί! et y 
superscr. πρωτηι À, corr. BS 12. διὰ τὸ npodtiy9iv Eutoc. 


LIBER 1V. PROPOS. 48. 247 


Niomedes demonstravit5); et nos in commentario ad Diodori 
andlemma δ), cum angulum tripartito secare insttueremus, 
illa linea usi sumus. 

lam ex his quae diximus manifestum est, si angulus, Prop. 
velut ηαβ, et punctum extra angulum, velut », data sint, 
rectam yn ita duci posse, ut eius pars x7, quae est inter 
lineam conchoidem 'et rectam αβ, aequalis sit datae rectae 1). 

Ducatur a puncto y ad rectam of perpendicularis 79 
ek usque eo. producatur, ut 24 datae rectae aequalis sit, et 
pdo y ac dato intervallo, id est 99, et canone αβ describa- 
ur linea conchoides prima εδη; haec igitur, ut statim dixi- 
mus, cum recta a7 concurret. Concurrat in puncto ῃ, et 
iungatur recta yp; erit igitur eius pars x5 aequalis datae 
reclae. 

XXVIII. Sunt tamen qui commodiorem usum sequentes 
regulam puncto 7» apponant ac moveant, donec experiendo 
recla inter rectam af et lineam δδῃ abscissa aequalis datae 
faeta sit, quod cum ita se habeat, demonstratur id quod ab 
initio (XXVI). propositum est (scilicet cubus cubi duplus in- 
venitur). Sed prius, datis duabus rectis duae mediae in 
continua proportione sumuntur, quarum constructionem tan- 
lum Nicomedes cxposuit, nos autem demonstrationem quoque 
ad constructionem aptavimus hunc in modum. 


5) Vide Eutoc. p. 147 sq. 


6) Libri mathemalici titulus ἀνάλημμα iure suspectus videatur, 
quare nos in adnot. ad Graeca coniecimus ad Diodori lemma primum 
vel unum et vicesimum vel aliud quotumcunque hunc Pappi commen- 
larium scriptum esse. 


4) Idem Nicomedis problema exstat apud Éutoc. p. 448 sq. 


p. 449, attamen apud Pappum τὸ προλεχϑὲν recte scriptum esse vide- 
lur, quoniam hic illud Nicomedis, quod est apud Eutocium p. 148, 
non demonstravit, sed tantummodo commemoravit (supra p. 244, 36) 
48. ἐπιζεύχϑω A, corr. BS 45. KH. A! in marg. (BS) παρατε- 
ϑέντες ABS, corr. Hu auctore Co 46. 47. ἀπολαμβανομένη A? ex 
ἀπολαμβάνομεν ἢ — 19. λέγω — εὑρίσκεται interpoleta esse videntur 
32. μόνον Hu (iantun Co) pro μόνην 


248 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHS A. 


-feóón9waav γὰρ δύο εὐϑεῖαι αἱ ΓΑ͂ 7144 πρὸς ὀρϑὰς 
ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς &b- 
ρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ. παραλληλόγραμμον, 
καὶ τεεμήσϑω δίχα ἑκατέρα τῶν .48 ΒΓ τοῖς 4 E σημείοις, 
xai ἐπιζευχϑεῖσα μὲν ἡ dud ἐκβεβλήσϑω καὶ συμπεπτέεω 5 
τῇ ΓΒ ἐχβληϑείσῃ κατὰ τὸ H, τῇ δὲ BI' πρὸς ὀρϑὰς ἡ 
EZ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ 44, καὶ ἐπε- 
ξεύχϑω ἡ ZH καὶ αὐτῇ παράλληλος ἢ ΓΘ, καὶ γωνίας 
οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοϑέντος τοῦ Z διήχϑω ἡ 
ZOK ποιοῦσα ἴσην τὴν OK τῇ .44 ἢ τῇ ΓΖ (τοῦτο γὰριυ 
ὡς δυνατὸν ἐδείχϑη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς), καὶ 
ἐπιζευχϑεῖσα ἡ ΚΑΊ ἐκβεβλήσϑω καὶ συμπιπτέτω τῇ 48 
ἐχβληϑείσῃ κατὰ τὸ M* λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ AT πρὸς ΚΓ, 

ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ͂, καὶ ἡ ΜΑ͂ πρὸς τὴν 4. 

Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ E καὶ πρόσκειται αὐτῇ 15 
ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑττὸ BKTI' μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ 
ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ EZ: τὸ ἄρα ὑπὸ 
BKI μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἔσον 
ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστιν τῴ ἀπὸ ΚΖ: καὶ ἐπεὶ 
ὡς ἡ Md πρὸς 48, ἡ 3,4 πρὸς 44K, ὡς δὲ ἡ M.4 πρὸς 20 
44K, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ͂ πρὸς .48, 


4 sqq. 4“εδόσϑωσαν etc. usque ad finem cap. 43 item e Nicomedis 
libro περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν repetita habet Eutocius in Archimedis 
de sphaera et cylindro librum II p. 449 ed. Torell. 4. αὖ ΓΑ͂ 4.4 ABS 
Eutocius, et sic ubique in hac demonstratione 77 occurrit, ubi rectius 
Pappus III cap. 24 4 habet, et vice versa 4 pro j4 2. xarà τὸ συν- 
ἐχὲς B! Eutoc., τὸ om. AS, expunx. B? 8. συμπεπληρώσϑω) hinc us- 
que simillimus est demonstrationis contextus ei qui apud Pappum supra Il 
cap. 24 legitur τὸ .4BI.4 Euloc., τὸ 4BI'4 ABS 4. roig 4E A, 
τοῖς δὲ B, distinx. S 5. ἐπιζευχϑεισαν (sine acc.) A, corr. BS 
7. προσβεβλήσϑω ABS Eutoc., ἐπεζεύχϑω Peppus supra p. 60, 84 
8. xel (ante γωνέας) add. Eutoc. et Pappus p. 60, ὃ 9. ἀποδοϑέν- 
τος ΑΒ, distinx. S 44. χοχλοειϑοῦς ABS, sed in A prima, ut videtur, 
manus ὦ expunxit et y superscr. 45. ᾿Επεὶ ABS Eutoc., ᾿Επεὶ γὰρ 
Pappus p. 60, 30 46. ἄρα ὑπὸ BKI Pappus p. 60, 24 Eutoc., ἄρα 
ὑπὸ ΒΓΚ ABS τοῦ ἀπὸ LE Pappus |. c. Eutoc., τοῦ ΓΕ ΑΒ, 
τοῦ γ 8 48. μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ Pappus p. 60, 38, μετὰ τῶν ἀπὴ 
AEZ ABS, μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕ EZ Ἑυϊοο, | 





LIBER IV. PROPOS. 44. 249 


Datae enim sint duae rectae γὰ 4a inter se perpendicula- Prop. 
fes, quarum duae mediae continuo proportionales inveniantur. 
μ Compleatur αβγλ 
parallelogrammum, οἱ 
rectae αβ βγ in punctis 
ὃ & bifariam secentur, 
et iuncta λδ᾽ producatur 
rectaeque γβ productae 
occurrat in puncto y, et 
rectae βγ perpendicula- 
ris ducatur &&, cuius 
punctum C ita sumatur, 
ut iuncta γζ aequalis sit 
rectae ad, et iungatur 
ζη eique parallela du- 
Cculur 99, οὐ productá y ad punctum x* (adhuc definiendum), 
eum da/us sit angulus xy9 ἢ, a dato puncto ζ recta 23x ila 
ducatur, ut 9x aequalis sit rectae αὸ sive γζ (hoc enim fieri 
posse per conchoidem lineam propos. 25 demonstratum est), 
e& iuncta x4 producatur occurratque rectae go productae in 
puncto μι; dico esse Ày : yx — yx : ua — μα: αλ. 

Quoniam βγ bifariam secta est in puncto & eique ?n eá- 

dem rectá addita est yx, est igitur (elem. 2, 6) 
B*-xy - ys? — &ex?. Commune addatur δζ2; est igitur 

Bx - xy - yc? - eL? —— 6x? - eD2, id est 
Bx-xy 4A- γζ3 — κζ3, Et quoniam propter parallelas αλ 

Bx est 

μα: αβ τε μλ : Àx, ev propler parallelas μβ Ày 

ph: λκ m fy: yx, est igitur etiam 





*) Conf. supra Ili propos. 5, viri, Eutoc. p. 449. 


**) Quoniam rectanguli αβγὰ latera «À Ày positione et magnitudine 
data sunt et «À dimidia «f est, ex constructione igitur triangulum «8d 
triangulo 4«d' aequale et simile est; ergo, quia recta est λδη, punctum 
ῃ datum est. Sed propter dat. 43 triangulum ἐγζ specie datum est, 
et, quia ey y& magnitudine datae sunt, datum est etiam punctum (4. 
Ergo propter dat. 44 angulus egi datus est, itaque etiam, qui huic ae- 
qualis est, angulus xy3. 


200 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNAT'OTHZ Δ. 


οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστι τῆς μὲν 418 ἡμίσεια f 
«424, τῆς δὲ ΒΓ διπλῇ ἡ ΓΗ" ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ͂ 
πρὸς 444, οὕτως ἣ 
ΗΓ πρὸς KT. ἀλλ᾽ 
og ? ΗΓ πρὸς ΓΚ,ὃ 
οὕτως 1) ΖΘ πρὸς ΘΚ 
διὰ τὰς παραλλήλους 
τὰς ΗΖ ΓΘ᾽ καὶ συν- 
ϑέντι ἄρα ὡς ἡ MA 
πρὸς 4.4, ἣ ΖΚ πρὸς 10 
ΚΘ. ἴση δὲ ὑπόκειται 
xai ἡ 44 τῇ ΘΚ [ἐπεὶ 
xai τῇ ΓΖ ἴση ἐσεὶν 
ἡ 414]: ἴση ἄρα καὶ 
ξ ἡ M4 τῇ ΖΚ' ἴσον ιξ 
ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Μά τῷ ἀπὸ ΖΚ. καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ 
MA ἴσον τὸ ὑπὸ BM.4 μετὰ τοῦ ἀπὸ d.d, τῷ δὲ ἀπὸ 
ΖΚ ἴσον ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ BKT' μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ, ὧν τὸ 
ἀπὸ 4 ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ (ἴση γὰρ ὑπόκειται 7) .44 τῇ 
ΓΖ): ἔσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ BM.4 τῷ ὑπὸ ΒΚΓ ὡς ἄρας 
ἡ ΜΒ πρὸς BK, ἡ ΓΚ πρὸς M4. ἀλλ᾽ ὡς ἢ ΒΙΜ πρὸς 
BK, ἡ “Γ πρὸς FK: ὡς ἄρα ἡ 4Γ πρὸς ΓΚ, ἢ UK πρὸς 
ΑΜ. ἔστι δὲ xal ὡς ἡ ΜΒ πρὸς BK, ἡ ΜΑ͂ πρὸς .΄1.Χ1: καὶ 
ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΝ, καὶ ἡ 4111 
πρὸς Jd 4. 25 
44 x9'. Τούτου δειχϑέντος πρόδηλον ὅπως δεῖ κύβου δο- 
ϑέντος χύβον ἄλλον εὑρεῖν χατὰ τὸν δοϑέντα λόγον. 
Ἔστω γὰρ ὁ δοϑεὶς λόγος τῆς .4 εὐθείας πρὸς τὴν 
B, καὶ τῶν .4 B δύο μέσαι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς 
εἰλήφϑωσαν αἱ D 4 ἔσται ἄρα ὡς 7) 4 πρὸς τὴν B, οἵὗ- 30 
τως ὃ ἀπὸ τῆς 44 κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ κύβον" τοῦτο 
γὰρ δῆλον ἐκ τῶν στοιχείων. 
45 λ΄. Eig τὸν τετραγωνισμὸν τοῦ χύκλου παρελήφϑη τις 





3. post ἡ ΓΗ͂ add. ἐπεὶ χαὶ ἡ AT τῆς .44 Eutoc. 8. τὰς HZ 


ΓΘ Pappus p. 62, 4 Eutoc., ἡ ZI'8 AB!, ηξ y9 B3S 42. ἐπεὶ — 
44. ἡ 444] conf. supra ad p. 62, 2. 8. 17. τὸ ὑπὸ BM.4 Pappus p. 62, 5 


LIBER iV. PROPOS. 25. 291 


μα: αβ — By:yx. Et est ag Ξε 2a0, εἰ By — duy 
(quia n8 — αλ - gy); ergo erit 
etiam 
ua: αὖ — ny : yx. Sed propter parallelas ηζ y9 est 
7 : yx τὸ 09 : 9x; ergo etiam 
componendo 
κὸ : αὃ — Dx : 9x. Sed ex hypothesi est αὖ — 9x; 
ergo eliam μὸ — bx, et 
H0? zz xD?. Et propter elem. 2, 6 est 
H0? zz fu. μα -- a0?, et supra demonstratum est 
xb? z- Üx.xy -- yb). [lam in his est αὖ — yL? (nam 
ex hypothesi est aó 2 γζ) ; ergo 
eliam subtrahendo 
Bu: μα m Bx xy, id est proportione facta (elem. 6, 16) 
LB : Bx — yx : μα. Sed propter parallelas ug Ày est 
| HB : Bx — Ày : yx; ergo etiam 
Ày : yx τ yx: μα. Sed. propter. parallelas 8x a est 
HB : Bx — μα: eÀ, ideoque 
y* : ua τ μα: aÀ; ergo etiam 
Ày : yx τ yx : μα — μα: ad. 
XXIX. Hoc demonstrato apparet, quomodo, dato cubo, 
alium cubum iuxta datam proportionem invenire oporteat. 


—4 τ’ Sit enim data proportio « : 9, et rec- 
———————4 . (tarum α β duae mediae in continua propor- 
7 , WUone sumantur y Ó; erit igitur α: β — 

δ αϑ: y?; hoc enim manifestum est ex ele- 
E —————————3À - 
B mentis (4 def. 14. 8, 12. 11, 35). 


XXX. Ad circuli quadraturam a Dinostrato!), Nicomede 


4) Conf. Chasles, 4pergu historique etc. , p. 28 versionis German., 
Bretschneider, Geometrie vor Euklides, p. 96, Herm. Hankel, Geschichte 
der Mathematik, p. 454. 


Eutoc., τὸ ἀπὸ BM.4 ABS. 21. ἡ ΓΚ πρὸς M.4 Pappus p. 62, 9. 10, 
ἡ KT πρὸς 4M Eutoc. V2, ἡ 4T' πρὸς ΓΚ ABSV 29, x«l ante ὡς 
ἄρα add. Pappus p. 62, 40 Eutoc. V? 42. 33. ἡ ΓΚ πρὸς .4M — 
ἡ MB πρὸς BK Pappus p. 62, 44. 42, ἡ ΓΚ πρὸς 4M. ἔστι δὲ xol ὡς 
ἡ 4T πρὸς ΓΚ Eutoc., om. ABS 26. KG A!in marg. (BS) — 29. τῶν 
4B AS, distinx. B 30. αἱ ΓΖ A, distinx, BS — 33. 4 ΑἹ in marg. (BS) 


Prop. 
25 


46 


252 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Δ.᾿ 


ὑπὸ Δεινοστράτου xoi Νιχομήδους γραμμὴ καί τινων ἄλλων 
γδωτέρων ἀπὸ τοῦ πιερὲ αὐτὴν συμπτώματος λαβοῦσα τοῦ- 
voua' καλεῖται γὰρ ὑπ᾽ αὐτῶν τετραγωνίζουσα καὶ γένεσιν 
ἔχει τοιαύτην. 

Ἐχκχείσϑω τετράγωνον τὸ ΑΒΓΖ4 καὶ τιερὶ κέντρον τὸῦ 
4 περιφέρεια 7γεγράφϑω ἢ BEA, καὶ κινείσϑω ἡ μὲν .4B 
οὕτως ὥστε τὸ μὲν 4 σημεῖον μένειν τὸ δὲ Β φέρεσϑαι 
κατὰ τὴν BEA περιφέρειαν, ἡ δὲ ΒΓ παράλληλος ἀεὶ δια- 
μένουσα τῇ 444 τῷ B σημείῳ φερομένῳ κατὰ τῆς B4 
συναχολουϑείτω, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἣ τὸ 4B κινουμένη to 
ὁμαλῶς τὴν ὑπὸ ΒΑ͂Ζ γωνίαν, τουτέστεν τὸ B σημεῖον τὴν 
BEA περιφέρειαν, διανυέτω, καὶ 7 BI τὴν B.4 εὐϑεῖαν 
σεαροδευέτω, τουτέστιν τὸ B σημεῖον κατὰ τῆς Β. φερέσϑω. 
συμβήσεται δῆλον τῇ .44᾽ εὐθείᾳ ἅμα ἐφαρμόζειν ἑκατέραν 
τήν τὸ 4B καὶ τὴν ΒΓ. τοιαύτης δὴ γινομένης κινήσεως 15 
τεμοῦσιν ἀλλήλας ἐν τῇ φορᾷ αἱ ΒΓ ΒΑ͂ εὐϑεῖαι κατά τι 
σημεῖον αἰεὶ συμμεϑισεάμενον αὐταῖς, ὕφ᾽ οὗ σημείου γρά- 
φεταί τις ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν τε ΒΑΔ εὐϑειῶν καὶ 
τῆς BEA περιφερείας γραμμὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλη, οἵα ἐστὶν 
ἡ ΒΖΗ, ἣ καὶ χρειώδης εἶναι δοχεῖ πρὸς τὸ τῷ δοϑέντι 20 
κύκλῳ τετράγωνον ἴσον εὑρεῖν. τὸ δὲ ἀρχικὸν αὐτῆς σύμ- 
πτωμα τοιοῦτόν ἐστιν. ἥτις γὰρ ἂν διαχϑῇ τυχοῦσα πρὸς 
τὴν περιφέρειαν, ὡς ἡ AZE, ἔσται ὡς ὅλη ἣ περιφέρεια πρὸς 
τὴν Ed, v» B.4 εὐθεῖα πρὸς τὴν ZO: τοῦτο γὰρ ἐκ τῆς 
γενέσεως τῆς γραμμῆς φανερόν ἐστιν. 25 

λα΄. ἁυσαρεστεῖται δὲ αὐτῇ ὃ -Σπόρος εὐλόγως διὰ 


4. ὑπὸ νικοστράτου B νικοδήμου AB?, νιχομήδου B! To, corr. 
S δ. τὸ .4B ΓΖ AS, coniunx. B . xai add. To auctore Co 
6. ἡ add. Hu 9. τῶι B A To, τὸ f B, τῷ et τὸ B Paris. 2868 S 
σημεῖον φέρον dy ὧι ABS, corr. To κατὰ τῆς ΒΑ͂ To pro χατὰ 
τῆς Β 40. συναχολουϑεῖ τῶι AS, συναχολουϑεῖ τὸ B, corr. Sca To 
χαὶ add. To κινουμένης AB?S, corr. B! 42. περιφέρειαν add. To 
auctore Co 43. zapodevéto Hu, ////|suéto Α (sed initio vestigia 
litterarum παρ comparent), ..... ευέτω B!8, παραλευέτω B3, παραβεβέτω 
e "cod. Vat." affert atque inde παραβαινέτω scribit To 44. δῆλον) 
δὴ vel δηλονότι coni. Hu εχατερα Α, ἑκατέρα B, corr. 8 40. ἢ 
add. Hu χρειῶδες ABS, corr. To auctore (Ὁ 88, 28. πρὸς τὴν — 


LIBER IV. 253 


disque nonnullis recentioribus linea quaedam adsumpta est, 

quae ex ipsius proprietate nomen accepit. Quadratix enim ab 
ilis vocatur et huiusmodi ortum habet. 

Exponatur quadratum αβγὸ, et 

/ y circa centrum « circumferentia f6ó 

describatur, et recta quidem of ita 

moveatur, ut punctum « maneat ac 

B feratur in circumferentia fed, recta 

autem fy, parallela semper ipsi aó 

manens, punctum f, dum fertur in 

βα ἢ, comitetur, atque eodem tem- 

a j Ó pore et recta af? aequabiliter progre- 

diens angulum βαδ, id est punctum 

β cireumferentiam βεδ, percurrat, et recta βγ ipsam fa praeter- 

vehatur, id est punctum f rectam fie permeet. Eveniet igi- 

tur, ut simul et ag et 8y cum recta αὖ congruant. taque, 

dum huiusmodi motus peragitur, rectae e fy in eo motu 

88 invicem secabunt in puncto aliquo semper cum ipsis pro- 

Bgrediente, a quo puncto in spatio inter rectas gae αὃ et 

dreumferentiam βεὸ linea quaedam ad easdem partes con- 

eava, qualis est βζῃ, describitur, quae quidem utilis esse 

videtur ad quadratum dato circulo aequale inveniendum. 

Principalis autem eius proprietas haec est, ut, si quaelibet 

reta, velut «Ce, ad cireumferentiam ducatur, sit ut tota 

cireumferentia fed ad &Ó, ita recta fa ad L9; hoc enim ex 

ertu lineae manifestum est. 

XXXI. Sed ea linea Sporo his de causis iure displicet 1). 

*) Punctum 5, pro utriusque rectarum af 8» peculiari motu, di- 

verso sensu accipiendum esse apparet; est enim I: rectae αβ terminus 


ac fertur in circuli quadrante, II: rectae Sy initium ac fertur in fa, 
totam fy perallelam sibi ipsi semper manentem secum trahens. 


4) Haec argumenta, quae contra lineae constructionem afferuntur, 
non ita magni momenti esse demonstrat Bretschneider l. c. 


ὅλη y add. Hu auctore Co (εὐθεῖα πρὸς τὴν περιφέρειαν, ὡς ἡ BZE, 
ἔσται ὅλη ἡ BE4 add. To) 94. ἡ BA] ἡ BA περιφέρεια AB, ἡ ΒΓ 
To, corr. S Co 26. λα (sic) Αἴ in marg. (S), om. B αὐτῷ (prop- 
ter proximum λαμιθάνει : conf. p. 255 adnot. 2) coni. Hu 


254 HATIIOY ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ A. 


ταῦτα. πρῶτον μὲν γὰρ πρὸς ὃ δοκεῖ χρειώδης elvat πρᾶγμα, 
τοῦτ᾽ ἐν ὑποϑέσει λαμβάνει. πῶς γὰρ δυνατόν, δύο ση- 
μείων ἀρξαμένων ἀπὸ τοῦ B κινεῖσϑαι, τὸ μὲν κατ᾽ εὐϑείας 
ἐπὶ τὸ “4, τὸ δὲ κατὰ περιφερείας ἐπὶ τὸ 4' ἐν ἴσῳ χρόνῳ 
συναποκαταστῆσαι μὴ πρότερον τὸν λόγον τῆς .418Β εὐϑείαρϑ 
πρὸς τὴν BEA περιφέρειαν ἐπιστάμενον; ἐν γὰρ τούτῳ τῷ 
λόγῳ καὶ τὰ τάχη τῶν κινήσεων ἀνάγκη εἶναι. ἐπεὶ πῶς 
οἷόν τε συναποκαταστῆναι τάχεσιν ἀκρίτοις χρώμενα, πλὴν 
εἰ μὴ ἂν κατὰ τύχην ποτὲ συμβῇ; τοῦτο δὲ πῶς οὐκ GÀO- 
γον; ἔπειτα δὲ τὸ πέρας αὐτῆς ᾧ χρῶνται πρὸς τὸν τετρα-Ἱ 
γωνισμὸν τοῦ χύκλου, τουτέστιν καϑ᾽ ὃ τέμνει σημεῖον τὴν 
“44 εὐθεῖαν, οὐχ εὑρίσκεται. νοείσϑω δὲ ἐπὶ τῆς τεροχει- 
μένης τὰ λεγόμενα xavayogagüc: ὅπόταν γὰρ αἱ ΓΒ B.4 
φερόμεναι συναποκατασταϑῶσιν, ἐφαρμόσουσιν τῇ 244 καὶ 
τομὴν οὐκέτι ποιήσουσιν ἐν ἀλλήλαις" παύδται γὰρ ἡ τομὴ 
πρὸ τῆς ἐπὶ τὴν 44 ἐφαρμογῆς ἥπερ τομὴ πέρας αὖ ἐγέ- 
vevo τῆς γραμμῆς, xa9! ὃ τῇ 244 εὐθείᾳ συνέπιπτεν. 
πλὴν εἰ μὴ λέγοι τις ἐπινοεῖσϑαι προσεκβαλλομένην τὴν 
γραμμήν, ὡς ὑποτιϑέμεϑα τὰς εὐϑείας, ἕως τῆς 4141 τοῦτο 
δ᾽ οὐχ ἕπεται ταῖς ὑποκειμέναις ἀρχαῖς, ἀλλ᾽ ὡς ἂν ληφ-" 
ϑείη τὸ Η σημεῖον προειλημμένου τοῦ τῆς περιφερείας 
πρὸς τὴν εὐθεῖαν λέγου. χωρὶς δὲ τοῦ δοϑῆναι τὸν λόγον 
τοῦτον οὐ χρὴ τῇ τῶν εὑρόντων ἀνδρῶν δόξῃ πιστεύοντας 
παραδέχεσϑαι τὴν γραμμὴν μηχανικωτέραν πως οὖσαν [καὶ 


4, post δυνατὸν add. φησὶ To (inquit Co) 4. ἐπὶ τὸ ΖΈ H 
ἴσωι Α, ἐπὶ τὸ δεη ἴσῳ B, corr. S 5. συναποχαταστῆναι ABS, corr. 
Hu τὸν λόγον S, τόλον et initio superscr. ὃν Α (prima manu), unde 
τὸ ὅλον B et Torelli "cod. Vat." 6. 7. ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ λόγῳ coni. 
Hu 1. ἀνάγκη εἶναι Hu, ἀναγχαῖον ABS, ἀναγχαῖον εἶναι To (omisso 
posthac ἐπεὶ) 7. 8. ἐπει πως οιονται (sine acc.) A, πῶς οἴονται γὰρ» 
To, corr. ΒΒ 8. συναποχαταστῆσαι coni. Hu. ἀχράτοις To invitis 
ABS χρώμενα AB, χρώμεϑα S, χρώμενον coni. Hu 9. ἄν del. TO 


(probat ac συμβαέη coni. Hu) ποτὲ To pro τότε 43. γὰρ add. 
Hu 44. τὴν 44 ABS, ἐπὶ τὴν 44 Το, corr. Hu 46. πρὸ To 
auclore Co pro πρὸς αὖ Hu pro «v 49. ὑπο t€ ϑέμεϑα À, corr. 


BS 40. ἀλλ᾽ ὡς δ᾽ ἄν AB To, ἄλλως δ᾽ ἂν S, corr. Hu 41. 22. προ- 
εἰλῆφϑαι δεῖ τὸν — λόγον voluit Co cum vertit: sed utcumque sumatur 


LIBER IV. 255 


Primum enim, inquit, ad quod linea utilis esse videtur, id 
in hypothesi iste?) praesumit. Quomodo enim, si duo puncta 
a f moveri coeperint, efficias, ut alterum per rectam ad a, 
allerum per circumferentiam ad à eodem tempore deducatur, 
nisi prius proportionem rectae ef ad circumferentiam cogno- 
veris? Nam in eadem proportione etiam celeritates motuum 
esse oportet. Nempe quomodo ://a puncta, celeritate motuum 
non definita, eo quo dicimus deduci possunt, nisi aliquando 
casu fortuito id contingat? An vero id non absurdum est? 
Praeterea lineae terminus, quem ad quadraturam circuli ad- 
hibent, id est punctum, in quo linea rectam αὖ secat, nequa- 
quam invenitur. Intellegantur autem 
haec quae dicimus in figura propo- 
sita. Nam si rectae αβ By simul ad 
finem motus deductae erunt, cum 
ipsa αὃ congruent neque amplius 
sese invicem secabunt.  Desinunt 
enim secari, antequam cum αὖ con- 
gruunt, et tamen hanc ipsam sectio- 
nem ἐδέϊ voluerunt terminum lineae 
esse, in quo cum recta ad concurre- 
rel. Nisi forte quis dicat ab extremo sectionis puncto intellegi 
lineam usque ad αὖ, proinde ac rectas lineas constituimus, pro- 
duci; quod quidem ex iis quae initio supposita sunt minime se- 
quitur, sed hoc potius, punctum ἢ sumi non posse, nisi prius 
Proportio circeumferentiae ad rectam sumpta sit. Haec igitur 
Proportio nisi data sit, cavendum est ne virorum qui //neam 
invenerunt auctoritati obsequentes constructionem eius admit- 
amus, quippe quae ad mechanicam magis rationem accedat [οἱ 





4) Dinostratumne an Nicomedem an alium quempiam Sporus hoc 
loco dixerit, incertum est. - 


puncium ἡ, praecedere debet proportio circumferentiae ad rectam lineam, 
el similiter To: ratio circumferentiae ad rectam utique praesumpta est, 
id est προεέληπται 0. — λόγος 33. οὐ Hu, ἡ À, ἢ BS, ἀδύνατον. ἢ 
To 234. x«l — p. 256, 4. μηχανικοῖς interpolatori tribuit Hu 


988 


47 


48 


49 


ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ A. 


? 4 / J , - E d 
εἰς πολλὰ προβλήματα χρησιμεύουσαν τοῖς μηχανεχοῖς]. 
ἀλλὰ πρότερον παραδεκτέον ἐστὶ τὸ δι᾽ αὐτῆς δεικνύμενον 


πρόβλημα. 
Á a 
y 9 ὃ 
5 : a 
é | 
ξ 
7 À ? nx 


Τεεραγώνου γὰρ ὄντος τοῦ 
BIA καὶ τῆς μὲν περὲ τὸ xév-5 
τρον τὸ Γ περιφερείας τῆς BEA, 
τῆς δὲ ΒΗΘ τετραγωνιζούσης γινο- 
μένης, ὡς προείρηται, δείκνυταε, 
ὡς ἡ 4ἘΒ περιφέρεια πρὸς τὴν 
ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς! 1- 
τὴν ΓΘ εὐθεῖαν. εἰ γὰρ μὴ ἔσειν, 
ἤτοι πρὸς μείζονα ἔσται τῆς ΓΘ 
ἢ πρὸς ἐλάσσονα. 


Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, πρὸς μείζονα τὴν ΓΚ, καὶ 
περὶ χένερον τὸ Γ' περιφέρεια ἡ ΖΗΚ γεγράφϑω τέμνουσα Ἡὶ 


τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ H, καὶ κά- 
Sevog ἡ ΗΖ, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ 
ΓΗ ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ E. ἐπεὶ 
οὖν ἐστιν ὡς ἡ 4EB περιφέρεια 
πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ, ἢ 
τουτέστιν ἡ Γά, πρὸς τὴν ΓΚ, ὡς 
δὲ ἡ I4 πρὸς τὴν ΓΚ, ἢ ΒΕ4 
περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΚ περι- 


) φέρειαν (ὡς γὰρ ἡ διάμετρος τοῦ 


κύχλου πρὸς τὴν διάμεερον, 7) πϑρυ- 25 


φέρεια τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν), φανερὸν ὅτι Voy 
ἐστὶν ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ. καὶ ἐπειδὴ διὰ τὸ 
σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ BEA περιφέρεια πρὸς 
τὴν Ed, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΖ“, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΗΚ. 
πρὸς τὴν HK περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΒΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν 8ι 
HA. καὶ ἐδείχϑη ἴση ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ BU εὐθείᾳ" 
ἴση ἄρα καὶ ἣ ΗΚ περιφέρεια τῇ H4 εὐϑείᾳ, ὅπερ Gzo- 
πον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ BEA περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ 
εὐθεῖαν, οὕτως ἣ BI πρὸς μείζονα τῆς ΓΘ. 

λβ΄. “έγω δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα. εἰ γὰρ δυνα- 3! 
τόν, ἔστω πρὸς τὴν KI, καὶ περὶ κέντρον τὸ D περιφέρεια 


-] à 


LIBER iV. PROPOS. 46. 25 


ad mnlta problemata sit mechanicis utilis]. Sed primum 
illud problema quod per lineam quadratricem demonstrari 
dicimus (XXX) tradamus. 

Si enim quadratum sit αβγδ, et circumferentia fe circa rop. 
centrum γ et linea 972 quadratrix, ut supra exposuimus, ducta * 6" 
sit, demonstratur esse ut circumferentiam βεδ ad rectam fly, 
ita rectam 8y ad γϑ. Si enim non est, erit πὸ circumferentia 
Bed ad rectam By, ita By aut ad maiorem quam y3 aut ad 
minorem. 

Sit primum, si fieri possit, ad maiorem, velut yx, et circa 
centrum ^ describatur circumferentia ζηκ, quae lineam qua- 
dratricem in puncto ἡ secet, et ducatur perpendicularis 74, 
e| iuncta yy producatur ad e punctum βεδ circumferentiae. 
lam quia ex hypothesi, ut βεὸδ circumferentia ad rectam fy, 
ila est βγ, id est γδ, ad yx, atque ut γὺ ad y«, ita βεὸ 
creumferentia ad ζηκ circumferentiam — nam circulorum 
eirceumferentiae inter se sunt ut diametri!) — apparet circum- 
ferentiam yx rectae gy aequalem esse. Et quia propter li- 
neae proprietatem (XXX) ut circumferentiae βεδ &Ó, ita inter 
se sunt rectae y ηλ, ergo etiam ut circumferentiae ζηχ vx, 
ita inter se sunt rectae fy 7À. Et demonstravimus circum- 
ferentiam Znx rectae 8; aequalem esse; itaque circumferentia 
7x rectae 74 aequalis est, quod quidem absurdum. Ergo non 
est ut fed circumferentia ad rectam (jy, ita fy ad maiorem 
quam γϑ. 

XXXII. Sed nego etiam ad minorem. Si enim fieri 
possit, sit ad yx, et circa centrum γ describatur circumferentia 


*) Conf. Bretschneider l|. c. p. 453 sq. 


4) Hoc theorema exstat V propos. 44 et VIII propos. 22; simul au- 
lem scriptor tacite efficit circulorum arcus quibus aequales anguli in- 
sistunt inter se esse ut radios. "Vide infra propos. 36 adnot. 4. 


3. ἀλλὰ Hu, πολὺ ABS (πολὺ δὲ voluit Co, item δὲ post πρότερο"' 
add. To) παραδοτέον coni. Hu &. 5. τοῦ ΑΒΓΔ Co pro τοῦ 4ΒΓ 
7. τῆς δὲ BHO To pro τῆς δὲ BEOG 419. 43, τῆς ΓΘΗ͂ προσελάσσονα 
AB!, corr. BS — 238. ὡς ἡ B4 A, sed E superscr. prima m. 35. 4B 
A! in marg. (S), om. DB 

Pappus I. 11 


958 ΠΑΠΗΟΥ EYNATOTHS A. 


γεγράφϑω ἡ ZMK, xai πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΓΖά ἡ KH τέμ- 
γουσα τὴν τετραγωνίζουσαν κατὰ τὸ H, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα 
ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ E. ὁμοίως δὴ τοῖς προγεγραμ- 
μένοις δείξομεν καὶ τὴν ΖΙΗΙ͂Κ περιφέρειαν τῇ ΒΓ εὐϑείᾳ 
ἴσην, καὶ ὡς τὴν ΒΕ4 περιφέρειαν ττρρὸς τὴν EA, τουτ- ὃ 
ἐστιν ὡς τὴν ZMK πρὸς τὴν MK, οὕτως τὴν ΒΓ εὐϑεῖαν 
πρὸς τὴν ΗΚ. ἐξ ὧν φανερὸν ὅτι ἴση ἔσται ἣ MK περι- 
φέρεια τῇ ΚΗ εὐθείᾳ, ὅπερ ἄτοπον. οὐχ ἄρα ἔσται ὡς 
ἡ BE4 περιφέρεια πρὸς τὴν BD εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ 
πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΓΘ. ἐδείχϑη δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς usí(-1C 
Cova: πρὸς αὐτὴν ἄρα τὴν ΓΘ. 

50 Ἔστι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι ἣ τῶν ΘΓ ΓΒ εὐϑειῶν 
τρίτη ἀνάλογον λαμβανομένη εὐθεῖα ἴση ἔσται τῇ BEA 
περιφερείᾳ, καὶ ἣ τετραπλασίων αὐτῆς τῇ τοῦ ὅλου κύχλου 
περιφερείᾳ. εὑρημένης δὲ τῇ τοῦ κύχλου περιφερείᾳ ἴσης 
εὐθείας πρόδηλον ὡς δὴ καὶ αὐτῷ τῷ κύκλῳ ῥάδιον ἴσον 
τετράγωνον συστήσασθαι" τὸ γὰρ ὑπὸ τῆς τεεριμέτρου τοῦ 
χύχλου χαὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου, 
ὡς “ρχιμήδης ἀπέδειξεν. 

51 NNC— Ay. Αἄὕτη μὲν οὖν ἡ γέ- 10 

γεσις τῆς γραμμῆς ἐστιν, ὡς 

εἴρηται, μηχανικωτέρα, γεωμε- 
τρικῶς δὲ διὰ τῶν πρὸς ἐπι- 
φανείαις τόπων ἀναλύεσϑαι 

δύναται τὸν τρόπον τοῦτον. 35 

Θέσει χύκλου τεταρτημό- 
gio» τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχϑω, ὡς 
ἔτυχεν, 1) B4, καὶ κάϑετος ἐπὶ 

ἵ,.ἔ t y τὴν ΒΓ ἡ EZ λόγον ἔχουσα 





3. δὴ Hu pro δὲ 5. 6. τοῦτό ἐστιν AB, corr. S 6. πρὸς τὴν 
MK οὕτως τὴν ΒΓ εὐϑεῖαν bis scripta in Α(Β), corr. S 43. τρέτηι 
ἀνάλογον λαμβανομένηι ABS, corr. To 46. δὴ S, δεῖ AB Τὸ ὄά- 
διον ΑΒ, ῥᾳδίως To 30 sqq.] cap. 54— 56 stilo mullis in rebus di- 
verso a vulgari veterum mathemalicorum consuetudine composita sunt 
20. .4I' A! in marg. (S), om. B 23. 24. προσεπιφανείαις À (B To), 
πρὸς ἐπι κνεέας S 'conf. p. 910, 48) $6. τετάρτη μόριον À, coniunx. 


LIBER IV. PROPOS. 47. 98. 259 


tux, et rectae yd perpendicularis ducatur xy quadratricem in 
puncto ἢ secans, et iuncta yy producatur ad «e. Similiter 
igitur ac supra scripsimus demon- 
d a . . 
strabimus et circumferentiam Lux 
rectae By aequalem esse, et ut cir- 
cumferentias βεδ &Ó, id est Lux 
Lx, ia inter se esse rectas (fj 


9px. Unde apparet circumferentiam 
px rectae xn aequalem esse, quod 
quidem absurdum. Ergo non est 
y z 3 j; "" βεδ circumferentia ad rectam fy, 


ita βγ ad minorem quam y3. | Nec 
vero ad maiorem, ut modo demonstravimus ; ergo ad ipsam y3. 

Sed hoc quoque apparet, si rectarum 97. y tertia pro- 
portionalis sumatur, hanc circumferentiae βεδ, itaque qua- 
druplam rectam toti circumferentiae circuli aequalem esse. 
Rectà autem, quae circuli cireumferentiae aequalis sit, inventà 
apparet. etiam | | 

ipsi circulo aequale quadratum facile construi posse; Prop. 
hàm rectangulum quod circuli perimetro et radio continetur 
duplum est circuli, αὐ Archimedes?) demonstravit. 

XXXIII. Hic igitur lineae quadratricis ortus est, quem Prop. 
magis ad mechanicam rationem accedere diximus (XXXI); 455) 
geometrice autem per locos qui sunt ad superficies!) problema 
solvi potest hoc modo. | 

Sit circuli quadrans ey positione datus, et ducatur, ut 
libet, ὦ centro ad circumferentiam recta BÀ, et perpendicu- 

2) Paulo aliis verbis Pappus id theorema enuntiat atque ipse Ar- 
chimedes circuli dimens. propos. 4: πᾶς χύχλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὁρ- 


ϑογωνέῳ, ov ῆ μὲν ἐκ τοῦ χέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρϑήν», ἡ δὲ 
περίμετρος τῇ λοιπῇ. Conf. infra V propos. 2 extr. οἱ 8. 


*) Conf. Chasles, Apercu historique, p. 238—30 vers. German. Fi- 
guram in codicibus corruptam restituit Torellius. 


4) Euclidis libros duos hoc titulo inscriptos significari palet ex VII 
cap. 8. 








BS 27. 28. ὡσετύχην A(B!), corr. B3S 28. ἡ B4 AD, sed in A 


— 


4 vix diversum a 24, unde ἡ 84 S 
1;* 


260 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ À. 


δοϑέντα πρὸς τὴν 4Γ περιφέρειαν: ὅτι πρὸς γραμμῇ 
τὸ E. 

Νοείσϑω. γὰρ ἀπὸ τῆς MAIL περιφερείας ὀρϑοῦ κυ- 
λίνδρου ἐπιφάνεια, καὶ ἐν αὐτῇ ἕλιξ γεγραμμένη δεδομένη 
τῇ ϑέσει ἡ ΓΗΘ, καὶ πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἣ O4, καὶ δ 
τῷ τοῦ κύχλου ἐπιπέδῳ ὀρϑαὶ ἤχϑωσαν ai EI B.4 [ἀνε- 
σταμέναι ὀρϑαΐ), διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ B4 παράλληλος ἡ ΘΑ͂. 
ἐπεὶ λόγος τῆς EI εὐθείας πρὸς τὴν AT περιφέρειάν ἐστιν 
δοθεὶς διὰ τὴν ἕλικα, δοϑεὶς δὲ xal ὁ τῆς ΕΖ λόγος πρὸς 
τὴν 4Γ, ἔσται καὶ τῆς ΕΖ πρὸς EI λόγος δοϑείς. καὶ! 
εἰσὶν αἱ ΖΕ EI παρὰ ϑέσει" καὶ 5 ZI ἄρα ἐπιζευχϑεῖσα 
παρὰ ϑέσει. καὶ ἔστιν κάϑετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἐν τέμνοντι 
ἄρα ἐπιπέδῳ ἡ ZI, ὥστε καὶ τὸ I. ἔστιν δὲ καὶ ἐν xv- 
λινδρικῇ ἐπιφανείᾳ (φέρεται γὰρ ἡ ΘΑ͂ διά τε τῆς ΘΗΓ 
ἕλικος καὶ τῆς 44B εὐϑείας καὶ αὐτῆς τῇ ϑέσει δεδομένης - 
αἰεὶ παράλληλος οὖσα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ) πρὸς 
γραμμῇ ἄρα τὸ 1, ὥστε καὶ τὸ Ε. τοῦτο μὲν οὖν ἀνελύϑη 
χαϑόλου, ἂν δ᾽ ὃ τῆς ΕΖ εὐϑείας πρὸς τὴν 5 περιφέρειαν 


4. πρὸς γραμμὴν ABS, corr. Hu, item vs. 46. 47 (conf. cap. 52 
sub fin. πρὸς ] τὸ Καὶ et πρὸς γραμμῇ ἄρα) 4. ἐν om. S yt- 
γραμμένηι. δεδομένηι A, corr. B (γεγραμμένη dedouévg S) ὅ. πλευρὰ 
S, πλ AD cod. Co 6. «e£ EIB.4 ΑΓ, distinx. B (oí εἰ AB S) 
6. 7. ἀνεσταμέναι. ὀρϑαί interpolatori tribuit Co 7. διὰ δὲ τοῦ Καὶ 
ABS, corr. Co 8. ἐπι λόγος Α, ἐπέλογος e suo "cod. Vat." affert 
To, corr. BS 8. τῆς EI — 40. λόγος dos£c] τῆς EZ εὐϑείας πρὸς 
τὴν ΖΓ περιφέρειαν τῆς o. AE 4Γ διὰ τὴν ἕλιχα λόγος πρὸς τὴν 49 
ἔσται χαὶ τῆς ἘΖ πρὸς H λόγος δοϑεὶς ABS, τῆς EZ εὐϑείας πρὸς 
τὴν 4D περιφέρειαν ὁ αὑτὸς ἔστι τῷ τῆς EL, τουτέστι τῆς 40, πρὸς 
τὴν 4Γ περιφέρειαν διὰ τὴν ἕλικα, xal δοϑείς ἔστι ὁ τῆς EZ λόγος 
πρὸς τὴν .1Γ, ἔσται x«l τῆς EI πρὸς 4T' λόγος δοϑείς To partim auc- 
tore Co, corr. Hu 441. παραϑέσει ABS, distinx. Hu, item proximo vs. 
49. 43. ἐν τέμνοντι ἄρα Hu, ἐΐ [[[[]] ἄρα | A, ....... B!S, ἔστω ἐν D$, 
ἔστε δὲ iv To 43. 44. χυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ Hu, x[[][l[! [[Ipovetes 
À, ee ἐπιφανείᾳ BS, χυλενδροειδεῖ ἐπιφανείς To (vide apud hunc 
p. 95 adn. 9) 44. διά τε To pro διὰ δὲ 46. 41. πρὸς γραμ- 
μὴν ABS (conf. ad vs. 4) 48. πρὸς τὴν 46 περιφέρειαν — ABS, 
corr. Co 





LIBER IV. PROPOS, 28. 261 


leris ad 8» recta eG proportionem datam habens ad circum- 
ferentiam à»; dico punctum e ad lineam?) esse. 

Fingatur enim ex circumferentia «dy constructa recti cy- 
lindri superficies, in eaque descripta helix γηϑ **) positione 
data, et sit cylindri latus 99, et ad circuli planum perpen- 
dieulares ducantur e& 4, et per punctum 29 rectae βδ paral- 
lla 94. Quoniam proportio rectae e& ad circumferentiam dy 
data est propter helicis proprietatem?) , itemque ea hypothesi 
proportio rectae e£ ad eandem circumferentiam data est, pro- 
porlio etiam rectae εζ ad δὲ data erit (dat. 8). Et sunt rectae 
ζε eL positione datae*); ergo etiam iuncta Dt positione data 
erit. (dat. 41. 29). Eademque perpendicularis est ad 6; 
ergo ζν in plano est quod cylindrum secat; itaque etiam 
punctum «. Sed idem est in superficie cylindrica — nam 
recta 49: et per helicem 9ηγ et per rectam A48*"*) ipsam 
quoque positione datam fertur, semper plano subiecto paral- 
lela manens — ergo ad lineam est punctum ὁ; itaque etiam 8. 
Sie igitur problema generaliter solvimus; si vero rectae εζ 
ad circumferentiam óÓ» proportio eadem sit ac rectàe fae ad 


3) Qualis haec "linea" intellegatur ex Chaslesii p. 28 interpretatione 
divinare licet. Neque tamen unum casum, ex quo quadratrix fit, sed 
in universum omnes idoneos sectionum casus, unde cerlae quaedam 
curvae in planum subiectum proiiciuntur, Graecus scriptor respexisse 
videtur (conf. adnot. 86 apud Chasles.). Quae paucis quidem explicari 
non possunt, sed accuratiore investigatione quam maxime digna sunt. 


**) Nimirum agitur de helice in cylindro descripta (Schraubenlinie), 
qualem Hero defin. 8, 2 explicat, non de helice in plano ducta, de qua 
supra propos. 49 — 22 expositum est. Vide etiam Heronis defin. 8, 4. 


3) Τῆς EI εὐθείας brevius scriptor dixit pro τῆς EI, τουτέστιν 
τῆς 46 εὐθείας. Data autem est proportio rectae d9 ad circumferen- 
tiam dy, quia et circuli quadrans et helix positione data sunt. Est au- 
tem helicis quae in cylindro describitur proprietas, ut, quaecunque 
perpendicularis, velut 3d, ab helice ad planum subiectum ducatur, haec 
et ad circumferentiam dy et ad lineam 35y constantem proportionem 
habeat. 


4) In Graecis παρὰ ϑέσει et hic el infra cap. 52 pro simplici ϑέσει 
positum esse videtur, qui quidem dicendi usus, ab Euclidis datis alie- 
nus, hanc habeat excusationem, quod omnis recta quae παρὰ ϑέσει est 
(dat. defin. 45) ipsa quoque positione est data (ibid. propos. 28). 


***) Ne forte "per rectam 93" coniicias, conf. proximum problema, 
cuius similitudo omnino huc pertinet ad quaedam difficiliora explicanda. 


262 ΠΑΠΠΟΥ XYNATQTHZ A. 


λόγος ὁ αὐτὸς ἢ τῷ τῆς Β. πρὸς τὴν AAT, ἢ προειρη- 
μένη τετραγωνίζουσα γίνεται γραμμή. 

52 λδ΄. Δύναται δὲ καὶ διὰ τῆς ἐν ἐπιπέδῳ y γραφομένης 
ἕλικος ἀναλύεσϑαι τὸν ὅμοιον τρόπον. ἔστω γὰρ ὃ τῆς EZ 
πρὸς τὴν ΖΓ περιφέρειαν λόγος ὃ αὐτὸς τῷ τῆς .4B πρὸς 5 
τὴν AAT περιφέρειαν, καὶ ἐν ᾧ ἡ «48 εὐϑεῖα περὲ τὸ B 
κινουμένη παροδεύει τὴν ΑἸΖΤ᾽ περιφέρειαν, σημεῖον ἐπ 
αὐτῆς ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 44 ἐπὶ τὸ B παραγινέσϑω ϑέσιν 
λαβούσης τὴν ΓΒ τῆς 438, καὶ ποιείτω τὴν ΒΗ ἕλικα. 
ἔστιν ἄρα ὡς ἣ 44B πρὸς BH, ἡ Α44Γ περιφέρεια πρὸς 18 
τὴν ΓΖ, καὶ ἐναλλάξ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΖ πρὸς 4Γ᾽ ἴση ἄρα 
? BH τῇ ΖΕ. ἤχϑω τῷ ἐπιπέδῳ ὀρϑὴ ἡ KH ἴση τῇ BH- 
ἐν κυλινδροειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς ἕλικος τὸ K. 
ἀλλὰ καὶ ἐν κωνικῇ (ἐπιζευχϑεῖσα γὰρ ἡ ΒΚ ἐν κωνικῇ 
γίνεται ἐπιφανείᾳ ἡμίσειαν ὀρϑῆς κεκλιμένῃ πρὸς τὸ ὑπο- Ἀ 
χϑίμενον καὶ ἠγμένῃ διὰ δοθέντος τοῦ B): πρὸς γραμμῇ 
ἄρα τὸ K. ἤχϑω διὰ τοῦ K τῇ ΕΒ παράλληλος ἡ 4ΚΙ, 
xai ὀρϑαὶ τῷ ἐπιπέδῳ αἵ B.4 EI: ἐν πλεκτοειδεῖ ἄρα 
ἐπιφανείᾳ ἡ ΑΚΙ (φέρεται γὰρ διά τε τῆς Β.1 εὐϑείας 
ϑέσει οὔσης καὶ διὰ ϑέσει γραμμῆς πρὸς ἢ τὸ K): xoi 
τὸ I ἄρα ἐν ἐπιφανείᾳ. ἀλλὰ xai ἐν ἐπιπέδῳ (ἴση γὰρ 

ΖΕ τῇ EI, ἐπεὶ καὶ τῇ ΒΗ, καὶ γίνεται παρὰ ϑέσει 


/ 
ἢ ZI κάϑετος οὖσα ἐπὶ τὴν BI): πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ I, 


3. 444 A! in marg. (S), om. B 9. περιφέρειαν add. Hu auctore 
Co 7. τὴν 44T Co pro τὴν AA 8. τοῦ .4 ἐπὶ τὸ B Hu pra 
τοῦ B ἐπὶ τὸ Γ παραγενέσϑω ΤΟ 9. ΓΒ τῆς add. Hu τὴν 
BH 4 et 44. πρὸς 4 P^ k, coniunx. BS 44. BK εν γωνιχῆι A(B), corr 
S 45. χεχλιμένης AB, corr. S 46. πρὸς γραμμὴν AS, πρὸς γε- 
γραμμένην B!, corr. B? (vel B9) To 48. πληχτοειδει (sine acc.) A(S), 
χυλινδροειδεῖ coni. Co (probavit To), corr. B (nam etiamsi πληχτοεεδῶν 
in codicibus infra cap. 58 redeat, tamen forma per & verbis quae 
cap. 57 sq. leguntur: γραμμαὶ ἐκ κινήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναιε 
et ἐπιπλοκῆς conflrmatur) 920. διαϑέσεε ABS, distinx. To 214. ἐν 
ἐπιφανείᾳ To auctore Co, ἐπιφανεια (sine acc.) A, ἐπεφάνεια BS 
32. παραϑέσει ABS, distinx. Hu 23. προσγραμμη À, πρὸς γραμμὴ 
B, προσγραμμὴ S, corr. Τὸ τὸ I Co, τὸ ἐσ AjBS) 


LIBER 1V. PROPOS. 99. 263 


dreumferentiam αὖγ, ila quae supra (XXX) dicta est linea 
quadratrix oritur. 
XXXIV. Sed etiam per helicem in plano descriptam pro- Prop. 
blema, solvi potest simili ratione. i 
Sit enim rectae eC ad cir- 
cumferentiam Ó7 proportio ea- 
den ac rectae αβ ad circum- 
ferentiam «dy, et dum recta 
αβ circa centrum f mota cir- 
7 eumferentiam «aÓy permeat, 
punctum in eadem recta progrediens a puncto « ad punctum 
B eodem momento perveniat quo recta fa positionem y sump- 
seri, et id punctum helicem 7a efficiat !). Est igitur ut recta 
By, id est ag, ad gr, ita circumferentia yóa ad yÓ, et vi- 
dssim u£ recta off ad circumferentiam aÓy, ita. recta βη ad 
drcumferentiam ὃγ. Sed ex hypothesi recta εζ ad circum- 
ferentiam dy ín eadem proportione est; ergo rectae fm εζ in- 
ler se aequales sunt. Ducatur ad planum subiectum perpen- 
dieularis xz ipsi βὴ aequalis; ergo punctum x est in super- 
fide cylindroide quae fit ab helice. Sed idem in conica (nam 
iuncta fx est in conica superficie, quae sub dimidio angulo 
recto ad planum subiectum inclinata et per datum punctum 
B ducta est); ergo ad lineam est punctum x.  Ducatur per 
x rectae ef parallela ἀκε, et plano subiecto perpendiculares 
fA εἰ; ergo recta χε in plectoide superficie est (nam fertur 
ipsa ἀχε et per rectam βὰ positione datam et per lineam po- 
sitione datam, ad quam est punctum x); ergo etiam punctum 
& in ea superficie est. Sed idem etiam in plano (nam Le 
rectae && aequalis est, quoniam item rectae n, et Gu posi- 
tione data, quoniam ad y perpendicularis est) ; ergo punctum 





*j Conf. Chasles l. c. Figura item a Torellio restituta est. 


4) Duo eaque gravissima hoc loco notanda sunt, primum helicem 
describi, quae ad quadrantem circuli eandem rationem habet quam he- 
lix Archimedea ad totum circulum (propos. 49), tum eius helicis ini- 
tium a puncto « et recta af statui, cum rectius vice versa a puncto 8 
et recia fy usque ad Be mota incipiendum fuerit; sed hic magis ver- 
borum, quam rei error est. 


261 HALTIOY ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Δ. 


ὥστε καὶ τὸ E. καὶ δῆλον ὅτι, ἂν ὀρϑὴ qj ἡ ὑπὸ ΑΒΓ 
γωνία, ἡ προειρημένη τετραγωνίζουσα γραμμὴ γένεται. 

53 λε΄. Ὥσπερ ἐν ἐπιπέδῳ νοεῖται γινομένη τις ἕλεξ φε- 
eouévov σημείου κατ᾽ εὐθείας κύκλον περιγραφούσης, καὶ 
ἐπὶ στερεῶν φερομένου σημείου κατὰ μιᾶς πλευρᾶς τιν᾽ 5 
ἐπιφάνειαν περιγραφοὔσης, οὕτως δὴ καὶ ἐπὶ σφαίρας ἕλικα 
νοεῖν ἀχόλουϑόν ἐστι γραφομένην τὸν τρόπον τοῦτον. 

94 Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὃ ΚΑΤ περὶ πόλον 

τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ O μεγίστου κύκλου τεταρτη- 

μόριον γεγράφϑω τὸ ONK, xot ἡ μὲν ONK περιφέρεια, 1a 





περὶ τὸ Θ μένον φερομένη κατὰ τῆς ἐπιφανείας ὡς éni 
τὰ 41 M μέρη, ἀποκαϑιστάσϑω πάλιν ἐπὶ τὸ αὐτό, ση- 
μεῖον δέ τι φερόμενον ἐπ᾽ αὐτῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ K 
γκιαραγινέσϑω" γράφει δή τινα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἕλικα, 
οἵα ἐστὶν ἡ OOIK, xai ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ Θ γραφῇ μεγέ- τὸ 
στου κύκλου περιφέρεια, τιρὸς τὴν Kd περιφέρειαν λόγον 
ἔχει ὃν ἡ 440 πρὸς τὴν ΘΟ: λέγω δὴ ὅτι, ἂν ἐχτεϑῇ τεταρ- 
τημόριον τοῦ μεγίστου ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου τὸ ΑΒΓ περὶ 
κέντρον τὸ 4, καὶ ἐπιζευχϑῇ ἡ ΓΑ͂, γίνεται ὡς f$ vob 
ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ΘΟΙΚ ἕλικος 20 
χαὶ τῆς ΚΝΘ περιφερείας ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν, 
οὕτως ὃ ΑΙΒΓΙΓΖ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα. 





4.2 ἡ Hu, 5 ἃ, ἢ B, ἡ S To 3. λεὲ A! in marg. S, om. B 
ἐν add. Hu auctore Co 3. 4. qepou£|///nusfov A, restituerunt BS 
&. 5. xv|xA/[[/[i/y]eqovaus καὶ | 2z//]/[[]][[l]] φερομένου A, κυκλω ...... 
περιγραφούσης " χαὶ 2z........ λω φερομένου B, χύχλῳ ........ γραφούσης 
x«i Éni.....qto0uÉrov S, vestit. Hu "pro xal ἐπὶ στερεῶν Co voluit χαὶ 


LIBER IV. ΡΆΟΡΟΞΒ. 80. |: 200 


rad lineam est; itaque etiam punctum ε. Et apparet, si 
angulus «y rectus sit, illam quae supra dicta est lineam 
quadratricem oriri. 

XXXV. Quemadmodum in plano helix existere intelle- Pop. 
gitur, si in recta circulum describente punctum quoddam ." 
fertur (XXI), atque in solidis, velut cylindris aut. conis), 
si punctum in uno latere superficiem quandam describente 
fertur, ita in sphaera quoque helicis descriptionem cognoscere 
consentaneum est hoc modo. 

Sit in sphaera maximus circulus xÀu eiusque polus 
punctum 2, et a 9 maximi circuli quadrans 9vx describatur, 
οὐ cireumferentia Jvx circa punctum 2, quod maneat, in 
superficie sphaerae versus ἃ μ' feratur eoque unde egressa 
est redeat, atque eodem tempore punctum quoddam in cir- 
cunnferentia progrediens a puncto 3 ad x perveniat; hoc 
igitur in superficie helicem, qualis est 9o«x, describit, cuius 
proprietas est, ut, si quaelibet a puncto 29: describatur ma- 
ximi circuli circumferentia (circulum xÀpg primum in Δ, he- 
licem autem primum in o secans), haec ad circumferentiam 
XL eandem proportionem habeat quam circumferentia 49: ad 
90. ]am dico, si maximi in sphaera circuli quadrans offy 
Cirea centrum Ó exponatur et recta «y iungatur, esse ut di- 
midiae sphaerae superficiem ad eam superficiem quae inter 

helicem 9o«x et. cireumferentiam 9»x continetur, ita sectorem 
αβγὃ ad segmentum off. 


: *) Conf. Chasles p. 26, Bretschneider p. 184. 


4) Sic ex nostra coniectura, quoniam praeter helicem in cylindro 
descriptam (propos. 28) aliae etiam eius generis lineae, velut conica 
helix (Chasles p. 28 adnot. 35), construuntur. Quodsi quis in una he- 
lie ab Herone definita consistere malit, is ἐπὶ χυλένδρου et τὴν ἐπι- 
φάνειαν praeferat. 





ἔπειτα; de coniectura xol ἐπὶ κυλίνδρου vide Lat.) — 5. vw' pro τὴν 
Hu 6. οὕτως δὴ Hu pro οὕτω δὲ 8. 9. πέρι πολοντον & A(BS), 
corr. Hu 44. 44. ἐπὶ τὰ 4AM A(BS), corr. Co 15. μεγέστου Hu 
auctore Co pro μεγέστη τοῦ 46. 47. περιφέρειαν — ὃν add. Hu 
48. τὸ 4ΒΓ περὶ Hu pro τοῦ A4BT περιφέρεια 4. ἀπολαμβανομέ- 
»nc ABS, corr. Hu auctore Co 


266 ΠΆΠΠΟΥ ΣΥΝΔΡΩΓῊΣ Δ. 


Ἤχϑω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΓΖ, xai 
περὲ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ 2d γεγράφϑω τιεριφέρεια n 4EZ : 
ἴσος ἄρα ὃ ΑΒΓΑ͂ τομεὺς τῷ -4EZTI (διπλασία μὲν γὰρ 
ἡ πρὸς τῷ 4 γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΖ, ἥμισυ δὲ τὸ ἀπὸ 4.4 
τοῦ d;0 44D): ὅτι ἄρα καὶ ὡς αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι ὅ 
κρὸς ἀλλήλας, οὕτως ὁ .4ΕΖΓ τομεὺς πρὸς τὸ ABT τμῆμα. 

55 ἔστω, ὃ μέρος ἡ ΚΑΊ περιφέρεια τῆς ὅλὴς τοῦ κύκλου περι- 
φερείας, καὶ τὸ αὐτὸ μέρος περιφέρεια ἡ ΖΕ τῆς ΖΑ͂, 





καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΕΓ ἔσται δὴ καὶ 5 ΒΓ τῆς ΑΒΓ τὸ 
αὐτὸ μέρος. ὃ δὲ μέρος ἡ K.1 τῆς ὕλης περιφερείας, τὸ 10 
αὐτὸ καὶ 7) ΘΟ τῆς OO.4. καὶ ἔστιν ton ἡ ΘΟΑ͂ τῇ ABE: 
ἴση ἄρα χαὶ ἣ ΘΟ τῇ ΒΓ. γεγράφϑω περὶ πόλον τὸν Θ 
διὰ τοῦ Ο περιφέρεια ἡ ΟΝ, καὶ διὰ τοῦ B περὶ τὸ T 
χένετρον ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὡς ἣ A4KO σφαιρικὴ ἐπιφάνεια 
πρὸς τὴν OON, ἡ ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς 15 
τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν οὗ ἡ ix τοῦ πόλου ἐστὶν ἡ 
ΘΟ, ὡς δ᾽ ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ 
τμήματος ἐπιφάνειαν, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς τὰ O .4 
ἐγχιζευγνυούσης εὐθείας τετράγωνον τιρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐπὶ 
τὰ ΘΟ, ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ED τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 20 
6. ὁ ΕΓΖ Α58, corr. B. 1. ὃ add. μ΄ 8. περιφέρεια ἡ Hu, 
o δὲ μέδ ἡ Α, ὁ δὲ μέρος ἡ B, ὃ δὲ μέρη S 14. ἡ ϑολ B!, ἡ 604 
AB? (vel 88) S 45. πρὸς τὴν OG N ἡ ολη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπι- 
φάνεια add. A? in marg. (BS), om. A! 46. τὴν τοῦ τμήματος Co, 
τὴν τοῦ ἡμισφαιρίου ABS, τὴν ἐντὸς τοῦ ἡμισφαιρίου coni. Hu 
οὗ ἡ Co pro οὐ 41. J' ἡ Hu auctore Co pro δὴ 48. τὰ 8.4 A, 
distinx. B!S (ra 9 « B?) 30. τὰ ὃ o 1j B, τὰ 80 « ^, τὰ ϑοη S, τὰ 
Θ O, τουτέστι Co 


H 


LIBER 1V. PROPOS. 80. 267 


Ducatur enim circumferentiam tangens recta γζ, et circa 
cenirum y per punctum « describatur circumferentia «e&t; 
ergo sector αβγδ sectori aeCy aequalis est, quoniam /, aóy — 
?[ αγζ, et ay? 2 2a0?**; dico igitur esse ut eas quas su- 
pra posui superficies inter sese, ita sectorem ael» ad seg- 
mentum ey. Quae pars totius circuli circumferentiae est 
cireumferentia xA, eadem pars circumferentiae Go sit circum- 
ferentia Ce, et iungatur recta &y; erit igitur circumferentiae 
αβγ eadem pars circumferentia gy ***). Sed quae pars to- 
lius cireumferentiae est circumferentia χὰ, eadem pars cir- 
cumferentiae 9oÀ est circumferentia Jo ex helicis proprietate. 
Et ex constructione est cireumf, 904 — circumf. afy; ergo 
ciam circumf. 9o — circumf. βγ. Describatur circa polum 9 
per punctum o circulus 0», et per punctum f) circa centrum 
/ circumferentia 95. lam quia est ut sphaericae superficiei 
$CLor?) À9x ad seclorem o9», ita tola dimidiae sphaerae 
superficies ad superficiem eius segmenti quod polum 3 basim- 
que circulum o» habet?), atque ut dimidiae sphaerae super- 
ficies ad eiusdem segmenti superficiem, ita, iunctis rectis 94 
4o, est 94? ad 2o?1), sive sy? ad 8y?, erit igitur ut is qui 

**) Sector «gyÀ est quarta pars circuli cuius radius «d, et sector 
αεζγ octava pars circuli cuius radius «y. Εἰ sunt inter sese circuli ut 


quadrata ex radiis; ergo 4 sect. «fy : 8 sect. αεΐγ z a0? : «y? z ad? : 
2a0?, id est sect. αβγόδ — sect. «ety (Co). 


*** Est enim circumf.: Z« : circumf. && — [ cy« : [, ἦγε. Sed est 
L γα τὸ 4 [ «dy, et [ ἦγε τὸ ἃ [ Boy lid quod efficitur ex elem. 3, 32 
.€(20); ergo circumf. ζὰ : circumf. ζὲ — circumf. «gy : circumf. By. 
(Commandinus in eo errat, quod arcum λκ maximi circuli uáx qua - 
drantem esse opinatur, at vero punctum 4 ad libitum sumptum est.) 


2) Sector superficiei sphaericae ex usu Graeci scriptoris (vide 
p. 268, 4 et 4) similiter dicitur ac sector in plano circuli. 


3) Quia arcubus ἀχ ον idem angulus insistit, arcus ἀκ est eadem 
pars circuli uAx, quae pars est arcus ov circuli ov, unde id quod supra 
positum est facile demonstratur. Conf. etiam adnot. 4H. 


1) Secundum Arcbim. de sphaer. et cylindr. 4 propos. 35, et quia 
quadratum ex 94 aequale est duplo quadrato ex radio sphaerae, dimi- 
diae sphaerae superficies aequalis est circulo cuius radius recta 34; 
tum secund. Árchim. ibid. propos. 48 segmenti Jo» superficies aequa- 
lis est circulo cuius radius recta 5o. Εἰ sunt circuli inter se ut qua- 
drata ex radiis; ergo duae quae dictae sunt superficies inter se sunt 
ut 394? ad 9o?. 


208 ΠΆΠΠΟΥ XYNATOTHS Δ. 


ΒΓ, ἔσται ἄρα xai ὡς ὁ ΚΑΘ τομεὺς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ 
πρὸς τὸν ΟΘΝ, οὕτως ὁ ΕΖΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΗΓ. 
ὁμοίως δείξομεν ὅτι XGL ὡς πάντες oL ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ 
τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ K.10 , οἵ εἰσιν 1; ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου 
ἐπιφάνεια, πρὸς τοὺς περιγραφομένους περὶ τὴν ἕλικα το-- ὃ 
μέας ὁμοταγεῖς τῷ OON, οὕτως πάντες οἱ ἐν τῷ AZ 
τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ EZD, τουτέστιν ὅλος 6 4ΖΓ τομεύς, 





πρὸς τοὺς περιγραφομένους περὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοὺς 
ὁμοταγεῖς τῷ ΓΒΗ͂. τῷ δ᾽ αὐτῷ τρόπῳ δειχϑήσεται καὶ 
ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τοὺς ἐγγραφομένους 1o 
τῇ ἕλιχι τομέας, οὕτως ὃ “4ΖΓ τομεὺς πρὸς τοὺς ἐγγρα- 
φομένους τῷ ΑΒΓ τμήματι τομέας, ὥστε καὶ ὡς ἡ τοῦ 
ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ὑπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμ- 
βανομένην ἐπιφάνειαν, οὕτως ὁ Α41ΖΓ τομεύς, τουτέστιν 
56 τὸ “8ΓΖ4 τεταρτημόριον, πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα. συνάγεται 15 
δὲ διὰ τούτου ἡ μὲν ἀπὸ τῆς ἕλιχος ἀπολαμβανομένη àni- 
φάνεια πρὸς τὴν ΘΝΚ περιφέρειαν ὀχταπλασία τοῦ “ΒΓ 
τμήματος ( ἐπεὶ καὶ ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓΔ 
τομέως), ἡ δὲ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς βάσεως τοῦ ἡμι- 
σφαιρίου ἐπιφάνεια ὀχταπλασία τοῦ .41Γ 4 τριγώνου, τουτ- XX 
ἔστιν ἴση τῷ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας τετραγώνῳ. 


2. πρὸς οἱ 3. ὡς add. Hu auctore Co 4. οιξέσιν ot oár τοῦ A(B), 


corr. S 6. τῷ OGN Hu auctore Co pro rà. OGH πάντες οἱ 
40. ἐπιφάνεια add. Hu auctore. Co 15. ὡς ante τὸ .4BI4 additum 
in ABS del. Hu 46. ἀπὸ] μεταξὺ supra p. 264, 20, inter Co, ὑπὸ 


coni. Hu 47. xcà τῆς GNK περιφερείας coni. Hu 


LIBER IV. PROPOS. 30. 960 


esi in superficie sphaerae seclor À49x ad sectorem o9», ita 

i» plano sector εζγ ad sectorem βὴηγ 1). Similiter demon- 
sWabimus esse etiam ut omnes sectores qui in dimidiae 
Sphaerae superficie describuntur sectori Ax39 aequales), quo- 
rum summa efficit totam dimidiae sphaerae superficiem, ad 
Sectores helici circumscriptos ac sectori o9» respondentes, 
ita omnes qui sunt in acy'sectores ipsi eCy aequales, id est 
totum sectorem αζγ, ad sectores segmento afly. circumscriptos 
ac sectori γβὴ respondentes. Atque eadem ratione demon- 
Strabitur esse ut dimidiae sphaerae superficiem ad summam 
sectorum qui helici inscribuntur, ita sectorem αζγ ad sum- 
"Qm sectorum qui segmento ag» inscribuntur; ergo etiam ut 
dimidiae sphaerae superficies ad superficiem quae inter heli- 
cem ei circumferentiam Jvx continelur, ita erit sector ay, 
id est quadrans αβγδι, ad segmentum αβγ Unde colligitur 
superficiem quae ab heliee ad circumferentiam J»x pertinet 
oCtuplam esse segmenti e» (quoniam item, ?d quod ex 
Avrchim. de sphaer. et cyl. 4, 55 efficitur, dimidiae sphaerae 
superficies ocíupla est quadrantis αβγδ), et superficiem quae 
inter helicem et basim dimidiae sphaerae continetur octuplam 
esse trianguli ayó, id est aequalem quadrato quod fit ex 

Sphaerae diametro 5). 

ΤῈ) Supponit igitur Graecus scriptor similes sectores inter se esse 

ui quadrata ex radiis, quod lemma per se consentaneum, si opus sit, 

demonstretur ex.elem. 5, 45. 142, 2; sunt enim similes sectores eaedem' 


Suorum circulorum partes. Simile lemma infra legitur V propos. 13; 
el conf. ibid. propos. 47 adnot. * ac supra p. 237. 


4) Fuit cum verba of ico. τῷ K.40 et paulo post οἱ igo. τῷ ΕΖΓ 
delenda esse suspicarer; nam cum arcus 4x ad libitum sumptus sit, 
non necesse est summam aequalium sectorum ipsam dimidiae sphaerae 
superficiem efficere, ac stat demonstratio, etiamsi quilibet sectores illi 
Àx9 non aequales sumaptur. Verum ratio ab Arcbimede inventa pro- 
bat hunc quoque scriptorem in quotquot minimas partes inter se ae- 
quales cireumferentiam maximi circuli dividi voluisse; ergo hoc loco 
tacite supponere videtur arcum àx totius circumferentiae esse partem 
tolo, non fracto, numero expressam. 


5) Scilicet 8 A «yd — 4 ad? — (4 «dj? ; et dupla «d est diameLrus 
sphaerae. 


. 270 HAHTIOY ZYNATQTHS A. 


57 Ac. Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον εἰς τρία ἴσα 
τεμεῖν οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι ϑελήσαντες ἠπόρησαν δι᾽ ai- 
τίαν τοιαύτην. τρία γένη φαμὲν εἶναι τῶν ἐν γεωμετρίᾳ 
προβλημάτων, xai τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσϑαι, τὰ 
δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμιχά. τὰ μὲν οὖν δι᾽ εὐϑείας καὶ 5 
κύχλου περιφερείας δυνάμενα' λύεσϑαι λέγοιτ᾽ ἂν εἰκότως 
ἐπίπεδα - καὶ γὰρ αἱ γραμμαὶ δι᾽ ὧν εὑρίσκεται τὰ τοι- 
abra προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ 
λύεται προβλήματα παραλαμβανομένης εἰς τὴν δὕρεσιν μεᾶς 
τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ καὶ πλειόνων, Oreged ταῦτα κέ- 3 
κληται" πρὸς γὰρ τὴν κατασχευὴν χρήσασϑαι στερεῶν σχη- 
μάτων ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνιχαῖς, ἀναγκαῖον. 
τρίτον δέ τι προβλημάτων ὑπολείπεται γένος τὸ καλούμενον 
γραμμικόν" γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρὰ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν 
χατασχευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν ἔχουσαι τὴν γένεσιν 1: 
xci βεβιασμένην μᾶλλον, ἐξ ἀτακτοτέρων ἐπιφανειῶν καὶ 

58 χενήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναι. τοιαῦται δέ εἶσιν 
αἵ τὸ ἐν τοῖς πρὸς ἐπιφανείαις καλουμένοις τόποις εὕρι- 
σχόμεναι γραμμαὶ ἕτεραΐ τε τούτων ποιχελώτεραι καὶ πολλαὶ 
τὸ πλῆϑος ὑπὸ Δημητρίου τοῦ ““λεξανδρέως ἐν ταῖς γραμ- 3 
μικαῖς ἐπιστάσεσι καὶ Φίλωνος τοῦ Τυανέως ἐξ ἐπιπλοκῆς 
πλεχτοειδῶν τε καὶ ἑτέρων παντοίων ἐπιφανειῶν εὑρισκό- 
μεναι πολλὰ καὶ ϑαυμαστὰ συμπτώματα περὶ αὑτὰς ἔχου- 
σαι. καί τινες αὐτῶν ὑπὸ τῶν νεωτέρων ἠξιώϑησαν λόγου 
πλείονος, μέα δέ τις ἐξ αὐτῶν ἐστιν ἡ καὶ παράδοξος ὑπὸ 35 
τοῦ MeveAdov κληϑεῖσα γραμμή. τοῦ δὲ αὐτοῦ γένους ἕτεραι 
ἕλικές εἰσιν τετραγωνίζουσαΐ τε xai κοχλοειδεῖς καὶ κισσο- 

59 διδεῖς. δοκεῖ δέ πως ἁμάρτημα τὸ τοιοῦτον οὐ μικρὸν elvat 
τοῖς γεωμέτραις, ὅταν ἐπίπεδον πρόβλημα διὰ τῶν κωνι- 
χῶν ἢ τῶν γραμμικῶν ὑπό τινος εὑρίσκηται, καὶ τὸ σύνολον 30 
ὅταν ἐξ ἀνοικείου λύηται γένους, οἷόν ἐστιν τὸ ἐν τῷ πέμπτῳ 


4. ἃς A! in marg. (B3S) 5. οὖν om. S 9. εἰς τὴν γένεσιν ABS, 
εἷς τὴν χατασχευὴν Co, corr. Hu 48. δέ τι] item supra p. 54, 46 cor- 
rigas pro δ᾽ ἔτι 47. γενώμεναι et alterum » prim. m. superscr. À 
21. φίλωνος to tuxcvtétg À 22. πληχτοειδῶν ABS, corr. Hu (conf. 
p. 262, 48) 23. περὶ αὑτὰς ABS, corr. Hu Φ6. 27. ἕτεραί εἶσιν 


LIBER V. | 911 


XXXVI. Datum angulum rectilineum cum antiqui geo- 
metrae in tres partes secare vellent, hac de causa haesita- 
verunt. Tria genera problemitum geometricorum statuimus, 
quorum alia plana, alia solida, alia linearia vocamus!). Quae 
igtur per rectas lineas et circuli circumferentias solvi pos- 
suni, ea merito plana dicantur, quoniam lineae, per quas 
eiusmodi problemata solvuntur, in plano originem habent. 
Quorum autem problematum resolutio adsumptis una pluri- 
busve coni sectionibus invenitur, haec solida appellata sunt; 
nam ad eorum constructionem solidarum figurarum superficie- 
bus, nimirum conicis, uti necesse est. Tertium autem relin- 
quitur problematum genus quod lineare vocatur; nam practer 
eas quas diximus lineas aliae variam et contortiorem originem 
habentes, quae ex superficiebus minus ordinatis et motibus 
implicatis gignuntur, ad constructionem adhibentur. Quales 
sunt et lineae in locis qui ad superficies vocantur?) repertae, 
el permultae aliae magis etiam variae a Demetrio Alexandrino 
in "linearibus constitutionibus" et a Philone Tyanaeo ex im- 
plieatione plectoidium ?) aliarumque variarum superficierum 
inventae, in quibus multae et mirabiles proprietates insunt. 
Et nonnullas ex his lineis longiore tractatione dignas iudica- 
verun( recentiores; sed una quidem vel maxime excellit, 
quam "mirabilem" Menelaus nuncupavit). Atque eiusdem 
generis aliae sunt, velut helices sive spirales, tétragonizusae 
sive quadratrices, conchoides sive conchiformes, cissoides sive 
hederae similes. At geometrae non mediocriter errare viden- 
lr, si quando planum problema per conicas vel alias curvas 
lineas, atque omnino si quid per alienum genus solvunt, 


4) Confer supra III cap. 20. 

3) Conf. supra IV propos. 38. 

3) Ibidem propos. 29. 

4) Chasles, Apercu historique, p. 23 versionis German, 





xd) ἕλιχες xol τετραγωνέζουσαι x«l xoyÀ. ul scribamus, suadet libri ΠῚ 
Cap. 20 similitudo (nisi forte scriptor huius loci ἕλιχες omisit, quo de- 
lelo τε post τετραγ. recte positum esse apparet) 27. χογχοειδεῖς S 
invitis AB 31. πέμπτῳ) immo πρώτῳ (vide adnot. 5 ad Latina) 


ὁ79 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Δ. 


τῶν ἀπολλωνίου κωνικῶν ἐπὶ τῆς τταραβολῆς πρόβλημα καὶ 

ἢ ἕν τῷ περὶ τῆς ἕλικος ὑπὸ ἀρχιμήδους λαμβανομένη στε- 

θεοῦ νεῦσις ἐπὶ κύκλον. μηδενὶ γὰρ προσχρώμενον στερδῷ 

δυνατὸν εὑρεῖν τὸ ὑπ᾽ αὐτοῦ γραφόμενον ϑεώρημα, λέγω 

δὴ τὸ τὴν περιφέρειαν τοῦ £v τῇ πρώτῃ πιεριφορᾷ κύκλου 5 

ἴσην ἀποδεῖξαι τῇ πρὸς ὀρϑὰς ἀγομένῃ εὐθείᾳ τῇ ἐκ τῆς 

γενέσεως ἕως τῆς ἐφαπτομένης τῆς ἕλιχος. τοιαύτης δὴ τῆς 
διαφορᾶς τῶν προβλημάτων ὑπαρχούσης οἱ πρότεροι γεω- 
μέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῆς γωνέας πρόβλημα τῇ φύσει 

στερεὸν ὑπάρχον διὰ τῶν ἐπιπέδων ζητοῦντες οὐχ οἷοί v 10 

ἦσαν εὑρίσκειν" οὐδέπω γὰρ αἱ τοῦ κώνου τομαὶ συνήϑεις 

ἦσαν αὐτοῖς, καὶ διὰ τοῦτο ἠπόρησαν" ὕστερον μέντοι διὰ 
τῶν κωνιχῶν ἐτριχοτόμησαν τὴν γωνίαν εἰς τὴν εὕρεσιν χρη- 
σάμενοι τῇ ὑπογεγραμμένῃ νεύσει. 

60 Παραλληλογράμμου δοϑέντος ὀρϑογωνίου τοῦ BIA 15 
zai ἐχβληϑείσης τῆς ΒΓ, δέον ἔστω διαγαγόντα τὴν ΔΕ 
γοιεῖν τὴν ΕΖ εὐϑεῖαν ἴσην τῇ δοϑείσῃ. 

Γεγονέτω, καὶ ταῖς EZ 
6, ΕΖΔ παράλληλοι ἤχϑωσαν ai 

ὃ 4H ΗΖ. ἐπεὶ οὖν δοϑεῖσά 20 

ἐστιν ἡ ΖΕ xai ἔστιν ἔση τῇ 

AH, δοϑεῖσα ἄρα καὶ ἡ 4H. 

καὶ δοϑὲν τὸ 4: τὸ H ἄρα 

πρὸς ϑέσει κύκλου περιφε-) 

ρείᾳ. καὶ &rei τὸ ὑπὸ BIA δοϑὲν καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΖ 25 

E4, δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΖ ΕΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ BZH: 


U^w 


SS 


c 


2. ἡ add. Hu περὶ τῆς ἕλικοςἾ περὶ ἑλίκων accuratius scriptor 
posuit infra cap. 78 4. 3. στερεα νευσεις A, στερεὰ νεῦσις B, στερεαὶ 
γεύσεις S, corr. Hu.— 3. κύχλον Hu pro χύχλου 6. ἀγομενὴ εὐϑεικ 
A, corr. BS 6. 7. ἐχ τῆς γενέσεως) ix τῆς ἐν τῇ γενέσει coll. cap. 74 
vel 2x τοῦ ἐν ἀρχὴ coni. Hu 7. ἕως add. Hu 9. γωνίας paene 
evanuit in A 40. τ᾽ add. Hu 43. ἐτριχατομησαν (sine spir. et 
acc.) A, corr. BS 48. γεγονέκτω ΑΞ ex γέγονεν τω 48. ταῖς ΕΖ 
Z4 — 20. αἱ 4H HO ABS, corr. Co 24. προσϑέσει. ABS, distinx. 
Hu auctore Co, item p. 274, 4 25. 46. τῶι ὑπὸ BE Z4 et τὸ ὑπὸ 


BEZ4 AL(BS,, corr. Co 26. ὑπὸ BZII Co pro ὑπὸ BH 


. LIBER IV. PROPOS. 34. . 978 


quale est in quinto Apollonii conicorum libro problema de 
parabola 5), vel illa quae in libro de helicibus ab Archimede 
adsumitur solidi inclinatio in circulum 9) ; neque enim soli- 
dum adhibere opus est, ut theorema ab illo propositum in- 
veniri possit, scilicet ut. demonstretur. cireumferentiam circuli 
prima conversione descripti aequalem esse rectae quae a prin- 
cipio helicis ad tangentem ducitur?). Sic igitur cum proble- 
mata inter se differant, priores geometrae illud de anguli 
sectione problema, quod natura solidum est, per plana in- 
quirentes solvere non potuerunt; nondum enim coni sectio- 
nibus uti consueverant eaque de causa ambigebant. Sed 
postea ali per conica angulum tripartito secuerunt, quod ut 
invenirent hanc quae sequitur inclinationem adhibuerunt. 
Dato parallelogrammo rectangulo αβγδ et producta recta Prop. 
By, oporteat rectam eec ita ducere, ut eius segmentum «&C 
inter à» et productam βγ abscissum datae rectae aequale sit. 
Factum iam sit, et rectis eC &Ó parallelae ducantur δὴ 
ηζ. lam quia recta eb et data et ipsi δῃ aequalis est, data 
igitur est δη. Et datum est punctum Ó; ergo punctum ἢ 
est ad eircumferentiam circuli positione dati (dat. def. 6). 
Et quoniam rectangulum βγδ et datum est οἱ rectangulo quod 
rectis. βζ δὸ conünetur aequale, datum igitur rectangulum 
sub 8L εὖ, id est rectangulum 655"). Ergo punctum ἢ est 
5) Quinto Apollonii conicorum libro ab Halleio ex Arabico sermone 
in Latinum converso theoremata de maximis et minimis continentur 
et in his complura de parabola inveniuntur; sed nullum est pro- 
blema, quod ad hunc Pappi locum referri possit. Quare in promptu 
est suspicari πρώτῳ pro πέμπτῳ legendum esse, ac vituperari Apol- 
lonii primi libri propositionem 52, id est problema de parabolae in 


plano constructione. At vero alia quaestio: est, num iure Apollonius 
reprehensus sit. 


6) Cont. infra adnot. 4 ad propos. 43. 


7) Idem theorema accuratius enuntiatum vide apud Archim. de 
helic. propos. 18. 
δ *) Quia propter elem. 4, 43 rectan- 
o gulum yz rectangulo &ovó aequale est, 
rectangulum igitur e8yd aequale est rec- 
7  tangulo απον, id est rectangulo sub 8C 
v  €0, id est sub 82 £» (Co). 
Pappus I. 15 





214 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ A. 


τὸ Η ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ. ἀλλὰ καὶ πρὸς ϑέσειε κύκλου 
περιφερείᾳ δοϑὲν ἄρα τὸ H. 

61 λζ΄. Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. Bero τὸ 
δοϑὲν παραλληλόγραμμμον τὸ ΑΒΓ2, ἡ δὲ δοϑεῖσα εὐθεῖα 
τῷ μεγέϑει ἡ M, καὶ ἴση αὐτῇ ἔστω ἡ 4K, καὶ γεγράφϑω 5 





διὰ μὲν τοῦ 44 περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΒΓ ὑπερβολὴ ἡ 
4HO (ταῦτο γὰρ ἑξῆς ἀποδείξομεν), διὰ δὲ τοῦ K περὶ 
χέντρον τὸ 4l κύχλου περιφέρεια ἡ KH. τέμνουσα τὴν ὕπεερ- 
βολὴν κατὰ τὸ H, καὶ τῇ 4Γ παραλλήλου ἀχϑείσης τῆς 
ΗΖ ἐπεζεύχϑω ἡ ΖΑ͂ λέγω ὅτι ἡ EZ ἴση ἐατὶν τῇ M. 10 

Ἐπεζεύχϑω γὰρ ἡ ΗΖ καὶ τῇ ΚΑ͂ παράλληλος ἤχϑω 
ἡ HA: τὸ ἄρα ὑπὸ ZH.4, τουτέστιν τὸ ὑπὸ BZH, ἴσον 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΖ.Α͂, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΓ I4. ἔσειν dea 
ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς 7 I4 πρὸς JE, οὕτως 
ἡ Γά πρὸς ZH: ἡ ἄρα EA ἴση τῇ ZH: παραλληλόγραμμον 15 
ἄρα τὸ ΖΈΖΗ: ἴση ἄρα ἡ EZ τῇ 4H, τουτέστικ τῇ 4K, 
τουτέστιν τῇ Ἢ | 

62 qn. 4eóetyuévov δὴ τούτου τρέχα τέμνεται à δοϑεῖσα 

γωνία ᾿Εἰϑύγραμμος οὕτως. 

"Eovo γὰρ ὀξεῖα πρότερον ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπό vivot 20 
σημδίου κάϑετος ἡ .4Γ, καὶ συμπληρωϑέντος τοῦ ΓΖ παρ- 


4. ὑπερβολὴν ABS, corr. Co 2. περιφέρεια ABS, corr. Hu auc- 
tore Co 9. xa) τῆς 4T AB, corr. S 9. 40. ris H HZ A? ex τῆς ^Z 
48. ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΔΑ͂ A, τῷ corr. ΒΞ 15. πρὸς ΖΗ A? ex πρὸς «H. 
46. τὸ δεζη B5, τὸ 4E ZH AS 48. 4g add. S 20. γὰρ ὀξεῖα B3, 
γὰρ [|]! ^, γὰρ ..... BiS καὶ ἀπό τινος BS, /// [nó [[vog A 








LIBER IV. PROPÓS. 89. 215 


ad hyperbolam!) ; sed idem etiam ad circuli circumferentiam 
positione datam; ergo punctum ἢ datum est. 

XXXVII. Componetur problema sic. Sit detum paral- 
lelogrammum rectangulum agyó, et magnitudine data recta 
μη et huic, productá αδ, aequalis 511 Ox, et describatur per 
punctum ὃ circa?) asymptotos αβ fy hyperbola δηϑ (hoc 
enim deinceps propos. 99 demoenstrabimus), et per punctum 
x cca centrum ὃ cireult- circumferentia x5 hyperbolam in 
puncto ἡ secans, et. ipsi ὃν parallelà ductà $5, quae pro- 
ductam » in L secet, iungatur Ga rectam yà in puncto & se- 
cs; dico rectam δζ ipsi u aequalem esse. 

lungatur enim 70, et rectae κα parallela ducatur $4; 
est igitur 

Cp: ηλ — βζ. ζη, et propter Apollon. conic. 2, 12 

βζ. ζη — γδ. δα, id est 
"ES -— fy.yÀ; ergo | 
BC: By τε δ: Cy, id est (quia BC: By — aC: ae, e 
dirimendo γζ : By — εζ : αξ — γε: δε, 
et componendo βζ : By Ξε γὸ : δε) 
— y : de; ergo est 

Cy — δε. 

Et sunt. parallelae; ergo parallelogrammum est δεζη; itaque 
el zm 0 -ΞΞ Óx. -— EH. 

XXXVHI. Hoc igitur demonstrato datus angulus recti- Prop. 
| lineus sic tripartito 
secatur. 

Sit enim  pri- 
mum angulus acutus 
ay, et a quolibet 
rectae Bo puncto du- 
catur perpendicula- 
ris oy, et completo 


4) "Ex conversa 12 secundi libri conicerum Apollonii; sequitur enim 
Ui punctum ἡ sit ad hyperbolam eandem, in qua est punctum δ᾽ Co. 
Kt cotif. compositiohem problematis. 

2) Graecum περὶ eodem sensu redit infra propos. 33 et VII propos. 
304. 205. 208, ubi Halleius quoque círca interpretatus est. . Fortasse 
iwrla aptius videri poterat; sed ipsum vocabulum a Graeco scriptore 
eurpatum retinere maluimus. 





18" 


θ8 


64 


65 


276 ΠΑΠΠΟΥ͂ SYNATOTHS A. 


αλληλογράμμου ἡ Z4 ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ E, καὶ παραᾶ- 

ληλογράμμου ὄντος ὀρϑογωνίου τοῦ ΓΖ κείσϑω μεταξὺ. τῶν 

EAT εὐθεῖα ἡ Ed νεύουσα ini τὸ B ἴση τῇ διπλασίᾳ 

τῆς .4B (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι προγέγραπεαι) : 

λέγω δὴ ὅτι τῆς δοϑείσης γωνίας τῆς ὑπὸ ΑΒ] τρέτον 5 

μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ. 

Τετμήσϑω γὰρ ἡ ΕΖΔ δίχα τῷ Η, xai ἐπεζεύχϑω ἡ 4H* 
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΔῊ H.4 ΗΕ ἴσαι εἰσίν" διπλῇ ἄρα ἡ AE 
τῆς Α4Π|. ἀλλὰ καὶ τῆς 4B διπλῆ" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ͂ 
τῇ 44H, καὶ ἡ ὑπὸ 41Β4 γωνία τῇ ὑπὸ 44H. ἡ δὲ ὑπὸ τ΄ 
AHA διπλασία τῆς ὑπὸ EA, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ABI- 
xai ἡ ὑπὸ .4B4f ἄρα διπλῆ ἐστιν τῆς ὑπὸ ABI. καὶ ἐὰν 
τὴν ὑπὸ 4184 δίχα τέμωμεν, ἔσται 7) ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τρίχα 
τετμημένη. 

a à A9'. Ἐὰν δὲ ἡ δοϑεῖσα γωνία ὀρϑὴ 1: 
τυγχάνῃ, ἀπολαβόντες τινὰ τὴν ΒΓ ἰσό- 
πλευρον ἐπ᾽ αὐτῆς γράψομεν τὸ BAT, 
καὶ τὴν ὑπὸ 48ΒΓ γωνίαν δίχα τεμόντες 
ἕξομεν τρίχα τετμημένην τὴν ὑπὸ ABD 

6,[ γωνίαν. x 

μ΄. ἔστω ἰδὲ ἀμβλεῖα 7 γωνία καὶ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρϑὰς 

ἡ B4, καὶ τῆς μὲν ὑπὸ 4ΒΓ τρίτον ἀπειλήφϑω μέρος ἣ 

δ ὑπὸ 48ΒΖ, τῆς δὲ ὑπὸ 4147 

ὄ ὀξείας γωνίας τρίτον ἡ ὑπὸ 


d / EBA (ταῦτα γὰρ ἡμῖν προ-- 25 


ἔ 


δέδεικται)" xoi ὅλης ἃ ἄρα τῆς 
ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τρίτον μέ- 
ρος ἐστὲν ἡ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐὰν δὲ 
4&4 7 τῇ ὑπὸ EBZ ἴσην συστησώμεϑα 

προς ἑκατέραν τῶν ΑΒΓ, τρίχα τεμοῦμεν τὴν δοϑεῖσαν 30 

γωνίαν. 

μα΄. Τὸ δὲ ὑπερτεϑὲν πρόβλημα νῦν ἀναλύσομεν. ϑέσει 
οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ καὶ δοϑέντος σημείου τοῦ 


/Á 





7. ἢ ΔΗ Co pro ] AE . 19. διπλὴ bis scriptum in A, sed prius 
expunctum 48. ὑπὸ .4B4 διχατέμωμεν (sic) ἔσται ἡ ὑπὸ bis scripta 


LIBER ΙΝ. PROPOS. 33. 211 


parallelogrammo αγβζ producatur Ga ad punctum e, quod 
quidem ita sumalur, ut, iunctà fe, segmentum eius δὲ inter 
rectas δὰ «y abscissum aequale sit duplae af? (hoc enim, si 
sit. parallelogrammum rectangulum, velut αγβζ, fieri posse 
superiore problemate demonstratum esti); iam dico dati an- 
guli egy tertiam partem esse angulum sfjy. 

Bifariam enim recta δὲ secetur in puncto ἢ, et iungatur 
«5; aequales igitur inter se sunt rectae δὴ ηὰ ge"), ideo- 
que δὲ — ϑαη. Sed ex consiruciione est δὲ τῷ 9a; ergo 
αβ — on, οἱ [L afó — L ogB. Sed. est [, αηβ — 2 L aeff- 
-— 9[ ófy; ergo etiam [, αβ Ξε 2 4 ὅβγ. taque, si angu- 
lum o0 bifariam secuerimus, angulus αβγΚ erit tripartito 
sectus. 

XXXIX. Sed si datus angulus afjy rectus sii, sumemus 
rectae 8; quodlibet punctum y, et in basi fy aequilaterum 
triangulum βὸγ describemus, et angulo Of» bifariam secto 
habebimus angulum ef» tripartito sectum. 

XL. Sit autem angulus αβγ obtusus, et rectae (jy per- 
pendicularis ducatur 80, et anguli δβγ abscindatur tertia pars 
angulus δβζ, atque item anguli acuti αβὸ tertia pars angulus 
£d — haec enim a nobis supra (XXXIX et XXXVIII) de- 
monstrata sunt — ergo totius «f; anguli tertia pars est an- 
gulus ef. am si angulo εβζ aequalem ad utramque recta- 
rum a 8» constituerimus, datum angulum obtusum tripartito 
secabimus. 

XLI. lam vero problema supra (XXXVII) dilatum sol- Prop. 
vemus!). Duabus rectis αβ Sy, angulum quemvis ad B con- 


Ὦ Nam quia rectus est angulus ó«ec, punctum « est in circum- 
ferentia semicirculi dec, cuius centrum ἡ. (Co.) 


4) Idem problema breviore ratione solvit Apollonius conic. 2 pro- 
Po. 4, neque tamen haec quam Pappus tradit resolutio propria qua- 
dam laude caret. Unus problematis casus, si rectum angulum asymp- 
loti contineant, infra VII propos. 204 tractatur, ubi vide adnot. 1. 


inÀ 45. .46 A! in marg. (S), om. B 48. ὗπο AT γωνίαν AB, 
corr. S 34. u A! in marg. (S), om. B 36. ὅλης Hu auctore Co 
pro 04g 38. 29. ἐὰν δὲ τῇ ὑπὸ EBZ add. Hu. 39. συστησώμεϑα 
A8, στησύόμεϑ. B — 392. μα A! in marg. (S), om, B 


278 ΠΑΠΙΙΟΥ͂ XYNATOTH2 A. 


4 γράψαι διὰ τοῦ 4 περὲ ἀσυμπεώτους τὰς ΑΒΓ ὑπερ- 

βολήν. 

| Γἐγονέτω, xai γεγράφϑω ἡ E4Z , καὶ ἤχϑω ἀπὸ κοῦ 

4 ἐφαπτομένη αὐτῆς ἡ AT, καὶ διάμετρος ἡ HBA, καὶ 

τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ 40. ϑέσει ἄρα αἵ H4 49, καὶ 


IDCM 
BEN 
πὸ 


δοϑὲν τὸ O. καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτωτοέ εἰσιν αἵ ΑΒΓ τῆς 
ὑπερβολῆς, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΓ, ἴση ἄρα ἡ 4 τῇ AT, 
xai τὸ ἀφ᾽ ἑκατέρας αὐτῶν τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ τε- 
τάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΗΔ εἴδουρ᾽ ταῦτα γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ 
τῶν κωνικῶν ἀποδέδεικται. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΓΔΑ, τῇ 444,10 
ἴση καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ͂. καὶ δοϑεῖσα ἡ BO* δοϑεῖσα ἄρα 
χαὶ ἡ ΘΑ͂. καὶ δοϑὲν τὸ Θ' δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ 2d: ϑέσει 
ἄρα ἡ -44l. καὶ δοθεῖσα τῷ μεγέϑει ἡ “Γ, dore καὶ 
τὸ ἀπὸ ΑΓ δοϑέν ἐστιν. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ πρὸς τῇ ΗΖ 
εἴδει" δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ πρὸς τῇ H4 εἶδος. καὶ δοϑεῖσα 15 
n H4 (διπλῇ γάρ ἔστιν τῆς B4 τῷ μεγέϑει δεδομένης διὰ 
τὸ δοϑὲν ἑχάτερον εἶναι τῶν B 4): δοϑεῖσα ἄρα καὶ ἢ 
ὀρϑία τοῦ εἴδους πλευρά. γέγονεν δὴ πρόβλημα τοιοῦτον" 
ϑέσει καὶ μεγέϑει δύο δοθεισῶν εὐϑειῶν τῆς τὸ H^f καὶ 
τῆς ὀρϑίας γράψαι περὶ διάμετρον τὴν ΗΔ ὑπερβολήν, ἧς 20 


3. ἀπὸ) διὰ voluit Co (at Graecus scriptor hoc significasse videtur: 


LIBER IV. PROPOS. 38. 279 


ünentibus?) , positione datis, datoque puncto ὃ, describatur 
per δ hyperbola cirea asymptotos of) f». 

Factum iam si et sit descripta hyperbola εὃζ, et duca- 
tur per punctum ὃ tangens eam recta αὖγ, et diametrus ηβὸ, 
et recíae f» parallela 09. — Ergo rectae ηὃ ó3 positione da- 
iae sunt (dot. 26. 28), eti datum punctum 2 (dat. 35). Et 
quoniam sunt rectae αβ 8; asymptoti hyperbolae, et tangens 
recta «y, aequales igitur sunt rectae αὖ óy, et id quod ab 
utraque fit quadratum aequale est quartae parti figurae ad 
diametrum ηὃ constitulae (haec enim ab Apollonio secundi 
conicorum libri propositione ὅ demonstrata sunt). lam quia 
est γὃ — δα, propler parallelas γβ 09 est etiam 89 — ϑα. 
Et data est βϑ; ergo etiam, Ja data est (dat. 2). Et datum 
est punctum 2; ergo etiam « datum est (dai. 27); itaque 
recta αὖ positione ac magnitudine data est (dat. 26), item- 
que «y (quia αὖ Ξε óy). Ergo etiam quadratum ab «y da- 
tum est (dat. 52), et est aequale figurae ad ηδ constitutae?) ; 
ergo haec quoque figura data est. Et magnitudine data est 
recta nÓ (est enim dupla 80, quae propter dat. 26 magni- 
tudine data est, quia utrumque punctorum f ὃ positione da- 
Qm); ergo etiam rectum figurae latus (sive parametrus) da- 
tum est (dat. 57). ltque problema huc reductum est: po- 
ione et maguitudine rectis 79 eV alterá, quae rectum latus 
focabur , datis, cirea diametrum *ó describatur hyperbola, 


3) Haec addita sunt ex Apollonii 1. c.: "Eoreo«v dio εὐθεῖαι αἱ 
4B 4{ τυχοῦσαν γωνέαν περιέχουσαι τὴν πρὸς τῷ .4. 


3) Τὸ πρὸς τῇ H4 εἶδος dicitar rectangulum quod diametro s et 
perametro x continetur. Conf. Apollon. conic. 2 propos. & et ipsum 
Pappum: infra Vll propos. 304, ac vide proximam adnot. 


à puncto d. in utramque parlem ducalur langens δα dy) 5. αἱ ΗΔ 40 
AB$, corr. Co 44. x«l ἡ ΘΑ A? in rasura (pro καὶ ΘΑ͂, ut videtur) 
13. xal (ante δοθεῖσα: add. Hw auctore Co 44. τὸ ἀπὸ AT" Co, τὸ 
I4 M*S, τὸ dy B cod. Co 4148. 47. δεδομενὴε διὰ δοϑὲν A, δεδομένῃ 
(ià do9ày BS, corr. Hu auctore Co — 17. τῶν B4 AS, distinx. B 


280 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ A. 


2 tet , P4 € * 3 ^ 4 c ; 
παρ᾽ nv δύνανται ἔσται ἡ λοιπὴ εὐϑεῖα, καὶ at xosayó- 
, 4 N s A » , 

μεναι τεταγμένως ἐπὶ τὴν Hz παραλληλοι ἔσονται ϑέσει 
τινὶ εὐθείᾳ τῇ ΑΑΓ. τοῦτο δὲ ἀναλέλυται ἐν τῷ πρώτῳ 
τῶν χκωνιχῶν. 

66 υβ΄. Συνταϑήσεται δὴ οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν τῇ ϑέσει ὃ 
δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοϑὲν. σημεῖον τὸ A, 





xci τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἤχϑω ἡ 4O, τῇ δὲ BO ἴση 
ἡ ΘΑ͂, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα 7) 244 ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ T, 
ἐπιζευχϑεῖσα δὲ καὶ 5 B4 ἐκβεβλήσϑω καὶ τῇ B4 ἴση 
κείσϑω ἡ BH, xai τῷ ἀπὸ τῆς 41 ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς 10 
HA καὶ ἑτέρας τινὸς τῆς K, καὶ περὶ διάμετρον τὴν H4 
καὶ ὀρϑίαν τὴν K γεγράφϑω ὑπερβολὴ ἡ EA4Z, ὥστε τὰς 
καταγομένας ἐπὶ τὴν ΗΔ παραλλήλους εἶναι τῇ “7 Γ᾿ ἡ 
ἄρα ΑΓ ἐφάπτεται τῆς τομῆς. καὶ ἔστιν ἡ ΑΔ τῇ 4Γ 
ἴση (ἐπεὶ καὶ ἡ BO τῇ ΘΑ͂], καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἀφ᾽ 15 
ἑχατέρας τῶν «44 4Γ τέταρτόν ἐστι τοῦ πρὸς τῇ ΗΖ εἴ- 
óovg: at ἄρα ΑΒΓ ἀσὐμπτωτοὶ εἰσι τῆς EA4Z ὑπερβολῆς" 
γέγραπται ἄρα διὰ τοῦ 4 περὶ τὰς δοϑείσας εὐϑείας 
ἀσυμπτώτους ὑπερβολή. 

67 My. Καὶ ἄλλως τῆς δοθείσης περιφερείας τὸ τρίτον 20 
ἀφαιρεῖται μέρος, χωρὶς τῆς νεύσεως, διὰ στερεοῦ τόπου 
τοιούτου. 


LIBER 1V. PROPOS. 34. 281 


cuius recta ad quam quadrata applicantur erit altera illa 
quam diximus, et eae quae ordinatim ad 79 deducuntur paral- 
lelae erunt rectae cuidam positione datae, scilicel αγ ἢ). Hoc 
autem solutum est primi conicorum libri propositione δᾶ. 


XLII. Componetur hoc modo. Sint rectae positione da- 
tae αβ By, et datum punctum ó, et ipsi 8» parallela ducatur 
09, et ponatur ϑὰ τῷ 89, et iuncta ad producatur ad γ, at- 
que item iuncta δβ producatur, ipsique dB aequalis ponatur 
f», et quadrato ab ey aequale sit rectangulum quod recta 
10 et altera quadam x continetur, et circa diametrum ηδ et 
rectum latus (sive parametrum) x describatur hyperbola εξ, 
iia ut eae quae ordinatim deducuntur ad $Ó ipsi ay paral- 
lelae sint; ergo recta «7 con? sectionem tangit (conic. 4, 32). 
Et est αὖ Ξε ὃγ (propter parallelas 09: yB, quia αϑ Ξε 9f), 
alque apparet quadratum ab utraque rectarum αὖ óy quar- 
tam partem esse figurae quae est ad $0 **); ergo rectae of 
By asymptoti sunt hyperbolae δὖζ (conic. 2, 14. 2); itaque 
per punctum Ó circa datas rectas asymptotos hyperbola de- 
Scripta est. 


XLIIL Aliter datae circumferentiae teriia pars, non Prop. 
adsumpta inclinatione, abscinditur per huiusmodi locum so- à 
lidum. | 


* Horum verborum explicatio cum ex omni Apollonii conicorum 
ope tum e libri primi propos. 12 et 58 pendet. Capita doctrinae 
AÁpollonianae breviter ac luculenter exponit Chasles, Aperqu etc. p. 45 sq. 
* Versionis German. 


**) Quoniam ex construclione est «y? — κ' ηδ, el «d — dy — ἔ αγ, 
est igitur ad? — dj? — 1«y?2 — 1x-5J. Rectangulum autem quod rec- 
lis x ηδ continetur ipsa est figura quae supra "ad d^ (τὸ πρὸς τῇ ΗΔ 
εἶδος) dicitur (adnot. 3). 





4. δύνανται AB, δύναται S ἡ λοιπὴ] ἡ K coni. Co (at conf. 
ἑτέρας τινὸς cap. 66 et παρὰ τὴν ἑτέραν εὐθεῖαν Apollon. conic. 4, 53) 
5. μβ add. S 44. 42. xol περὶ διάμετρον τὴν HA καὶ ὀρϑέαν τῆ 
&dd. A? in marg. (BS); post τῇ in A una littera periit margine folii 
decurtato, itaque lacuna in S, « autem interpolavit B, τὴν K corr. Co 
30. μΓ A! in marg. (BS) 


282 HAIHHOY XEYNATQTHZ A. 


Θέσει ἡ διὰ τῶν ΑἹ D, καὶ ἀπὸ δοϑένεων ἐπ᾽ αὐεῆς 
τῶν 41 D κεχλάσϑω ἡ ΑΒΓ διπλασίαν ποιοῦσα τὴν ὑπὸ 
ΑΓΒ γωνίαν efc ὑπὸ ΓΑΒ: 
ὅτε τὸ Βὶ πρὸς ὑπερβολῇ. 

Ἤχϑω κάϑετος ἡ B4, καὶ 
/ τῇ ΓΖ ἴση ἀπειλήφϑω ἡ 4E: 
/ N ἐπιζευχϑεῖσα ἄρα ἡ ΒΕ ἴση 

| 
[ON 





ἔσται τῇ 4E. κχείσϑω xai τῇ 
AE ἴση ἣ EZ: τριπλασία ἄρα 
ἡ LZ τῆς L4. ἔστω καὶ ἡ 10 
AT τῆς ΓΗ͂ τριπλασία" ἔσται 
δὴ δοϑὲν τὸ H, καὶ λοιπὴ 
ἣ .4Z τῆς H4 τριπλασία. xai ἐπεὶ τῶν ἀπὸ BE ΕΖ 
ὑπεροχή ἔστιν τὸ ἀπὸ ΒΔ, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ dud .4Ζ 
τῶν αὐτῶν ὑπεροχή, ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ 4.412, τουτέστεν 15 
τὸ τρὶς ὑπὸ 44H, ἴσον τῷ ἀπὸ Β4᾽ πρὸς ὑπερβολῇ ἄρα 
τὸ B, ἧς πλαγέα μὲν τοῦ πρὸς ἄξονι εἴδους ἡ ΑΗ, ἡ δὲ 
ὀρϑία τριπλασία τῆς 41ὋΠ. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον 
ἀπολαμβάνει. πρὸς τῇ Η κορυφῇ τῆς τομῆς τὴν ΓΗ͂ ἡμί- 
σειαν τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς τῆς 4H. 20 


La dc 
& 5. 6€750 y 


Καὶ ἡ σύνϑεσις φανερά" δεήσει yàg τὴν 4T τεμεῖν 
ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΗΓ, καὶ περὶ ἄξονα 
τὸν 4H. γράψαι διὰ τοῦ Η ὑπερβολήν, ἧς ὀρϑία τοῦ εἴδους 
πλευρὰ τριπλασία τῆς ΑΗ, καὶ δειχνύναι ποιοῦσαν αὐτὴν 
τὸν εἰρημένον διπλάσιον λόγον τῶν γωνιῶν. καὶ ὅτι τῆς 25 
δοϑείσης κύχλου περιφερείας τὸ y' ἀποτέμνει μέρος ἡ τοῦ- 


4. τῶν 4Γ AB!, distinx. B? (vel B5) S ἐπ᾿ Hu auctore Co pro 
ἀπ᾿ 3. τῶν 4Γ AS, distinx. B ποιοῦσαν AS, corr. B 2. 3. τὴν 
ὑπὸ ἽΓΒ Co pro τὴν ὑπὸ 4ΒΓ 4. προσυπερβολὴη À, πρὸς ὑπερ- 
βολὴν B, corr. S 40. ἔστω] χεέσϑω coni. Hu 48. 44. τῶν pro 
τὸ corr. et τὸ ἀπὸ BA add. Co 45. ἄρα Hu pro ἔσον 46. τρὶς 
ὑπὸ 44H Co pro τρὶς ὑπὸ 44H προσυπερβολή AB, oorr. S 
49. τὴν ΓΗ͂ om. 8 44. δεικνύναι Hu pro δεέκνυται 25. τῶν 
γωνεῶν om. S 26. τὸ Γ' ἀποτέμνειν ABS, corr. Hu auctore Co 


ἡ B, 55,58 


LIBER 1V. PROPOS. 34. 283 


Positione data sit recta ay, et a datis in ea punctis « γ 
inflectatur «dy, quae angulum «yf duplum anguli ye efti- 
ciat!) ; dico punctum β esse ad hyperbolam?). 

Ducatur perpendicularis 8ó, et ipsi yó aequalis abscin- 
datur δὲ; ergo iunctà fe erit [ Bey τῷ L βγα z 2 L yaf 
(ez hypothesi). Sed est etiam L Bey — L yaf 4- L afle; ergo 
L yag τ L ofla, itaque erit 8& — oe.  Ponatur etiam εζ — δὲ; 
ergo es( yd τῷ ᾧ γζ. Sed ponatur etiam yy — (ay (elem. 
6, 9); ergo datum erit punctum * (dat. 2. 27), et erit 
yy — yÀ τῷ 1 (ey — 7C), id est ηὃδ — ὁ oC. Εἰ quia est 

pe? — ei τε à? P enim 80? — 6e? — s0?, οἱ εὖ — 
€ et 

ge? — s?  da.ot p enim propter elem. 2, 6 δα" aC 

Ξε ἀξ — &, οἱ, ut demonstravi- 
mus, «6 zx fe), est igitur 
δα. oL — βὸΣ, id Fá (quia demonstravimus esse αἷ —— 


Ó 
3 αδ. δὴ — gà». . | 


Ergo punctum 6 est ad hyperbolam, cuius transversum latus 
figurae ad axem constitutae est am, rectum autem latus triplo 
maius quam c5"). Et apparet rectam γῇ, quae inter punc- 
tum 7 et coni sectionis verticem ἢ abscinditur, dimidiam par- 
lem esse transversi figurae lateris «m. 

Et compositio manifesta est. Oportebit enim rectam ay 
ita secare, ut o* duplo maior sit quam vy, et circa axem «m 
per punctum 7 describere hyperbolam, cuius rectum figurae 
laus sit triplo maius quam «7, et demonstrere eam efficere 
duplam quam diximus angulorum proportionem. Atque hy- 
perbolam hac ratione descriptam abscindere tertiam datae 

4) 1d est, punctum 8 ita sumatur, ut trianguli «gy angulus «yg 
duplus sit alterius qui est ad basim. Sed angulus «yg aut acutus est, 


ui in hac demonstratione ac figura scriptor supponit, aut rectus, aut 
Obtusus, quibus de casibus vide append. 


3) Significal scriptor, quotcunque puncta 8 hoc modo sumantur, 
68 omnia esse ad eam hyperbolam quam postea ipse describit. 


*) "Cum enim rectangulum δα" αζ, hoc est quadratum ex 80, tri- 
pum sit rectanguli «d *dy, habebit quadratum ex £d ad rectangulum 
αὖ. δὴ proportionem eandem quam figurae rectum latus ad transversum, 
quere ex conversa 21. primi libri conicorum punctum f in hyperbola 
erit" Co. Εἰ conf. p. 284 adnot. * 


284 IIAHHOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


τον γραφομένη τὸν τρόπον ὑπερβολὴ συνιδεῖν δάδιον τῶν 
-4 Γ σημείων περάτων τῆς περιφερείας ὑποχδιμένων. 


68 — aud. Ἑιέρως. δὲ τὴν ἀνάλυσιν τοῦ ζοίχα τεμεῖν τὴν 
γωνίαν ἢ περιφέρειαν ἐξέϑεντό τινὲς ἄνευ τῆς νεύσεως. 
ἔστω δὲ ἐπὶ περιφερείας ὁ λόγος" οὐδὲν γὰρ διαφέρει γω- 5 
γίαν ἢ περιφέρειαν τεμεῖν. 

Γ. ἐγονέτω δή, xai τῆς ΑΒΓ περιφερείας τρέτον ἄτεει- 
λήφϑω μέρος ἡ BD, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἵ .4B ΒΓ F4: 
διπλασίων ἄρα ἣ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΒΑ͂Γ. τετμήσϑω 
δίχα ἡ ὑπὸ 4L B τῇ L4, καὶ κάϑετοι ot 4E ZB* ἴση ἄρα 10 
j 44 τῇ 4Γ, ὥστε καὶ ἡ «4 τῇ ED: δοϑὲν ἄρα τὸ E. 
&vei οὖν ἐστιν ὡς ἣ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ 44 πρὸς 48, 
τουτέστιν ἣ 4E πρὸς EZ, καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ͂ 
πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ. διπλὴ δὲ ἡ ΓΑ͂ τῇ .4E- διπλὴ 
ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς EZ: τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ, 1 
τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἐπεὶ οὖν 
δύο δοθέντα ἐστὶν τὰ E D, xoi ὀρϑὴ ἡ ΒΖ, καὶ λόγος 
ἐστὶν τοῦ ἀπὸ EZ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τὸ Β ἄρα πρὸς 
ὑπερβολῇ. ἀλλὰ καὶ πρὸς ϑέσει περιφερείᾳ" δοϑὲν ἄρα 
τὸ Β. καὶ ἡ σύνϑεσις φανερά. 


69 ue. Τὸ μὲν οὖν τὴν δοϑεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν τρίχα 
τεμεῖν στερεόν ἐστιν, ὡς προδέδεικται, τὸ δὲ τὴν δοϑεῖσαν 
γωνίαν ἢ περιφέρειαν εἰς τὸν δοϑέντα λόγον τεμεῖν γραμ- 
μικόν ἐστιν χαὶ δέδειχται μὲν ὑπὸ τῶν νδωτέρων, γραφή- 
σεται δὲ καὶ ὑφ᾽ ἡμῶν διχῶς. 


4. συνειδεεν À, corr. BS 4. 2. τῶν AT Δ, distinx. BS 8. u4 
A! in marg. (BS) 5. οὐδὲν Hu auctore Co pro οὐδὲ 8. post e£ 
AB ΒΓ add. μέρος ἡ ΒΓ ABS, del. Co 9. ἄρα ἡ 418. ΑΒ8, ἄρα ἡ 
αβγ B!, corr. S 40. αἱ 4EZB A, distinx. ΒΒ 44. ἡ 44 τῆς AS, τῇ 
corr. S 415. ἡ ΒΓ (ante τῆς EZ) Co pro? B 47. τὰ ET AB!S, 
distinx. B3 (vel B2) 48. 49. προσυπερβολὴ À, acc. gravem add. B, 
corr. S 49. xal τὰ προσϑέσει περιφερεέαις ABS, corr. Hu auctore 
Co 34. μὲ A! in marg. (BS) 38. ἡ περιφερεια Al, ἢ περι- 
φερέιαν corr. recentior manus (diversa, ut videtur, ab Α2), ἢ περι- 
φέρειαν BS 





"LIBER IV. PROPOS. 35. 285 


circuli circumferentiae . partem facile intellegitur, siquidem 
puncta « y termini cireumferentiae supponuntur ?). 

XLIV. Alia ratione nonnulli resolutionem problematis de 
Wipartita anguli vel circumferentiae sectione exposuerunt sine 
inclinatione. Sit autem in circumferentia proportio; nihil 
enim differt, angulumne an circumferentiam secemus. 
| Factum iam sit, et 
circumferentiae of» tertia 
pars fy sit abscissa, et 
iungantur rectae af? By γα; 
ergo est 4 αγβ — 9 [ Bay. 
Bifariam secetur angulus 
αγβ rectà yd, et ducantur 
perpendiculares de 80; est igitur «À — ὁγ ἢ, itaque etiam 
&e — 6&y; ergo datum est punctum 8 (dat. 7. 27). Fam quia 
esi ay : γβ — aÀ : 0f (elem. 6, 5) — a&: eC, vicissim igitur 
est ay : ἂξ Ξε yf : eL. Sed est oy — 26; ergo etiam yg — 
$505, . ideoque yg? — 4 εζ3, id est BL? -- Cy? — & εἴ, Tam 
quia data sunt duo puncta & y, et perpendicularis ducta est 
B6, et data*) est proportio e£? : 8C? -- Cy?, punctum igitur f 
esi ad hyperbolam*;. Sed idem est ad circumferentiam po- 
sitione datam; ergo datum est punctum f. Et compositio 
manifesta est. 

XLV. Datum quidem angulum vel circumferentiam tri- Prop. 
partito secare solidum est, ut demonstravimus; at datum an- 
£ulum vel circumferentiam secare in datam proportionem li- 
neare est, idque demonstratum a recentioribus; sed a nobis 
quoque duabus rationibus ostendetur. 





3) Latius problematis compositionem persequitur Commandinus; 
praeterea multa hoc loco addi possunt, quae ad omne τόπων στερεῶν 
genus pertineant. 

**") "Quia anguli dey dy« sunt aequales" V2, 

4) Est scilicet e£? : 87? -- 0y? 2 4: 4, ut statim demonstratum est. 

5) "Demonstratur hoc a Pappo ad finem septimi libri propositione 


197" Co; nihilo tamen minus idem interpres suo ingenio aliam et re- 
solutionem et compositionem problematis apposuit. 


986 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Δ. 


70 ἜἌἜστω γὰρ κύκλου τοῦ Κι141Θ περιφέρεια ἡ 216, καὶ 
δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν εἰς δοϑέντα λόγον. 
. Ἐπὲ τὸ κόνερον at .4BO, 
καὶ τῇ ΒΘ πρὸς ópJag ἡ BK, 
. καὶ διὰ τοῦ K. γεγράφϑω 5 
 τετραγωνίζονσα γραμμὴ ἡ 
ΚΑΖΓ, καὶ κάϑετος ἀχϑεῖσα 
? .4E τεεμήσϑω κατὰ τὸ Z, 
ὥστε εἶναι ὡς τὴν J4Z πρὸς 
ΖΕ, οὕτως τὸν δοϑέντα λόγον 10 
εἰς ὃν διελεῖν ϑέλομεν τὴν γω- 
via», καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλ- 
ληλος ἡ Z4, ἐπεζεύχϑω δὲ ἡ B4, καὶ κάϑετος ἡ ΔΉ. 
ἐπδὶ οὖν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστεν ὡς 7 AE 
πρὸς ΔΉ, τουτέσειν πρὸς ΖΕ, ἢ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία πρὸς 15 
τὴν ὑπὸ ABD, διδλόνει ἄρα ἐσεὶν ὡς ἡ “42 πρὸς ΖΕ, 
τουτέστιν ὡς ὃ δοϑεὶς λόγος, οὕτως $ ἀπὸ Α(Β4 γωνία 
πρὸς τὴν ὑπὸ ABI, τουτέστιν 1) 41M περιφέρεια πρὸς MO. 
71 μς΄. Ἑτέρως δὲ τέμνεται χύχλου τοῦ ΑΗΓ ἡ T περι- 
φέρεια. ὁμοίως ἐπεὶ τὸ χένερον at .4BI', καὶ γεγράφϑω 9 
διὰ τοῦ B ἕλιξ ἡ BZAV, ἧς ἡ ἐν 
τῇ γενέσει εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ τῷ. 
δοθέντι λόγῳ ὃ αὐτὸς ἔστω Ó τῆς 
4Ε πρὸς EB, καὶ διὰ τοῦ E περὶ 
χόντρον τὸ B κύκλου περιφέρεια ἢ 3: 
ΕΖ τέμνουσα τὴν ἕλεκα κατὰ τὸ Z, 
καὶ ἐπιζευχϑεῖσα 7 BZ. ἐχβεβλή- 
σθϑω ἐπὶ τὸ ΗΓ ἔστιν ἄρα διὰ τὴν 
ἕλικα ὡς ἡ 4B πρὸς ΒΖ, τουτέστιν 
πρὸς ΒΕ, οὕτως ἢ ΑΓ περιφόρεια πρὸς ΓΗ͂, xoà διε- 3t 
λόνετι ὡς ἡ 4E πρὸς ΕΒ, οὕτως ἢ «4 ποριφέρϑεα τυρὸς 


— 








6. τετραγωνέζουσα Al ex τετραγωνονουσα —— 7. ΚΑ AT À, coniunx. 


'BS 48. πρὸς τῆι ὑπὸ 4BT ABS, corr. Hu 49. us A! in marg. 
(BS) κύκλου add. Hw auctore Co 41. διὰ τοῦ ΒῚ ἀπὸ τοῦ B coni. 
Hu collato cap. 84 ἕλιξ ἡ paene evanuerunt in A, itaque Xie 


omissum in cod. Co, δεὰ τοῦ * x» ἡ Bl, corr. B3S BZAF| ΖΞ Ar 


LIBER 1V. PROPOS. 88. | 287 


Sk enim circuli x49: circumferentia 49, quam im datam 
propertiohem secare oporteat. 

Ad centrum circuli ducantwr rectae AB 98, et ipsi 98 
perpendicularis 8x, et per punctum x describatur linea qua- 
dratrix καὸγ rectam BÀ in puncto a secans!), et ducta per- 
pendicularis «e in puncto ζ ita secetur, ut proportio a£: ζε 
aequalis sit datae proportioni, in quam angulum secare vo- 
lumus, et rectae 8» parallela ducatur bó, et iuncta β pro- 
ducatur ad p. punctum  circumferentiae, et ducatur perpen- - 
dicularis dg. Iam quia propter proprietatem lineae quadra- 
tricis est ut «& ad δη, id est ad Ge, ita angulus «fly ad an- 
gulum dy"), dirimendo igitur est ut αζ ad &e, id est ut 
data proportio, ita angulus αβ ad angulum ófly, id est cir- 
cumferentia Ap ad μϑ. 

XLVI. Aliter autem circuli «ny circumferentia «y seca- 
tur hoc modo?). 

Similiter ad eentrum ducantur rectae eg γβ, et ab àni- 

&o f describatur helix βζδγ, cuius genetrix sit recta gy **), 
et datae proportioni aequalis sit de : ef, et per punctum e& 
Circa centrum 6 describatur circuli circumferentia δζ helicem 
in f secans, et iuncta 8j producatur ad y punctum circum- 
f'ereniiae circuli yay; est igitur propter helicis proprietatem 
Ut recta δβ ad 85, id est ad fs, ita circumferentia yy« ad 
7 ἢ, et dirimendo ut δὲ ad efl, ita circumferentia az ad 


4) Tacite igitur scriptor supponit datam circumferentiam minorem 
esse eireuli quadrante. 

.  *) Bx huias libri cap. 45 (XXX) exir. efficitur esse ut cireumferen- 
lias x9. : 49: : n9, ita rectas x8: «6: δὴ; ergo propter elem. 6, 33 est 
κε: δὴ τὸ [ 480 : [ μβϑ. 

4) Conf. Klügel, Mathematisches Würterbuch vol. IV p. 449. 

, ?**) Conf. sapra cap. 84, uade apparet hoc loco τὴν ἐν τῇ γενέσει 
ευϑεῖαν, quam nos breviter genetricem diximus, eandem esse atque 
illam ἀρχὴν τῆς περιφορᾶς. 

.  *** Hoc ipsum demonstrat Archimedes de helic. propos. 44; sed 
idem etiam ex huius libri propos. 49 sine negotio efficitur. 





À (B? et, ut. videtur, cod. Co), ««dy B!, corr. S (Ὁ 23. ἔσται AB, 
eorr. S 29. ὡς 3 .4B AB cod. Co, corr. S Co 30. ἡ 4HT' Co 
pro ἡ 4r 


288 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ a. 


ΗΓ. ὁ δὲ πῆς AE πρὸς ΕΒ λόγος ἐσεὶν ὃ αὐτὸς τῷ δο- 
Sévr.* καὶ ὃ τῆς 4H ἄρα περιφερείας πρὸς τὴν ΗΓ λόγος 
ὃ αὐτός ἐστιν τῷ δοϑέντι" τέτμηται ἄρα: — 


72 μζ΄. "Ex δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατόν ἔστιν ἀπὸ δύο 
χύκλων ἀνίσων ἴσας περιφερείας ἀφελεῖν. ὃ 





Γεγονέτω γάρ, καὶ ἀφῃρήσϑωσαν ἴσαι ἀΐ .4HB ΓΘΖ, 
ἔστω δὲ μείζων ὃ περὶ κέντρον τὸ Ε' μείζων ἄρα ἡ ὅμοία 
τῇ ΓΘΩ͂ τῆς ΗΒ. ἔστω οὖν τῇ AHB ὁμοία ἣ ΓΘ’ λόγος . 
ἄρα ὃ τῆς 4HB πρὸς ΓΘ δοϑείς" ὁ γὰρ αὐτός ἔστιν ταῖς 
ὅλαις τῶν xÜxÀcv περιφερείαις ἢ ταῖς τῶν κύκλων διαμέ- 10 
τροις. ἴση δὲ ἡ .J4HB τῇ DLO4: λόγος ἄρα δοϑεὶς καὶ 
τῆς DO4 πρὸς τὴν ΓΘ. καὶ διελόντι. γέγονεν οὖν τέμνειν 
τὴν ΓΘΖ περιφέρειαν εἰς δοϑέντα λόγον κατὰ τὸ Θ' τοῦτο 
δὲ προγέγραπται. 
; 


73 ux. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστύσασϑαι ἔχον ἑχατέραν 15 
τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν δοϑέντα πρὸς 
τὴν λοιπήν. 


Γεγονέτω, καὶ συνεστάτω τὸ «ΑΒΓ, καὶ περὶ i κέντρον 
τὸ B διὰ τῶν .4 D κύκλος γεγράφϑω ὃ ΑΓ, καὶ ἐκβε- 


&. μὲ A! in marg. (BS) 7. ἡ ὅμοια A (ἡ prima m. super vs.), 

5 ὁμοία BS 8Β. τῇ 84 τῆς AHB Hu auctore Co pro 84 τῆι .4HB 

οὖν yv τῇ Hu, συντῆι A, σὺν τῇ B cod. Co, τῇ S Co 15. md add. 

B, un S συστήσας AB cod. Co, corr. 8 (συστῆσαι Co) 48. τὸ 
(ante ABT, BS, 0 À 49. τῶν ΑΓ A, distinx. BS 





. LIBER IV. PROPOS. 86. 37. 289 


7). Sed proportio δὲ: εβ aequalis est datae; ergo etiam 
cirrumferentiae αἡ ad $y proportio aequalis est datae; ita- 
que Secta est circumferentia in. datam proportionem. 
XLVII. Hinc manifestum est fieri posse, ut a duobus Prop. 
circulis inaequalibus aequales circumferentiae abscindantur. 
Factum enim sit, et abscissae sint aequales circumferen- 
tiae «κηβ 730; sit autem maior circulus ef, cuius centrum &; 
ergo quae ipsi »JÓ similis est circumferentia maior est quam 
αηβ. lam sit circumferentiae eng similis γϑ; ergo proportio 
cirrumferentiae «78 ad γϑ' data est, quippe quae eadem sit 
a6 proportio totarum utriusque circuli circeumferentiarum sive 
diametrorum ἢ. Sed ex hypothesi circumferentiae ang y9ó 
inter se aequales sunt; ergo etiam proportio circumferentiae 
790 ad ;9: data est. Et dirimendo data est proportio circum- 
ferentiae 09: ad 9; ergo problema eo reductum est, ut cir- 
cumferentiam γϑὺ in datam proportionem in puncto 9 sece- 
mus, id quod superiore propositione demonstratum est. 
Componetur sic. Sit minoris circuli centrum 0C, et pona- 
lur ax — yL, atque circumferentiae. γϑὸ aequalem $n circulo 
αηβ abscindere oporteat. —Secetur circumferentia δϑγ in pro- 
portionem αδ — γζ : γζ, id est εκ : xa, et circumferentiae y9 
similis abscindatur. circumferentia. ay; haec igitur ipsi γϑὸ 
aequalis erit?). 
XLVIII. Aequicrure triangulum constituatur, cuius uter- Prop. 
que ad basim angulus ad reliquum habeat datam proportionem. 37 
Factum iam sit, et constitutum sit triangulum of, et 
circa centrum f per « y describatur circulus «yd, et produ- 
4) Similes inaéequalium circulorum arcüs in eadem proportione esse 
ac iotas circumferentias Graecus scriptor effici voluit ex elem. 5, 45; 
nimirum arcus, quibus aequales anguli insistunt, sunt eaedem totarum 
circumferentiarum partes etc. Circulorum autem circumferentias inter se 
esse ut diametros (itaque etiam ut semidiametros, ut est in composi- 


tione huius problematis, itemque IV propos. 26 et 39) in hac Pappi 
collectione demonstratum invenitur V propos. 11 et VIII propos. 22. 


2) Haec addenda esse censuimus, quo facilius verba, quae sub finem 
analyseos Graecus scriptor posuit, intellegerentur. Paulo latius eadem 
explicat Co. 

Pappus I. 19 


290 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ A. 


βλήσϑω ἡ .4B ini τὸ 4, καὶ ἐπεζεύχϑω d) 4Γ. ἐπεὶ οὖν 
λόγος ἐστὶν δοϑεὶς τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑ͂Β γωνίας πρὸς τὴν 
ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, καὶ ἔστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἣ πρὸς 
τῷ 4, λόγος ἄρα δοϑεὶς καὶ τῆς ὑπὸ ΓΑ͂ΖΔ γωνίας πρὸς 
τὴν ὑπὸ 44Γ, ὥστε καὶ τῆς AT περιφερείας πρὸς τὴν AT 5 
λόγος. ἐπεὶ οὖν ἡ 4Γ4ά4 περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλέου εἰς 
δοϑέντα λόγον τέτμηται, δοϑέν ἔστιν τὸ Γ, καὶ δοϑὲν τῷ 
εἴδει τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. e 
Συντεϑήσεται δὲ οὕτως. ἔστω γὰρ ὁ δοϑεὶς λόγος, 

ὃν ἔδει ἔχειν ἑχατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν πρὸς τὴν 10 
λοιπήν, ὁ τῆς ΕΖ πρὸς ZH, καὶ τετμήσϑω ἡ ΖΗ δίχα 
τῷ Θ, καὶ ἐκκείσϑω κύκλος ὁ 424Γ περὶ κέντρον τὸ B καὶ 
διάμετρον τὴν 44, καὶ τετμήσθω ἡ .4Γ2 περιφέρεια κατὰ 
τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν AT περιφέρειαν πρὸς τὴν ΓΑ͂, 
οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ΖΘ (τοῦτο γὰρ προγέγραπται, καὶ 15 
χαϑόλου πῶς ἡ δοθεῖσα περιφέρεια εἰς δοϑέντα λόγον 
τέμνεται), καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἵ ΒΓ ΓΑ͂ D4. ἐπεὶ οὖν 
ἔστιν ὡς 7) 4Γ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ͂, τουτέστιν ὡς ἣ 
ὑπὸ 4.4 γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ 447, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ, 
xai τὰ διπλάσια τῶν ἑπομένων, ὡς ἄρα 7) ὑπὸ ΓΑ͂Β πρὸς 20 
τὴν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ZH: ἰσοσχελὲς ἄρα τρί- 
γωνον συνέσταται τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει 
γωνιῶν λόγον ἔχουσαν τὸν δοϑέντα πρὸς τὴν λοιπήν. 

74 υϑ΄. Δεδειγμένου δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατὸν ἐγ-᾿ 
γράψαι πολύγωνον εἰς κύκλον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον 25 
πλευρὰς ἔχον ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ. 


4. ἡ 44 ἐπὶ τὸ AB cod. Co, corr. 5 Ὁ 92. τῆς ὑπὸ τῶν 48 AB 
cod. Co, corr. S Co 3. τῶν Co pro τὴν τῆς ὑπὸ MB ημίσεια A. (B 
cod. Co), corr. S Co 171. δοϑέν ἔστιν τὸ ΓῚ ἔστιν non perspicuum, τὸ 
I' paene evanidum in A extremo folio (τὸ P om. B! cod. Co, restit. B3S 
Co), δοϑεῖσαί εἶσιν αἱ πρὸς τῷ B γωγίαι coni. Hu (vide Latina) 45. xai 
— 41. τέμνεται interpolatoti tribuit Hu 48. ἡ 4T paene evanuit in A, 
cy B, restituit S ἡ (ante ὑπὸ 4.1Γ) om. AS,.add. B 49. πρὸς 
ΖΘ om. AB cod. Co, add. S Co 20. ἡ ὑπὸ I'AB paene evanuerunt 
in A, ἡ ὑπὸ δὰγ S, ἡ ὑπὸ γδβ cod. Co, restituit B (Co) 40. 24. πρὸς 
τὴν Hu auctore Co pro πρὸς τὸ 24. u99" add. B, u$ Paris. 2368 


LIBER 1V. PROPOS. 38. .291 


catur αβ ad ὃ punctum circumferentiae, et iungatur dy. lam 
quia proportio anguli yof ad angulum αβγ data est, et an- 
gulus αὖγ est dimidius ofly, 

δ d data igitur est proportio an- 
guli γα ad angulum «dy, 
itaque etiam circumferentiae 
ὃγ ad ay (elem. 6, 53). Iam 

: quia semicirculi circeumferen- 

tia αγὸ in datam proportio- 

2 nem secta est, datum est 

€ —— y punctum y*), et triangulum 
7 αβγ specie datum. 

Componetur hoc modo. Sit enim data proportio, quam, 
αἱ proposuimus, uterque ad basim angulus ad reliquum ha- 
beat, eC : Cm, et recta ζῃ bifariam secetur in 2, et exponatur 
dreulus «y circa centrum f et diametrum a, et circum- 
ferentia αγδ in puncto y ita secetur, ut circumferentia dy ad 
/t in eadem proportione sit ac recta εζ ad ζϑ (hoc enim 
Supra propos. ὅδ᾽ demonstratum est), et iungantur rectae Gy 

Ja yó. lam quia est ut circumferentia ὃγ ad γα, id est ut 

angulus day ad aóy (elem. 6, 53), ita recta εζ ad C9, itemque 
L δαγ: ὃ [ αὃγ — c5: o9, est igitur 
L yof : L αβγ — εξ: ζη. 

Ergo aequicrure triangulum αβγ constitutum est, cuius uter- 

que ad basim angulus ad reliquum habeat datam proportionem. 

IL. Hoc igitur demonstrato apparet fieri posse, ut in Prop. 

circulum inscribatur polygonum aequilaterum et aequiangulum, 35 
quotcunque quis praeceperit latera habens. 


*) Quia semicirculus «yd in datam proportionem sectus est, in 
eandem anguli secti sunt; ergo datus uterque angulorum «gy γβ 
(dat. 7), unde statim efficitur triangulum egy specie datum esse, nam 
uterque ad basim angulus dimidio 780 aequalis est. Ergo Graeca do- 
ϑέν ἔστιν τὸ Γ suspecta nobis videntur, eaque in adnotatione critica 
emendare temptavimus. Quae si tamen servanda sunt, scriptor δοϑέν 
ἔστεν τὸ I minus accurate posuit pro "positione data est recta 8y", at- 
que ex dal. 30 et 40 conclusit triangulum specie datum esse. 

19* 


70 


70 


292 . ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHE A. 


Πῶς δ᾽ εὑρίσκεται κύκλος οὗ ἡ περιφέρεια ἴδῃ ἐστὶ - 
4 , 3 ) - A 
τῇ δοθείσῃ εὐϑείᾳ, συνιδεῖν euxoAov. 


« L 
i / - 
δ 
| δ᾽ 





€ 


Εὑρήσθϑω γὰρ τῇ U εὐθείᾳ ἴση ἡ τοῦ 44 κύκλου n &ega- 
φέρεια, καὶ ἐκκείσϑω κύχλος τυχὼν ὃ B, καὶ τῇ περιφερε £o 
αὐτοῦ ἴση διὰ τῆς τετραγωνιζούσης εὑρήσϑω ἡ 4 εὐϑεξζα. 
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν 4, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρ 420 
τοῦ Α κύκλου πρὸς τὴν éx τοῦ κέντρου τοῦ B. λόγος «9: 
τῆς 4 πρὸς Γ' λόγος ἄρα καὶ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου no«?$ 
ἀλλήλας. καὶ ἔστιν δοϑεῖσα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ B: de? 
ϑεῖσα ἄρα xai ἣ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΙ, ὥστε καὶ αὐτεῖ 5. 
ὃ Α΄. καὶ φανερὰ ἡ σύνϑεσις. 

v. Εὐθείας τῇ ϑέσει καὶ τῷ μεγέϑει δεδομένης vig 
4B γράψαι διὰ τῶν 44 B κύχλου περιφέρειαν λόγον £yov— 
σαν τὸν δοϑέντα πρὸς τὴν 418 εὐϑεῖαν. . 

Γεγράφϑω ἡ 4TB, καὶ ἐκκείσϑω τεταρτημόριον κύκλον ἢ" 
ϑέσει δεδομένον τὸ ZHE, xai γεγράφϑω τετραγωνίζουσα 
ἡ ZOK, καὶ τῇ βεβηκυίᾳ γωνίᾳ ἐπὶ τῆς «411 περιφερείας 
πρὸς τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἴση συνεστάτω 7, ὑπὸ ΕΗΖ, xai 
ἤχϑωσαν χάϑετοι αἵ ΑΜ ON. ἔσται οὖν διὰ τὸ ἰδίωμα 
τῆς γραμμῆς ὡς ἡ ΕΖ“Ζ περιφέρεια πρὸς τὴν ZH εὐθεῖαν, Ἀ 
τουτέστιν ὡς ἡ 44H πρὸς ΗΚ, οὕτως ἢ 4E περιφέρεια 


πρὸς τὴν ΘΝ εὐθεῖαν. ἀλλὰ καὶ ὡς 7?) ΘΗ πρὸς τὴν ΗΑ, 


3. ἔση ἡ BS, evanuerunt in A 5. τετραγονιζούσης À, corr. BS 
44. φανεραὶ αἱ συνϑέσεις S 44. γον add. Β, ν 8 48. 4E γράψαι AS, 
corr. B τῶν 4B A, distinx. ΒΒ 16. τὸ ZHE A28, τὸ ΖΗΘ A!B 
48. τῇ ZE Hu pro τῆι λοιπῆι; sed polius verba πρὸς τῇ λοιπῇ περε- 
φερείκ, quae Commandinus quoque corrupta iudicet, delenda esse vi- 


LIBER IV. PROPOS. 39. 40. 293 


Sed hoc quoque facile perspicitur, quomodo circulus in- Prop. 
veniatur, cuius circumferentia datae rectae aequalis sit. δ 
Inventa iam sit circuli α circumferentia rectae y aequalis, 

el exponatur quilibet circulus B, cuius circumferentiae aequa- 

lis recta ὃ inveniatur per quadratricem (propos. 26 extr.). 
Est igitur ut γ ad δι ita radius circuli ἃ ad radium circuli 8*). 
Sed daía est proportio ὃ : y, ergo etiam radiorum proportio 
data est. Et datus est radius circuli 8; ergo etiam circuli ἃ 
radius datus est (dat. 2), itemque ipse circulus α (dat. defin. 5). 

Et compositio manifesta est. 

L."HBectà af positione et magnitudine datà, per puncta Prop. 

« f describatur circuli cireumferentia, quae ad rectam of 
habeat datam proportionem. | 


— RB 
ξ "----ςς , 
"a 
δ 
λ 
Ζ e 2f 
ξ 
7 v xu ξ 


Descripta iam sit circumferentia «yg, et exponatur cir- 
cui quadrans De positione datus, et describatur quadratrix 
ζϑχ, et centri angulo qui in circumferentia «y consistit ae- 
qualis constituatur angulus δηλ, et ducantur perpendiculares 
ἐμ 9v. Yam propter lineae quadratricis proprietatem (XXX) 
erit ut circumferentia ελζ ad rectam £m, id est ut recta λη ad 
?* (propos. 26), ita circumferentia Ae ad rectam 3». Sed est 


*) Vide supra p. 289 adnot. 4. 





dentur συνεστατω κ ὑπὸ Α, ἡ add. BS 9,4. οὕτως ἡ .4E | Co pro 
οὕτως ἡ 4B 39. ὡς ἡ 6H Co pro ὡς ἡ ΘΒ πρὸς τὴν H.4 AS, 
8d in A non satis perspicuum est 4, unde πρὸς τὴν 9« B 





294 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


ἡ ΘΝ πρὸς ΑΜ’ καὶ ὡς ἄρα ἡ OH πρὸς ΗΚ, οὕτως jj 
EA περιφέρεια πρὸς τὴν 4M εὐθεῖαν. εἰλήφϑω δὴ τὸ 
χέντρον τῆς ΑΓΒ περιφερείας τὸ E, καὶ κάϑετος ἐπὶ τὴν 
-4B ἡ ΞΡΓ' ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ LEA γωνία τῇ ὑπὸ EH.A. 
καὶ ἔστιν κέντρα τὰ Ξ Η' ὡς ἄρα jj 4T περιφέρεια πρὸς 5 
τὴν ΑἹΡ εὐθεῖαν, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἣ 
ΑΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν. καὶ λόγος τῆς ΑΒΓ 
πρὸς τὴν 41Β' λόγος ἄρα xai ὃ τῆς OH πρὸς HK. καὶ 
δοθεῖσα ἡ HK* δοϑεῖσα ἄρα καὶ jj HO* πρὸς περιφερείᾳ 
ἄρα τὸ O. ἀλλὰ καὶ πρὸς τῇ ZOK γραμμῇ" δοϑὲν ἄρα τὲ 
τὸ O. ϑέσει ἡ HOA4: δοθεῖσα ἄρα ἡ ὑπὸ EH.A γωνία. 








καὶ ἔστιν low τῇ ὑπὸ ΓΞΑ͂, καὶ ἔστιν ϑέσει jj ΓΞ, καὶ 
δοϑὲν τὸ .4: ϑέσει ἄρα ἡ AR, ὥστε καὶ ἡ ALB περι- 


φέρεια. 


Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά. δεῖ γὰρ τῷ δοϑέντι λόγῳ is 


1. ἡ ΘΝ (anle πρὸς A£M) Co pro ἡ 89K 8. τῆς 4ΓΒ Co pro 
τῆς ABD EXE TEH γωνία A*S, corr. B τῇ ὑπὸ egi B 
Co, τῇ ὑπὸ 93k S cod. Co, in A litterae tres post ὑπὸ evanuerunt 
5. ἐστι BS, in A scriptura evanida τὰ KH A, distinx. S (rà ἢ C Bt, 
corr. Β8) 6. 7. οὕτως — εὐθεῖαν add. Co — 10. τὸ Θ Co pro ἡ 
ΖΚ γραμμὴ Ἀ, οοττ. ΒΒ — 44. καὶ ante ϑέσει add. ἕῳ ἡ H6.4 Co 
pro ἡ 84 48. ἡ ΑΓΒ Co pro ἡ ABT 


4 


LIBER IV. PROPOS. 40. 295 


ut recta 95 ad ηλ, ita 9v ad Au; ergo etiam ex aequali in 
perturbata proportione (elem. 5, 25) est ut 9x ad yx, ita 
circumferentia sÀ ad rectam Au"). lam sumatur circum- 
ferentiae αγβ centrum ᾧ, et rectae af perpendicularis duca- 
tur ἔργ; ergo ex constructione angulus γξα angulo en ae- 
qualis est. Εἰ sunt centra $ ἢ; ergo ut circumferentia ay ad 
rectam ag, id est ut recta 9 ad yx **), ita circumferentia «yf 
ad rectam of. Εἰ ex hypothesi data esi proportio cireum- 
ferentiae αγβ ad rectam of; ergo etiam rectae 9x ad yx 
proportio data est. Et magnitudine!) data est nx, ergo etiam 
ϑη magnitudine data (dat. 2); itaque punctum 9. est ad cir- 
culi cireumferentiam, quae centro ἢ ac radio $9: describitur. 
Sed ex hypothesi idem punctum est ad lineam ζϑκ; ergo 
punctum 3 positione datum est, ideoque recta $9, sive 94, 
data positione (dat. 26); ergo etiam angulus enÀ datus est?). 
Et est aequalis angulo γξα, et positione data est γξ datum- 
que punctum «o; ergo α positione dafa est, itaque etiam 
circumferentia «y ὃ). 

Et compositio manifesta est. Oportet enim datae pro- 


*) Haec brevius, si circumferentiam uncis () significamus, sic per- 
scribuntur. Quoniam est 
(4) 


λὴ : 93x — (ελ) : -X. 
μ 


et 93:94 — ϑν: 

** "Proxime enim ostensum est, ut 94 ad sx, ita esse circum- "ἢ 
ferentiam ελ ad rectam lineam 4u, hoc est circumferentiam «y ad «p 
rectam" Co, et conf. supra p. 289 adnot. 4 (etenim rectae Au «p inter 
se sunt ut radii cireulorum, quorum centra ἢ ἐξ). 


b multiplicando αι 2 


4) Quamquam initio resolutionis scriptor quadrantem 45s positione 
tantummodo, non magnitudine, datum esse supponit, tamen, posito et 
descripto illo quadrante, recta 5x (cuius ad *y& proportio data est ex 
proprietate quadratricis) data esse dicitur etiam magnitudine, quae qui- 
dem proportionaliter pendel ex magnitudine rectae $c. Ergo datorum 
doctrina .ab Euclide tradita paulo amplificata esse videtur a scriptore 
huius problematis. Sed tota ea quaestio, ut admodum digna est quae 
accuratius pertractetur, ita fines huic editioni propositos egrediatur. 


3) Hoc ex datorum 30 conversa scriptor effecisse videtur. 


8) Quoniam circuli cireumferentiae punctum « datum est, datusque 
angulus «£8 (est enim duplus e«£y), ex datorum 90 efficitur datum esse 
punctum 8; ergo recta αβ positione et magnitudine data est (dat. 26), 
itaque etiam circumferentia αγβ (dat. defin, 8), 


296 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ Δ. 


τὸν αὐτὸν ποιῆσαι τὸν τῆς 4H πρὸς HK, καὶ mti κέν- 
τρον τὸ H διὰ τοῦ 24] γράψαι περιφέρειαν, καὶ λαβεῖν τὸ 
O, καϑ᾽ ὃ τέμνει τὴν τετραγωνίζουσαν, καὶ ἐπιζεῦξαι. τὴν 
OH, καὶ δίχα τεμόντα᾽ τὴν Α41Β καὶ ὀρϑὴν ἀναστήσαντα 
τὴν ΡΞ καταγαγεῖν τὴν 45 περιέχουσαν μετὰ τῆς ἘΡ γω-ὅ 
νίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΚΗΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ A διὰ τοῦ Α 
γράψαι κύκλου περιφέρειαν τὴν 4L B ἔχουσαν λόγον πρὸς 
τὴν 418 βάσιν τὸν αὐτὸν τῷ δοϑέντι. 

77 να΄. Οὐκ ἀπίϑανον δὲ οὐδὲ τὸ γωνίας ἀσυμμέτρους 
εὑρεῖν. διὰ τούτου γὰρ καὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἀσύμμετροι 10 
ληφϑήσονται περιφέρειαι, κἂν ῥητὴν ὑποστησώμεϑα τὴν 
μέαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν, ἄλογος ἡ λοιπὴ γενήσεται. 

Ἐκχκχείσϑω τὸ ΑΒΓ τεταρτημόριον, καὶ ἐν αὐτῷ τετρα- 
γωνίζουσα ἡ A4EAZ, καὶ διήχϑω ἡ BE, καὶ τῇ ΒΓ παράλ- 
ληλος ἡ EH, καὶ ἀπειλήφϑω ἡ ΒΘ ἀσύμμετρος μήκει τῇ 15 
BH, καὶ ἤχϑω παράλληλος ἡ 460, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 48᾽ 
λέγω ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ἀπὸ ΕΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ 48Ζ. 

Ἤχϑω κάϑετος ἡ 4N^ ἔστιν ἄρα διὰ τὴν γραμμὴν ὡς 
ἡ ἘΚ πρὸς 4Ν, οὕτως ἡ ὑπὸ EBZ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ 
482. ἀσύμμετρος δὲ ἡ EK τῇ 4N (ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΒ τῇ 20 
BO): ἀσύμμετρος ἄρα xoi $ γωνία τῇ γωνίᾳ, κἂν ῥητὴν 


4. ποιῆσαι Hu, προῆχκτα! A? in ipsis primae manus ductibus, qui 
iam cognosci non possunt, item B, προῆχϑαι S, constituere Co τῆς 
ΖΗ πρὸς ἨΔ ABS, corr. Co 3. τέμνει B, idem voluit A?, qui scrip- 
turam primae manus τέμνοντα (ut videtur) corrigere studuit neque ta- 
men δὲ distincte dedit, om. S ἐπιζεῦξαε Hu auctore Co, ἐπεζευχϑῆ 
A (BS) 4. διχὰ τέμνονται A(BS), sed litteras ἃ r£uvo A? exaravit ob- 
ducta prima scriptura, in B « superscriptum est super «v, sed id rur- 
sus deletum, corr. Hu 5. κατάγειν AS, καταγεῖν B, corr. H« 
yovíac ABS, corr. Hu auctore Co 1. ἔχουσαν Hu pro ἔχειν αὐτῆς 
9. va?" add. B, να S τὸ γωνίας Hu, ἀγωνέας AS, yor(ac mutavit 
prima manus in A, unde idem in B &Gv//lloovc À, restit. B Paris. 
2368 40. διὰ ante τοῦ αὐτοῦ repetitum in ABS del. Hu 48. 3 
περιφέρεια [j[[[] ἢ λοιπὴ ἃ, item cum lacuna BS cod. Co, corr. Co 
48. τετάρτη {{{{| || ἐν &/vr ^, τεταρτη...... ... ἐν αὐτῇ Β, τεταρτη- 
μόριον καὶ ἕν αὐτῇ S cod. Co, αὐτῷ corr. Co 48. ἡ 4N Co pro ἡ 
4H 48. 19. ὡς ἡ EK πρὸς 4N Co, ὡς ἡ [[]]]| M, ὡς * .... πρὸς 
ὧν B! (ante d» superscr, « B5, ὡς ἡ τῇ δὴ S 20. 21. dà ἡ ΒΓ t$ 


LIBER IV. PROPOS. 41. 297 


portioni$ aequalem facere δὴ: $gx"""), gt circa centrum ἢ 
per punctum à describere circumferentiam, quae quadratricem 
in puncto 9. secet, et iungere rectam ϑη, et, rectà αβ bifa- 
riam sectà ac perpendiculari g3 constitutà, rectam αξ ita du- 
cere, ut ea cum recta 5p angulum aequalem angulo x73 con- 
neat, et circa centrum & per punctum α describere circuli 
cireumferentiam ayf, quae quidem ad basim «f proportionem 
eandem ac quae data est habebit. 

LI. Neque incredibile est angulos incommensurabiles in- Prop. 
veniri posse. Nam per hoc proximum problema etiam eius- 
dem circuli cireumferentiae -incommensurabiles sumentur, et, 
si unum angulum vel circumferentiam rationalem supposueri- 
mus, reliquus angulus vel circumferentia irrationalis fiet. 

Exponatur quadrans αβγ, in 
eoque describatur quadratrix αεὸζ, 
et, ul libet, ad eam lineam ducatur 
recta 6e, et ipsi y parallela £7, 
et abscindatur $23 ipsi 87 longitu- 
dine incommensurabilis (elem. 10, 
10), et ducatur 30 parallela rec- 
(ae ne, et iungatur 0f; dico angu- 
lum e85 angulo 085 incommensu- 
rabilem esse. 

Ducatur perpendicularis ὃν; est igitur propter lineae 
proprietatem ut εκ ad ὃν, ita angulus ef ad angulum ὁβζ ἢ. 
Sed est ex incommensurabilis ipsi ὃν (quia item fy ipsi 83) ; 
ergo etiam angulus εβζ angulo 085 incommensurabilis erit, 





4) Datam proportionem a scriptore rectis o zr expressam esse, etsi 
Pappus non disertis verbis tradit, tamen inde apparet, quod in prima 
figura littera o reperitur. 

***).Id est "facere δὴ — ουὴηχ. π᾿, vel ex veterum usu loquendi 
"cum magnitudine data sit "9; iuxta datam proportionem a recta «a6 
abscindere y. 

*) Propter quadratricis proprietatem (XXX) circumferentiae ay : 

By : Ay inter se sunt ut rectae ag: ex: dv; ergo propter elem. 6, 33 
est ex : ὃν — ( uBy : [ λβγ. 


4H ἐπεὶ καὶ ἡ HO τῆι BG A*S (cod. Co), δὲ ἡ ey τῇ ὃν etc. B! (dà ἡ 
By τῇ δὴ B3), corr. Co 


208 — IIAIHIOY ZYNATOTHZ A. 


ὑποστησώμεϑα voy ὑπὸ EBZ γωνίαν [κἂν ἡμίσειαν ὀρϑῆς), 
ἄλογος ἔσται ἡ ὑπὸ A4BZ. 


78 vp. Τῆς ὑπὸ Τρχιμήδους ἐν τῷ περὶ ἑλέκων βιβλίῳ 
λαμβανομένης νεύσεως τὴν ἀνάλυσίν σοι κατέταξα, ἵνα τὸ 
βιβλίον διερχόμενος [περὶ τῶν ἑλίκων] μὴ διαπορῇς. λαμ- ὃ 

βάνονται δὲ εἰς αὐτὴν οἵ 

ὑπογεγραμμένοι τόποι καὶ 
πρὸς ἄλλα πολλὰ τῶν στε- 
ρεῶν προβλημάτων χρήσι- 

μοι. 10 

Θέσει εὐθεῖα ἡ 18, 
καὶ ἀπὸ δοϑέντος σημείου 
τοῦ Γ' προσπιπτέτω τις 

ἡ I4, καὶ πρὸς ὀρϑὰς 

τῇ 4B ἡ AE, ἔστω δὲ 15 

λόγος τῆς ΓΩ͂ πρὸς AE: 

ὅτι τὸ Ε πρὸς ὑπερβολῇ. 
Ἤχϑω διὰ τοῦ D τῇ πρὸς ὀρϑὰς παράλληλος $ VZ- 
δοϑὲν ἄρα τὸ Z. καὶ τῇ 4B παράλληλος ἡ EH, καὶ τῷ 

τῆς L4 πρὸς 4Ε λόγῳ ὃ αὐτὸς ἔστω τῆς ΓΖ πρὸς ἕκα- 30 

τέραν τῶν ΖΘ ZK: δοϑὲν ἄρα ἑκάτερον τῶν Θ K. ἐπεὶ 

οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖά πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AE, οὕτως 
τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ 
ἀπὸ τῆς Z4, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ τῆς EH, πρὸς λοιπὸν τὸ 

ὑπὸ τῶν ΚΗΘ λόγος ἐστὶν δοϑείς. καὶ ἔστι δοϑέντα 25 





7 


,. 4. ὑπὸ EBZ Hu pro ὑπὸ ABZ x&v ἡμίσειαν 0p9ic del. Hu 
3. vB?" add. B, v& S 4. ἀνάλυσιν οὐ ABS, οὐ om. Co, corr. Hu 
5. περὶ τῶν bis scripta in A, περὶ τῶν ἑλέίκων om. Co 44. ἡ T4 
Co pro ἡ PB 41. πρὸς ὑπερβολήν ABS, corr. Hu 48. ὀρθὰς Hu, 
4E A? obducta prima scriptura (BS) 7? ΓΖ add. Hu (idem alieno 
loco add. Co) 49. 20. καὶ τῷ τῆς] τῶ in Α vix perspicuum, unde 
roU B — 20. λόγῳ Hu auctore Co pro λόγος — 21. τῶν ΘΑ͂ A, distinx. 
BS 249. πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4E, οὕτως add. Hu auctore Co 84. τῆς 
EH Co pro τῆς BH : 


LIBER IV. PROPOS. 4$. 299 


el, si angulum εβζ rationalem supposuerimus, irrationalis erit 


angulus δβξ. 


LII. Inclinationis eius quae ab Archimede in libro de Prop. 
helieibus adhibetur!) resolutionem tibi apposui, ne illum li- 
brum percurrens haesitares. Quam ad resolutionem hi qui se- 
quuntur loci adhibentur, qui ad alia quoque permulta pro- 
blemata solida utiles sunt. | 

Sit recta linea ef? positione daía, eique a dato puncto y 
(CCurrat recta quaedam γὅδ, et ipsi of perpendicularis duca- 
Iur de; sit autem proportio yó : δὲ data; dico punctum ε ad 
hyperbolam esse. 

Ducatur per y perpendiculari parallela 5; ergo punctum 

G datum est (dat. 28. 25). Εἰ rectae of? parallela ducatur 
δ, productae γ in ἢ occurrens, et fiat γὸ : δὲ — y 6: ζϑ — 
76: ζκ ἢ ; ergo utrumque punctorum 2 x datum est?) lam 
quia est. y0? : δεῖ — γζξ : £9?, quarum proportionum utraque 
data est (dat. 50); data igitur est etiam quae subtrahendo 


41) Quoniam vel ipse Pappus vel alius scriptor, cuius problemata 
Pappus in hanc collectionis partem receperit, non solum hoc loco, sed 
etiam supra cap. 59 disertis verbis dicit ab Archimede in libro de he- 
licibus iniuria solidi problematis constructionem adhibitam esse, et 
hinc omnis argumentatio scriptoris, eaque ingeniosissima , pendet, pri- 
mum cavendum.esse videtur, ne forte temere et imperite Archimedis 
rationem reprehensam esse existimemus. Αἱ vero si statuere liceat 
non eam Archimedis operum editionem quae ad nostra tempora per- 
venit, sed aliam quandam interpolatam illi scriptori in manibus fuisse, 
et haec reprehensio, quam apud Pappum legimus, in interpolatorem, 
non in Árchimedem, cadat, et extrema huius libri verba facile expli- 
centur, quibus rursus Archimedem (immo interpolatorem) scriptor vi- 
Wuperat, ac tamen veram rationem (id est demonstrationem per plana, 
quae quidem sola reperitur cum in toto Archimedis ipsius de helicibus 
libro tum propositione duodevicesima) e theorematis de helice repeti 
posse profitetur. Denique tertium restat, quod in cogitationem indu- 
camus: fleri potuisse ut hic scriptor in Archimedis per plana demon- 
Stratione occultam latere solidorum problematum rationem iudicaret, . 
quae quidem quaestio hic paucis dissolvi nequit. 


*) Id est, cum magnitudine data sit γζ (adnot. 2), iuxta datam 
proportionem γὅ : δὲ a recta ys abscindatur 29, et ei aequalis £x. 


2) Quoniam data sunt puncta y £, recta γζξ magnitudine data est 
(dat. 26); ergo etiam ζϑ ix magnitudine datae (2); atque eaedem po- 
sitione (28); ergo eliam puncta 29 x data (27). 


900 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ A. 


τὰ K Θ' τὸ E ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ ἐρχομένῃ διὰ τῶν 
O E. 


79 vq. Ἔστω ϑέσει καὶ μεγέϑει δοϑεῖσα ἡ 4B, καὶ πρὸς 
ὀρϑὰς ἡ 4Γ, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ δο- 
ϑείσης καὶ τῆς ΓΔΑ," ὅτι τὸ 4] σημεῖον ἅπτεται ϑέσει πα-- ὃ 
ραβολῆς. | 

Τετμήσϑω γὰρ 3 
AB δίχα τῷ E, καὶ 
πρὸς ὀρϑὰς ἡ EZ, 
καὶ τῷ ἀπὸ τῆς EB10 
ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς 
δοϑείσης καὶ τεῆς EZ: 
δοϑὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ 
τῇ 4B παράλληλος 

ἡ 4H: λοιπὸν ἄρα 15 

τὸ ἀπὸ τῆς ET, τουτ- 

ἔστιν τὸ ἀπὸ τῆς 4H, 
ἴσον ἐστὲ τῷ ὑπὸ τῆς δοϑείσης καὶ τῆς ΖΗ. καὶ ἔστι 
δοϑὲν τὸ Ζ' τὸ ἄρα 4l σημεῖον ἅπτεται παραβολῆς κατερ- 

χομένης διὰ τῶν Α' Z B, ἧς ἄξων ἐστὶν ὁ EZ. 20 





80 νδ΄. Τούτων προγεγραμμένων προκειμένη. .... eese ess. 
προγενομένη τὸν τρόπον τοῦτον. ϑέσει ὄντος κύκλου τοῦ 


4. τὰ KO A, distinx. BS τὸ E Co pro τὰ Θ πρὸς ὑπερβολη 
ἐρχομένης A(B), πρὸς ὑπερβολὴν ἐρχομένης S, corr. Hu — 1.2. τῶν ΘῈ 
Co, τοῦ || À, τοῦ 9v B, τοῦ 9y S 3. »y add. S 4. ἡ 4T Co pro 
ἡ 4Z 5. 4 σημεῖον Hu auctore Co, //|////]/ A, 9...... B, ....... S 
7. Τετμήσϑω ydo] tot fere litterae evanidae in A et congrua lacuna in 
B, τετμήσϑω ἄρα S, γὰρ restituit Hu 45. ἡ ΔΉ Co pro ἡ 4Γ 
49. ϑέσει ἅπτεται voluit Co 20. τῶν .4 Z B Hu auctore Co pro 
τῆς AZB 34 — p. 803, 48. totum problema propter scripturam 
in A passim evanidam in reliquis quoque codicibus misere corruptum 
om. Co 394. »ó add. S, γον», B — 34. 22. προκειμένη | ///]/]/I]]][] 
προγενομένη A(S), προκειμένη ..............- γινομένη B, πρόβλημα τὸ ἐξ 
ἀρχῆς προχεέμενον λύεται Hu. — 92. ϑέσει ὄντος κύχλου τοῦ et p. 302, 4. 


ϑέσει ἐν αὐτῷ evanuerunt in A, om. B, restit. S (nisi quod falso αὐτῇ) 
e . 


LIBER IV. PROPOS. 48. 44. 301 


fit L0? : x9. η9 ἢ, id est ey? : xy. 99. Εἰ data sunt puncta 


2« 9; ergo punctum & ad hyperbolam est quae transit per 
aJ εἾ ἢ. 


LIII. Sit recta of positione et magnitudine data, eique Prop. 
perpendicularis ducatur yÓ, et sit rectangulum quod rectis 
«xy yf continetur aequale ei quod datà quadam et yÓ con- 
tinetur; dico punctum δ positione parabolam attingere. 

Recta enim αβ bifariam secetur in puncto e, et perpen- 
«licularis ducatur eC, et quadrato ab ef aequale sit rectan- 
zulum quod datà rectà et eC continetur; ergo punctum ζ da- 
*um est!) Et rectae e parallela ducatur 70; ergo per sub- 
tractionem quadratum ab ey, id est ab 70, aequale est rec- 
tangulo quod datà rectà et 5» continetur?) Εἰ datum est 
punctum ζ; ergo punctum δ᾽ parabolam per puncta ἃ Lb f 
transeuntem, cuius axis est eC, attingit 3). 


LIV. His demonstratis problema ab initio (LIT) proposi- Prop. 
tum solvitur hunc in modum ἢ). 


**) Propter elem. 2, 4 est d£? — £3? -- 93? -- 9 £9... 95. Sed est 
209-99 — x9-.95, et 953?  χϑ'ϑὴ τῷ χη ηϑ (elem. 2, 8); ergo 
0:? — (92 χη ηϑ, itaque de? — £92 2 χη ηϑ (Co). Data est autem 
proportio 20? : χη" ηϑ propter dat. 4. 


***) Erit enim eius hyperbolae transversum latus (sive diametrus) 
3x, et rectum (sive parametrus) illud quod ad $x est ut &z? : 99- 9x 
ex 44. primi libri conicorum Apollonii (Co). 


4) Recta enim e£ magnitudine data est (dat. 57); atque eadem po- 
sitione (80); ergo punctum £ datum (27). 


2) Sit data recta 9; itaque ex constructione est 
£8? — 9.6. Sed propter elem. 2, 5 est 
eg? — A yB -- &y?, et ex hypothesi «y: yB 2 9-yÀ; ergo 
ϑ'εξ — 39. yd — &y?, id est 9. ζὴ 2 cy? — 90. 


3) Quia ex constructione est εἐβ2 — 9.:6, et, ut statim (adnot. 9) 
demonstratum est, $30? — 9-6», est igitur 
.o e ηδὲ — εξ: ζη; 
itaque per puncta « à δ 8 parabolam transire efficitur ex Apollonii 
conic. 4, 20. 


4) Operam infinitam, ut videbatur, ac saepius desperatam tandem 
eo usque absolvimus, ut legi problema posset et, quid voluisset scriptor, 
quodammodo divinari. ltem figuram nostra coniectura delineavimus. 
ltaque via quasi praemonstrata. fieri poterit, ut, si quid aliis quoque 
utile ad propositum venerit in mentem, totus locus in integrum resti- 
tuatur. 


902 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Δ. 


ΑΒΓ καὶ ϑέσει ἐν αὐτῷ εὐϑείας τῆς ΒΓ, καὶ δοθέντος 
ini τῆς περιφερείας τοῦ 44, ϑεῖναι μεταξὺ τῆς ΒΓ εὐϑείας 
καὶ τῆς ΒΖΓ περιφερείας ἴσην τῇ τεϑείσῃ νεύουσαν πρὸς 
τὸ Γ. 

Γεγονέτω γάρ, καὶ κείσϑω τῇ ΕΑ ἴση, καὶ vj BD5 
πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ 4Z ἴση τῇ 444. ἐπεὶ οὖν πρὸς ϑέσει 
τὴν ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ 46{ προσβέβληται ἡ 44, καὶ 
ἴση τῇ πρὸς ὀρϑὰς ἐφέστηκεν ἡ ἀπὸ το ................ 
πρὸς ὑπερβολῇ (ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ BAT τῷ ὑπὸ 4248, 
τουτέστιν τῷ ὑπὸ Ζ4Ε). καὶ ἔστιν δοϑεῖσα ἡ 4E: «010 
ἄρα ὑπὸ BAT ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοϑείσης καὶ τῆς 42: 
τὸ Z ἄρα πρὸς παραβολῇ ᾿ δοϑὲν ἄρα τὸ Z.  dvaào.......... 
τῷ προβλήματι χρῆται ὃ Ἀρχιμήδης πρὸς τὸ δεῖξαι κύκλου 
περιφερδίᾳ ἴσην εὐϑεῖαν. αἰτιῶνται δὲ αὐτοῦ τινες ὡς οὐ 
δεόντως χρησαμένου στερεῷ προβλήματι —..... eese eres 15 
δεικνύουσιν ὡς καὶ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐϑεῖαν 
ἴσην τῇ τοῦ κύχλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς 
ἕλικος εἰρημένοις ϑεωρήμασιν. 


4. αὐτῷ Hu, αὐτῇ S τῆς ΒΓ Hu, τῆς ET AB?S, τῆς γε B! 
δοϑέντος Hu pro δοϑὲν ὡς — 2. μεταξὺ B, μετὰ ΑΒ 9. περιφέρειαν 
ἴσην τῇ ϑέσει νεύουσαν Β τῇ δοϑείσῃ coni. Ηρ 5. τῇ εα S, τῆι 
E4 AB 686. πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω paene evanuerunt in ἃ 6. 7. προσ- 
ϑέσει τῇ ΒΓ A, προϑέσει τῇ By B, πρὸς ϑέσει τῇ By S, τὴν corr. Hu 
7. τοῦ Α Hu pro τοῦ 4 προσβέβληται Hu, πρί ληται À, προβέβλη- 
ται S, om. B ἡ 424 AS, τῇ αὖ B3, om. Bt 8. ἔση Hu, ἴση! A, 
ἴσην BS tj 444 πρὸς ὀρϑὰς ἐφέστηκεν ἡ 4Z, τὸ ἄρα Z ση- 
μεῖόν ἔστιν coni. Hu 9. πρὸς ὑπερβολῇ Hu, {{{{|{ ὑπερβολὴ A(B), 
πρὸς ὑπερβολήν 8 τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῶι ὑπὸ A4T ABS, corr. Hu 
40. δοϑεῖσα ἡ AE AB9?S, corr. Bt 44. xol τῆς ót B, καὶ τῆς et S, 
καὶ τῆς ?Z A (incertum utrum 4 an 4) 44. τὸ Z ἄρα πρὸς Hu, 
tot litterae evanidae in A, ὡς ..... προσ B, .... ἄρα πρὸς S παρα- 
βολῇ Hu, ὑπερβολὴ aegre comparet in A, vzreofoAg BS ἀναλο, }{{{} 
A(B!S), ἀνάλογον ϑέσει αὑτῷ B3, ἀνάλυσις (quae fuerit glossa margini 
adscripta), tum τούτῳ coni. Hu 44. περιφερείας ABS, corr. Hu 
αὖτ! A, αὐτῶ B, αὐτῶ S, corr. Hu 45. χρησάμενον AB?S, corr. 
B! . post προβλήματι viginti fere litterae evanuerunt in A 46. δειχ- 
νύουσιν Α (sine v S), δειχνύν B!, δειχνύντα B3 ὡς add. Hu 
46. 47. post εὑρεῖν quindecim fere litterae evanuerunt in A, ἔστιν sup- 


| LIBER IV. PROPOS. 44. 9082 


Positione datis circulo αβγ in eoque rectà f», et in cir- 
cumferentia puncto « dato, construatur inter rectam fiy et 


circumferentiam βζγ recta, quae cui- 
/ y LS dam positione datae aequalis sit et 
p.i ad punctum » inclinet. 

eL—^ . . 

7 Factum iam sit, et constructa 
sit recta γζ ipsi ea aequalis, et rec- 
tae gy perpendicularis ducta δὲ ipsi 
c0 aequalis. lam quia ad fy posi- 

ξ tione datam a dato puncto α deducta 
€*sst αδ, eique aequalis perpendicularis constituta Ob (propos. 
“2 2), punctum igitur Z, est ad hyperbolam (quoniam est 80 - à 
—- αὖ. δὲ — ζὅ - δε). Et est data δὲ; ergo rectangulum quod 
W^«»ctis 80 ὃγ continetur aequale est ei quod datà rectà et ὃζ 
**ontünetur (propos. 43); ergo punctum ζ est ad parabolam. 
“ΝΞ δα idem ad hyperbolam esse demonstravimus; ergo datum 
€*si punctum 8... ...... hoc problemate Árchimedes uti- 
Vwur, ut rectam circuli cireumferentiae aequalem inveniri posse 
CAemonstret. Sunt autem qui illum minus recte solido pro- 
M3lemate usum esse coarguant ipsique demonstrent fieri posse, 
Wat per plana rectam circuli cireumferentiae aequalem invenia- 


Xmnus, siquidem theorematis quae de helice proposita sunt 
Watamur. 





pplet Hu, εὐθεῖαν B3S, ἔσην τῇ Β'ὶ 48. ἕλι( { elonuév|[| A, restit. BS 
post ϑεωρήμασιν add. παππου συναγωγης οπὲρ ἔστιν αϑήρων (sic) 


“ϑεωρημάτων ἐπιπεδωι καὶ στερεων καὶ γραμμικὼων Αϑ, τέλος τοῦ τῆς 


σιάππου τοῦ ἀλεξανδρέως συναγωγῆς τετάρτου ὅπερ ἐστὶν ἀνϑηρῶν 
ϑεωρημάτων ἐπιπέδων etc. B, τοῦ 09V βιβλίου τέλος S 


304 ο΄ ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHE F. 


IIAHIIOY ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ E. 


ΠΕεριέχει δὲ συγχρίσεις τῶν ἴσην περίμετρον ἐχόντων ἐπιπέδων σχημάτων 
πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸν χύχλον, xal συγχρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων 
τερεῶν σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε χαὶ τὴν σφαῖραν. 


1 Σοφίας καὶ μαϑημάτων ἔννοιαν ἀρίστην μὲν καὶ τελειό- 5 
τάτην ἀνθρώποις ϑεὸς ἔδωκεν, ὦ χράτιστε MeyeSiov, ἐκ 
μέρους δέ που καὶ τῶν ἀλόγων ζῴων μοῖραν ἀπένειμέν 
τισιν. ἀνϑρώποις μὲν οὖν ἅτε λογικοῖς οὖσι τὸ μετὰ λόγου 
x«i ἀποδείξεως παρέσχεν ἕχαστα ποιεῖν, τοῖς δὲ λοιποῖς 
ζῴοις ἄνευ λόγου τὸ χρήσιμον καὶ βιωφελὲς αὐτὸ μόνον τὰ 
κατά τινα φυσικὴν πρόνοιαν ἑκάστοις ἔχειν ἐδωρήσατο. 
τοῦτο δὲ μάϑοι τις ἂν ὕπάρχον καὶ ἐν ἑτέροις μὲν πλεί- 
στοις γένεσιν τῶν ζῴων, οὐχ ἥκιστα δὲ κἀν ταῖς μελίσσαις" 

ἢ ve γὰρ εὐταξία καὶ πρὸς τὰς ἡγουμένας τῆς ἐν αὑταῖς 
πολιτείας εὐπείϑεια ϑαυμαστή τις, ἣ ve φιλοτιμέα καὶ 1Ξ 
χαϑαριότης T; περὶ τὴν τρῦ μέλιτος συναγωγὴν καὶ $ περὲ 
τὴν φυλαχὴν αὐτοῦ πρόνοια καὶ οἰκονομία πολὺ μᾶλλον 
ϑαυμασιωτέρα. πεπιστευμέναι γὰρ, ὡς εἰκός, παρὰ ϑεῶν 
κομίζειν τοῖς τῶν ἀνθρώπων μουσικοῖς τῆς ἀμβροσίας ἀπό- 
μοιράν τινα ταύτην οὐ μάτην ἐχχεῖν εἰς γῆν καὶ ξύλον ἢ 20 
τινα ἑτέραν ἀσχήμονα καὶ ἄτακτον ὕλην ἠξίωσαν, ἀλλ᾽ ἐκ 
vi)» ἡδίστων ἐπὶ γῆς φυομένων ἀνϑέων συνάγουσαι τὰ κάλ- 
λιστα κατασκευάζουσιν ἐκ τούτων εἰς τὴν τοῦ μέλιτος ὑπο- 
δοχὴν ἀγγεῖα τὰ καλούμενα κηρία πάντα μὲν ἀλλήλοις ἴσα 

2 xai ὅμοια καὶ παραχείμενα, τῷ δὲ σχήματι ξξάγωνα. τοῦτο 25 
δ᾽ ὅτι κατά τινα γεωμετρικὴν μηχανῶνται πρόνοιαν οὕτως 
ἂν μάϑοιμεν. πάντως μὲν γὰρ ᾧοντο δεῖν τὰ σχήματα 
παρακχεϊσϑαΐ τε ἀλλήλοις καὶ κοινωνεῖν κατὰ τὰς πλευρᾶς, 
ἕνα μὴ τοῖς μεταξὺ παραπληρώμασιν ἐμπίπτοντά τινα ἕτερα 


4—4. παππου ἀλεξανδρέως συναγωγῆς € περιέχει δὲ συγχρισεις 
των ἴσην περίμετρον ἔχοντων ἐπιπέδων σχημάτων προσαλλήλατε και t 
κύχλων (superscr. o) χαὶ συγρέσεις 7 ἴσην ἐπεφανειαν &xóvi στερξ Gynu& 
πῇ α«λληλα τὲ x«t ἢ σφῶϊ AS(BS) 8. τὸν χύχλον Β, τοὺς χύχλους 
Paris. 2368 SV (de A3 vide supra) 4. στερεῶν om. B 6. μεγε- 


LIBER V. mM 305 


Pappi Alexandrini eollectionis liber V. 


Continet. figurarum  planarum aequalem perimetrum habentium inter 
86 οἱ cum circulo comparationes, item figurarum solidarum aequalem 
superficiem habentium inter se et cum sphaera comparationes. 


PARS PRIMA. 
Figurarum planarum comparationes. 

Sapientiae ac mathematicorum cognitionem optimam qui- 
dem et perfectissimam, clarissime Megethio, hominibus con- 
cessit deus, sed particulam quandam etiam nonnullis anima- 
libus rationis expertibus impertivit. Hominibus igitur ratione 
praeditis tribuit, ut considerate et scienter omnia agerent, 
reliqua autem animalia sine ratione id ipsum quod ad vitae 
Decessitates utile est naturali quodam instinctu quaerere vo- 
lut. Atque hoc ita comparatum esse cum in aliis animalium 
generibus permultis, tum maxime in apibus cognoscas, qua- 
rum non solum disciplina et erga reginas obedientia admira- 
bilis est, sed diligentia ac munditia in colligendo melle, et 
in eodem custodiendo prudentia atque assiduitas multo etiam 
admirabilior. Ambrosiae enim, opinor, libamenta quaedam a 
dis se perferre confidunt ad eos homines qui artibus ingenuis 
sludent, quae munera cum in humum vel lignum vel aliam 
quamcunque deformem rudemque materiam temere nolint 
effundere, ex suavissimis qui in terris nascuntur floribus 
praestantissimos conquirunt sucos atque inde mellis recepta- 
eua, quae favi vocantur, omnia inter se aequalia et similia 
el cohaerentia, specie autem hexagona comparant. Sed eam 
operam geometrica quadam prudentia peragi hac ratione in- 
lellegamus. Omnino apes vasculorum latera inter se com- 
ponenda et colliganda esse putabant, ut ne alienae res in 


ϑειον (sine acc.) A, μεγέϑειον BS, corr. Hu 44. x«l add. Sca 
414. 45. τῆς εν αὑταῖς πολιτείαις A(B3), ταῖς ztoAcre(eug S, αὑταῖς corr. 
Hu, πολιτείας B! 45. ευπιϑεια A(B), corr. S 46. ἡ περὶ (post 
χαϑαριότης) Hu pro ποιεὶ 47. πολλυ A, corr. BS 20. γῆν ἢ 
ξύλον coni. Hu 97. πάντως Sca pro πάντες 

Pappus I. 20 


806 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


λυμήνηται αὐτῶν τὰ ἔργα. τρία δὲ σχήματα εὐθύγραμμα -ς 
τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖν ἐδύνατο, λέγω δὲ τεταγμένα τὰ y 
ἐἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, τὰ δ᾽ ἀνόμοια ταῖς μελίσσαιςπ» Ὁ 
οὐκ ἤρεσεν. τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα καὶ τετράγωνωκ- «, 
καὶ τὰ ἑξάγωνα χωρὶς ἀνομοίων παραπληρωμάτων ἀλλήλοιῳ. 5, ἡ 
δύναται παρακείμενα τὰς πλευρὰς κοινὰς ἔχειν [ταῦτα γὰς x 
δύναται συμπληροῦν ἐξ αὑτῶν τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖος», x. 
τόπον, ἑτέρῳ δὲ τεταγμένῳ σχήματι τοῦτο ποιεῖν ἀδύνατον «ας. ἐν 
ὦ γὰρ περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπος ὑπὸ G μὲν τριγώνωπ- «νῷ 
ἰσοπλεύρων καὶ διὰ ς΄ γωνιῶν, ὧν ἑκάστη διμοίρου ἐστπε-- ,) 
. ὀρϑῆς, συμπληροῦται, τεσσάρων δὲ τετραγώνων καὶ δ΄ ὁ ἕξι, dg 
ϑῶν γωνιῶν [αὐτοῦ], τριῶν δὲ ξξαγώνων καὶ ἑξαγώνου ye e). 
vuv τριῶν, ὧν ἑκάστη o' y' ἐστὶν ὀρθῆς. πεντάγωνα ds 
τὰ τρία μὲν οὐ φϑάνει συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ OU mL, 
σημεῖον τόπον, ὑπερβάλλει δὲ τὰ τέσσαρα" τρεῖς μὲν —Hy 
τοῦ πενταγώνου γωνίαι δ΄ ὀρϑῶν ἐλάσσονές εἶσιν (Ext, 
γὰρ γωνία μιᾶς καὶ ε΄ ἐστὶν ὀρϑῆς), τέσσαρες δὲ yov, 
μείζους τῶν τεσσάρων ὀρϑῶν. ἑπτάγωνα δὲ οὐδὲ τρία zc «ρὲ 
τὸ αὐτὸ σημεῖον δύναται τίϑεσϑαι κατὰ τὰς πλευρὰς ἀλ47- 
λοις παρακείμενα" τρεῖς γὰρ ἑπταγώνου γωνίαι τεσσάρων 20 
ὀρϑῶν μείζονες (ἑκάστη γάρ ἔστιν μιᾶς ὀρϑῆς καὶ τριῶν 
ἑβδόμων). ἔτι δὲ μᾶλλον ἐπὶ τῶν πολυγωνοτέρων ὃ αὐτὸς 
ἐφαρμόσαι δυνήσεται λόγος. ὄντων δὴ οὖν τριῶν σχημά- 
των τῶν ἐξ αὑτῶν δυναμένων συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ 
αὐτὸ σημεῖον τόπον, τριγώνου τε καὶ τετραγώνου καὶ ξξα- Ζ252" 
γώνου, τὸ πολυγωνότερον εἵλαντο διὰ τὴν σοφίαν oi μέ- 
λισσαι πρὸς τὴν παρασκευήν, ἅτε καὶ πλεῖον ἑκατέρου τῶν 
λοιτεῶν αὐτὸ χωρεῖν ὑπολαμβάνουσαι μέλι. 

Καὶ αἱ μέλισσαι μὲν τὸ χρήσιμον αὑταῖς ἐπέστανται 
μόνον τοῦϑ᾽ ὅτι τὸ ξξάγωνον τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ τρι- z—9 
γώνου μεῖζόν ἐστιν καὶ χωρῆσαι δύναται πλεῖον μέλι τῆς 
Ἴσης εἰς τὴν ἑκάστου κατασκευὴν ἀναλισχομένης ὕλης, 





9. post ἐδύνατο add. σχῆμα τὰ τεταγμένα ABS, del. Sca (fuerat 
olim in margine glossa σχήματα τεταγμένα 8. ἰσογώνια τὰ δ᾽ add. 
Sca 6. ταῦτα γὰρ — 8. ἀδύνατον interpolatori tribuit Hu — 19. eài— 


LIBER V. 307 


intervalla incidere et mellificia corrumpere possent. Tres 
autem figurae hoc quod propositum erat efficere poterant: 
ordinatas dico et aequilateras et aequiangulas; nam inaequalia 
apibus displicebant. "Nimirum aequilatera triangula et qua- 
drata et hexagona absque dissimilibus supplementis inter se 
comnexa possunt latera communia habere; .nam locus qui 
circa idem punctum est aut sex triangulis aequilateris ac sex 
angulis, quorum quisque duarum partium recti est, com- 
Pletur, aut quattuor quadratis ac quattuor rectis angulis, aut 
tràbus hexagonis ac tribus hexagoni angulis, quorum quisque 
umum rectum et tertiam eius partem continet. Pentagona 
quidem tria non sufficiunt ad locum qui circa idem punctum 
eSt replendum, quattuor autem superant, quia tres pentagoni 
angüli minores quattuor rectis (nam unusquisque rectum an- 
&ulum cum quinta parte continet), quattuor autem maiores 
Sumnt. Nec vero tria heptagona circa idem punctum ita col- 
locari possunt, ut latera inter se contingant, siquidem tres 
heptagoni anguli quattuor rectos superant (nam unusquisque 
lectum angulum cum tribus septimis continet); eoque magis 
ad polygona quae plura etiam latera habent haec ratio trans- 
lerri poterit. Sic igitur cum tres figurae, eaeque aut tribus 
aut quattuor aut sex angulis, per se locum qui circa idem 
Punctum est replere valerent, propter insitam sapientiam apes 
ad mellificium eam eligebant formam, quae, cum plures an- 
&ulos haberet, etiam maiorem mellis copiam quam reliquae 
duae formae recipere posset. 

Et apes quidem nihil nisi hoc quod ipsis conducit no- 
Verunt, formam hexagonam maiorem esse et plus mellis re- 
Cipere posse quam quadratam aut triangulam, siquidem ae- 
Squualis materies in constructionem cuiusque formae consuma- 





ποῦ spurium, nisi forte “αὐτῶν dedit scriptor 43. e P A, « I" BS 
A&. οὐ φϑάνει)] οὐχ ἀρκεῖ vel ov ztépuxe coni. Hu — 45. γὰρ add. Hu 
47. xc £ A(S), καὶ & B 48, οὐδὲ] οὔτε coni. et lacunam post τριῶν 
ἑβδόμων statuit. Hu 22. πολογονωτέρων À, corr. prima man. 
344. αὐτῶν (sine acc.) À, αὐτῶν BS, corr. Hu 96. εἴλαντο ABS 
28. αὐτὸ Sca pro αὐτὰ 49. αὐταῖς ABS, corr. Hu 
20 * 


908 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ E. 


ἡμεῖς δὲ πλέον τῶν μελισσῶν σοφίας μέρος ἔχειν ὑπισχνού- 
μενοι ζητήσομέν τι καὶ περισσότερον. τῶν γὰρ ἴσην ἐχόν- 
των περίμετρον ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἐπιπέδων 
σχημάτων μεῖζόν ἐστιν dei τὸ πολυγωνότερον, μέγιστος δ᾽ 
ἐν πᾶσιν ὃ κύκλος, ὅταν ἴσην αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δείξο- 5 
μὲν δὲ πρότερον ὅτι τῶν ἀνισοπληϑεῖς μὲν ἐχόντων τὰς 
γωνίας τεταγμένων πολυγώνων, τὴν δὲ περίμετρον ἴσην, τὸ 
πολυγωνύτερον Gel καὶ μεῖζόν ἐστιν. 

α΄. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια 
τὰ ΑΒΓ AEZ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν at περίμετροε, M 
πολυγωνότερον δὲ τὸ 4ΕΖ᾽ λέγω ὅτι τὸ 4ΕΖ μεῖζον τοῦ 
l4 B. 

Εἰλήφϑω γὰρ và χέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς 
χύχλων τὰ H O, κάϑετοι ἤχϑωσαν αἱ ΗΚ ΘΑ͂, καὶ ἐπε- 
ζεύχϑωσαν α .4H ΗΓ O4 ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν 15 
ἐστιν τὸ Ε4Ζ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ 4Z τὴν τοῦ AEZ 
πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤττερ ἡ 41 Γ τὴν τοῦ 4BI* 
μείζων ἄρα ἣ “Γ τῆς 42Ζ (ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἵ περέ- 
μετροι), ὥστε xoi ἡ Α͂Κ μείζων τῆς 4.4 (ἡμίσεια γὰρ ἕκα- 
τέρα ἑχατέρας). xslo9w τῇ 4.4 ἴση ἡ KM, καὶ ἐπεζεύχϑω 20 
? MH. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ 
ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ 7, 
ὑπὸ 4ΗΓ'΄ γωνία τεσσάρων ὀρϑῶν (ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἔστι 
τὸ πολύγωνον); ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ 4Z τῆς 
τοῦ 4ΕΖ περιμέτρου; τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4ΘΘΖ21Ξ 
γωνία τεσσάρων ὀρϑῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἷ περίμετροι ἀλ- 
λήλαις καὶ αἱ Ó ὀρϑαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 4 
πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δ΄ ὁρ- 
ϑάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ 4 ΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΒΓ, 
πρὸς τὴν 4/Z, ai δ' ὀρϑαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ A4OZ γωνέαν᾽ 3:3 


9. «' add. Hu 44. xvuxAor (sine acc.) A, corr. BS x«l) xa- 


ϑετοι coni, Hu αἱ HK6.4 A, disinx. BS 35. ἡ ὑπὸ A4EZ AB, 
corr. S 47. x«l αἱ δ΄ ὀρϑαὶ ταῖς d' 0p9cic] quamquam eiusmodi 


res per se consentaneas veteres mathematici interdum adnotant, tamen 
haec verba maiorem interpretamenti quam genuinae scripturae speciem 
prae se ferunt 


LIBER V. PROPOS. 4. 309 


lur; nos autem, qui maiorem apibus sapientiae indolem pro- 
filemur, subtilius de ea re quaeremus. Nam figurarum pla- 
narum aequilaterarum et aequiangularum, quae aequalem am- 
bitum habent, ea semper maior est quae plures angulos ha- 
bet; omnium autem maximus est circulus, si aequalem cum 
illis perimetrum habeat. Sed primum demonstrabimus 
polygonorum ordinatorum (id est regularium), quae in- Prop. 
aequalem angulorum numerum et aequalem perimetrum ! 
habent, id quod plures angulos habet semper etiam 
maius esse. - 
l. Sint duo polygona aequilatera et aequiangula o7 δεζ, 
€l sint aequales eorum perimetri, plures autem angulos ha- 
beat óc; dico δὲζ maius esse quam aoffy. 

P . Sumantur cir- 
cblorum circa po- 
lygona descripto- 
rum centra ἡ J, 
et ducantur per- 


pendiculares — zx 
9À, et iungantur 
i αη ἡγ 09 3C. lam 


eu x 2 . 
quia polygonum 
ἐδξ plures angulos babet quam «fiy, pluries recta δ metitur 
Polygoni de ambitum quam «y polygoni ay (nam perimetri 
aequales suppositae sunt); ergo «y maior est quam δ; ita- 
que etiam «x maior quam dÀ (quoniam ex — (y, et ÓÀ 
Ξε ὁ δῶ. Ponatur xu — δ, et iungatur μη. Et quia, quota 
pars est recta «y polygoni af» perimetri, eadem pars est an- 
gulus αηγ quattuor rectorum (quoniam aequilaterum est poly- 
gonum ef propler elem. 3, 26. 28 aequales anguli in aequa- 
libus lateribus consistunt), ac perinde, quota pars est recta 
dC polygoni de perimetri, eadem pars est angulus 030 quat-- 

tuor rectorum, et aequales sunt perimetri, est igitur 

cy : perim. ay — L any : &k R. Sed est 

perim. δεζ : δὲ Ξξξ & R : ὁ 02, et perim. ay — perim. 
0cb; ergo ex aequali: 


D d 


310 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


δι᾽ ἴσου ἄρα ὡς ἣ ΑΓ πρὸς τὴν 4Z, οὕτως ἡ ὑπὸ .4HT 
πρὸς τὴν ὑπὸ 4OZ- καὶ ὡς ἄρα ἡ 4K πρὸς τὴν .414, 
τουτέστιν πρὸς KM, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑῊἫ Κ πρὸς τὴν ὑπὸ 40.4. 


4 € 


« u X ÁN 


ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν KIM μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 7) ὑπὸ (ΗΚ 
πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ (τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς eig τὰ σφαιρικὰ! 
λήμμασιν δέδεϊχται)" καὶ 7 ὑπὸ ΑῊΚ ἄρα γωνία πρὸς 
τὴν ὑπὸ 4Θ.4 μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἣ ὑπὸ ΑἩῊΚ γω- 
νία πρὸς τὴν ὑπὸ MHK: μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς 
ὑπὸ 4O.4. ἔστιν δὲ xai ἣ πρὸς τῷ K ὀρϑὴ ἴση τῇ πρὸς 

' τῷ ud: λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ HIMK τῆς ὑπὸ ΘΖ. ἐλάσσων. 
ἔστω τῇ ὑπὸ Od. ἴση ἡ ὑπὸ KMN: καὶ ἔστιν ἴση ἣ 4.4 
τῇ KM: καὶ ? 440 ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν: μείζων ἄρα ἡ 
6.4 τῆς ΚΗ. ἴσαι δὲ αἵ περίμετροι" μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ 
440 καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ZEZ περιεχόμενον ὀρϑογώνιον 
τοῦ ὑπὸ τῆς KH καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν 
τῶν εἰρημένων χωρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα" μεῖζον ἄρα τὸ 
AEZ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ. [τὸ γὰρ ὕψος toov ἐστὶ τῆς 
περιμέτρου τῆς αὐτῆς οὔσης τῶν δύο εὐθυγράμμων, καὶ at 
βάσεις ἄνισοι αἱ O.1 ΗΚ, xai ὡς ἡ O.4 βάσις πρὸς τὴν 
ΗΚ βάσιν, οὕτως τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΘΑ͂ καὶ 
τῆς περιμέτρου τοῦ 4ΕΖ πολυγώνου πρὸς τὸ παραλληλό- 
γραμμον τὸ ὑπὸ τῆς HK xai τῆς περιμέτρου vob 4ΒΓ. καὶ 
τὰ ἡμίση πολύγωνα ἄνισα, ὥστε μεῖζον τὸ 4Ε2Ζ τοῦ ABI] 

5 β΄. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε 
καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ EZ κύκλου 
περιφερείᾳ " λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ 4EZ κύκλος τοῦ ΔΒΓ 
πολυγωνου. 


LIBER V. PROPOS. 9. ' 911 


ay: ὃζ — L any: L Ó9C; ergo etiam ax : δά, id est 
ax: ux τὸ ( αηκ: {, ὅϑλ. Sed est 
ακ : ux »ί αηκ: L μηκ, id quod in lemmatis ad spbae- 
rica demonstratum est!) ; ergo 
etiam 
ἰ αηκ : ( δϑλ:» L αηκ: L μηκ, itaque 
L μηκ » L ὅϑλ. Sed est angulus x, utpote rectus, ae- 
qualis angulo 4; ergo per subtrac- 
tionem ΕΝ 
L *ux « L 994. 
SAU / xu» — [ AÓ9 ; et est ux τὸ. ÓÀ; ergo est etiam x» — 49, 
itza«ue 49 Ὁ xy. Sed aequales sunt perimetri; ergo rectan- 
£uxlum quod rectà 49 οἱ polygoni δεζ perimetro continetur 
KAzaius est quam id quod rectà xg et polygoni ay perimetro. 
Et horum rectangulorum dimidia sunt polygoná?); ergo: po- 
lygonum óef maius est quam affy. 
lI. Sit rursus polygonum efjy aequilaterum οἱ aequi- Prop. 
amgulum, cuius perimetrus aequalis sit circuli δὲζ circum- 1 
fexrentiae; dico circulum δὲζ maiorem esse polygono aj. 


1) Lemma sphaericorum a scriptore citatum nostra aetate periisse 
videtur, quod ita restituit Commandinus, ut demonstret triangulum enu 
maius esse quam sectorem ogu, et trian- 
gulum 47x minus quam sectorem μηξ; esse 
autem inter se triangula ut au : ux, et sec- 
tores ut [. «zu : [, μηξ; ergo eu : ux Ὁ 
L αημ : L unx, et componendo ax : ux Ὁ 
L «nx : [, μηκ. Sed forsitan scriptor illud 
lemma spectaverit quod infra propos. 27 le- 
gitur. Sic igitur ad Archimedis de sphaer. 
et cyl. I propos. 4 et 2 provocaverit, atque 
ostenderit primum rectam ux minorem esse 
quam rectam μᾷ, eoque magis quam circum- 
ferentiam μξ, tum rectam aj maiorem esse quam tangentem ex μὲ ad 
€? ductam, eoque magis quam circumferentiam oí, unde efficiatur 
€ : ux  [ enu : [, μηξ, et cetera perinde atque antehac. ' 


3) "Nam triangulum 9d dimidium est rectanguli quod δξ et 94 
Continetur" Co, unde illa quae supra posita sunt facile efficiuntur (quae 
mquem consentanea Graecus scriptor omisit). 
———M——— 
8. 9. τῆς ὑπὸ 1.140 ABS, corr. Co Sca 17—23. "vide ne hoc 
8cholium quoddam sit librarii incuria hoc loco insertum" Co — 47. ἔσον 
S, ἄνισον A, Sed ἀν expunctum, ἄνυσον ΒΒ 24. 89" add. B 





912 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHSZ E. 
Εἰλήφϑω τοῦ μὲν 4ΕΖ κύχλου κέντρον τὸ O, τοῦ 


περὶ τὸ ΑΒΓ πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντι 
τὸ Η, καὶ περιγεγράφϑω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμο 


p; 





ὥ χ y 


τῷ J4BDU τὸ J£MNAO, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΘΖ, καὶ κάϑε 
ἀπὸ τοῦ H ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχϑω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν uci 
ἐστὶν 7) τοῦ .4MMNEO πολυγώνου περίμετρος τῆς τοῦ 4. 
κύχλου περιφερδίας, ὡς ἐν τῷ regi σφαίρας καὶ κυλίνδι 
ἀρχιμήδει ὑπόκειται [διὰ τὸ περιέχειν αὐτήν], ἡ δὲ : 
χύχλου περιφέρεια ἴση ἐστὲν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου πε 
μέτρῳ, καὶ ἡ τοῦ ΑἸΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος uli 
τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστιν ὅμοια 
πολύγωνα" μείζων ἄρα ἡ 4 τῆς AK. καὶ ἔστιν ὅμο 
τὸ ΔῊΗΚ τρίγωνον τῷ 2104 τριγώνῳ (καὶ γὰρ τὰ ὅλα : 
λύγωνα δμοιά ἐστι)" μείζων ἄρα καὶ ? O4 τῆς HK. 
δὲ ἡ τοῦ A4EZ κύχλου περιφέρεια τῇ τοῦ 4ΒΓ πολυγώ 
περιμέτρῳ μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς 4O καὶ τῆς τοῦ 4. 
χύχλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς HK καὶ τῆς τοῦ Α 
πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς 4O : 
τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ 4Ε2Ζ κύκχ., 
(καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ ᾿Ιρχιμήδους ἐν τῷ περὲ τῆς τοῦ κύκ. 
περιφερείας δέδεικται), τὸ δὲ ὑπὸ τῆς HK καὶ τῆς : 
ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ zo 
γώνου, καὶ τὰ ἡμίση" μείζων ἄρα ὃ κύκλος τοῦ ΑΒΓ: 
λυγώνου. 

6 4. Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ xx. 


M 


xai τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἔστι τοῦ κύχλου Jg 


LIBER V. PROPOS. 3. . 9183 


Sumatur circuli de centrum, 29, et circuli qui circa po- 
lygonum «fy describitur centrum ἢ, et describatur circa cir- 
culum δὲζ polygonum ἀμνξο simile polygono αβγ, et latus 
Ào circulum tangat in ὃ, eV iungatur 90, et ab y, ad «y du- 
catur perpendicularis 7x. lam quia polygoni Au»Po peri- 
metrus maior est circuli δὲζ circumferentià, ut in primo libro 
de sphaera et cylindro (propos. 2) ab Archimede expositum 
est, et circuli de, circumferentia aequalis est polygoni ay 
perimetro, est igitur ' 

perim. ἁμνξο *» perim. ofy. Et sunt similia polygona; 

ergo 
ἀὸ * ox. Et quia tota polygona similia sunt, est etiam 

A 430 — Δ αηκ; itaque 

9Ó nx. 

Sed circuli δεζ circumferentia aequalis est polygoni ey peri- 
metro; ergo rectangulum quod rectà ϑδ et circuli dec circum- 
ferentià continetur maius est quam id quod rectà ηκ et po- 
lygoni ay perimetro. Et est rectangulum quod rectà 2 et ᾿ 
circuli de; circumferentià continetur duplum circuli δεζ — 
nam hoc quoque ab Archimede in libro de circuli circum- 
ferentia demonstratum est!) — sed rectangulum quod rectà 
7x et polygoni of» perimetro continetur duplum est polygoni 
αβγ; atque μὲ tota, ita inter se sunt dimidia; ergo circulus 
det maior est polygono affy. 

Ill. Etsi rectangulum quod circuli perimetro et radio Prop. 
continetur circuli duplum esse Archimedes demonsiravit, ta-. 3 


4) Sic a scriptore liberius citatur Archimedis xvxàov μέτρησις, 
cuius prima propositio est: πᾶς χύκχκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρϑογωνέῳ, 
οὗ ἡ μὲν ἔχ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρϑήν, ἡ δὲ περέμετρος 
τὴ λοιπῇ. 


3. τὸ ΑΒΓ Co pro τὸ 48 8. διὰ — αὐτήν interpolatori tribuit 


Hu 14. τῆι HK A(B), corr. S 16. περιμέτρου AB, corr. S 
τηστουτου 4EZ A(BS), sed in B alterum vov expunctum 17. τοῦ 
ABI' Co pro τοῦ .AB 21. περιφερείας] μετρήσεως coni. Co (conf. 


adnot. ad Lat.) 48. L'?" add. B(S) 


, 814 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΡῊΣ E. 


μήδης ἀπέδειξεν, οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ ἑξῆς δειχϑήσεται τοῦτο 
πρὸς τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ ΦΙρχιμηδείου συντάγματος ἕνεκεν 
μόνου τοῦ ϑεωρήματος τούτου. 

Ἔστω. γὰρ κύχλος ó ΑἸΒΓΖΩ͂, καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περι- 
μέτρου αὐτοῦ xai τῆς dx τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Z5 
χωρίον" λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓΟΑ͂ 
κύχλῳ. 

Ἔστω γὰρ, πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν 
ἄρα ἐστὶν ἀκολούϑως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν 
στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν .41ΒΓΖΩ κύκλον πολύγωνον, ὥστε 10 
τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρό- 
τερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύχλον xai oL περι- 
φέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, 
μέχρις ἂν λειφϑείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὕπερ- 
οχῆς ὑπερέχει ὃ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἔγγε- 15 
γράφϑω, καὶ ἔστω τὸ Α4ΒΓΖΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου 
ἤχϑω ἐπὶ uio». πλευρὰν τοῦ ΑἸΒΙΖ,Ὲ πολυγώνου ἐπὲ τὴν 
DI4 κάϑετος ἣ HO. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓΖάΑ͂ 
κύχλου μείζων ἐστὲ τῆς περιμέτρου τοῦ .4BIAE ὅποσα- 
γώνου, ἡ δ᾽ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς HO, τὸ ἄρα ὑπὸ 20 
τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔΩ͂ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου 
μεῖζόν ἔστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ 48Γ4Ἐ πολυ- 
γώνου καὶ τῆς HO. καὶ τὰ ἡμίση" μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χω- 
oíov τοῦ .4BI AE πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον" ὑπόκειται 
γὰρ ἔλασσον" οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ 4ΒΓΖΩ͂ κύκλος τοῦ Ζ 25 
χωρίου. - 

“Ἱέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω 
ἐλάσσων δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν «4ἍΒΓ4 κύκλον 
πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περι- 
γεγραμμένου πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγρα- 30 
φείη περὶ τὸν κύχλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπο- 


Ὡς- 


4. 6 ABT et 10. τὸν ΑΒΓ ABS, corr. Ὁ 1. ὁ AB F4 A, coniunx. 
BS 18. ἡ HOGE ἐπεὶ ABS, corr. Co — 35. ὁ ΑΒΓ ABS, corr. Co 
27. ἔστω A! corr. ex ἔσται 


LIBER V. PROPOS. 3. 315 


men ἃ nobis idem deinceps ostendetur, ne propter hoc unum 
theorema Archimedis librum adire necesse sit. 

Sit enim circulus αβγδ, et rectanguli quod circuli peri- 
zxnetro et radio continetur dimidia pars sit spatium P; dico 
spatium £ circulo αβγδ aequale esse. | 

Sit enim primum, 

si fieri possit, minus. 

X Ergo convenienter iis 

quae duodecimo ele- 


{,. mare (rre 
A | 
wv - 


y δ αβγὸδ licet polygonum 
7 ita inscribere, ut id 
/ " ipsum maius sit spatio 
NU 
v 






C, siquidem primum 
quadratum in circulum 
inscribatur et cireum- 
ferentiae segmentorum 
quae exira relinquuntur semper bifariam secentur, donec seg- 
menta quaedam relicta sint minora eo excessu quo circulus oyó 
spatium Z superat. Inscriptum sit eiusmodi polygonum αβγὸς ἢ, 
et a centro ? ad unum eius latus, velut yó, ducatur perpen- 
dicularis 73. Iam quia circuli agyó perimetrus. maior est 
perimetro polygoni αβγδε, ac circuli radius maior quam 79, 
rectangulum igitur quod circuli egy perimetro et radio con- 
ünetur maius est quam quod polygoni αβγδὲ perimetro et 
rectà 79. Atque item dimidiae partes; ergo spatium ζ maius 
polygono affyde, quod quidem fieri non potest; nam ex hy- 
pothesi minus est; ergo non maior est circulus αβγὸ spatio C. 

Sed nego etiam circulum minorem esse spatio bL. Si 
enim fieri possit, sit minor; ergo circa circulum αβγὸ licet 
Polygonum ita describere, ut spatium & maius sit quam id 
- quod circumscriptum est polygonum, siquidem primum qua- 
dratum circa circulum describatur, et circumferentiis, quae 


gu 


*) Figura in codice tradita pentagonum circulo inscriptum atqug 
alterum circumsceriptum exhibet, 


9 


10 


316 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


λειιομένων περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι, μέχρις ἂν 
ἀπολειφϑῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων, ἃ ἔσται 
ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς 5 ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓΩ͂ 
χυχλου" τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν [ἀνάγκῃ] γενέσϑαι δέδεικται. 
περιγεγράφϑω οὖν, ὡς εἴρηται, τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ δ 
KAMNA, καὶ ἐπεζεύχϑω ἀπὸ τοῦ H κέντρου ἐπὶ μίαν 
τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ 
KA44MNX πολυγώνου μείζων ἐστὲν τῆς περιμέτρου τοῦ 
«ΑΒΓΖΩ͂ κύχλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ K. 4MNAE 
πολυγώνου καὶ τῆς HO μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περι--10 
μέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου xai τῆς HO. καὶ τὰ ἡμίση 
τὸ ἄρα KA4MNE πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου, ὅπερ 
ἀδύνατον: ὑπόκχειται γὰρ ἔλασσον" οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον 
μεῖζον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. 

Ἐδείχϑη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον: ἴσον ἄρα. xai ἔστι 1 
τοῦ Ζ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ 4ΒΓΖάΑ͂ 
χύχλου xai τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύχλου. 

ὃ. Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων, 
& ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, Ó κύχλος γίνεται μεί- 
ζων, ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων, 2C 
ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δειχϑήσεται γὰρ 
ὅτε καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ τιλευ- 
ρὰς ἰσοπληϑεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν 
χαὶ ἰσογώνιον. πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ 
λαμβανόμενα ϑεωρήματα προγράψομεν. 2- 

Ἔστω τρίγωνον τὸ «ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν .4B τῆς ΒΓ, 
xai εὐθεῖα ἡ E, ἥτις ἔστω ἐλάσσων μὲν τῆς 418, μείζων 
δὲ τῆς ΒΓ ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΓ δύο εὐϑείας 
συσταϑῆναι, ὥστε συναμφοτέρας μὲν ἴσας εἶναι ταῖς ΑΒΓ, 
μέαν δὲ αὐτῶν ἴσην τῇ E. 3 


4. ἀνάγχηι À, ἀνάγχη BS, del. Co δειχϑήσεται ABS, corr. Co 
(conf. cap. 7) 6. ἐπιζεύχϑω À, corr. BS 17. ἡ HO A, sed O non 
satis perspicuum, unde ἡ 39 BS 8. μεῖζον AB, corr. S 16. τὸ 
ὑπὸ Sca (illud Co) pro τοῦ ὑπὸ 48. δον' add. B(S), numerus huius 
lemmatis infra cap. 18 citatur — 27. ἔστω Hu pro ἐστὶν 


LIBER V. PROPOS. 4. 917 


?nler bina, contactás puncta relinquuntur, semper bifariam sec- 
tis tangentes ducantur, donec figurarum, quae extra sunt, re- 
linquantur quaedam segmenta minora eo excessu quo spatium 
C circulum agyó su- 

perat; hoc enim fieri 

X posse demonstratum 


ERE: est (elem. 12, 2). Cir- 







cumscriptum igitur sit 





4 ᾿ ᾿ 
| eiusmodi  polygonum 
y 5 κλμνξ, et a centro ἢ 
Ν ad unum  contactüs 
a punctum 0 iungatur 
70. lam quia polygoni 
ξ v χλμνξ perimetrus ma- 


ior est circuli αβγδ 

perimetro, rectangu- 
lum igitur quod polygoni κλμνξ perimetro et rectà,7o conti- 
netur maius est quam quod circuli αβγὸ perimetro et eádem 
70. Atque item dimidiae partes; ergo polygonum xAu»$ maius 
spatio C, quod quidem fieri non potest; nam ex hypothesi 
minus est; ergo non maius est spatium ζ circulo αβγὸ. 

Sed demonstravimus etiam non minus esse; ergo ae- 
quale est. Et est spatii 5 duplum rectangulum quod circuli 
αβγδ perimetro et radio continetur. 

IV. Neque solum planis figuris ordinatis, quae aequi- 
laterae et aequiangulae sunt, circulus maior est, sed etiam 
lis quae inaequalia latera et dissimiles angulos habent, si- 
quidem eandem atque illae perimetrum habeat. ^ Demonstra- 
bimus enim polygonorum, quae aequalem perimetrum eun- 
demque laterum numerum habent, maximum esse aequi- 
laterum et aequiangulum. [am primum theoremata, quae ad 
eam demonsirationem adsumuntur, praemittemus. 

Sit triangulum ey, cuius latus af maius quam fly, et Prop. 
recta £ minor quam ef! ac maior quam fy; dico fieri posse 
ut in bas? oy duae rectae constituantur, quarum summa ae- 
qualis sit ipsis «9 -- By, una autem aequalis ipsi 8. 


318 ^ ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


Ὅσον γὰρ ὑπερέχουσιν ot .4B ΒΓ τῆς E, ἔστω ἡ Z: 
f Z ἄρα τῆς μὲν .4B ἐλάσσων ἐστὶν (ὅτι συναμφότεραι 
αἱ ΑΒΓ ταῖς E Z ἴσαι εἰσίν, ὧν $ E τῆς ΓΒ μείζων), 
| τῆς δὲ ΓΒ μείζων (ἐπεὶ 
δ P συναμφότεραι πάλιν ai ὃ 
ΑΒΓ ταῖς E Ζ ἴσαι, 
εἰ «| ὧν ἡ E τῆς 44 ἐλάσ- 
σων). ἐπεὶ οὖν αἱ 
ABT τῆς AT μείζονές 
« γ εἰσιν, καὶ at E Z üga10 
τῆς 4T" μείζονές εἰσιν. 
ἐπεὶ δὲ καὶ αἱ ΑΓΒ τῆς 4B μείζονές εἶσιν, καὶ ἔσει 
τῆς μὲν ΓΒ μείζων ? E, τῆς δὲ .4B ἐλάσσων ἡ Ζ, 
πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ E τῆς Z μείζονές εἶσιν. ὁμοίως ἐπεὶ 
αἱ .4TB τῆς 4B μείζονες, ἀλλὰ τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Z,15 
τῆς δὲ 418 ἐλάσσων ἢ E, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ζ τῆς E 
μείζονές εἰσιν. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ΑΓ E Ζ τρί- 
γωνον συστήσασϑαι. συνεστάτω τὸ ΑΓΩΑ͂ « [καὶ φανερὸν 
ὅτι εἰ μὲν ἴσαι εἰσὶν at E Ζ, ἰσοσκελὲς ἔσται τὸ 4Γ24 
τρέγωνον, εἰ δὲ ἄνισοι, 1) μείζων αὐτῶν ἴση ἔσται τῇ L4]. 2C 
11 ε΄. Τῶν ἰσοπεριμέτρων τριγώνων καὶ τὴν αὐτὴν βάσιν 
ἐχόντων τὸ ἰσοσχελὲς μέγιστόν ἐστιν, καὶ ἀεὶ τὸ ἰσοσκελέ- 
στερον μεῖζον. 

Ἐπὶ γὰρ τῆς ΒΓ βάσεως ἰσοπερίμετρα ἔστω τρίγωνα, 
ἰσοσκελὲς μὲν τὸ 41ΒΓ, ἰσοσχελέστερον δὲ τὸ ΒΖΓ τοῦ BET? 
(δυνατὸν γὰρ χκατασχευάσαι διὰ τὸ προδειχϑὲν ἔναγχος) " 
λέγω ὅτι μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ, μεῖζον δὲ τὸ BAT 
τοῦ BET. 


2. ὅτι) in promptu est ἐπεὲ coniicere; sed ὅτε hoc sensu infra sae- 


pius redit 8. ταῖς EZ A, distinx. BS, item vs. 6 4. post 
τῆς δὲ ΓΒ μείζων add. ἡ Z ABS, del. Hu (aliter Co, qui tamen cor- 
ruptelam auxit, non sustulit) 10. xal αἱ EZ A, distinx. BS 


44. αἱ ΑΓΕ ΔΒ Paris. 2368, αἱ « y € S, item αἱ .ATZ etc. vs. 46 
15. τῆς μὲν ΓΕ AB, corr. S 47. Ex τῶν ΑΓ EZ ABS, distinx. Co 
18. lacunam indicavit et in Latinis explevit, item x«l φανερὸν — 40, τὴ 


LIBER V. PROPOS. 5. 319 


Sit enim ζ — af -- By — c; ergo est 

of » C (quia af -Ε fy e e t οἱ e» B), οἱ 

D» By (quia rursus of 4- By — e -- G ete « af). 
lam quia (elem. 4, 20) sunt af -- fy cy, 


ergo etiam scL » αγ. 
Sed quia etiam sunt «y -Ὁ By »» aff, 
et e By, 
e αβ»ξ; 
multo igitur sunt ey 4- € o» C. 
Similiter quia sunt &y -- By »- of, 
et U» f 
et af e, 


multo igtur sunt ay --b €. 
Ergo ex rectis αγ & 5 triangulum construi potest. (elem. 4, 22). 
Constructum sit triangulum ady; ergo in basi αγ duae rectae 
constitutae sunt, quarum una aequalis est ipsi e, summa au- 
lem. aequalis ipsis ag -- By. 

V. Triangulorum, quae aequalem perimetrum et eandem Prop. 
basim habent, aequicrure maximum est, et semper maius id 
quod ad aequicrure magis accedit. 

t Etenim in basi y 
sint triangula aequali pe- 
rimetro, quorum aequi- 
crure sit afy, et Ófy 
magis quam egy ad ae- 
quicrure accedens (haec 
enim construi possunt 
propter lemma modo de- 
monstratum); dico tri- 
angulum αβγ maximum 
esse, maius autem ófy 
quam εβγ. 





T'4 interpolatori tribuit Hu — 49. αἱ EZ A, déstinx. Β.88 94. & A! 
in. marg. (BS) 


320 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ F. 


Ἐχβεβλήσϑω 3j B4, καὶ xelo90 τῇ ΓΑ͂ ἴση ἡ 42, 
xol ἐπεζεύχϑωσαν αἱ Z4 4.4. ἐπεὶ οὖν αἱ ZAB τῆς ΒΖ 
μείζονές εἰσιν, καὶ τῶν ΒΑ͂Γ ἄρα μείζονές εἰσιν (ἴση γὰρ 
ἡ ΑΓ τῇ 42). ἀλλ᾽ αἱ BAT ταῖς BAT ἴσαι εἰσίν καὶ 
αἱ BAZ. ἄρα τῶν BAT μείζονές εἰσιν. κοινῆς ἀφαιρεϑείσης 5 
τῆς B4 λοιπὴ ἣ Zl τῆς 47 μείζων ἐστίν. δύο δὴ αἵ ΖΑ 
δύο ταῖς I.44 ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἣ 
Z4 βάσεως τῆς AT μείζων" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑ4 γω- 
νίας τῆς ὑπὸ 4ΔΑ͂Γ μείζων ἐστίν. ἣ ἄρα ὑπὸ Ζ1 τῆς 
ὑπὸ 4.4T μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. διπλῆ δέ ἐστιν τῆς ὑπὸ 10 
«ΒΓ, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΓΒ (ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ τρίγω- 
γον)" xai ἡ ὑπὸ 41 ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ .14Γ΄. 
χείσϑω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ 
IAH: παράλληλος ἄρα 
ἐστὶν ἡ .4H τῇ ΒΓ διὰ τὸ 
τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας. 
ἐκβληϑείσης οὖν τῆς F4. 
ἐπὶ τὸ Η καὶ ἐπιζευχ- 
ϑείσης τῆς ΒΗ φανερὸν 
ὅτε τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ει 
τοῦ BAT μεῖζόν ἐστιν" 
ἴσον γὰρ τὸ ΒΑ͂Γ τῷ 
ΒΗΓ. πάλιν ἐκβεβλή- 
σϑω ἡ B4 ἐπὶ τὸ K, 
καὶ κείσϑω τῇ AT ἴση ἡ 4K, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΚΕ AE. 25 
ἐπεὶ αἱ BEK τῆς ΒΚ, τουτέστιν τῶν BAT, τουτέστιν τῶν 
ΒΕΓ μείζονές εἰσιν, κοινῆς ἀφαιρεϑείσης τῆς ΒΕ λοιπὴ ἡ 
EK τῆς ET μείζων ἐστίν. δύο δὴ αἱ KAE δυσὶ ταῖς ΓΩῈ 
ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ" καὶ βάσις ἡ ΚΕ βάσεως τῆς 
ET μείζων. γωνία ἄρα 1 ὑπὸ KAE γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΔῈ30 
μείζων ἐστίν" μείζων ἄρα $ ὑπὸ ΚΑΤ ἢ διπλῆ τῆς ὑπὸ 
IAE. τῆς δὲ ὑπὸ 4ΓΒ ἐλάσσων ἢ διπλῆ ἡ αὐτὴ ἣ ὑπὸ 
KAT (μείζων γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ALB τῆς ὑπὸ 481. ἔσαι 
γὰρ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ AT B) μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ 4Γ8 τῆς ὑπὸ 
TAE. συνεστάτω πρὸς τῇ 4Γ καὶ τῷ 4 τῇ ὑπὸ ALB ἴση 3» 


x 


ἡ ὑπὸ DA44* φανερὸν yàg ὅτι μεταξὺ τῶν AE AK ἣ 4.4 





LIBER V. PROPOS. 5. 321 


Producatur fa, et ponatur a£ — o, et iungantur ζὸ δα. 
lam quia sunt 
ζὸ - 08 — BL, sunt igitur etiam (quia αζ — ay) 
» βὰ -- «y. Sed ex constructione sunt 
βα -- «y Ξε fà - ày; ergoetiam 
» βὸ -- y. Auferatur communis 80; restat 
igitur 
CÓ  ὃγ. lam quia in triangulis ζαδ yaó est Co — γα, 
et α — aÓ, et CÓ 7» yÓ, est igitur 
L Cad » [ γαδ; ergo 
L Cay 2L yod. Sed est L Cay — 34 αβγ τῷ 2 L αγβ 
(nam triangulum ey aequicrure est); 
ergo esi 


L αγβ» L yaó. 
Ponatur /[ y«y — L «yf; ergo e» By parallelae sunt propter 
aequales angulos alternos. lam productà yÓ ad ἡ et iunctà 
B9 apparet esse 
Δ αβγ»ΒΈ Δ ὅὄβγ, quia A ay — Δ vy. 
Rursus producatur BÀ ad x, et ponatur óx — ὃγ, et iungan- 
tur χε δε. Quia sunt 
Bs - ex *» fx, id est 
» βὸ - Óy, id est. 
Bs -- sy, communi sublatà fe restat 
ex *» &y. lam quia im (riangulis xÓe& γδὲ est «à — γὸ, 
οἱ δὲ — δε, et χε Ὁ ye, est igitur 
L «0c  ( yóe. Ergo 
L*xóy » 2 L yóc. Sed est 
L xóy « 2 δγβ (est enim L xdy — L δγβ -- L ὅβγ, 
et L ὃγβ.» L ὄβγ, quia L 0y8 
LoyB, et LOBy « L αβγ, et L αγβ 
— ἰ ofy); ergo 
L yf »  γδε. 
Construatur ad rectam yó punctumque d angulo $yÓ aequa- 
lis ;0À; apparet enim rectam δὰ inter δὲ Óx esse, quoniam 
3. αἱ Z 4B» τῆς Δ 25. LU UE AT A 28. utiCov (sine acc.) A, 
corr. BS 34. αἱ ὑπὸ ABI AT ABS, corr. Co Sca 35. πρὸς τὴν 
41 AB, corr. S 
Pappus I. 91 


922 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ F. 


ἔσται παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας" 
ἐχβληϑείσης ἄρα τῆς DE ἄχρι τῆς 4.1 παραλλήλου καὶ 
συμπιπτούσης κατὰ τὸ Δ καὶ ἐπιζευχϑείσης τῆς B^4 ἔσται 
τὸ ΒΓΖ τρίγωνον ἴσον τῷ ΒΑΓ [imi τῆς αὐτῆς βάσεως 
τῆς ΓΒ καὶ παραλλήλων τῶν ΒΓ 4.1], ὥστε μεῖζον εἶναι 5 
|. φὸ ABT. τρίγωνον τοῦ ΒΕΓ ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ΒΖΓ. 

12 ς΄. Πάλιν ἔστω δύο τρίγωνα ὀρϑογώνια ὅμοια và ΒΓ 
4Ε2Ζ ἴσας ἔχοντα τὰς D Ζ γωνίας: λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ 
42 ὡς μιᾶς ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς χαὶ τῷ 


ἀπὸ ΑΒ 4E ὡς μιᾶς. 10 
x 
& 
ϑ ὃ 
β 7 7 ξ á 


Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ EZ ἐπὶ τὸ H, καὶ κείσϑω τῇ ΒΓ 
ἴση ἡ EH, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η παράλληλος τῇ 4E ἀχϑεῖσα 
συμπιπτέτω τῇ 4Z ἐχβληϑείσῃ κατὰ τὸ K, διὰ δὲ τοῦ A 
παράλληλος τῇ ZH 4$ 4O. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἣ 4O τῇ 
HE ἐν παραλληλογράμμῳ, τουτέστιν τῇ BI, καὶ ἡ ὑπὸϊι! 
KAO γωνία τῇ Z ἴση, τουτέστιν τῇ Γ, καὶ ὀρϑὴ ἡ O τῇ B, 
καὶ λοιπὴ ἡ K τῇ 44, ἰσογώνια ἄρα τὰ KOA4 ABI τρί- 
γωνα καὶ ἴσα" τὸ ἄρα ἀπὸ ΚΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΗΖ, 
τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΓ 42 ὡς μιᾶς τῷ τι ἀπὸ 4B AE 
ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ BI' ΕΖ ὡς μιᾶς. 2: 

13 ζ΄. Τὰ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συναμφότερα τῶν ἐπὶ 
ταῖς αὐταῖς βάσεσι συναμφοτέρων ἐσοσχελῶν τριγώνων ἄνο- 
μοίων μὲν ἀλλήλοις καὶ τοῖς ὁμοίοις, ἰσοπεριμέτρων δὲ 
αὐτοῖς, μείζονά ἐστιν. , 

Ἔστω ὕμοια ἰσυσχελῖ τρίγωνα τὰ 4ZB BAT, καὶ 25 


LIBER V. PROPOS. 6. 7. 323 


propter aequales angulos alternos ipsi f» parallela est; ergo 
Si γε ad δὰ parallelam producatur eique occurrat in puncto 
À et recta βλ iungatur, erit 

A λβγ τ, Δ ὅβγ. Sed ex constructione est 

A ÀAgy * Δ sfBy, el supra demonstravimus esse 

A 0f. « Δ ay; itaque erit 

A αβγ» Δ 0fy » Δ effy. 

VI. Rursus sint duo triangula orthogonia similia of Prop. 
ῥεζ aequalibus angulis y» C; dico esse 

(ay 4- δῶ) — (By - eC)? -Ε (aB 4 06)?. 

Producatur enim i& ad ἢ, et ponatur ey — jy, et per 
? rectae δὲ parallela ducatur, quae ipsi CÓ productae occur- 
rat in x,,et per ὃ rectae C5 parallela 09. Iam quia est 
ϑὸ — we in parallelogrammo, id est 9à 2 fy, et [, x09 — 

L κζη — L αγβ, et rectus [ κϑὸ — ὁ afly, et reliquus [, ϑχὸ — 
L fey*), wiangula igitur x99 αβγ similia et aequalia sunt. 
Ergo est 

xb? τῷ. x5»? - nD, id est 

(ay - 0D)? — (of -- 05)? - (By -- eD)?. 

VII. Summa similium triangulorum aequicrurium maior Prop. 
est summá triangulorum aequicrurium quae in iisdem basi- ! 
bus constituta ac dissimilia cum sibi invicem tum illis simi- 
libus sunt, sed quorum summa laterum aequalis est laterum 
summae illorum. 

Sint similia triangula aequicruria ζὸβ oy, et in iisdem 
basibus alia aequicruria triangula δὃβ Agy, quorum summa la- 


*) Graeca p. 332, 44. ἐπεὶ οὖν — 17. ἡ K τῇ .4, si absint, nemo 
desideret; item proximo lemmate p. 324, 8. verba ἴσαι γάρ εἶσιν — 
15. ὀρϑαὶ αἱ M M. Sed veteres mathematici etiam in difficilioribus 
demonstrationibus interdum ad ipsa tironum elementa descendunt. 
Conf. infra Simsoni adnotationem ad VII propos. 162. 


. παραλληλαῖς ABS, corr. Sca (Co) . ἐπὶ τῆς — ΒΓ 4.4 
terpolator tribuit Hu 5. τῆς IB A? ex τῆς M. 6. ὄντος : ToU 
BAT ABS, corr. Hu 7. & A! in marg. (B), om. S 8. τὰς ΓΖ A, 
distinx. BS 47. τὰ KG.4 ABS, corr. Co 49. τῷ τε Hu pro xoi 
τῶι (χαὶ om. etiam Co) $1. CA! in marg. (B), om. S 

21* 


924 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων ἄλλα ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ Ζ4ΕΒ 
BAT ἰσοπερίμετρα μὲν τοῖς 4ZB ΒΑΓ, ἀνόμοια δὲ ἐξ 
ἀνάγκης [ὅτι αἱ γωνίαι ἄνισοί εἰσιν] " τοῦτο δὲ ὡς δυ- 
γατὸν κατασκευάσαι δειχϑήσεται' λέγω ὅτι τὰ 4BZ 
ΒΑΓ συναμφότερα τῶν 4EB BAFI συναμφοτέρων μεεἰ- 5 
ζονά ἔστιν. 

Ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΕΖ 441, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ 
τὰς βάσεις" τεμοῦσι δὴ αὐτὰς δίχα τε καὶ πρὸς ὀρϑάς " ἴσαι 
γάρ εἰσιν ot 4ΕΖ ταῖς ΒΕΖ, καὶ βάσεις ἴσαι αἱ 4Z ZB. 
διὰ τὸ ἰσοσκελῇ εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ γωνίαι ἴσαε [καὶ 10 
ὅμοια τὰ 4382 ZEB τρίγωνα), ὥστε xai τὰς ἐκτὸς γωνίας 
Z Z ἴσας εἶναι [ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἐντός], ἴσαι δέ εἰσιν καὶ 
αἱ 4 B, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ H H ἴσαι: ὀρϑαὲ ἄρα εἰσίν" 
καὶ ἴσαι αἱ ΖΉ ΗΒ. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ BM MT ἴσαι εἰσίν, 
xci ὀρϑαὶ αἱ ΜΙ M. τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὰ H M, καὶ 15 
ἐχβεβλήσϑω ἡ EH, καὶ κείσϑω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΘ, καὶ ἐπε-- 
ζεύχϑω ἡ OB: ἔσται δὴ ἴση ἡ ὑπὸ EBH τῇ ὑπὸ OBH. 
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ (ὅτε καὶ τῆς ὑπὸ 
ZBH ἴσης" ὅμοια γὰρ τὰ 482 BAT. τρίγωνα) - καὶ ἡ ὑπὸ 
OBH ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ J4BI" ἡ ἄρα τὰ O 4 σημεῖα 20 
ἐπιζευγνύουσα τέμνει τὴν BM, ὑποχειμένης τῆς BI εὖ- 
ϑείας καὶ τῆς OBN ἐκβεβλημένης ἔξωϑεν τῆς 48, ὅτι 
ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΘΒΗ͂, τουτέστιν τῆς 
χατὰ κορυφὴν τῆς ὑπὸ NBI, καὶ πολλῷ ἢ ὑπὸ ABT ἐλάσ- 
gov», ὥστε τὴν BM τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς ΘΑ͂ κατὰ τὸ Καὶ 25 
[καὶ φανερὸν ὅτι οὐ τὴν MI τέμνει, ἵνα μὴ τὴν 44M. ἐχ- 
14 βαλλομένην τέμῃ κατ᾽ ἄλλο σημεῖον τοῦ 1). ἐπεὶ οὖν αἵ 
JEB BAT ταῖς 4ZB BAT ἴσαι εἰσίν (ὑπόκεινται γὰρ 


3. ὅτι — εἶσιν interpolatori tribuit Hu 8. ἴσαι — 45. αἱ M M] 
conf. p. 333 adnot. * 10—12. manifesta glossemata duo del. Hu 
43. αἱ 4B A, distinx. ΒΞ' 45. κατὰ τὰ I7M A, distinx. BS — 46. ἡ 
EH Co Sca pro ἡ ΘΗ 20. «oc τὰ Θ.1 A, distinx, BS 23. τῆς 
ὑπὸ OIIB ABS, corr. Co Sca 26. 47. x«l (φανερὸν — τοῦ «Α΄ inter- 
polatori tribuit Hu | 


LIBER V. PROPOS. 7. 325 


terum aequalis sit summae laterum triangulorum Cóf ofly, ipsa 

triangula autem necessario illis dissimilia (hoc enim construi 

posse ;/nfra propos. 8 demonstrabitur) ; dico esse A ζὸβ 4- 

A afly *» Δ εὃ3 - A fly. 

« lungantur eZ 
«À producantur- 
que ad bases ; has 
igitur bifariam et 
ad rectos angulos 
secabunt. — Sunt 
enim &À — ef), et 

y eb 2 εζ, et 05 — 
BC, quia triangula 
aequicruria sunt, 
ideoque ^ anguli 
aequales, itaque 
etiam anguli ex- 
terni ζ ζ aequa- 

les sunt; sed etiam anguli ὃ f aequales; ergo etiam re- 

liqui 7 9; hi igitur recti sunt, et aequales δῃὴ v8. Simi- 
liter etiam fu &y aequales et anguli 4 & recti sunt. Rectae 
igitur e£ αλ productae secent bases in punctis y μ, et pro- 
ducatur ep eique aequalis ponatur 72, et iungatur 98; an- 

guli igitur egy Jf» aequales erunt. Sed est angulus s» 

maior angulo «y (quia etiam angulo Cm, qui ipsi ay 

aequalis est; nam triangula CÓ αβγ similia sunt); itaque 
eliam angulus ϑβὴ maior est angulo of». Ergo recta puncta 

9 À iungens secat rectam f, supposità scilicet. rectà 0fly 

οὐ productà 9g» extra af, quia angulus ay minor est an- 

gulo 26875, id est angulo vy ad verticem; et angulus Afy 
multo minor est angulo »8y; itaque fj rectà 94 secatur, 
idque in puneto x [et apparet punctum x non inter à γ ca- 
dere; nam si ita esset, recta 94 ipsam Àu productam seca- 
ret in alio puncto ac 4]. Iam quia ex hypothesi sunt 
δὲ - εβ -4- BÀ - Ày — δὲ -- CB 4- Ba -- ay, atque 
item dimidiae partes 


€ 





36. ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ε. 


ἰσοπερίμετροι), καὶ αἵ ἡμίσειαι αἱ EB^4, τουτέστιν αἵ 
ΘΒ, ταῖς ZB.4 ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ OB.4 τῆς O4 μεί- 
ζονές εἰσιν, καὶ 
αἵ ΖΒΑ͂ ἄρα τῆς 
O4 μείζονές εἰ-- 5 
σιν. χαὶ τὸ ἀπὸ 
συναμφοτέρου 
ἄρα τῆς ΖΒ. ὡς 
μιᾶς μεῖζόν ἐστιν 
τοῦ ἀπὸ  O.4.10 
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ 
᾿ συναμφοτέρου 
τῆς ZB.A ὡς μιᾶς 
ἴσα εἰσὶν τὰ ἀπὸ 
συναμφοτέρου 15 
τῆς ZH 4M με- 
và τοῦ ἀπὸ Ov»- 
αμφοτέρου τῆς HBM ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ HM, 
διὰ τὴν τῶν HZB BAM τριγώνων ὀρϑογωνίων ὅμοιό- 
τζητα (τοῦτο γὰρ προεδείχϑη), τῷ δὲ ἀπὸ ΘΑ͂, τουτέστιν 2C 
τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΚ ΚΙ ὡς μιᾶς, ἴσα ἐστὶν τὰ 
ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΜ HO ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ 
ἀπὸ ΑΜ HE ὡς μιᾶς, μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς 
HK KM ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ HM, διὰ τὸ αὐτὸ 
προδειχϑέν" τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς 4M ΖΗ ὡς 3: 
μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ HIM μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου 
τῆς EH 47: ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ HM. χοινὸν ἀφῃρή- 
σθω τὸ ἀπὸ HIM: λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς 
ZH .4M ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς 
HE .4M ὡς μιᾶς: καὶ μήκεε ἄρα μείζων ἡ ZH ΑΜ ὡς 36 
μία τῆς EH 44M ὡς μιᾶς. τὰ δ᾽ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα 
τρίγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις" ἔστιν ἄρα ὡς 
μὲν ἡ HE πρὸς HZ, τά τε ἡμίση τῶν τριγώνων τὸ ΕΗΒ 
πρὸς ΖΗΒ καὶ τὰ ὅλα τρίγωνα [διπλάσια] τὸ 4ΕΒ πρὸς 
AZB, ὡς δὲ ἣ 4M πρὸς ΜΑ͂, τὸ ΜΓ πρὸς τὸ ,.,Ζ2Γ,,- 
καὶ τὸ διπλάσιον ΒΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ καὶ συνϑέντι ἄρα 





LIBER V. PROPOS. 7. 327 


εβ -- BÀ — CB -- jo, id est 
90 4- 81 — ἵβ -- Ba, et 
98 -- 8À * 9À, ergo etiam sunt 
CB - Ba » 94, itaque 
(Z8 -- goj? 5 94?. Sed superiore lemmate demonstra- 
vimus esse (similia enim sunt tri- 
angula orthogonia ζηβ eu) 
-— (En - au)? -- (n8 -ε βμ)3, id est 
z (Lm -4- au)? - zu?, atque item 
912, id est (9x -Ἑ x4)? 2 (Au -- 91)? -- (nx -- xu)?, id est 
ξε΄ (Au 4- 65)? -Ἐ gu?; ergo sunt 
tn -- au)? 4- nu? 7 (Au o4- 6€)? 4- nu?. Commune 
auferatur z4u?, restat igitur 
(ζὴ 4- au)? *» (Ap -- δη)2; ergo etiam | 
Up 4- au 09 Àj -- €x. Sed twiangula eàdem altitudine 
inter se sunt ut bases; est igitur 
en: in — A eB : A ζηβ, et, quia triangula δηβ ζηβ 
sunt dimidia εδβ ζὸβ, 
-— Δ εδβ: ALOB. Atque item 
Àu : αμ — Δ Àuy : A αμγ, ac dupla item, id. est 
— AÀgy:Aaoafy; ergo compositis proportio- 
nibus, id quod deinceps demonstra- 
bitur, est 1) 


(tB -- fa)? 


r 4) Merito haec quae, ut in Graecis exstant, ita repetivimus cor- 
εἰ Pta esse videantur; sed multo etiam difficultas augetur ipsa demon- 
d UT tione, quam promittit scriptor (conf. p. 332, 44), deperdita. Equi- 
i €tmn existimo et hoc loco et infra cap. 17 ipsam Pappi demonstrationem 
n ex codice aliquo vetustissimo evanuisse, ac tum dubia illa quae 
oaPra leguntur inculcata esse ab interpolatore, qui tamen non valuerit 
Stendere id'de quo ambigitur, qua ralione quibusque terminis stare 

Possit aequatio en t ἀμ ΞΞ en "8 ts. uy 

pano ζηηβ- ou uy 

T—MM—————À——À 

9. μείζων AB Paris. 2368, μεέζον S, corr. Hu 413. ZBA ὡς — 
16. τῆς (ante ZH .4M) add. A? in marg. 49. τῶν HZB B.4M Sca (per 
€ Crorem) 33. τῆς 11MM HO ABS, distinx. Co 23. ἀπὸ .4MH ἕως 
A Bs, corr. Co 26. μεῖζον «add. Sca, maius Co, in Δ est lacuna unius 
litterae (in archetypo igitur compendium scripturae fuit) 27. τῆς OH 
—1M Sca 30. ΜΕ.“ ABS, distinx. Co, HO .4M Sca- 84. uía Hu 


*"Awetore Co pro μιᾶς τῆς EH.4M ABS, distinx. Co 34. διπλάσια 
Qe Hu ' 


328 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


πρὸς συγχείμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἡ EH 4M πρὸς 
τὴν ΖΗ .4M, τὰ ./EB BAT. τρίγωνα πρὸς τὰ AZB Α8Γ 
τρίγωνα" καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς. ἐλάσσων δὲ συναμφότερος 
? EH ΑΗ τῆς ΖΗ .4M συναμφοτέρου" ἐλάσσονα ἄρα καὶ 
τὰ συναμφότερα 4EB BAT τρίγωνα τῶν 4ZB Β.41Γ συν-ὃ 
αμφοτέρων τριγώνων. 
15 η΄. Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν .4B I4 ἰσοσκελῆ 
τρίγωνα τὰ 4ΕΒ DAZ, καὶ $ μὲν AE τῇ ΓΖ ἴση ἔστω, 
ἡ δὲ .4B τῆς 41Γ μείζων (ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίἰγωναὶ - δεῖ 
δὴ ἐπὶ τῶν 418 L4 ὕμοια ἰσοσκελῇ τρίγωνα συστήσασϑαι, 10 
ὥστε τὰς Ó πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς .4EB 
ΓΖΖ ἅμα. 

'"Exxsio9w γὰρ 1) ΗΘ εὐϑεῖα ἴση οὖσα ταῖς 4ΕΒ ΓΖΖΩ͂, 
xai τετμήσϑω κατὰ τὸ K, ὥστε εἶναι ὡς τὴν HK πρὸς KO, 
οὕτως τὴν .4B βάσιν πρὸς τὴν L4, τετμήσϑω δὲ καὶ ἕκα- 15 
τέρα τῶν HK KO δίχα κατὰ τὰ ^4 MM σημεῖα. ἐπεὶ οὖν 
ἡ HO συναμφοτέρων τῶν 4 ΓΖά μείζων ἐστίν (ὅτι καὶ 
αἱ. ΕΒ ΓΖ), καὶ ἔστιν ὡς ἡ 4B πρὸς Γά, ἡ ΗΚ πρὸς 
ΚΘ, μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν HK τῆς .4B, ἡ δὲ KO τῆς ΓΖ. 
καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα" τῶν ἄρα 4 Η.. AK αἱ δύο ϑι 
τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. ὁμοίως 
καὶ τῶν L4 KI MO. συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν 4B HA 
AK τὸ ΑΞΒ τρίγωνον (φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν 
τῶν J4EB διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΚ τῶν .4EB* ἡ 
μὲν γὰρ .4EB ἡμίσεια τῆς HO, ἴσαι γὰρ at .4EB ταῖς 25 
ΓΖΩ͂, καὶ αἱ δ΄’ ἅμα εὐθεῖαι τῇ HO, ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ 
ἡμίσεια' τῆς ΗΘῚ, ἐκ δὲ τῶν I4 KMO τὸ ENA (ὁδμοίως 


—— ————— —— 


4.2, πρὸς τὴν Hu pro πρὸς τὸ 2. πρὸς τὰ ΑΖΒ ABS, corr. Co 
4. ἐλασσον ἄρα A, ἑλάσσον ἄρα B, corr. S 1. H Al in marg. (B), om. S 
ante Ἔστω legi voluit Co: Τὸ δὲ ὑπερτεϑὲν δειχϑήσεται οὕτως (quod 
autem positum est ita ostendetur) 8. τὰ 4EB ABS, corr. Co Sca 
10. τῶν .4BDI'4 AS, distinx. Bs Co 44. ὡς τὸ τῆς 4 πλευρᾶς ABS, 
ὥς τε τᾶς corr. Β8, accentus quoque corr. Co 46. χατὰ τὰ 44M. A, 
distinx. BS 17. τῶν . ABI 4 A, distinx. BS 21. πάντηι À, corr. B 
Paris. 2368 244. τὰς Η ΑΚ A, coniunx. BS 











LIBER V. PROPOS. 8. 329 


ἢ ἐμ Δεῦβ t A AMBy ς d er 
ζηπταμ —— A (Ug, -- A fy . Sed erant 
bn 4 apu 6n c ÀL; ergo eliam sunt 


A ζὸβ ---Δ αβγ» Δ εὸβ - Δ Ay. 





VIII. Quod autem. supra (p. 528) dilutum est, sic de- Prop. 


znonsirabitur. Sint in basibus inaequalibus αβ yÓ aequi- 
cruria triangula ea? C70, et sit a& 2 yC, et off »» yÓ. (ergo 
dissimilia sunt triangula); oportet igitur in basibus oa và 
similia triangula aequicruria ita constituere, ut corum summa 


«quattuor laterum aequalis sit summae αδ 4- ef - γζ 4- Có. 
τῆ 








6 mm 


| 
| 
λ & y 
Exponatur enim recta 59 — «e - ef 4- yC 4- CÓ, 
| quae in puncto x ita secetur, ut sit yx : x9 — aj : 7Ó, 
atque etiam utraque rectarum 7x xJ' bifariam in punctis 
| À u secetur. lam quia est 
n9 * af -- γδ (quoniam ae -4- eg »» of, et 
| yt L0  yO), et 
| a : yÓ — ηκ : x9, est igitur 
l ηκ » of, et x9  γδ. Et utraque bifariam secta 
cst; ergo est 
| ηλ -- Ax »» af, et ag -- Àx o» 9À, et 
' αβ -- ηλ * Àx, ac similiter 
| χα -- μϑ 09 γδ, et yÓ 4A- Ἣ μϑ 5 χμ, et 
| yÓ 4- xu 7» u9. 
" Iam primum ex af ηλ Àx construatur triangulum af (at- 
| que apparet latera αἕ 58 extra αε εβ cadere, quia sunt 
nÀ 4- ἀκ» 0€ -Ἐ ef; sunt enim ae 4- ef — γζ -- CÓ τε 
1759 [quia ae 4- ef - yC - CÓ — 29], οὐ ηλ- λα 
i 123), tum ex 7ó xu u9 triangulum y» (similiter enim 
$ | 


990 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ E. 


γὰρ ἔνδον συνίστανται). καὶ φανερὸν ὅτι ὅμοια ἔσται τὰ 
τρίγωνα, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ .4} πρὸς J 4f, οὕτως 7) ΗΚ πρὸς 
ΚΘ, καὶ αἱ ἡμίσειαι ἣ τὸ Had πρὸς KM xai ἡ 44K πρὸς 
10, xai αἱ ἴσαι συνιστάμεναι ἡ 45 πρὸς ΓΝ καὶ ἡ ΒΞ 
πρὸς 4Ν. | D 
16 [Τὸ δὲ .4EB τρίγωνον τοῦ ΓΖΩ,{ τριγώνου ποτὲ μὲν 
- / M] 123 Ml A» 3. w 2f 
μεῖζον γίνεται, ποτὲ δὲ EAo000v, ποτὲ δὲ ἴσον αὐτῷ. ἔστω 


ζ΄ 


T 


JU σ v x Üg 


γὰρ τρίγωνον τὸ IIPX ἴσην ἔχον τὴν μὲν IIP τῇ ΖΓ, τὴν 
δὲ ΡΣ τῇ 4Ζ, τὴν δὲ ΠΣ τῇ L4: ἴσα ἄρα καὶ ὅμοιά ἐστε 
và LZ ΠΡΣ τρίγωνα ἀλλήλοις. ἐπεὶ οὖν fj .4B μείζων ἐστὶν 1 
τῆς UA, τουτέστιν τῆς ΠΣ, καὶ at .41 EB ἴσαι ταῖς IP PX 
(ἐπεὶ καὶ ταῖς ΓΖ Z4 ἑκατέρα ἑκατέρᾳ), γωνία ἄρα ἡ ὑπὼ 
.«1ΕΒ τῆς ὑτιὸ IIPS μείζων ἐστίν (ἐπεὶ καὶ τῆς ὑττὸ ΓΖΩ͂ 
μείζων ἐστίν). κείσϑω ἡ ὑπὸ IIPT γωνία τῇ E ἴση, καὲ 
ἡ PT τῇ PX, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΠΤ ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον ἢ 
τὸ IIPT τρίγωνον τῷ .4EB τριγώνῳ. ἐχβεβλήσϑω δὲ ἡ 
ΠΣΥ, καὶ τῇ .18Β ἴση ἡ ΠΥ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΡΥ" μεί- 
Luv ἄρα ἡ PY τῆς PX καὶ τῆς PT (ἑκατέρα γὰρ τῶν ΠΡ 
PT ἴση ἐστὶν τῇ ῬΣ'. τὸ οὖν IIPT τρίγωνον τῷ .4EB 
ἴσον ἐστὶν καὶ ὅμοιον, τῷ δὲ ΠΡΣ τὸ ΠΡΤ ἤτοι ἴσον ἐστίν, 10 
ἐὰν ἡ ΤΣ παράλληλος ἢ τῇ ΡΠ, καὶ αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι 
ἴσαι ὦσιν αἱ ὑπὸ PIIT IITX (imi γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς 


4. συνεσταμέναι coni. Hu, constitulae sunt. Co 6 — p. 384, 10. 
totum caput 46 interpolatum esse videtur 45. ἡ PC ri PT ABS, 


LIBER V. PROPOS. 8. 991 


Latera vv và inta γζ CÓ positae suntJ. Εὖ apparet. triangula 
ex58 yvà similia fore, quoniam est aff : yÓ 2 qx : x9 — ηλ : xu 
— ἀκ : uu, id esi — αξ: yy & 58 : νὸ. 

[Sed triangulum esf modo maius, modo minus fit tri- 
angulo γζδ, modo. eidem aequale!) Sit enim triangulum 
7190, cuius latus zQ — yb, et ρ΄ — LO, et zo Ξε yÓ; ergo 

est ἃ πρό — ἃ yCÓ. Tam quia 

€ est af *» yÓ, id est » π΄, et 
&& -- 69 — πρ - 00 (quia α Ἢ 
εβ — γξ -- CÓ), angulus igitur 
«&f maior est angulo πρό (quo- 
niam angulo γζδ maior est). Po- 
natur [ πρτ — [ aep, et ov — 
Q0, οὐ iungatur zz; ergo esl 
Δ not 7 Δ ae.  Producatur πσ 
ad v, sitque zv — αβ, et iun- 
gatur Qv; est igitur ov ?» Q0, 
p itemque Ὁ ov (est enim or — 
o0). lam triangulum zrgc trian- 

£:ulo ae? aequale est et simile; idem autem triangulum zroc 
aut triangulo zo aequale est, si recta τό parallela sit 

apsi gzz, et anguli alterni oztc πτσ aequales sint (nam in 





A 


4) Latino sermone haec expressimus, sicut Graece cap. 16 tradita 
sunt; sed tamen totus locus inter- 
polatus esse videtur. Mitto amba- 
ges scriptoris vix tolerabiles; ma- 
xime autem in eo peccat, quod πὺυ 
aequalem af ponit; hoc. enim nihil 
ad rem, quoniam id tantummodo 
agitur, utrum recta per v ipsi o7t 
parallela ducta extra e cadat, an 
intra, an in ipsum e. Ne multa, ad 
modum eius quam hic adscribimus figurae binorum triangulorum aequi- 
crurium areae comparandae et lermini definiendi erant. 





——— 





corr. Hw auctore Co 48. 19. ἑχατέρα — τῇ PX] satius erat scribere 
loy γὰρ ἡ PT τῇ PZ, optimum autem hanc parenthesin tamquam con- 
sentaneam omittere — 23. ὦσιν Hu auctore Co pro εἰσὲν 


332 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


ἐστιν τῆς PII τὰ τρίγωνα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλεων ες 
PII TX), ἢ μείξων ἐστὶν αὐτοῦ, ἐὰν ἡ TY παράλληλος: E 
τῇ PII, καὶ ἡ ὑπὸ IITY γωνία τῇ ἐναλλὰξ ὑπὸ PIIT εἴ 
(γίνεται γὰρ πάλιν τὸ ΠΡΤ' ἴσον τῷ PYII: μεῖζον δὲ bk 
IIPY τοῦ ΠΡΣ- xai τὸ ΠΡῪ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ IIPZS.) .; 
ἐὰν δὲ ἡ TO παράλληλος ἢ τῇ PII, διὰ τὰς ἴσας ἐναλλεςὲ 
ὑπὸ PIIT ΠΤΦ γωνίας καὶ τὸ IIPT ἴσον τῷ PIIO, doa: 
μεῖζον εἶναι τὸ ΠΡΣ τοῦ ΠΡΦ, τουτέστιν τοῦ IIPT, (joa: 
καὶ τὸ J4EB τρίγωνον ἴσον ὃν τῷ IIPT τριγώνῳ VoL uc a— 
ζόν ἐστιν ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον τοῦ ΠΡΣ, τουτέστιν τοῦ ΓΖΖ -ἶ"Ἅ 
17 Τὸ λοιπὸν τῶν ἐν ὑπερϑέσει κα wx x wk oo oon 
18 ϑ΄. Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον ÓciZoy cmm 
τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτιω:-" 
καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληϑεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλ 
οὖν τέ ἐστιν xoi ἰσογώνιον. 


* 


t 


Ἔστω γὰρ πολύπλευρον v. —7. 


ABIUAE μέγιστον τῶν ἰσοπερι 
μέτρων αὐτῷ καὶ iconos 3e f 
y πλευρὰς ἐχόντων" λέγω € ὅτι ἰσό ΞΕ Ξ-ὸ- 
πλευρόν ἐστιν. μὴ γάρ, ἀλλ ἐν ti 
δυνατόν, ἔστωσαν αἵ ΑΒΓ àv 7 
σοι, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ἡ 4Γ, dye 
ἧς συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελέξα- - ὲ 
e ὃ τὸ ZI, ὥστε συναμφοτέρας τὰ Ξ--ὁἀἰ 
ΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δ΄. ἐπε» — 
οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχϑη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως looxem- -ἕ 
ρεμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, μεῖζον age mmo 
τὸ 42ΖΓ τοῦ 48ΒΓ τριγώνου. χοινοῦ προστεϑέντος rcc» οὗ 
ATAE τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓΖΔΈΑ vc 
ABDUAE μεγίστου, ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίϑμοκες -U$ 
πλευρὰς ἐχον, μεῖξον, ὅτιερ ἀδύνατον" ἰσόπλευρον Germen 
ἐστὶν τὸ .4BIAE. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀΞΞΞΞΞεεὶ 





3. ἐὰν ἡ S, εανη ἡ A, ἐὰν ἡ ἡ B 9. 40. μεῖζον ἐστι (sic) A— 
44. Θ A! in marg. (Β8) 24. τὰ 4ΖΓ ^, corr. BS 26. πρὸ τρις 3». 
non πρὸ τεττάρων scriptor et hoc loco et paulo post numerat, q*«-J!4 


LIBER V. PROPOS. 9. 40. 333 


eadem basi oz et inter easdem parallelas oz: τό sunt tri- 
angula), 

aut maius est triangulo zoo, si recta tv ipsi ozz paral- 
lela et angulus zzv alterno gzrv aequalis sit (nam rursus fil 
A zcv — ἃ πρυ; sed est A πρυ » Δ 90; ergo etiam 
A σερε » A noo), | 

aut denique minus est triangulo προσ, si recta τῷ ipsi 
O7t parallela sit (propter aequales angulos alternos oz πτῷ 
eL triangulorum zv zog aequalitatem, ita ut sit A zoo » 
Δ zr9g, id est »» A πρὶ); 7 

itaque etiam triangulum cef, quippe quod aequale sit 
ipsi 79v, aut aequale est triangulo πρσ, id est γζδ, aut eo- 
dem maius, aut minus.] 

Sequitur allerum quod supra dilatum est?) s» 

IX. His praemissis id quod propositum erat (supra Prop. 
P. 517) demonstrabimus, id est,. figurarum rectilinearum, 
tae aequalem perimetrum . eundemque laterum numerum 

ha bent, maximam esse aequilateram et aequiangulam. 

Sit enim polygonum αβγδὲ maximum eorum, quae ae- 
qualem perimetrum. eundemque laterum numerum habent; 
Jlico hoc aequilaterum esse. 

Etsi non est; tamen, si fieri possit, non sit ag — βγ, 
€t iungatur «y, in qua triangulum aequicrure ac» ita con- 
Stituatur, ut sint αζ - Cy — af -4- By, iuxta IV lemma. lam 
Xuia V lemmate demonstravimus triangulorum, quae aequa- 
lem perimetrum et eandem basim habent, aequicrure maxi- 
Unum esse, triangulum igitur ocy maius est triangulo «y. 
C:iommuni apposito quadrilatero αγδὲ crit spatium quoddam 
&7óe« et aequalem perimetrum eundemque laterum numerum 
habens ac polygonum affyós et eodem maius, cum famen ex 
Awypothesi αβγδὲ maximum sit, quod quidem fieri non potest; 
ergo αβγδὲ aequilaterum est. — Atque apparet polygonum, 


Prop. 
9 


2) Vide supra p. 327 cum adnot. 4. 








illud quod supra est lemma VI tamquam corollarium lemmati VII sub- 


994 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ F. 


μεῖζον" xci γὰρ τὸ ἰσοσχελέστερον ἀεὶ μεῖζον, ὡς ἐδείχϑη 
πρὸ τριῶν. 


19 v. «Μέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΖῈ πο- 
λύπλευρον. μὴ γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ B γωνία τῆς 
4 μείζων. καὶ ἢ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων (ἴσαι γὰρ ὅ 
αἱ ΑΒΓ UAE). συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓῈ ἀνίσων ὅμοια 
ἰσοσχελῆ τρίγωνα, ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχϑη, τὰ. ΑΖΙ ΓΗΕ 
τὰς ΑΖΓ CHE πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συν- 
αμφοτέραις ταῖς 418 ΓΖ,Ε. μείζονα δὴ ἔσται τὰ συστα- 
ϑέντα τὰ 42ΖΓ HE ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ DAE καὶ τ 
τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο. κοινοῦ προστεϑέντος vot 
ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον" τὸ γὰρ 4ΖΓΉΕ 
μεῖζον ἔσται τοῦ .4BUAE μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου 
αὐτῷ. καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑἸ ΒΓΖΕ πολύπλευρον: τῶν ἄρα 
᾿ἐσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς 8 
ἰσοπληϑεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ 
ἰσογώνιον. 

Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἱσοπεριμέερων 
σχημάτων Ó χύκλος, ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου 
σχήματος, 0 ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, ἐδείχϑη x 
μείζων. 


20 ια΄. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις ϑεωρίας 
καὶ τοῦτο. τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημά- 
των μέγιστόν ἔστι τὸ ἡμικύκλιον. δείξομεν δὲ τοῦτο προ- 
γράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα. 2: 

21 «Αἱ τῶν χύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὲν ὡς at 
διάμετροι. 

Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ 48 ΓΖ, καὶ διάμετροι αὐτῶν 
αἱ .18 L4: λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς 1) τοῦ .411 κύχλου περιφέ- ἡ 


3. | A! in marg. (DS) πολύπλευρον Hu pro πεντάπλευρον, item 
vs. 14. — 4, γὰρ S, om. ΑΒ 42. τὸ γὰρ ΑΖΓ HE. À, coniunx. BS 
47. ὀρϑογώνιον ABS, corr. Hu auctore Co 48. τῶν B!S, om. A, del. 
Β8 39. ια A! in marg. (BS, 25. αὐτὰ ABS, corr. Hu auctore Co 


LIBER V. PROPOS. 44. 395 


quod magis ad aequalitatem laterum accedat, semper maius 
eSSe: nam etiam triangulum, quod ad aequicrure magis ac- 
cedit, semper maius est, ut V lemmate demonstravimus. — 

X. lam dico polygonum efyóe etiam aequiangulum esse. 

Etsi non est; tamen, si fieri 

/ 5 possit, sit angulus 8 maior quam ὁ. 

Ergo etiam recta «y maior est quam 

γε (nam ex hypothesi est af -4- 
7) fy — yó -- óc). Construantur ín 

rectis ay ye, quae inaequales sunt, 

similia triangula αζγ γηδ aequicru- 
ria, ut VIII lemmate demonstravi- 
, mus, quorum summa laterum oC -- 
Cy 4- y -- δ aequalis sit summae 
cf -- By -- yÓ -- δε. Ergo summa eorum quae síatim con- 
structa sunt triangulorum aC -- γηξδ maior erit summà eorum 
quae ab initio erant agy -- γδὲ; nam hoc quoque supra lemmate 
VII demonstratum est. Communi apposito triangulo eye idem 
absurdum redibit; nam polygonum αζγηξ, aequalem peri- 
metrum habens atque αβγδε, maius erit quam αβγδε, cum 
lamen ex hypothesi hoc maximum sit. Et aequiangulum est 
polvgonum αβγδε; ergo figurarum rectilinearum, quae aequa- 
lem perimetrum eundemque laterum numerum habent, . ma- 
xima est aequilatera et aequiangula. 

Et apparet omnium quae aequalem perimetrum habent 
figurarum circulum maximum esse, quippe quem figurà ordi- 
natà aequalem perimetrum habente — aequilateram dico et ae- 
quiangulam — maiorem esse demonstraverimus (propos. 2). 

XI. Ad eandem quaestionem hoc quoque pertinet. Cir- 
culi segmentorum quae aequalem circumferentiam habent 
maximus est semicireulus. Quod priusquam demonstremus, 
lemmata quae ad id adsumuntur praemittamus. 

Cireulorum cireumferentiae inter se sunt ut diametri!). Prop. 

Sint duo circuli af γδ, earumque diametri ag y; dico " 





4) Idem lemma fere iisdem verbis enuntiatum infra VIII propos. 22 
redit. 


990 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ FE. 


ρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΖ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ 48 
εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΖ. | 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὃ 4B κύκλος πρὸς τὸν ΓΖ xv- 
χλον, οὕτως τὸ ἀπὸ 41Β πρὸς τὸ ἀπὸ L4, ἀλλὰ τοῦ μὲν 
4B κύκλου τετραπλάσιόν ἔστι τὸ περιεχόμενον ὀρϑογώ- 22 
γιον ὑπό ve τῆς 4B εὐϑείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφε- 
ρείας, τοῦ δὲ ΓΖΔ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς 
ΓΖ εὐθείας xai τῆς τοῦ I κύχλου περιφερείας (τοῦτο 
γὰρ προδέδεικται), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς .38 καὶ τῆς 
περιφερείας τοῦ «ΑΒ κχύχλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΓΖ καὶ τῆς 1 
τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς .4 τετρά- 
γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς L4. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς 
τοῦ “418 χύχλου περιφερείας καὶ τῆς .4B πρὸς τὸ ἀπὸ 
4B, οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας xai 
τῆς L4 πρὸς τὸ ἀπὸ L4: ὡς ἄρα ἡ τοῦ .4 κύκλου πε- 15 
ριφέρεια πρὸς τὴν «48, οὕτως ἡ τοῦ Ll περιφέρεια πρὸς 
τὴν DA, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἢ τοῦ .4 περιφέρεια πρὸς τὴν 
τοῦ L4 περιφέρδιαν, οὕτως ἢ «4 πρὸς τὴν LA. 

22 ιβ΄. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ 
ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύχλου καὶ τῆς περιφερείας τετρα- 20 
πλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου. τὰ γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις 
ἢ περιγραφόμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λό- 
γον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, 
ὥστε καὶ αἱ τῶν xÜxÀov περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὲν 
ὡς αἱ διάμετροι. 2t 

23 . Πάλιν ἔστω κύκλος ὃ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ 4, ἐκ τοῦ 
κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ 4B, καὶ ἀπὴ τοῦ 4d διήχϑω τις |, 
AE* ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν 
BZE περιφέρειαν, οὕτως ὃ ΑΒΓ xvxAog πρὸς τὸν BAE 
τομέα. 3 

Ei μὲν οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ BZE περιφέρεια τῇ 
ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπεὶ διαιρεϑείσης τῆς 48ΒΓ 
περιμέτρου τοῦ κύκλου εἰς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς δι- 
αἰρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ Zl κέντρον ἐπιζευχϑεισῶν εὐθειῶν 

9. εὐθεῖα] ϑιάμετρος Pappus VIII cap. 46 πρὸς BS, om. A 
40. χύχλου οἱ 11. P4 add. Hu auctore Co 49. χαὶ ἐναλλὰξ — 


LIBER V. PROPOS. 44. | 887 


esse ut circuli «f 
cireumferentiam δὰ 

q " d circuli »ó circum- 
ferentiam, ita rec- 
tam αβ ad 7à. 

Nam quia est 3) 
circulus af : circ. γὺ Ξε ag? : y0? (elem. 42, 2, et . 
circ. aff — le-.circumf. eg, et 
circ. γὸ τι 1yà-circumf. y (hoc enim supra propos. 3 

demonstravimus), est igitur 
afl - circeumf. ag : yÓ - circumf. yÀ τε af? : y0?, et vicissim 
af - circumf. ag : αβὲ — γδ" circutf. yó : yó*; ergo 
circumf. a : ag Ξε circumf. γδ : γδ, et vicissim 
cireumf. ag : circumf. yó z af : 7d. 

XH. idem etiam demonstratur non adsumpto theoremate, 
ex quo rectangulum quod diqgaetro et ciecumferentia circuli 
eohtinetur quadruplum est circuli. Nam similia polygonn, 
quae circulis aut inscribuntur aut cireumscribuntur, perime- 
wos habent proportionales radiis circulorum, ita ut etiam 
eirculorum circumferentiae inter se sint ut diametri. 

Rursus sit circulus afy circa centrum ὃ, et radius 5, 
δὲ a centro ad circumferentiam ducatur quaelibet δὲ; dico 
esse ut circuli ay perimetrum ad circumferentiam 525, ita 

circulum af» ad sectorem βδε. 
| 4 Si igitur circumferentia Cs oirculi 


af» perimetro commensurabilis erit, et, 

NN quqta pars périmetri est circumferentia 
β 7 fts, in tot partés perimetrus dividetur, 
N/ N/ et a punctis sectionum rectae ad cen- 
trum d ducentur, omnes igitur sectores 


4) Commodius visum est huius lemmatis demonstrationem ad for- 
mulas, quales nostra aetate adhiberi solent, redigere; infra autem libro 
VIIl ipsam Graeci scriptoris orationem Latinis verbis expressimus. 





44. τῆς τοῦ ΓΖ add. A? in marg. 43. κύχλου add. Hw 19. 18. 


A! in marg. (B), om. S Ταὐτὸ coni. Hu 20. τετραπλάσιόν Hu 
auctore Co, 4 A, δ΄ B, τέταρτόν S 
Pappus I. 22 


Prop. 
12 


388 ITAIIIOY ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. ' 


ἐφαρμόσουσιν ἀλλήλοις πάντες oi τομεῖς, xai ἔστιν ἴσον 
τὸ πλῆϑος. αὐεῶν τῷ πλήϑει τῶν μέτρων, ἔσεαι ἄρα ὡς 
ὅλη ἡ «48Γ περίμετρος τοῦ κύχλου πρὸς τὴν BZE περι- 
φέρειαν, οὕτως ὃ 48Γ κύκλος πρὸς τὸν BAE τομέα [ε΄ 
24 τοῦ & στοιχείων]. εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ BZE περι-5 
φερείᾳ,. ὁμοίως ἐστὶν ὡς ὃ ΑΒΓ κύχλος πρὸς τὸν BAE 
τομέα, οὕτως ἢ ΑΒΓ περίμεερος πρὸς τὴν BZE περιφέ- 
ρδιαν. ἔστω, eL δυνατόν, ὡς ὃ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΖ 
τομέα, οὕτως ἢ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ πε- 
ρεφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς BZE περιφερείας, 10 
καὶ εἰλήφϑω τις ἑτέρα περιφέρεια ἡ ΒΗ͂ τῆς μὲν ΒΖ μεί- 
ζων τῆς δὲ BZE ἐλάσσων, σύμμεερος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ 
περιμέτρῳ, ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 
ΔΉ. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὃ ΑΒΓ κύκλος 
πρὸς τὸν ΒΔΉ τομέα, οὕτως ἡ. ΒΓ περίμετρος τοῦ κύ- 15 
κλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περιφέρειαν. ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περέμε- 
Tgog τοῦ κύκλου πρὸς. τὴν H περιφέρειαν. ἐλάσσονα λό-- 
γον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέστιν ἢ ἥπερ 
ὁ .4ABI κύχλος πρὸς τὸν BAE vouéa: καὶ ὃ ABD - οὖν 
κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΉ τομέα ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἤπερ 3 
πρὸς τὸν ΒΔῈ πομέα, ὅπερ ἄτοπον" οὐκ ἄρα ὡς ὃ ΑΒΓ 
κύκλος πρὸς τὸν BAE τομέα, οὕτως ἢ “48Γ περίμδερος 
αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς BZE 
25 περιφερείας. λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ. εἰ 
yàg δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, καὶ εἰλή-- 3: 
φϑω τις ὁμοίως ἡ BEO περιφέρεια τῆς μὲν BZE περι- 
φερείας μείζων τῆς δὲ BED περιφερείας ἐλάσσων, σύμμε- 
τρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου, καὶ ἐπε- 
ζεύχϑω ἡ 40. ἐπεὶ οὖν πάλεν dosiv ὡς ὃ ΑΒΓ κύκλος 
πρὸς τὸν Β4Θ τομέα, οὕτως ἡ A4BI' περίμετρος τοῦ κύ-- x 


4. 5. (£ τοῦ ἐ στοιχειων Α(Β), διὰ τὸ τε τοῦ E τῶν στοιχεέων 8, 
interpolatori tribuit Hu 6. ὁμοέως ἐστὴν Co pro μηδέ ἔστιν 46. πρὸς 
τὸν B.AAH AB, corr. S 41. πρὸς τὴν EZH ABS, corr. Co. 49. οὖν) 
ἄρα coni. Hu 28. BZ om. Co ante οὖσαν super vs. add. ào- 
yov ἔχεε A*, eadem codex Co habet pro οὖσαν τῆς BEZ et 34. τῆς 
BE ABS, corr. Co 








LIBER V.' PROPOS. 42. 339 


inler se congruent, quorum cum numerus aequalis sit' nuü- 
mero partium perimetri, erit igitur ut tota circuli ay peri- 
metrus ad circumferentiam βζε, ita circulus αβγ ad'sectorem 
Bde [elem. 3, 145]. At si perimetrus non commensurabilis 
est cireumferentiae βζδ, similiter de- 

L mónstratur esse ut αβγ circulum ad 

Bóe sectorem, ita perimetrum αθγ ad 
cireumferentiam Bs. Si fleri possit, 
sit primum ut circulus of» ad-sec- 
torem fs, ita perimetrus oy ad 
circumferentiam | 8C - minorem . quam 
βζδ, et sumatur alia quaedam circum- 
7 “ς 9. ferentia βὴ maior quam f et mi- 

nor quam fs eademque perimetro 

αβγ commensurabilis , ut est lemma sphaericorum), et iun- 
gatur À». Ergo propter ea quae modo demonstravimus est 
ut circulus αβγ ad sectorem $0», ita circuli perimetrus ay 
ad circumferentiam βζη. Sed cireuli perimetrus αβγ ad cir- 
cumferentiam βζη minorem proportionem habet quam ad cir- 
eumferentiam βζ (elem. ὅ, 8), id est minorem quam circulus 
αβγ᾽ ad sectorem 6ós; itaque circulus «f ad sectorem 0n 
minorem proportionem habebit quam ad sectorem βδε, quod 
quidem absurdum est; ergo non est ut circulus αβγ ad sec- 
torem βε, ita perimetrus αβγ ad circumferentiam 85 mino- 
rem quam fte. lam dico neque ad maiorem quam fe. 
Etenim si fieri possit, sit ad circumferentiam fy, et simi- 
liter sumatur quaedam circumferentia 869 maior quam βζε 
et minor quam βεγ, eademque circuli perimetro affy .com- 
mensurabilis, et iungatur 93. Iam quia rursus ut circulus 
afy ad sectorem 803, ita est circuli perimewus afy ad cir- 


du - 


4) His verbis scriptor illam quae sequitur propositionem 47 respi- 
cere videtur, ubi Pappus Archimede auctore docet datam circumferen- 
- tiam bifariam: secandam esse, et rursus dimidiam bifariam, ac sic porro, 
donec circumferentia minor datá aliquá (eademque, ut supra praecipitur, 
maior aliá datá) inventa sit. 

- (7 99 * 


840 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ E. 


κλου πρὸς τὴν BEO περιφέρειαν, $ δὲ ΑΒΓ περίμετρος 
πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχεε ἤπερ πρὸς 
τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὃ ΑΒΓ κύκλος πρὸς 
τὸν BAE τομέα, ἕξει δηλονότι καὶ ὃ ΑΒΓ κύχλος πρὸς 
τὸν ΒΩΘ τομέα μείζονα λόγον ἤπερ πρὸς τὸν BAE τομέα, 5 
ὅπερ ἐστὶν üromov: οὐκ ἄρα ὡς ὃ ΑΒΓ κύχλος πρὸς τὸν 
BAE τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς μείζονα 
τῆς ΒΖΕ περιφέρειαν. ἐδείχϑη δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα᾽ 
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν BAE τομέα, οὕτως 
ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν BZE περιφέρειαν. 1 
26 εγ΄. Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύχλων πρὸς ἄλληλά 
ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τεεράγωνα πρὸς ἄλληλα, καὶ 
αἵ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. 
Ἔστω ὅμοια τμήματα κύχλων τὰ ΑΒΓ AEZ- λέγω 
ὅτε ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ 4ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ 16 
τῆς 41 τεϊράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z, ὡς δὲ ἡ “ΒΓ 
περιφέρεια πρὸς τὴν 4ΕΖ, οὕτως ἡ 4“ Γ πρὸς 42. 
Προσαναπεπληρώσϑωσαν oi κύκλοι, καὶ εἰλήφϑω αὐτῶν 
χκένερα τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ .4HI' 4O0Z. ἐπεὶ 
οὖν ὅμοιά ἐσειν τὰ ΑΒΓ AEZ τμήματα, ἴση dosi» ἡ περὸς 20 
τῷ H γωνία τῇ πρὸς τῷ O, καὶ ὕμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγω- 
»ov τῷ 4OZ, καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ 4EZ. 
ἔστιν ἄρα ὡς ὃ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν .4HI B τομέα, ob- 
veg ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περι- 
φέρειαν, τουτέστιν δ' ὀρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν. ὡς δὲ 02» 
AEZ κύκλος πρὸς τὸν 40ZE τομέα, οὕτως ἡ περίμεερος 
τοῦ EZ κύκλου πρὸς τὴν 482 περιφέρειαν, τουτέστιν 
δ' ὀρϑαὶ πρὸς τὴν Θ γωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν 7, Θ γωνία τῇ 


5. τὸν (ante 84) om. A, add. BS 8. τῆς BZE περιφερείας 





ABS, corr. Hu auctore Co 44. IF A! in marg. (BS) 46. ἀπὸ τεῆς 
7Ε2 ABS, corr. Co Sca 47. περιφέρεια add. Hw auctore Co 
49. τὰ HO A, distinx. BS αὖ ΔῊΓ 4EZ ABS, corr. Sca (Co) - 


$4. τὸ ΑΒΓ ἢ τρέγωνον Α (in archetypo igitur pro B eorrectum erat 
H), τὸ αβγη τρέγωνον BS, corr. Co Sca 48. τὸν 4H ΓΒ A, coniunx. 
BS 36. 4OZE τομέα oUr S A? ex 46x» xo 47. πρὸς τὴν 





4BZ ABS, corr. Co Sca τουτέστιν Hu pro xol 


LIBER V. PROPOS. 18. 341 


cumferentiam 69, et perimetrus αβγ ad circumferentiam 
fe9 maiorem proportionem habet quam ad circumferentiam 
Bey, id est (ex hypothesi) quam cir- 

& culus «y ad sectorem βδδ, circulus 

igitur αβγ ad sectorem 909 maiorem 
habebit proportionem quam ad secto- 
rem fós, quod quidem absurdum 


f ^ est; ergo non est ut circulus ay ad 
x /l sectorem 8s, ita perimetrus ay ad 
δ cireumferentiam maiorem quam βᾷζδ. 

77. 9 Sed demonstravimus neque ad mino- 


rem; ergo ut circulus af» ad sec- 
torem βδδ, ita est perimetrus αβγ ad circumferentiam fe. 


XIII. Similia circulorum segmenta inter se sunt ut qua- Prop. 
drata ex basibus!), et segmentorum circumferentiae inter se 
ut bases. | 

Sint similia cir- 
β culorum segmenta 
€ αβγ sb; dico esse 
y 2 dq 6  . ut segmentum afy 
ad δεζ, ita «y? : 022, 
et ut «f» circum- 
ferentiam δὰ det, 
ita ay : OL. 
Compleantur cir- 
culi, et sumantur 
eorum centra y 2, et iungantur «y yy 09 906. lam quia 
segmenta αβγ ósl similia sunt, aequales sunt anguli y 9, 
el similia triangula «n; 9906, et similes circumferentiae a7 
δεζ. Ergo ut circulus αβγ ad sectorem αηγβ, ita est cir- 
culi a8» perimetrus ad circumferentiam o7, id est quattuor 
recti ad angulum η. Atque ut circulus δεζ ad sectorem ὅϑξζε, 
ita est circuli dez perimetrus ad circumferentiam δεζ, id est 
quattuor recti ad angulum 3. Et aequales sunt anguli » 9; 


4) Conf. supra p. 269 adnot. 1. 


942 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ ΒΕ. 


Η γωνίᾳ" ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν .$HI'B 
τομέα, οὕτως 0 ZEZ κύκλος πρὸς τὸν 4ΘΖΕ τομέα, καὶ 
ἐναλλὰξ ὡς ὃ ΑΒΓ. κύκλος πρὸς τὸν 4ΕΖ, οὕτως ὃ ΑῊΓΒ 
τομεὺς πρὸς τὸν 4ΘΖΕ τομέα. ὡς δὲ ὃ κύκλος πρὸς τὸν 
xÓxÀo», οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς JH τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸδ 
τῆς 4Θ, τουτέστιν τὸ ΑῊΗΓ τρίγωνον πρὸς v0 4Θ2Ζ τρί- 
γωνον- καὶ ὡς ἄρα ὃ ΑΉΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν 24ΘΖΕ το- 
μέα, οὕτως τὸ ΑῊΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 4OZ xoiywvov. 
καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ 4ΕΖ τμῆμα ἐστιν ὡς | 
τὸ ΑΉΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 4OZ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς 10 
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AZ. 

21 «Ἱέγω δὴ ὅτι ἐστὶν xai ὡς ἡ 4ΒΓ περιφέρεια πρὸς 
τὴν JEZ, οὕτως ἡ JT πρὸς τὴν AZ. 

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἣ τοῦ 
ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ 4ΕΖ κύκλου περι- 15 
φέρειαν, οὕτως 7 ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν 4ΕΖ. ὡς 
δὲ αἵ τῶν κύχλων περιφέρδιαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ἡ 
ΑΙἭ πρὸς τὴν 4O, τουτέστιν 1) ΑΓ πρὸς τὴν A4Z* καὶ 
ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν 4ΕΖ, οὕτως ἡ 4T 
πρὸς τὴν AZ. 20 

28 ιδ΄. Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις αὐ- 
τῶν ἴσαι γωνέαι ἔστωσαν oi 
, ὑπὸ ΑΒΓ 4ΕΖ περιεχόμεναι, 
καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν oi ΜΗ 
40, κάϑετοι δὲ αἱ AK. ad 55 
δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ (ΗΚ 
τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΥΓΚ τρί- 
γραμμον, οὕτως καὶ τὸ 404 
τρίγωνον πρὸς τὸ “1Ζ.41 τρί- 
γραμμον. 30 
Ἔστι δὲ φανερὸν éx τοῦ 
προγεγραμμένου. ὅμοιον γὰρ 
γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ 
40.4, καὶ τὸ Α,ΓΚ τρίγραμ- 
μον τῷ 42Ζ.1 τριγράμμῳ, καὶ 35 
λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα Éxd- 





LIBER V. PROPOS. 44. 949 


est igitur ut circulus αβγ ad sectorem «yf, ita circulus δεζ ad 
sectorem ὅϑξε, et vicissim ut circulus afy ad circulum det, ita 
sector αηγβ ad sectorem ὅϑξὝε.: Sed ut circulus ad circulum, 
ita est an? : 09? (elem. 12, 2), id est Δ ayy : Δ 090 (elem. 
6, 19); ergo etiam ut sector αηγβ ad sectorem ὅϑζε, ita 
est Δ αῃγ : A ὅϑζ. Εἰ subtrabendo (elem. 5, 49) ut seg- 
mentum egy ad segmentum δεζ, ita est Δ ayy : Δ ὅϑξ , id 
est ay? : 0L. 

lam dico esse etiam ut circumferentiam ay ad δεζ, ita 
ay : ὃζ. 

lisdem enim con- 
structis est ut circuli 


c ? a4 SE afiy circumferentia 

ad circuli dej cir- 

NK cumferentiam , ita 

circumferentia αβγ 

ad δεζ. Sed ut cir- 

culorum — circumfe- 

rentiae inter se, ita 

est «5: 09"), id est (elem. 6, 4) ay : 05; ergo etiam ut 
circumferentia afy ad δεῖ, ita est ay : óc. 

XIV. Sint duo circuli et ad centra eorum aequales an- Prop. 
guli «gy de, et tangéntes a ὅϑ, quas rectae fy eb pro- 
duclae secent in ἡ 9, et iisdem By el; perpendiculares «x dÀ; 
demonstretur esse ut triangulum αηκ ad trilineum «yx, ita 
triangulum d394 ad trilineum 624. | 

Est vero manifestum ex superiore lemmate. Nam triau- 
gulum αηκ simile est triangulo 394, et trilineum «yx trilineo 


*) Nam ex undecima hüius circumferentiae inter se sunt ut 2 «y: 
4 439. (Co). 


8. 4. ὁ ΔῊΓ τομεὺς AB, corr. 8 4. πρὸς τὸν 4EZ AB, πρὸς 
τὸν d(s9 S, corr. Co 9. τμῆμά ἔστιν Hu, ἐστιν ἔστιν A, sed alte- 
rum ἐστιν expunctum, unde unum ἐστὶν BS 441. τὸ (ante ἀπὸ τῆς 
-4T) om. A, add. ΒΒ 34. 124 A! in marg. (BS) 


344 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


τερον πρὸς ἑκάτερον, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ 
ἀπὸ τῆς “144. 

29 ιε΄, Ἔστω τρίγωνον ὀρϑογώνιον τὸ ΑΒΓ, xai smi 
χένερον τὸ Γ διὰ τοῦ .4 περιφέρεια γεγράφϑω 7) «44, 
ὀρϑὴ δὲ ἔστω ἡ πρὸς τῷ B γωνία" δεῖξαι ὅτι ὁ AAT το- ὃ 
μεὺς πρὸς τὸ 4.18 τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπεδρ 
ὀρϑὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην. 

Ἤχϑω τῇ ΓΑ͂ ὀρθὴ ἡ ΖΑ͂ (ἐφάπτεται ἄρα τῆς ΑΔ 
περιφερείας), καὶ διὰ τοῦ B περὶ κέντρον τὸ 24 περιφέ- 
gea. γεγράφϑω ἣ EBH, xai κάϑετος ἐπὶ τὴν MZ ἤχϑω 10 
ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον 
πρὸς τὸ EBO τρίγραμμον ἥπερ πρὸς τὸν E.4B τομέα, καὶ 
συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ 
EOB τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν Ε.8Β 
τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ EBO τρίγραμμον, 15 
οὕτως τὸ Z.4B τρίγωνον πρὸς τὸ “448 τρίγραμμον διὰ 
τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ EA4AB 4“Γ4 γωνίας (τοῦτο γὰρ 
προδέδειχται), καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ 4.4.8 τρί- 
γραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς 
τὸν EAB τομέα, μείζων ἄρα ὃ EAB τομεὺς τοῦ 4418 20 
τριγράμμου" μείζονα ἄρα λόγον ἔχδι ὁ E.4B τομεὺς πρὸς 
τὸν .4HB τομέα ἤπερ τὸ 4418 τρίγραμμον πρὸς τὸν 
AHB τομέα. τὸ δὲ 4.18 τρίγρφαμμον πρὸς τὸν (ΗΒ 
τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον" πολλῷ 
ἄρα ὁ EAB τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ͂ τομέα μείζονα λόγον 25 
ἔχει ἢ τὸ 4.418 τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὧς 
δὲ ὁ E.4B τομεὺς πρὸς τὸν B.4H τομέα, οὕτως ἣ ὑπὸ 
Z.A4B πρὸς τὴν ὑπὸ BAT: καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑ͂Β ἄρα πρὸς τὴν 
ὑπὸ B.4T μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ 4.418 τρίγραμμον πρὸς 
τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ Β4Γ τρίγωνον πρὸς 30 
τὸ B.44 τρίγραμμον μείζονα λύγον ἔχει ἥπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ 


3. τε A! in marg. (BS) 5. δείξη AB, corr. S 43. πρὸς τὸν 
OEAB ABS, corr. Co 88. πρὸς τὸν .BH ABS, corr. Hu (πρὸς τὸν 
BAAH voluit Co; $4. ἢ πρὸς Hu auctore Co pro ἥπερ 35. πρὸς 
τὸν B.AH] in A littera H punctis notata est - 





LIBER V. PROPOS. 15, 3945 


"S οὐ utrumque ad alterum rationem habet eandem atque 

2 : 04?*. 

XV. Sit triangulum orthogonium αβγ recto angulo B, et PP 
circa centrum y per « describatur circumferentia ad; de- 
monstretur sectorem óyo ad trilineum δαβ' maiorem propor- 
tionem habere quam rectum angulum ad angulum fjya. 

Ducatur ipsi ya perpen- 
dicularis e$, quam producta 
yB secet i puncto. G (recta 

ϑ igitur ez cireumferentiam αὖ 
€ tangit), et per 9 circa cen- 
trum « describatur circum- 
7. ΑΛ ὃ $ ferentia egy, et perpendicu- 
laris ad αζ ducatur 839. lam 
quia triineum eZ ad trilineum £93: maiorem proportionem 
habet quam ad seectorem caf (elem. 5, 8), et componendo est 
A 980 : trilin. S9 *» Δ afl : sect. eaf, et 
Δ 29865 : wilin. εβ9 z Δ αβζ : trilin. de (propter supe- 
rius lemma, quia anguli eg àya 
aequales sunt), itaque (elem. 5, 43) 
ἃ αβξ : trilin. dag * Δ aL : sect. δαβ, est igitur (elem. 
ὃ, 8. 40) | 
sect. eof » wilin. δαβ. Ergo est 
sect. δαβ : sect. βαῃ *» trilin. dag : sect. gaz. — Sed est 
trilin. dag : sect. βαη » trilin. δαβ: ἃ Bay; multo igitur 
sect. ea : sect. dam *» trilin. δαβ: Δ βαγ. | Sed est 
(elem. 6, 33) 
sect. ea : sect. Bam τῷ [ Lag : [, Bay; ergo etiam 
L ζαβ : L 8ay » tilin. 9a8 : A Bay. ΕΓ e contrario 
(infra VII propos. 7 extr.) 
A βαγ : Vilin. dag * ὁ Bay : L ζαβ, et. componendo 
(ibid. propos. 3) 


& 


*) Scilicet trilinea «yx δζλ sunt dimidia segmenta «yu df», et tri- 
angula ex dàs dimidia triangula eug dvce, et Δ «yx α΄. Δ afx, et 
Δ d9À -, A δελ. Latius eadem persequitur Co. 


90 


346 ITATIIOY ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


πρὸς τὴν ὑπὸ BA4Z, καὶ συνϑέντι ó ΓΑ τομεὺς πρὸς τὸ 

4.48 τρίγραμμον “μείζονα λόγον ἔχει ἧπερ ἡ ὑπὸ ZAT 

πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΑ͂Β, τουτέστιν “ἤπερ 7 9095, γωνία πρὸς 

τὴν ὑπὸ 4“ΓΒ (ἴση γὰρ ἢ ὑπὸ Z.AB τῇ ὑπὸ “37Ἐ διὰ τὸ 

ἐν ὀρϑογωνίῳ τριγώνῳ τῷ -Z.4T κάϑετον. εἶναι τὴν 448,5 
καὶ ὅμοιον τὸ Z.4B τρίγωνον τῷ A4TZ). 

ις΄. Ἔστω πάλιν ὀρϑογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρ- 
ϑὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ B, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ΄ διὰ τοῦ 
44 γεγράφϑω κύκλου περιφέρεια ἣ 244: λέγω ὅτι ὃ 4Γ4 
τομεὺς πρὸς τὸ .4B4l τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπεερ 10 
ὀρϑὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ 4T A. 

Ἤχϑω τῇ 4T ὀρϑὴ ἡ .4E, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ ἡ ΒΑ͂, 
καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου "epi κέντρον τὸ .4 γεγράφϑω x$- 
xÀov περιφέρεια 7? ΕΓΖ. ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ 
λένερου τὴν ΓΑ͂ γεγραμμέναι εἰσὶν al περιφέρειαι, φανε- 15 
ρὸν ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων. καὶ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4I A4 
γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑ͂Ε' μείζων ἄρα ἐστὶν ὃ 4I τομεὺς 
τοῦ ΑΓΕ vouéog: μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὃ 4ΓΩ τομεὺς 
πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἥπερ ὃ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ 
τρίγωνον, καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὃ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν 20 
ΑΓΖ τομέα. ὡς “δὲ ὃ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΖ, ob- 
τως 7 ὑπὸ EAT γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ LZ: καὶ ὁ 4Γ4 
ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει 
ἤπερ 7 ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑ͂Ζ. καὶ ἀνά- 
παλιν xai συνϑέντι [καὶ ἀναστρέψαντι) μείζονα λόγον ἔχει 25 
ὁ “4΄]}Γ4 τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ4 τρίγραμμον ἥπερ ἡ ὑπὸ 
EAT γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ἘΑΖ, τουτέστιν ἤπερ ὀρϑὴ 
πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ4 (ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ EZ γωνία ἴση τῇ 
ὑπὸ .41Γ24, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ATA ἴση ἐστὶν ὀρϑῇ τῇ 
ὑπὸ ΓΒΑ͂ καὶ τῇ ὑπὸ Β΄). 30 


4. τὴν (ante ὑπὸ BAZ) om. À, add. BS 8. τὴν (ante ὑπὸ ΖΑ) 
add. Hu 4. ἡ (ante ὑπὸ ZB) om. A, add. ΒΞ 7. «g Αἱ in marg. 
(BS) 41. ἡ ante ὀρϑὴ γωνέα add. B Sca 44, ἐκβεβλήσϑω ἡ B4 
ABS, corr. Co 47. ὑπὸ ΚΓ ΔῈ A? ex ὑπὸ ΧΓᾺῪ 484. τὴν (ante ὑπὸ 
I:42) om. AS, add. B $5. xal ἀναστρέψαντε interpolatori tribuit 


LIBER V. PROPOS. 18... 347 


sect. dya : trilin. 9a *» [, Cay : L ζαβ, id est 
» Lrectus : [, ya (est enim 
L ζαβ — L βγα, quia in tri- 
angulo orthogonio ζαγ perpen- 
dicularis est e, et similia sunt 
triangula ζαβ Lyo). 

XVI. Sit rursus triangulum orthogonium afjy recto an- PP 
gulo f, et circa centrum »y per a describatur circuli circeum- 
feréntia αὖ, quam recta By producta secet in à; dico secto- 
rem «yó ad trilineum «ef maiorem proportionem habere 
quam rectum angulum ad angulum «4. | 

Ducatur ipsi «y perpendi- 
€ cularis ce, et producatur af, 
et per punctum » circa centrum 
« describatur circuli circumfe- 
c rentia eyb. Iam circumferentias, 
quia eodem radio «y descriptae 
sunt, apparet aequalium circu- 
lorum esse. Εἰ angulus ayó 
β d τοδίοῦ est angulo recto αβγ, id 
ξ ? esl yae; ergo sector «yÓ maior 
sectore γαξ, itaque 
sect. αγὸ : Δ afy *» sect. γαξ : Δ afy, et multo 
» sect. γαξ : Sect. γαζ. — Sed est. 
sec. ya& : sect. γαζ Ξε ( yae : [, yab; ergo etiam 
sect. αγ : A αβγ»Ἔ L yas: L yab. Atque e contrario 
et componendo eí rursus e contra- 
rio (infra VII propos. 7 et à) est 
sect. αγδ : trilin. «8d *» Δ yae : [ Cae, id est 
: w [rectus : { «yÓ (est enim 
L toe — [, αγδ, quia uterque 
aequalis est recto uná cum an- 
gulo 8a»). 





-Co 486. τομεὺς add. A? initio folii 64 versi 38. ἔστιν — 30. ὑπὸ 
B.AT' forsitan interpolator addiderit 


91 


948 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ FE. 


εζ΄. Τούτων προγεγραμμένων τὸ προκείμενον ϑεώρημα 
συγχριτικὸν ὕπαρχον δείξομεν οὕτως. 

Ἔστω δύο τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ 4EZ ἴσας ἔχοντα 
τὰς ΑΒΓ.4ΕΖ περιφερείας, καὶ ἔστω ἡμικύκλιον μὲν τὸ 
ABI, τὸ δὲ ἘΖ42 πρότερον ἔλαττον ἡμικυκλίου " λέγω ὅτι 
μεῖζόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον τοῦ τμήματος. 

Εἰλήφϑω κέντρα τῶν κύκλων τὰ H O, xai ὀρϑὴ μὲν 
ἡ ΗΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ O κάϑετος ἐπὶ τὴν 4Z ἡ OKE, καὶ 
τῇ 42 παράλληλος ἡ 44M , καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 4O. ἐπεὶ 
οὖν ἐστιν ὡς ἡ 4E περιφέρεια πρὸς τὴν. ΒΑ, οὕτως *, 440 10 
εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ (αἱ γὰρ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς 
ἀλλήλας εἰσὶν ὡς ai διάμετροι), ἴση δὲ ἡ 4B περιφέρεια 


vij 4E, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ .4E περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΔ, ob- 


soc ἢ “7 πρὸς τὴν 42Η. ὡς δὲ ἡ ΕΑ.“ περιφέρεια πρὸς 
τὴν 4E, ὁ JOE τομεὺς πρὸς τὸν ΕΘΖ τομέα. καὶ ἔχει 15 
τὸ ἀπὸ τῆς 440 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Η διπλασίονα λόγον 
τοῦ τῆς O.4 πρὸς ΗΑ͂, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ 
Ἢ, τουτέστιν 0 ,,1ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν .£HB, διπλασίονα 
λόγον ἔχει ἤπερ ὃ 4ΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν 4“ΕΘ τομέα" 
τῶν ἄρα ΕΘ ΑΒΗ τομέων μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ὃ EO 20 
τομεύς. κχκαὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχϑὲν λῆμμα μεέζονα 
λόγον ὁ E4O τομεὺς πρὸς τὸ EZK τρίγραμμον ἤπερ ὀρϑὴ 
γωνία, τουτέστιν 7, ὑπὸ ΑΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ 4ΘΕ, τουετ- 
ἐστιν ἤπερ ὃ .10E τομεὺς πρὸς τὸν 24ΘΕ, ὡς δὲ ὃ .40E 
τομεὺς πρὸς τὸν OE, οὕτως ὁ Z4GE τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ 25 
τομέα, ὃ ἄρα ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ΔῈΚ τρίγραμμον μείζονα 


4. i£ Αἱ in marg. (ΒΒ 7. ττὰ HO A, distinx. ΒΒ 10. ἡ (ante 
416) om. A, add. BS 48. περιφέρεια add. Hu auctore Co — 44. ὡς 
δὲ ἡ E4 ABS, corr. Sca (ὡς δὲ ἡ 4E voluit Co) 44. 48. πρὸς τὴν 
4E AB, πρὸς λε S, sed πρὸς 4E corr. Sca 41. τοῦ τῆς 46.4 (ante 
πρὸς H.4) ABS cod. Co, τοῦ τῆς 2418 Co, corr. Sca di] ἄρα Co 
ἀπὸ τῆς 46.1 ABS cod. Co, ἀπὸ τῆς .10Θ Co, corr. Sca 48. ὃ .4E6 
AB Paris. 4868 Co, corr. S διπλασίονα BS, P A 30. μέσον S 
38. τὴν add. Hu 45. 86. πρὸς τὸν 4HB τομέα add. Sca (item Co, 
nisi quod 4BH) 36. ὁ ἄρα JOE τομεὺς add. Co (item Sca, nisi 
quod E460 





LIBER V. PROPOS. 17. 949 


XVII His praemissis propositum theorema (p. 535, ΧΙ ), Prop" 
quod comparativum est, demonstrabimus hoc modo. 

Sint duo circulorum segmenta αβγ δεζ, eorumque cir- 
eumferentiae ay δεζ aequales, et sit ay semicirculus, seg- 
mentum autem óei primum minus semicireulo; dico semicir- 
eulum maiorem esse eo segmento. 


& 7 


Sumantur circulorum centra ἢ 9, et ducantur perpen- 
diculares ηβ Jxe, et ipsi δ parallela Au, et iungatur ὁ9. 
lam quia est ut circumferentia 4e ad of, ita recta 49 ad 
αἢ (nam propter propos. 44 circulorum circumferentiae inter 
se sunt ut diametri), et circumferentia αβ — δὲ, est igitur - 

cireumf. 4s : cireumf. δὲ Ξε 49 : αη, id est (elem. 6, 55) 
— sect. .ϑε : sect. 09e. — Sed 
est (elem. 5 defin. 10) 
A93? Lap? zz ÀO : αἱ (si sit A9 : am — am : a), et propler 
propos. 43*) | 
A9? : oy? — sect. 49€ : sect. αηβ, eratque 
29 : ex sect. À9e : sect. 9; ergo est 
8601. 49e : sect. ὅϑε Ξε sect. ὅϑε : sect. anf. — Et quia 
propter superius lemma XV est 
sect. ὅϑε : trilin. dex ^» [ rectus : |. 09e, id est 
» LÀ9e: L 09e, id est 
*» sect. A9 : sect. ὅϑε, et erat 
sect. 2 : sect. ὅϑε — secl. 09e: 
sect. αηβ, est igitur 


*) Scilicet demonstratum est semicirculos 4e «fy inter se esse ut 
quadrata ex basibus; ergo etiam dimidii semicirculi inter se sunt ut 
quadrata ex dimidiis basibus. Sed brevius et commodius scriptor illo 
jemmate uti poterat quod supra p. 269 adnol. 4 significavimus. 


32 


33 


950 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHSZ ΒΕ. 


λόγον ἔχει ἤπερ ὃ αὐτὸς τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ τομέα᾽' 
μείζων ἄρα 0 ΑΒΗ τομεὺς τοῦ KE τριγράμμου. καὶ 
τὰ διπλάσια" μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ AEZ 
τμήματος. 

am. Ἔστω δὴ πάλιν τὸ 4ΕΖ τμῆμα μεῖζον futxv-5 
κλίου " λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. 

Κατεσκευάσϑω γὰρ τὰ αὐτά. ὁμὸίως δὴ δείξομεν ὅτι 
ἐστὶν ὡς ( “10 τομεὺς πρὸς τὸν 4ΘΕ, οὕτως ὃ 4OE 
τομεὺς πρὸς τὸν .JHB (ἴσαι γὰρ αἱ .4B AE περιφέρειαι. 
καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ Ζ4ΘΕ 10 
τομεὺς πρὸς τὸ Α,ἴΙΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρϑὴ γωνία, τουε- 
ἔστιν ἡ ὑπὸ ΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ AGE, τουτέστιν ἥπερ ὃ 
AGE τομεὺς πρὸς τὸν 4ΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὃ AGE το- 
μεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ, ἔσται μείζων ὃ 4ΗΒ τομεὺς τοῦ 
4ῈΚ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια" μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ 15 
ἡμικύχλιον τοῦ EZ τμήματος: πάντων ἄρα τῶν ἔσας 
ἐχόντων τὰς περιφερείας κυκλιχῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν 
τὸ ἡμικύκλιον. | 


Περὶ τῶν στερεῶν. 

ιϑ΄. Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων ϑεὸν οἱ 20 
φιλόσοφοί φασιν εἰχύτως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιϑεῖναι 
σφαιρικὸν ἐχλεξάμενον τῶν ὄντων τὸ κάλλιστον, τά τε 
προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ 
τοῦτο προστιϑέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων 
τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα. 25 
» 4 γ - 3 w , , 
τἄλλα μὲν ovv ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ 
»] M » , “« 4 3 [4 
ἐστιν καὶ παραμυϑίας ἐλάσσονος δεῖται, τὸ δ᾽ ὅτι μείζων 
ἐστὲ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔϑ᾽ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν, 
3 3 3 , , P4 , , 
ἀλλ᾽ ἀποφαίνονται μόνον, οὔτε παραμυϑήσασϑαι ὅᾷδιον 

Σ - 
ἄνευ ϑεωρίας πλείονος. φέρ᾽ οὖν, ὥσπερ ἐν τοῖς πρόσϑεν 30 
! 


5. IH A! in marg. (BS) 40. πρὸ dvo Hu, B A, δεύτερον BS 
45. μεέζονα ἄρα A, corr. BS 46. τοῦ 4E AB, corr. S 49. πὲξ 
στερεὼων add. A? in marg. (BS) 20. 76 A! in marg. (BS) 42. 88. τὰ 
δὲ προσόντα coni, . Hu 24. σχημάτων om. Ei 46. τἄλλα Hu pro 
τὰ ἄλλα 


LIBER V. PROPOS. 17. 351 
sect. ὅϑε : trilin. dex *» sect. ὅϑε : sect. anf; itaque 
sect. αηβ *» trilin. dex. Itemque dupla; ergo 
semicirc, ogy *» segment. δεζ. 


.XVIII. lam rursus segmentum δὲζ maius sit. semicir- 
CuAalo; dico sic etiam semicirculum eo segmento maiorem esse. 
Δ 
ζ΄ / 
7 





Construantur enim eadem; similiter igitur demonstrabi- 


EX» us esse ut sectorem ÀSe ad ὅϑε, ita sectorem ὅϑε ad anf 
( zm equales enim sunt circumferentiae αβ δε). Et quia propter 
S&'waperius lemma XVI est 


sect. ὅϑε : trilin. dex Ὁ» ὁ rectus : [, 9e, id est 
» L 496: L 09e, id est 
» sect. .ϑε : sect. ὅϑε, id est 


» sect. ὅϑε : sect. oan, erit 
sect. anf *» trilin. dex. Et item dupla; ergo 


semicirc. agy *» segment. del. 


Ergo omnium circuli segmentorum quae aequales cir- 
4 wimferentias habent maximus est semicirculus 


LIBRI QUINTI PARS SECUNDA, 
In. Archimedis solidorum doctrinam. 
XIX. Primum et effectorem omnium deum sphaericam 
ΤΕ ζυγά mundo recte tribuisse, quoniam omnium pulcherri- 
COnam elegerit, philosophi docent, qui cum sphaerae naturalia 
"symptomata exponunt, hoc quoque addunt, omnium solida- 


W-um figurarum aequalem superficiem habentium sphaeram 
tse maximam. lam alia quidem: quae ei tribuuntur tam 
perspicua sunt, ut vix ulla comprobatione indigeant, hoc au- 


tem, maiorem esse sphaeram reliquis figuris solidis, neque 
demonstratur a philosophis (qui id affirmant tantummodo) 


uec nisi longiore quaestione facile comprobatur.  Áge igitur, 


.352 IIATIIIOY ZYNATOTHSZ E. 


εὕρομεν τὸν κύκλον μέγιστον ὄντα τῶν ἴσην ἐχόντων. αὐτῷ 
τὴν περίμεξερον τεταγμένων πολυγώνων σχημάτων, καὶ νῦν 
τὴν σφαῖραν χατὰ τὸ ἀκόλουϑον ἀποδεῖξαι πειραϑῶμεν 
μεγίστην οὖσαν τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων αὐτῇ τεταγ- 
94 μένων στερδῶν σχημάτων. πρότερον δὲ περὲ τῶν στερεῶν 5 
αὐτῶν, πρὸς ἃ δεῖ συγχρίνειν τὴν σφαῖραν, ὀλίγα προδια- 
ληψόμεθα" πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα 
παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα, μᾶλλον δ᾽ ἂν τις ἀξιώσειε 
λόγου τὰ τετάχϑαι δοκοῦντα [καὶ τούτων πολὺ πλέον τούς 
, * , M A , , 
τὸ χώνους καὶ κυλίνδρους καὶ τὰ καλούμενα πολυεδρα]. 10 

^ 3 A 3 , M M ^ $ , 
ταῦτα δ᾽ ἐστὶν ov μόνον τὰ παρὰ τῷ ϑειοτάτῳ Πλατωνι 
πέντε σχήματα, τουτέστιν. τετράεδρόν ve καὶ ἑξάεδρον, Ox- 

, , * ᾿ , 3 3 9 
ταεδρύν τε xai δωδεκάεδρον, πέμπτον δ᾽ εἰχοσαεῦρον, 
ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ ᾿ρχιμήδους εὑρεϑέντα τρισκαίδεκα τὸν 
ἀριϑμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων 15 
δὲ πολυγώνων περιεχύμενα. 

τὸ μὲν γὰρ πρῶτον. ὀχτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ 
τριγώνων δ΄ καὶ ξξαγώνων δ΄. 

᾿ T. T 

τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν 
πρῶτον περιέχεται τριγώνοις 7) καὶ τετραγώνοις ς᾽, τὸ δὲ 30 
δεύτερον τετραγώνοις ς΄ καὶ ἐξαγώνοις y, τὸ δὲ τρίτον 
τριγώνοις η΄ καὶ ὀχταγώνοις ς΄. 

N L| - € / / » , e Α 4 

μετὰ δὲ ταῦτα δχκαιδιχοσαεδρα ἔστιν δύο, ὧν τὸ μὲν 
πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ιη͵, τὸ δὲ 
δεύτερον τετραγώνοις (f, δξαγώνοις η καὶ ὀχταγώνοις ς΄. 35 

“" . T 

μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτρεαχοντάεδρά ἔστιν τρία, ὧν τὸ 

μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ' καὶ πενταγώνθες (f, 


4. εὕρομεν A? ex εὔρωμεν ὅ. στερεῶν alterum om. S ΕΙ 8. μᾶλ- 
λον ἄν, deleto δ᾽, vel μᾶλλόν γ᾽ ἄν coni. Hu. 9. λόγον S Εἰ τὰ add. 
Hwauctore Co — 9.40. xal τούτων --- πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 
48. τριγώνων d A, τριγώνων τεσσάρων B, τεσσάρων τριγώνων S. Hi 
J' alterum) 4 A (ac similiter posthac, lineolá super numerorum notas 
ductá), τεσσάρων BS (ac similiter posthac B seepius, S fere constauter 
pro notis numeralibus) 49. τρέα S, dvo AB 20. τετραγώνοις Ei 
pro óxreyovoi; — 22. ὀχταγώνοις Ei pro τετραγώνοις 248. ς χαεέιχο- 
σαεδρα (sine acc.) A, ἕξ καὶ εἰχοσάεδρά B, ἑξκαιεικοσάεδρά S Ei, corr. 
Hu 45. ϑεύτερον BS, β' Α, item p. 354, 1 26. δύο xol τριαχον- 


LIBER V. 353 


quemadmodum in superioribus invenimus cireulum maximum 
esse polygonorum regularium, quae aequalem ipsi perime- 
trum habent, nunc simili ratione demonstrare conemur sphae- 
ram maximam esse ordinatarum figurarum solidarum , quae 
aequalem ipsi $uperficiem habent. Sed prius de solidis 
ipsis, cum quibus sphaera comparanda est, paucis dissera- 
mus. Etenim cum multae figurae solidae, quae varias su- 
perficies habeant, cogitatione fingi possint, inprimis tamen 
respiciendae sunt eae quae ordinatae esse videntur. Quo ex 
genere non solum quinque sunt figurae, de quibus Plato ille 
divinus exposuit 1), tetraedrum dico et hexaedrum, octaedrum 
et dodecaedrum, denique icosaedrum, sed etiam tredecim 
illae ab Archimede inventae, quas aequilatera et aequiangula, 
nec tamen similia polygona complectuntur?), quorum 
(4) primum est polyedrum 8 basium (ὀχεάεδρονὶ),. quod 
k triangulis et & hexagonis continetur ; 
tum tria polyedra {4 basium: (τεσσαρεσκαιδεκαεδρα), 
quorum 
(3) primum 8 triangulis et 6 quadratis, 
(3) secundum 6 quadratis et 8 hexagonis, 
(&) tertium 8 triangulis et 6 octagonis continetur; 
tum duo polyedra 26 basium (ἐκκαεδεκοσάεδρα), quorum 
(9) prius 8 triangulis et 48 quadratis, 
(6) alterum 42 quadratis, 8 hexagonis, 6 octagonis 
continetur; 
tum tria 32 basium (δυσκαιτριαχοντάεδρα), quorum 
(7) primum 20 triangulis et 12 pentagonis, 
4) Tim. p. 54 sq., de anima mundi p. 98, Euclid. elem. 43, 48—18. 
2) Qua ratione Archimedes haec polyedra invenerit eorumque nu- 
merum definiverit, apparet ex iis quae Ioannes Kepplerus in Harmonice 


&mundi (Lincii Austriae 4649) p. 629—865 acutissime demonstrat. Conf. 
votiam Balizer, Elemente der Mathematik 11, δ ὃ 7, 6. 


-«£dp« À, δύο xal τριαχοντάεδρά BS, coniunx. Paris. 2368 (vel Waitzius 
àn describendo codice; 37. πενταγώνοις Hu pro δεχαγώνοις (conf. 
infra cap. 86, ubi ex numero solidorum angulorum manifesto apparet 
hanc veram esse scripturam; 

Pappus I. 23 


904 IfAHHOY ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ F. 


τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις (f^ καὶ ξξαγώνοις κ΄, τὸ δὲ 
τρίτον τριγώνοις x' καὶ δεκαγώνοις ιβ΄. 
μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν ὀκεωκαιτριακοντάδδρον. περι- 


ἐχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ΄ καὶ τετραγώνων ς΄. 


90 


96 


"uera δὲ τοῦτο δυοκαιεξηχοντάεδρά ἐστι δύο, ὧν τὸ δ 
μὲν πρῶτον περιέχεται τρεγώνοις κ' καὶ τετραγώνοις À καὶ 
πενταγώνοις ιβ΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις X καὶ &&eyor- 
γοις x' καὶ δεκαγώνοις uf. 

μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἔστιν δυοκαιενενηχοντάεδρον, 

ὃ περιέχεται τριγώνοις π' καὶ πενταγώνοις ιβ΄. 10 

Ὅσας δὲ γωνίας ἕχαστον ἔχει στερεὰς wv ιγ΄ τοὐτων 
σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ 
τρόπου ϑεωρεῖται' ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυέδρων᾽ αἱ 
στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίαις, ἐξ- 
αριϑμηϑεισῶν cuv ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς Eyovowy πᾶσαι ot 15 
ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν 
ἀριϑμὸς τρίτον μέρος ἐστὲ τοῦ γενομένου ἀρειϑμοῦ, ὅσων δὲ 
πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία πιεριέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, 
ἐξαριϑμηϑεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν 
αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριϑμοῦ τὸ τέταρ- 20 
vov μέρος ἐστὶν ὁ ἀριϑμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ 
πολυέδρου. ὁμοίως δὲ καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γω- 
vía περιέχεται ὑπὸ δ᾽ γωνιῶν ἐπιπέδων, τὸ πέμπτον τοῦ 
πλήϑους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐσειν 6 ἀφιϑμὸς τι τοῦ πλή- 
ϑους τῶν στερεῶν γωνιῶν. 25 

Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ τλῆϑος ἃς ἕκαστον ἔχοι τῶν πο- 
λυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. ἐξαφεϑειηϑεεσῶν γὰρ 
πασῶν τῶν πλευρῶν ἃς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ πιδριέχαντα τὸ 


$9. τρέτον BS, I' A δεχαγώνοις Hu, πενταγώνοις Ei pro τετρα- 
γώνοις 8. μεταταῦτα A(S), δὲ add. B!, sed alia manus id rursus 
delevit 5. δύο καὶ é£nxoviatdpe A, δύο καὶ ἐἑξηκοντάεδρά B, coniunx. 
S 9. δύο x«l ἐνενηχοντάεδρον A(B), δυοχαιεννενηκοντάεδρον S. Ei 
44. 1Γ A, δεκατριῶν BS, item p. $56, 5 14. yoviatc pro γωνεὧν 
scripsit οἱ 45. &c add. Ei auctore Co 41. τρίτον ΒΒ, ÉA 19. ἃς 
add. Ei auctore Co 48. τὸ πέμπτον Ei auctore Co, ε AS, πέντε B 
27. τὸν add. B! 


. LIBER V. 355 


(8) secundum 12 pentagonis et 20 hexagonis, 
(9) tertium 20 triangulis et 12 decagonis continetur; 

(10) tum unum 38 besium (ὀχτωκαιτερεακονταεδδρονὶ, 
quod 32 (riangulis et 6 quadratis oontinetur; 

tum duo 62 basium (δνοκαιδξηκονεαεδρα), quorum 

(11) prius 20 triangulis, 30. quadratis, 42 pentagonis, 
42) alterum 30 quadratis, 20 hexagonis, 42 decago- 
nis continetur ; 

(13) postremo unum 92 basium (δυοκαεδνενηκοντάεδρον), 
quod 80 triangulis et 12 pentagonis continetur. 

Quot autem angulos unumquodque horum tredecim po- 
lyedrorum, et. quot latera habeat, hac ratione perspicitur. 
Quorum enim, ne multa, polyedrorum solidi anguli ternis 
planis constant, enumeratis angulis planis quos habent cunc- 
tae polyedri. bases, manifesto numeri sic effecti tertia pars 
est numerus solidorum angulorum; quorum autem polyedro- 
rum solidus angulus quattuor planis constat, enumeratis 
cunctis planis angulis quos habent bases polyedri, numeri 
effecti quarta pars est numerus solidorum polyedri angulo- 
rum; denique quorum polyedrorum solidus angulus quinque 
planis constat, similiter quinta pars numeri planorum angu- 
lorum est numerus angulorum solidorum 3). 

Quot autem latera unumquodque polyedrum habeat, hoc 
niodo inveniemus. Enumeratis enim cunctis lateribus quae 

Sunt planorum polyedrum complectentium, numerus eorum 


8) Haec sine dubio Graecus scriptor ita composuit, ut vel discipulos 
«gui ea audirent vel lectores huius collectionis polyedrorum exempla 
Sive solida sive in plano descripta ante oculos vellet habere; quare, etsi 
"verba quae supra leguntur per se obscuriora videantur, nulla tamen 
«lifficultas restat, dummodo nos quoque figuras adhibeamus. Ergo, ut 
:ipparatu qui est apud Kepplerum utar, polyedrum huius Latinae ver- 
sionis primum (4) habet angulos solidos ex 8 plenis angulis constantes 
(ig. 2 Keppl., secundum ex 4 (fig. 8), tertium ex 3 (fig. 5), quarlum 
ex 3 (fig. 4), quintum ex 4 (fig. 10), sextum ex 3 (fig. 6), septimum 
ex 4. (fig. 9), octavum ex 3 (fig. 4), nonum ex 8 (fig. 3), decimum ex 
5 (fig. 42), undecimum ex 4 (fig. 44), duodecimum ex 3 (fig. 7), tertium- 
decimum ex 5 (fig. 43). 
23 * 


900 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS F. 


πολύεδρον, ὃ ἀριϑμὸς αὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλή- 
ϑει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν. ἀλλ᾽ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων 
ἑχάστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι vot 
, i C « , ? - , 
πλήϑους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου. 
* t - “- - 
τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ΄ πολυέδρων 5 
ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις δ΄ καὶ ἑξαγώνοις δ', γωνίας μὲν 
ἔχει στερεὰς ιβ΄, πλευρὰς δὲ τη " τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων 
τριγώνων ot τὸ γωνίαι -ιβ' εἶσιν καὶ ot πλευραὶ ιβ΄, τῶν 
δὲ δ' ἑξαγώνων αἵ τε γωνίαι xÓ' εἰσιν καὶ αἵ πλευραὶ κδ΄" 
γενομένου δὴ τοῦ ἀριϑμοῦ παντὸς λς΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν 10 
μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριϑμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ 
. - . . m . ^v 3 “ 
προειρημένου ἀριϑμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ 
γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ', τὸ δὲ τῶν πλευρῶν 
πλῆϑος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριϑμοῦ, τουτέστιν τοῦ Àc', ὥστε 
τ . . ' 
eivaL πλευρὰς uj. 15 
τῶν δὲ τετρακαιδεχαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τρι- 
γώνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄, ὥστε ἔχειν στερεὰς μὲν γω- 
νίας ιβ΄ (ἑκάστη γὰρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων 
- , A A] » M M] , 
γωνιῶν περιέχεται), πλευρὰς δὲ [ἔχει] κδ΄. τὸ δὲ δεύτερον 
τῶν τετραχαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ς᾽ 20 
καὶ ξξαγώνοις η΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ΄ (ἑκάστη γὰρ 
τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ' γωνιῶν ἐπιπέδων), 
Mj A] » * , A ἢ , ^ : 
πλευρὰς δὲ [ἔχει] ἀξ. τὸ δὲ τρίτον τῶν τετραχαιδεχαέδρων, 
ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις η΄ xal ὀχταγώνοις c, ἕξει στερεὰς 
υὲν γωνίας χδ΄, πλευρὰς δὲ λε΄. 25 
τῶν δὲ ἑχχαιειχοσαέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περι- 
ἔχεται τριγώνοις τε η΄ καὶ τετραγώνοις ιη΄, ἕξει στερεὰς 
L| J Ó M i] , M 4 , ^v 
μὲν γωνίας xÓ, πλευρὰς δὲ μη. τὸ δὲ δεύτερον τῶν 
ἑχκαιεικοσαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ιβ΄ καὶ 
ἑξαγώνοις » καὶ ὀχταγώνοις c', ἔξει στερεὰς μὲν γωνίας 30 
μη΄, πλευρὰς δὲ οβ΄. 
^ 4 , bi A d 2 M 
τῶν δὲ δυοχαιτριαχονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ 
περιέχεται τριγώνοις τε x καὶ πενταγώνοις (f, ἕξει στε- 


9. τὲ post γωνέχι repetit A 40. ror !post ἐστιν») A! ex τῶν 
44. τρίτον BS, ΓΑ 42. αὐτοῦ AB3S, om. Bt 44. ἥμισυ BS, 


LIBER V. 357 


Zaterum manifesto aequalis est summae planorum angulorum; 
ssed quia singula polyedri latera binorum angulorum plano- 
z-"um communia sunt, numerum laterum dimidium numeri 
eingulorum esse apparet. Ergo tredecim polyedrorum quo- 
zum dissimiles sunt bases 
(1) primum, quia triangulis 4 et hexagonis 4 contine- 
ur, angulos habet solidos 12, latera 18; nam quattuor tri- 
angulorum sunt anguli 19 et latera 12, tum quattuor hexa- 
zonorum anguli 24 et latera 24; itaque cum e£ angulorum 
et laterum prodeat summa 36, necessario eius numeri tertia 
pars est numerus angulorum solidorum (quoniam eius poly- 
edri anguli solidi ternis planis constant), dimidium autem 
eiusdem numeri est laterum numerus, scilicet 18; tum 
(2) primum polyedrum 44 basium, riangulis 8 et qua- 
dratis 6 continetur, quapropter solidos angulos 42 (nam 
unusquisque polyedri angulus quattuor planis angulis con- 
Stat), latera 24 habet, | 
(3) secundum polyedrum 14 basium, quia quadratis 6 
et hexagonis 8 continetur, solidos habet angulos 24 (nam 
unusquisque polyedri angulus tribus planis angulis constat), 
latera 36, 
(4) tertium polyedrum 14 basium, quia triangulis 8 et oc- 
lagonis 6 continetur, solidos habet angulos 24, latera 36; tum 
(5) prius polyedrum 26 basium, quia triangulis 8 et 
«quadratis 18 continetur, solidos habet angulos 94, latera 48, 
(6) alterum polyedrum 26 basium, quia quadratis 12 et 
kwexagonis 8 et octagonis 6 continetur, solidos habet angulos 
"^8, latera 72; tum 
(7) primum polyedrum . 82 basium, quia triangulis 20 


———— 





U'A 146. τεσσαρεσχαιδεκαέδρων coni. Hu, item vs. 20 et 88 πρῶ- 
rov S, « AB 47. uiv om. Ei 19. ἔχει del. Hu, ilem vs. 23 
«᾿εύτερον BS, B A, item vs. 28 — 23. τὸ δὲ τρίτον — 86. λε΄ add. Ei 
(nisi quod om. τῶν τετραχαιδεχαέδρων) 26. ἐξχαιεικοσαέδρων A(B)S, 
«corr. Hu, item vs; 29 ἐπεὶ add. Hu auctore Co 4871. re om. S Ei. 
33. τὲ x«t x À, sed xci del. prima m. πενταγώνοις AB, δεχαγώνοις 
S Ei ἕξεις A, corr. BS 


398 IIAIIIIOY ZYNATOTHZ E. 


ρεὰς μὲν γωνίας λ΄, πλευρὰς δὲ E. τὸ δὲ δεύτερον τῶν 
δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγώνοις ιβ΄ καὶ 
ξξαγώνοις x', ἔξει στερδὰς μὲν γωνίας E, πλευρὰς δὲ C. 
τὸ δὲ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπιεὶ περιέχεται 
τριγώνοις τὸ X' καὶ δεκαγώνοις ιβ΄, ἕξει στερδὰς μὲν γωνίας 5 
ξ΄, πλευρὰς δὲ Ο΄. 

τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώ- 
γοὶς τὸ Af] καὶ τετραγώνοις 5E, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας 
χό΄, πλευρὰς δὲ £. 

τῶν δὲ δυοκαιεξηχονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ τυ 
περιέχεται τριγώνοις τὸ χ' καὶ τετραγώνοις À. καὶ πεντα- 
γώνοις ιβ΄, ἕξει στερδὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ ox. τὸ 
δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηχονταέδρων, ἐπ εἰ τιεριέχεεαι τετρα- 
γώνοις À' καὶ ξξαγώνοις x' καὶ δεκαγώνοις f, ἕξει στερεὰς 
μὲν γωνίας ex', πλευρὰς δὲ oz. 15 

τὸ δὲ δυοκαιδνενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώ- 
νοις τὸ π' xai πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας &, 
πλευρὰς δὲ Qv. 

37 Ταῦτα μὲν οὖν τὰ (y σχήματα [ἤτοι ἀνομοιογώνια 
ὄντα ἢ ὑπὸ ἀνίσων καὶ ἀνομοίων πολυγώνων περιεχόμενα 20 
διὰ τὸ ἀτακτότερον παρῃτήσϑω τὸ νῦν, τὰ δὲ καλούμενα 
& σχήματα τῇ σφαίρᾳ συγκρίνειν ἄξιον ὑπὸ γὰρ ἴσων 
καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα μόνα ταῦτα τὰς στερεὰς 
γωνίας ἴσας ἔχει, καὶ διὰ τοῦτ᾽ εὕὔταχτα παρὰ τὰ λοιπὰ 
μᾶλλόν ἐστιν. ὅτι δὲ πλείω τῶν ε΄ τόύτων ἀδύνατόν ἔστεν 25 
εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυ- 
γώνοις περιλαμβανόμενα, καὶ ὑπὸ τοῦ Εὐκλείδου καὶ ὑπό 
τινων ἄλλων ἀποδέδεικται. συγκρίνωμεν οὖν αὐτὰ ταῦτα 

. πρότερον τὰ πολύεδρα τῇ σφαΐρᾳ. 

38 Ἔστω γὰρ σφαῖρα μὲν ἐν $ τὸ 24, Ἐν δέ τι τῶν 30 

προειρημένων δ΄ σχημάτων ἴσην ἔχον τὴν σύμπασαν ἐπι- 


4. δεύτερον BS, 8 A ὃ. ἕξεις AB, corr. S, item vs. δ. 8. 49. 14 
4, τρέτον BS, PA δύο καὶ τριαχκονταέδρων AB, coniunx. 85 ὅ. δε- 
καγώνοις AB Εἰ, τετραγώνοις 5 9. κδ΄ Εἰ, μ᾿ AB, τεσσαράχοντα S 
40. δυοχαὶ εξηχονταέδρων A, δύο καὶ ἐξ. B, coniunx. Paris. 2368 


LIBER V. PROPOS. 48. 359 


et pentagonis 12 continetur, solidos habet angulos 30, la- 
tera 60, 

(8) secundum polyedrum 32 basium, quia pentagonis 
42 et hexagonis 20 continetur, solidos habet angulos 60, la- 
tera 90, 

(9) tertium polyedrum 32 hasium, quia tiangulis 20 et 
decagonis 42 continetur, solidos habet angulos 60, latera 
90; tum 

(40) polyedrum 38 basium, quia ia triangulis 32 et quadratis 
6 continetur, solidos babet angulos 94, latera 60, tum 

(44) prius polyedrum 62 basium, quia triangulis 20 et 
quadratis 30 et pentagonis 12 continetur, solidos hsebet an- 
gulos 60, latera 420, 

(19) alterum polyedrum 62 basium, quia quadratis 30 
el hexagonis 20 et decagonis 412 continetur, solidos habet 
angulos 420, latera 180; denique 

(43) polyedrum 92 basium, quia triangulis 80 et pentago- 
nis 12 contünetur, solidos habet angulos 60, latera 150. | 

Ut igitur has tredecim figuras, quae inaequalibus et dis- 
similibus polygonis continentur, nunó omittamus, quia minus 
ordinatae (sive regulares) sunt, quinque illa polyedra Plato- 
nica cum sphaera comparare operae est pretium, quae: qui- 
dem, quoniam aequalibus ac. similibus planis continentur, 
sola aequales babent angulos solidos et praeter cetera bene 
ordinata sunt. Sed exceptis his quinque figuris nullas inveniri 
posse alias, quae aequilateris polygonis aequalibus ac simi- 
libus contineantur, et ab Euclide (elem. 43 extr.) et aliis 
quibusdam demonstratum est. Primum igitur haec cum 
sphaera comparemus. 

,Sit, enim sphaera, cuius centrum: α, et unum quodpiam Prop. 
horum quinque polyedrorum, cuius tota superficies sphaerae 


πρῶτον BS, ὧἀ A 43. dvo καὶ ἐξηχονταεδρων A(B), coniunx. S 
44. x B, εἴχοσε AS 46. δύο xal ἐνενηκοντάεδρον AB, δυοκαιέννενη- 
κοντάεδραν S 47. xai om, AS, add. Β. ffe A 49. sy' 89 


Ei, τρισκαίδεκα ὁ Parisino 3368 descripsit Wailzius , T A, τρία B 
419. 20. ἤτοι — ὄντα ἢ interpolatori tribuit Hu 48. συγχρένομεν B 


360 — ΠΑΠΠΟΥ XYNAT'OGTHX E. 


φάνειαν τῇ τῆς 24 σφαίρας" λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν 7 
σφαῖρα. 

Νοείσϑω γὰρ εἰς τὸ πολύεδρον ἐγγεγραμμένη σφαῖρα, 
ὥστε τῶν περιδχόνεων ἐπιπέδων ἅπτεσθαι" μείζων ἄρα 
ἐστὶν ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια τῆς ἐτιιφανείας τῆς ἐγ-- 5 
γεγραμμένης σφαίρας" περιέχει γὰρ αὐτήν. ἀλλ᾽ ἡ τοῦ 
πκολυέδρου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς ΑἹ σφαίρας ἐπιφα- 
νείᾳ, ὥστε καὶ ἢ τῆς ΑΑ' σφαίρας ἐπιφάνεια μείζων ἐστὲν 
τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης τῷ τιολυέδρῳ σφαίρας" 
καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα τῆς 24 σφαίρας μείζων ἐστὶν 10 
τῆς ἐκ τοῦ χέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης σφαΐρας. ton δὲ 
7 τῆς 44 σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ" 

ὃ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων κύχλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ 
τῆς 44 σφαίρας, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐχ τοῦ χέντρου τῆς À σφαί- 
pac, μείζων ἐστὶν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν ἐχούσης εὐϑύ- 15 
γραμμον τὸ ἴσον τῇ τοῦ Ττολυέδρου ἐπιφανείᾳ xai ὕψος 
τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης αὐτῷ σφαίρας. 
ἀλλ᾽ ὁ μὲν χῶνος ἴσος ἐστὶν τῇ 24 σφαίρᾳ (τοῦτο γὰρ ἐκ 
τῶν ὑπ᾽ Τρχιμήδους δεδειγμένων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ 
χυλίνδρου καὶ τῶν ἄλλων ὑφ᾽ ἡμῶν ὑποτεταγμένων λημ- 20 
μάτων ἐστὲ qavegóv), ἣ δὲ πυραμὶς ἴση τῷ πολυέδρῳ 
μείζων ἄρα καὶ ἡ 44 σφαῖρα τοῦ ὑποκειμένου πολυέδρου. 

39 x. Ἔχει δέ τινα σύγκρισιν καὶ ταῦτα τὰ & σχήματα 

— πρὸς ἄλληλα, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισχεψόμεϑα" δείκνυται 
γὰρ ὑποκειμένων ἴσων τῶν ἐπιφανειῶν τὸ πολυεδρόεερον 25 
ἀεὶ καὶ μεῖζον. οἷον τὸ μὲν εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεχαέδρου, 
τὸ δὲ δωδεκάεδρον τοῦ ὀχταέδρου, καὶ ὁμοίως τὸ μὲν 
ὀκτάεδρον τοῦ κύβου, ὁ δὲ κύβος τῆς πυραμίδος" ὅμοιον 
γάρ τι πέπονθεν τὰ στερεὰ ταῦτα τοῖς ἐπιπέδοις πολυ- 
ycvotg* καὶ γὰρ ἐπ᾽ ἐκείνων, ὁπότε τὰς περιμέτρους ἴσας 30 


4. τῇ τῆς 4 σφαίρας Hu auctore Co, τῇ om. AB, unde τῇ α σψαέρᾳ 
Paris. 2368 (S) Ei 5. ἐπιφάνεια τῆι ἐπιφανείαι AB, corr. S 7. 4 
om .B! Ei 48. 4 om. Ei 18. ὃ τὴν βάσιν A, sed τὴν del. prima 
m. κύχλον AS Ei, κύχλου BS τὸ ante ἴσον add. ABS, del. Ei 
44. 45, ὕψος — σφαέρας add. Ἐἰὶ 15. τῆς (ante zzvugeuídog, om. Ei 


-— 


LIBER V. PROPOS. 48. 361 


superficiei aequalis sit; dico sphaeram maiorem esse po- 
lsyedro. 

Fingatur enim po- ἢ 
lyedro inscripta sphae- 
ra, quae plana polye- 
dri tangat; ergo super- 
. licies :polyedri maior 
est superficie sphaerae 
inscriptac, — quoniam 
hanc complectitur illa. 

5566 ex hypothesi polyedri superficies aequalis est sphaerae « 
ssuperficiei, ita ut sphaerae « superficies maior sit superficie 
sphaerae polyedro inseriptae; ergo etiam radius sphaerae ἃ 
maior est radio sphaerae inscriptae. Sed sphaerae « superficies 
aequalis est superficiei polyedri; ergo conus. basim habens 
cireulum aequalem superficiei sphaerae « et altitudinem radio 
sphaerae « aequalem maior est pyramide cuius basis est 
weclilineum aequale superficiei polyedri et altitudo radius 
spbaerae  polyedro inscriptae. Sed conus, ille aequalis est 
sphaerae à — hoc enim et ex iis quae Archimedes in libro 
«Xe sphaera et cylindro primo propos. ὅδ et 56 demonstravit 
€i.ex his quae sequuntur lemmatis a nobis subiunctis (pro- 
4pos. .20.sqq.) apparet — et pyramis illa polyedro aequalis 

. (id quod ex elem. 12, 6 sequitur); ergo sphaeta α maior est 
€o quod supra posuimus polyedro. 
XX.. Sed est etiam quacdam horum quinque polyedrorui um 

inter se comparatio, de qua infra videbimus (cap. 72 .sqq.). 
Etenim, si aequales polyedrorum superficies supponantur, de- 
"i onstratur 'semper id quod plures bases habeat maius esse, 
V«s»]ut icosaedrum mais dodecaedro, et dodecaedrum octa- 
€«lro, et similiter octaedrum cubo, et cubum pyramide. Nam 
S Àmmile quid in his solidis contingit atque in planis polygonis, 
*A'Uxoniam in illis quoque, si aequales perimetros habebant, 








ἘΠ 33» βάσιν AB, corr. Paris. 3868 5 30. ἄλλων B!, ἄλλως ABSS Ei 
ἜΞ. ΧΑ ἰὴ marg. (BS) 24. ἐπισχεψωμεϑὰ A! ex ἐπισχεψόμεϑα 


362 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


εἶχεν, ἀεὶ μεῖζον ἀπεδείκνυτο τὸ noÀvyuvósegov, καὶ πάν- 
των Ó κύχλος μείζων, ὥσπερ ἐδείχϑη νῦν τῶν πολυέδρων 

407) σφαῖρα. πρόδηλον δ᾽ ὅτι καὶ ὁ κῶνος καὶ ὃ κύλινδρος 
éxdregog ὃ ἴσην ἔχων ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας ξλάσσων 
ἐστὲν αὐτῆς. ὃ μὲν γὰρ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιε- ὃ 
᾿φανείᾳ τῆς σφαίρας, ὅλην δὲ τὴν ἐπιφάνειαν μείζονα τῆς 
ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἴσος αὐτῇ καταλαμβάνεται, ὅταν 
τὸ ὕψος αὐτοῦ ἴσον ἢ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, Ó 
δὲ χύλενδρος Ó τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχων τῷ κώνῳ, ἣ ἐστιν 
ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὸ γ᾽ τοῦ ἄξονος 1ι 
τοῦ κώνου, καὶ ἴσος ὧν τῷ κώνῳ, ἴσος εὑρίσκεται καὶ τῷ 
σφαίρᾳ μείζονα τὴν ἐπιφάνειαν ἔχων αὐτῆς" αἕ γὰρ δύο 
βάσεις αὐτοῦ τῆς βάσεως τοῦ κώνου, τουτέστιν τῆς ἐπε- 
φανείας τῆς σφαίρας, διπλασίους εἰσίν, ὥστε ὕταν ἑχάτε- 
go» τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαέρας, 1: 
τότ᾽ ἐξ ἀνάγχης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μιείζων ἐστεέν. 

41 Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς σφαίρας 
πρὸς τὰ ε΄ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον, τὰ 
δ᾽ ὑπὸ τοῦ ἀρχιμήδους, ὡς εἴρηται, δειχϑέντα καὶ ἄλλως 
ἀποδείξομεν, προγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν 20 
συντείνει λημμάτια. 

42 (αΊ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς .4B διαμέτρου καὶ τυ- 
χοῦσαι ἐπὶ τὴν διάμετρον κάϑετοι at Γά EZ, xoi ἐφα- 
πτομένη 7? DLE: ὕτι τὸ δὶς ὑπὸ ZED ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ 
-B AZ. 2 

Ἤχϑω ἀπὸ τρῦ E κάϑετος ἐπὶ τὴν Γά $ EH, καὶ 
ληφϑέντος τοῦ Θ κέντρου ἐπεζεύχϑω 17) EO. ἐπεὶ οὖν 
ὀρϑὴ ἢ ὑπὸ ΓΕΘ τῇ ὑπὸ ZEH ἐστὶν toy, κοινῆς ἀφαιρε- 
ϑείσης τῆς ὑπὸ HEO ἔσται λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ͂ τῇ ὑπὸ 
ZEO i ἴση. ἀλλὰ καὶ ὀρϑὴὲ ἣ Z τῇ H ἴση: ἰσογώνιον Goa 30 


4. τῇ τῆς » σφαίρας Hu, rj. σφαέραε ABS, τῇ ἐπιφανεέᾳς τῆς σφαί- 
ρας Ei 40. τὸ ΛΑ, τὸ τρέτον BS 44. διπλασίους ΑἹ ex διπλα- 
σίου 14ὅ. τῇ add. Hu (τῇ ἐπιφανείᾳ add. Ei) 20. ὅσα post αὐτῶν 
transpos. S Ei — 21. λημμάτι" Αἴ, « add. ΑΖ 42. «' add, Hu (ᾳυο- 
niam lemmata huius secundae quinti libri partis a scriptore seorsum 
numerantur) 


LIBER V. PROPOS. 49. 40. 963 


semper maius demonstrabatur id quod plures angulos habe- 
bat (propos. 1), et omnibus polygonis maior circulus (pro- 
pos. 2), sicut polyedris sphaeram maiorem esse stalim osten- 
dimus. Apparet etiam 

et conum et cylindrum, si uterque aequalem super- Prop. 

ficiem ac sphaera habeat, eàdem minorem esse. 

Nam conus cuius basis superficiei sphaerae aequalis est (tota 
igitur superficies maior superficie sphaerae), aequalis spbae- 
rae deprehenditur, si altitudinem radio sphaerae aequalem 
habeat (propier Archim. de sphaer. et cyl. I, ὅδ. 56) ; cylindrus 
autem eandem cum eo cono basim habens (quae est super- 
ficiei spbaerae aequalis), altitudinem autem coni axis (ertiam 
partem, quoniam aequalis est cono (ibid. 56. 57) sphaerae 
etiam aequalis invenitur, cum tamen maiorem cà superficiem 
habeat (namque, uw curvam superficiem omillamus ,. "ipsae 
duae bases cylindri duplae sunt baseos coni, id est super- 
ficiei sphaerae); itaque si et conus et cylindrus aequalem ac 
sphaera superficiem habeat, utroque sphaeram maiorem esse . 
necesse est. 

. Haee igitur de sphaerae cum quinque polyedris et cono 
et cylindro comparatione; eadem autem quae ab Archimede, 
ut. diximus, demonstrata sunt nos alia ratione ostendemus 
praemissis lemmmatis quaecunque ad eam demonstrationem 
adhibentur. 

(Lemma 1). Sit semicireulus diametro af, et quae- Prop. 
libet ad diametrum ducantur perpendiculares yÓ &L, et tan- 
gens γε; dico esse 9 be. ey —— 
od - óL. 

Ducatur a puncto & ad rec- 
tam yà perpendicularis &p, et 
sumpto centro 9. [fungatur eJ. 
lam quia rectus angulus ye3 
recto ηεζ aequalis est, com- 
muni sublato angulo 563. restat 
angulus yer aequalis angulo Je. 
Sed quia etiam anguli ἡ C, ut 





864 ΠΑΠΠΟΥ͂. ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


τὸ ΓΕΗ͂ τρίγωνον τῷ ZEO τριγώνῳ' ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ZE 

πρὸς ΕΘ, ἡ HE πρὸς ET: τὸ ἄρα ὑπὸ ZET ἴσον ἐστὶν 

τῷ ὑπὸ GEH, ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ZET τῷ δὶς ὑπὸ 

OEH ἐσεὶν ἴσον. ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ GEH ἴσον ἐστὶν τὸ 

ὑπὸ 4B 42 (le γάρ. ἐστιν | HE τῇ 42)" καὶ τὸ δὶς 5 
ὑπὸ ΖΕ ET ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ 4418 AZ, ὥστε καὶ τὸ 

ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΖ 4H καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ 

ὑπὸ .4B AZ. 

43 χα’ (θΊ. Ἔστωσαν δὴ πάλιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τυχοῦσαι 
κάϑετοι oi l4 EZ, καὶ ἡ EOT ἐφαπτομένη τοῦ ἡμικυ- 10 
κλίου, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΓΘ τῇ ΘΕ ὅτι τὸ ὑπὸ 4B 4Ζ 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ. 


A s » 9 6 


7 











id $ x $49" 3 x t ^ 


"Hy9o xá9evog ἡ OK καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 4HE. ἐπεὶ 
παράλληλοί εἰσιν oi Γά OK EZ, καὶ διπλῆ ἐστιν ἣ ΓΕ 
τῆς ΕΘ, διπλῆ ἐστιν καὶ ἡ μὲν L4 τῆς OH, ἡ δὲ ΕΖ τῆς 15 
HK, ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ Γά EZ τῆς ΘΚ ἐστὶν δι- 
πλῆ. διὰ δὲ τὸ προδειχϑὲν τὸ δὶς ὑπὸ ΚΘΓ ἴσον ἐσεὶν 
τῷ ónó.4B 4Κ. καὶ τὰ διπλάσια - τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου 
ἄρα τῆς Γά EZ καὶ τῆς ΓῈ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ .48Β AZ. 

44 xB' (y). Ἔστω πάλιν τὸ ἡμικύκλιον καὶ τυχοῦσα 7j E20 
καὶ κάϑετοι αἱ I4 EZ: ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖ 
EZ καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς AZ 
καὶ τῆς ὑποτεινούσης περιφέρειαν, ἥ ἐστιν μετὰ τῆς ΓΕ 
ἡμικυκλίου. 

'Προσαναγεγράφϑω ὁ κύκλος, καὶ ἔστω διάμετρος αὐ- 325: 
τοῦ ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβληϑείσης τῆς ΓΖ ἐπὶ τὸ K χάϑετος 
ἐπ᾽ αὐτὴν ἡ EH, xai ἐπεζεύχϑωσαν αἱ EO ΕΚ. ἐπεὶ ἡ 





4. τῶν A! cx τὸ (ilem τῷ B Paris.2368, sed τὸ 8) τὸ δὲς ὑπὸ 
GET Εἰ κ. 5. τὸ ὑπὸ AB, τῷ ὑπὸ S Εἰ — 5. post 4H .1Ζ repe- 


LIBER V. PROPOS. 44. 92. ' 365 


recti, aequales sunt, triangulum igitur yen simile est trian- 
gulo ϑεζ; est igitur | | 

be : 8ὲϑ τῷ m6 : &y, ilaque Ce-&y — Je- δῆ, sive 

δ ζε.εγ — 296. δῆ. ' Sed est 38ε.ξὴ — af- 0C (quia 

| 296 τε afl, et ey Ξε OL); ergo etiam, 

ῷ ζξ. δγ — αβ' : àC, sive (0n 2- Ce)ey — af. ὁζ. 

XXI (2). Sint rursus ad diametrum ductae quaelibet Prop. 
perpendiculares yó δζ, et recta γϑε' tangens semicireulum, 
i £z ut sit y9 — Je; dico esse αβ΄ δξ z (δ - εἴ) γε. 

Ducatur perpendicularis Sx, et iungatur recta óme. 
UC uoniam parallelae sunt yd 9x eC, et ye 2 9 9e, est etiam 

g»-^opler triangulorum similitudines γὺ Ξε 937, et e£ z 2x, 
i &-z3que etiam 
γ - εἴ 22 29x. Sed propter superius lemma est 2 49 . 97 
-— af.óx; atque item dupla, id est 
| 229- .γὲ — αβ. δὲ; ergo est 
(yÓ - εἴ) ye — af. OC. 
XXI (5). Sit rursus semicirculus, et ducatur quaelibet Prop. 
2-7 ἘΞ, et diametro af! perpendiculares γὸ εζ; dico rectangulum 
C2 E eb]ye aequale esse rectangulo quod rectà δξ et eà con- 
tinetur quae cireumferentiam unà 
eum circumferentia ye. semicir-. 
culum efficientem subtendit !). 
Compleatur circulus sitque 
diametrus eius yJ, et produ- 
catur γὺ ad x punctum circum- 
ferentiae, et ad eam: perpen- 
dicularis ducatur em, et iun- 
gantur ε9 ex. Quoniam af 





4) Ad Graecum ἡμεκυχλίου apparet supplendum esse περερέρεια. 
X wo autem scriptoris verba, quae primo obscuriora videantur, clara 
"CX uasi luce collustrantur, simulatque ex constructione circumferentias 
7: -- £9 semicirculum efficere cognovimus. 





t wint 29r)». AB 9. χα A! in marg. (BS), β΄ add. Hu δὴ ABS, δὲ 
JE; 40. χαὶ ΠΕΘΓ Αἱ, corr. A? 90. KB A! in marg. (BS), γ΄ add. 
Jiu τὸ om. Εἰ 25. προσαναπληρώσϑω (voluit προσαναπεπληρώ- 
Ὅϑω) Εἰ auctore Co 








966 ' ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ F. 


AB τὴν ΓΚ πρὸς ὀρϑὰς τέμνει, ἴση ἐστὲν ἣ FA τῇ AK. 
ἀλλὰ καὶ ἡ HA τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση" ἡ ΗΚ ἄρα συναμφο- 
τέρῳ τῇ L4 EZ ἐστὶν ἴση [ἡ δὲ 4Z τῇ HE]. ἡ δὲ τὴν 
λοιπὴν ὑποτείνουσα τοῦ ΓΕΘ ἡμικυκλίου ἐσεὶν ἡ EO. 
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν K γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΕΓ 5 
ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνέἕα ὀρϑὴ ἴση ἐστὶν τῇ Η, ἰσογώνια 
ἄρα doziv τὰ GET KEH τρέγωνα ἔστιν ἄρα ὡς ? ΘΕ 
πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΗ πρὸς ΗΕ’ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς OE καὶ τῆς 
ΕΗ, τουτέσειν τῆς 4Z, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν HK TE, 
τουτέφτιν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖά EZ καὶ τῆς ΓΕ. 1 
45 xy (0). Kei ἐκ τούτου φανερὸν ὅτε, ἐὰν ἡμικυκλίου 
τινὸς ὡς τοῦ BI περιφέρειά τις ὡς ἡ T4 διαιρεϑῇ 
εἰς ὑποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχϑῶσιν εὐϑεῖαι, at ὑπὸ τῶν 
ἐπιζευχϑεισῶν τῶν .4E EZ ZU ΓΗ ΗΖ κατὰ τὴν περὶ 
ἄξονα τὴν 4B στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι εἰσὲν tt 
κύχλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπειζευχϑείσης τῆς 
EB, τὸ ὑπὸ EB .40. 
᾿Ἢ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς ΗΔ γινομένη ἐπιφάνδια ἴση ἐστὶν 
κύχλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου 
τῆς HK 40 καὶ τῆς HA [ὧν μέση ἀνάλογόν ἔστιν ἡ ἐκ τοῦ X 
χέντρου͵ τοῦ εἰρημένου κύχλου]. λέγει γὰρ ἀρχιμήδης ὅτι 
“δὰν. κῶνος ἐσοσχελὴς ἐπιπέδῳ τμηϑῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, 
τῇ μεταξὺ τῶν τταραλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώ- 
vov, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ χέντρου μέσον λόγον 
ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων 3: 
ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων 
 tü» κύχλων τῶν ἐν τοῖς παραλλήλοις ἐπιπέδοις". ὥστε 
ἡ ὑπὸ τῆς H4 γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ 





3. 4 H4 Alex ἡ Nd. 3. ἡ δὲ — HE interpolatori tribuit Hu 
τῇ ye BS, τῆι ΠΌΑ &. τοῦ Ei pro τὸ 9. τῶν Εἰ pro τῆς 
40. τῆς ΓΖΔῈΖ AS, dislinx. B 13. KT' A! in marg. (BS), δ΄ add. 
Hu 4$. ἐπιφανειας καὶ εἰσὶν A(B), ἐπιφανείας xol εἰσὶν ἐν S, 
corr. Ei auctore Co 80. 94. ὧν μέση — xvxlov interpolatori tri- 
buit Hu 34. ὁ ante ᾿ἥρχιμ. add. B!, del. B?, item p. 868, 21 
24. 0 ante χύχλος add. S Ei (invitis AB atque ipso Archimede) 
25. τῆς τε πλευρᾶς Archim. 





LIBER V. PROPOS. £3. 367 


ipsam yx ad rectos angulos secat, aequales sunt γὸ óx 
(elem. 3, 5). Sed etiam ηδ εἴ aequales sunt; ergo est yx τ 
yÓ 4- εζ. Sed ea quae circumferentiam semicirculum ys9 
complentem subtendit est εϑ. lam quia anguli x 9 aequales 
sunt (elem. 3, 21), itemque angulus ys9', ut in semicirculo, 


aequalis est recto xge, similia igitur sunt wriangula Jsy x96. 


Ergo est J&: ey — χη: δ; itaque 
S&.ns- xp.cy. Et est ye — OL, et xr — γὸ -- eC; ergo 
(γὸ -- εἴ)γε — 06-69. 

XXHI (4). ÁÀtque ex his manifestum est, si semicirculi, 
velut «y, cireumferentiae pars quaedam, velut αγδ, in 
quotcunque aequales paríes dividatur rectaeque, velut e& &C 
Cy yn ηδ, iumgantur, eas superficies, quas hae rectae con- 
versione ciroa axem af efficiunt, aequales esse circulo, cuius 
radii quadratum ὑαποιὰ ef) aequale est rectangulo ἐβ. «9. 

 Nam' superficies, 
quam ηδ efficit, ae- 
qualis est circulo, cu- 
ius " radii quadratum 
aequat X rectangulum 
(yx - δδϑὴ)ηδ, τὰ es 
circulo, cutus radius 
media — proportionalis 
est rectarum wx ἢ δ 
Ξε ηδἢ. Docet enim Archimedes (de sphaer. et cyl. I, 17): 

"si conus isosceles plano secetur basi parallelo, coni super- 
οἱ, quae inter parallela plana interiicitur, aequalis esi 
*—imulus, cuius radius media proportionalis est inter coni la- 
"Lus, quod iateriicitur inter parallela plana, et rectam: aequa- 
Wem summae radiorum circulorum qui in parallelis sunt pla- 
Ἐκ ς᾽", Itaque superficies, quam 70 efficit, aequalis est cir- 





*) Significemus radium eius de quo agitur circuli nota z; ergo Pappus 
Wponit 2? e (gx  δϑηηδ, itemque Archimedes 9: Um D: x 4 49, 
«quae Graece sic dici poterant: σζουτέστιψ xUxÀQ οὗ ἡ ἐχ τοῦ xévrQov 
«εἰέση ἀνάλογόν ἔστιν cet. (velut Latinis verbis perspicuitalis causa supra 
**xpressimus), neque vero ea ratione quam in Graeco contextu inter- 
Tpoletor secutus est. 


Prop. 
23 


368 ΠΑΠΠΟΥ EYTNATOTHE F. 


ἐχ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς HK 40 
xai τῇς ΗΖ, ὕπερ ἐδείχϑη τῷ ὑπὸ EB ΚΘ ἴσον. ἡ δὲ 
ὑπὸ τῆς ΓΗ͂ ὁμοίως ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ χέντρου 
δύναται τὸ ὑπὸ EB AK [καὶ γὰρ τοῦ κύκλου προσανα- 
πληρουμένου καὶ τῆς ἴσης τῇ ΕΒ εἰς τὸν κύκλον évagpto- 3 
ζομένης διὰ τοῦ Η γίνεται τὸ ὑπ᾽ αὐτῆς xai τῆς /4K ἴσον 
y τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου 
τῆς I4 ΗΚ καὶ τεῆς 
ΤΗ. ἡ δὲ ὑπὸ τῆς 
ΕΖ ἴση ἐστὶν κύχλῳ 10 
οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου 
δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ 
f MN: τοῦτο γὰρ ἴσον 

τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου 
τῆς ΕΝ ZM xai τῆς ΕΖ], καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. 1τῦ 
καὶ 1j ὑπὸ τῆς ἐσχάτης τῆς 41 κωνικὴ ἐπιφάνεια γενο- 
μένη ἴση ἐστὶν χύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ 
ΕΒ .4N, ὅπερ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΝ (καὶ γὰρ ἰσογώ- 
γιά ἐστιν τὰ ΑΕΒ AEN τρίγωνα, καὶ ἡ ὑπὸ τῆς 4E γι- 
γομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύχλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου 20 
δύναται τὸ ὑπὸ ΑΕΝ' xai τοῦτο yàg ᾿Αρχιμήϑης ἀπέδει- 
᾿ ξεν). καὶ ἣ ὑπὸ πασῶν ἄρα τῶν 4H ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ͂ γι- 
γομένη σύνϑετος ἐπιφάνεια ion ἐστὶν ἀύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ 
κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ 440. 

4ῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὕλη τοῦ ἡμικυκλίου περεφέ- 25 
θδια εἰς ἴσα διαιρεϑῇῆ, ὧν ula ἐστὶν ἡ 4E, καὶ ἐπιζευχϑῶ- 
σιν εὐθεῖαι, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου 
πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν σεροφὴν ἴση ἐστὶν 
κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ EBA. 







TY H 2 x 9 


4. τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου — ἃ. δύναται om. S, quorum verborum 
loco add. Ei τὸ ὑπὸ EB OK, ἡ δὲ ὑπὸ τῆς HT γινομένη ἐπιφάνεια 
ἴση ἐστὶ κύχλῳ οὗ ἡ ix τοῦ κέντρου δύναται 4. καὶ γὰρ — 45. καὶ 
τῆς ΕΖ interpolatori tribuit Hu 8. τῇ EB Ei auctore Co pro τῆς 
EB 8. 9. x«l τῆς ΓΝ ABS, corr. Co 9. 40. ὑπὸ τῆς EZ Hu pro 
ὑπὸ τῆς ΓΖ 44.. δύναται τὸν ὑπὸ AB, corr. S 19. post ΜῈΝ 
add. NEB ABS, del. Hu post ὑπὸ τῆς 4 add. Ν καὶ γὰρ ᾿ἰσογώ- 


LIBER V. PROPOS. 28. 369 


culo, cuius radii quadratum aequat rectangulum (mx -- à3)506, 
id est, ut superiore lemmate demonstravimus, rectangulum 
x9.e8*"). Similiter superficies, quam γῃ efficit, aequalis 
est circulo, cuius radii quadratum aequat rectangulum λχ- εβ, 
οἱ eadem ratione in reliquis. Et superficies conica, quam 
ultima «& efficit, aequalis est circulo, cuius radii quadratum 
aequat rectangulum «a».e8, quod quidem rectangulo ἀξ’ δν 
aequale est (nam propter triangulorum «ee ave similitudi- 
nem est a& : ef zs av: &v, et superficies, quam ae efficit, 
aequalis est circulo, cuius radii quadratum aequat rectan- 
gulum ae:e», ut Archimedes |. c. propos. 15 demonstravit). 
Ergo superficies, quam omnes δὴ vy γζ Le ea efficiunt, com- 
posita aequalis est. circulo, cuius radii quadratum aequat 
rectangulum e6-o23. 
. Ác manifestum est, 
si tota semicirculi cir- 
cumferentia in aequales 
partes dividatur, qua- 
rum una sit «e, et rec- 
tae, μὲ supra, iungan- 
tur, superficiem, quam 
ce £ 7 / omnia polygoni latera 
| simili conversione effi- 
Cijunt, aequalem esse circulo, cuius radii quadratum aequat 
wectangulum εβ'βα. 
Atque ilem apparet reclam εβ aequalem esse diametro 
circuli eidem polygono inscripti; nam δὲ ez contactás puncto 
X9: ad centrum duxerimus 29m-, haec ipsi &8 parallela est; 





**) Facile apparet rectam quae hic ponitur «8 respondere illi £3 
àn superiore lemmate; est enim «e zz 5d, itaque, ut generaliter dictum 
«δὶ propositione 22, ipsa est recta «8 "quae circumferentiam uná cum 
wircumferentia ηδ᾽ semicirculum efficientem subtendit". Quae Graecus 
Scriptor tamquam consentanea omisit; interpolator autem paulo post, 
alieno scilicet loco, demonstrationem quandam similem inculcavit. 


να ἔστιν A, sed del. prima m. 27. εὐθεῖαι add. Ei γιγνομένη 
A, corr. BS . 
Pappus I. 24 


370 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


46 κδ΄ (s). Διῃρήσϑω δὲ πάλιν $ τοῦ ἡμικυκλίου περε- 
φέρεια εἰς ἴσα ὁποσαοῦν, ἀφ᾽ ὧν ἐφαπτόμεναι ἤχϑωσαν, 
ὡς αταγέγραπται" ὅτι ai ὑπὸ τῶν I4 AE EZ ZH HO 
γενόμεναι ἐπιφάνειαι κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴσαι εἰσὶν 
χύχλῳ οὗ ἡ ἐχ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἣ AB. .ω" 





Y À , » £4 


Κάϑετοι ἤχϑωσαν ἀπὸ τῶν 4 E Z H ἐπὶ τὴν διά- 
uevrgov. διὰ δὴ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΞ τῇ R4 καὶ καϑέ- 
τους τὰς ΓΑ͂ 4K, τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Κ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συν- 
αμφοτέρου τῆς ΓΑ͂ 43Κ καὶ τῆς L4: τοῦτο γὰρ f ϑεω- 
ρήματι προδέδεικται. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῆς ΓΖ γινομένη ἐπει-- 10 
φάνεια ἴση ἐστὶν xóxÀq οὗ ἢ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ 
ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ͂ 4K καὶ τῆς I4 διὰ τὸ αὐτὸ 
Ἀρχιμήδους ιζ΄ ϑεώρημα: καὶ ὃ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ 
κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Κ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς DA 
γινομένῃ ἐπιφανείᾳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὃ κύκλος οὗ ἣ ἐκ τοῦ 15 
κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ 4B KA, διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλεν 
τὴν 40 τῇ ΟΕ, ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς 4E γενομένῃ ἐπι- 


ς 


. - ^ e 
qovsiq, xai ἐπὶ τῶν ἑξῆς và αὐτά. καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ 


. KA At in marg. (BS), &' add. Hu. δὴ Bi, sed δὲ restituit B? 

6. τῶν ΖῈ ZH A, distinx. BS 8. τὰς 44K et 9. τῆς PAdK A, 
distinx. BS 9. βΊ Br AB, 8 y S, τῷ δευτέρῳ Ei (conf. adnot. ad 
p. 862, 23) 40. γινομένης AB, corr. S 48. IZ AB cod. Co, 
ἑπτακαιδέχατον S Ei (ex edit. Basil. ἐς΄ voluit Co) 45. ywoufes 
ἐπιφάνεια À, corr. BS 46. διὰ τὸ S, διὰ τοῦ AB 47. τὴν 4» Ο 
τῆς E A, τὴν d ὁ τῆς € BS, corr. Co 47. 48. γινομένη ἐπιφανεία À, 
corr. BS 








LIBER V. ΡΆΟΡΟΒ. 84. 371 


itaque ob triangulorum acf! αϑὴη similitudinem est efl — 3 ϑῃ 
- 2ζη, id est aequalis diametro circuli polygono inscripti !). 

XXIV (5). Rursus semicirculi circumferentia in quot- 
cunque aequales paries dividatur, a quibus tangentes du- 
cantur, ut in figura descriptum est; dico superficiem, quam 
rectae yd δὲ εζ Cn 93 simili conversione efficiunt, aequalem 
esse circulo, cuius radius est af. 

À punctis δ & ζ ἢ perpendiculares ducantur ad diame- 
trum. lam quia est y5 — 50"), et perpendiculares sunt γὰ 
Óx, est igitur ag. ox — (ya -- 0x)yÓ, id quod supra theo- 
remate 2 (propos. 24) demonstravimus. Sed superficies, 
quam γδ efficit, aequalis est circulo, cuius radii quadratum 
aequat rectangulum (ya -- Óx)yÓ propter idem, quod modo 
citlavimus , Archimedis theorema?) decimum septimum; ergo 
etiam circulus, cuius radii quadratum aequat rectangulum 
af.e«x aequalis est superficiei, quam »ó efficit. Similiter 
etiam circulus, cuius radii quadratum aequat rectangulum 
ef -xÀ, quia rursus est do — oe, et perpendiculares sunt dx 
&À, aequalis est superficiei, quam de efficit, et eadem ra- 
tione in reliquis. Nam sí unum latus, velut eC in figura ad- 
scripta, diametro αβ parallelum sit, rursus propter. superius 
theorema 2 est og -Àu — (As -- Cu)eC — 24Àe- eC, et propter 
Archimedis theorema 14 superficies, quam εἶ efficit, aequalis 
est circulo, cutus radii quadratum aequat rectangulum 2 Àe - εζ; 


4) Haec auctore Commandino (cuius vide commentarios ad propos. 
24) addidimus propter eum Pappi locum qui infra cap. 68 legitur, ubi 
verbis διὰ τὸ δ 
codicibus deperdita, citantur. Vel idem etiam ea ratione quam scriptor 
lemmatis XXV breviter attigit (vide ibi adnot. **) demonstreri potest. 


*) Hoc e Graeci scriptoris sententia sic demonstrandum esse vide- 
tur. Sumetur semicirculi centrum zr, et ducantur yz £z ὅπ oz. lam 
primum ex arcuum «£f £o aequalitate efficitur angulos az& ἔπο inter 
Se aequales esse (elem. 3, 27). Tum angulos «zy ἔπγ, itemque 52d 
οπδ aequales esse demonstratur ex elem. 6, 7; est igitur 4 j£ — 
4$Loenztf, οἱ [,. ὅπξ -j L £no, itaque ( yn& — ( ὅπξ. Ergo propter 
elem. 4, 26 est γέ - 9£. . 


4) Θεώρημα scriptor ἀπὸ τοῦ χοινοῦ posuit pro πρότασιν; nam 
inter has 47 Archimedis propositiones sunt problemata 5, theoremata 42. 
Conf. supra p. 80, 7 sqq. 

24* 


Prop. 
24 


ϑεώρημα haec ipsa quae supra restituimus, in nostris Ὁ 


312 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ FE. 


ἡ ἐκ τοῦ χένερου ἐστὶν v) .4B ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ πασῶν 
τῶν Γά 4E EZ ZH HO γινομένῃ ἐπιφανείᾳ. 

x&. Ἢ οὕτως τὸ αὐτό. ἐγγεγράφϑω v0 4U4EZHOB 
πολύγωνον εἰς ἕτερον ἡμικύκλιον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, 





T Y X. à 
καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἣ ΡΣ, καὶ κάϑετοι ὁμοίως ἤχϑω- 5 
cav: γίνεται δὴ διπλῆ ἢ μὲν I4 τῆς IP, ἡ δὲ ΗΘ τῆς 
ΘΣ διὰ τὸ προκείμενον, καὶ διὰ τοῦτο ἡ Df μετὰ τῆς 
ΓΖ4Θ ἴση ἐστὶν τῇ POZ. ὑποτείνει δὲ τὴν ΓΩΘ ἢ ini 
τὰ D Θ ἐπιζευγνυμένη ἴση vij «418 ἔσται δὴ διὰ τὸ y. ϑεώ- 
oyua τὸ ὑπὸ ΘΓ ΑΚ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ B.4K, ἴσον τῷ 10 
ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ͂ AK καὶ τῆς D, καὶ τὸ ὑπὸ 
B.4 ΚΙ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4K ΕΑ καὶ τῆς AE. 
καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν toa - καὶ 
ὃ κύχλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ .18 ἴσος ἐστὶν 
ταῖς ὑπὸ τῶν I4 AE EZ ΖΗ ΗΘ γινομέναις ἐπιφανείαιρ. 15 
47 xg («). Ἡμιχύχλιον οὗ διάμδτρος ἢ «418, καὶ ἤχϑω 


4, Γά AE Co pro ΓΖ 4B γινομένη AB, corr. 8 ἐπεφανεια 


(Sine acc.) A, ἐπιφάνεια B, corr. S 8. KE A! in marg. (BS) 
ἐγγεγράφϑω AB, γεγράφϑω S. Ei τὸ ΑΒΓ 4Ε2Ζ ΗΘΒ AB, τὸ 
αβδεζηϑβ S, corr. Co 4, περὶ τὸ αὐτὸ χέντρον Co, περὶ τὸ αὐτὸ 


κέντρον τὸ 4ΘΒ AB, καὶ ἔστω αὐτοῦ τὸ χέντρον ' τὸ αβ 8 S, om. Ei 

5. διάμετρος αὐτοῦ Ei 6. 7. τῆς LA ἡ δὲ HO τῆς ΘΒ ABS, corr. 
Hu 7. 8. ἡ T4 μετὰ τῆς 40 ABS, ἡ 740 μετὰ τῆς E Ei, corr. 
Hu 8. τῇ ΡΘΣ Ei pro τῆι 46C 7 om. AB Paris. 2368, add. 
S* Fi 9. τὰ ΓΘ A, distinx. BS post τῇ .4B add. τουτέστεν τῆι 
4E NBS, del. Ei  γ' Hu, 4, δ' B, τέταρτον S. Εἰ, πκα' voluit Co 
(qui omnino in corruptissimo hoc theoremate restituendo aliam, nec 
tamen rectam viam ingressus est; circumferentiam enim yd bifariam 
divisit in ξ et rectam $c iunxit, quibus ambagibus abstinuit vetus scrip- 


. LIBER V. PROPOS. 85. 979 


ergo etiam circulus, cutus radii quadratum aequat rectangu- 
lum af - Àu, aequalis est superficiei, quam εξ efficit?). Ergo 
circulus, cuius radii quadratum aequat rectangulum 
eB(ox - xÀ ... - vf), 

id est cuius radius est ipsa of, aequalis est superficiei quam 
cunctae yÀ de eb Cm v9 efficiunt. | 

XXV. Vel idem hoc modo. [Inscribatur idem polygo- 
num αγδεζηϑβ in alterum semicirculum circa idem centrum, 
sitque eius diametrus oo, et perpendiculares similiter du- 
cantur; fit igitur ex eo quod propositum est circumferentia 
yÓ dupla ipsius yg et 79 dupla ipsius Je, ideoque .circum- 
ferentia. γὸ -- yÓ39 aequalis ipsi ρϑσ, id est semicirculo. 
Sed cireumferentiam γδϑ' subtendit recta 53, ipsi of aequa- 
lis; erit igitur propter theorema 3 **) 

y9-aux, id est af - ox z- (ya -- àx)yÓ, et 

ag - xÀ — (0x -- &4)0s, 

ei eadem ratione in reliquis. Ergo etiam summae inter se 
aequales, itaque circulus, cuius radius ef, aequalis est 
summae superficierum quas rectae yó δὲ εζ Cn $9. efficiunt4). 

XXVI (6). Sit semicireulus, cuius diametrus of, et du- Prop. 


8) Interpolator ille qui infra cap. 70 verba μέση ἀνάλογον cet. in- 
culcavit Archimedis propositionem 17, quae est de cono, etiam de cy- 
lindri curva superficie valere voluit, quod, etsi re verum est, tamen 
nisi peculiari lemmate demonstratum enuntiari non debebat. Quare 
Esobis hoc loco non Graecus scriptor aliquid, quod necessarium esset, 
Ancuria omisisse, sed codicum scriptura, sicut fere ubique in bac quinti 
libri parte, gravius corrupta esse videtur, quam nos sic, ut supra per- 
sscriptum est, restituimus. Ac simile quiddam sine dubio- sensit. ille 
«Graecus scriptor, qui sub titulo "H οὕτως τὸ αὐτό lemma XXV, de- 
Amonstratione elegantissima insigne, addidit. 


.**) Ut fere fit, locus olim desperatissimus nunc correctis et litteris 
sgeometricis et theorematis numero mira perspicuitate enitet; nam, ut 
«st in lemmate 8 (propos. 22), ipsa recta 53 circumferentiam uná cum. 
«ircomf. yd (id est γρ - 98) semicirculum efficientem subtendit. 


4) Demonstratio in brevius contracta ex superiore lemmate sup- 
plenda est. 


tor Graecus) — !0. ὑπὸ Or AK] ὑπὸ 4D AK ABS, ὑπὸ ΓΘ ΑΚ Co 
Ei 44, τῆς DlÁAAK AS, distinx. B, corr. Co 13. BAK 4 τῶι et 
τῆς ZKE.41 A, distinx. BS 46. Ks A! in marg. (BS), ς΄ add. Hu 


7 ante διάμετρος add. S Ei 


974 IIAIfIIOY ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ E. 


τυχοῦσα ἡ 44H, xai ἡ 4H περιφέρεια διῃρήσθω sig ἴσας 
ὁποσασοῦν περιφερείας τοῖς IM Ν Ξ σημείοις καὶ ἀπὸ τῶν 
-4 H xai τῶν διαιρέσεων ἐφαπτόμεναι αἱ 4I ΓΖά AE EZ 
ZH, xai τῇ ZH ἴση ἡ HO καϑέτου οὔσης τῆς HP' ὅτι, 
δἰ περὶ ἄξονα τὸν «418 στραφὲν τὸ ἡμικύκλιον ἀποκατασταΐίη, 5 
ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν AT F4 4E EZ ΖΗ ἐπιφάνεια 
τοῦ κύχλου οὗ ἡ ἐκ τοὺ κέντρου ἐστὶν 7) 4H μείζων ἐστὲν κύκλῳ 
οὗ ἢ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ. 
Ἤχϑωσαν κάϑετοι ἀπὸ τοῦ Z, ἐπὶ μὲν τὴν 48 ἧ 
ΖΑ, ἐπὶ δὲ τὴν HP ἢ ΖΚ, τῆς ΖΚ καϑέτου, ὀξείας μὲν 10 
οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, μεταξὺ τώ ΗΘ πιπτούσης, ἀμ- 
βλείας δὲ οὔσης τῆς ὑπὸ ZHO, ἐκτὸς τοῦ H, ὡς ἔχουσιν 
ci καταγραφαί. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ὑπὸ PHO ἢ PHZ ἴσον 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ AP (τοῦτο γὰρ ἐν τῷ α΄ ϑεωρήματε 
δέδεικται), κοινὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ B.f.4 μετὰ τοῦ ὑπὸ 15 
ΗΘΚ' ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ Β.1.4 μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ͂ .4P 
καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ B.4.1 
. μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑ... μετὰ τοῦ ὑπὸ 
B.4 .AP, τουτέστιν τῷ ὑπὸ B.4P, ἴσον ἐστὲν τὸ ἀπὸ τῆς 
ΑΗ ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς AH μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ »0 
τῷ δὶς ὑπὸ PHO μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ καὶ τοῦ ὑπὸ B.4 A. 
ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ PHO xai τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐσεὶν 
τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ 
HO (τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχϑήσεται) καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ 4H 


3. ὁποιασοῦν Εἰ τοῖς MNH εἰ 8. 4Η καὶ A, distinx. BS 
8. al om. S Ei 4. κάϑετος AB, corr. S — 7. χύχλου ἡ ExxévtQov À, 
κύχλου ἡ ix τοῦ κέντρου B, χύκλου ἥ ix κέντρου S, corr. Ei auctore 
Co χύχλῳ Ei auctore Co pro χύχλου 8. ἡ om. A, add. BS 
τὸ ἥμισυ BS, τὸ L' A ἐπὶ τὸ ZO ABS, corr. Co (conf. adnot. ad 
p. 376, 46. 47) 44. τῶν HO A, distinx. BS 48.28, ἦα 
(cum proximis sic confundit B "o ἢ) 4^. ὑπὸ 4B ΑΡ Αἱ, corr. A? 
(BS) α΄ Hu, B A(B), δευτέρῳ S Εἰ, x' voluit Co 44. τῶ dig ὑπὸ 
ῬΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ HGK A? iu marg. (fuerat primum τῶ re, sed re 
deletum), τῷ δὲς etc. BV (nisi quod V habet μετὰ τοῦ ὑπὸ 9zx), om. 
A! Paris. 2868 S, τῷ τε δὲς ὑπὸ PHO χαὶ τῷ ὑπὸ HOK Ei καὶ 
τοῦ ABS, μετὰ τοῦ Ei 32. τῷ (ante ὑπὸ HOK) add. Εἰ 88. τὸ 
ἀπὸ AS, τῷ ἀπὸ B, ὑπὸ corr, Εἰ auctore Co 





LIBER V. PROPOS. 45. 975 


catur. quaelibet αῃ, et circumferentia o5 in quotcunque ae- 
quales partes dividatur, velut in punctis μ᾿ » 5$, et ab α ἢ 
itemque a punctis divisionis ducantur tangentes ay yÓ δὲ sl 
b», et ipsi C» aéqualis ponatur 79, cum 70 sit perpendicu- 
laris ad diametrum; dico, si semicirculus circa axem of 
conversus in priorem locum restituatur, superficiem, quam 
cunctae ay yó δὲ εζ ζη efficiunt, aequalem esse circulo, cu- 
ius radius «y, unà cum circulo, cuius radii quádratum ae- 
quat dimidium 532. 
; Ducantur a 
puncto Z perpen- 
diculares ζλ ad 
diametrum af, et 
Ux ad oy, qua 
in consíructione 
perpendicularis 
Ux, si angulus 
Cn9 acutus sit, 
inter puncta ἡ 3 
cadit, sin vero 
obtusus, extra 
punctum η ἢ, ut 
figurae — osten- 
dunt. lam quia 
propter — theo- 
rema 1 ( propos. 
20) est 
S95. qo zz af Ao, id est (quia Cn — 19) 
20n.5n9 τ of.Ap, commune apponatur fa-oÀ 4- 
n9 9x; ergo 
fa -oÀ -- Ba. Ap -- 99. 9x — 295.59 -- fa-oà 4 
719.-9x. Sed est βα αλ 4- Bao, 
id est 8a. ag — ar? (elem. 6, 8 
coroll. et 47), et 205: n9 -- 59. 9x 
— (no -- ρχ)ὴηϑ -- ηϑ3, id quod 
deinceps (8) demonsirabitur; ergo 


ἢ In tertio casu, nimirum si angulus rectus sit, quid fiat, tam- 
*Squam consenteneum omisit scriptor. | 





, LIBER V. PROPOS. 95. - 941 


a7? τ n9. 9x — fla-aÀ 4- (n0 4- 0x)59 - 521. 

Sed quia circuli inter se sunt ut quadrata ex diametris 
elem. 42, 2), id est ut quadrata ex radiis, et propter ea 
quae proxime (propos. 24) demonstravimus, primum summa 
superficierum conicarum, quas rectae yOÓ δὲ εζ conversione 
circa. axem a[? efficiunt, aequalis est circulo, cuius radii 
quadratum aequat rectangulum βα- αλ., tum superficies co- 
nica, quam recta ζη eádem conversione efficit, aequalis cir- 
culo, cuius radii quadratum aequat rectangulum (CÀ 4- vo) Cy, 
id est, quiu LÀ z xo, et ζη — 99, rectangulum (no -ἐ- ρχ)ηϑ, 
denique figura, quam perpendicularis ay efficit, circulus est, 
cuius radii quadratum aequat 73? (scilicel 99. 2- ζὴ z ay), 
ergo summa trium quos dàcimus circulorum, id est superti- 
cies, quam cuncíae ay yÓ δὲ sb C efficiunt, aequalis est 
circulo, cuius radii quadratum aequat «7?, unà cum circulo, 
cuius radii quadratum aequat rectangulum η9. ὅχ, id est 
dimidium £3?. 


y 


(7). Sed esse n9. 9x — £69? ex his apparet. In prima 

. figurd, ubi acutus est angulus £59, propter elem. 2, 45 est 

69? -- 295. 1x — oy? - 79? ; ergo (quia & — η9) -. 

1059? -- 99. ηκ — 997. Sed est $29? | 

— ϑη κ o5g9.23*; communi igitur 
sublato θη. x restat 





1092? 2 09.3». 
Ei 24. ἡ ζη S, ἡ ΖΑΒ ἔστιν τῶι A(B), corr. S 36. ἥμισυ 
BS, L' A ἐπὶ τὰ EO A, distinx. BS, Z corr. Co 37. τῶι ὑπὸ 
GHK.ABS Εἰ, corr. Co 


378 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ E.. 


ὑπὸ ΖΗΘ, ὡς ἔχει ini τῆς δευτέρας καταγραφῆς, πάλεν 
τὸ ὑπὸ KOH ἴσον γίνεται τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς àni τὰ 
Z Θ οὕτως" ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΘ μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ ZH - 
ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ, καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς 
ἐπὶ τὰ Ζ Θ τοῦ ἀπὸ HO μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ OHK: τὸϑ 
ἄρα ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἡμίσει τοῦ 
ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ ΖΘ. τῷ δὲ ἀπὸ OH μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ 
ἴσον ἐστὲν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ διὰ τὸ γ' τοῦ β΄ στοιχείων" καὶ τὸ 
ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΘΗ. 

᾿ Καὶ ἐπεὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Z € ἔλασσόν 10 
ἐστιν ἀεὶ τοῦ δὶς ἀπὸ Ζ H, δῆλον ὡς ἡ ὑπὸ τῶν “Γ Γἧ 
4E EZ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἣ ἐκ τοῦ 
κέντρου ἐστὶν ἡ ΑῊἩ μετὰ δύο κύκλων, ὧν ἢ ἐκ κέντρου 
ἐστὶν ἡ ΖΗ, ἐλάσσων ἐστίν. 

49 xL (η)]. Ὅει τὸ δὶς ὑπὸ PHO μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ͂ 15 
ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῇς ΗΘ μετὰ 
τοῦ ἀπὸ ΗΘ. 

Κείσϑω τῇ μὲν HP ἴση ἡ PZ, τῇ δὲ OP ἡ P.4: λοιπὴ 
ἄρα 7) Α͂Σ τῇ ΘΗ ἐστὶν ἴση." ἐτεεὶ οὖν τὸ ὑπὸ PHO ἴσον 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, καὶ τὸ δὶς ἄρα 20 
ὑπὸ PHO ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ 
ΗΘ. ἴση δὲ ἢ μὲν HP τῇ ΡΣ, $ δὲ OP τῇ P.4, ἴσον 
ἄρα τὸ ὑπὸ ΣΗ͂Θ τῷ ὑπὸ OH μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. 
κοινὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ KOH: τὸ ἄρα ὑπὸ ZHO 


4. δευτέρας BS, β Α 4, τὸ ὑπὸ KHO AB, corr. Co (τὸ ὑπὸ 
ϑηχ S, quem errorem retinuit Εἰ, sed paulo post vs. 9 recte se- 
cutus est Commandinum) ἡμίσει S, L' AB, item vs. 6 9. 8. ἐπὶ 


τὰ ZO A, distinx BS, item vs. 5. 7. 9. 40 8. οὕτως ἐπὶ τὸ ABS, 
᾿ τὸ γὰρ Ei, corr. Hu 4. ἥμισυϑ8, L' ΑΒ 8. στοιχεέου ABS, 
corr. Hu 9. ἥμισυ S, L' A, S" B τῷ ὑπὸ ΚΘΗ Co pro τῶι 
υπὸ ΚΗΘ 40. ἐπεὶ τὸ ἥμισυ S, ἐπὶ τὸ ι΄ ΑΒ 10. 11. ἐλάσσονα 
ἐστιν Α(Β', corr. S 42. ἡ om. AB, add. S 43. ἡ (ante x) 
om. ABS, add. Ei 45. χξ Αἱ in marg. (BS), 4 add. Hu μετὰ 
τὸ AB, corr. S 20. post ἐστὶν τῷ add. τε ABS, om. Ei, item vs. 34 
31. dig ὑπερ] ΘΗ A(B!), ὑπὸ corr. B?S, ΡΘΗ Co 33. 48, ἴση — 


ἀπὸ H6 om. Ei 44. τὸ ἄρα — p. 880, 7. ὑπὸ ΚΘΗῚ pro his sic 
Scribere ausus est Ei: τὸ dig ἄρα ὑπὸ PHO μετὰ τοῦ ὑπὸ KOH ἴσον 


LIBER V. PROPOS. $5. 3919 


Sed si abgulus £59 obtusus sit, ut est in altera figura, 
rursus fi& 4592? τῷ ηϑ. 9κ hac ratione. Quoniam propter 
elem. 2, 12 est 





: e 

Σ93 - AL 4-99? 4- 299. yx, est igitur 

1092? τε n3? 4- Oy: gx. Sed propter elem. 2, 3 est 
9? τ MUR as n9. J*; ergo 

1059? τε ηϑ. 3x. 


Et quia utique 1 59? minus est quam 267? (nam propter 
elem. 4, 20 est 205 » 59), apparet superficiem, quam rectae 
ay yÓ δὲ eC ζη efficiunt (quae aequalis est circulo, cwius ra- 
dius «5$, uná cum circulo, cuius radi quadratum aequat 
1692), minorem esse circulo, cuius radius ey, unà cum duo- 
bus circulis, quorum radius est £m. 

. XXVII (8). Sequitur. alterum quod supra distulimus : esse 
295.29 4- 19-9x — (ge -- Qx)9 - 797. | 

Ponatur Q6 — 70, et 
a à v $9 ἢ x» Q- 9e; restat igitur 
9j — Àc. lam quia est 

θη. 99 z ρϑ. 99 -- 22?, ergo etiam 

20n.5J9 2 2929.99 -- 259?. Sed est gy — oo, et 

095 τῷ QÀ; ergo 

05.719 τῷ λϑ'ϑὴη -- 259?.. Commune addatur x3. 9»; 

iam quia est 





ἐσεὶ τῷ δὲς ὑπὸ ΡΘΗ ucrd τοῦ δὶς ἀπὸ HO xol τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ" καὶ 
ἔστι τὸ μὲν δὶς ὑπὸ ΡΘΗ͂, ἢ 40H, μετὰ τοῦ ἀπὸ OH ἴσον τῷ ὑπὸ 
30H, τὸ δὲ ὑπὸ ΣΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ KOH ἴσον τῷ ὑπὸ ΣΚ OH: τὸ 
δὲς «ga ὑπὸ ῬΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον ἐστὲ 44. ἄρα ὑπὸ COH 
ABS, corr. Co | 


90 


380 IIAIHIOY XYNATQTHZ E. 


[τουτέστιν τὸ ὑπὸ HZ. μετὰ τοῦ ὑπὸ KOH, τουτέστιν 
τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμ- 
φοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, ἴσον ἐσεὶν 
τῷ ὑπὸ ΑΘΗ͂ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ HO καὶ τοῦ ὑπὸ KOH. 
ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ A4OH μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ A4HO, 5 
τὸ δὲ ἀπὸ HO τῷ ὑπὸ HO AZ: ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ZHO,: 
ὅπερ ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗ͂Θ, μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ τῷ ὑπὸ 
συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ. 

χη (8). Εὐϑεῖα ἡ 4B, καὶ ἐπ᾽ αὐτῆς τυχόντα σημεῖα 
và Γ 4 ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ 412 καὶ τῆς ΓΒ 10 
μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ 4B ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ BI ZA. 

Τῇ 44 ἴση ἡ AE, τῇ δὲ AT ἡ .4Z: λοιπὴ ἄρα ἡ 
I4 τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ABI ἴσον ἐσεὶν 
τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ y ϑεώρημα τοῦ 
fl στοιχείων, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ 15 
ΑΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ. τῷ δὲ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον 
ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΒ (διπλῇ γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ) καὶ 
τὸ ὑπὸ ZIB ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὲς 
ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ, ὅπερ 
ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΓ L4: τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓ ΓΒ μετὰ τοῦ δὲς 20 
ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ BEA. 
ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ 
ὑπὸ ΕΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ (τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ 
ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ EBFI διὰ τὸ αὐτὸ στοιχείων) " 
καὶ τὸ ὑπὸ EBI ἄρα, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου 25 
τῆς B.4 444 καὶ τῆς ΒΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν 
τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ BI [ὥστε τὸ ὑπὸ συν- 
αμφοτέρου τῆς Β44 καὶ τῆς ΓΒ μετὰ tob ἀπὸ ΓΒ ἴσον 
ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ BI. 


4. τουτέστιν τὸ ὑπὸ HZ interpolatori tribuit Hu 4. 2. rovr. 
ἔστιν ἡ ὑπὸ ΚΗΘ A(BV), τουτέστιν τὸ ὑπὸ χηϑ S, corr. Hu auctore 
Co 4. τοῦ ὑπὸ KOH Co pro τοῦ 0n0 ΚΗΘ 686. ὑπὸ HO AE ἴση 
AB!, c super & corr. B?, ὑπὸ 59 49 ἴσον S 7. τοῦ ὑπὸ KOH Co 
pro τοῦ ὑπὸ KH 60H 9. KH A! in marg. (BS), 9' add. H« 
40. τὰ T4 A, distinx. BS 44. δὶς ὑπὸ ABT. Εἰ 44. Κείσθω τῇ 
μὲν .44 ἴση Ei auctore Co 48. οὖν S, εἰ AB 45. στοιχεέων Hw 





LIBER V. PROPOS. 886. 2381 


02:79 -4- x9. 99 z: 09:99: -- x29: 52 -- 22? 
zs (σὴ x99 -- 523 
-— (mo - qxy9 - 53, 
est igitur 
e 4-.0x)79 -- 59? 2: 49: . 9n -- 259? -- x9 - 97. Sed e est 
A2 - 9n -- 49? τῷ àn- 99, et 
59? — n9 -Ào, itaque 
Àn 99 - ηϑ.}λσ — 059-59, id est 
— 20n.7J; ergo 
(ne 4- e»9 τ )5 τε ὅρη: ηϑ - x9. 39"). 
XXVIH (9). Sit recta ag, et in ea quaelibet puncta y Prop. 
à; dico esse (fa -- a0)yB -A- yf"? τῷ Φαβ.βγ -- By-yà**). 16 
ppp L| Ponatur a& - αὖ, 
: φ. " 7 9 β δι αἵτε oy; restat igi- . 
tur e& — γδ. lam quia propter elem. 2, 3 est 
αβ΄. βΚ Ξε ay-yf -- y8?, est igitur 
9og-8y — 3αγ.γβ - 2y8?, id est [quia Cy 2 2a, 
| ideoque 2ay yg — Cy .γβ) 
-— ζὧγ .γβ - 2y8?. Commune: addatur y8- εἶ 
zz y.yÓ; ergo est (quia . 
Cy yB Ae γβ' εξ — ey yf) 
2ao8-8y -- By - yÀ — εγ.γβ -- 2yf?. Sed quia propter 
elem. l. c. est ey-yf 4- yf? τῷ 
εβ. By, id est z (ga -- a0) y, 
est igitur 
2ag.By τὸ By: yÓ — (8a -ε αδὴγβ -- y8?. 
*) Alterum huius theorematis casum, si punctum x inter 3 ἡ ca- 
o À — ^ $ x17 Neque quidquam dir, isi quod. pro 
79. 4- χη 239. ponendum est 05.539 
— x59:172, 80 similiter in proxima  tarenthesi (09 — x); reliqua autem 
conveniunt. 
**) Si eisdem litteris atque in superiore lemmate utamur, haec 
propositio sic sonet: esse (yo -- ox)9x -- 9a? 2 3 ox-:x9 ἢ x9. 1. 


auctore Co pro στοιχεέου, item vs. 2& pro στοιχεῖον ἔστιν τῶν A(B), 
corr. S 47. 48. x«l τὸ S, καὶ τοῦ AB 49. 90. ὃ ἐστὶ S Ei 
30. τὸ ὑπὸ BI4 et τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΒ Ei 46, τῆς B4 Ei 
41. ὥστε --- 49. ὑπὸ BI'4 del. Co 


282 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ E. 


51 κϑ' ()ἡ. Ἔστω τις κύκλου περιφέρεια ἣ ΚΑ͂ΒΓ᾽ καὶ 
εὐθεῖα ἡ 4: ὅτι δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς ἀπολαβεῖν τὴν 
ΚΑῚ περιφέρειαν μέρος οὖσαν τῆς ΚΒΓ, ὅπως, ἐφαπτο- 
μένων ἀχϑεισῶν τῶν KE ΑΕ, ἐλάσσονες ὦσιν αὗται τῆς 4. 

Ἔστω γὰρ ἐφαπτομένη ἣ ΚΗ ὃ 
ἴση τῇ 4, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον 
ἡ HBO. τέμνοντες δὴ τὴν KB 
περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμέ- 
σειαν αὐτῆς δίχα, καὶ τοῦτο ἀεὶ 
ποιοῦντες ἀδέψομέν τινα περι- 10 
φέρειαν ὡς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα 
τῆς ΚΑΒ. καὶ ἤχϑω ἐφαπτο- 
μένη τοῦ τμήματος y ΑἘ' ἴση 

ἄρα ἐστὶν ἣ ΔΕ τῇ KE, καὶ ἔσται γεγονὸδ τὸ ζητούμενον " 

ἡ γὰρ διὰ τῶν O ΑἹ ἐκβάλλεται ἐπὶ τὸ Z, καὶ αἱ ΚΕΑ͂ 15 
τῆς ΚΖ ἐλάσσονές εἰσιν διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΖΕ ἕκα- 
τέρας τῶν 4 ΕΚ, ὀρϑῆς οὔσης τῆς ὑπὸ Ζ4Ε, καὶ πολὺ 
μᾶλλον τῆς 4 ἴσης ὑποχειμέγης τῇ ΚΗ. 

52 À (ww). Παντὸς τμήματος σφαίρας 7) κυρτὴ ἐπιφάνεια 

ἴση ἐστὶν κύκλῳ ov ἡ 30 

, &x τοῦ κέντρου ton ἐστὶν 

τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ 

«τμήματος. 

Ἔστω γὰρ τμῆμα 
σφαίρας, οὗ πόλος μέν 35 
ἔστιν τὸ Καὶ σημεῖον, ἐκ 
πόλου δὲ ἣ ΚΒ, καὶ ὁ 
διὰ τῶν Καὶ Β μέγιστος, 
οὗ διάμετρος 7) KT, ἐφ᾽ 
ἣν κάϑετος ἡ B.4* λέγω 30 








4. ΚΘ A! in marg. (BS), ε΄ add. Hu ἡ 4KBF AB, ἡ ΚΒΓ Co, 
corr. S 5. Ἔστω Co pro ὡς 6. ἴση τῇ idem pro ἐλάσσων τῆς 
.7. ἡ ΘΒΗ͂ ABS, corr. Co 8. ἡμίσειαν S, L' ΑΒ 44. τὴν ΚΑ 
Copro τὴν K4 1ὅ. τῶν ΘΑ͂ A, distinx. B, τῶν 9 € S Εἰ 47. τῆς 
ὑπὸ 6ZA ABS, corr. Co — nzoà«v À? ex πολλὺυ 49. ἃ A! in marg. 
(BS), ««' add. Hu. 26. τὸ KC σημεῖον AB, corr. S 486. 37. &xztolov 


LiBER V. PROPOS. 81. 38. 983 


XXIX (40). Sit qnaedam circuli circumferentia καβγ, et Prop. 
recta ὃ; dico fieri posse, ut infinite abscindatur circeumferen- Ἵ 
Ua κα, quae circumferentiae χαβγ pars ita existat, ut, si 
tangentes x& a& ducantur, hae minores sint quam d. 

Sit enim tangens xz aequalis ipsi δι et ad centrum du- 
catur recia ηβϑ. Bifariam igitur cireumferentiam xf» secan- 
tes, et rursus dimidiam bifariam, et id semper facientes re- 
linquemus aliquam circumferentiam, velut xa, minorem quam 
xaf. Et ducatur ex a tangens a&; ergo est αξ z xe"), et 
factum erit id quod quaerimus; nam recta J« producta ca- 
dit inter puncta x ἢ (sitque sectionis punctum L), et xs -- ea 
minores sunt quam xb, propterea quod ce maior est quam 
&8, quia angulus Gee rectus est, dlaque Le -- δα, id est xL, 
maior quam ζεα, id esi xs -- &x. Ergo xe -t- εὰ multo mi- 
nores sunt quam χη, quae aequalis supposita est ipsi ὃ. 

XXX (14). Omnis segmenti sphaerae curva superficies Prop. 
aequalis est circulo, cuius radius aequalis est rectae quae ex 
polo segmenti ad circumferentiam baseos ducitur !). 

Sit enim sphaerae segmentum, cuius polus est punctum 
x, et ex polo?) ducatur x9, et per punota x βὶ maximus cir- 
culus, cuius diametrus xy, in eamque perpendicularis fa; 


*) Conf. supra p. 374 adnot. *. 


4) Idem Archimedes primum de segmento, quod minus est hemi- 
sphaerio, tum de eo, quod maius est, demonstret de sphaer. et cyl. 
4, 48. 49; de hemispbhaerio autem valere voluit propositionem suam 33, 
quae est de tota sphaera. Sed statim apparet Archimedis enuntiatum, 
ex quo bemisphaerii superficies aequalis est duobus maximis in sphaera 
circulis, congruere cum hac Pappi propositione, quoniam, si punctum 
« sit centrum sphaerae, fit x5? 2 2 «8?. Et conf. hanc propos. extr. 


4) Τὴν ix πόλου Pappus dicit cum Theodosio in sphaeric. 4, 46. 
47 cet.; nam apud eundem 4 def. 5 χύχλου πόλος ἐν σφαίρᾳ ἐστὶ ση- 
μεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἀφ᾽ ov πᾶσαι προσπέπτουσαι 
εὐθεῖαι πρὸς τὴν τοῦ κύχλου περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. — Archi- 
medes autem polum χορυφὴν τοῦ τμήματος, et, quam τὴν ἐκ πόλου 
Theodosius aliique, eam appellat τὴν ἀπὸ τῆς χορυφῆς τοῦ τμήματος 
ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένην τοῦ χύχλου, ὅς ἔστι βασις τοῦ τμήματος 

τῆς σφαέρας. . 


ΑΞ ex ἐχπολο, ix πόλου BS, ἡ ἐκ τοῦ πόλου Ei 48. τῶν KB A, 
distinx. ΒΒ ^ 


984 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


ὅτι σφαιρικὴ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος, οὗ βάσις μέν ἐστιν 
χύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν $j 4B, κορυφὴ δὲ τὸ K 
σημεῖον, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐσεὶν ἡ ΚΒ. 
Ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ἄνισα ταῦτα, καὶ πρότερον 
μείζων ἡ τοῦ τμήματος ἐπιφάνεια, καὶ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν 5 
, , , T ? € t 4 
γοείσϑω ἐλάσσων κύχλος, οὐ διάμετρος ἢ O, ὥστε τὴν 
ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος μείζονα, εἶναι τῶν δύο κύκλων, 
e£ ςε A ς δ T , € * 
οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ KB καὶ ov διάμετρος ἡ O, xci 
διῃρήσϑω ἡ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσας ὁποσασοῦν, xoi 
ἐφαπτόμεναι ἤχϑωσαν, ὡς καταγέγραπται, ὥστε ἑκάστην M 
αὐτῶν ἐλάσσονα εἶναι τῆς δυναμένης τὸ η΄ τοῦ ἀπὸ Θ᾽ 
τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν προγέγραπται. ἐπεὶ οὖν μεῖζόν 
3 N 2 N -Ἀ 2 , 3 * « M , 
ἐστιν τὸ ἀπὸ Θ τοῦ ὁκτάκις ἀπὸ HB, xoi ὃ περὲ διά- 
» 1 f , ' , , [4 
pevgov ἄρα τὴν Θ κύκλος μείζων ἐστὶν δύο κύκλων ὧν 
ἢ ἐκ κέντρου. ἐστὶν ἡ ΗΒ. οὗτοι δὲ οἱ δύο κύκλοι καὶ ὃ 13 
χύχλος οὗ ἣ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ KB, ὡς προδέδεικται τῷ 
ς΄ ϑεωρήματι, μείζονές εἰσιν τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτο- 
μένων ἐπιφανείας, ἥτις περιγέγραπται περὶ τὸ τμῆμα τῆς 
σφαίρας" ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια, καὶ πολὺ μᾶλλον 
ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας, ἐλάσσων κύκλων οὗ τε ἢ ix 0 
χέντρου ἐστὶν ? KB καὶ οὗ διάμετρος ἐστὶν ἣ O. ἀλλὰ 
καὶ μείζων ὑπόκειται, ὅπερ ἄτοπον. 

53 λα’ (B). Ἔστω δὲ μείζων ὃ κύκλος ov ἣ ἐκ κέντρου 
ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος - καὶ 
ó χύχλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ͂ Ὁ 
μείζων ἐστὶν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος. νοείσϑω 
δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἣ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται 
τὸ ὑπὸ ΘΚΑ͂' μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς O* ἔστω τῇ Θ 


4. ἡ ante σφαιρικὴ add, Ei 5. rij ὑπεροχῆι À, τῇ ὑπεροχῇ B, 
corr. S 8. τοῦ ante χένερου add. B Ei 4. τὸ HÀ, τὸ ἡ BS 
45. ἡ ix] 2x ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei, item proximo vs. 47. c' Hu, H Α, 
ἡ B, ὀγδόῳ S Ei (in 25. huius Co) εἶσιν Ei auctore Co pro εἶναε 
47. 48. τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων om. Ei 40. οὔτε ΑΒ, 
corr. Paris. 2368 V (οὗ τὲ S) ἢ (ante ax) add. Hu 20. 91. 2x τοῦ 
κέντρον Ei 93. À« A! in marg. (BS), ιβ΄ add. Hu ἡ ix] ἐκ ABS, 


ἡ ix τοῦ Εἰ 435. τὸ ὑπὸ KIA AB, corr. S 2427. post μεταξὺ repe- 


LIBER V. PROPOS. 38. 385 


dico sphaericam superficiem segmenti, cuius basis est circulus 
radio ag, et vertex x, aequalem esse circulo, cuius radius xf. 

Si enim fieri possit, haec sint inaequalia, ac primum 
maior sit segmenti superficies, et differentià, quae sit inter 
segmenti superficiem et. circulum radio x8, minor fingatur cir- 
culus, cuius diametrus 9, ita ut superficies segmenti maior 
sit cireulo, cuius radius x9, unà cum circulo, cuius diame- 
trus 2; et circeumferentia x6 dividatur in quotcunque aequa- 
les partes, et tangentes, quemadmodum figura ostendit, ita 
ducantur, ut unaquaeque earum, velut yg, minor sit θὰ 
rectà, cuius quadratum aequat 43? (hoc enim fieri posse su- 
periore lemmate demonstratum est). lam quia est 9? 5» 878?, 
id est »» 2 (298)?, ergo etiam circulus, cuius diametrus 29, 
maior est duobus circulis, quorum radius 7g. Sed hi duo 
circuli unà eum cireulo, cuius radius est xf, ut supra theo- 
remate 6 (propos. 25) demonstravimus, maiores sunt super- 
ficie segmento sphaerae circumscriptà, quam tangentes effi- 
ciunt?); haec igitur superficies, et multo magis segmenti 
sphaerae superficies minor erit circulo, cuius radius est xf, 
unà cum circulo, cuius diametrus est 9. At ex hypothesi 
eadem superficies maior est, quod quidem absurdum. 

XXXI (42). Sed maior sit circulus, cuius radius est 
χβ, segmenti sphaericà superficie; ergo circulus, cuius radii 
quadratum aequat rectangulum yx.xa*), maior est curvà 
segmenti superficie. Sed fingatur inter has superficies^) cir- 
culus, cuius radius aequat rectangulum J-xo; ergo est 

3) Ex ipsa propos. 25 superficies, quam tangentes efficiunt, aequa- 
lis est circulo, cuius radius x4, uná cum circulo, cuius radii quadra- 


tum aequat id quod illic est ὁ £3?. Sed cum illic sit 2 $0? » ἡ 097, 
hoc igitur loco efficitur id quod supra perscriptum est. 


ἢ Est enim propter, elem. 6, 8 yx: x8 — x8 : χα, id est xf? — 
yx-x« (Co). 
4) Scilicet inter cireulum, qui superficiei segmenti aequalis est, et 


inter cireulum, cuius radii quadratum aequat rectangulum yx-x«, id 
est, cuius radius est xf. 


tunt δὲ AB$, del. Β΄ 5 ἡ S, om. AB 98. τὸ ὑπὸ Θ KA Ei pro τὸ 
ὑπὸ 4KA ἔσται ABS, corr. Εἰ auctore Co 
Pappus I. - 29 


386 | ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHRZ E. 


ἴση ἡ ΓΟ, καὶ διῃρήσθω ἡ KOB περιφέρεια εἰς περι- 
φερείας ἴσας ὁσασδήποτε, ὧν ἑκάστη ἐλάσσων ἔστω τῆς 
K.40, ὡς ἔστιν πρὸ ἑνός, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΚΑ 2M 
MN NB. ἢ δὴ ὑπὸ τούτων γινομένη ἐπιφάνεια [κατὰ τὴν 
περὶ ἄξονα τὴν ΚΑΊ στροφῆς ἀποκατάστασιν») περιέχεται δ 
ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας [καὶ τὴν αὐτὴν αὐτῷ 
βάσιν ἕξει) καὶ ἔστιν ἴση μὲν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου 
δύναται, ἐπιζευχϑείσης τῆς ΓΑ͂, τὸ ὑπὸ 4“Γ ΚΑ͂ διὰ τὸ 
δ΄ ϑεώρημα, ἐλάσσων δὲ τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἔπε-- 
φανείας" πολλῷ ἄρα ὃ κύκλος οὗ ἣ ἐκ κέντρου δύναται 1( 
τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ K.4 ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαι- 
ρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπό- 
κειται μεταξὺ ὧν τοῦ τμήματος καὶ τοῦ κύκλου οὗ v ἐκ 
χέντρου ἐστὲν ἡ ΚΒ, ὅπερ ἀδύνατον’ ἴσα 
ἄρα ἐστὶν τὰ ζητούμενα. 18 
Καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν τὸ .4 κένερον ἧ, 
γίνεται τὸ τμῆμα ἡμισφαίριον, καὶ ἔσεαε 
/? ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ὅλης ἴση κύκλῳ 
pz οὗ ἡ Ex τοῦ χέντρου ἐσεὶν 5$ ΚΓ, ἢ xai 
y ^ 8i ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων, ὁποῖα ἂν ἢ, 30 
τὸ αὐτὸ συναχϑήσεται. 
54 λβ΄ (x). Ἐὰν ὦσιν y' εὐθεῖαι ὡς αἵ .4 ΒΓ, ὁ κῶνος 


« 


4. ἡ TO Co pro ἡ ΓΘ 4, 8. τῆς K.40 idem pro τῆς K.46 
4. δὴ AB, δὲ S Εἰ 4.5. κατὰ — ἀποχατάστασιν interpolatori tribuit 
Hw — 5. στροφὴν, deleto ἀποχατάστασιν, Εἰ 86. 7. καὶ τὴν — ἔξει 
interpolatori tribuit Hw 6. αὐτῷ om. Co Ei 7. μὲν om. Ei 
8. τὸ ὑπὸ ΜΚ ΚΑ ABS, corr. Co 9. δ' Hu, ἐ ἃ, € B, πέμπτον 8 
Εἰ (ex 38. huius Co) 40. πολλῷ — 42. ἐπιφανείας om. Paris. 9868 
S Ei 40. ἡ x] ἐκ AB!, ἐχ τοῦ B3, ἡ àx vov V 44. 9 V, ἡ AB, 
τουτέστιν voluit Co τὸ ὑπὸ ΘΚΑ͂ ABV, distinx. Co 42. 13. ἐπι- 
φανείας — τμήματος bis scripta in A — 13. ὧν om. S, unde Ei ὑπά- 
χκειται γὰρ μεταξὺ τοῦ cet. ἡ àx] ix ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei 48. ὡς 
ἐὰν Εἰ, ὥσοιν A? ex ὥσων, ut videtur, ὡς οὔ B, ὡς ὄν S, ὡς ἄν Co 
ἢ Co, »^, 3B, ἢ 8 49. ov ἡ ἐκ τοῦ Co, οὔση ἕκτου A, οὔση ἔκ 
τοῦ B cod. Co, οὗ ἴση ἐκ τοῦ S κέντρου add. S Co, om. AB cod. 
Co ἢ om. Ei 29. "m A! in marg. (BS), ιγ΄ add. H« T A, 
τρεῖς BS αἱ ΑΒΓ A, distinx. BS 





LIBER V. PROPOS, 49. 387 


9 « xy. Sit yo — 9, et dividatur circumferentia xof in 
quotcunque aequales partes, quarum unaquaeque minor sit 
quam xào, ut proxime 
(propos. 27) traditum 
est, et iungantur xÀ Àu 
i» v8. Quam igitur hae 
rectae superficiem effi- 
ciunt, ea segmenti su- 
perficie continetur et 
aequalis est circulo, cu- 
ius radii quadratum, 
iunctà γᾶ, aequat rec- 
tangulum Ày-:xa prop- 
ter theorema & (propos. 
25), eademque minor 
est quam sphaerica. segmenti superficies; multo igitur cir- 
culus, cuius radii quadratum aequat rectangulum oy: xe, 
id est 2'- xo, minor est quam sphaerica segmenti superficies. 
.At ex hypothesi idem circulus maior est, quoniam est inter 
segmenti superficiem et circulum, cuius radius x (adnot. 4), 
quod quidem fieri non potest. Ergo hae, de quibus quae- 
ritur, superficies aequales sunt. 

Et apparet primum, si punctum « centrum sphaerae 
sit, segmentum esse hemisphaerium, tum, sí maius semper 
fiat segmentum , tandem rectam xfi congruere cum xy diame- 
tro, itaque teMius sphaerae superficiem aequalem esse circulo, 
cujus radius est xy; vel idem etiam ex summa segmento- 
rum, qualiacunque sunt, concludetur, ^am wtique lotius 
sphaerae superficies aequalis est. circulo, cutus vadii quadra- 
tum aequat «B? -- 8y?, id est cuius radius est xy*". 

XXXII (45). Si sint tres rectae, velut « 8 y», conus basim ProP- 





» 


**) His verbis, quae nos partim e Graecis convertimus partim con- 
iectura supplevimus, Pappus significat theorema suum, ut de quovis 
sphaerse segmento, ita singulariter de hemisphaerio, quin etiam de tota 
sphaera valere, ergo ab ipso in unum comprehensa esse ea quae Ar- 
chimedes (supra adnot. 4) sub tribus theorematis disposuit. 

25" 


388 IIAIHIIOY ZYNATQTHZ E. 


οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἣ ix τοῦ κένερου δύναται 
τὸ ὑπὸ 4 B, ὕψος δὲ ἡ Γ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν 
ἐστιν κύχλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Β Γ, 
ὕψος δὲ 7 4. 
Ἐκκείσϑωσαν yao 5 
E—3À E————À ι------ δύο χύκλοι οἱ E Z, 
(0 4 7 καὶ τοῦ μὲν E v» ἐκ 
μὲν Ε ἡ 
7 τοῦ κέντρου δυνάσϑω 
τὸ ὑπὸ Α Β, τοῦ δὲ Ζ 
7 ἐκ τοῦ χέντρου δυνά- 10 
σϑω τὸ ὑπὸ B I, ὕψος 
δὲ τοῦ μὲν Ε κώνου 
ἔστω τὸ ΕΗ ἴσον τῇ Γ, 
τοῦ δὲ Ζ ὕψος τὸ ΖΘ 
ἴσον ἔστω τῇ 41. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς 5-4 πρὸς Γ ; τουτέστιν 15 
ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν EH, τὸ ὑπὸ 4 B πρὸς τὸ ὑπὸ B T 
[τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ E πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου 
τοῦ Ζ], τουτέστιν ὃ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἴσος ἄρα ὃ κῶνος οὗ 
βάσις μὲν ὁ Ε κύχλος, ὕψος δὲ τὸ ΕΗ͂, τῷ κώνῳ οὗ βάσις 
μὲν ὃ Ζ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΖΘ' ἀντιπεπόνθασιν γὰρ 30 
αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν. 

55 Ày (109. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ μενούσης τῆς ΒΓ 
περιενεχϑὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποχαϑεστάτω᾽ ὅτι τὸ 
γινόμενον ὑπ᾽ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ 1) μὲν βάσις 
ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς 41 ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ 25 
ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἣ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν 4B κάϑετος. 

Ἤχϑωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς 4B ΒΓ κάϑετοι ἀπὸ τῶν .4 Γ 
αἱ ΓΕ Α4. ἐπεὶ ὀρϑή ἐστιν ἡ 4 ὀρϑῇ τῇ E ἴση, κοινὴ 


à. ὑπὸ AB et 8. ὑπὸ ΒΓ A Paris. 2368 S, distinx. ΒΥ 6. οἱ EZ 
A, distinx. BS 9. 40. τὸ ὑπὸ 4 B — δυνάσϑω add. Co 44. ὑπὸ 
ΒΓ AS, distinx. Β 42. χώνου Hu pro xvxlov (proprie dicenda erant 
τοῦ κώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ E κχύχλου) 48. τῇ Γ Ei, τῶι DP ABV, om, 
Paris. 2368 S 45. τῇ .4 Ei pro τῶι A 46. ὑπὸ 48 — ὑπὸ Br 
ABS, distinx. Hu 47. 48. τουτέστιν — τοῦ Z Interpolatori tribuit Hw, 
δυνάμει post E et post Z add. Ei, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς 8x τοῦ xÉvrQev 
ToU E πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐχ ToU χέντρου τοῦ Z coni. Co 48. πρὸς τὴν Ζ 


LIBER V. PROPOS. 80. 389 


habens circulum, cuius radii quadratum aequat rectangulum 
«:B, altitudinem autem y, aequalis est cono basim habenti 
cireulum, cuius radii quadratum aequat rectangulum f y, 
altitudinem autem a. 
 Exponantur enim duo circuli e ζ, et circuli & radii qua- 
dratum aequet rectangulum α- β, circuli autem £7 rectangu- 
lum 8-y, et coni 8 altitudo sit ey — y, altitudo autem coni 
ζ sit 59 — a. Iam quia est ζϑ: eg; — a: y a8: y, 
id est — circ. δ: circ. £, conus igitur, cuius basis est cir- 
culus & et altitudo δῇ, aequalis est cono, cuius basis est 
cireulus 5 et altitudo $9, quoniam bases e contrario altitu- 
dinibus respondent !). 
XXXIII (44). Sit wiangulum oy, et manente rectà 


βγ triangulum convertatur in eundemque locum restituatur ; 


dico id quod ita efficitur solidum aequale esse cono, cuius 

basis. aequalis est conicae superficiei ab af in conversione 

effectae, altitudo autem perpendicularis a y ad of. 

£ ᾿ Ducantur enim 
a punctis « y ad 
By «8 perpeudi- 
culares αὖ ye"). 
Quoniam anguli ὃ 

. €, ut recti, ae- 

nd ' |. ^» f£ 7 ὃ quales sunt et an- 


c 


4) Secundum elem. 6 def. 2 ἀντιπεπονϑότα σχήματά ἐστιν, ὅταν 


Prop. 
30 


ἑκατέρῳ τῶν σχημάτων ἡγούμενοί τε χαὶ ἑπόμενοι λόγων ὅ ὁροι ὦσιν. Ergo. 


quia supra demonstratum est 43: en — circ. €: circ. d, sive €: y — 
«8: B-y, propter elem. 42, 45 coni, de quibus agitur, aequales sunt. 
*) Figurae adscriptae duos theorematis casus exhibent, quibus ac- 
cedunt tertius (secundo e contraria p arte respondens), si angulus aBy 
obtusus sit, quartus, si angulus «y obtusus sit (qui casus in proximo 
lemmate occurrit) , denique tres alii simpliciores, si aut angulus βαγ, 
aul «y8, aut ag» rectus sit. Quos casus et enumerare et figuris illu- 
strare supersedit scriptor, quia nullus peculiarem difficultatem habet. 


ABS, corr. Εἰ auctore Co 32. “Γ A! in marg. (BS), ιδ΄ add. Hu 
35. 26. γενομένη χωνικὴ ἐπεφανεία À, yw. κων. ἐπιφάνεια BS, corr. Ei 
auctore Co — 27. ἀπὸ τῶν AT À, distinx. BV, ἀπὸ τῶν af Paris. 2368 
(distinx. S) 248. ὀρϑὴ τῆι E A, corr. BS 


$6 


390 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTBHS E. 


δὲ ἡ B, ἰσογώνιον γίνεται τὸ 4184 τρίγωνον τῷ BIE τρι- 
γώνῳ" ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΒΑ͂ πρὸς 444, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ. 
ὡς δὲ ἣ B.4 πρὸς 44, τὸ ὑπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ dA: 
ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ὑπὸ B.44 πρὸς τὸ ἀπὸ 4144, οὕτως 
? ΒΓ πρὸς DE: καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ βάσις μέν ἐστιν 
κύκλος οὗ ἣ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Β΄44, ὕψος 
δὲ ἡ ΓΕ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ 
ἐκ τοῦ κένερου ἐστὶν ἡ Α4, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ (διὰ τὸ dvzi- 
πᾶπονϑέναι πάλιν τὰς βάσεις αὐτῶν τοῖς ὕψεσιν). καὶ 
ἔστι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ 10 
στερεὸν ἴσον τῷ κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύχλος οὗ ἡ ἐκ 
τοῦ κέντρου ἣ 44, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ τὸ αὐτὸ ἄρα στερεὸν 
ἴσον ἐστὶν τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἣ ἐκ 
τοῦ κένερου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑ4, ὕψος δὲ τὴν ΓῈ xa- 
ϑετον. ἀλλ᾽ ὁ μὲν κύκλος οὗτος ἴσος -“ἐσεὶν τῇ ὑπὸ τῆς 15 
AB ἐν τῇ σεροφῇ γινομένῃ κωνιχῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ue 
πάλιν Ἀρχιμήδους ϑεώρημα [παντὸς γὰρ κώνου ἰσοσκελοῦς 
? ἐπιφάνεια, χωρὶς τῆς βάσεως, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ 
τοῦ κένερου μέσον ἀνάλογον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου 
καὶ τῆς ἐκ τοῦ κένερου τοῦ χύκλου Og ἐστιν βάσις τοῦ 20 
χώνου]. ἐὰν ἄρα μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχϑὲν τὸ τρί- 
γωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποχατασταϑῇ ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι, 
τὸ γινόμενον ὕπ᾽ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις 
μέν ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς 41 ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνιχῇ 
ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὲ τὴν 4B κάϑετος. 15 
λδ΄ (w^). Ἔστω πάλιν τρίγωνον τὸ 4ΓΖ καὶ τυχοῦσα 
διήχϑω $ ΓΒ, ἧς μενούσης περιενεχϑὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ 


41. 2. BTE τριγώνω A! ex ΒΓΕ τρίγωνον 7. S TE Co pro4 P 


44. ἡ ante βάσις add. ABS, del. Εἰ 48. τῷ ante χώνῳ om. Ei 

μὲν om. S Ei 46. γινομένη κωνιχὴ ezupoyeut.À, γεν. χωνεκὴ ἐπι- 
φάνεια B, corr. S ιε΄ Hu, I4 AB Co, ἑνδέκατον S Ei (ergo hic 
Archimedem evolvere non duxit operae pretium) 41. παντὸς — 
21. χώνου interpolatori tribuit Hu — 19. aut μέσον λόγον ἔχει (sic Ei), 
aut μέση ἀνάλογόν ἐστιν scribere debuit interpolator 31. ἐὰν ἄρα 
85 Co, ἐν αἀρα A, ἕν ἄρα B, [ἐὰν γὰρ Paris. 2368 48. xevov AB, 


corr. S — 24. 25. γενομένη κωνικὴ ἐπιῴανεια À, γινομένη κωνικῇ ἔπι- 


LIBER V. PROPOS. 84. 391 


gulus communis, triangulum igitur «80 triangulo γβὲ simile 
est, itaque 

af : ad — γβ: ye. Sed est af : αὖ — αβ' a : ad?; ergo 

of - αὃ : αδϑ — y : ye; 
ergo propter superius lemma conus basim habens circulum, 
euius radii quadratum aequat rectangulum βα.- αὖ, et altitu- 
dinem ye, aequalis est cono basim habenti circulum, cuius 
radius est αὃ, et altitudinem y (quia rursus bases altitu- 
dinibus e contrario respondent). Et solidum, quod a trian- 
gulo of; in conversione circa axem fy efficitur, aequale est 
cono basim habenti circulum, cuius radius est αδ, et altitu- 
dinem £,**); ergo idem solidum aequale est cono basim 
habenti circulum, cuius radii quadratum aequat rectangulum 
βα- αὖ, et altitudinem ye, id est perpendicularem a y ad 
αῇ. Sed rursus (w supra propos. 25) propter Archimedis 
theorema 15 hic circulus aequalis est conicae superficiei 
quam recta of in conversione circa axem β efficit?). Ergo, 
si manente rectà βγ triangulum αβγ convertatur in eundem- 
que locum, unde moveri coeperit, restituatur, solidum ita 
effectum aequale est cono, cuius basis aequalis est conicae 
superficiei ab aff in conversione effectae, altitudo autem per- 
pendicularis a γ ad af. 

XXXIV (45). Sit rursus triangulum αγζ, et extra trian- Prop. 
gulum ducatur quaelibet recta yf tta, ut productae Ga occur- 
γα), οἱ rectà yf manente triangulum convertatur in eun- 

**^ Hoc, sive angulus Bey acutus, sive rectus, sive obtusus est, 
efficitur ex elem. 42, 44. 


3) Similiter ac supra propos. 33 adnot. * ad Archimedis propos. 47 
demonstravimus, verba Archimedis quae sunt de sphaer. et cyl. I, 45 
sic fere mutare licet: παντὸς κώνου ἰσοσχελοῦς, χωρὶς τῆς βάσεως, ἢ 
ἐπιφάνεια lo» ἐστὶ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ χέντρου Pr ὕναται τὸ ὑπὸ τῆς 
πλευρᾶς τοῦ χώνου καὶ τῆς ἐχ τοῦ χέντρου τοῦ χύχλου ὅς ἔστι βάσις 
τοῦ χώνου. Quo facto, quid Pappus citando hoc theoremate egerit, 
stetim apparet. 


4) Alter casus, si gy ipsi αζ parallela sit, proxima propositione 
additur. 


. φανεία (sic) B, corr. S 36. 414 A! in marg. (BS), «&' add. Hw 
37. $ add. Ei 


992 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


3." 9 e 4 4 € 3 3 “ο“ b 
αὐτὸ ἀποκαϑεστάτω' ὅτι τὸ γινόμενον vr αὐτοῦ στερεὸν 
ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἔστιν κύκλος ἴσος τῇ ὑπὸ 
τῆς 472 γινομένῃ ἐπιφανείᾳ κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ 
) M - ? MM M , 
ἀπὸ τοῦ D ἔπι τὴν 42 καϑετος. 

'ExgsBAgo9o ἡ Z45 
ἐπὶ τὸ B: διὰ τὸ προ- 
δειχϑὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ 

a ΑΒΓ τριγώνου γινόμενον 
A A] 
στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ 
[4 , L| » 
ov βάσις μὲν iom ἐστὶν 10 
τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου 
β Ó / 3 —" € e M 
ἣν ποιεῖ ἢ 4B, ὕψος δὲ 
ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν B4, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΒΖΓ γινόμενον 
ὁμοίως ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὲ τῇ ἐπι- 

d ^ , « "» € et 3 bl 3 , M] 
φανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΒΖ, ὕψος δὲ τὸ αὑτὸ" καὶ 15 
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΓΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὲν 
κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου 
χώνου ἣν ποιεῖ 7, 42, ὕψος δὲ τὸ αὐτό [ἡ ἀπὸ τοῦ I eni 
τὴν AZ). | 

ÀA&' (c). Ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ BI xai κά- 20 
ϑετοι ἤχϑωσαν oí ΖΓ 44’ ὅτι τὸ ὑπὸ τοῦ 41ΒΖ τρι- 
γώνου ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὲν κώνῳ οὗ 
βάσις μέν ἐστιν κύχλος οὐ ἢ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΓΖ, ὕψος 
δὲ ἡ διπλῆ τῆς LZ, τουτέστιν τῆς AT. 

Ἐπεὶ γὰρ ὃ ἀπὸ τοῦ ΑΙ παραλληλογράμμου  yt- 25 
γύμενος κύλινδρος ἴσος ἐστὶν χώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι 
χύχλον οὗ ἢ ἐχ τοῦ χέντρου ἐστὶν 7 44, ὕψος δὲ τὴν 
τριπλασίαν τῆς 4Γ, ὁ δὲ ὑπὸ τοῦ J4B4f τριγώνου γι- 
νόμενος κῶνος βάσιν μὲν ἔχει τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν 
B4, τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ 41ΒἘ4΄ τριγώνου μετὰ τοῦ ὑπὸ 8. 





4. ὅτι om. S Εἰ 3. γινομενὴ ἐπιφανεια À, corr. BS κατὰ 
τὴν στροφὴν γινομένῃ ἐπιφανείᾳ Ei 7. τοῦ om. Ei 12. y» ποιω 
À, corr. BS 48. τοῦ ΒΖΓ Co pro τοῦ .4ZT' 46. τοῦ “ΓΖ idem 
pro τοῦ ΓΖ 11. χολούρου] vide adnot. ad Lat. 18. τὸ αὐτό om. 
Ei, restituit et proxima 7 ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν 4Ζ interpolatori tribuit 
Hu τοῦ D Co pro τοῦ ΓΕ 30. 4c Αἴ in marg. (BS), ἐς΄ add. Hu 





LIBER V. PROPOS. 82. 393 


demque locum restituatur; dico id quod ita efficitur solidum 
aequale esse cono, cuius basis est circulus aequalis conicae 
superficiei ab eC in conversione effectae, altitudo autem per- 
pendicularis a y ad at. | 

Producatur ζὰ ad B, et ducantur perpendiculares γε ad; 
ergo propter superius /emma solidum, quod ab αϑγ triangulo 
efficitur, aequale est cono, cuius basis aequalis est conicae 
superficiei ab ef! effectae, altitudo autem perpendicularis a 
y ad go; similiter solidum, quod a βζγ triangulo efficitur, 
aequale est cono, cuius basis aequalis est conicae superficiei 
a fL effectae, altitudo autem eadem; ergo per subtractio- 
nem?) restat solidum ab αγζ triangulo effectum aequale cono, 
cuius basis aequalis est superficiei conicae?) ab oL effectae, 
altitudo autem eadem. 

XXXV (46). Sed sit 8y ipsi aZ parallela, et ducantur Prop. 
perpendiculares «à C£»; dico solidum, quod ab «6L triangulo 
in conversione circa axem By eíficitur, aequale esse cono, 
cuius basis est circulus radio Ly, altitudo autem dupla oZ, 
id est dupla óy. 

Quoniam enim cylindrus, qui 

c ὁ ab αὖγζ parallelogrammo efficitur, 
aequalis est cono basim habenti 

circulum radio αὖ (sive Dy), alti- 

tudinem autem triplam óy (elem. 

4 y 12, 10. 14), conus autem qui ab 
αβὸ triangulo efficitur, basim ean- 

dem, altitudinem autem βδ habet, solidum igitur, quod et ab 


2) Subtrahi posse alterum conum ab altero sequitur ex Euclid. 
elem. 12, 14 (Archim. de sphaer. et cyl. 4, 47 lemm. 4). 


8) Graecum xoloUQov , id est coni detruncati, omisimus, ne lan- 
guide addi necesse essel "praeter utramque basim". Atque aliis locis 
ipse scriptor hoc epitheto per se consentaneo abstinuit, quod forsitan 
interpolator huc intulerit. 


44, ἴση ἔστιν A, corr. BS κώνωι A? ex χοινῶι 23. ἡ ἐχ Β΄, Ix 
AB?S, ἡ ἐχ τοῦ Εἰ 41. χύχλον — ἡ 414] τὴν 44 ABS, corr. Hu auc- 
tore Co 48. τὸ ante ὑπὸ τοῦ add. ABV!, del. Paris. 4868 SV? 


994 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ F. 


vob J444TZ παραλληλογράμμου γινόμενον στερεὸν ἴσον dosi» 
χώνῳ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως ὕψος ἔχοντι τὴν B4 μετὰ 
τριῶν τῶν 4Γ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὃ ὑπὸ τοῦ BIZ τρι- 
γώνου γινόμενος ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κῶνος, ὕψος ἔχων 
τήν τε B4 καὶ ἅπαξ τὴν 5 Γ΄ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ 48Ζ ὃ 
γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι 
τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν διπλασίαν τῆς AT ἢ τῆς 4Ζ. 

5. Ἔτι δὲ xai τοῦτο φανερὸν ὅτι τῇ ὑπὸ τῆς 4Z γινο- 
μένῃ ἐπιφανείᾳ, κυλινδρικῇ οὔσῃ, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ 
ix τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίν- 10 
ὅρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως (τοῦτο γὰρ Ιρχιμήδης 
ἔδειξεν ιδ' ϑεωρήματι περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου), ὥστε 
ἡ ὑπὸ τῆς AZ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν χύχλῳ οὗ ἣ àx 
τοὺ χέντρου δύναται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ZI. 

59 Ag (4). Ἐὰν μέντοι τὸ B μεταξὺ 7 τῶν 4 D, εὖχε- 15 
ρέστερον δείχνυται. ὁ γὰρ ὑπὸ τοῦ .4445ΓΖ παραλληλο- 
γράμμου γινόμενος κύλινδρος, τοῖς ὑπὸ τῶν ΑΒ4 ΖΒΓ 
τριγώνων γινομένοις κώνοις τὴν αὐτὴν ἔχων [αὐτοῖς] βάσιν 
καὶ ὕψος τὴν ΖΓ, ὑπερέχει αὐτῶν τῷ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βά- 
σεως κώνῳ ὕψος ἔχοντι τὴν διπλασίαν τῆς 4T, ὥστε καὶ 30 
τὸ ὑπὸ τοῦ .18Ζ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν 
τῷ αὐτῷ κώνῳ, ὕπερ: — 

60 AU (wj). Ἔστω τετράπλευρον τὸ 4ΒΓΖά, καὶ ἀπὸ τοῦ 
B ἐπὶ τὰς 414 AT κάϑετοι ἴσαι, καὶ διήχϑω τις ἡ BE, 
xci μενούσης αὐτῆς περιενεχϑὲν τὸ τετράπλευρον εἰς τὸ 3 
αὐτὸ ἀποχαϑεστάτω" ὅτι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ τετρα- 
πλεύρου στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐσεὶν 
ταῖς ὑπὸ τῶν 44 4T ἐν τῇ στροφῇ γινομέναις ἐπεφα- 
νείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ B ἐπὶ μίαν τῶν 444 AT κάϑετος. 


2. τῷ ante ἀπὸ τῆς add. B! 7. αὐτήν Ei, αὐτὴν TZ Α1Β8, αὖ- 
τὴν τῷ Cy Bl, αὐτὴν Cy S, αὐτὴν τὴν ΓΖ voluit Co 8. Ἔστι δὲ Ei 
8. 9. τῆς ὑπὸ τῆς AZ γινομένης ἐπιφανείας κυλινδρικῆς οὔσης ΑΒΒ, 
corr. Εἰ auctore (Ὁ 49. ιδ΄ Hu, IT A, II? B, τρισκαιδεκάτῳ S Ei 
(conf. adnot. 2 ad propos. 24) 43. 44. χύχλῳ — δύναται add. Co 
14. τὸ Co, τῶι ABS (quod quidem ante χύχλῳ reponit Co) — 45. ἃς A! 
in marg. (BS), εζ΄ add. Hu τῶν 4Γ À, distinx. B, τῶν γ ὃ S Ei 


LIBER V. PROPOS. 88. 395 


αὖγξ parallelogrammo et ab αβὸ triangulo efficitur , , aequale 
est cono eandem basim et altitudinem βὸ -- 8 ὃγ haben. 
Communis subtrahetur conus, qui a a fy triangulo efficitur, 
eandem basim et altitudinem 86 -- ὃγ habens; restat igitur 
solidum, quod ab αβζ triangulo efficitur, aequale cono ean- 
dem basim et altitudinem 2ó», sive 23 αζ, habenti. 

Hoc quoque manifestum est, superficiei cylindricae, quae 
ab at efficitur, aequalem esse circulum, cuius radius media 
proportionalis est inter cylindri latus et baseos diametrum 
(hoc enim Archimedes de sphaer. et cyl. 1 propos. 14 de- 
monstravit; ; itaque superficies, quae ab ot efficitur, aequa- 
lis est cireulo, cuius radii quadratum aequat 2 y. γδ. 

XXXVI (47). Sin vero punctum f inter ὃ γ cadat, fa- 
cilius idem demonstratur. Nam cylindrus, qui ab αὖγζ pa- 
p £ rallelogrammo efficitur, quoniam eandem 

basim cum conis, qui ab αβὸ Ly tri- 

angulis efficiuntur, et altitudinem δγ ha- 

bet, hos conos (quorum summa est co- 

nus eiusdem baseos et altitudinis Óy) su- 
j 4 / perat eo cono, qui eandem basim et al- 
titudinem 3 ὃγ habet; itaque solidum, quod ab αβζ tiangulo 
efficitur, eidem cono aequale est, q. e. d. 

XXXVII (18). Sit quadrilaterum «fjyó, et a β ad αὃ Prop. 
óy perpendiculares ínter se aequales, et extra ducatur quae- 
libet recta e, quà manente quadrilaterum convertatur in 
eundemque locum restituatur; dico solidum, quod a quadri- 
latero efficitur, aequale esse cono, cuius basis aequalis est 
summae earum superficierum, quas rectae αὖ Óy in conver- 
sione efficiunt, altitudo autem perpendicularis a f ad αὃ 
vel óy. 


—— — — 


46. 44 rZ À, coniunx. BS, om. Fi 17. ὑπὸ τοῦ AB cod. C6, corr. 
S Co 48. τριγώνοις Ei invitis ABS αὐτοῖς del. Hu 22. ὅπερ 
om. Ei 48. x( (sic) A! in marg., corr. BS, «;' add. Hu τὸ ante 
τετραπλ. add. ABS, del. Ei 35. εἰς ABS, ἐπὶ Ei 39. τῶν 48 
AT ABS, corr. Co 


396 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ FE. 


Ἐπεζεύχϑω ἡ B4: τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου γι- 
νύμενον στερεὸν τὸ ὑπὸ τῶν 44 AT B τριγώνων ἐστὶν γι- 
γόμενον. καὶ δέδεικται πρὸ δυοῖν τὸ μὲν ὑπὸ vob ΑΒ24 
γινόμενον ἴσον χώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὲν τῇ ὑπὸ τῆς 
«(4 γινομένῃ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ B ini μέαν 5 
τῶν 44 AT κάϑετος, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ABI τριγώνου ἔσον 
χώνῳ οὗ 7 μὲν βάσις ἴση ἐσεὶν τῇ ὑπὸ τῆς AT γινομένῃ 
ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό" καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ 
ΑΒΓΔ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν xo vo 
οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν 444 AT γινομέ- 10 
ναις κατὰ τὴν στροφὴν ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ 
B ἐπὶ, μίαν τῶν 244 4T. 

61 Àg (4). Κἂν ἀντὶ τοῦ “τετραπλεύρου δὲ πεντάπλευ- 
ρον ἢ τὸ ΔΑΒΖΓ ἢ καὶ ὁποσασοῦν πλευρὰς ἔχον, ὥστε 
τὰς ἀπὸ τοῦ B ἐφ᾽ ἑχάστην τῶν 444 4Γ ΓΖ καϑέτους 15 
ἴσας εἶναι, δειχϑήσεται ὁμοίως τὸ ὑπὸ τοῦ πολυγώνου γι- 
γόμενον στερεὸν ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς 
ὑπὸ τῶν Α4 AT ΓΖ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ uta 
τῶν εἰρημένων ἴσων καϑέτων. καὶ οὐδὲν διαφέρει, ἂν ἡ 
ἐσχάτη ἐφαρμόζῃ τῇ EB. [ἑξῆς τὸ σχῆμα.] 20 

62 λϑ' (x). Τὸ δ᾽ αὐτό ἐστιν τῷ εἰρημένῳ λέγειν ὅτι, 
ἐὰν περὶ ἡμικύχλιον οὗ κένερον τὸ Σ, γραφῇ τι πολύγω- 
vov ὑποσασοῦν ἔχον πλευράς, ὡς τὸ BEZO 4T, μενούσης 
δὲ τῆς ΒΓ περιενεχϑὲν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκα- 


-.---.-.ὄ. —— — ————— 


2. τρίγωνον ABS, corr. Ei auctore Co 3. πρὸ δυοῖν Hu, πρὸς 
δὲ ABS, proxime Co, πρὸ ἑνὸς Ei 5. γινομένης AB, corr. S ἐπι- 
φάνεια À, corr. BS 6. τοῦ 4BI' Co pro τοῦ ABD τριγώνωε 


AB, corr. S 7. 8. γινομένης ἐπιφανείας AB, corr. S 43. ΧΗ Αἱ 
in marg. (BS), εϑ΄ add. Hu δὲ om. Ei 44. τὸ 448 ΖΓΗ͂ | καὶ 
A, τὸ δαβζγη καὶ BS, corr. Co post ἢ x«i add. ἄλλο τε πολύγωνον 
Εἰ ὁποσαου Al, ὁποσαουν Α3, ὁποσουν B!, corr. Β55 45. χαϑέ- 
τους Ai ex χαϑέτου 19. ἴσων add. A! super vs. 20. τῇ EB Hu 
pro τῆι 418 ἑξης (sine spir. et acc.) A, ἐξ ἧς BS, corr. Hu ἑξῆς 
τὸ σχῆμα del Co Ei 84. .40 A! in marg. (BS), x' add. Hw 
39. τὸ Σ Co pro τὸ E γραφῆτι À (ε in rasura), distinx. BS 
33. τὸ BEZ | 6.4 A, coniunx. BS, Γ add. Co 


LIBER V. PROPOS. 34. 397 


lungatur 8d; ergo solidum, quod a quadrilatero, idem 

est ac quod ab αβὸ fy triangulis efficitur. Et proxime 
ὃ (propos. 54) demonstravimus 

Solidum, quod ab af trian- 
gulo efficitur, aequale esse co- 
no, cuius basis aequalis est 
superficiei ab ad effectae , al- 
titudo autem perpendicularis a 
EN Zu B ad αὃ vel ày, et solidum, 

? 4 quod a fy iangulo, aequale 
cono, cuius basis aequalis est superficiei a Ày effectae, altitudo 
autem eadem; ergo etiam summa eorum solidorum, id est 
solidum, quod ab αβγὸ quadrilatero efficitur, aequale est cono, 
cuius basis aequalis est superficiebus ab αὖ dy in conversione 
effectis, altitudo autem perpendicularis a 8 ad ad vel ày. 

XXXVII (19). Quodsi pro quadrilatero sit. quinquela- Pp. 
terum δαβζγ vel polygonum quotcunque latera ita posita 
habens, ut perpendiculares ad 

δ singula latera ad ὃγ y£ ... 

duciae inter se aequales sint, 

5$ similiter demonstrabitur soli- 

dum, quod a polygono effici- 

iur, aequale esse cono, cuius 

δ y; basis aequalis est superficie 

bus ab αὖ ὃγ γζ. .. effectis, 

altitudo autem una earum quas diximus perpendicularium. Nec 
quidquam differt, si extrema perpendicularis congruat cum eff. 
XXXIX (20). ldem autem est, ac si dicamus, si circa 
semicirculum, cuius 
centrum 'g, polygo- 
num aliquod descri- 
batur — quoteunque 
latera habens, velut 
βεζϑλγ, et manente 


᾿ rectà βγ polygonum 
[i 6 2 7 convertatur in eun- 











398 ΠΑΠΠΟΥ YNATOTHS Ε. 


τασταϑῇ, τὸ γενόμενον ὕπ᾽ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ xai περι- 
γέγραπται περὲ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλεον, ἴσον 
ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνειά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν 
τοῦ πολυγώνου πλευρῶν γινομένη κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος 
ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας" τιᾶσαι γὰρ αἱ ἀπετὰ τοῦ δ 
ἀγόμεναι ἐπὶ τὰς πλευρὰς κάϑετοι, ὡς αἱ ΣΙΗ͂, SK SH 
ΣΑ ΣΖ, ἴσαι εἰσίν. καὶ οὐ διαφέρει, ἐὰν τὸ 4 τῷ Ο, 
ἢ τὸ M τῷ 5 ταὐτὸν ἧ. 
4ῆλον δ᾽ ὅτι, κἂν περὲ τομέα κύκλου, οἷον τὸν ἘΣ, 
ἢ MZ περιγραφῇ τι πολύγωνον, τὰ αὐτὰ δειχϑήσεται. 10 
03 μ' (καΊ. Πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὲν ι-κώνῳ οὗ βάσις 
μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ? ἐχ τοῦ 
κέντρου. 
Ἔστω γὰρ σφαῖρα ἧς διάμεερος 7) 448, κέντρον δὲ τὸ 
Γ, καί, εἰ δυνατόν, πρότερον ἔστω μείζων ὃ κῶνος οὗ βά- 15 
σις μὲν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, τουτέστιν ὃ κύκλος οὗ 
ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ 48, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέν- 
τρου τῆς σφαίρας, καὶ μεταξὺ αὐτῶν, τουτέστιν ἐλάσσων 
μὲν τοῦ κώνου, μείζων δὲ τῆς σφαίρας, νοείσϑω κῶνος 
ἄλλος, ov ἣ μὲν βάσις ἐστὶν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΒΖ, 20 
ἐλάσσων οὖσα τῆς ΓΒ, καὶ ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ 
ἤχϑω ἡ ΑΚ δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ..18Β Γ4ά καὶ λοιπὸν 
ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ .4BA4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς dmi τὰ K 
B. καὶ τὰ ἡμίση" τὸ ὑπὸ .48Β4 ἴσον ἐστὶν ἡμίσει τῷ ἀπὸ 


Q» 


8. βάσις μὲν ἡ Ei auctore Co ^ ἡ piv 9. δ' ὅτε Hu pro 3dq 

τὸν Ε ΣΑ͂ A, coniunx. BS . 4 Αἱ in marg. (B Paris. 9368 V, 
om. S), x«a' add. Hu 7 ante βάσις add. Ei 44. δὲ τὸ BS, ro δὲ 
τὸ À 40 — p. 402, 2] totus hic locus misere turbatus est in co- 
dicibus, quem nos, quantum probabili conieclura assecuti sumus, re- 
stituimus (longe alia ratione Εἰ, de quo vide append.) 40. 44. ἡ BA4E 
ἐλάσσων ABS, corr. Co 34. τῆς ΓΒ Ei pro τῆς ΓΖ toU 1Ε8 
Co pro τοῦ 488 393. ἤχϑω Co, ἐδείχϑη ABS, εἰλήφϑω Εἰ ὑπὸ 
ABI 4 AB, distinx. S 48, 94. ἐπὶ τὰ KB A, distinx. B, ἐπὶ τὰ 8 x 
S 34. xol τὰ ἡμίση — p. 400, 1. τὰ B Καὶ om. S Ei 24. x«l 
AB3, om. B! ἡμίση Co pro ἥμιυ ἡμίσει add. Hu (ἴσον ἐστὶ τῷ 
ὑπὸ τῆς ἐπὶ τὰ B Καὶ xol τῆς ἡμισείας Co) . 


LIBER V. PROPOS. 85. 399 


demque locum restituatur, id quod ita efficitur solidum, quod 
quidem sphaerae a semicirculo effectae cireumscriptum est, 
aequale esse cono, cuius basis circulus est aequalis summae 
superficierum, quas polygoni latera in conversione efficiunt, 
altitudo autem radius sphaerae; nam omnes perpendiculares 
a centro σ᾽ ad latera ductae, velut au ax o» σὰ oÓ, inter se 
aequales sunt. Nec quidquam differt, si punctum ὅδ᾽ cum o, 
vel u eum $ congruat (id est, si ipsa emtrema polygoni 
latera diametro perpendicularia sint). 7 | 

Idem etiam demonstrabitur, si circa sectorem, velut 5o 
vel ucc polygonum quoddam describatur. 

XL (24). Omnis sphaera aequalis est cono, cuius basis Prop. 
est sphaerae superficies, altitudo autem radius. "5 


$ 





€ y Ó , 

Sit enim sphaera, cuius diametrus af ac centrum γ, et, 
si fieri possit, primum ^ac sphaerá maior sit conus, cuius 
basis est sphaerae superficies, id est circulus radio αβ (pro- 
pos. 28 ectr.), altitudo autem γβ radius sphaerae; atque 
inter haec, id est minor eo quem diürimus cono et maior 
sphaeráà, fingatur alius conus, cuius basis sit eadem, altitudo 
autem ó minor quam yf"), et iu semicireulo «e ducatur 
cx ita, ut sit ax? — Δ αβ.γδ; ergo, quoniam. est 

a? — 3 a8 By, si hinc subtrahatur 


*) Hinc in Graecis incipit gravissima scripturae traditae corruptela, 
quam sanari posse adeo desperavit Eisenmannus, ut suo arbitrio no- 
vam demonstrendi rationem concinnaret, de qua vide appeud. 


400 ΠΑΗΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


τῆς ἐπὶ τὰ B Καὶ [τὸ γὰρ δὶς ὑπὸ .48Β4 μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ 
AB r4, τουτέστιν τὸ δὶς ὑπὸ “ΒΓ, τὸ ἀπὸ 4B ἐστὶν 
ἴσον ὃν τοῖς ἀπὸ .4KB, ὀρϑῆς οὔσης τῆς πρὸς τῷ K ἐν 
64 ἡμικυκλίῳ]. ἐγγεγράφϑω δὴ εἰς τὸ ἡμικύκλιον ττολύγωνον 
ἰσόπλευρον [ἀρτιόπλευρον] τὸ -4EZHO AB, ὥστε ἐλάσσονα 5 
εἶναι τὴν B.4 περιφέρειαν τῆς Β.ῚΚ (δυνατὸν δὲ τοῦτο᾽ 


$ 





e 0 y uu δ d 


τέμνοντες γὰρ τὸ ἡμιχύχλιον δίχα xai τὴν ἡμίσειαν περι- 
φέρειαν δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περι- 
65 φέρειαν ἐλάσσονα τῆς B.1K, ὡς τὴν Β.1). καὶ ἐπεζεύχϑω 
ἡ 4111, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἡ DO. ἐπεὶ οὖν ἰσογώνεόν 10 
ἔστιν τὸ AB. τρίγωνον τῷ ΓΟΒ τριγώνῳ καὶ διπλῇ ἔστιν 
ἡ μὲν 24.4 τῆς ΓΟ, ἡ δὲ 4B τῆς BO, καὶ ἐλάσσων ἐστὶν 
ἡ .18Β τῆς 44.4, τὸ ἄρα ὑπὸ Α͂, ΓΟ μεῖζόν ἐστιν ἡμί- 
σους τοῦ ἀπὸ τῆς .1Β. διὰ ταὐτὰ δὴ κἂν μὲν τὴν KB 
ἐπιζεύξωμεν, παράλληλον δὲ διὰ τοῦ D μέχρε τῆς KB, τῇ 15 
-4K ἀγάγωμεν, τὸ ὑπὸ τῆς ἀγομένης τταραλλήλου καὶ τῆς 
ΑΚ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ dz τῆς ΚΒ εὐϑείας“ καὶ 
4. ἐπὶ τὰ BK A, distinx. B τὸ γὰρ δὲς — 4. ἡμιχυχλίῳ inlter- 
polatori tribuit Hu (om. Ei) ὑπὸ 4B4 Co pro ὑπὸ ΑΙ 14.9. τοῦ 








di; ὑπὸ ABI'4 A, distinx. BS 2. ἀπὸ add. Co ἐστὶν om. S 
ἡ, γεγράφϑω 8 Ei 5. ἀρτιόπλευρον interpolatori tribuit Hu τὸ 
AEZ HG.AB Α, coniunx. BS 6. δυνατὸν — 9. τὴν B.4 forsitan 


interpolalori tribuenda sint, quoniam eadem iam supra cap. 54 scriptor 
exposuit 7. τὸ om. AS, add. B Ei ἡμίσειαν S, L'AB. 48. ὑπὸ 
A4TO ^, distinx. BS, item p. 402, 4. 3sq. 7 48. 14. ἡμέσους 





LIBER V. PROPOS, 388. 401 


ox? τῷ 9 afl 70, restat 
x]? — ?of-.90, itemque dimidia 


1x? — a. 0. 
lam semicirculo polygonum aequilaterum oe27948 **) ita in- 
scribatur, ut circumferentia 84 minor sit quam BÀx (quod potest 
fieri, quoniam semicireulum, μέ supra propos. 27 exposui- 
mus, bifariam secantes, et rursus dimidiam circumferentiam 
bifariam, et id semper facientes relinquemus aliquam cir- 
cumferentiam, velut BÀ, minorem quam fx). Et iungatur 
aÀ, eique parallela ducatur 7o. lam quia est Δ a48 — A yof, 
ideoque αλ x 9? yo, et Af zz 908, et aÀ *» AB"***), est igitur 
cÀ- yo » AB - of, id est 
» 448?. Eadem ratione, si rectam x8 iunxe- 
rimus!), et per y ipsi ox parallelam 
duxerimus usque ad xf, scilicet γξ͵ est 
ax.75 5» lx8?. Sed est aÀ *»» ax; ergo eo magis 


**) Quemadmodum haec litterarum series ac multitudo indicat, figura 
dimidii dodecagoni (vide append.) in codicibus exstat. Sed quoniam scrip- 
tor bifariam semper circumferentiam secari iubet, nos semicirculum in 
octo partes divisimus et, uL nostra figura ostendit, litteras geometricas 
satis probabiliter disposuisse videmur. 


***) Ut in re manifesta scriptor exponere omisit, quibus terminis 
81 αλ AB, et ax Ὁ xB. Scilicet oportet esse circumferentiam 2f « 
ap « 1 cireumf. circuli. Sed quoniam polygonum ex scriptoris prae- 
cepío (si circulum complelum fingimus) minime est 8 laterum, . vel 
etiam 8-2, vel 8.2.2 etc., et silentio cireumferenlia x8 minor suppo- 
nitur quam 9x, consentanenm est ipsam xf utique minorem esse qua- 
drante circumferentiae circuli. 


4) Haec verba supervacanea videantur, quoniam de recta xB iam 
supra dictum est. Sed illic in Graecis est ἡ ἐπὶ τὰ K B, quo dicendi 
genere non id diserte praecipitur, ut reotn χβ ducalur. 
τοῦ ἀπὸ τῆς .1}} τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς .1Β ABS, τοῦ ὑπὸ τῆς 18 
χοὼ τῆς ἡμισείας τῆς «18 Co, corr. Hu ᾿ 44. ταὐτὰ Hu, ταῦτα AB, 
g& αὐτὰ S. τὴν KB Hu, ZY AB, ὧν S 45. 46. τῆς KB τῇ AK 
Hu, τῆς ΓΒ ἐπ᾿ εὐθείας ABS, ipsi «Αἰ parallelam duxerimus usque ad 
KH Co 47. ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς KB| τοῦ «nà τῆς ἡμισείας τῆι 
KB AB, τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς χβ 8, τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΒ καὶ τῆς ἡμι- 
σεέὰς τῆς KB Co, corr. Hu 

Pappus I. 26 


402 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


πολλῷ τὸ ὑπὸ 41,1 ΓΟ ἡμίσους τοῦ ἀπ᾽ αὐτῆς, τουτ- 
ἔστιν τοῦ ὑπὸ .4B4. καὶ ὃ κῶνος ἄρα, οὗ βάσις μέν 
ἐστιν κύχλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ 4.4 
ΓΟ, ὕψος δὲ ἡ AB, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἢ μὲν 
βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ. ἡ ἐκ τοῦ κένερου δύναται τὸ ὑπὸ δ 
“484, ὕψος δὲ ἡ 4B. ἀλλ᾽ ὃ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν 
κύχλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρον δύναται τὸ ὑπὸ 4.4 ΓΟ, ὕψος 
δὲ ἡ 418, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος 
οὗ 1 ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Α΄ MB, ὕψος δὲ 
ἡ DO: καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗτος, τουτέστιν οὗ ἡ μὲν βάσις 10 
ἐστὶν κύκλος οὗ 1) ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ «1448, 





ὥ | y d 
ὕψος δὲ ἡ ΓΟ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου, οὗ ἡ μὲν βάσις 
ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ “4182, 
ὕψος δὲ 1j 4B, τουτέστιν τοῦ ἴσου κώνου οὗ 1) μὲν βάσις 
ἐστὶν κύχλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν $) 4, ὕψος δὲ ἡ 15 
B4 [ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ .4 πρὸς τὸ ὑπὸ .4BA, οὕτως ἡ 48 

θθ πρὸς Β4). καὶ δέδεικται τῷ δ΄ ϑεωρήματι ἡ γινομέγη 
ὑπὸ πασῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν 
ὁμοίαν στροφὴν ἴση κύχλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κένερου δύναται 
τὸ ὑπὸ 44.4B: καὶ ὃ κῶνος ἄρα οὗ ἡ βάσις μέν ἔστιν κύ-- 20 
xÀog οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ A44 B, ὕψος" δὲ 


4. ἡμίσους τοῦ ἀπ᾿ αὐτῆς) τοῦ ἀπ᾿ αὐτῆς ABS, eo quod iisdem 
continetur Co, corr. Hu 39. τοῦ ὑπὸ 484 Co pro τὸ ὑπὸ .44B 
4. μεῖζον AB Paris. 2368 S, corr. V 7. τοῦ om. A, add. BS 


LIBER V. PROPOS. 55. 403 


aÀ.yo » |«8?1), id est, ut supra demonstravimus 
» αβ' βὸ. 
Ergo etiam conus basim habens circulum, cuius radii qua- 
dratum aequat rectangulum «À-yo, altitudinem autem af, 
maior est cono basim habente circulum, cuius radii quadra- 
tum aequat rectangulum off. βδ, altitudinem autem eandem. 
Sed conus basim habens circulum, cuius radii quadratum 
aequat rectangulum «À-yo, altitudinem autem e, aequalis 
est cono basim habenti circulum, cuius radii quadratum ae- 
quat rectangulum c4- af, altitudinem autem yo (propos. 29) ; 
ergo etiam conus basim habens circulum, cuius radii qua- 
dratum aequat rectangulum «à. eg, altitudinem autem »o, 
maior est cono basim habente circulum, cuius radii quadra- 
tum aequat rectangulum ag- 680, alitudinem autem ef, id 
est major aequali cono basim habente circulum radio ae, 
altitudinem autem 8ó t1). Ac theoremate 4 (propos. 25 p. 569) 
demonstravimus superficiem, quam omnia polygoni latera si- 
mili conversione efficiunt, aequalem esse circulo, cuius radii 
quadratum aequat rectangulum aà-of; ergo etiam conus 
basim habens circulum, cuius radii quadratum aequat rectan- 


j1) Apparet eam demonstrationem non satis elegantem ac concinnom 
esse; nam, omissa comparatione cum 1 12, satis erat ostendere ex - y£ 
x, et αλ ex. Sed eae quae supra leguntur ambages inde or- 
tae sunt, quod ipse scriptor notatione γξ (quam nos intulimus) absti- 
nuit; itaque esse «x-y£ ^ χβ' ἕξ β commode demonstrare non potuit ; 
ergo primum id quod simile est ostendit in rectis «A A8 yo, ac posteb 
eandem rationem esse rectarum «x x8 et eius quae ipsi ex parallela 
est, omissa appellatione y£, significat. | ) 


TL) Hoc rursus ex propos. 29 sequitur, dummodo pro "circulum 
radio a8" substituamus "circulum, cuius radii quadratum aequat rec- 
tangulum af.«f", quod, ut manifestum, non adnotavissemus, nisi in 
Graecis et hoc loco et paulo post p. 404, 48 sq. 406, 7 —18 aliena 
interpretamenta occurrerent. 


40. 44. τουτέστιν — χύχλος om. Ei 42. ov om. A, add. BS 45. τοῦ 
om. Α, add. BS 18. 16, ἡ 4B ὕψος δὲ ἡ 4 ABS, corr. Co 46. 41. ὡς 
γὰρ — πρὸς BA interpolatori tribuit Hu — 41. 4 AB, τετάρτῳ S Ei, 
98. hwius Co 418. πλευρὰ AB, corr. 8 

26 * 


404 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ FE. 


ἡ ΓΟ, ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ εἰς τὴν σφαῖραν 
στερεῷ σχήματι, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ 
κέντρου τῆς βασεώς ἐστιν ἡ 4B, ὕψος δὲ ἡ BA, ὥστε 
καὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα μεῖζόν ἔστιν τοῦ κώνου οὗ 
7? μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ 4B, ὕψος δὲ 
ἡ B4. ὑπόκειται δὲ καὶ ὃ κῶνος οὗτος μείζων τῆς σφαί- 
ρας᾽ πολλῷ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τῆς σφαίρας τὸ στερεὸν 
σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς αὐτήν, ὅπερ ἀδύνατόν ἐστιν. 

67 μα’ (x8). Ἔστω δὲ ἐλάσσων τῆς σφαίρας ὁ εἰρημένος 
κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστι κύκλος οὗ ἡ 2x τοῦ κέντρου ἐστὲν 10 





ἡ 44B, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ, τουτέστιν οὗ βάσις μέν ἐστιν κύ- 
χλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΓ , ὕψος δὲ 
ἢ «48 [ὡς γὰρ ἡ 4B πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 4B πρὸς 
τὸ ὑπὸ .4BTI], καὶ μεταξὺ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ χώνου 
γοείσϑω κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ Καὶ 16 
μείζων τῆς 418, xai περιγεγράφϑω περὲ τὸ ἡμικύκλιον 
πολύγωνον ἰσόπλευρον, ὥστε μίαν αὐτοῦ πλευρὰν τὴν 4Ὲ ᾿ 
τῆς ὑπεροχῆς τῶν Καὶ 418 ἐλάσσονα εἶναι. καὶ ἔστιν μεί- 
ζων U AE τῶν 4.4 BM, ἐπεὶ καὶ ἡ ΝΖ τῆς 44: καὶ ἡ 
.68.4M ἄρα τῆς K ἐλάσσων ἐστίν. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ γινομένη 20 
ὑπὸ τοῦ πολυγώνου ἐπιφάνεια κατὰ τὴν περὲ ἄξονα τὴν 


3. ὥστε Co pro ὡς δὲ 7. μεέζων AB, corr. S στερεὸν AB, 
εἰρημένον S Εἰ 8. ἀδύνατόν ΑἹ ex δυνατόν 9. μα À! in merg. 
(BS), x8 add. Hu 18. 44. ὡς — A4BT' interpolatori tribuit Hu 48. τὸ 
S, ó AB . 15.46. δὲ ἡ μείζων A(BS), K add. Co 48. τῶν ΚΑΒ ABS, 


LIBER V. PROPOS. $5. | 405 


gulum «à. af, altitudinem autem yo, qui conus aequalis est 
solidae figurae in sphaeram inscriptae?), maior est cono ba- 
sim "habente circulum radio ag, altitudinem autem f; ita- 
que etiam ea quam diximus solida figura maior est cono 
basim habente circulum radio of, altitudinem autem f0. 
Atqui ex hypothesi hic conus maior est sphaerá; multo igitur 
solida figura sphaerae inscripta maior est sphaerá, quod 
quidem fieri non potest?3). Ergo non maior est sphaerá conus, 
cutus basis est sphaerae superficies, altitudo autem radius. 
XLI (22). Sed minor sit sphaerà ille conus, cuius ba- 
sis est circulus radio ag, altitudo autem yf, id est conus 
basim babens circulum, cuius radii quadratum aequat rectan- 
gulum αβ. βγ, altitudinem autem αβ (propos. 29); atque 
inter sphaeram et eum conum fingatur conus, cuius basis 
sit eadem, altitudo autem x maior quam of, id est conus 
basim habens circulum, cutus radii quadratum aequat. rectan- 
gulum x- ag, altitudinem autem γβ, et semicirculo cireum- 
scribatur polygonum aequilaterum ita, ut unum eius latus, 
velut δε, minus sit differentià rectarum x af, τὰ est, ut sit 


x * δὲ -- ag. Et est δὲ » δὰ -- fu (quoniam 1 δὲ — 
ὃν Ὁ» δα); ergo etiam 
δὲ 4- aff » δα -- ag -- fu, id est 
* Óu, itaque eo magis 
x * Ók. 
Sed quoniam superficies, quam polygonum conversione circa 


3) Hoc sequitur ex lemmate 20 (p. 897); nam yo est radius semi- 
circuli, cui polygonum αεζηϑλθ' circumscriptum est, et circulus, cuius 
radii quadretum aequat rectangulum αλ' αβ, aequalis est superficiei, 
quam polygoni latera efficiunt. 


8) Est enim minor, id quod ex Archim. de sphaer. et cyl. 4, 26. 
47. 35. 86 sequitur. Ceterum quod Commandinus vereri se dicit, ne 
baec Pappi demonstratio non omnino satisfacere videatur (quare aliam 
sua coniectura addit), equidem existimo, si ex nostratium usu numero 
π᾿ adhibito breviores formulae ponantur, Graeci scriptoris viam ac ra- 
tonem facile perspici. 


distinx. Ei 149. τῶν 44 ΒΖ ABS, corr. Co ἡ ΝΖ Co, ἡ M4 ABS, 
ἡ ἡμέσεια τῆς 4E Εἰ 19. 30. ἡ 4M Co pro; dZ — 34 — p. 406, 4. 
κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν 4.4 στροφὴν ABS Ei, ex simili conversione 
eirca axóm 4M Co 


406 ΠΑΠΠΟΥ XrNATOTHS E. 


4M στροφὴν διὰ τὸ δ’ ϑεώρημα ἴση ἐστὶ κύχλῳ οὗ ἡ ἐχ 
τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ AM “4381, δῆλον ὡς 
καὶ τὸ γινόμενον ὑπ᾽ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ περιγέγραπεαι 
περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὲν 
χώνῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ xévrgov τῆς βάσεώς ἔστιν ἡ δυναμένη 5 
τὸ ὑπὸ ΔΜ 4B, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαί- 
ρας διὰ τὸ χ’ ϑεώρημα, [τῷ δὲ κώνῳ ov ἡ ἐκ τοῦ κέν- 
τρου. τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ 4B, ὕψος δὲ ἡ BI, τουτέστι τῷ 
χώνῳ, οὗ 7 μὲν βάσις ἐστὶν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ix τοῦ κένερου 
δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἣ 448, ἴσος ἐστὶν κῶνος, οὗ 10 
ἣ μὲν βάσις ἐστὶν χύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ 
ὑπὸ 4M 448, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, διὰ τὸ εἶναι πάλιν ὡς τὸ 
ὑπὸ 4M 4B πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς 
τὴν ΒΓ, καὶ ἀντιπεπονϑέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν" καὶ 
τὸ γινόμενον ἄρα ὑπὸ τοῦ πολυγώνου στερεὸν κατὰ τὴν 15 
περὶ ἄξονα τὴν 4M στροφὴν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ βάσις 
μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ χέντρου δύναται τὸ ὑπὸ 4M 
“418, ὕψος δὲ ἡ BI]. καὶ ἔστιν μείζων ἡ K τῆς 4M, ὁ 
δὲ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κένερου 
δύναται τὸ ὑπὸ K 48, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, ἐλάσσων ἐστὲν τῆς 20 
σφαίρας" πολλῷ ἄρα [μᾶλλον] τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν 
ἐλασσόν ἔστιν τῆς σφαίρας, ὅπερ ἀδύνατον. ἴσος ἄρα ὁ 
κῶνος τῇ σφαίρᾳ. 

69 μβ' (x). Σφαΐίρας δοθείσης καὶ λόγου, τεμεῖν τὴν 
ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινί, ὥστε τὰς ἐπιφα- 35 
νείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν 
τῷ δοϑέντι. 

Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ 448Ε, καὶ 
διάμετρος ἡ ΑΒ, ὃ δὲ δοϑεὶς λόγος ὃ τῆς Ζ πρὸς H, καὶ 


4. διὰ τὸ € ϑεώρημα ΑΒ, διὰ τὸ πέμπτον ϑεώρημα S Εἰ, om. Co, 
corr. Hu 4. δυναμένη τὸ ὑπὸ 4M add. Hu auctore Co, item vs. ὅ 84. 
(ϑύναται τὸ ὑπὸ 4B 4M Ei) 6. 7. ἐχ toU χέντρου — τὸ x' ϑεώ- 
ρημα om. Ei 171. x A(B), εἰκοστὸν S, 35. huius Co τῷ δὲ χώνφῳ — 
48. ἡ ΒΓ del. Εἰ 59. ἴση add. Hu. 10. x&vw ABS, corr. Co 484. ὑπὸ 

4M AB Co pro ὑπὸ A4ZAB (distinx. BS), item vs. 43 et 47sq. pro ὑπὸ 
4Z AB 45. 46. χατὰ — στροφὴν om. Co 46. τὴν 4M Hu pro 





LIBER V, PROPOS. 86. 407 


axem óL. efficit, propter theorema & (propos. 25 ear.) ae- 
qualis est circulo, cuius radii quadratum aequat rectangulum 
ὃμ' oa, apparet solidum a polygono effectum, quod quidem 
spbaerae quam semicirculus efficit circumscriptum est, ae- 
quale esse cono: basim habenti circulum, cuius radii qua- 
dratum aequat rectangulum óL:o, altitudinem autem f, 
propter theorema 20 (p. 397). Ac demonstravimus x *» óu, 
et ex hypothesi conus basim habens circulum, cuius radii 
quadratum aequat rectangulum x. of), altitudinem autem yf, - 
minor est sphaerá, multo igitur solidum sphaerae circum- 
scriptum minus est sphaerà, quod quidem fieri non potest ἢ). 
Ergo non minor est sphaerá conus, cutus basis esi sphaerae 
superficies, altitudo autem radius. Αἱ idem, ut modo demon- 
siravimus, ne mator quidem est; ergo is quem diximus conus 
sphaerae aequalis est. 

. XLII (238). Sphaerà datà et proportione, superficies Prop. 
sphaerae plano ita secetur, ut segmentorum curvae superfi- 
cies inter se proportionem eandem habeant ac datam. 


Sit enim sphaera, cuius maximus circulus αὖβε et dia- 
metrus af, data autem proportio ζ : η, et diametrus aff in 


4) Est enim maius, id quod ex Archim. de sphaer. et cyl. 4, 84. 
82. 35. 86 sequitur. 





"Á»4Z 47. χύχλος BS, χύχλου AB! 48. τῆς 4M Co pro τῆς 
4Z 30. τὸ ὑπὸ ΚΑΒ AB, distinx. Ei 34. μᾶλλον del. Hu 
94. uf Αἱ in marg. (BS), xy' add. Hu — 38. ὁ 44 BE A, coniunx. 


Β, ὁ αβδε S Εἰ 


408 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


τεεμήσϑω ἡ 418 κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶται ὡς τὴν ΑΓ πρὸς 
ΓΒ, οὕτως τὴν Ζ πρὸς H, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τεεριή- 
σϑω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρϑὰς τῇ J4B εὐϑείᾳ, xai ἔστω κοινὴ 
τομὴ ἡ JE, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 414 AB, καὶ ἐκκείσϑω- 
σαν δύο κύκλοι οἱ O K, ὃ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ ὃ 
κέντρου τῇ “444, ὁ δὲ K τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ 
4B: ἔσται ἄρα ὃ μὲν Θ᾽ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ 
4.41 τμήματος, ó δὲ K τοῦ 438Ε τμήματος" τοῦτο γὰρ 
᾿ προδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ 4B xol κά- 
ϑετος ἡ 4T, ἔστιν ὡς ἣ JI πρὸς ΓΒ, τουτέστιν ἡ ΖΊ0 
πρὸς H, τὸ ἀπὸ 444 πρὸς τὸ ἀπὸ 4B, τουτέστιν τὸ πὸ 
τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ €) κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ 
κένερου τοῦ K κύκλου, τουτέστιν ὃ Θ κύκλος πρὸς τὸν K 
κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ..1..4.1 τμήματος πρὸς 
τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ABE τμήματος τῆς σφαίρας. t5 
70 μγ΄. Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι xoi πάσης δφαί- 
ρας ὃ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ 
τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαί- 
ρας, αὐτός τε ἡμιόλεός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἣ ἐπιφά- 
VELO αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. 20 
Ἡμικυκλίου γὰρ ὄντος τοῦ ΔΈΓ, οὗ διάμετρος ἡ 
ΑΓ, διχοτομία δὲ τὸ E, καὶ κέντρον τὸ Ζ, ὁπόταν τρεῖς 
ἀχϑῶσιν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν 4 E TI, ὡς αἱ AB BA 
AT, μενούσης δὲ τῆς 4T περιενεχϑὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς 
τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποχατασταϑῇ ὅϑεν ἤρξατο φέρεσϑαι, ὃ 35 
γινόμενος ὑπὸ τοῦ 48ΒΖΓ παραλληλογράμμου ὀρϑογωνίου 
κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν τὴν ὑπὸ τοῦ ἡμικυκλίου γινο- 
μένην ἡμιόλιον λόγον ἕξει ὅνπερ καὶ ἣ ἐπιφάνδια αὐτοῦ 
πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῆς 
B4 γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἴση ἐστὲν κύχλῳ οὗ 30 
ἡ ἐκ τοῦ κέντρου [μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῆς ΒΔ καὶ ov»- 
ἀαμφοτέρου τῆς 4B L4, τουτέστιν τῷ κύκλῳ οὐ ἡ ἐκ τοῦ 


8. τῆ * ΑΒ εὐθεῖα À, corr. BS 5. οἱ OK A, distinx. BS ὧν ante 
ὁ μὲν δὰ. S Εἰ 140. ἡ ante 4T add. Hu. 19. K alterum add. Co 
46. ΜΓ A! in marg. (BS) 32. 23. τρισαχϑωσιν (sine acc.) A, προσαχ- 


LIBER V. PROPOS. 387. 409 


puncto y ita secetur, ut sit oy : yf τὸ ζ: ἢ, et per y sphaera 
secetur plano ad rectam αβ perpendiculari, et communis 
sectio eius plani ac ctrculi maximi αὖβε sit recta ὄγε, et 
iungantur αὖ δβ, et exponantur due circuli 9 x, quorum 
prior radium aequalem ipsi αὖ, alter ipsi ὃβ habeat; erit 
igitur circulus 9. aequalis curvae superficiei segmenti doe, et 
circulus x segmenti dfe (hoc enim supra propos. 28 demon- 
Stratum est). Et quia angulus αδβ rectus est et ὃγ perpen- 
dicularis, est igitur (propter elem. 6, 8 et 5 def. 10) 
oy : γβ — ay! : y0? z αὖ : 0f), 

id est, ut 5: y, ita est quadratum radii circuli 9 ad qua- 
dratum radii circuli κ, id est circulus 39 ad circulum x 
(elem. 42, 2), id est curva superficies segmenti sphaerici δαε 
ad curvam superficiem segmenti ὅβε. 

XLIII. Quae cum ita sint, apparet omnem cylindrum, 
qui basím aequalem maximo in sphaera circulo, alütudinem 
autem aequalem sphaeree diametro habeat, ipsius sphaerae 
sesquialterum esse, et cylindri superficiem sesquialteram su- 
perficiei sphaerae. 

2 Si enim sit semicirculus 
αδγ, cuius diametrus αγ, et 


yj 8 δ 
Ζ Ν centrum ζ, et punctum e 
circumferentiae dimidium, οἱ 
per puncta αδγ tres tangen- 
tes, velut of 80 à» ducantur, 

& ξ γ 


el manente rectà oy semicir- 

culus convertatur in eundem- 
que locum, unde moveri coepit, restituatur, cylindrus a rec- 
tangulo «fóy effectus ad sphaeram effectam ἃ semicirculo 
proportionem sesquialteram (id est 41: 4), eandemque super- 
fieies ipsius ad superficiem sphaerae habebit. . Nam quia 
curva cylindri superficies, quam recta β efficit, aequalis est 


ϑῶσιν S Ei,corr.B 88. τῶν AET' A, dislinx. BS 46. ὑηὺ τοῦ 4 BI À 
ABS, ἀπὸ τοῦ 48Γ4 Ei, corr. Hu 94. μέση — p. 440, 4. xévrpov 
interpolatori tribuit Hu (conf. adnot. * ad Lat.) 32. τῆς ABI A AS, 
distinx. B τοῦ add. Εἰ ᾿ 





Prop. 
87 


410 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


᾿χένερου)] dosi» ἡ ΑΓ, οὗτος δὲ ὃ κύκλος ἴσος ἐστὲν τέσσαρσι 
μεγίστοις τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, δέδεικεαι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαΐί- 
ρας ἐπιφάνεια δ' μεγίστοις ἴση, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς B4 γινο- 
μένη ἐπιφάνεια ἴση ἐσεὶν τῇ τῆς σφαΐρας ἐπιφανείᾳ " μετὰ 
δύο ἄρα κύκλων, οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλένδρου, λόγον ἔχει ὃ 
πρὸς τὴν τῆς σφαίρας ἐπι 

φάνειαν, ὃν ἔχει τὰ ς΄ πρὸς 


5 .- δ 
τὰ δ΄. οὗτος δὲ ὃ λόγος 
ἡμιόλιός ἐσειν. καὶ ἐπαὶ ὁ 
κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην 10 
| τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, 
r7 t y 


ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κένερου 

τῆς σφαίρας « » » ἕχεον 
μέρος ἐστὶν τοῦ παντὸς κυλίνδρου, ἡμιόλιος ἄρα καὶ ὃ χύ- 
λινδρὸος τῆς σφαίρας. 15 

71 [Ἐδείχϑη δὲ ἀνώτερον, κἂν μὴ eig δύο ἴσα ἣ περι- 
φέρεια τοῦ ἡμιχυκλίου τμηϑῇ, ἀλλ᾽ εἰς ὁποσαοῦν, καὶ 
ἀπ᾽ αὐτῶν ἐφαπτόμεναι ἀχϑῶσιν, ὡς ἐχεῖ καταγέγραπ- 
ται, ἡ ὑπὸ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων ,)ινομένη χατὰ τὴν 
ὁμοίαν στροφὴν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν ὁμοίως δ΄ μεγέστοις 20 
κύκλοις. 

72 Καὶ τὰ μὲν περὲ τῶν ὑπὸ νκοχιμήδους δειχϑέντων ἐν 
τῷ περὲ σφαΐρας xoi κυλίνδρου τοσαῦτ᾽ ἐσείν, ἑξῆς δὲ 
τούτοις γράψομεν, ὡς ὑπεσχόμεϑα, τὰς συγκρίσεις τῶν 
ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων, πυραμέδος τε 3 
χαὶ κύβου καὶ ὀχταέδρου δωδεκαέδρου τε καὶ εἰκοσαέδρου 
[καὶ τὴν ἔφοδον τῶν ἀποδείξεων ἐχούσας), οὐ διὰ τῆς 
ἀναλυτικῆς λεγομένης ϑεωρίας, δι᾽ ἧς ἔνιοι τῶν παλαιῶν 


—— ——— — ———— — 


3. 4, τέσσαρσι ΒΒ ἴσην ἄρα AB, ἡ ἄρα S, corr. Ei 171. τὸ 
s ΑΒ, τὰ ἕξ S 8. τέσσαρα 8 43. lacunam indicavit Co (temere 
neglexit Ei) 46. ᾿Εδεέχϑη — 21. χύχλοις om. Co, interpolatori tri- 
buit Hu f6. ἀνωτερον) propos. 34 49. γινομένη À 39. τοῦ 
ante "fori. add. Ei 37. x«i τὴν — ἐχούσας et p. 442, 4. sev 
προειρ. σχημάτων et p. 442, 8. ἐπεὶ καὶ — 6. χρεέα interpolatori tri- 
buit H« 


LIBER V. PROPOS. 81. 411 


circulo, cuius radius est ey"), isque circulus aequalis est 
quattuor maximis in sphaera (quoniam e» — 3 αζ), itemque 
sphaerae superficies quattuor maximis circulis aequalis de- 
monstrata est!), superficies igitur, quam recta βδ efficit, 
aequalis est sphaerae superficiei. Ergo cum duobus circulis 
maximo in sphaera aequalibus, quae sunt bases cylindri, 
lota, cylindri superficies δὰ superficiem sphaerae proportio- 
nem habet 6: 4 — 11:1. Εἰ quia conus basim habens 
circulum superficiei sphaerae aequalem, altitudinem autem 
radium sphaerae, ipsi sphaerae aequalis est (propos. 35), 
conus igilur basim habens circulum ἴθ sphaera maximum, 
altitudinem autem. eandem, quarta pars est sphaerae. Sed 
idem conus lerlia pars est cylindri basim οἱ altitudinem ean- 
dem habentis (elem. 12, 10), id est?) sexta pars totius, quem 
initio posuimus, cylindri; ergo hic cylindrus ad sphaeram 
habet proportionem 6 : 4, id est sesquialter est sphaerae. 


LIBRI QUINTI PARS TERTIA. 
Quinque polyedrorum Platonicorum comparaltiones. 


Sic igitur cum de iis quae Archimedes primo de sphaera et 
cylindro libro demonstravit satis sit dictum, iam porro, ut 
polliciti sumus (cap. 59), comparationes quinque polyedro- 
rum aequalem superficiem habentium, videlicet. pyramidis, 
cubi, octaedri, dodecaedri, icosaedri, ita pertractemus, ut 


Ἢ Curvam superficiem, quam recta βδ conversione circa axem «y 
efficit, aequalem esse circulo, , cuius radius est «y, ipse Pappus supra 
propos. 24 demonstravit. Qui si insuper Arcbimedem citare volebat, 
illius de sphaer. et cyl. I propositionem 44 afferre et pro verbis, quae 
nos in Graeco contextu seclusimus, sic fere dicere debuit: μέση ἀνά- 
λογόν ἔστιν τῆς BA καὶ διπλασίας τῆς 4B, τουτέστιν Cel. At inter- 
polator Archimedis propositionem 47, supra apud Pappum propos. 24 
citatam, respexit, in qua de cono agitur, non de cylindro. . 


4) Quoniam ipse Pappus supra propos. 28 extr. demonstravit sphae- 
rae superficiem aequalem esse circulo, cuius radius est spbaerae dia- 
metrus, hoc loco pro verbis "isque circulus — demonstrata est" bre- 
vius dicere poterat "itemque sphaerae superficies aequalis circulo, cuius 
radius est «y, demonstrata est". Attamen summa facienda erat 4 -- 9 
circulorum aequalium maximo in sphaera; ergo statim ab initio, Archi- 
medis dicendi genus secutus, circulum, cuius radius est ey, cum quat- 
tuor maximis in sphaera aequiperavit. 


. 2) Haec nos partim auctore Co, parlim nostre coniectura addidimus. 


78 


74 


412 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ FE. 


ἐποιοῦντο τὰς ἀποδείξεις [τῶν προειρημένων σὑχηματεων), 
ἀλλὰ διὰ τῆς κατὰ σύνϑεσιν ἀγωγῆς ἐπὶ τὸ σαφέστερον 
καὶ συντομώτερον ὑπ᾽ ἐμοῦ διεσχευασμένας [ἐπεὶ καὶ τὰ 
λήμματα πᾶντα μικρά τε καὶ μεγάλα διὰ τοὺς πολλοὺς 
τῶν φιλομαϑούντων κατέταξα τὸν ἀριϑμὸν ἐχκαίδεκα, uv 5 
ἔστιν ἐνταῦϑα χρεία]. προγράφεται δὲ [τῶν συγχρέσεω»] 
τάδε. 


uÓ' (a). Παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς 
πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον μέν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἐσο- 
πλεύρου τριγώνου, ἔλασσον δὲ ἢ τετραπλάσιον. 10 

Ἔστω γὰρ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ xai κάϑετος 
ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ “10 (δίχα δηλονότι τέμνουσα τὴν BI), 
xoi ἀναγεγράφϑω ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΓ (δῆ- 
λον γὰρ ὅτι ὑπερπεσεῖται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὸ ἐλάσ- 
σονα εἶναι τὴν 4 κάϑετον τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου), t5 
καὶ διὰ τοῦ ΑἹ παράλληλος ἤχϑω τῇ ΒΓ ἣ ΖΑΉ. ἐπεὶ 
οὖν τετραπλῆ ἐστιν ἡ 4B τῆς ΒΘ δυνάμει, ἐπίτριτος ἄρα 
ἐστὶν ἢ ΑΒ τῆς 40 δυνάμει, τουτέστιν ἡ JB τῆς BZ: 
ἢ 4B ἄρα τῆς ΒΖ, ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. καὶ ἔστιν ὡς 
ἡ 4B πρὸς ΒΖ, τὸ BE τεεράγωνον πρὸς τὸ ZI nagaA-00 
ληλόγραμμον'" καὶ τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσόν ἔστιν 1j 
διπλάσιον τοῦ ZI παραλληλογράμμου τουτέστιν ἢ τετραπλά- 
σιον τοῦ Α8Γ᾿ τριγώνου. τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσον 
μὲν ἢ τετραπλάσιόν ἔστιν, μεῖζον δὲ ἢ διπλάσιον τοῦ 
ABU τριγώνου. : 25 

με΄ (B). Ἢ ἀπὸ vob xévrgov τῆς σφαίρας τῆς περι- 
λαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπέσεεδον τοῦ ὀκεαέδρου 
χκάϑετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου 
τῆς σφαίρας. 


6. δὲ add. et τῶν συγκρίέσεων interpolatori tribuit Hu 8. μά Αἱ 
in marg. (BS), α΄ add. Hu 10. ἐλάσσων AB, corr. 8 14. δέχα — 
τὴν ΒΓ οἱ 48. ϑῆλον --- 45. τριγώνου forsitan interpolator addiderit 
48. τὸ B4 ἘΓ ΑΒ, coniunx. S 19. ἐλασσον (sine acc.) A(B), corr. 
8 40. τὸ ΖΙ] τὸ ΒΖ Αἱ, τὸ ZB A*BS, corr. Co 39. τουτέητιν 


LIBER V. PROPOS. 58. 39. 418 


omissa quaestione analytica, quam veterum nonnulli ad de- 
monstrationes adhibuerunt, synthetica ratione utamur a no- - 
bis in planiorem et breviorem formam redacta. Praemittun- 
tur autem haec lemmata. 


XLIV (/). In omni triangulo aequilatero quadratum, Prop. 
quod ab uno latere fit, maius est duplo triangulo aequila- i 
tero, minus autem quadruplo. 

| Sit enim triangulum aequilaterum 
€ αβγ, et ad basim fly perpendicularis 


δ 

ξ €], a9 (quae scilicet ipsam fy bifariam 
secat), et erigatur a f» quadratum (idey 
(apparet autem id ultra triangulum ay 
excedere, quia perpendicularis «2: mi- 
nor est latere trianguli), et per « du- 

4 ϑ 


7} catur basi βγ parallela ζαῃ. Iam quia 
est gy — 283 - of, ideoque 

oj? — &683?, est igitur in triangulo αβϑ 

oj? τὸ log? -4- a9?, id est 

J af? τε &a3?, id est 

380? — &8C?; ergo 80? « 4 BC?, id est 

βὸ « ἐβζ. Et est 80 : BC — B0? : βζ. By; ergo 
. à? « 2 8C. By, id est 

« & A afi. 

Ergo quadratum, quod fit a βδ, ?d est ab uno trianguli ae- 
quilateri afy latere, minus est quadruplo eo triangulo; sed 
idem etiam, quia ex constructione est. 80. *» 8C, ideoque gà? 
» βζ. βγ, maius est duplo triangulo aff. 


XLV (2). Quadratum a perpendiculari, quae a sphaerae Prop. 
octaedrum comprehendentis centro, ad unum octaedri planum 
ducitur, tertia pars est quadrati a sphaerae radio. 


ἢ τετραπλ. add. Ei (xo) ἔλασσον ἢ τετραπλ. Co) 34. 95. τοῦ 43,8 
τριγώνου AB, corr. 8 46. μὲ A! in marg. (BS), β΄ edd. Hw 
36. 37. τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀχτάεδρον paulo infra (v. adnot. ad 
P. 444, 4) alieno loco inserta huc transposuit Hw (conf. cap. 84) 


414 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


Ἔστω τρίγωνον τοῦ ὀχταέδρου τὸ ΑΒΓ, ἐν τῇ σφαίρᾳ 
» E! 4 2. " [4 M 3 δ L2 “- 
0v, καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 κένερου τῆς 
σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ κύχλου ἐπίπεδον κάϑετος ἡ 4Ε΄ φα- 

M 4 ΄- ^v ee 4 * 4 - 
νερὸν δὴ ἐκ τῶν σφαιριχῶν ὅτι τὸ E κέντρον ἐσεὶν τοῦ 
xvxÀov. ἐπεζεύχϑωσαν αἱ EB B4: ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς 485 
ἐχ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ AE. 

3 M M 3 ’ e" , ce € Ld , 

Ἐπεὶ yag ἐδείχϑη ἐν τῷ ὀχταέδρῳ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας 
διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς τοῦ ὀχταέδρου πλευ- 
ρᾶς, ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας δυνάμει 
τετραπλασία, διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ BI τοῦ ἀπὸ B4. καὶ 1υ 
ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ υὲν ἀπὸ ΒΕ τριτιλάσιόν ἐστιν διὰ τὸ 
ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων, τοῦ δὲ ἀπὸ B4 [ἐστὶν] διπλάσιον, 
τὸ ἄρα ἀπὸ B4 τοῦ ἀπὸ BE ἡμιόλιον. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ 
B4 τοῖς ἀπὸ ΒΕΖ4' τὰ ἄρα ἀπὸ BEA ἡμιόλια τοῦ ἀπὸ 
BE: διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ BE τοῦ ἀπὸ 4E: τριπλάσια 15 
ἄρα τὰ ἀπὸ ΒΕ E4, τουτέστιν τὸ ἀπὸ B4, τοῦ ἀπὸ AE. 

ἤἥλλως τὸ αὐτό. 

15 μς’ (ἡ). Ἐκκείσϑω τετράγωνον, ig! οὗ τὸ ἥμισυ τοῦ 
ὀχταέδρου ἔστω τὸ ΑΒΓΖΈ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἵ τε 41 
B4 διάμετροι τοῦ τετραγώνου xoi $ EZ: ἡ EZ ἄρα ἐκ 
χένερου ἐστὶν τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας,Ἠ ᾿ 
ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις" ἀτιὸ τοῦ Ζ χέντρου τοίνυν ἐπὶ τὴν 
4B κάϑετος ἤχϑω ἡ ZH (ἴση ἄρα ἡ .4H τῇ HB), καὶ 

M M ? ’ 
ἐπεζεύχϑω ἡ EH. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστιν τὸ 488 
τρίγωνον, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ .4H τῇ HB, καὶ ἡ EH ἥξει διὰ 5 


4. 9. Ἔστω τρέγωνον ὀχταέδρου τοῦ εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγεγραμμέ-. 
vov τὸ 48Γ, x«i περὶ αὐτὸ cet. coni. Hu 4. τοῦ ὀχταέδρου)] τῆς 
περιλαμβανούσης τὸ ὀχτάεδρον σφαέρας ABS, quae om. Ei 8. τὸ 
add. H« ἐπέπεδον om. S, unde ἐπὶ τὸν χύχλον χάϑετος Ei 6. τῆς 

 &nie AE add. Ei 8. διπλάσιός ἐστιν Ei invitis ABS 9. 49. δυ- 
vdutt τετραπλάσιον ἄρα ABS, corr. Co 44. ἐπεὶ BS, ἐπὶ A. μὲν 
add. Hu 44. 43. διὰ τὸ € AB cod. Co, διὰ τὸ ἔννατον S Ei, corr. 
Co 42. στοιχεέου ABS, corr. Hu ἐστὶν del. Co 44. τὰ ἄρα S 
Co, τὸ ἄρα AB cod. Co 48. us A! in marg. (BS), γ΄ add. Hw 
49. τὸ 48 TAE A, coniunx, ΒΒ 28. τοῦ» ΖΑ 23. ἴση — τὴ 
HB forsitan interpolator addiderit — 23. 24. xol ἐπεζεύχϑω ἡ EH xal 
EB coni. Co (oportebat χαὶ ἐπεζεύχϑωσαν «l EH EB; at reciam «ef, 


LIBER V. PROPOS. 39. 415 


Sit' octaedri sphaerae inscripti triangulum af, et circa 

id circulus, cuius ad planum a sphaerae centro ὃ ducatur 
perpendicularis de; apparet igitur: ex 

Theodosii sphaericis (4, 4 coroll. 2) 
punctum & centrum eius circuli esse. 
Iungantur ef 80; dico quadratum ἃ 
sphaerae radio 8ó triplum esse qua- 
drati ab εὖ. mE 

Quoniam enim in problemate de 
octaedro (elem. 43, 14) quadratum: ἃ 
diametro sphaerae duplum demonstratum est quadrati a la- 
tere octaedri, idemque quadruplum est quadrati a radio 
sphaerae, est igitur 

By? τὸ 980?, Et quia propter elem. 43, 123 est 8»? ᾿ 

— 3Óe?, est igitur | 
gà? — Be? -- 18e?. Sed ín triangulo orthogonio βεδ 
. est f? | 
- fs? -- &0!; ergo 
gs? — 250?, itaque fe? -- &0?, id est 
0 -- 3 εὅ3, 





8-ςΞ-Ξ-- y 


ALITER IDEM. ' 

XLVI (3). Exponatur quadratum, in eoque erigatur di- 
midium octaedrum αβγδεὲ, et iungantur quadrati diametri 
ay βὸ in puncto b se invicem secantes, ac iungatur δ; ergo 
eL radius est sphaerae octaedrum 
comprehendentis, ut in elementis 
48, 14 est. demonstratum. làm a 
centro ζ ad ef! perpendicularis du- 
catur 5» (est igitur «n 2 yf), et 
iungatur ey. Et quia triangulum 
«8s aequilaterum est, et αἡ — ηβ, 
recta igitur ey per centrum circuli 
wiangulo efe circumscripti transibit 





id est oclaedri latus, iam ductam esse scriptor supponit) — 34. τὸ 488 


Co, τὰ AB AB, τὸ αβ S : 


410 ΠΛΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


vní κέντρου τοῦ περὶ τὸ 41ΒΕ τρίγωνον χύχλου: ἢ ἄρα 
ἀπὸ τοῦ Z ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ 41ΒΕ χύχλου κάϑετος 
ἀγομένη ἐπὶ τὴν EH πεσεῖται. πιπτέτω ὡς ἡ ΖΘ. ἐπεὶ 
οὖν ἴσῃ ἐστὶν ἣ .4Z τῇ ZB, καὶ ὀρϑή ἔστιν ἣ ὑπὸ .AZB, 
ἡ ἄρα. ὑπὸ Z.4H ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸϑ 
ZH.4 ὀρϑή᾽ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ .4ZH ἡμίσους ὀρϑῆς" 

(ey ἄρα ἡ .4H τῇ ΖΗ: διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ 42 τοῦ 
ἀπὸ ZH. ἴση δὲ ἡ 4Z τῇ EZ: τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ 
ΕΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ 
EH διὰ. τὸ ὀρϑὴν εἶναι τὴν ΕΖ πρὸς τὸ .4BP4 τετράγω- 10 
γον" xai τὰ ἀπὸ EH ἄρα τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ZH. 
καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ἘΖ πρὸς τὴν 
ZO διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνα καὶ τὸ 
ἀπὸ τῆς EZ ἄρα ἐκ τοῦ xévtQov τῆς σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς 
ZO καϑέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀχταέδρου τριπλάσιόν 15 
ἐστιν. 

76 utc (δ). Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ ἐγγε- 
γραμμένον εἰς σφαῖραν, κέντρον δὲ τῆς ἀφαίρας τὸ 4, καὶ 
ἤχϑω ἀπ᾽ αὐτοῦ ἐπὶ. τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον χάϑετος ἡ 
AE (τὸ E ἄρα κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ .4BI^ τρίγωνον 20 
γραφομένου χύχλου, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς), καὶ ἐπιζευ- 
χϑεῖσα ἡ .4E ἐκβεβλήσϑω: ὅτι ἢ 4 τῆς EZ διπλῆ 
ἐστιν. | 

Ἐπεζεύχϑωσαν γὰρ αἱ BE ἘΓ΄ (got ἄρα ἀλλήλαις εἰ- 
σίν. xai ἐπεὶ τρίτον μὲν ὀρϑῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ 25 
B.4E ΕΒΖ, διμοίφον δὲ ὀρϑῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ BEZ 
ΑΒΓ, ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ 418Ζ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τρι- 
γώνῳ ἔστιν ἄρα ὡς 7) 4B πρὸς ΒΖ, ἣ ΒΕ, τουτέστιν ἡ 

.4. τρίγωνον et ἡ ἄρα — $. τοῦ 48ῈΕ add. A? in marg. (BS) 

4. χύχλου add. Hw auctore Co 4. κύχλου add. Hu, τριγώνου Ei auc- 
tore Co — 9, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ AB cod. Co, corr. S Co — 9. 40. τῶι ἀπὸ 
6H ABS, corr. Co 48. ὡς EB ABS, corr. Co 48. τὰ EZ ἡ EZ6e 
A, corr. BS 43. 44. xal τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ AB cod. Co, χαὶ τὸ ἀπὸ 
τῆς (9 S, corr. Co 41. μὲ ΑἹ in marg. (BS). δ΄ add. Hu — 19. τοῦ 
add. S 90. τὸ δὲ E ἄρα AB, δὲ del. 5 35. ἐπεὶ Paris. 2368, ἐπὶ 
ABS* 





LIBER: V. PROPOS. 40. 417 


(elem. 3, 4 coroill.); ergo perpendicularis ζϑ ἃ ζ ad planum 
circuli ege ducta, quoniam in circuli centrum cadet (Theodos. 
l. c.), cadet in rectam δῆ. lam quia est «5 — L9, rectusque . 
angulus aL, est igitur 
L ζαη — 4R. Sed etiam angulus ζηα rectus. est; ita- 
que etiam reliquus 
L αζὴη — 4B; itaque 
ar τῷ. ζη; ergo 
aL? — βζη), Sed aequales sunt αζ eG ut radii sphae- 
rae octaedro circumscriptae; ergo 
eC? -- Dp? τὶ 309?. Sed quia εξ perpendicularis est ad 
planum quadraü ofyÓ (est enim & 
polus hemisphaerii dimidio octaedro 
circumscripti, etusque basis circulus 
centro C, circumscriptlus quadrato 
αβγδ), est eC? - br? 
Ξε εη2, ideoque 
ep? τὸ ϑζηϑ. Et propter triangulorum &£* δϑζ simili- 
tudinem est 
en: ζη — εξ : 90; ergo etiam 
&eL? -- 3[9?, id est quadratum a radio sphaerae tri- 
plum est quadrati ab ea recta, quae ex 
centro sphaerae ad octaedri planum du- 
citur. | 
XLVII (4). Sit triangulum aequilaterum ey sphaerae Prop. 
inscriptum, centrum autem sphaerae ὃ, et ducatur ab eo ad 
wianguli planum perpendicularis δὲ (ergo & centrum est cir- 
culi circa triangulum of descripti, ut est in Theodosii 
sphaericis 4, f coroll. 2), et iuneta ae producatur rectam- 
que By secet in 5; dico esse es — sl. 
lungántur enim fe ey; hae igitur 
inter se aequales sunt. Et quoniam uter- 
que angulorum «e εβζ tertia pars recti 
est, et uterque angulorum af» βεζ dua- 
bus partibus recti aequalis, triangulum 
igitur aL simile est triangulo eb; ita- 
21 





Pappus 1. 


418 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


4E, πρὸς EZ. διπλῇ δὲ ἡ .48 τῆς ΒΖ' διπλῆ ἄρα καὶ 
ἡ .4 τῆς ΕΖ. 

71 uy (ε΄) Ἔστω κύκλος ὃ ΑΒΓΩ͂ περὶ κέντρον τὸ Ε 
καὶ διάμετρον τὴν 4Γ, πενταγώνου δὲ ἔστω ἡ 4ΉΒ “πρὸς 
ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, xai κείσϑω τῇ ΓΗῚ ἴση ἡ 5 
ZH: ὅτι $ ΕΓ ἄχρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ 
Z, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ EZ. 

Ἐπεζεύχϑωσαν γὰρ at 
EA ZA TA. ἐπεὶ οὖν ἡ A 
περιφέρεια δεκαγώνου ἐστίν 10 
(πενταγώνου γὰρ ἡ UB), 
εἴη ἂν ἡ ὑπὸ 4EU γωνία 

| Óto πέμπτων ὀρϑῆς" ὥστε 

ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΓΖά EAT 
τεσσάρων πέμπτων ὀρϑῆς 1ὅ 
ἐστιν. ἀλλ᾽ ἐπεὶ ἡ ZH τῇ 
ΗΓ ἴση ἐσείν, κοινὴ δὲ ἡ 
4H καὶ πρὸς ὀρϑὰς τῇ 
ΖΓ, ἔστιν ἄρα καὶ ἡ 4Z εὐθεῖα τῇ 4I ἴση ὥστε καὶ 
ἡ ὑπὸ 4ΖΓ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ 4ΓΖ τεσσάρων πέμπτων 20 
ἐστὶν ὀρθῆς. δύο δὲ πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ZEA:' Aou) 
ἄρα ἡ ὑπὸ Ε42Ζ δύο πέμπτων ὀρϑῆς ἐστιν: ἴση ἄρα 
ἡ ὑπὸ 4ΕΖ τῇ ὑπὸ Ε5Ζ: ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ EZ τῇ 

. Z4 ἴση ἐστίν, τουτέστιν τῇ AT. ἐπεὶ οὖν ἴσῃ ἐσεὶν 
ἡ ὑπὸ EAT τῇ ὑπὸ ELA, τουτέστιν τῇ ὑπὸ AZ, καὶ 3 
χοινὴ 1] ὑπὸ 4ΓΖ, λοιπὴ ἄρα ἥ, ὑπὸ AED Aou τῇ ὑπὸ 
ZAT ἐστὶν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα τὸ 4ΕΓ τρίγωνον τῷ 42ΖΓ 
τριγώνῳ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΓ πρὸς F4, οὕτως ἡ ΓΩ͂ πρὸς 
ΓΖ' τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ L4. ἴση δὲ ἡ 
ΓΑ τῇ EZ: τὸ ἄρα ὑ ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EZ: ἢ 30 
ET ἄρα üxgo» καὶ μέσον λόγον τέτμηται, χατὰ τὸ Z, καὶ 
τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἣ ΕΖ. 





78 μ΄ (c). Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον 
τμηϑῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσ- 
σονος μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ Ó πρὸς y. 35 


LIBER V. PROPOS. 44. 44. 419 


que af : BC ze: εἴ — αε : εζ. Sed est αβ — 9 8C; ergo 


etiam a& — 2&L. 


XLVHI (5). Sit circulus oyó circa centrum ε et dia- Prop. 
metrum «y, sitque pentagoni latus δηβ perpendiculare dia- 
metro ay, et ponatur yb — ny; dico rectam &y extrema ac 
media proportione!) sectam esse in puncto C, et maius qui- 
dem segmentum esse εζ. | 

lungantur enim εὃ CÓ γδ. Iam quia circumferentia yó 
decagoni est (etenim pentagoni est óyó), angulus δὲγ est 
duarum quintarum partium recti; itaque | 

L εὃγ — L &yó — 18. 

Sed quia C ipsi yy aequalis, et recta à» triangulis ζδη " 
communis eademque ad Cy perpendicularis est, aequales igi- 
tur sunt δὲ y; itaque etiani | 

L δὲγ — L àys — &R. Sed est 4 δεζ — &R; ergo 

L ot, — ὦ δεζ — ὁ εδξ — ξΒ; itaque 

L δεῖ — ( ἐδζ, ét 
Ξ-Ξ Ló — óy. lam quia est [. cy — [. εγὸ — L δζγ, 

et íriangulis εὖγ ÓyL communis est 

angulus óye, restat igitur 

- δὲγ — L γδξ; itaque | 

' Δ óey — Δ γόξ, et 

' 8γ: γὅ — yà : γζ, id est ey. γξ — yÓ0?. Sed demon- 

stravimus esse γδ — εζ; ergo 
ey: 7t — &2, sive &y : ἐζ — εἕ : Cy; itaque recta ey in 

puncto £ extrema ac media proportione 
secta est, ac maius segmentum est eL. 


. ἢ} [6). Si recta linea extrema ac media proportione : se- - top. 
cetur, quadratum a tota ad quintuplum quadratum a minore ἐν 
parte maiorem proportionem lrabet quam 4 : ὃ. 


4) Conf. supra III propos. 57 adnot. 9. 
3. um ΑἹ in marg. (BS), ε΄ add. Hu 94. 22. ἐστὶν ἥ -- πέμπτων 


add. A? in marg. (BS) 395. ἡ ὑπὸ Ed ^l A, corr. BS 30. ro 
ἄρα — EZ om. Ei 588. μΘ A! in marg. (BS), ς΄ add. Hw: 
21" 


420 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ üxgov καὶ μέσον λόγον τετμήσϑω 
κατὰ τὸ DL, καὶ ἔστω ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΓΒ" λέγω 
ὅτε τὸ ἀπὸ τῆς .4B πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα 
λόγον ἔχει ἤπερ Ó' πρὸς y. 

Κείσϑω τῇ ΓΒ ἴση ἣ L4: γίνεται ἄρα, διὰ τὸ ἄκρον ὃ 
καὶ μέσον λόγον τετμῆσϑαι τὴν «4 εὐθεῖαν, τὸ ἀπὸ 4B 
καὶ τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσα τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΓ, ὡς ἔστεν στοιχείοις 
δ' τοῦ τρισκαιδεκάτου ϑεωρήματι, τουτέστιν τῷ τρὶς ὑπὸ 
ABI. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ 
ΑΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ (ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΒΓ 10 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ ἀπὸ BI, ὥς ἔστι στοι- 
χείοις τὸ y' ϑεώρημα τοῦ 9): τὰ ἄρα ἀπὸ .4ΒΓ΄ ἴσα ἐσεὶν 
τῷ τρὶς ὑπὸ DB καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ DB: κοινοῦ ἀφαιρε- 
ϑέντος τοῦ ἀπὸ ΒΓ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ .4B ἴσον ἐστὶ τῷ 
τρὶς ὑπὸ 4ΓΒ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ BD, τουτέστιν τῷ τρὶς 15 
ὑπὸ 4Γ4 καὶ τῷ δὶς ἀπὸ I4. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ TA 
ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ἀπὸ AAT καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ Γ4 (ἐπεὶ 
zai τὸ ἅπαξ ὑπὸ MI. ἴσον τῷ ὑπὸ AAT καὶ τῷ ἀπὸ 
4Γ διὰ τὸ αὐτὸ y τοῦ (f στοιχείων ϑεώρημα) " τὸ ἄρα 
ἀπὸ .4B ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ AAT καὶ τῷ πεντάκις 20 

79 ἀπὸ ΓΖΩ͂, τουτέστιν τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ. κείσθω δὴ τῇ 
AA ἴση ἡ 4E: φανερὸν γὰρ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ 4.4 τῆς 
ΓΖΩ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΓΑ͂ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμη- 
ται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ AT. καϑόλου 
γάρ, ἐὰν ἄχρον xai μέσον λόγον εὐθεῖα γραμμὴ τμηϑῇ, 25 
ὡς ἡ 418, καὶ τὸ ἔλασσον τμῆμα οἷον τὸ ΓΒ, καὶ τῇ ΓΒ 
ἴση τεϑῇ ἡ L'A, xai ἣ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμη- 
ται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ AT. διὰ τὰ 
αὐτὰ καὶ ἡ 4Γ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ E, 


8. τῆς ante IB add. Εἰ 5. ἄρα add. Hu auctore Co 8. δ' 
Co, Τ A (S, sed id in Paris. 4868 punctis notatum), I" B ϑεωρή- 
ματος ABS, corr. Hu (στοιχείοις τὸ δ΄ ϑεώρημα τοῦ τρισχαιδεχάτον 
Ei) 40. 44. ἅπαξ ἀπὸ AB ἴσον ἔστιν τῶ ὑπὸ ΑΒΓ A(BS), corr. 
Co (ἅπαξ ὑπὸ ΑΓ eic. imperite Ki) 44. τὸ τρέτον ϑεώρημα 8 Ei, 
τῷ y' ϑεωρήματε Hu 43. τῶ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ xoà bis scripta in A 
48. ἔσον τὸ ὑπὸ A, corr. BS 49. τρέτον τοῦ δευτέρον στοιχείου 8 


LIBER V. PROPOS. 43. 4921 


Recta enim ef extrema ac media proportione secta sit 
in puncto y, sitque minus seg- 
- δὲν B mentum yf; dico esse 
] ag? : 5,92 5 4 : 8. 
Ponatur 7;Ó — yg; fit igitur, quia recta e$ extrema ac 
media proportione secta est, propter elem. 13, 4 | 
of -- y8? — 3ay?, id est, quia ag : ay ay : yf, 
zz Jaf.Óy, id est, quia propter elem. 2, 8. 
est af - y zx αγ.γβ -- By, 
- 8αγ.γβ -- 3yf?; communi igitur sublato 
yB? restat 
af? zz 3ay-yB -- 2»8?, id est 
z Jay.yÓ -- 2y0?, id est, quia propter 
: | elem. l. c. est ay. »yó 
' - αὖ. 0y -- y0?, 
— Jaó-.0y 4- 5502. — 
z 3aó.óy -- ὅ γβ3, 
Ponatur δὲ — αὖ: et quidem apparet esse dó, id est δὲ « 
Óy, quoniam etiam γα extrema ac media proportione secta 
et óy maius segmentum est. Omnino enim, si recta linea, 
velut «f, extrema ac media proportione secta sit et minori 
segmento, velut γβ, aequalis ponatur yd, etiam «y extrema 
ac media proportione secta et yÓ maius segmentum est!) 
Est enim 
af : ay zs ay : yg - ay : yÓ, itaque 
αγ : yB — αβ — ay: ay — γὸ 
— yf : ad, id est 
cy ; yÓ — γ : ad. 
Eadem ratione etiam dy extrema ac media proportione in - 
puncto ἃ secta et δὲ maius segmentum est; ergo est 


4) Hoc lemma de minore aureae sectionis parte idem docet, quod 
similiter de maiore parte Euclides elem. 43, 5. Demonstrationem au- 
tem nos addidimus multo breviorem quam Commandinus. 


Ki — 20. καὶ πεντάκις ABS, τῷ add. Ei 35. ἐὰν ἄκρον S, ἐναχρον 
A, ἕν ἄκρον B γραμμὴ om. S Εἰ 


422 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHZ E. 


καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμα ἐστιν ἡ AE [καὶ γάρ, τῇ 4T 
ἴσης τεϑείσης τῆς ΓΒ, ἡ ὅλη ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμη- 
ται κατὰ τὸ Γ΄ ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ ἣ ED ἑκατέρας 
τῶν 44 AE, ἐπειδήπερ ἐστὶν ὡς ἢ 4T πρὸς Γά, ἡ LA 
πρὸς 4.44, τουτέστιν πρὸς τὴν 4Ε. καὶ διελόντε ὡς ἡ ὃ 
-44 πρὸς ΓΩ͂, ἡ ΕΓ πρὸς 4Ε. ἐλάσσων δὲ ἡ 444 τῆς 
AT: ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΓ τῆς AE]: τὸ ἄρα τεξράκις. 
ὑπὸ ΖΔΈῈΓ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ATE. κοινὸν προσχείσϑω 
τὸ τετράκις ὑπὸ ΓΕ" τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ 4ἘΓ καὶ τὸ 
τετράκις ὑπὸ AIDE, τουτέστιν τὸ τετράκις ἀπὸ 4E, μεῖ- 10 
Lov τοῦ πεντάκις ὑπὸ 4ΓΕ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ 4ΔΈΓ 
καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ AE ἴσον ἐστὶν τῷ τετράκις ὑπὸ LAE: 
τὸ ἄρα τετράχις ὑπὸ ΓΔΕ μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ATE. 
κοινὸν προσχείσϑω τὸ πεντάκις ὑπὸ ΓΖΕ τὸ ἄρα ἐννάκις 
ὑπὸ ΓΖ μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ LAE καὶ τοῦ πεντά- 15 
xig ὑπὸ ΖΓΕ, τουτέστιν τοῦ πεντάκις ἀπὸ 4Γ" τὸ ἄρα τρὶς 
ὑπὸ 4477 πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ 4Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ ΑἸ4Γ. λόγος δὲ τοῦ τρὶς ὑπὸ Α4Γ 
πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ ΑΓ, ὃν a πρὸς y * τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ 
AAT. πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ AT μείζονα λόγον ἔχει ἤπτερ α΄ 30 
πρὸς y " συνϑέντι τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ .«Α4Τ καὶ πεντάκις ἀπὸ 
AT, τουτέστιν τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ, πρὸς τὸ πεντάχις ἀπὸ ΓΒ 
μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ Ó πρὸς γ΄. ἐδείχϑη δὲ τὸ τρὶς 
ὑπὸ AAT καὶ τὸ πεντάχις ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ τε- 
τραγώνῳ᾽ τὸ ἄρα ἀπὸ 4B τετράγωνον πρὸς τὸ πεντάκις 25 
ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ δ΄ πρὸς y. 

80 "Ex δὴ τούτου φανερὸν ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 48 τοῦ 
πεντάκις ἀπὸ τῆς ΒΓ μεῖζόν ἐστιν. 

81 » (C). Τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς 7:6QL- 
λαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφ᾽ ἕν ἐπίπεδον τῶν τοῦ 30 
εἰκοσαέδρου καϑέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν 
ἔστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἶκο- 
σαέδρου. | 

Ἐκκείσθω κύκλος ὃ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον 
τοῦ (εἰκοσαέδρου, ὡς ἐν στοιχείοις, καὶ ἔστω ἡ μὲν ,41Γ΄ 35 
διάμετρος τοῦ κύκλου, τὸ δὲ E κέντρον, ἡ δὲ A4KB πεν- 


LIBER V. PROPOS. 48. 423 


δὲ. 67 *» &Ey?, el, quia propter elem. l. c. est e. &y -t- 
£y? 22 dy- ye, est igitur. — 
ῷ δὲ. ἐγ *» Ó»- ye, multoque magts 


E ————————————————Àà 


α δ € y 8 οι 
δὲ. cy  ὅγ.γε. Commune addatur &óy. ye — &óe? 
| (quia dy : δὲ z δὲ : &y); est igitur. 
ἐδὲ' εγ - δεῖ» ὅ δγ.γε, id est, quia propter elem.. 
l. c. est δὲ' &y -- δεῖ τεὶ γὅ. 0e, 
ἀ γδ. δὲ »» ὃδγ.γδ. Commune addatur ὅγδ' δε; est 
| igitur, quia Óy- y& -- γὅ. δὲ — ὃγ3, 
9γδ. δὲ» ὅ ὄγϑ. Et eo constructione est. yà- δὲ —— 
αὃ. ὃγ; ergo propter elem. 5, 8 est 
3Jad.0y : 505? » 3a0-0y : 9 αδ. Oy, id est 
» 1:3; ergo componendo (infra VII 
propos. 3) 
3 αὃ. ὃγ 4- 50/2: 50y? » 3 - 1:3, id est 
3 ad. ὃ) τ Ἦ ὕγβ5 : yg?  & :3. Sed demonstratuin est 
| (p. 421) 3a0.0y -- 5 yf? 
- a?: ergo 
a? :5y9? 5» & : 8. 
Hinc apparet etiam esse o9? * 582. | 
L /7). Duodecuplum quadratum a perpendiculari, quae Prop. 
a sphaerae icosaedrum comprehendentis centro ad unum ico- 
saedri planum ducitur, maius est quintuplo quadrato ab ico- 
saedri latere. 
Exponatur circulus «6» icosaedri pentagonum compre- 
hendens, ut est in elementis (13, 16), et sit eius circuli 
diametrus ay, centrum e, recta autem ὄχβ sit. pentagoni ae- 


4. xeà γάρ — 7. τῆς 4E interpolatori tribuit Hu 3. χατὰ τὸ DP 
Hu, καὶ τῶι T AB, τῷ y S. Ei 48. τὸ ἄρα τειράχις ὑπὸ IAE 
add. Co 45. ὑπὸ (post ἐννάχις) 85 Εἰ, om. AB Paris. 2968 - μεέξων 
ἐστιν Α, , μεῖζον ἐστὶ B, accentum corr. 85 49. 20. πρὸς τὸ 'ἐννάχις 
ὑπὸ ΑΖ2Τ ὃν « πρὸς Τ' τὸ ἄρα Γ ὑπὸ Α24Τ add. ΑΞ in marg. (BS, nisi 
quod hi ἄρα τρὶς ὑπὸ) 44. πρὸς τὸ πεντάχις ἀπὸ ΓΒ add. Co 
49. N A! in marg. (BS), ζ΄ add. Hu 30. τῶν Ei auctore Co pro 
τὴν 84. di (ante E) add. Hu MEE MEE 


424 ' ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ E. 


ταγώνου ἰσοτιλεύρου πλευρὰ κάϑετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμε- 
τρον [αὕτη δέ ἐστιν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρά, ὡς ἐν τοῖς 
στοιχείοις], καὶ ἀπὸ τῶν E Il' ἀνεστάτωσαν ὀρϑαὶ τῷ ἐπι- 
πέδῳ τοῦ κύκλου at ZEH I4, καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ 
ΓΙ. ἑξαγώνου, ἑκατέρα δὲ τῶν EZ HO δεκαγώνου, καὶ ὃ 
τετμήσϑω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ O* τὸ O ἄρα σημεῖον κέν- 
τρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις vc ϑεώρημα 
τοῦ ιγ΄. ἐπεζεύχϑωσαν al 44 4B 44K ΒΓ. ἐπεὶ οὖν 
ἑξαγώνου ἐσεὶν ἡ ΓΖ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ὀρϑή ἔστιν 
5? ὑπὸ ΒΓΑ͂, πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ B.4 διὰ τὸ v ϑεώ- 10 
onue τοῦ Ly': ὁμοίως καὶ 7) 14. ἔτι δὲ καὶ ἡ Β4 τὸ 
ἄρα Β.414 τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἔστιν τῶν περιεχόντων τὸ 
εἰκοσάεδρον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΚ τῇ Β΄ πρὸς ὀρϑᾶς ἐστιν, καὶ 
τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΙ ἄρα ἐπίπεδον, ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν 
EH ΓΑ παραλλήλων, ὀρϑόν ἐστιν πρὸς τὴν B4 [καὶ ἡ 15 
B4 ἄρα ὀρϑή ἐστιν πρὸς αὐτό" ταῦτα γὰρ ἐν τοῖς στε- 
ρεοῖς τῶν στοιχείων ἐδείχϑη)" καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς 
B4 ἐπίπεδα, ὧν ἐστιν καὶ τὸ BA τρίγωνον, ὀρϑά ἐστιν 
πρὸς τὸ διὰ τῶν EH I4 παραλλήλων ἐπίπεδον, ἐν ᾧ 
ἐστιν xai τὸ ΓΚ. τρίγωνον" ὥστε καὶ τὸ BA τρίγωνον 20 
ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΑ͂. ἤχϑω ἐπὶ τὴν ΚΙ κάϑετος 
5 ON: δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρϑὰ ἀλλήλοις τό τε KA 
καὶ τὸ B4, xai τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΚΑ ἐν ἑνὶ τῶν 
ἐπιπέδων ὀρϑή ἐστιν ἣ ON^ καὶ ἣ ON ἄρα κάϑετός ἔστιν 


3. 8. αὕτη — στοιχεέϑες interpolatori tribuit He 8. τῶν ET 
AB, distinx. 5 4. al ZEH ΓΑ Hu, al ΖΕ HIA ABS, al ΖΕΘΗ ΓΑ 
Co, αἱ EH F.A Ei ἑχατέρας ABS, corr. Ei auctore Co ἃ. 5. τῶν 
ΕΘΓ.1 A, distinx. BS 7. ϑεωρήματε Hu 40. ὑπὸ BIA Co pro 
ὑπὸ BAT διὰ τὸ ϑεώρημα ABS Εἰ, numerum add. Co 44. ἔτι B5, 
ἐστιν A, ἐστὶ B1S Εἰ 418. 44. πρὸς ὀρϑάς ἐστε add. Εἰ auctore Co, tum 
pest καὶ τὸ add. « AS cod. Co, α΄ B, quod punctis notatum in S del. 
Co 44. τὸ (post dari») Co, qo A cod. Co, ἡ o B, qo S 45. x«i 
ἡ B4 — 41. ἐδεέχϑη interpolatori tribuit Hu 48. τὸ B4á.4 Hu, τὸ 
BA44 Copro τὸ B.£4 40. τὸ B4.4 Hu pro τὸ B.14 428. 88. so 
vt PK 4 xai τὸ ΒΑ. ABS, corr. Co (τὸ τε ΑΓΑ͂ xoà τὸ B.fd Ei) 





LIBER V. PROPOS. 48. 425 


quilàteri circulo inscrípti latus idque ad díametrum perpen- 
diculare, et a punctis e y erigantur ad circuli planum per- 
pendieulares ἕδη y, et.sit utraque rectarum 69. γὰ hexagoni 
latus circulo afly in- 
script, utraque au- 
tem εζ $3: decagoni, 
et secetur &J bifa- 
riam in puncto o0; 
ergo 0o est centrum 
sphaerae icosaedrum 
comprehendentis , ut 
est in elementis libri 
43 theorematis 16 co- 
rollario!).  Jungan- 


d 


quia 7À hexagoni /a- 
(us est et B» deca- 
goni et angulus βγλ 
rectus, pentagoni igitur latus ὁδὶ 84 propter libri 13 theorema 
10; ao similiter 4d. Sed ex hypothesi etiam fd pentagoni latus 
est ; ergo triangulum 848 aequilaterum est et quidem ex iis quae 
icosaedrum comprehendunt (elem. 48, 46). Et quia Àx ipsi 90 
perpendicularis est (etenim ex; hypothesi est dx x κβ, ideoque 
anguli àxÀ BxÀ inler se aequales), planum igitur quod per rec- 
tas αγ κα transit, id est planum quod per parallelas e» yA, per- 
pendiculare est rectae βὺ (propter elem. 14, 4, quia βὸ utrique 
rectarum axy Àx perpendicularis est) ; ergo etiam (elem. 44, 48) 
omnia quae per $0 transeunt plana, quorum e numero est tri- 
angulum 804, perpendicularia sunt ad planum quod per paral- 
lelas δη 74 transit, in quo est triangulum yx4; itaque etiam tri- 
angulum 544 triangulo yxÀ perpendiculare est. Ducatur ad χὰ 
perpendicularis o»; duo igitur sunt plana yxÀ 804 sibi in- 
vicem perpendicularia, eorumque communi sectioni χὰ in 





4) 'H τῆς σφαίρας διάμετρος σύγχειται ἔχ τε τῆς ToU ἑξαγώνου (id est 
in nostra figura ε9) καὶ τῶν dvo τοῦ δεχαγώνγου (id est e(59) τῶν εἰς τὸν 
αὐτὸν χύκλον (scil. ἐφ᾽ οὗ τὸ εἰχοσάεδρον ἀναγέγραπται) ἐγγραφομένων. 


tur 40 AB Àx fly. lam. 


- 


426 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


ἐπὶ τὸ B4.4 τρίγωνον. καὶ διπλῇ ἔστιν 1j AB τῆς ΒΚ. 
ὥστε Oui ἐστιν ἣ ΑΝ. τῆς NK διὰ τὸ δ΄. τετμήσϑω δὲ 
δίχα ἡ ΓΙ κατὰ τὸ M, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ OM: ἔσται δὴ 
παράλληλος ἡ OM τῇ ΕΓ (ἴση γὰρ ἡ EO τῇ DM, ἐπεὶ 
καὶ αἱ L.4 ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν), καὶ 75 
AI τῇ IK ἴση (τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΑ͂ παρὰ τὴν ΓΚ ἧκται 
ἡ IM, καὶ ἔστιν ἴση ἡ DM τῇ M). καὶ διπλῇ ἔστιν ἡ 
AN τῆς ΝΚ' οἵων ἄρα ἡ KA ς΄, ἡ AN Ó xai ἡ ΚΝ f, 
καὶ ἑκατέρα τῶν ,11 IK τριῶν, καὶ λοιπὴ ἡ IN ἑνός " τρι- 
πλῇ ἄρα ἡ ΑΙ τῆς ΙΝ’ λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ONI10 
μεῖϊζονά ἐστιν εἰ τῶν ἀπὸ BA. | 
82 Κείσθω τῇ ΚΓ ἴση ἡ KE: διὰ μὲν οὖν τὸ εἰ ϑεώ- 
ρημα. τῶν ΄ προγραφομένων ἣ ED ἄκρον καὶ μέσον λόγον 
τέτμηται κατὰ τὸ X, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῇμαά ἔστιν ἡ 
ΕΞ, διὰ δὲ τὸ ς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ πεντάχις ἀπὸ τῆς 15 
ἐλάσσονος τῆς EMT μεῖζον" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ μὲν 
ἀπὸ τῆς ἘΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ πενταπλάσιον, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς 
ΚΙ᾿ μεῖζον ἢ εἰκοσαπλάσιον. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ 
πρὸς τὸ ἀπὸ KD, τὸ ἀπὸ I4 πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΚ, τουτ- 
ἐστιν τὸ ἀπὸ ΟΝ πρὸς τὸ ἀπὸ NI (ἰσογώνια γὰρ τὰ ONI20 
AIM AKT. τρίγωνα)" τὸ ἄρα ἀπὸ ON εἴχοσε τῶν ἀπὸ 
^ NI μεῖζόν ἐστιν. καὶ Àg ἄρα τὰ ἀπὸ ON wx τῶν ἀπὸ 
NI μείζονά ἐστιν. wx δὲ τὰ ἀπὸ NI ὀγδοήκοντά ἐστιν 
τὰ ἀπὸ 41] (ἐδείχϑη γὰρ τριπλῆ ἡ .1] τῆς IN). ὀγδοή- 
κοντα δὲ τὰ ἀπὸ 1.1 εἴκοσέ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΑΚ (διπλῇ γὰρ 35 
ἡ AK τῆς .11. εἴκοσι δὲ τὰ ἀπὸ ΚΑ ιε΄’ ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΖ 
4. καὶ διπλὴ --- τῆς BK om. Εἰ τῆς BK Co pro ric OK 
3. xel add. A! super vs. 4. τῇ ΓΙ Co, τῆς M AB, τῇ uy S Ei 
8. otov (sine spir. et acc.) A, o£or B, corr. S ἡ 4N4 xoi ἡ KNB 
A, distinguenda esse significavit B, ἡ ἀν τεσσάρων χαὶ ἡ κν δύο 8 Εἰ 
41. ἐστιν ΕἼ ἐστιν τε Ἁ, ἐστι B, ἐστι τριῶν S, ἔσει πέντε Ei auctore 


Co 44. ἡ KE Co, ἡ ΗΚΕ H [T Α, ἡ ηχὲ v&y B (ac similiter cod. Co), 
ἡ rx 8 — 14. 45. ἡ EE] τὸ ς AB, τὸ σ S, τὸ EX Co, ἡ corr. Ei 
30. 24. γὰρ τὰ ON T .4 TM.A KT. ^, γὰρ τὰ ovt Aus axy BS, 41M 
om. Ei, .£KT' corr. Co 33. J'K 4E τὰ AB, corr. 8 25. 36. γὰρ 
N AK τῆς 4I ABS, corr. Co 36. ἀπὸ KAIE τῶν ἀπὸ B4 μεέζονκ« 


A (BS, nisi χιοὰ κὰ εξ), r« corr. et μεέζονα del. Co, ἐστὶν add. Hs 











. LIBER V. PROPOS. 43. - 421 


plano xA perpendicularis est ov; ergo o» perpendicularis 
est ad triangulum 6804 (elem. 11 def. 5). Atque est A8 τῷ 
βὸ — 9x; itaque etiam À» — 2»x propter superius lemma 
4. .Secetur autem 4 bifariam in puncto u, et iungatur ou 
rectam xÀ secans in 
puncto t; parallelae 
igitur erunt ou εν 
(rectae enim &o yu 
et parallelae sunt et, 
ut dimidiae c2 .y4, 
inter se aequales), et 
"Ae — ix, (nam in tri- 
angulo yxÀ ipsi xy 
parallela ducta est 
uu, estque γμ — uA). 
Et demonstrata est 
ἂν zz Ἄνχ, estque tota 
Àx — ὄνχ, et utra- 
que rectarum Ψὲ tx 
zz divx, οὐ ἐν (id est ἐκ — »x) — 4vx; ergo inter se sunt 
ἀκ: ἂν: À& : xv : uy 22 6: k:2 8:28: 4, 
itaque À, — δὲν; iam dico esse 120»? * 5 9?. 

Ponatur x$ — xy; ergo propter superius theorema 5 
recta ey extrema ac media proportione secta est in puncto ὁ 
et. maius eius segmentum est εξ, et propter 6 (heorema ex- 
tremwm (quia £y est minus segmentum) est 

ey? » 55y2, id est (quia ἐγ — 2xy) 
» 20xy?. Et est 
£y? xy! τὸ. yM xy! mor: uy? (est ei enim ex consiruc- 
Lione &y — γλ, et triangula ortho- 
gonia x ovt inter se sunt simi- 


lia, quia utrumque triangulo Aut 
simile) ; ergo est 


7 





0»? * 20 ἐν, itaque 
860?! » 7901»? Sed sunt 7209? 2 80 à (nam de- 
monstrata est A, z- δὲν, id est A? 
e 91?), et 80 λὲ2 — 20 Àx? (est enim 
Àx — 91), et 20 Ax? 4550? (nam 


428 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ F. 


(ἰσόπλευρον γάρ ἔστιν τὸ 4.1 τρίγωνον, καὶ κάϑετος 
ἡ AK, καὶ ἐπέτριτος: δυνάμει i B4 τῆς KA) ὥστε As 
τὰ ἀπὸ ON δεκαπέντε τῶν ἀπὸ B4, καὶ δώδεκα ἄρα τὰ 
ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ BA, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 

88 va' (n). Ἐὰν δύο εὐθεῖαι üxgov καὶ μέσον λόγον τμη-ὃ 
ϑῶσιν, ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶν τῇ ὑποκειμένῃ. 

Τεεμήσϑω γὰρ 7) μὲν 18 ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ 
τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἔστω J AT ; ὁμοίως δὲ 
χαὶ ἢ 4E κατὰ τὸ Z, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ 4Z: 
λέγω 8v. ὡς ὅλη ἡ 4B πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν 4T, 10 
οὕτως ὅλη ἡ AE πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν AZ. 

CEnei yàg τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 
τῆς 4T, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν 4ΕΖ2Ζ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 42, 
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς .4Γ, 
οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν 4ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z: καὶ ὡς 1Ὁ 
ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ 4“1Γ, οὕτως 
τὸ τεεράκις ὑπὸ 4ῈΕ2Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ 42, καὶ συνθέντι ὡς 
τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΤΓ' πρὸς τὸ ἀπὸ 
AT, οὕτως τὸ τετράχις ὑπὸ 4ΕΖ μετὰ τοῦ ànó 4Z πρὸς 
τὸ ἀπὸ 42. ἀλλὰ τὸ μὲν τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ 20 
ἀπὸ “41 τὸ ἀτιὸ “συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς 4B καὶ ΒΓ διὰ 
τὸ η ϑεώρημα τοῦ β' στοιχείων, τὸ δὲ τετρᾶκις ὑπὸ 5ῈΖ 
μετὰ τοῦ ἀπὸ AZ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς AEZ: 
xai ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ 
τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς 4EZ πρὸς τὸ ἀπὸ 15 
AZ: καὶ μήκει ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΓ πρὸς AT, 
οὕτως συναμφότερος ἡ 4ῈΕ2Ζ πρὸς 4Z. καὶ συνϑέντι ὡς 
συναμφότεραι αἵ «18 ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ, τουτέστιν δύο αἱ 

ΑΒ, πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότεραι αἱ 4Ε ΕΖ μετὰ τῆς 
42, τουτέσειν δύο αἱ 4, πρὸς 42. καὶ τῶν ἡγουμένων 30 
tà ἡμίση, ὡς ἡ .4Β πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ 4E πρὸς AZ. 


4. τὸ om. AB, add. S 2. post ἧς add: 7 AS cod. Co, δ' B, del. 
Co 3. 4. χαὶ dejdexe — ἀπὸ B4 om. S, quapropter ex Latinis 
Commandini τουτέστε dudtxo τὰ ἀπὸ ON πέντε τῶν ἀπὸ B μεέζονά 
ἔστιν add. Ε' 4, ἀπὸ ON (ente μείζονα) Co, ἀπὸ TE AB — 5. NA 


LIBER V. PROPOS. 44. 429 


triangulum 904. aequilaterum est, et 
perpendicularís Ax, itaque 3590? τα 
& Ax?, ut supra lemmate 4 medio de- 
monstravimus) ; ergo sunt 
360»3? 5 15680?, id est 
412 0»? »» 5 80?, q. e. d. 
LI (8). Si duae rectae extrema ac media proportione Wl 
secentur, sunt in proportione infra proposita. 
Secetur enim αβ extrema 


E——————————————————À 
« y 8 ac media proportione in puncto 
FT 7, Sitque. maius segmentum ay, 
€ 


et similiter δὲ in puncto L, 
sitque maius segmentum óC; dico esse ut totam αβ ad ma- 
ius segmentum «y, ita totam δὲ ad maius segmentum óL. 

. Quoniam enim est αβ' βγ — ay?, et δε. cC — ÓL?, est 
igitur 

of «gy : αγ τε δὲ. e : δῖ, itaque etiam 

Δ ag: Qy : αγ τὸ δε-εἷζ : δζ2, et componendo 
Aaf.fy -- ay): ay? τ δε. εἴ -« 02: 0^, id est 

propter elem. 2, 8 

(eg -- By)? : ay? — (δὲ -- cC)? : 02?; itaque 

af -- By : ay τε δὲ -- εἴ : OC, et componendo 

af -- ay -4- yf : ay — δὲ -- 0G -- Ce : δζ, id est 

Qag : αγ 2 90e : 0b, et antecedentium dimidia 

ag : ay — δὲ : ÓL. 
*) Idem theorema iisdqm fere verbis compositum exstat in Hyp- 


siclis libro qui vulgo fertur primo (propositione 7, Euclid. ed. Peyrard 
vol. III p. 504). 


At in marg. (BS), * add. Hu 89. post ΖΕ add. |. ἄκρον καὶ μέσον λό- 
yov τειμήσϑω Εἰ ex Hypsicle 48. ἀπὸ τῆς B BA4Z AB, ἀπὸ τῆς già 
S, corr. Co 48. 49. τοῦ ἀπὸ | πρὸς τὸ τὸ ΑΓ A, τοῦ ἀπὸ αγ πρὸς 
τὸ ey B, ἀπὸ add. S 19. μετὰ τοῦ ἀπὸ AZ A, corr. ΒΒ 40. ἀλλὰ 
τὸ — 88. τῆς 4ΕΖ om. Hypsicles 94. 32. διὰ τὸ ᾧ [m ϑεώρημα A, 
corr. B (διὰ τὸ ὄγδοον ϑεώρ. S Ei) 22. στοιχείου ABS, corr. Hu 
$5. τῆς ΑΓ Co pro τῆς ΒΓ 48. συναμφότερος κῇ Α, συναμφότερος 
ἡ S, corr. B (ut mox συναμφότεραι αἱ 4E ἘΖ ABS) 


430 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


84 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἴσαι, 
ὡς αἱ ΑΒ AE, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον 
τμηϑῇ κατὰ τὰ Γ Ζ, ἔσται τὰ μείζονα τμήματα αὐτῶν 
ἴσα καὶ τὰ ἐλάσσονα ὑμοίως ἴσα. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἐδείχϑη, 
ἐστὶν ὡς ? .4 πρὸς ΑΓ, οὕτως ἢ 4E “πρὸς Z4, καὶ" 
ἐναλλαξ: — 

85 νβ΄ (8). Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ 48Γ, Οὗ κέντρον τὸ Ε, 
καὶ nli ἡ D τῆς LA, xai τῇ ΑΓ πρὰς ὀρϑὰς ἡ 4B, 
καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ BI: ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΒΓ δυνάμει τριπλα- 
σίων ἐστίν (ὡς γὰρ 3 «ΑΓ πρὸς LA, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς! 
AT ποὺς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΓ 

: ΒΖΓ τριγώνων). τε- 

ς τμήσϑω δ᾽ ἡ ΒΓ ἄκρον 

᾿ καὶ μέσον λόγον τῷ Θ, 
καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα 15 

ἔστω 7) BO, καὶ γεγε- 

γήσθω ἡ ΓῈ τῆς EZ 

δυνάμει πενταπλῇ (δυ- 

« 7 | 72 νατὸν δὲ τοῦτο" ἣ γὰρ 

ET τῆς E4 [μήκει] Ὁ 
τριπλῆ [δυνάμδι ἐνναπιλῇ]) " λέγω ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς BO 
πρὸς τὴν ΓΖ δυνάμει t ὃν & πρὸς y. : 

Κείσϑω τῇ EZ ἴση ἡ EH, καὶ ἡ ZH ἄκρον καὶ μέ- 
gov λόγον τετμήσθω τῷ K, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΚ. καὶ 

&rei εὐϑεῖα ἡ IE ξαυτῆς τμήματος τῆς ΕΖ πενταπλάσιον "5 

δύναται, καὶ 1| διπλῆ τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον 

τέτμηται τῷ K, ἡ KZ ἄρα ἴση ἐσεὲν τῇ ΖΓ διὰ τὸ 8 

ϑεώρημα τοῦ Ly στοιχείων: ὥστε xai ἡ ΓΗ͂ üxgov xoi 





3. ὡς αἱ ΑΒ BA ABS, corr. Εἰ : 3. xarà sà ΓΖ À, distinx. BS : 
7. NB A! in marg. (BS), 9' add. Hu — 8. xe) τῆς 4T πρὸς AB, corr. 
S 44. 49. τῶν AB. ΓΒ 4T. A, recte distinx. BS 43. 44. BT. Ἀ, 
di ἡ By Β', δὴ ἡ By B3S, corr. Hu 20. μήκει οἱ 44.. δυνάμει lvya- 
gÀij del. Hu (vide adnot. 4 ad Latina) — 24. ὁ ante λόγος. add: S Εἰ. 
33. πρὸς τὴν TZ AB | Co, πρὸς τὴν By S, quod in πρὸς. τὴν iy COIT. 
Sca 37. τῶι ΚΗ KZ ἄρα ΑΒ, distinx. S 4248. στοιχεέου ABS, corr: 
Hu auctore Co : : 


LIBER V. PROPOS. 45. 491 


$ 


Hinc igitur apparet, si duae rectae, velut of óe, «nter 
se aequales sint, et utraque earum extrema ac media, pro- 
portione secetur, velut in punctis y C, segmenta maiora, el 
similiter minora, inter se aequalia esse. Nam quia demon- 
strata est af: oy — δὲ : δξ, vicissim etiam est ap : ὃὲ τῷ 
«y : 0G; ergo ay τ-- OC, et γβ τε ζε "ἢ. OU 

LII (9). Sit semicirculus «y, cuius centrum e, οὐ «y ΞΞ 
3 γδ, et ipsi oy perpendicularis δβ, et iungatur y; ergo est 

Ξε 36y? (nam propter triangulorum ey βὸγ similitudi- 
nem est ay : By - By : yÓ, id est propter elem. 6, 20 coroll. 2 
&y : yÓ — ay?: βγὴ. Sed recta fy secetur extrema ac 
media proportione in puncto 2, sitque maius eius segmen- 
tum 83, et sumatur rectae ye pars eC ita, ut sit et? — ye?, 
quod quidem fieri potest; est enim γὲ — 8 δὸ eíc. ἢ ; dico 
esse $39? : ζγ3 τ 5 : 3. 

Ponatur δῇ ξξ δζ, et £m extrema ac media proportione 
secetur in puncto x, sitque maior pars Cx. Et quia qua- 
dratum a ye quintuplum est quadrati ab εζ, id esl a seg- 
mento rectae γε, et dupla εζ, id est Cp, extrema ac media 
proportione secta est in puncto x, est igitur χζ — Cy propter 
theorema 2 libri 13 elementorum; itaque etiam yy extrema 


**) Hoc corollarium neque apud Hypsiclem exstat, neque, si ub 
hac Pappi collectione absit, quisquam desideret; tamen omnibus rebus 
circumspectis causam satis idoneam, cur id interpolatori tribueremus, 
non invenimus. . 


1) Quomodo datá rectá, velut γε, pars eius εξ ita inveniatur, ut 
sit 5 ££? — y&?, Euclides demonstrat elem. 48 propositione 16 fere ex- 
trema (p. 269 ed. August.), quem locum Pappus perinde citare poterat 
ac paulo infra cap. 94, ubi genuinam scripturam ὡς ἔστιν λῆμμα ty 
στοειχεέων nostra coniectura restituimus. Sed quoniam in hac proposi- 
tione pecnliaris is casus occurrit, ut semicirculi radii £y tertia pars 
abscissa sil «d, Graecus scriptor paucissimis verbis ἡ γὰρ ΕΓ τῆς E4 
τριπλῆ significavit recitam εζ ea ratione inveniri posse quam paulo 
post initio proposilioni8 48 (p. 437) aculissime exponit; nam .quae 
recta illic est 59, ea hic notatur ec. Facile. autem apparet ista quae 
a Graeco contextu seclusimus ab interpolatore, addita esse, qui locum 
propter nimiam brevitatem obscurissimum (neque nos per eas tenebras 
nisi post multos indagandi errores Irritosque conatus penetravimus) in- 
tellegere non posset. 


Prop. 
45 


422 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ζ, καὶ τὸ μεϊζον αὐτῆς τμῆμά 
ἐστιν ἡ ZH. ἀλλὰ διὰ τὸ προδειχϑέν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ 
πρὸς τὴν ΒΘ, ἡ ΓΗ͂ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστεν ἣ ZH πρὸς 
ΖΓ. καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ZH, ἡ ΒΘ 
πρὸς τὴν ΓΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς μὲν ΒΓ δυνάμει τρι- 5 
πλῇ ἐστιν, τῆς δὲ ΗΖ πενταπλῆ, οἵων ἄρα δυνάμει ἡ .4U 
ιε΄, τοιούτων ἡ μὲν ΒΓ ε΄, ἡ δὲ ZH y: $ ΒΓ ἄρα πρὸς 
ZH λόγον ἔχει δυνάμει ὃν &' πρὸς γ΄. ὥστε καὶ ἡ BO 
πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν & πρὸς γ΄. 

86 vy (ἡ). Hai» ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ οὗ κένερον 10 
τὸ Ζ, καὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τόῦ ἀπὸ ΕΖ, καὶ τῇ 
ΑἽΓ πρὸς ὀρϑὰς ἡ BE, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἣ ΒΓ ἄχρον καὶ 
μέσον λόγον τετμήσϑω τῷ 4, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΒΖ " ὕτι 
τὰ ἀπὸ ΓΒ B4 πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΓΕ. 

Κείσϑω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΗ" * ΗΓ ἄρα àxgov καὶ μέ- 15 
σον λόγον τέτμηται τῷ E, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἢ 
EH. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ HIE ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EH, ἴση 
δέ ἔστιν ἡ ΕΓ τῇ AH (ὅτι καὶ ἡ ΕΖ τῇ ZH), ἴσον ἄρα 
τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ἀπὸ EH. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ EH, 
τουτέστιν τὸ ὑπὸ J4ET, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 0 
ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ B4 (ἐπεὶ καὶ ὡς * HE πρὸς ET, ἡ ΓΒ 
πρὸς B4). ὡς δὲ τὸ ὑπὸ .4ET πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως 
ἡ E.4 πρὸς ΕΓ [τοῦτο γὰρ δείκνυται διὰ τοῦ α’ τοῦ c 
στοιχείων, τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμ- 
πληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς .4Ε παραλληλογράμμου) ᾿ xai? 
ὡς ἄρα ἡ .4E πρὸς ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ BA. 


6. τῆς 4E HZ Αἱ, corr. A rec, BS 7. ἡ δὲ ΖΗΓ A, distinx. B 
(ἡ dà ζη τριῶν S Ei) — 8et9. δυνάμει ὃν Hu pro ὃν δυνάμεε — E πρὸς 
τὰ ΓΑ, πέντε πρὸς τὰ τρία B, πέντε πρὸς vola S Ei 40. NP A! 
in marg. (BS), ε΄ add. Hu οὗ Hu auctore Co pro xe) 4i. τὸ ἀπὸ 
TB B4 A, τὸ ἀπὸ ydf BÓ B (sed yd ut spurium notatum), corr. S 
(τὰ ἀπὸ ΓΒΔ Ei) X post πενταπλάσια add. ἐστε Ei, item vs. 48 post 
ἄρα 45. ἡ ΖΗ HT ΑΒ, ἡ add, S 47. τῶ ἀπὸ ΘΗ͂ A(BS), corr. 
Co 31. ὡς ἡ E πρὸς ABS, corr. Co (ὡς ἡ EH Ei) $3. τοῦτο — 
$5. παραλληλογράμμου interpolatori tribuit. Hu 34. στοιχεέων AB, 
στοιχείου S Ei — 26. πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΑ͂ ABS, corr. Co 


JBER V. PBOPOS. 46. 433 


ac media proportione seota est in puncto 5, maiusque eius 
eegmentum est L5 (elem. 45, 5). Sed propter superius 
lemma ὃ est y8 : 99 yy : ζ zz qb : 0x, id est ηζ: Cy; et 
vicissim igitur yf : v5 
ze 99 : Cy. lam quia 
indio demonstratum est 
αγϑ «m 3(9y?, atque est 
&y? ex 9 ηζξ (quoniam 
«y es 2s, el nb zx 205, 
el ex constructione ye? 





7. 5 xe Oy ^ - ὅ 667), est igitur 
«y? : yf? : ηἶὸ τα 18: 5:3; itaque, quia 
YS : ηξ τὸ $9 : Ly, 
823? : oy Ξξ 9:3. 


LIH (£0), Rursus sit semicirculus αβγ, cuius centrum Prop. 
D, et sit γζῶῷ 2e ὅ C67, et ipsi ay perpendicularis fe, et iuncta 
fy extrema ac media proportione secetur in puncto d, sitque 
Igaior pars 68; dico esse γβὲ -- 89? τε ὅγε. 
2 | Ponatur L7 w Ls; 
ergo &r 215 quae supe- 
riore legmmate demon- 
Síravimus recta yy ex- 
trema ac media pro- 
portione in puncto & 
secta  maiusque eius 
segmentum est ye. Et 





e D» ξ é 7 


quia est gy : δὴ τῷ δὴ : £y, 1d est 
$Qy:6y 3 6x3, et £y z: a9 (quoniam eG — Cx), itaque 
Ἢ τὰ (δ, est igitur 
«8. £y zs κῃ". Et ex hypothesi ac propter lemma 8 est 
| δῆ : 8) Ξε yB : 80"); ergo δηξ, id est 
 q«8*8y ejt — yf: Bó?, itaque (elem. 6, 4) 

*) Proximo enim lemmate demonstratum est, si recta mt (quae 
quidem illic notatur ηζ) extrema ac media proportione secetur in x, 
maiorque pars sil xc, esse x& z ἐγ; ergo in his quae supra scripta 
&auní rectae ἢ extr. ac med. prop. sectae maior pars est ey, perinde 


Ac rectae Sy inaior pars 8d. 
Pappus 1. 28 


434 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ε. 


συνθέντι ὡς 1j ΑΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ 4T 

πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ BA. 

ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ EH, τὸ ἀπὸ B4 

πρὸς τὸ ἀπὸ ἘΓ- δι᾽ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ 

ἀπὸ EH, τὰ ἀπὸ ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΈ. πενταπλάσιον 5 
δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ HE: πενταπλάσια ἄρα καὶ τὰ 

ἀπὸ lBA τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὕπερ: — 

87 »ó' (x). Τῆς δὲ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾶς ἄκρον xai 
μέσον λόγον τεμνομένης, τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἣ τοῦ δε- 
χαγώνου πλευρά. 10 

᾿Ἐξαγώνου yàg ἣ 4B üxoov 
& $$ à καὶ μέσον λόγον τετμήσϑω κατὰ 
τὸ D, καὶ ἔστω μείζων ἡ AT- 

λέγω ὅτι ἡ 4Γ δεκαγώνου ἐστίν. 

Προσκείσϑω ἡ 4.44 δεκαγώνου οὖσα" ἡ 4B ἄρα ἄκρον 15 

καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ 4. ἀλλὰ καὶ ἡ 4B τῷ Γ- 
διὰ ἄρα τὸ η΄ λῆμμά ἔστιν ὡς 7j 4B πρὸς ΒΔ, τουτέστιν 
ἡ B4 πρὸς 4.4, οὕτως ἡ B4 πρὸς AT ἴση ἄρα ἡ “44 
τῇ 41. δεχαγώνου δὲ ἣ 44^ δεκαγώνου ἄρα xai jj AT. 

88 νε΄ (9). Τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων τὸ 30 
πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ eixoca- 
ἐδρου ὃ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει. 

"Exxela9u γὰρ 

" τῆς σφαίρας διά- 

Y uesgog ἡ 4B, καὶ 5 

περὶ αὐτὴν ἡμικύ- 

xh» οὗ κένερον 
τὸ D, καὶ ἀπ᾿ αὐ- 
τοῦ ἐρϑὴ πρὸς τὴν 

B ἣ P4, καὶϑ0 

τετμήσϑω ἣ ΑΒ 

ὥστε διπλασίαν εἷ- 


3. ἔστι (sine acc.) A, ἔτι B5, ἐστὶ 8, corr. B! 1. ὅπερ om. Ei 
8. Nd Αἱ in marg. (BS), ια΄ add. Hu — 45. ovcav (sine spir. et acc.) 
A, corr. BS 46. τῷ y (post 48) S, τῶε Z AB —— 48. οὕτως ἡ 48 
ABS, corr. Co (οὕτως ἡ 4B Ei) 40. NE?" add. B, »e' S, εβ' add. Hu 








y εὖ 4 


LIBER V. PROPOS. 47. 48. 435 


a& :6€y — yf? : 80?. Gomponendo est ay : γε, id est, 
! quia «y : γβ Ξε yB : ye, 
Xy: γβὲ — yg « 80?: 80?. Sed (quia y: 80 τε 
&n : &y) est etiam 
7B? : ey? 2 0? : s&y?; ex aequali igitur 
ay? : ey? — y? -4- 80? : ey?. Sed quia ex hypothesi est 
yb. τῷ. ὅζε3, est igitur. (quia 
«y — 2γζ, el ey — 3L) 
ay? τὸ. 565^; ergo etiam 
yB? -- 803 2 5»s?, q. e. d. 

LIV (41). Si hexagoni latus extrema ac media propor- Prop. 
lione secetur, maius segmentum est latus decagoni. 37 
Hexagoni enim latus δβ extrema ac media proportione 
secetur in puncto y, sitque maior pars Óy; dico ipsam ὃγ 

decagoni latus esse. 

AÁpponatur decagoni latus δα; ergo propter elem. 43, 9 
ef extrema ac media proportione secta est in puncto δ; ita- 
que est 

«f: βὸ — βὃ: δα. Sed ex hypothesi etiam δβ extr. 

ac med. prop. secta est in y; ita- 
que propter lemma 8 est 
og : βὸ — f : ày; ergo est à» — δα. 
Sed decagoni latus est da; ergo etiam óy. 

LV (43). Polyedrorum eidem sphaerae inscriptorum pen- Prop. 
tagonum dodecaedri et triangulum icosaedri idem circulus δ 
comprehendit!) . | 

Exponatur enim sphaerae diametrus o, et circa eam 
semicirculus, cuius centrum y, et ab eo ad circumferentiam 
ducatur ipsi αβ perpendicularis yd, et recta e ita secetur, 


4) Hoc theorema, quod scriptor iam supra II] propos. 58 extr. 
breviter attigit, item in Hypsiclis de quinque corporibus libro qui 
vulgo fertur primo propos. 2 (Euclid. ed. Peyrard vol. III p. 485, 
Friedlein Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e 
fisiche, Novembre 4878, p. 10) tractatur his praemissis: τοῦτο δὲ yoa- 
φέται ὑπὸ μὲν ᾿4ρισταίου ἐν τῷ ἐπιγραφομένῳ τῶν ε΄ σχημάτων Gvy- 
χρισις, ὑπὸ δὲ ᾿Απολλωνίου ἐν τῇ δευτέρᾳ ἐχδόσει τῆς συγχρέσεως τοῦ 
δωδεκαέδρου πρὸς τὸ εἰχοσάεδρον, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ δωδεκαέδρου 
ἐπιφάνενα πρὸς τὴν τοῦ εἰχοσαέδρου ἐπιφάνειαν, οὕτως καὶ αὑτὸ τὸ 

98 * 


436 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


»a τὴν 4E τῆς ΕΒ, καὶ ὀρϑὴ ἡ EZ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν 
αἱ 4.18 ZB: ἡ ΖΒ ἄρα κύβου ἐστὶν πλευρά, ὡς ἔστιν ἐν 
τῷ (y τῶν στοιχείων ἐπὶ τοῦ κύβου. τετμήσϑω ἡ ZB 
ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ H, καὶ ἔστω μείζων ἡ ZH: | 
ZH ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶν πλευρὰ διὰ τὸ ἐν τῷ wy στοι- ὃ 
χείων ἐπιλεγόμενον τῷ δωδεκαέδρῳ. ἐπιζευχϑεῖσα δὲ ἣ 
-AT ἐκβεβλήσϑω. ἐπὶ τὸ K, καὶ xá9erog μὲν 5 ΚΘ ἐπὶ 
τὴν 418, ἐπιζευχϑεῖσα δὲ ἡ ΚΒ üxgov καὶ μέσον λόγον 
τετμήσϑω τῷ M, xoi ἔστω μείζων ἣ KM. καὶ ἐπεὶ ἡ 
μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ διπλῆ, ἡ δὲ ME τῆς EB dum, λοιπὴ τὸ 
ἄρα ἡ ΕΒ λοιπῆς τῆς ΓΕ διπλῆ. ἀλλὰ ἡ BE τῇ ΕΑ 
ἐστὶν ἴση διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς 4Γ, τὴν ΒΕ πρὸς 
EA καὶ ἣ AE ἄρα τῆς ET ἐστὶν διπλῆ. ἀλλὰ καὶ ἡ 
ΚΘ vig; OD διπλῆ" τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ OK τοῦ 
ἀπὸ ΓΘ  nerra-15 
πλάσιον ἄρα τὸ 
ἀπὸ ΚΓ τοῦ ἀπὸ 
ΓΘ’ καὶ τὸ ἀπὸ 
ΒΓ ἄρα τοῦ ἀπὸ 
ΓΘ ἐστὶν πεντα- 20 
πλάσιον. ἣ ΚΒ 
ἄρα εἰκοσαέδρου 
ἐστὶν πλευρά" τοῦ- 
τὸ γὰρ ἐδείχϑη ἐν 
τῷ wf στοιχείων. ἐπεὶ οὖν ἐν μὲν τῷ 9' λήμματι δόδεικεαε 15 
λόγος τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΘ ὃν ἔχει εὰ 
ε΄ πρὸς τὰ y, ἐν δὲ τῷ δεκάτῳ τὰ ἀπὸ ΒΚ KM πεντα- 








à E zi 


4. τὴν AE Co pro τὴν AB ὀρϑὴ ἡ CZ A, corr. BS 49. ἡ 
δὲ AE τῆς EB διπλῆ om. S, quapropter ex Latinis Commandini ἡ δὲ 
AE τῆς BE concinnavit Ei A4, 48. τῆς ΕΑ ἔστιν A, τῆς εἶ ἐστὶν 
B, τῇ corr. 8 A&. τῆς ET διπλῆ AB, corr. Co A4, 45. τὸ ἀπὸ 
EK τοῦ TE ABS, τὸ ἀπὸ ΚΘ τοῦ ἀπὸ ΘΓ Co, ordinem litlerarum re- 
stitit Εἰ — 45. πενταπλάσιον ἄρα — 18. ἀπὸ TO om. Bí, qui paulo 
post ἀπὸ KT pro ἀπὸ BP 148. ΓΘ Co pro TE — 37. δεκάτῳ Εἰ 
(. Co) pro δωδεκάτωςὨ τὰ ἀπὸ ΒΖ ZH ABS, corr. Co (τὰ ἀπὸ 
BKM Ei, itemque paulo post) 


LIBER V. PROPOS. 48. 437 


ut sit «& x» 258, et ducatur perpendicularis e$, et iungan- 
tur rectae 0A L8; ergo LG cubi latus est, ut est in libro 43 
elementorum eo loco quo de cubo agitur (propos. 45). Sece- 
tur ζβ exirema ac media proportione in puncto y, sitque 
maior pars 6G»; ergo ζη dodecaedri latus est propter corol- 
larium problematis de dodecaedro in libro 13 elementorum 
(propos. 17). luncta autem γὰ producatur ad κ punctum 
circumferentiae, et ad αβ ducatur perpendicularis «3, οἱ 
iuncta xj extrema ac media proportione secetur in puncto 
p, sitque maior pars xu. Et quia est af τ 9. βγ, et oe τα 
258, subtrahendo igitur est ef 25 2ys. Sed, quia propter 
triangulorum βγ (e similitudinem est By : yd — fe: δ}, est 
igitur βὲ s &À; itaque δὰ 2s 2ys. Sed propter iriangulorum 
y&À 99x. similitudinem est etiam Ox zx 249; ergo 9a? τ &993, 
itaque yx? εξ 5y9?; ergo etiam fy3 x- ὕγϑ3; itaque xfj ico- 
saedri latus est iuxta ea quae in libro .13 elementorum de- 
monstrata sunt?). lam quia lemmate 9 ostendimus esse 
tm? : 892 22 5 : 8, et lemmate 10. 


δωϑεχάεδρον πρὸς τὸ εἰκοσάεδρον διὰ τὸ τὴν αὐτὴν εἶναε cvSeiar (xa- 
ϑετον alii) ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ δωδεχαέδρου πεν- 
τάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰχοσαέδρου τρίγωνον. γραπτέον δὲ καὶ ἡμῖν αὐὖ- 
τοῖς ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνεε τό τὲ τοῦ δωδεκαέδρου πεντά- 
γωνον καὶ τὸ τοῦ εἰχοσαέδρου τρέγωνον τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν 
éyyoaqouévor. Atque haec quidem demonstratio, quam Hypsicles ipse 
se composuisse profitetur, similis est illi quae apud Pappum cap. 90 
sub “λλως sequitur; sed ab Hypsicle omnia in brevissimum contracta ; 
a Pappo eutem nonaulls, quibus omissis demonstrendi retio vix per- 
spici posset, recte sunt addita; alia denique, quae non minus deside- 
rari posse viderentur, a nobís in Latina interpretatione suppleta sunt.' 


2) Quoniam enim est 8y? : y9? τ 5:4, in eadem sunt proportione 
quadrata ex duplis rectis; itaque «5? — 5 9x?. Ergo propter elem. 48, 
46 et coroll, recta 9x est radius circuli, a quo icosaedrum in sphae- 
ram ef inscribitur (ita scilicet, ut circulo, cuius radius 3«, inscribatur 
pentagonum aequilaterum', cuius latus aequale est lateri triangulorum, 
quibus icosaedrum in sphaeram e inscriptum continetur). Sed ex con- 
structione, quam figura supra descripta exhibet, est x8? — 89? -- 39x?; 
ergo propter elem. 48, 40 est x8 latus pentagoni, 9 decagoni, Ox 
hexegoni eidem cireulo inscriptorum. Sed est 9x — 2*3; itaque af Ξε 
9x τ 289; ergo propter elem. 413, 16 coroll. 9x est letus hexagoni et 
£9 latus decagoni ei circulo inscriptorum, unde icosaedrum constituitur. 
Sed demonstravimus x8 esse latus pentagoni eidem circulo inscripti; 
ergo x9 est latus icosaedri in sphaeram «f inscripti. - 


438 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


πλάσια τοῦ ἀπὸ ΒΘ, τὰ ἄρα ἀπὸ BK KM τριπλάσια τοῦ 
89 ἀπὸ ΖΗ. ἐκκείσϑω οὖν κύχλος ὃ περιλαμβάνων τὸ τρέ- 
ycvo» τοῦ εἰχοσαόδρου, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τυχοῦσα 
διηγμένη ἡ NA ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσϑω τῷ Ο, 
" xoi μεῖζον ἔστω τμῆμα τὸ ΟΝ: δεκαγώνου ἄρα 7. NO διὰ 5 
τὸ προδειχϑέν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου 
τοῦ εἰς τὸν κύκλον οὗ κέντρον τὸ N γραφομένου τριπλασία 
ἐστὶν δυνάμει τῆς ΝΞ ἐκ κέντρου, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ βι- 
βλίῳ στοιχείων, ἦν δὲ ἣ τοῦ τριγώνου ἡ ΚΒ, τὸ ἄρα 
ἀπὸ τῆς ΚΒ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΝΞ. καὶ εἰσὶν ἀμφό- 10 
τεραι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημέναι" διὰ τὸ ἐν ἀρχῇ 
τοίνυν ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ, ἡ KM πρὸς NO. καὶ 
τὰ τετράγωνα. καὶ ὡς ἕν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα" 
τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚΙ τῶν ἀπὸ ἘΝΟ ἐστὶν τριπλάσια. ἐδεί- 
χϑη δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΗ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚΙΜ τριπλάσια" 15 
ἴσα ἄρα τὰ ἀπὸ ΞΝΟ τῷ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΝΞ 
ἑξαγώνου, ἣ δὲ NO δεχαγώνου" ἡ ZH ἄρα πενταγώνου 
ἐστὶν πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύχλον, οὗ κέντρον τὸ Ν, γρα- 
φομένου (δέδεικται γὰρ àv τῷ ιγ΄ στοιχείων καὶ τοῦτο). 
ἡ δὲ ΖΗ πενταγώνου οὖσα πλευρὰ καὶ δωδεκαέδρου πλευρά 20 
dct.» ὃ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ 
εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου. 


90 vc" (w'). Ἄλλως ὅτι 6 αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ 
εἰκοσαέδρου τρίγωνον καὶ τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον. 


Ἐκχκείσϑω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς αὐτὴν δω- 25 
δεκάεδρον καὶ εἰκοσάεδρον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου 


——— —Ó—— 


4. ἄρα ἀπὸ ΒΖ ΖΘ ABS, corr. Co, 4. τῷ O Co pro τῷ 6 
8. τοῦ ante χένερου add. Ei — v» τῶι r À, ἐν τῷ τρ τρίτῳ S, corr. B 
40. τοῦ ἀπὸ ME AB, corr. S 42. ὡς ἡ ΒΖ τῆς NE ἡ ZH πρὸς NO 
ABS, corr. Co 43. ἕν πρὸς ἕν idem pro ἔμπροσϑεν 14, ἀπὸ 
BKM idem pro ἀπὸ BKH 45. ἀπὸ τῶν ΒΖ ZH AS, ἀπὸ τῶν βὲ 
i» B cod. Co, ἀπὸ τῶν BK KM Co (quod in BKM coniunx. Ei) 
46. τὰ ἀπὸ ENI A, τὰ ἀπὸ Evo B, corr. 8 τῶι ἀπὸ EN ABS, corr. 
Co 30. 94. ἡ δὲ ZH δωδεκαέδρου οὖσα πλευρὰ xal πενταγώνου 
πλευρά ἐστιν Εἰ 414. τὸ ABS, τό τε Εἰ 48. Ng Αἱ in marg. (BS), 


LIBER V. PROPOS. 48. 439 


Bx? -- xu? Ξῷ 5683?, est igitur 
8 ζη2 $024 xu. 


Iam exponatur circulus ico- 
saedri triangulum (cutus latus est 
xB) comprehendens, cuius cir- 
culi a centro ad circumferentiam 
ducatur quaelibet »5, quae ex- 
trema ac media proportione se- 
cetur in puncto o, sitque maius 
segmentum »o; ergo propter su- 
perius lemma 141 decagoni latus 
est »o. Et quia xf erat latus 
trianguli circulo, cuius radius »5, inscripti, propter elem. 
43, 12 est 

xf τὸ. 3»£?. Et utraque xf »5 extrema ac media pro- 
portione secta est; ergo propter superius 
lemma 8 est 
xf: v»5$ τὸ xu:»o. Atque item quadrata 
x? : v5? — xu? : vo?, id est, ut statim ostendimus 
τς 3: 4; itaque etiam summà factà 
Bx? -- xu? : ἔν νοῦ — 3: 4. Sed demonstravimus 
Bx? -- xu? e 305^; ergo est | 
b? zz by? “ὦ vo?. 
Atqui ἔν hexagoni, et vo decagoni latus est; ergo propter 
elem. 43, 10 ζη latus est pentagoni circulo, cuius centrum 
», inscripti. Sed eadem i», quemadmodum initio (p. 437) 
demonstravimus, est dodecaedri latus in sphaeram af in- 
scripti; ergo idem circulus et icosaedri triangulum et dodeca- 
edri pentagonum comprehendit. . 

LVI (13). Aliter demonstratur eundem circulum et ico- 
saedri triangulum et dodecaedri pentagonum comprehendere 
hoc modo. | | 

Exponatur sphaera, cuius diametrus af, in eamque et 
dodecaedrum et icosaedrum inscriptum esse fingatur, et do- 





ιγ΄ add. Hu 23. 24. ὅτι --- πεντάγωνον om. Ei 48. ὅτι ὁ] ὅτι 
(sine acc.) A, ὅτι B5, ὁ B!, corr. S 


440 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATDTHZ F. 


πεντάγωνον τὸ ΓΔΈΖΗ κύχλῳ περιεχόμενον τῷ IAE, εἰ- 
χοσαέδρου δὲ τρίγωνον ἐν κύκλῳ τῷ IIPZ: λέγω Bw. oi 


a β 





μ t » 


κύχλοι ἴσοι εἰσίν, τουτέστιν ὃ αὐτὸς κύχλος περιλαμβάνει 
τὸ πεντάγωνον καὶ τὸ τρίγωνον. | 
Ἐπεζεύχϑω ἡ ED: κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν ὃ 
- “- , , € Ld 4 
σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ" τοῦτο γὰρ 
ἐδείχϑη ιγ΄ στοιχείων. εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ 
K, καὶ κάϑετος ἀπ᾽ αὐτοῦ ἡ ΚΑ, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἐτιὲ 
τὰ ΓΘ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ EO: δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ 
ΕΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν 10 
ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ OK, τὰ ἄρα ἀπὸ IE ΕΘ ΘΚ 
πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον 
M 3 4 [od € M v ' M [4 
τὸ ἀπὸ τῆς EZ (v γὰρ tob πενταγώνου πλευρὰ δύναται 
τήν τε τοῦ ἑξαγώνου xai τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν 
αὐτὸν κύχλον ἐγγραφομένων, ὡς ἔστιν ty στοιχείων) " τὰ 15 


91 ἄρα ἀπὸ ΓΈ EZ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ OK. ἐκκείσϑω 


δὴ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἣ 4B καὶ εὐθεῖά τις ἡ 
MN, ὥστε πενταπλάσιον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ MN, 
ὡς ἔστιν λήμμα ιγ΄ στοιχείων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαί- 


—— 





?. τῷ edd. Hu — 4. τό re ΓΖΈΖΗ πεντάγωνον καὶ τὸ ΠΡΣ τρί- 
γωνον Ei ex Hypsicle 7. στοιχείω À, Otoiyt(o S Ei, corr. B 


LIBER V. PROPOS. 48. 441 


deeaedri pentagonumt γδεζὴ contineatur circolo »óe, icosaedri 
autem? triangulum cireulo πρῦ: dico eos cireulos aequales 
esse, id est, eundem circulum et pentagonum dodecaedri et 
wiangulum :cosaedri comprehendere. 

Iungatur £y; haec igitur cubi letus est ih eandem sphae- 
rám cum dodeecaedro inscripti iuxta ea quae in libro 43 ele- 
mentorum demonstrata sunt?). Sumatur circuli centrum x, 
a quo ad quodlibet pentagoni latus, velut sb, ducatur perpen- 
dicularis xA producaturque ad y 9 puncta circumferentiae*), 
et iungatur £9; haec igitur decagoni latus est. Et quia est 

y9? τῷὸῊ &39x?, id est (quia angulus γεϑ, ut in semicir- 

culo, rectus est) 
γε2 -- &€9? τῷεα & 9x?, sunt igitur 
y€? 4- €9? -.- 9x? — 529x?. Sed propter elem. 13, 40 
| sunt 

493 -4- 9x3 — sD?; ergo 

γεξ - c2. 59. 
Exponatur igitur (u£ iam supra significavimus) sphaerae dia- 
metrus «6, et recta uv ila consiruatur, ut sit a9? — 5u»?, 


3) Etenim iuncta δὲ rectam yes secet in puncto o; in hoc igi-. 
tur ipsa ye extrema ac media proportione secta maiorque pars est 
jo z yd propter elem. 43, 8. Sed est yd" dodecaedri latus; ergo prop- 
ter elem. 18, 17 coroll. ye cubi latüs est. Quod &utem nos et rectam 
δὲ et punctum o addidimus, cum haec duo et a Graeco contextu, qui 
nunc exstat, el à figura in codicibus tradita absint, sine dubio ex mente 
ipsius Graeci scriptoris fecimus, qui cum litterarum seriem usque ad & 
adhibuerit, certe unam o omittere noluit. 


4) Tamquam consentaneum omisit scriptor demonstrare productam 
Àx caderé in ipsum y verticem anguli pentagoni. At rectius, nisi fal- 
lor, práécipere poterat, ut ex puncto y per centrum duceretur recta 
yx49. etc. 


8. 9. ἐπὶ τὰ ΓΘ A, distinx. BS " 413. ἐστὶ ante τὸ ἀπὸ add. Ei 
45. χύχλον ov γραφομένων Αἱ, ex ον fecit &vy (sic) A?, corr. BS 
46. ἀπὸ E ΘΖ ABS, corr. Co 49. ὡς — στοιχεέων om. Co Ei 
ιγ΄. d, e. τρισκαιδεχάτου Hu, ὁ A, κ᾽ B, x S, εἰχοστὸν e Paris. 9868 
descripsit Waitzius (forsitan in x lateat elem. libri 48 propos. 416 men- 
tio pet formulam à» τῷ εἰχοσαέδρῳ, ut paulo post) | 


442 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


ρας διάμεερος δυνάμει πενταπλασία τῆς ἐκ τοῦ κένερου 

τοῦ κύκλου ἀφ᾽ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον, ὡς ἔστιν uy στοιχείων" 

» ev , » * - , 3 32 δον 23 

ἐχ τοῦ κέντρου ἄρα &gTi»v τοῦ χύχλου ἀφ᾽ οὗ τὸ εἰκοσάδδρον 

ἡ MN. τετμήσϑω ἡ MN ἄχρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ 

Ξ, καὶ ἔστω μείζων ἡ Μ΄ δεκαγώνου ἄρα ἡ ME διὰ 105 
ια΄ λῆμμα. καὶ ἐπεί ἐστιν τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ MN 





πενταπλάσιον, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ 48 τοῦ ἀπὸ TE τῆς 
πλευρᾶς τοῦ κύβου τριπλάσιον, ὡς ἔστιν Ly στοιχείων, 
τρία ἄρα τὰ ἀπὸ LE ἴσα ἐστὶν & τοῖς ἀπὸ MN. ὡς δὲ 
τρία τὰ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ I4, οὕτως πέντε τὰ 10 
ἀπὸ MN πρὸς πέντε τὰ ἀπὸ ΜΒ (τῆς γὰρ ΓΕ κύβου 
πλευρᾶς ἄχρον xoi μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον 
τμῆμα ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά, ὡς ἔστιν ty' στοι- 
χείων) τρία ἄρα τὰ ἀπὸ DE καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα 
ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ MN καὶ πέντε τοῖς ἀπὸ Η͂Ξ. mnévse15 


4. ἀφ᾽ οὗ Εἰ ex Eucl. elem. 48, 46 pro ἐφ᾽ οὗ, item proximo 
vs. 8. τοῦ χύχλου add. Ei auctore Co 6. ««' Ei auctore Co, d À, 
ó B, ὃ 8 (τέταρτον descripsit Waitzius) 7. 8. τῆς τοῦ κύβου πλευ- 
ρᾶς Ei 8. στοιχείω À, στοιχείῳ S Ei, corr. B, item vs. 18 9. τοῖς 
ἀπὸ MH AB, corr. S 49. δωδεχαέδρου] πενταγώνου temere Ei 


LIBER V. PROPOS. 48. 443 


sicut lemmate quodam libri 13 elementorum traditur 5). Sed 
propter elem. 13, 46 coroll. quadratum a sphaerae diametro 
item quintuplum est quadrati a radio circuli, unde' icosa- 
edrum ín eandem sphaeram inscribitur9); ergo eius circuli 
radius est μν.  Secetur u» extrema ac. media proportione in 
puncto £, sitque maior pars,u$; ergo propter lemma 11 μὲ 
est decagoni latus. Et quia est 
af -ῷ 5u»?, atque propter elem. 13, 45 (demonstra- 
vimus enim γε cubi latus esse) 
a? — 3ye?, sunt igitur 
. 9y&? z 5yuy?. Sed quia rectae ye, quae est cubi la- 
tus, extrema ac media proportione sec- 
tae maius segmentum est dodecaedri 
latus, ut est libro 43 elementorum ἢ» 
sunt igitur propler lemma 8 
3 ye? : 3y0? — ὅμν2 : 5uE^; itaque, quia ὅ γεῖ — ὃ μνϑ, 
propter elem. 5, 9, eL quia 
γὸ — εξ, 


5) His verbis Pappus eius quem citat libri propositionis 46 parti- 
culam quandam fere extremam (p. 269, 8—412 ed. August.) significat. 
Hoc enim loco elementorum scriptor, posiquam initio praecepit τετμή- 
09o (ἡ 4B) κατὰ τὸ Γ, ὥστε τετραπλὴν εἶναι τὴν 4Γ τῆς ΓΒ, verbis 
χαὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἔστιν cet., singularis lemmatis inster, docet, quo- 
modo ea recía inveniatur, cuius quadratum sit quinta pars quadrati a 
data recta «8. Itaque, quod hoc loco propositum est, datá rectá af, 
rectam u» statim inveniemus, si rectee ef quintam partem fecerimus 
γβ, et in semicirculo, cuius diametrus «f, perpendicularem duxerimus 
yd, et iunxerimus df eique aequalem fecerimus uv. Est énim αβ : 8d 
z 80: yB; itaque «8?: 80? τ aB: yf x 5:4.  (Figuram vide apud 
Euclid. l. c.) 


6) .Conf. supra p. 437 adnot. 2. 


7) Hoc ex elem. 18, 8 similiter ac supra adnot. 3 demonstratur; 
nam rectae γε extrema ac media proportione sectae maior pars est 
yo — yd, id est ex hypothesi dodecaedri latus. 


44. τὰ ἀπὸ ZE] τὰ ἀπὸ AE ABS, τὰ ἀπὸ 4E Co, τὰ ἀπὸ. ΓΑ Εἰ, 
corr. Hv 


444 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ E. 


δὲ τὰ ἀπὸ MN xai πέντε τὰ ἀπὸ ME ἴσα ἐστὶν πέντε 
τοῖς ἀπὸ ΡΣ, ὡς ἐν τῷ εἰχοσαέδρῳ εγ' στοιχεέων δεέκνυ-- 
ται" πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ PX ἴσα ἐστὶν τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΓΕ 
x«i τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ. ἀλλὰ πέντε μὲν τὰ ἀπὸ ΡΣ ioa 
ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τὴς ix τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ὃ 
τοῦ περὶ τὸ IIPZ γραφομένου διὰ τὸ ιβ' τοῦ wy στοι- 
χείων. τρία δὲ τὰ ἀπὸ LE xai τρία τὰ ἀπὸ ZE ἴσα ἐστὶν 
ϑεχαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ χόνερου τοῦ κπύχλου τοῦ 
περιγραφομένου περὲὸ τὸ l'AEZH πεντάπλευρον (ἐδείχϑη 
γὰρ τὰ ἀπὸ ΓΕΖ τοῦ ἀπὸ OK πενταπλάσια) ' δεκαπέντε 10 
ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ IIPEZ τρίγω- 
vov κύκλου ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέν- 
ρου τοῦ περὶ τὸ ΓΖΩΈΖΗ κύκλου" ὥστε καὶ τὸ ἕν τῷ ἕνὶ 
ἴσον" ἡ ἄρα διάμετρος ἴση τῇ διαμέτρῳ, καὶ ὃ κύκλος τῷ 
χύχλῳ᾽ ὃ αὐτὸς ἄρα κύχλος περιλαμβάνει τό τε τοῦ δω- 15 
δεκαέδρου πεντάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου τρέγωνον 
τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων. 

92 νζ΄ (ιδΊ. Τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων τὰ 
δώδεκα πεντάγωνα μείζονά ἐστιν εἴχοσι τριγώνων. 

Ἔστω κύκλος ὃ περιλαμβάνων τὸ τε τρίγωνον τοῦ εἰ- 320 
χοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου ὃ BIAE, 
καὶ ἐγγεγράφϑω εἰς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ἡ ΒΕ, 
πενταγώνου δὲ ἡ L4, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ ei- 
λήφϑω τὸ κέντρον τοῦ χύχλου τὸ ΑΙ, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ χκάϑε- 
tog ἐπὶ τὰς παραλλήλους ? 4ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 25 
AB AT 44 AE ΒΘ ΓΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΕ τριγώνου πλευρά 
ἐστιν, ἣ ΒΘ ἄρα ἑξαγώνου ἐστίν. πάλεν ἐπεὶ ἡ I'd πεν- 


9. ιγ΄ στοιχείων uncis seclusit Ei 4. ἀπὸ ΖΕ Hu pro ἀπὸ 4E, 
item vs. 7 5. δεχαπέντε Hu, δὲ καὶ πέντε ABS, déxa xal πέντε Co 
Ei, item vs. 8 τῆς ἐχ add. Ei τοῦ κύχλου bis scripta in A 


6. διὰ τὸ Z AB, διὰ τὸ ἕβδομον S, corr. Ei auctore Co στοιχείου 
ABS, corr. Hu auctore Co 8. ἀπὸ τῆς δα. Εἰ 410. δεκαπέντε Ei, 
δὲ καὶ πέντε ΑΒ, καὶ πέντε 8 44. ἀπὸ τῆς Ei pro ἀπὸ τῶν 

49. δεχαπέντε Ei pro δὲ καὶ πέντε 48. τὸ ἕν Ei auctore Co pro τὸ 
ἐν 418. Νῖον add. B, νῷ S, id' add. Hu 80. τὸ t€ τρέγωνον 8, 
τὸ τετράγωνον ΑΒ 41. 6 4BI'AE AB, corr. S 986. ΒΘ ΄ΤΘ add. ἣν 








LIBER V. PROPOS. 49. 445 


33y 4-350 — 549? τ 5uP. Βεὰ quia δα sis quae 
libro 413 elementorum in 
problemate de icosaedro 
demonstantur9) efficitur 
esse 
ὕ (uv? 4- u&3) τε 500?, sunt igitur 
3 (y 4- eL) τα ὕὅρσ!. Sed propter elem. 43, 48 su. 
500? ται 45 (rad. cireuli szga)?, et, quia supra demon- 
Swevimus je? 4- ἐζξ πε 59x, sunt 
3 (ye? -- C2) — 15 (rad. circuli γδεζη) 3; 
erga radius circdli circa triangulum zog descripti aequalis 
est radio circuli cirea pentagonum γδεζη descrip, itemque 
diametri aequales, atque ipsi circuli; ergo idem circulus et 
dodecaedri pentagonum et icosaedri triangulum in eandem 
sphaeram inscriptorum comprehendi. 
LVII (44). Duodecim pentagona circulo inscripta maiora Prop. 
sunt viginti triangulis eidem circulo inscriptis. 
Sit circulus Byde et ico- 
pU T saedri triangulum et dodecae- 
dri pentagonum  comprehen- 
dens (propos. 48), in eumque 
inscribatur et trianguli latus fe 
et pentagoni yÓ, quae imfer se 
parallelae sint, et sumatur cir- 
culi centrum «, ab eoque ad 
parallela ducatur perpendicu- 
laris αζηϑ, et iungantur af ay 
' ad ac 89 y9. lam quia fe trianguli latus est, hexagoni 
igitur est 99. Rursus quia γδ pentagoni est, decagoni igi- 





8) Scilicet supra p. 443 scriptor primum ex elem. 43, 46 demon- 
Stravit μὲν esse radium circuli, unde icosaedrum oonstituitur, id est la- 
tus hexagoni eidem circulo inscripti (elem. 4, 45 coroll.); tum μὲ esse 
latus decagoni eidem olrculo inscripti. Sed ex hypothesi rursus prop- 
ter elem. 48, 46 oc est latus pentagoni eidem circulo inscripti; ergo 
propter elem. Na 40 'est. 90? ex us? -- pP. 


446 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


ταγώνου ἐστίν, ἡ ΓΘ ἄρα δεκαγώνου ἐσείν. καὶ κάϑετοί 
eicw α ΒΖ FH: μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΑ͂ τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ͂ 
διὰ τὸ ἑξῆς" μεῖζον ἄρα καὶ τὸ 41Γ4 τρίγωνον τοῦ .4BE 
τριγώνου καὶ ξ΄ ἄρα τρίγωνα τὰ D44 ξ' τριγώνων τῶν 
Β4Ὲ μείζονά ἐστιν. ἀλλὰ E' μὲν τὰ F44 τρίγωνα τὸ 
δωδεχάεδρόν ἐστιν (ἕκαστον γὰρ πεντάγωνον πέντε ἔχει 
τρίγωνα ὅμοια τῷ ΓΑ4), E' δὲ τὰ ΒΑΕ τὸ εἰκοσάεδρόν 
ἐστιν (ἕκαστον. γὰρ τρίγωνον τρία ἔχει ὅμοια τῷ B.AE): 
μείζονα ἄρα τὰ δώδεκα πεντάγωνα εἴκοσι τριγώνων τῶν 
εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. 10 
93 vp (w). TO ὑπερτεϑέν. ἔστω κύκλος ὃ BIA οὗ 
κέγερον τὸ K, καὶ διάμετροι πρὸς ὀρϑὰς ἀλλήλαις αἵ ΑΓ 
BA, καὶ ξξαγώνου μὲν περιφέρεια ἣ 4E, δεκαγώνου δὲ ἢ 
AZ, καὶ αἱ ΕΘ ZH κάϑετοι ἐπὶ τὴν B4 διάμετρον" ὅτι 
τὸ ὑπὸ ZHK μεῖζόν ἐσειν τοῦ ὑπὸ EOK. - 15 





Ἔστω γὰρ ὀκταγώνου $ 40: οἵων ἄρα ὃ κύκλος sb, 
τοιούτων ἡ μὲν AE ξ’, ἡ δὲ 42 Àc', ἡ δὲ ΟΖ με’ λοιπὴ 
ἄρα ἣ ZO 9', ἡ δὲ OE ιε΄. κείσϑω οὖν τῇ ZO ἴση ἡ 
ΟΡ. xai λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΡ τῇ 42 ἴση ἐστίν. ἐπιζευχϑεῖ- 


LIBER V. PROPOS. 50. 441 


tur est γϑ. Et perpendiculares sunt 9C 5; ergo est ym- ya 
» βζ. ζα propter proximum /emma; itaque étiam, quia rec- 
tangulum yn. ga Ξε Δ αγδ, et βζ Co — Δ age, 
60 Δ ayà » 60 A afe. 

Sed 60 triangula αγὸ dodecaedri superficiem efficiunt (nam 
singula dodecaedri pentagona constant 5 triangulis aequalibus 
ipsi αγδ), et 60 triangula effe icosaedri superficiem efficiunt 
(nam singula icosaedri triangula constant 3 triangulis aequa- 
libus ipsi efe); ergo 19 pentagona maiora sunt 20 triangu- 
lis eidem circulo inscriptis. 


LVII (45). Sequitur id quod modo dilatum est. Sit cir- Prop. 
culus ef»ó circa centrum x, eiusque diametri invicem per- 
pendiculares «y βδ, et sit hexagoni anguli circumferentia δὲ, 
decagoni autem ὅὃζ, et ducantur &9 Cm perpendiculares ad 
diametrum; dico esse Cm. px » &9 - 9x. 

Sit enim octagoni anguli circumferentia 3o; | ergo est 


circumferentia | ' 
δὲ — 609 
δζ — 36? 
Qo z 45? 
et per subtractionem 
. Co -- 009 
80 z 45? 


Iam ponatur og — C0; ergo, quia «o — οὗ, etiam ag — 
C0. Et iungantur £s Co, quibus productis ad ipsas quoque 


4. δωδεχαγώνου AB cod. Co, corr. S Co 3. μείζων À, corr. 
BS ὑπὸ ΓΗΔ Co, ὑπὸ ΓΗ͂ ἀπὸ AB, ὑπὸ yg S. 4. τὰ ΓΔΑ €] τὰ 
PlA4AR ΑΒ, τὰ γαδ ἑξήκοντα S Ei 4. 5. τῶ ΒΑΘ A, τῶν βαϑ BS, 
corr. Ei (triangulis 4BE Co) — 5. μὲν οἱ τρέγωνα om. Εἰ 6. 7. Éxa- 
στον — τῷ ΓΑΔ om. Ei 7. τῶ DA. AR ΖΕ τὰ BAE A, τῷ et ce- 
tera perinde B, τῷ om. et reliqua distinx. S 9. εἴχοσι BS, ΚΑ 
44. NH Αἱ in marg. (BS), ἐε΄ add. Hu 42. τὸ K Co pro τὸ E 
44. χάϑετοι ἐπὶ τὴν B4 AB, κατὰ, omissis reliquis, S, χκάϑετοι ἐπὶ τὴν, 
omisso B4, Ei . μὲ B Paris. 3868, μέλ, με S 48. ἄρα 
ΖΟΘ ἡ δὲ ΟΕ ΤΕ " Paris. 4868, ἄρα ζ o 9 οἱ cetera perinde S, di- 


stinx. Co, ἡ add. Ei 


448 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTH3 E. 


σαι δὲ αἱ ΖΕ ΖΡ ἐχβεβλήσϑωσαν καὶ ἔστωσαν ὡς αἱ 

NEZR .ἹΡΖΙΗ εὐϑεῖαι" ἐπιζευχϑεῖσα ἄρα. καὶ ἡ KO δίχα 

τε καὶ πρὸς ὑρϑὰς τεμεῖ τὴν ΖΡ. τεμνέτω xosd τὸ X. 

xai ἐπεὶ ἡμίσους ὀρϑῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΟΚΑ͂ 

OKM, ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν KM τῇ KA, μείζων δὲ ἡ KE5 

πολλῷ τῆς KN. καὶ ἔστιν ὡς ἣ NK πρὸς ΚΞ, ἡ ZH 

πρὸς HE: ἐλάσσων ἄρα καὶ ἣ ZH τῆς ΗΞ. ἀλλὰ $ ZH 
μείζων ἐστὶν τῆς ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὴν ΑΚ καϑέεου, τουτ- 

ἔστεν τῆς ΘΚ (τῇ γὰρ ἀπὸ τοῦ P καϑέτῳ ἴσῃ ἐστὶν ἡ 

ZH): ἡ HO ἄρα πρὸς ΘΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς 10 

(o τὴν HA. καὶ συνθέντι ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ μείζονα λόγον ἔχει 
ἤπερ 5 OR πρὸς τὴν MH, τουτέστιν ἥπερ $ EO πρὸς τὴν 
ΖΗ: τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν. ἐστιν τοῦ ὑπὸ EOK. 

94 v8 (wc). Ἐὰν τρέγωγνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν πρὸς τῇ 
κορυφῇ γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρϑῆς καὶ ἰσόπλευρον 15 
αὐτῷ ἴσον ἢ, δείκνυται τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύ- 
ρου πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς [πλευρᾶς] τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ 
ἰσοσκελοῦς ἐλάσσονα λόγον ἔχον ἤπερ εὐϑείας ἄχρον καὶ 
μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντά- 
κις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος. . 20 

Ἔστω ydg ico- 
σχελὲς τρίγωνον τὸ 

BAE ἔχον τεσσάρων 

πέμπτωῳν τὴν πρὸς 

τῷ E περιξειλημμέ- 25 

vp» χύχλῳ οὗ κέν- 

τρον τὸ E xai διά- 
μότρος ἡ 4EZT xà- 

Sevog οὖσα ἐπὶ τὴν 

4’ koi 1 BZ. 30 
ἄρα ἐστὶν ἢ BZ4A 
πλευρά. δὲ» δὲ 


ἀπολάβωμεν δκχατέ- 





4. 4. αἱ NE ΖΕ AP. ZM AB, coniunx. S, 44 pro .4 corr. Co 
4. ἐπιζευχϑεῖσαι A, corr. BS ἡ KO Co pro ἡ ΚΘ 4. καὶ ἐπι A(B), 


LIBER V. PROPOS. δ4. 449 


΄ 


productas κα xd fiant reotae νεζξ Aoc; iuncta igitur «o rec- 
tam ζρ bifariam οὐ ad rectos angulos secabii (elem. 6, ὅδ. 
4, 9). Secel in puncto c. Εἰ quia est 
L oxÀ -Ἔ Loxu τῷ 18, est igitur Δ οκὰ zz Δ oxy, itaque 
x e» XM. Sed quia circumferentiae punctum e cadit inter 
. δ ζ, est. χὰ 0» wv, et χμ « x5; itaque multo 
|. x$ 5 ow. Εἰ propter parallelas vx: tm est 
x5: x» xx nb : v; ergo 
p5 "i. Sed yj maior est perpendieulari quae ab ε 
| ad ex ducitur (nam perpendiculari quae a 
p ad eandem ax ducitur aequalis est 7.) ; 
ltaque, quia perpendicularis. ab & ad ax ipsi 
x9 aequalis est, 


nb * x9: ergo propter elem. 5, 8 est 

99 : x9 2» 99 : 25. Et componendo (infra VII propos. δ) 

9x : 49 5» 95: En, 1d est propter parallelaos 9& qt 

! 00 089 : ζῆ; ergo p apier VII propos. 16 

pue a9 32. 

LIX (16), 8i sit triengulum aequioPure, cuius ad ver- Prop. 
deem angulus sit quattuor quinterum -poaréun recti, eique 
aequale triangulum aequilaterum, demonstratur quadratum 
ah uno aequilateri latere ad quadratum ab uno aequalium 
aequioruris laterum minorem proportionem habere quam, si 
recta quaedam extrema ac media proportione secetur, qua- 
dratum a tota ad quintuplum quadratum a minore parte. 

.Sit enim triangulum aequicrure βεδ, cuius ad verticem 
& Angulus sit τὸ $R, idque comprehendatur circulo, cuius 
centrum 6, ét diametrus asi» ad rectam 0 sit perpendicula- 
ris; ergo recta βζδ᾽ pentagoni circulo inscripti latus est. Sin 
eoe. S. ἡμισεέας᾽ 8, ἡμίσεια Εἰ — 6. óc ἢ K AB, ὡς qx S, corr. Co. 
44. »39 "add. B, v9 8, ic add. Hu Ἐὰν ἢ τρίγωνον Ei — 45. γωνέχε À 
ἰγωνέᾳ B), corr. 8 46. αὐτῶ ἴσον ἡ, αὐτῷ ἴσον ἢ B, αὐτῷ 7, omisso 
ἴσον, S. ἴσον αὐτῷ, omisso 7j, Ei 16. 17. τοῦ ἰσοπλεύρου ---- πλευρᾶς 
οἴη. S Ei, quam corruptelam incredibili socordia adeo auxit, Ei, ut vs. 48 
post ἰσοσχελοῦς adderet πρὸς τὴν τοῦ ἰσοπλεύρου, quamquam verum apud 
Commandinum videre poterat 47. πλευρᾶς del. Hu auctore Co 
38. ἐμπεριειλημμέρη (post tQ E) A, ἐμπεριειλημιμένῃη B, ἐριπεριειλημ- 
μένην S Ei, corr. Hu (in € (orsitan lateat compendium vocabuli σημείῳ) 

Pappus I. 29 


450 IIAIIIOY ZYNATOTHS FE. 


ραν τῶν ΓΗ ΓΘ περιφερειῶν δωδεκαγώνου, xai ἐπιζεύξωμεν 
᾿τὴν HO καὶ τὰς EH ΕΘ, ἔσται ἰσόπλευρον τὸ EHO. καὶ ἐὰν 
ἀγάγωμεν ἐφαπτομένην τὴν ΚΓΑ͂, ἔσται καὶ τὸ EK 4 τρί- 
γωνὸον ἰσόπλευρον. καὶ ἐὰν ϑέλωμεν ἁρμόσαι ἴσον τῷ BAE 
τριγώνῳ, δείκνυται ὅτι μεταξὺ πίπτει τῶν OEH ΚΕΑ͂, covs-5 
ἐστιν τοῦ μὲν EHO μεῖζον ἔσται τοῦ δὲ ΚΕ.“ ἔλασσον. 

95 Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ OE πρὸς τὸ ἀπὸ 
EM ὃν δ΄ πρὸς y, ἴση δὲ ἣ OE τῇ ED, λόγος ἄρα 
καὶ τοῦ ἀπὸ ED πρὸς τὸ ἀπὸ EM ὃν δ΄ πρὸς y. ὡς δὲ τὸ 
ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ EM, τὸ ἀπὸ K.4 πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ, 10 
τουτέστιν τὸ KE.4 τρίγωνον πρὸς τὸ EHO τρίγωνον. καὶ 
τὰ ἑξαπλᾶ" τὸ περιγεγραμμένον δξάγωνον πρὸς τὸ ἐἔγγε- 
γραμμένον λόγον ἔχει ὃν δ' πρὸς γ', τουτέστιν ὃν ιβ΄ πρὸς 
ϑ΄. τοῦ δὲ περιγεγραμμένου ἑξαγώνου πρὸς ε΄ τρίγωνα τὰ 
KE.4 λόγος ἐστὶν ὃν ιβ' πρὸς V^ καὶ πέντε ἄρα τρέγωνα 15 
τὰ ΚΕ μείζονά ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἑξαγώνου " πολλῷ 
ἄρα τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου μείζονά ἔστιν (ἐν γὰρ 
κύκλῳ τὸ ἐγγεγραμμένον πεντάγωνον ἰσόπλευρον τοῦ ἔγγρα- 
φομένου ἑξαγάνου ἔλασσόν ἐστιν) * ἔλασσον ἄρα τὸ 4388 τοῦ 
KE 4. 20 

éyo δὴ ὅτι 
καὶ τοῦ ΕΗ͂Θ μεῖ- 
ζόν ἐστιν. εἰλήφ- 
ϑὼ γὰρ ἡ ΓΝ πε- 

ριφέρεια ἑξαγώνου 2» 

καὶ κάϑετος ἡ NS. 

καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ 
πρὸ τούτου τὸ ὑπὸ 

AZE μεῖζόν ἔστιν 

τοῦ ὑπὸ NAE, xai 3O 

ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ 

NAE τὸ ὑπὸ GME 

(πάντα γὰρ πᾷσίν 

ἐστιν ἴσα), καὶ τὸ 

ὑπὸ 4ΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ OME, ὥστε καὶ τὸ 36 

BAE τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν τοῦ GEH τριγώνου. 





" LIBER V. PROPOS. 54. 451 


vero circumferentias yn y9: ita abseiderimus, wt utraque dode- 
cagoni angulo insistat, et rectas η9 δὴ &9 iunxerimus, triangu- 
lum 562 aequilaterum erit (elem. 4, 415). Et si tangentem xy4 
duxerimus, propter parallelas $9: ἀκ etiam triangulum Aex ae- 
quilaterum erit. lam si triangulum aequilaterum aequale trian- 
gulo βεδ sub angulo Asx construere velimus, demonstratur ba- 
sim eius inter rectas η9 ἀκ cadere, id est, illud quod quae- 
ritur triangulum maius esse quam 5539 et minus quam 4ex. 
Nam quia est, ut lemmate 1 medio ostendimus, &9? : eu? 
το ἀ : 8, et £9 — ey, est igitur 
ey! : eu? τε & : 3. Sed propter parallelas t9. ἀκ et. se- 
cundum elem. 6, 22 est 
£y? : eu? τὸ dx? : 992 — A λεκ: Δ ne. 
Atque item sexcupla; ergo hexagonum circulo cireumscriptum 
ad inscriptum est ut & : 3, id est 12: 9. Sed hexagonum cir- 
cumscriptum ad 5 triangula Aex est ut 12 : 410; ergo 5 trian- 
gula A4ex maiora sunt quam hexagonum inscriptum. Sed id 
hexagonum maius est quam pentagonum eidem circulo inscrip- 
tum); multo igitur 5 triangula 4ex maiora sunt quam penta- 
gonum inscriptum, itaque triangulum βεδ minus est quam 4ex. 
.. Sed idem dico maius esse quam triangulum η49. Sumatur 
enim hexagoni anguli circumferentia y» et ad diametrum duca- 
tur perpendicularis νῷ. Et quia propter superius lemma 15 est 
0L -Ce o» »5- 5e, atque γᾷ — ue, et 5e — Ju"), est igitur 
0L. 0e 7 Ju-.ue, itaque etiam Δ βεὃ » Δ ηεϑ. 
4) Vide append. 


*) Ducatur a centro e ad circumferentiam diametro perpendicularis 
«o, lam quia circumferentia 79: dodecagoni anguli est, et circumf. y» 
hexagoni, sunt igitur circumferentiae 9o — yv, et vo — y3. Ergo rec- 
tae νξ aequalis est perpendicularis a 9 ad oe ducta, id est ue, ac per- 
pendiculari a » ad oe, id est ipsi £e, aequalis est ϑμ (Co). 


5. τοῦ ΘΕ 5 KEA .AB, τοῦ 9e i xyÀ S, corr. Ei auctore Co 
8. EM ON πρὸς T AB, ἐμ ὁ »ó πρὸς y S, corr. Eiauctore Co 9. καὶ 
τοῦ ἀπὸ EI ABS, corr. Εἰ (et quadrati ex ΓῈ Co) EM ὃ N4 πρὸς Γ΄ 
(AÀ, eu ὁ vd πρὸς y BS, corr. Εἰ auctore Co 10. τὸ ἀπὸ 8H Co pro τὸ 
ἀπὸ ΕΗ 49. ἑξαπλᾶ Hu pro ἑξάγωνα 48. ὃν δ΄ — τουτέστιν om. 
Ei 44. 9' Huprodvrvéa 48. 48. μεέζονα ἐστὶν A(BS), corr. Ei auctore 
Co 46. χκάϑετος ἡ ΝΣ temere Ei, et similiter posthac Z2 pro Εἰ 80. τὸ 
ὑπὸ NAE ABS, τοῦ corr. Ei auctore Co 85. ὑπὸ (ante GME) om. S Ei 
29* 


452 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ E. 


96 Τὸ ἄρα τῷ BAE ἴσον συνιστάμενον ἰσόπλευρον, ὥστε 
τὴν βάσιν αὐτοῦ παράλληλον εἶναι τῇ HO ἢ τῇ ΚΩ, με- 
ταξὺ τῶν Καὶ Θ πίπτει. ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἐν τῷ cg λήμ- 
ματι ὅτι εὐθείας ἄχρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ 
ἀπὲ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα 5 
λόγον ἔχει ἥπερ Ó πρὸς y, ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς KE 
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς EL, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, λόγον 
ὃν δ΄ πρὸς y', πολλῷ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐϑεέας πρὸς 
τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν KE OE τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου 10 
πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς EO, τουτέστιν τῆς EAM τοῦ ἰσο- 
σχελοῦς. | 

97 ξ΄, Τὰ μὲν οὖν λαμβανόμενα εἰς τὰς συγκρίσεις τῶν 
ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων ἐδείχϑη καϑ᾽ ab- 
τά, δεικτέον δ᾽ ἐφεξῆς ὅτι τὸ μὲν εἰκοσάεδρον μέγιστόν 15 
ἔστιν, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ δωδεκάεδρον, εἶτα τὸ ὀχτάεδρον, 
μετὰ δὲ τὸ ὀχτάεδρον ὃ κύβος, ἐλάχιστον δὲ τὸ τῆς πυρα- 
μίδος. 

95 Ἔστω δὲ πρῶτον ἐπὶ τοῦ κύβου καὶ τῆς πυραμίδος ὃ 
λόγος, καὶ ἔστω κύβου μὲν τετράγωνον τὸ ΒΓ, πυραμέδος 20 
δὲ τρίγωνον τὸ 4ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι ὑπόκεινται τῶν σχη- 
μάτων oL ἐπιφάνειαι, ἕξ ἄρα τετράγωνα τὰ 48 ἴσα ἐστὶν 
τέσσαρσι τριγώνοις τοῖς 4EZ: λόγος ἄρα τοῦ 4ΕΖ τρι- 
γώνου πρὸς τὸ «ΑΒ τετράγωνον ov y' πρὸς β΄. ἤχϑω δὴ 
ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον χάϑετος 25 
? ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ EO: φανερὸν δὴ ὅτι τὸ O xév- 
τρον ἐστὶν τοῦ περὲ τὸ 432 τρίγωνον γραφομένου κύκλου" 


4. τῷ add. Εἰ auctore Co 4. ἢ B!S, 4 A, ἣ ΒΞ'Ὺ 8. τῶν ΚΘ 
A, distinx, ΒΒ — 5. μεέζονος AB, corr. 8 6. ἔχει dà — ἃ. δ΄ πρὸς 
y om. Ei 44. πρὸς τὴν EG τουτἔστιν τὴν EA A(BS), corr. Co 
48. E A! in marg. (BS) 44. πέντε σχημάτων add. Hw auctore Co 
ex cap. 72, πολυέδρων Ei ἐλήφϑη AB, corr. S 46. εἶτα BS, cu 
Α 47. πυραμέδος] scil. σχῆμα 40. χύβος μὲν AB, corr. 8 
τὸ ABI ABS, τὸ .4B Εἰ 341. τὸ 4dEZ Co pro τὸ ZZE 84. ὃν add. 
Ei (quam habent Co) 25. ἐπὶ τὸ add. Co, εἰς S 46. ἐπεζεύχϑωσαν 
αἱ EG EH coni. Hu 


LIBER V. PROPOS. δ8. | 453 


Ergo trianguli aequilateri, quod sub angulo Aex aequale 
triangulo f«Ó construitur, basis, quae rectis 79 Àx parallela 
est, inter puncta 2 x cadit. lam quia lemmate 6 demon- 
stravimus, si recta extrema ac media proportione secetur, 
quadratum a 1ota ad quintuplum quadratum a minore parte 
maiorem proportionem habere quam 4:3, et lemmate 1 me- 
dio esse x52: &y?, id est xs? : 693 — 4:3, multo igitur qua- 
dratum a tota quam diximus recta ad quintuplum quadratum 
a minore parte maiorem proportionem habet quam quadra- 
tum a latere trianguli aequilateri triangulo 80 aequalis, quod 
quidem latus minus est quam ex, ad quadratum ab ε9, id 
est ab εὖ latere trianguli aequicruris. 


LX. Lemmata igitur, quae ad comparationes quinque 
polyedrorum aequalem superficiem habentium adsumuntur, 
singula demonstrata sunt; iam vero omnium maximum esse 
icosaedrum, tum reliquis quae sequuntur maius esse dodeca- 
edrum, deinde octaedrum, tum cubum, denique minimum 
esse pyramidis sive tetraedri volumen ex ordine ostendamus. 


Primum de cubo et pyramide disseratur, et illum hac Prop. 
matorem esse demonsítretur. 

Sit cubi quadratum 
αβγ οὐ pyramidis trian- 
gulum 0e. lam quia ex 

c / δ hypothesi superficies ae- 
quales sunt, sex igitur 
quadrata «f» aequalia 

P . "€ £( sunt quattuor triangulis 
δεζ; ergo trianguli δεζ 

ad quadratum oy proportio est 8 : 2. Ducatur a vertice 
pyramidis ad basim δεζ perpendicularis $9, et iungantur 
ε9 &e5; apparet igitur 9 centrum esse circuli circa triangu- 

lum δεζ descripti!); itaque propter elem. 15, 12 est δεῖ, id 

est (quia ἢ vertex pyramidis) 


4) Theodos. sphaeric. 1 def. 5, propos. 9. 


454 ΠΑΠΠΟΥ XZYNATOTHZ F. 


τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ 4E, τουτέστιν τὸ ἀπὸ EH, τοῦ 
ἀπὸ ΕΘ. καὶ ἔστιν ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ EOH: λόγος ἄρα τοῦ 
ἀπὸ HE πρὸς τὸ ἀπὸ HO ὃν y' πρὸς β', τουτέστιν ὃν và 
πρὸς λς΄. τοῦ δὲ ἀπὸ HO πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ' τῆς HO 
λόγος ἐστὶν ὃν Àg' πρὸς δ΄" καὶ τοῦ ἀπὸ HE ἄρα, τουτ- ὅ 
ἔστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ, πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος 
ἐστὶν ὃν νδ’ πρὸς δ΄. καὶ ἐπεὶ παντὸς ἰσοπλεύρου τρι- 
γώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον ἔλασσον ἢ τετρα- 
πλάσιόν ἐστιν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, τέσσαρα ἄρα τρί- 
γωνα τὰ ΔΈΖ, ἅπερ ἐστὶν ἕξ τετράγωνα τὰ ἀπὸ ΑΓ, 10 
μείζονά ἔστιν τοῦ ἀπὸ EZ: τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ 
ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν α' πρὸς ς΄, τουτέστιν ἢ ὃν 9' 
πρὸς νδ΄. τοῦ δὲ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς 
HO λόγος ἐστὶν ὃν νδ΄ πρὸς δ΄, ὡς ἐδείχϑη, καὶ δι᾽ ἴσου 
τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς Η͂Θ μείζονα λό-- 15 
γον ἔχει ἤπερ τὰ J' πρὸς τὰ Ó': καὶ μήκει doa ἡ ΑΓ 
πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὰ y 
πρὸς τὰ β΄. ἐδείχϑη δὲ λόγος τοῦ AEZ τριγώνου πρὸς 
τὸ .48 τετράγωνον, ὃν y' πρὸς B: τὸ 4ΕΖ ἄρα τρίγωνον 
πρὸς τὸ .4B τετράγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 41 20 
πρὸς τὸ y τῆς HO. καὶ ἀνάπαλιν ἡ 4Γ πρὸς τὸ τρίτον 
τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ AEZ τρίγωνον πρὸς 
τὸ ΑΔΒ τετράγωνον. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς 
τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, οὕτως τὸ 4ΕΖ τρίγωνον πρὸς ἄλλο τε, 
ἔσται πρὸς ἔλασσον χωρίον τοῦ 4B τετραγώνου" καὶ ἔσεεν 25 
ó μὲν κύβος τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐφ᾽ ὕψος τὴν AT, ἡ δὲ 
πυραμὶς τὸ 4ΕΖ τρίγωνον ἐφ᾽ ὕψος τὸ τρίτον τῆς ἀπὸ 
τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἀγομένης καϑέτου ἐπὶ τὸ 4EZ 
τρίγωνον" μείζων ἄρα ὃ κύβος τῆς πυραμίδος. | 


4. dà ἀπὸ Co, ἀπὸ ABS, δὲ ἀπὸ τῆς Εἰ — 5. xal τοῦ ἀπὸ HE — 


7. πρὸς δ’ om. Ei 6. τοῦ ἀπὸ Ἐ4 πρὸς τὸ ἀπὸ τριγώνου τῆς ΗΘ 
ABS, corr. Co 7. καὶ ἐπι A(B), corr. S 40. FE BS, A 49. τὸ 
4EZ ἄρα — 41. καὶ ἀνάπαλιν] haec non tam propter verbositatem 


demonstrationis saepius aliis quoque locis obviam, quam propter vi- 
tiosum ἀνάπαλιν suspecta sunt (vide infra VII propos. 7); ergo his de- 


LIBER. V. PROPOS, 58. 455 


£5? 2 3692. Et rectus est angulus &95; ergo 
e»? : d sa coa e δᾶ. .Sed est 
99? : (499)? 25 9:1 — 36 : 4, ergo ex aequat 
en? : Mad )? zm " i. Et quia est δη — sb, et prop- 
ler lemma. 4 eL? « & A δεζ, et 
ec hypothesi & Δ δεξ -Ξ-- 6 αγϑ, 
'sunt igitur | ^ 
6 ay? *» eL?, itaque | 
.αγ3: e. 5» 1: 6, id est.» 9: 54. Sed demonstra- 
tum est 
: (449) — 5k: ἃ ergo ex aequali 
T ($99)? 5 9: 4, itaque — 
ay: 199 0 3:2. Sed inilio demonstratum est 
A 0c : ay? 22 3: 2; ergo. 

. ay: 499 » Δ δεξζ : αγϑ. 
Ergo si ut ay : 122, ita triangulum δὲζ ad aliud quoddam 
spatium faciamus, id ipsum minus erit quam quadratum 
ay. Atqui cubus est prísma, cuius basis est quadratum 
afy altitudoque «y, pyramis autem aequalis prismati, cuius 
basis est triangulum δὲζ altitudoque Κη (elem. 12, 7 co- 
roll.); ergo cubus maior est pyramide?) 


4) Quoniam demonstratum est ey : 4 $9.» A δεζ: ay?, ex libri VII 
propos. 46 brevius concludi poterat esse «5? *?» 4 29 . Δ dec, id est cu- 
bum maiorem tetraedro. Sed quia Graeco scriptori eae multiplicandi 
formulae quas statim posuimus evitandae erant, interserta est aequatio 
«y : 159. 2 A δεξζ : x (ita ut sit c « «y?). Ergo propter elem. 44, 84 
prisme, cuius basis est spatium x altitudoque «y, aequale est prismati, 
cuius basis triangulum δεζ altitudoque $ η9. Sed est quadratum «fy 
» 2; ergo prisma, cuius basis est quadratum afy altitudoque «y, id 
est cubus, maior est prismate, cuius basis triangulum δεζ altitudoque 
ὦ *9, id est maius tetraedro. 


letis ἡ “Γ ἄρα πρὸς τὸ τρέτον cet. coni. Hu 41. πρὸς τὸ Γ' AB, 
πρὸς τὸ τρέτον 8 28. post τὸ 4ΕΖ repetunt τὸ ABS, om. Waitzius ' 
in describendo Paris. 2368, del. JK 


99 


456 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ FE. 


ξα΄. Τὸ ὀκεάεδρον τοῦ κύβου μεῖξόν ἐστιν. 

Ἔστω γὰρ ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, κύβου δὲ 
τετράγωνον τὸ ZH, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς περιλαμβα- 
γούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ἔστω κάϑετος ἠγμένη ἐπὶ τὸ 
ΑΒΓ τρίγωνον ἡ AE, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν ot 4B ΒΕ. ἐπεὶ δ 
οὖν ὑπόκειται ὀχτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἴσα ἕξ τετραγώνοις 
τοῖς ΖΗ͂, λόγος ἄρα τοῦ ΖΗ τετραγώνου πρὸς τὸ ΑΒΓ 
τρίγωνον ὃν Ó πρὸς y. καὶ ἔστιν δοὰ τὸ α' λῆμμα καϑό- 
λου παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς 
τετράγωνον μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου " 10 
καὶ τὸ ἀπὸ BI ἄφα μεῖζόν ἔστιν ἢ cg οἵων τὸ ἀπὸ ΖΘ 
δ΄. τέσσαρα ἄρα πρὸς ς΄, τουτέστιν Àc' πρὸς νδ΄, μείζονα 
λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ 


| διὰ τὸ β' λῆμμα λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ B4 πρὸς τὸ ἀπὸ 


AE ὃν Y πρὸς α΄, ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ B4 τοῖς ἀπὸ BEA,15 
λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ 4E πρὸς τὴ ἀπὸ EB ὃν o πρὸς β΄. 
τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὃν σ᾽ πρὸς β' διὰ τὸ ιβ΄ 
τοῦ uU στοιχείων" λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ 4E πρὸς τὸ ἀπὸ 
BI ὃν α' πρὸς ς΄, τουτέστιν ὃν 9' πρὸς νδ΄. τοῦ δὲ ἀπὸ 
τοῦ y τῆς 4E πρὸς τὸ ἀπὸ AE λόγος doviv ἣν «' πρὸς 20 
9' (τὰ γὰρ μήκει τριπλάσια δυνάμει. ἐνναπλάσια [καὶ τὰ 
μήκει ἐπίτριτα δυνάμει ἔννατα) ἐστιν)" καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ 
τρίτου οὖν τῆς 4E πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ λόγος ἐσεὶν ὃν αἱ 
πρὸς νδ΄. ἐδείχϑη δὲ ὅτι Àg' πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει 
ἥπερ τὸ ἀπὲ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ" δι᾽ Vaov ἄρα Ac" πρὸς 25 
α' μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ 
y τῆς AE: καὶ μήκει ἄρα c' πρὸς α’ μείζονα λόγον & ἔχει 
ἧπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ y τῆς AE. λόγος δὲ S τετραγώνων 
τῶν ΖΗ πρὸς α' ὃν ς΄ πρὸς α΄. καὶ ἔστιν τὰ c' τετράγωνα 
ἴσα v» τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ’ xai η ἄρα τρίγωνα τὰ .4BI 30 
πρὸς τὸ ZH τετράγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ 5 ZO 


|. Ec A! in marg. (BS) 83. τὸ om. A, add. BS 4. ἀγομένη 
Ei invitis ABS 6. f£ S, c AB 9. τὸ ἀπὸ A* Co, τοῦ ἀπὸ BS 


' cod. Co 10. τετράγωνον ASS Co, τετραγώνου B cod. Co 44. 42. vó 





ἀπὸ ZO04 ABS, distinx. Hu (τὸ ἀπὸ ΖΘ τεσσάρων Ei) 47. πρὸς 


LIBER V. PROPOS. 55. Δ". 


LXI. Octaedrum cubo maius est. 


SK emm  octaedri triangulum afy et οὐδ᾽ quadratum 


a Cn9, et a centro sphaerae 
yl octaedrum comprehenden- 
tis duota sit perpendicula- 
ris δὲ ad triangulum «87, 
et iungantur δ fe. lam 





6 7 ὁ Ü' quia ex hypelhesi octo tri-: 


angula oBy aequalia sunt sex quadratis £59, est igitur 
C9? : Δ αβγ Ξε & :3, id est A afy τε 1697. Sed prop- 
ter lemma 14 est 
By. » 2 Δ ay; ergo 
» $0522, itaque 4 βγῆ 5 6 ζ93, id est (VH propos. 46) 
4:6 5 £9?: By?, id est (VII propos. 7 extr.) — 
By? : 593 5:54 : 36. Et quia propter lemma ὃ ost 
B9 δὶ τῷ ἃ : 1, οἱ 
fà? πα ge? 4- ma id est Be -- 9603, est igitur 
62: eff? — 1 : ἃ. Sed propter elem. 43, 12 est 
ef? : By? τε : : 6; ergo ex aequali 
05? : βγι τὸ 4:6 τ’ 9: δά. Sed est 
(4.06)? : ν᾿ τὸ ἢ :9; ergo ex aequali 
(405)? : By3 «- 1: 5i. Sed supra demonstravimus esse 
βγῆ: ζ93 5. 54 : 36; ergo ex aequali 
(4 05)? : £03 *» 4 : 36, τὰ est (VII propos. 7 extr.) 
36 : 4 ^» 539? : (105)?, itàque 
6:4 5» £9. : 40e, id est, quia 659? — 8 A fy 
8 A αβγ: C9? 9 C9 : 1 ds. 


“4..διὰ τὸ IZ A(B), πρὸς ἑέσσαρα διὰ τὸ ιξ S, corr. Co 48. στοι- 
χεέου ABS, corr. Hu auctore Co 49. πρὸς ς΄ Co, πρὸς Τ' AB, πρὸς 
τρία 8 34. 33. χαὶ τὰ — ἔννατά del. Co (forsitan tota parepthesis 
τὰ γὰρ — ἔστεν interpolatori tribuenda sit) 39. ἐπίτριτα) τρίτα. Ei 
ἔνναταά 8, Ever (sine spir. et acc.) A, ἕνατάα B 22. 88. τοῦ τρέτου) 
τρέτου AB, y s, τοῦ I" Ei $39. τῶν add. Ei πρὸς τὸ « (ante 
ov c€') ABS, πρὸς ὃν τῶν αὐτῶν Ei 80. ἴσα ἡ A, ἴσα ἢ B, corr. Co 
(ἴσα ὀκτὼ Sj τριγώνοις τοῖς S Co, vergaytivors τοῖς AB cod. Co. 
xal η ἃ, καὶ 7 B (καὶ ὀχεὼ 8) 


Prop. 
58 


458 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


πρὸς τὸ γ' τῆς 4Ε. καὶ ἔστιν ὀκτάεδρον ὀχεὼ τρίγωνα 
τὰ ΑΒΓ ἐφ᾽ ὕψος τὸ y τῆς AE, κύβος δὲ τὸ ZH τετρά- 
γωνον ἐφ᾽ ὕψος τὴν OZ: μεῖζον ἄρα τὸ ὀχτάεδρον τοῦ 
κύβου. 

100 ξβ΄, Ἔστω δεῖξαι ὅει τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου 5 
μεῖζόν ἐστιν. 

Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, εἰκοσαέ- 
ὅρου δὲ τὸ “ΕΖ, καὶ ἤχϑωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαι- 
ρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν 
στερεῶν κάϑετοι αἱ ΗΘ Κι΄. ἐπεὶ οὖν ἐδείχϑη ἐν τῷ ζ΄ 10 
ϑεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ 
μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ, πέντε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο 
ἐστὶν τὰ ἀπὸ BI (ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ AEZ 
ἴσα ἐστὶν δυσὲ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ" καὶ γὰρ τετραπλάσια 
x' τρίγωνα τοῖς vy ἴσα ἐστίν, καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ 15 
τρίγωνον, οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν 
ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων 
ἤπερ τῆς ὑμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν), δύο 
δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ K.4 (προδέδεικται 
γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΙ ὃν ς΄ πρὸς αἾ, 20 
δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ 
K.4: μείζων ἄρα ἡ ΘΗ τῆς KA. καὶ τὸ y τῆς OH τοῦ 
y τῆς ΚΑ μεῖζον. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴς- 
χοσι τρίγωνα τὰ 4ΕΖ ἐφ᾽ ὕψος τὸ γ' τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὁκχ- 
τάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφ᾽ ὕψος τὸ. γ' τῆς ΚΑ, 25 
xai ἔστιν x τρίγωνα τὰ 482 ἴσα ὀκτὼ τριγῴνοις τοῖς ΑΒΓ 
διὰ τὴν ὑπόϑεσιν, μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου. 


5. ἔβον add. B(S) 9. τῶν (ante zrsaprinuf.) add. Ei 49. ct 
ΗΘ KA] ἡ 9K.4 AB, η xÀ S, αἱ add, Ei 43. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ 
EZ edd. Ei auctore Co 48. ἥπερ ἢ ὁμόλογος πλευρά Ei 
πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν add. Εἰ 4149. ἀπὸ ΒΓ Co pro ἀπὸ ABT 
προδέδεικται Hu, προϑε..... Αἱ, 4 E add. A?, unde πρὸς de: δ΄ & B, 
προ δὲ δὲ S, προεδείχϑη Ei, ὁ Co 48. καὶ τὸ I" B, καὶ τὸ τρέτον 8 
32. 48, τοῦ ΓΑ, τοῦ Γοὺ B, τοῦ τρίτουιϑ 488. μείζων A, corr. BS 
34. post τὸ I^ add. A τρέτον, sed id expunctum 46. 27. roig ABIAÀ 
ϑιὰ AB, corr. S 61. μεῖζον ἄρα S, μείζονα A, μεῖζον B 


LIBER V. PROPOS. 54. 459 


Atqui octaedrum aequale est prismali, cutus basis x 8 Δ afly 
altitudoque ὁ δὲ, cubus autem est prisma, cuius basis est 
quadratum ζηϑ altitudoque 52; ergo octaedrum maius est 
cubo !). | 
LXII. Demonstretur icosaedrum maius esse octaedro. 


& 
? -— δ | 
L 7 2x a 


[| 


Prop. 
54 


Sit octaedri triangulum αβγ et icosaedri aequalem super- . 


ficiem habentis triangulum deb, et a centris sphaerarum, ea 
polyedra comprehendentium ducantur ad singula eorum plana 
perpendiculares χὰ 59. Iam quia superiore lemmete 7 de- 
monstravimus esse | 
412 529? S 5 e^, suntque ex. hypothesi. 20 Δ δεζ Ξε 
8 A αβγ, id est 5 A δεζ z 2A affy, 
itaque, quia ianae figurae similes 
inter se sunt ut quadrata ex homo- 
logis lateribus (elem. 6, 20 coroll. 14), 
5 eC? — 9 βγ2, et, quia superiore lemmate medio osten- 
dimus esse y? : xÀ? zs 6 : 4, 
2 gy! τὸ 12 καὶ, sunt igitur ex aequali 
412 239? 5» 42 x42, itaque 4 99 » 1x4. 
Et quia icosaedrum aequale est prismati, cuius basis est — 
20 A δεζ altitudoque 4 79, octaedrum autem prismati, cuius 
basis — 8 Δ af» altitudoque 4 x4, eaeque bases ex hypo- 
thesi aequales sunt, maius igitur est icosaedrum octaedro 
(elem. 441, 351). 


4) Conf. propos. 52 extr. 


101 


460 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ E. 


ἔγ. Τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου μεῖζόν ἐστιν." 

Ἔστω γὰρ πεντάγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ ἕν τῶν τοῦ δω- 
δεχαέδρου, τρίγωνον δὲ τὸ 4ΕΖ ἕν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου, 
καὶ ἤχϑωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περε- 
ἐχουσῶν τὰ στερεὰ σχήματα ἐπὶ τὰ 4ΕΖ ΑΒΓ ἐπίπεδα ὃ 
κάϑετοι αἱ ΗΘ ΚΑ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ H4 O4 ΚΑ 
“41... ἐπεὶ οὖν ἐδείχϑη ἐν τῷ ιβ΄ ϑεωρήματι τῶν προ- 
γραφομένων ὅτι ὁ αὐτὸς κύχλος περιλαμβάνει τό τε πεντά- 
γῶνον τοῦ δωδεχαέδρου xal τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου τοῦ 
eig τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένου τῷ δωδεκαέδρῳ, ὥστε 10 
7 44.4 ἐκ τοῦ κένερου ἐστὶν τοῦ κύχλου τοῦ περιλαμβά- 
vovrog τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ἡ δὲ K.4 ἡ ἀπὸ τοῦ 
χέντρου τῆς σφαΐίρας ἐπ᾽ αὐτὸν χάϑετος, ἣ δὲ ΚΑ' ἡ ἐκ 
τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἀλλὰ καὶ τὸ HO4 τρίγωνον 
ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον [διὸ δὴ καὶ ὅμοιόν ἐστιν τῷ 15 
ΚΑ τριγώνῳ. ὡς γὰρ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος τῆς 
περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον πρὸς τὴν Α.1, οὕτως ἡ 
τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον πρὸς 
τὴν 40. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ τοῦ τριγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ 
τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον τὸν δεχόμενον τὸ τρίγω- 20 
γον τοῦ εἰκοσαέδρου χαὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου 
πρὸς τὴν 24.4, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς 4O: καὶ ὡς ἄρα 7) ΚΑ 
ἐχ κέντρου σφαίρας πρὸς 4.1, οὕτως ἡ ΗΔ ἐκ κέντρου 
σφαίρας πρὸς 40. καὶ ὀρϑαί εἰσιν αἵ πρὸς τοῖς Δ O 
γωνίαι" ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΚΑ τρίγωνον τῷ 4HO τριγώνῳ], 25 
καὶ ἐπεὶ παλιν ἐδείχϑη ἐν τῷ ιδ' ϑεωρήματι τῶν προγρα- 


4. EP?" add. B(S) 5. ἐπὶ S, ἐπεὶ AB. 7. «f Co, IT, AB, 
τρισκαιϑεκάτῳ 8 8.9. πεντάγωνον — καὶ τὸ add. Co Φ. 10. τοῦ 
- ἐγγραφομένου S, τῶν — ἐγγραφομόένου AB et, ut videtur, cod. Co, 
tà» — ἐγγραφομένων coni. et τῷ δωδεχαέδρῳ del. Co — 45. dio d; — 
35. 4HO0 τριγώνῳ interpolatori tribuit Hu 45. διὸ Paris... 2868, d« 
ὁ À, δὲ ὃ (sic) B, δύο S 49. ἀλλὰ x«l ὡς ABS, ὡς dà Ei ἐσο-- 
πλεύρου vitiose interpolator, cum id aut omitti tamquam consentaneum 
aut ante τριγώνου poni oportuerit 30. τὸ δεχόμενον AB, corr. S 
43. πρὸς τὴν αλ S, πρὸς τὴν ay τὴν 44. A(B) 43. σφαίρας — 
κέντρου add. A? in marg. (BS) .$ H4 Co pro ἡ EA $4. τοῖς 
440 AB!, distipx. BS 46, ἐν τῶι 4 AB, ἐν τῷ τετάρτῳ S, corr. Co 





. LIBER V. PROPOS. 55. 461 


LXIIL lcosaedrum maius est dodecaedro. 

Sit enim dodecaedri pentagonum αβγ et icosaedri ean- 
dem superficiem habentis triangulum δεζ, et a centris sphae- 
rarum polyedra comprehendentium ad plana oy dei ducan- 
tur perpendiculares χὰ n3, et iungantur κα a4 ηὃ ὅϑ. lam 


X. 


a d 3 ὄ 
6 / 


€ 


Prop. 
55 


quia superiore lemmate 12 demonstravimus eundem circu- 


lum et dodecaedri pentagonum et icosaedri in eandem spbae- 
ram inscripti triangulum comprehendere, itaque circulus, 
cuius radius «A, non solum pentagonum αβγ, sed etiam ico- 
saedri in eandem sphaeram inscripti triangulum (quod qui- 
dem simile est triangulo δεζ) recipit, et χὰ perpendicularis 
ex centro sphaerae ad eum circulum ducta, et χὰ sphaerae 
radius est, et triangulum 7346 prorsus similiter constructum 
 est!), tum quia superiore lemmate 14. demonstravimus esse 


4) Sequitur in Graecis demonstratio quaedam hunc in modum inter- 
pretanda "quapropter triangulum $594 simile est triangulo x4«; nam ut 
sphaerae dodecaedrum comprehendentis diametrus ad «à, ita est sphae- 
rae icosaedrum comprehendentis ád d9. Sed ut latus triangoli aequi- 
lateri, quod in circulum qui et icosaedri triangulum et dodeecgedri pen- 
tagonum recipit inscribitur, ad «à, ita est εδ ad d9; ergo etiam ut 
Sphaerae radius χα ad «à, ita est sphaerae radius gd ad dO. Εἰ an- 
guli À 9 recti sunt; ergo A «xA -, Δ 99". Vera haec quidem sunt, 
sed langida et cum taedio verbosa; ac vero ipse Pappus superioribus 
verbis ἐπεὶ οὖν ἐδεέχϑη — ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον satis superque 
similia esse triangula ακὰ δηϑ significavisse videtur; quspropter nos 
ista quae seelusimus ab interpoletore addita esse censemus. 


462 IIAHIIOY XYNATQTHS E. 


| φομένων ὅτι εἴκοσι τρίγωνα τὰ EZ, τουτέστυν δώδεκα 
| πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ, μείζονά ἐστιν εἴχοσι τριγώνων τῶν 
ἐγγραφομένων εἰς τὸν κύκλον τὸν περιλαμβάνοντα τὸ 4“8ΒΓ 
πεντάγωνον, φανερὸν ὡς καὶ ὁ περὶ τὸ 42 τρίγωνον χύ- 
κλος μείζων ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πεντάγωνον * ὥστεϑ 
καὶ ἡ 4O μείζων ἐστὶν τῆς -44. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ 
4HO 43“Κ4 τρίγωνα" ὡς ἄρα ] 409 πρὸς ΘΗ, οὕτως ἡ 
dd πρὸς .1Κ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ 4O πρὸς 4.1, ἡ ΗΘ 
πρὸς KA. μείζων δὲ ἡ dO τῆς 444: μείζων ἄρα καὶ ἡ 
HO τῆς ΚΑ͂. καὶ τὸ τρίτον ἄρα τῆς HO τοῦ τρέτου τῆς 10 
ΚΑ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἔσειν τὸ μὲν εἰκοσάεδρον εἴκοσι 
τρίγωνα τὰ 4Ε2Ζ ini τὸ τρίτον τῆς HO, τὸ δὲ δωδεκά- 
εδρόν ἐστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς 
K.4. καὶ ὑπόκειται χ' τρίγωνα τὰ AEZ ιβ' πενταγώνοις 
, τοῖς ΑΒΓ ἴσα᾽ μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου. 15 


102 ξδ΄, Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀχταέδρου μεῖζόν ἐστιν. 
0 
v 
NP: 
y (€ 0 P 4 


Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ OCT xai xa- 
ϑετος ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περελαμ- 
βανούσης τὸ δωδεχάεδρον ἐπὶ τὸ OCT. πεντάγωνον ἠγμένη, 


4. dejdexa BS, β À 3. 4. τὸ 418 πεντάγωνον AB, corr. S 
4. τρέγωνον add. Ei κύχλον AB, corr. S 5. post πεντάγωνον 
repetunt. φανερον À (B*in marg.), sed id in A expunctum 6. ἢ 46 
Co pro ἡ ZE post μείζων ἐστὶν add. ἡ AB cod. Co, del. S Co 
40. τῆς 4.4 xal τὸ τρέγωνον ἄρα ABS, corr. Co 44. ἐπέτρετον τῆς 


. LIBER V. PROPOS. 55. 461 


LXIII. Icosaedrum maius est dodecaedro. 

Sit enim dodecaedri pentagonum αβγ et icosaedri ean- 
dem superficiem habentis triangulum deC, et a centris sphae- 
rarum polyedra comprehendentium ad plana oy δεζ ducan- 
tur perpendiculares xÀ η, et iungantur xa αλ yd à3. ἴδηι 


(ΩΣ 


a d 3 ὄ 
6 / 


€ 


Prop. 
55 


quia superiore lemmate 12 demonstravimus eundem circu- 


lum et dodecaedri pentagonum οὐ icosaedri in eandem sphae- 
ram inscripti triangulum comprehendere, itaque circulus, 
cuius radius aA, non solum pentagonum afly, sed etiam ico- 
saedri in eandem sphaeram inscripti triangulum (quod qui- 
dem simile est triangulo δεῖ) recipit, et χὰ perpendicularis 
ex centro sphaerae ad eum circulum ducta, et κα sphaerae 
radius est, et triangulum $9ó prorsus similiter constructum 
est!), tum quia superiore lemmate 14 demonstravimus esse 


4) Sequitur in Graecis demonstratio quaedam hunc in modum inter- 
pretanda "quapropter triangulum 734 simile est triangulo xe; nam ut 
sphaerae dodecaedrum comprehendentis diametrus ad «à, ita est sphae- 
rae icosaedrum comprehendentis ád d9. Sed ut latus trianguli aequi- 
lateri, quod in circulum qui et icoseedri triangulum et dodeegedri pen- 
tagonum recipit inscribitur, ad e4, ita est ed ad d39; ergo etiam ut 
Sphaerae radius χα ad aà, ita eSt sphaerae radius ηδ ad ὅϑ. Et an- 
guli 4 9 recti sunt; ergo Δ «xA οὖ Δ δηϑ᾽. "Vera haáec quidem sunt, 
sed langida et cum taedio verbosa; ac vero ipse Pappus superioribus 
verbis ἐπεὶ οὖν ἐδείχϑη — ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον satis superque 
similia esse triangula «xà 959 significavisse videtur; αυδργορίοῦ nos 
ista quae seelusimus ab interpoletore addita esse censemus. 


462 IIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ ΒΕ. 


| φομένων ὅτε εἴχοσι τρίγωνα τὰ 4EZ ] τουτέστιν δώδεχα 
| πεντάγωνα τὰ 48ΒΓ, μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων τῶν 

ἐγγραφομένων εἰς τὸν κύκλον τὸν περιλαμβάνοντα τὸ “ΒΓ 
πδντάγωνον, φανερὸν ὡς καὶ ὁ περὶ τὸ ZEZ τρίγωνον xó- 
xÀog μείζων ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ 48ΒΓ πεντάγωνον * ὥστεῦδ 
χαὶ ἡ 46 μείζων ἐστὶν τῆς 44.4. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ 
4HO AKA τρίγωνα" ὡς ἄρα Ji 40 πρὸς ΘΗ, οὕτως ἡ 
4 πρὸς AK, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ 40 πρὸς 44.4, ἡ ΗΘ 
πρὸς ΚΑ. μείζων δὲ ἡ 4O τῆς «4.1: μείζων ἄρα καὶ ἡ 
HO τῆς ΚΑ. καὶ τὸ τρίτον ἄρα τῆς HO τοῦ τρίτου τῆς 10 
ΚΙ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἔστιν τὸ μὲν εἰκοσάεδρον εἴκοσι 
τρίγωνα τὰ 4Ε2Ζ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς HO, τὸ δὲ δωδεκα- 
εὗρόν ἐστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς 
K.4. καὶ ὑπόκειται χ' τρίγωνα τὰ AEZ ιβ' πενταγώνοις 

, τοῖς 44ΒΓ ἴσα μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου. 15 


102 ξδ΄. Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀχταέδρου μεῖζόν ἐστιν. 
4 
ν 
T 7 
? 6 o * 


Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ ΦΟΤ' καὶ xa- 
ϑετος $ YO ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμ- 
βανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ OC,T. πεντάγωνον ἠγμένη, 


4, δώδεχα BS, i8 A 3. 4. τὸ .4B πεντάγωνον AB, corr. S 
4. τρέγωνον add. Ei χύχλον AB, corr. S b. post πενεάγωνον 
repetunt φανέρον A (B? in marg.), sed id in A expunctum 6. ἡ 46 
Co pro ἡ 4E post μεέζων ἐστὶν add. ἡ AB cod. Co, del. S Co 
40. τῆς 4.4 xal τὸ τρέγωνον ἄρα ABS, corr. Co 43. ἐπέτριτον τῆς 


LIBER V. PROPOS. 56. 463 


4$ pentagona ef» maiora 920 triangulis eidem circulo in- 
scriptis, id est ex hypothesi 20 triangula δὲζ maiora 20 tri- 
angulis circulo, qui pentagonum «fy comprehendit, inscrip- 
tis, apparet circulum, qui est circa triangulum deb, maiorem 
esse eo, qui est circa pentagonum ag». Ergo etiam radius 
d9 maior est quam αᾶ. Εἰ similia sunt triangula ὅϑη cx ; 
ergo 09 : 9x z» aÀ : ἀκ, et vicissim ὅϑ' : αλ ze 99: Àx. Sed. 
est 09 *» aÀ; ergo etiam 9: *» Àx, itemque 1 39» » 1 ἀκ. 
Atqui icosaedrum aequale est prismati, cutus basis πὶ 20 
A δεζ altitudoque 4 95, dodecaedrum autem prísmati, cuius 
basis — 192 pentag. ay z 20 A δεζ altitudoque ὁ Àx; ergo 
icosaedrum maius est dodecaedro. 
LXIV. Dodecaedrum octaedro maius est. 


7 





A 


Sit dodecaedri pentagonum gGs, ad quod a centro 
sphaerae dodecaedrum comprehendentis ducatur perpendicu- 
laris vc», et iungantur «eg tC, cv vg; octaedri autem ae- 


HG τὸ δωδεχάεδρον ABS, corr. Εἰ auctore Co 48. δώϑεχα BS, IB 
A 44. x' Hu auctore Co, EK AB(S), εἴκοσι Ei 46. Ed?" add. 
B(S) 47. τὸ «bGT. Hu, τὸ *PYT ABS, τὸ cT Εἰ 49. ἐπὶ τὸ 
YT AB, ἐπὶ τὸ ves 8, ἐπὶ τὸ ς«ΦΤ Ei 


464 IIAIITIOY. ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ E. 


καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΩΦ OC, OT YO, ὀκταέδρου δὲ τρί- 
γωνον τὸ ZPII ἔσεω, καὶ ὁμοίως ἡ X μάϑενος, ἣν “δεῖ 
ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς YO καϑέτου. 

1.38 Ἐκκχείσϑω δὲ καὶ τὸ ληφϑὲν ϑεώρημα εἰς τὴν σύγκρε- 
σιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου [οὗ σημεῖον ἀστήρ), 5 
δι᾿ οὗ ἐδείχϑη δώδεκα sà ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν 
ἀπὸ B4. ἔστω δὲ καὶ τὸ 4 B τρίγωνον εἰκοσαέδρου, 
καὶ κάϑετος ἀπὸ τοῦ d ἢ 4 E, ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ 
ϑεωρήματι" ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τὸ 4 d E τριγώνῳ 
χαὶ τῷ ON.4 [καὶ d τὰ ἀπὸ 41 Ε μείζονα ε΄ τῶν ἀπὸ! 
BT, τουτέσειν if τὰ ἀπὸ YQ μείζονα & τῶν ἀπὸ GT. ] 
ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ἐς" λημματίου ἐδείχϑη ὅει, ἐὰν ἢ τρίγω- 
γον ἰσοσκελὲς ὡς τὸ ΟΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ i γωνίαν 
τεσσάρων πέμπτων ὀρϑῆς καὶ ἰσόπλευρον i ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ 
M*"MÜÓMT", τὸ ἀπὸ M*MÜ πρὸς τὸ ἀπὸ CQ ἐλάσσονα 15 
λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομέ- 
γης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάχις ἀπὸ τῆς ἐλάσσο- 
vog, καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται 


D und 


κατὰ τὸ AK, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ED πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ 





4. αἱ ὠφωυ ὦ τ ὙΦ A, distinx. BS, 20 corr. Hu (ὥς Ei) 

8. χάϑετος ΑΒ, corr. S 5. oU σημεῖον ἀστήρ interpolatori tri- 
buit Co 6. δώδεκα S, IB A, ϑώδεχα expunctum et «f prima 
manu B 7. ἔστω — 11. ἀπὸ QT om, Εἰ 7. τὸ 4,ΒΤ' Hu, τὸ 
A'8G ABS (nisi quod τὸ om, S) 8. τοῦ 4C ὡς ἐν A(S), τοῦ "ds ὡς 
ἐν B, corr. Hu auctore Co 9. τοῦ Φῶ τῶι τε AGG τριγώνω À, τοῦ 
φω τῷ τε 4... τριγώνῳ B, τὸ υφω τῷ τε δξε τριγώνῳ S, τῷ τε ,d A E 
corr. Hu (τῷ τε A4, E 4 voluit Co) 40. 44. xol ιβ' — ἀπὸ ,BT'] 
"vera haec quidem sunt, sed quid ad demonstrationem conferant, non 
video" Co . 40. IB τὸ ἀπὸ AGs μεέζονα A(B), - δώδεκα ἄρα τὰ 
ἀπὸ δὲσ μείζονες o Paris. 3868 descripsit Weitzius, iB τὰ ἀπὸ deg μεί- 
ζονα SV, cotr. Hu auctore Co 40. 44. τῶν ἀπὸ " BC, ABS, corr, Hu 
auctore Co 414. τουτέστιν — ἀπὸ GT] "corrupte haec sunt, ut opi- 
nor, neque enim vera; quare si quis ea una cum antedictis de medio 
tollat, fortasse non errabit" Co € À, πεντάχις B, πέντεϑ, ἀπὸ 
GT Hu, ἀπὸ 6)» ABS Co 48. ὡς τοῦ ὧτ AB, ὡς τὸ vor S, corr. 
Hu (ὡς τὸ cO T Ε)ῇ τῷ ὦ 8, τὸ ὦ A!B, τῷ ὦ ΔῈ 45. ἀπὸ GO 
Hu, ἀπὸ YG ABS (ἀπὸ c9) Ni). 48. ἡ ED Co pro ἡ ΘΓ 


LI 





LIBER V. PROPOS. 56. 463. 


qualem . superficiem habentis triangulum sit ogzt, et similiter 
ducatur perpendicularis yy, quam quidem minorem esse 
rectà v«' demonstrare oportet. 

Exponantur praeterea et figura lemmatis ad comparatio- 
Dem: icosaedri “οὐ octaedri praemissi (propos. 43), quo de- 
monstravimus esse 12 o»? » 5 90?, et triangulum ,a y ico- 
saedri in sphaeram, cuius radius est vg, inscripti, atque a 
centro Ó ducatur perpendicularis δὲ iunganturque ὃ α a, 
ut est.in superiore theoremate (propos. 55); ergo similia 
sunt. triangula 'vq« ae oA»*). lam quia lemmate 16 
ostendimus, si sit triangulum aequicrure, velut Cv, cuius 
ad. ὦ angulus sit quattuor quintarum partium recti, eique 
aequale triangulum aequilaterum, velut u*uPpuT, quadratum 
a p^"uP ad quadratum ab «C, minorem proportionem habere 
quam, si recía quaedam extrema ac media proportione sece- 
tur, quadratum a tota ad quintuplum quadratum a minore 
parle, et recta &y extrema ac media proportione secta est in 
punoto $ (supra p. 427), est igitur 


*) Quém ad finem wiangula «8, δια, constructa sint, primo 
oculorum obtutu non satis liquet, ideoque. non iniuria forsitan et hoc 
looo verba ἔστω δὲ καὶ cet. et infra p. 468, 4 sq. τουτέστιν iB κὰ ἀπὸ 
A,E πρὸς t&' τὰ ἀπὸ ,E.4 ab Eisenmanno omissa esse videantur, Sed 
accuratius inspicientibus hoc Graeco scriptori propositum fuisse appa- 
ret, ut figurae quaedam in sphaeris ináequalibus, quarum radii vq o4, 
descriptae inter se compararentur. Iam ex hypothesi sphaerae vq cir- 


“τ eulus φῶτ dodecaedni pentagonum, et ex constructione (propos. 43) 


sphaerae: o4 circulus λ1β icosaedri triangulum cormprehendit. Atqui 
propter propos. 48 circulus qui dodecaedri pentagonum, idem etiam 
icosaedri triangulum in eandem sphaeram inscripti, et vice versa reci- 
pit. Ergo comparari inter se poterant aut pentagonum «Gr et penta- 
gonum circulo AdJ inscriptum, aut triangulum circulo «Gr inscriptum 
et triangulum 4df. Quorum alterum scriptor similiter atque in propos. 
55 praetulit, Scilicet illud ,« 8,» icosaedri triangulum propter. propos. 
48 simile et aequale est ei quod circulo φᾷς inscribitur. Iam ex si- 
militudine triangulorum ,« 8, AÀ8 eodem modo atque in propos. 55 
evincitur triangula quoque δ᾽ α, ε oÀ» similia esse, tum separatifn con- 
eluditur triangula: quoque υφω.. δα, ε similia esse (quae quidem etiam 
sequalia sunt), denique esse Δ vqw “ Δ oÀv, Quae omnia ex veterum 
mathematicorum usu, vix brevius absolvi poterant. 
Pappus 1. 30 


466 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQÜlHS E. 


ET μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ἀπὸ M^ M πρὸς τὸ ἀπὸὺ 
CO, τουτέστιν τὸ πεντεχαιδεκάχις ἀπὸ M*MÜ πρὸς τὸ 
πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ((2. καὶ ἐπεὶ ἔχομεν η΄ τρίγωνα τὰ 
ΣΡΠ ἴσα ιβ΄ πενταγώνοις tolg OCT, τουτέσει» E τριγώ- 
γοις τοῖς ΟΩΤ, ὥστε καὶ δύο τρίγωνα τὰ ZPII ἴσα ἐσεὶν 5 
ιε΄ τριγώνοις τοῖς COT, τουτέστιν w' τοῖς M" MPMr, 
ὥστε καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΣΠ ἴσον ἐσεὶν τῷ πεντεκαϊιδεχάκις 
ἀπὸ MPMT, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ED πρὸς τὸ πεντάχις ἀπὸ 
τῆς ἘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δύο τὰ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ 
πεντεχαιδεχάχις ἀπὸ ὩΦ (ἴση γάρ doti» 7 QUO, τῇ $20.10 
δύο δὲ τὰ ἀπὸ XII ιβ' ἐστιν τὰ ἀπὸ X'P, ὡς ἐδείχϑη ἐν 
τῇ συγκρίσει τοῦ κύβου καὶ ὀκταέδρου" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 
ἘΓ πρὸς τὸ πεντάχις ἀττὸ ET μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ «ff 
τὰ ἀπὸ X'P πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ὩΦ. καὶ ἔσειν ἴση ἡ EK 
τῇ KD: τὸ ἄῤρα ἀπὸ τῆς ED πρὸς τὸ εἰκοσάκις ἀπὸ τῆς 19 
KT μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ wf! τὰ ἀπὸ XW πρὸς w' τὰ 
ἀπὸ ΩΦ’ ὥστε καὶ λο΄ τὰ ἀπὸ ET, τουτέστιν λς΄ τὰ ἀπὸ 
ΓΑ, πρὸς ψκ' τὰ ἀπὸ ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ 
ἀπὸ XP πρὸς w&' τὰ ἀπὸ Q0. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΓΙΑ͂ πρὸς 
ΓΚ, ἡ 4M πρὸς ΠΗ͂, ὡς δὲ ἡ ΑἹΜ πρὸς MI, ἡ ΟΝ πρὸς 30 
NI: ὥστε καὶ Àc' τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ψκ' τὰ ἀπὸ NI, τουτ- 
ἐστιν x τὰ ἀπὸ L4 (τριπλασία γὰρ ἐν τῷ ζ΄ λήμματι 
ἐδείχϑη 7) L4 τῆς IN), τουτέστιν x' τὰ ἀπὸ ΚΖ, τουτέστιν 
w' τὰ ἀπὸ B4 (ἐπίτριτος γὰρ ἡ B4 τῆς ΚΙ δυνάμει, 
μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ιβ' τὰ ἀπὸ XP πρὸς εε' τὰ ἀπὸ 15 
ὩΦ' ὥστε καὶ ιβ'΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς εἰ τὰ ἀπὸ B4 μεί- 
ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ X πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ 


-- 


4. 4. ἀπὸ C recte hoc loco ac similiter pósthae ABS (ἀπὺ c? 
Ej) 44. 8. πεντεχαιϑεχάχις utroque loco S, & χαὶ δεχάχες AB. priore, 


πεντάχις καὶ δεχάχις altero loco 8. καὶ ἐπιέχομένη τρίγωνα Ἀ(Β), 
eorr. S 3. 4. τὰ ZPII Co pro τὰ oox 4. ἴσαι AD, corr. 8 
5. 6. τὰ PII — τοῖς ΟΩΤ' om. S 5. τὰ oz ἴσα A(B), corr. Ἀν 


auctore Co ἐστὶν et 6. τριγώνοις om. Ei — 8. tó ἄρα Ei auctore Ὁ 
pro τοῦ ὥρα 48. τὸ ἄρα — 15. τῇ KT om. S Εἰ 41. καὶ lc τὰ ἀπὸ 
EI AB, καὶ dC τὸ ἀπὸ £y Paris.2368, x«l δὲ τὸ ἀπὸ cy S, καὶ QC và 


. LIBER V. PROPOS. 86. 467 


05 Ey pP? : ὡς, id est | 
» iu MT LLEE 43 eC. Et quia ex hypothesi 
| - habemus 
'8 Δ σρπ s 13 pentag. gs, id est 
z 60 A Quse, itaque 
2 Δ σρπ — 15 A Cur — 15 A u*uPur, itaque 
$ on3 — 45 μβμΓ 2, est igitur 
6y3 : 5 £y? 9 2 0n? : 45 cg? (est enim eC 2 wq). Sed 
sunt 2 gz? z 12 xy?, ut 
demonstravimus in compa- 
ratione cubi et octaedri 
(propos. 53); ergo 
εγ2 : 5 Ey? w. 12 yy? : 45 ὧφ3. Et est by z 2 xy (supra 
p. 427); ergo 
€y? : 20 xy! » 12 quy : 15 og?; itaque etiam 36 c7?, id 
est (p. 425) 
36. y? : 720 xy? 5 42 qu? : 45 qg?. . Sed est (p. 427) 
.γλ:: Ἀγ em μὰ : ut, οὐ, quia (riangulorum orthogoniorum 
μι ov. anguli ad. verticem aequales 
sunt, 
BÀ : up m v0 : ιν; itaque - 
36 vo? : 720 ἐνῶ »» 42 qu? : 15 ug*. Sed, quia lemmate 
7 (p. 427) demonstravimus ἐν — $ À 
— 1 Àx, et triangulum BÀó aequilate- 
rum est (p. 425), sunt igitur 720 ε»ν2 
e 80 4 - 20x; itaque, quia prop- 
ter lemma 1 med. est Àx?: 80? 23 : 4, 
36 vo? : 15 gà? *» 12 quy? : 15 og; itaque 
42 »0? : ὅ 80? 7 42 χψϑ.: 45 cg. | Sed, quia circuli 


circa triangulum 804 descripti cen- οὐ 


(n € V, corr. Co 33. τριπλῳσέῳν Ei 32. 83. ἐν ri 4 λήμματι 
ἐδείχϑη ΔΒ, τῷ τετάρτῳ λήμματι ἐδείχϑη 8, om. Ei, ζ΄ corr. Co 
2$. ἐπέτριτος — ϑυνάμει in ABS post τὰ ἀπὸ ΩΦ inserta trang- 

' posuit Hw 35. ἥπερ τὰ IB τὰ À, sed prius τὰ expunctum 
36. dare Co pro te καὶ ἡ 1 Τῇ AS, χαὶ | καὶ ἡ ιβ B, ἢ ὀχρυμοίψο 
in Paris. 3868 V 


90" 


468 | ΠΛΑΠΠΟΥ XYNATOTHX E. 


ΩΦ. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ B4 ιε' ἐστιν τὰ ἀπὸ ΝΩ͂, ὡς 
ἔστιν ἐν τῷ ιγ' τῶν στοιχείων (τὸ yàg κέντρον τοῦ περὶ 
d » 
τὸ BAA τρίγωνον κύκλου τὸ N σημεῖόν ἐστι») " καὶ if" ἄρα 
τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ AN, τουτέστιν iff τὰ ἀπὸ 
* , $03 8 c7 . / , » » 
AE πρὸς w' và ἀπὸ E, 4, μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ιβ΄ s 


yi 





yp 6 (08 T 
τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε' và ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ὅμοιον τὸ 
“4.4.Ὲ τρίγωνον τῷ ΥΦΩ τριγώνῳ" καὶ εβ' ἄρα τὰ ἀπὸ 
YQ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ Q0 μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ 
XW πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ Ob: μείζων ἄρα ἡ YO χάϑετος τῆς 
ΧΨ καϑέτου. καὶ ὑπόκχεινται, aL ἐπεφάνειαι ἴσαι τῶν στε- V0 
οδῶν σχημάτων" μεῖξον ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀχταέδρου. 

104 ξε΄. Ὅτι μὲν οὖν τῶν εἰ σχημάτων τούτων ἃ δὴ καὶ 
πολύεδρα καλεῖται τὸ πολυεδρότερον aisi μεῖζόν ἐστιν φα- 
νερὸν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων, ὅτι δὲ πλείω τῶν πέντε 
“τούτων ἀδύνατόν ἔστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ 19 
ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιεχόμενα μάϑοι τις ἂν 
καὶ οὕτως. | ] | 

105 Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ix τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι 





, 9: B4.4 add. Ei 4. 5. τουτέστιν — ἀπὸ Ε͵,Α om. Ei ἀπὸ 
4ot πρὸς t€ τὰ ἀπὸ ρελὸ AB(S), corr. Hu auctore Co 6. 7. τὸ ,.4 f E] 
τὸ 4 4 ἢ ε AB, τὸ 1989 G0e 8, τὸ O.4N Ei, corr. Co 1. 8. τὰ ἀπὸ 
vo S, τὸ ἀπὸ Yo A, τὸ ἀπὸ vp B 8. 9. μεέζονα — ι᾿ἀπὸ ΩΦ add. 
Co 44. ξεον' B, £4 A! in marg. (S) 43. αἰεὶ Hu pro πολὺ 
48. ἐλαχίστων recte se habere neque vero ἐλάχιστον. scribendum esse 
docet Euclides elem. 414, 31 


. LIBER V. PROPOS. 55. 461 


LXIIL lcosaedrum maius est dodecaedro. 

Sit enim dodecaedri pentagonum αβγ et icosaedri ean- 
dem superficiem habentis wiangulum δεζ, et a centris sphae- 
rarum polyedra comprehendentium ad plana af» δεζ ducan- 
tur perpendiculares xÀ ηϑ, et iungantur xa «À yd 09. lam 


X 





Á y 


é 


Prop. 
55 


quia superiore lemmate 12 demonstravimus eundem circu- 


lum et dodecaedri pentagonum et icosaedri in eandem sphae- 
ram inscripti triangulum comprehendere, itaque circulus, 
cuius radius aA, non solum pentagonum ay, sed etiam ico- 
saedri in eandem sphaeram inscripti triangulum (quod qui- 
dem simile est triangulo det) recipit, et χὰ perpendicularis 
ex centro sphaerae ad eum circulum ducta, et xo sphaerae 
radius est, et triangulum ηϑὸ prorsus similiter constructum 
 est!), tum quia superiore lemmate 14 demonstravimus esse 


4) Sequitur in Graecis demonstratio quaedam hunc in modum inter- 
pretanda "quapropter triangulum 794 simile est triangulo x4«; nam ut 
Sphaerae dodecaedrum comprehendentis diametrus ad «4, ita est sphae- 
rae icosaedrum comprehendentis àd ὅϑ. Sed ut latus triangali aequi- 
lateri, quod in circulum qui et icoseedri triangulum et dodecgedri pen- 
tagonum recipit inscribitur, ad αλ, ita est εὖ ad d9; ergo etiam ut 
sphaerae radius χα ad «à, ita est sphaerae radius ηδ ad d9. Et an- 
guli 4 9 recti sunt; ergo A «xA -. A δηϑ᾽ὴ. Vera haec quidem sunt, 
sed langida et cum taedio verbosa; ac vero ipse Pappus superioribus 
verbis ἐπεὶ οὖν ἐδεέχϑη — ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον satis superque 
similia esse triangula «xA δηϑ significavisse videtur; quapropter nos 
ista quae seelusimus ab interpoletore addita esse censemus. 


410 IIAHIITOY ZYNAFQTHZ E. 


γωνεῶν ἐπιπέδων ἀναγκαῖον, xei ei περιέχουσαι αὐτάς, ξάν 
τε. τρεῖς eai». δάν τε πλείους, τῶν τεσσάρων ὀρϑῶν ἐλάτ- 
τονές εἶδεν πάνεως. ὑπὸ μὲν οὖν ἑξαγώνου γωνιῶν ἢ τινος 
εὐθυγρώμμου πολυχωνδεέρον περισχεϑῆναι στερεὰν γωνίαν 
ἀδύνατον (αἵ γὰρ ἐλάχισται δυνάμεναι περιλαβεῖν αὐτὴν ὃ 
᾿ τρεῖς τεσσάρων ὀρϑῶν οὐχ εἰσὶν ἐλάττους), ὑπὸ δὲ πεντα- 
γώνου τριῶν μόνων δυνατόν, ὡς καὶ συνέστηκεν ἡ τοῦ δω- 
δεκαέδρου. πάλιν δὲ τέσσαρες μὲν ἢ πλείους τετραγώνου 
γωνίαι περιέχειν στερεὰν γωνίαν οὐ δύνανται (τεσσάρων γὰρ 
ὀρϑῶν οὐχ εἰσὶν ἐλάττους), τρεῖς δὲ περιέχουσιν τὴν τοῦ 10 
χύβου. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου t5 μὲν 
ἢ πλείους γωνίαι τεσαάρων ὀρϑῶν οὐχ εἰσὶν ἐλάττους, καὶ 
διὰ τοῦτο στερεὰν γωνίαν οὐ περιέχουσι, πέντε δὲ καὶ 
τέσσαρες καὶ τρεῖς δύνανται, xai περιέχεται ὑπὸ μὲν πέντε 
ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου, ὑπὸ δὲ τεσσάρων Ju τοῦ ὀκταέδρου, 075015 
δὲ τριῶν ἡ τῆς nvgouldog. δῆλον οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων 
ὅτι παρὰ ταύτας οὐκ ἔστιν ἄλλη στερεὰ γωνία ἐξ toov καὶ 
τοῦ αὐτοῦ πολυγώνου συνεστηχυῖα γωνιῶν, ὥστε οὐδὲ πο- 
λύεδρον εὑρεῖν ἄλλο παρὰ τὰ προειρημένα πέντε δυνατόν 
στιν ὑπὰ ἴσων καὶ. ὁμοίων πολυγώνων περιεχόμενον. 20 


—— ..--- 





4. γωνέαν AB, corr. S 4. post πολυγωφοτέρου add. rov A, τοῦ 
BS, del. Ei περιενεχϑῆναι S, περιέχεσϑαι Ei 8. πενταγώνου Hu, 
πεντἀγώνων ARA, πενταγῴνοιι γωνιῶν Ei 1. μάνων Bu, μένων Ἀ(Β), 
μόνον S Ei . 18. τοῦ αὐτοῦ Ei pro τὰ τοῦ 90. in fine add. παπ- 
που σλεξανδρεως συναγωγῆς € περιέχει δὲ συγχρίσεις 19v ἴσην περέ- 
. μξερον ἐχόντων των ἐπιπέδων σχημάτων προσαλληλα τε και τῶν κύ- 
xlev χαὶ συγχρέσεις των ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων προς αλληλα τε xoi 
τ᾽ σφαιραν A? (τέλος τοῦ πέμπτου tijg πάππου τοῦ ἀλεξανδρέως συψα- 
γωγῆς B, τέλος τοῦ & τῆς συναγωγῆς πάππφν S) 


LIBER V. PROPOS. 57. 471 


nis constare necesse est (elem. 44 defin. 44), et anguli plani 
qui soltdum comprehendunt, sive tres sunt sive plures, uti- 
que quattuor rectis minores sunt (elem. 41, 24). lam vero 
neque hexagoni angulis neque ullius figurae rectilineae plu- 
res angulos habentis angulus solidus comprehendi potest 
(nam tres minimi, qui continere possint, scilicet tres hexa- 
goni anguli, non sunt minores quattuor rectis); at pentagoni 
tes anguli per se solidum angulum comprehendere possunt, 
atque id: quidem fit in dodecaedro. Rursus pentagoni aut 
quadrati quattuor pluresve anguli solidum angulum compre- 
hendere non possunt (neque enim minores sunt quattuor rec- 
tis); at tres anguli quadrati comprehendunt cubi angulum. 
Eadem denique ratione sex pluresve trianguli aequilateri an- 
guli, quia non sunt minores quattuor rectis, angulum soli- 
dum non comprehendunt; at quinque vel quattuor vel tres 
possunt, et angulis quidem quinque icosaedri angulus, quat- 
tuor octaedri, tribus pyramidis angulus continetur. Ex his 
igitur quae exposuimus apparet praeter hos nullum alium 
solidum angulum esse, qui ex aequalibus et ad idem poly- 
gonum pertinentibus angulis constet; ergo praeter illa quin-- 
que quae diximus polyedra nullum aliud quod aequalibus 
ac similibus polygonis comprehendatur inveniri posse. 








----.---.. -οὄ-. 


Typis expresserunt. Breitkopf et Hártel Lipsienses. - 


——— 





o ————M -